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Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex

@@ -451,7 +451,9 @@
 	Es gilt aber \( x\in D \leftrightarrow x \not\in L(M_x) \)\\
 	Widerspruch!
 
-	\underline{Diagonalsprache} \( D = \{ x \mid x \not\in L(M_X) \} \) ist nicht \underline{akzeptierbar}.
+	\subsection{Diagonalsprache}
+	
+	\( D = \{ x \mid x \not\in L(M_X) \} \) ist nicht \underline{akzeptierbar}.
 
 	%%TODO: Grafik
 
@@ -499,7 +501,8 @@
 			Es gilt.: $M'$ hält auf alle Eingaben und \( L(M') = D \). Widerspruch \( \Box\)
 	\end{enumerate}
 
-	Das \underline{spezielle Halteproblem}\\
+	\subsection{Das spezielle Halteproblem}
+
 	\spa \( H_0 = \{ x \mid M_x(x) \text{ hält } \} \)\\
 	$H_0$ ist akzeptierbar und entscheidbar.
 
@@ -564,7 +567,7 @@
 
 	ist unentscheidbar für jede Eigenschaft $E$.
 
-	\underline{Satz von Rice}
+	\subsubsection{Satz von Rice}
 
 	\bsp \( F = \{ x \mid L(M_x) \text{ ist endlich} \} \)
 
@@ -584,7 +587,7 @@
 	\( \forall n \exists m : (n=2m \text{ oder } n=2m-1) \) wahr\\
 	\( \forall n \exists m: n=2m \) falsch
 
-	Post’sches Korrespondenz Problem (PCP)
+	\subsubsection{Post’sches Korrespondenz Problem (PCP)}
 
 	gegeben sind Dominos der Form \( \left[ \frac x y \right] \)\\
 	wobei \(x,y \in \Sigma^* \), endlich viele Typen, von jedem Type beliebig viele.
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 	PCP ist unentscheidbar
 
-	Eulerkreise:
+	\section{Eulerkreise}
 
 	Rundweg in $G$, der über \underline{jede} Kante \underline{genau einmal} führt.\\
 	Kreis \( = (1,5,2,3,1,2,4,6,3,4) \)
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 	Der Algorithmus funktioniert, weil in jeder Iteration in dem Restgraph mit dem noch unbesuchten Kanten jeder Knoten geraden Grad hat. (Invariante)
 
-	\underline{Hamilton Kreise}
+	\section{Hamilton Kreise}
 
 	= Kreise, in denen jeder Knoten genau einmal besucht wird.
 
@@ -684,7 +687,7 @@
 
 	HAM nichtdeterministisch effizient lösbar.
 
-	\underline{Erfüllbarkeit logischer Formeln}, SAT
+	\section{Erfüllbarkeit logischer Formeln, SAT}
 
 	\( F(x_1, …, x_n) = (\overline{x_1 \land x_2} \lor x_3) \to (x_4 \land \overline{x_5}) \)\\
 	Frage: gibt es eine Belegung \( a \in \{0,1\}^n\) so dass \( F(a) = 1 \).
@@ -719,7 +722,7 @@
 	Es genügt, eine Klausel zu erfüllen \(\Rightarrow\) DNF-SAT\\
 	\( \Rightarrow \) DNF-SAT ist effizient lösbar.
 
-	\underline{Einteilung in Klassen}
+	\section{Einteilung in Klassen}
 
 	Sei \( t: \mathbb N \to \mathbb N\)\\
 	\( DTIME(t) = \{ L \le \Sigma^* \mid \) es gibt eine Turingmaschine M mit \( L(M) = L \) und M macht \(O(t(m))\) Schnitte auf Eingaben der Länge \( n\} \)\\
@@ -827,6 +830,8 @@
 	d.\,h. \( x\in A \Rightarrow f(x) \in B\)\\
 	und \( x\not\in A \Rightarrow f(x) \not\in B\)
 
+	\section{Traveling Salesman (TSP)}
+
 	\bsp Traveling Salesman (TSP)\\
 	Finde kürzeste Rundreise die jede Stadt genau einmal besucht.
 
@@ -1043,7 +1048,7 @@
 
 	NP-Vollständig sind: \(SAT, 3-SAT, NAE-SAT \)
 
-	\underline{k-Färbbarkeit}
+	\section{k-Färbbarkeit}
 	
 	gegeben: \( G = (V,E) \) ungerichtet\\
 	gefragt: \( \exists f: V \to \{ 1, …, k\} \) mit \( f(n) \ne f(v) \quad \forall (u,v) \in E\)
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 		\item Ham. Kreise in $G'$ müssen die Richtun gvon $G$ einhalten (oder komplett in Gegenrichtung). Andernfalls bleibt man stecken, z.\,B. bei $v^1$.
 	\end{enumerate}
 
-	\underline{Unabhängige Knotenmenge (Independent Set (IS))}
+	\section{Unabhängige Knotenmenge (Independent Set (IS))}
 
 	gegeben: \( G = (V,E), k \)\\
 	gefragt: \( \exists I \subseteq V, \left|I\right| \ge k \)\\
@@ -1160,7 +1165,7 @@
 	Wähle aus Klausel-\(\triangle\) für \(C_i\) das Literal das in $I$ ist und gebe Wert 1.\\
 	Noch nicht belegte Variablen können jetzt beliebig belegt werden. Diese Belegung erfüllt $F$, da keine komplementären Literale auftauchen.
 
-	\underline{Clique}
+	\section{Clique}
 
 	gegeben: \( G = (V,E), k\)\\
 	gefragt: \( \exists C \subseteq V, \left|C\right| \ge k \)\\
@@ -1175,7 +1180,7 @@
 	D.\,h. \( \overline{E} = \{ (a,v) \mid (u,v) \not\in E \} \)\\
 	Dann gilt: \( (G,k) \in IS \Leftrightarrow (\overline{G},k) \in \) Clique
 
-	\underline{Knotenüberdeckung (Vortex Cover (VC))}
+	\section{Knotenüberdeckung (Vortex Cover (VC))}
 
 	gegeben: \( G = (V,E), k\)\\
 	gefragt: \( \exists C\subseteq V, \left|C\right| \le k\), so dass \underline{jede} Kante in G mindestens einen Endpunkt in C hat.
@@ -1187,7 +1192,7 @@
 	D.\,h. \( G' = G \) und \( C = V-I = \overline{I} \)\\
 	Dann gilt: \( (G,k) \in IS \Leftrightarrow (G,n-k) \in VC \)
 
-	\underline{Dominating Set (DS)}
+	\section{Dominating Set (DS)}
 
 	Gegeben: \( G= (V,E), k\)\\
 	Gefragt: \( \exists D \subseteq V, \left|D\right|\le k\)\\
@@ -1212,7 +1217,7 @@
 	wäre für Knate $(u,v)$ weder $u\in D'$ noch $v\in D'$, dann hätte $K_{u,v}$ keinen Nachbarn in $D'$.\\
 	Dann wäre $D'$ kein D.S. \Lightning
 
-	\underline{Subset Sum}
+	\section{Subset Sum}
 	
 	Gegeben: \(a_1,a_2,…,a_n,b\).\\
 	Gefragt: \( \exists I \le \{ 1,2,…,n\} \quad \sum\limits_{i\in I} a_i - b \)
@@ -1269,7 +1274,7 @@
 	Da im vorderen Teil mit den Füll-Zahlen maximal 2 erreicht werden kann, muss die Summe der ausgewählten $y-$ und $z-$Zahlen $\ge 1$ je Klauselspalte sein.\\
 	\(\Rightarrow\) nach Konstruktion enthält also jede Klausel $\ge 1$ erfülltes Problem.
 
-	\underline{Knapsack (Rucksack)}
+	\section{Knapsack (Rucksack)}
 
 	Gegeben: \( s_1,…,s_n, \ , w_1,…,w_n, \  , s, w \)\\
 	Gefragt: \( \exists I \subseteq \{ 1,…,n\} \)\\
@@ -1282,7 +1287,7 @@
 		\( w_i = a_i \ , W=b\)\\
 	Dann ist \( \sum\limits_{i\in I} a_i = b \Leftrightarrow \sum\limits_{i\in I} a_i \le b \) und \( \sum\limits_{i\in I} a_i \ge b\)
 
-	\underline{Partition}
+	\section{Partition}
 
 	Gegeben: \( a_1,…a_n\)\\
 	Gefragt: \( \exists I \subseteq \{ 1,…,n\} \)\\
@@ -1315,7 +1320,7 @@
 	\(\Rightarrow \sum\limits_{i\in I} a_i + \underbrace{A - \sum\limits_{i\not\in I} a_i}_{ =\sum\limits_{i\in I} a_i } = 2b \)\\
 	\(\Rightarrow \sum\limits_{i\in I} a_i = b\)
 
-	\underline{Bin Packing}
+	\subsection{Bin Packing}
 
 	Gegeben: \( a_1,…,a_n,B,k\)\\
 	Gefragt: Kann man \(a_1,…,a_n\) auf k Bins der Größe B verteilen?