Frage: gibt es eine Belegung \( a \in\{0,1\}^n\) so dass \( F(a)=1\).
Frage: gibt es eine Belegung \( a \in\{0,1\}^n\) so dass \( F(a)=1\).
@ -719,7 +722,7 @@
Es genügt, eine Klausel zu erfüllen \(\Rightarrow\) DNF-SAT\\
Es genügt, eine Klausel zu erfüllen \(\Rightarrow\) DNF-SAT\\
\(\Rightarrow\) DNF-SAT ist effizient lösbar.
\(\Rightarrow\) DNF-SAT ist effizient lösbar.
\underline{Einteilung in Klassen}
\section{Einteilung in Klassen}
Sei \( t: \mathbb N \to\mathbb N\)\\
Sei \( t: \mathbb N \to\mathbb N\)\\
\( DTIME(t)=\{ L \le\Sigma^*\mid\) es gibt eine Turingmaschine M mit \( L(M)= L \) und M macht \(O(t(m))\) Schnitte auf Eingaben der Länge \( n\}\)\\
\( DTIME(t)=\{ L \le\Sigma^*\mid\) es gibt eine Turingmaschine M mit \( L(M)= L \) und M macht \(O(t(m))\) Schnitte auf Eingaben der Länge \( n\}\)\\
@ -827,6 +830,8 @@
d.\,h. \( x\in A \Rightarrow f(x)\in B\)\\
d.\,h. \( x\in A \Rightarrow f(x)\in B\)\\
und \( x\not\in A \Rightarrow f(x)\not\in B\)
und \( x\not\in A \Rightarrow f(x)\not\in B\)
\section{Traveling Salesman (TSP)}
\bsp Traveling Salesman (TSP)\\
\bsp Traveling Salesman (TSP)\\
Finde kürzeste Rundreise die jede Stadt genau einmal besucht.
Finde kürzeste Rundreise die jede Stadt genau einmal besucht.
@ -1043,7 +1048,7 @@
NP-Vollständig sind: \(SAT, 3-SAT, NAE-SAT \)
NP-Vollständig sind: \(SAT, 3-SAT, NAE-SAT \)
\underline{k-Färbbarkeit}
\section{k-Färbbarkeit}
gegeben: \( G =(V,E)\) ungerichtet\\
gegeben: \( G =(V,E)\) ungerichtet\\
gefragt: \(\exists f: V \to\{1, …, k\}\) mit \( f(n)\ne f(v)\quad\forall(u,v)\in E\)
gefragt: \(\exists f: V \to\{1, …, k\}\) mit \( f(n)\ne f(v)\quad\forall(u,v)\in E\)
@ -1126,7 +1131,7 @@
\item Ham. Kreise in $G'$ müssen die Richtun gvon $G$ einhalten (oder komplett in Gegenrichtung). Andernfalls bleibt man stecken, z.\,B. bei $v^1$.
\item Ham. Kreise in $G'$ müssen die Richtun gvon $G$ einhalten (oder komplett in Gegenrichtung). Andernfalls bleibt man stecken, z.\,B. bei $v^1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\underline{Unabhängige Knotenmenge (Independent Set (IS))}
\section{Unabhängige Knotenmenge (Independent Set (IS))}
gegeben: \( G =(V,E), k \)\\
gegeben: \( G =(V,E), k \)\\
gefragt: \(\exists I \subseteq V, \left|I\right| \ge k \)\\
gefragt: \(\exists I \subseteq V, \left|I\right| \ge k \)\\
@ -1160,7 +1165,7 @@
Wähle aus Klausel-\(\triangle\) für \(C_i\) das Literal das in $I$ ist und gebe Wert 1.\\
Wähle aus Klausel-\(\triangle\) für \(C_i\) das Literal das in $I$ ist und gebe Wert 1.\\
Noch nicht belegte Variablen können jetzt beliebig belegt werden. Diese Belegung erfüllt $F$, da keine komplementären Literale auftauchen.
Noch nicht belegte Variablen können jetzt beliebig belegt werden. Diese Belegung erfüllt $F$, da keine komplementären Literale auftauchen.
\underline{Clique}
\section{Clique}
gegeben: \( G =(V,E), k\)\\
gegeben: \( G =(V,E), k\)\\
gefragt: \(\exists C \subseteq V, \left|C\right| \ge k \)\\
gefragt: \(\exists C \subseteq V, \left|C\right| \ge k \)\\
@ -1175,7 +1180,7 @@
D.\,h. \(\overline{E}=\{(a,v)\mid(u,v)\not\in E \}\)\\
D.\,h. \(\overline{E}=\{(a,v)\mid(u,v)\not\in E \}\)\\
Dann gilt: \((G,k)\in IS \Leftrightarrow(\overline{G},k)\in\) Clique
Dann gilt: \((G,k)\in IS \Leftrightarrow(\overline{G},k)\in\) Clique
\underline{Knotenüberdeckung (Vortex Cover (VC))}
\section{Knotenüberdeckung (Vortex Cover (VC))}
gegeben: \( G =(V,E), k\)\\
gegeben: \( G =(V,E), k\)\\
gefragt: \(\exists C\subseteq V, \left|C\right| \le k\), so dass \underline{jede} Kante in G mindestens einen Endpunkt in C hat.
gefragt: \(\exists C\subseteq V, \left|C\right| \le k\), so dass \underline{jede} Kante in G mindestens einen Endpunkt in C hat.
@ -1187,7 +1192,7 @@
D.\,h. \( G' = G \) und \( C = V-I =\overline{I}\)\\
D.\,h. \( G' = G \) und \( C = V-I =\overline{I}\)\\
Dann gilt: \((G,k)\in IS \Leftrightarrow(G,n-k)\in VC \)
Dann gilt: \((G,k)\in IS \Leftrightarrow(G,n-k)\in VC \)
\underline{Dominating Set (DS)}
\section{Dominating Set (DS)}
Gegeben: \( G=(V,E), k\)\\
Gegeben: \( G=(V,E), k\)\\
Gefragt: \(\exists D \subseteq V, \left|D\right|\le k\)\\
Gefragt: \(\exists D \subseteq V, \left|D\right|\le k\)\\
@ -1212,7 +1217,7 @@
wäre für Knate $(u,v)$ weder $u\in D'$ noch $v\in D'$, dann hätte $K_{u,v}$ keinen Nachbarn in $D'$.\\
wäre für Knate $(u,v)$ weder $u\in D'$ noch $v\in D'$, dann hätte $K_{u,v}$ keinen Nachbarn in $D'$.\\
Dann wäre $D'$ kein D.S. \Lightning
Dann wäre $D'$ kein D.S. \Lightning
\underline{Subset Sum}
\section{Subset Sum}
Gegeben: \(a_1,a_2,…,a_n,b\).\\
Gegeben: \(a_1,a_2,…,a_n,b\).\\
Gefragt: \(\exists I \le\{1,2,…,n\}\quad\sum\limits_{i\in I} a_i - b \)
Gefragt: \(\exists I \le\{1,2,…,n\}\quad\sum\limits_{i\in I} a_i - b \)
@ -1269,7 +1274,7 @@
Da im vorderen Teil mit den Füll-Zahlen maximal 2 erreicht werden kann, muss die Summe der ausgewählten $y-$ und $z-$Zahlen $\ge1$ je Klauselspalte sein.\\
Da im vorderen Teil mit den Füll-Zahlen maximal 2 erreicht werden kann, muss die Summe der ausgewählten $y-$ und $z-$Zahlen $\ge1$ je Klauselspalte sein.\\
\(\Rightarrow\) nach Konstruktion enthält also jede Klausel $\ge1$ erfülltes Problem.
\(\Rightarrow\) nach Konstruktion enthält also jede Klausel $\ge1$ erfülltes Problem.
