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Update: Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik

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Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex
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@ -28,6 +28,7 @@
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@ -36,6 +37,8 @@
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@ -94,11 +97,9 @@
\end{itemize}
\section{Wahrscheinlichkeitsrechnung}
\section{Grundbegriffe}
\subsection{Grundbegriffe}
\subsubsection{Zufallsexperimente}
\subsection{Zufallsexperimente}
\begin{itemize}
\item Mehrere mögliche Ergebnisse\\
{\color{Orange}\bsp Würfeln \(\to\) 1,2,3,4,5,6}
@ -114,7 +115,7 @@
Man erhält W. aus den relativen Häufigkeiten, wenn die Anzahl der Wiederholungen gegen \(\infty\) geht.\\
{\color{Orange}W. für die 1 = \(0.1\overline{6}\)}
\subsubsection{Begriffe, Bezeichnungen:}
\subsection{Begriffe, Bezeichnungen:}
\underline{Ergebnisse} \( \omega_1, \omega_2, \omega_3, …\)
@ -153,7 +154,7 @@
\( P(A) = \{ ZZZ \} = \frac 1 8 \)\\
\( P(B) = \{ ZWW, WZW, WWZ \} = \frac 3 8 \)
\subsubsection{Eigenschaften, Rechenregeln für W.}
\subsection{Eigenschaften, Rechenregeln für W.}
\( P(\Omega) = 1 \), \( P(\emptyset) = 0\), für jedes Ereignis A: \( 0 \le P(A) \le 1 \)
@ -193,7 +194,7 @@
\item[(d)] genau eine 5 auf? { \color{Orange} \( \frac 1 6 \cdot \left( \frac 5 6 \right)^{99} \cdot 100 \) }
\end{itemize}
\subsection{Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der Kombinatorik}
\section{Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der Kombinatorik}
Für ein Ereignis A, das Teilmenge von \(\Omega\) ist.\\
\( P(A) = \frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}= \frac{\text{günstige Fälle}}{\text{mögliche Fälle}} \) {\color{Orange}Elemente von \(\Omega\) = Anzahl aller möglichen Ergebnisse}\\
@ -342,7 +343,7 @@
Sorte 3: S: $k_3 = 4$\\
Sorte 4: P: $k_4 = 2$
\subsection{Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit}
\section{Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit}
\bsp 2 rote Bälle und ein gelber Ball. Wir ziehen 2 Bälle ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge.\\
Mit welcher Wahrscheinlichkeit
@ -386,7 +387,7 @@
{\color{Orange} \(\to\) nur bei unabhängigen Ereignissen.}
\end{mydef}
\subsubsection{Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit}
\subsection{Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit}
{\color{Orange}wenn \(P(A\mid B)\) und \(P(A\mid \overline{B})\) bekannt sind.}\\
\( P(A) = P(A\mid B) * P(B) + P(A\mid \overline{B}) * P(\overline{B}) \)
@ -545,7 +546,7 @@
\( \underbrace{P(a\cap B)}_{=0} \not= \underbrace{ P(A) }_{\frac 1 6} * \underbrace{P(B)}_{\frac{1}{36}} \)\\
\(\to\) A, B und C sind abhängig
\subsection{Zufallsvariablen}
\section{Zufallsvariablen}
\begin{mydef}
Eine Zufallsvariable $X$ ist eine Funktion.\\
@ -588,7 +589,7 @@
\( \sigma^2 = 4 * \frac 1 6 + 25 * \frac{25}{36} + 750.76 * \frac{5}{36} = 122.3 \)\\
\( \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{122.3} = 11.06 \)
\subsubsection{Diskrete Zufallsvariable}
\subsection{Diskrete Zufallsvariable}
Diskret: $X$ nimmt nur einzelne Werte mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten an.
@ -643,7 +644,7 @@
Man muss \(\sigma\) in Relation zu \(\mu\) sehen.\\
\(\to\) Variationskoeffizient \( \frac{\sigma}{\mu} = \frac{2,47}{0,05} = 49,4 = 4940\% \)
\subsubsection{Verteilung und Verteilungsfunktion von Zufallsvariablen}
\subsection{Verteilung und Verteilungsfunktion von Zufallsvariablen}
Im \bsp 2 maliges Würfeln von vorhin:\\
\underline{Verteilung von $X$}: \( P(X=2) = \frac 1 6, P(X=5) = \frac{25}{36}, P(X=-27.4) = \frac{5}{36} \)
@ -728,7 +729,7 @@
\( P(x\le X < 2) = P(X<2) - P(X<1) = 0.2 - 0 = 0.2 \)\\
\( P(2< X < 2.2) = P(X< 2.2) - P(X\le 2) = \frac{121}{200} - 0.5 = \frac{21}{200} \approx 0.105 \)
\subsubsection{Stetige Verteilung}
\subsection{Stetige Verteilung}
\(\to\) stetige Funktion \(F(x)\)\\
\(\to\) \(P(X=x) = 0\) \(\forall x \in \mathbb R\) (\(\to\) keine Sprünge)
@ -1047,7 +1048,7 @@
&= \frac{a+b}{2}
\end{align*}
\subsection{Normalverteilung}
\section{Normalverteilung}
\begin{mydef}
$X$ ist $N(\mu,\sigma)$ verteilt, wenn $X$ die Dichtefunktion \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}*\sigma} * e^{-\frac12 * \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\) besitzt.\\
@ -1106,12 +1107,12 @@
&= 0.00023 = \underline{\underline{0.023\%}}
\end{align*}
\subsection{Schätzungen und Tests}
\section{Schätzungen und Tests}
Test z.\,B. Liefert die Maschine im Mittel die geforderten $10cm$ Länge?\\
\(\to\) mit einer Stichprobe.
\subsubsection{Stichproben}
\subsection{Stichproben}
Stichprobenumfang $n$, Stichprobenwerte \(x_1,x_2,…,x_n\).\\
$\to$ arithmetisches Mittel (Durchschnitt)
@ -1146,7 +1147,7 @@
\end{align*}
\textcolor{Green}{Maß für die Streuung: $0.0876cm$\\($\to\ 10.02\pm 0.08762cm$)}
\subsubsection{Zentraler Grenzwertsatz}\label{sec:zentraler_grenzwertsatz}
\subsection{Zentraler Grenzwertsatz}\label{sec:zentraler_grenzwertsatz}
Wenn die Zufallsvariablen $X_i\ , i=1,2,3,…$ unabhängig ($X_1,X_2$ sind unabhängig, wenn $P(X_1=a \land X_2=b) = P(X_1=a)*P(X_2=b)$) und identisch Verteilt (alle $X_i$ besitzen die gleiche Verteilungsfunktion) sind mit Erwartungswert \(\mu=E(X_i)\) und Varianz \(\sigma^2 = Var(X_i) \), dann gilt für die Zufallsvariable \(\overline{X}=\frac1n*\left(X_1+X_2+…+X_n\right)\):\\
\( \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma} * \sqrt{n} \) ist für große $n$ näherungsweise $N(0,1)$ verteilt.\\
@ -1154,7 +1155,7 @@
\includegraphics{bilder/1-6_dichtefunktion_3.eps}
\subsubsection{Tests (Erwartungswerttests)}
\subsection{Tests (Erwartungswerttests)}
\underline{Nullhypothese} $\to$ soll getestet werden beim Erwartungswerttest:\\
\(H_0: \mu = \mu_0 \) z.\,B. Sollwert der Bauteillängen\\
@ -1274,7 +1275,7 @@
$T\ge c$ & Mindestens
\end{tabular}
\subsubsection{Fehler 1. Art, Fehler 2. Art}
\subsection{Fehler 1. Art, Fehler 2. Art}
Vorgeben muss man $\alpha = $ Fehler 1. Art $ = P( H_0 \text{ ablehnen } \mid H_0 \text{ stimmt} )$\\
es ergibt sich $\beta = $ Fehler 2. Art $ = P( H_0 \text{ annehmen } \mid H_0 \text{ stimmt nicht})$
@ -1296,6 +1297,138 @@
$\beta = P(H_0 \text{ annehmen} \mid \mu = 9.8 ) = P(T \ge -2.05 \mid \mu = 9.8)$\\
$= P(\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma} * \sqrt{n} \ge -2.05 \mid \mu = 9.8) $
\begin{align*}
&= P( \frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma} * \sqrt{n} \ge -2.05 \mid \mu = 9.8 )\\
&= P( \frac{\overline{x}-\mu_1}{\sigma} * \sqrt{n} + \frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma} * \sqrt{n} \ge -2.05 \mid \mu = 9.8 )\\
&= P( \frac{\overline{x}-\mu_1}{\sigma} * \sqrt{n} \ge -2.05 - \frac{\overbrace{\mu_1}^{9.8} - \overbrace{\mu_0}^{10} }{\sigma} * \sqrt{n} \mid u = 9.8 )\\
&= P( \frac{\overline{x}-\mu_1}{\sigma} * \sqrt{n} \ge 6.99 \mid \mu = 9.8 ) = 1-P(\frac{\overline{x}-\mu_1}{\sigma} * \sqrt{n} \ge 6.99) = 1 - \overbrace{\phi(6.99)}^{\approx 1} \approx 0
\end{align*}
ideal, das Praktisch kein Fehler 2. Art
Berechnung von $\beta$ für $\mu = 9.99 \to$ nah an $\mu_0 = 10$
\[ = -2.05 - \frac{9.99-10}{0.7} * \sqrt{1000} = -1.6 \]
\[ \to \beta = 1-\underbrace{\phi(-1.6)}_{1-\phi(1.6)} = 1 - ( 1- \phi(1.6)) = \phi(1.6) = 0.9452 = 94.52\% \]
$\to$ extrem hoch, blöd
Mit 94.52\% Wahrscheinlichkeit wird die Hypothese angenommen, obwohl sie nicht stimmt.
\subsection{Tests bei Binomialverteilung}
\label{Tests bei Binomialverteilung}
$X_i = \begin{cases} 0, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } 1-p \\ 1, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } p \end{cases}$ $\to$ ist $B(\underbrace{n}_{=1},p)$-verteilt
$\mu = E(X_i) = 0 * (1-p) + 1 * p = p$\\
$\sigma^2 = Var(X_i) = 0^2 * (1-p) + 1^2 * p - p^2 = p-p^2 = p*(1-p)$\\
$\sigma = \sqrt{p*(1-p)}$\\
mit einem Test $H_0: \mu = \mu_0 \to p = p_0$ können Wahrscheinlichkeiten getestet werden; z.\.B. für Fehlerraten $H_0: p\le p_0$ ($P_0$ = max. Fehlerrate).
\bsp Es soll getestet werden, ob ein Würfel gezinkt ist, anhand der Anzahl an Zweiern.\\
$H_0: p = \frac16$, Stichprobe: 3600 maliges Würfeln $\to$ liefert 580 Zweier.\\
Kann man mit Irrtumswahrscheinlichkeit von 3\% sagen, dass der Würfel gezinkt ist?
Testgröße $T = \frac{\overline{x}-p_0}{\sqrt{p_0*(1-p_0)}} * \sqrt{n} = \frac{-2 * \sqrt{5}}{5} \approx -0.8944$
Bestimmung von $c: \phi(c) = 1-\frac\alpha2 = 1-\frac{0.03}{2} = 0.985 \Rightarrow 2.17$\\
\textcolor{Orange}{für Zweiseitigen Test: $H_0: \mu = \mu_0$}\\
Testentscheidung:\\
Annehmen, wenn $-c \le T \le c \Rightarrow -2.17 \le -0.8944 \le 2.17$\\
$\Rightarrow$ Wird angenommen $\Rightarrow$ Nicht gezinkt.
\bsp Datenübertragung\\
Gefordert: maximale Fehlerrate von 1\% aller übertragenen Bits. Nachricht mit 10000 Bits wird übertragen.\\
\(\to\) es treten 105 Fehler auf.
Kann man bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 2\% davon ausgehen, dass die Fehlerrate max. 1\% beträgt?
$p_0 = 0.01; \overline{x} = \frac{105}{10000} = 0.0105; n = 10000 $
Testgröße $T = \frac{\overline{x}-p_0}{\sqrt{p_0*(1-p_0)}} * \sqrt{n} = \frac{0.0105 - 0.01}{\sqrt{0.01*(1-0.01)}} * \sqrt{10000} = \frac{5*\sqrt{11}}{33} \approx 0.5025 $
Bestimmung von $c: \phi(c) = 1-\alpha = 1 - 0.02 = 0.98 \Rightarrow 2.05$
Testentscheidung: Annehmen, wenn $T\le c \Rightarrow 0.5025 \le 2.05$\\
$\Rightarrow$ Es ist davon auszugehen, dass die Fehlerrate max. 1\% beträgt.
\subsection{Konfidenzintervall}
Konfidenzintervall (Vertrauensintervall) für den Erwartungswert $\mu$
$\to$ Intervall, das um den Stichproben-Schätzwert $\overline{x}$ herumliegt, in dem $\mu$ mit Wahrscheinlichkeit \cunder{Yellow}{$1-\alpha$} liegt.\\
\textcolor{Orange}{$\to$ $1-\alpha$ Konfidenzintervall}
Analog zu den Tests (zweiseitig): $P(-c \le T \le c) = 1-\alpha$\\
$\to \underbrace{P\Big(-\phi^{-1}(1-\frac\alpha2) \le \underbrace{T}_{ \frac{\overline{x}-\mu}{\sigma} * \sqrt{n} } \le \phi^{-1}(1-\frac\alpha2) \Big) }_{\color{Orange}\text{Umformen, so dass } \mu \text{ in der Mitte steht}}$\\
$\to P\Big( \overline{x}-\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) * \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \overline{x}+\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) * \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Big)$\\
$\to$ Formel für das $(1-\alpha)$ Konfidenzintervall:\\
$ \Big[ \overline{x}-\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) * \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x}+\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) * \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \Big] $ \textcolor{Orange}{$\leftarrow$ da drin liegt $\mu$ mit Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$}
\includegraphics{bilder/1-6_konfidenz.eps}
\bsp Länge von Bauteilen aus der Produktion.\\
Stichprobe von 100 Bauteilen mit $\overline{x} = 8.8, s=0.2$\\
gesucht: 95\% Konfidenzintervall für $\mu$
$ \Big[ \overline{x}-\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) * \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x}+\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) * \frac{\sigma} {\sqrt{n}} \Big] $\\
$= \Big[ 8.8 - 1.96 * \frac{0.2}{\sqrt{100}} , 8.8 + 1.96 * \frac{0.2}{\sqrt{100}} \Big] $\\
$= \Big[ \frac{10951}{1250} , \frac{11049}{1250} \Big] = \Big[ 8.7608, 8.8392 \Big]$
\textcolor{Orange}{In diesem Intervall liegt mit 95\% Wahrscheinlichkeit die $\varnothing$-Länge der Bauteile, die die Maschine Produziert.\\
Wird $1-\alpha$ größer gewählt, so wird das Intervall größer.\\
Für größeres $n$ wird das Intervall kleiner.
}
\subsection{Näherungen durch die Normalverteilung}
$\to$ Wie groß muss $n$ sein, damit die Näherung erlaubt ist?\\
Bei der Binomialverteilung (zum Schätzen von Wahrscheinlichkeit) ist die Näherung erlaubt, wenn $n*p*(1-P) \ge 9$ ist.
Im \bsp aus \ref{Tests bei Binomialverteilung}: maximale Fehlerrate 1\%, $p=0.01 ; n = 10000$\\
$ n * p * (1-p) = 10000 * 0.01 * (1-0.01) = 99 \ge 9 \to$ Näherung passt gut.\\
$n$ sollte $ \ge \frac{9}{p*(1-p)} = \frac{9}{0.01*0.99} = 910$ sein.
\section{Kovarianz und Korrelation}
Zur Messung von Zusammenhängen, hier: lineare Zusammenhänge, zwischen 2 Zufallsvariablen $X,Y$.
\begin{mydef}
\underline{Kovarianz} von $X$ und $Y$: $Cov(X,Y) = E\big( (X-\mu_X) * (Y-\mu_Y) \big) = E(X*Y) - \mu_X * \mu_Y$\\
\textcolor{Orange}{$( \to Var(X) = E((X-\mu_X)^2 = Cov(X,X) = E(X^2) - \mu_X^2 )$}
\end{mydef}
\begin{mydef}
\underline{Korrelationskoeffizient}:\\
$ \rho (X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X*\sigma_Y} $\\
\textcolor{Orange}{$\to -1 \le \rho(X,Y) \le 1$ }
\end{mydef}
\includegraphics{bilder/1-7_korrelation.eps}
\begin{tabular}{lcl}
$\rho(X,Y)$ & $=0$ & $\to$ kein Zusammenhang zwischen X und Y (unkorreliert)\\
& $>0$ & $\to$ wachsender Zusammenhang (positiv korreliert)\\
& $=1$ & $\to$ exakt auf einer Gerade mit positiver Steigung
\end{tabular}
\bsp Zweimaliger Münzwurf\\
$X: $ Anzahl an Wappen im 1. Wurf\\
$Y: $ Gesamtzahl an Wappen
\begin{align*}
P(X=0,Y=0) &\overset{ZZ}{=} \frac14\\
P(X=0,Y=1) &\overset{ZW}{=} \frac14\\
P(X=1,Y=1) &\overset{WZ}{=} \frac14\\
P(X=1,Y=2) &\overset{WW}{=} \frac14\\
\\
Cov(X,Y) &= E(X+Y) - \mu_X*\mu_Y\\
&= 0 * 0 * \frac14 + 0 * 1 * \frac14 + 1 * 1 * \frac14 + 1 * 2 * \frac14 - 0.5 * 1\\
&= \frac 14 = 0.25 > 0
\end{align*}
\newpage
\section*{Standardnormalverteilung}
\addcontentsline{toc}{section}{Standardnormalverteilung}
\input{snv.tex}
\end{document}

258
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271
Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-7_korrelation.xml
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<text matrix="1 0 0 1 0 -16" transformations="translations" pos="272 736" stroke="blue" type="label" width="45.939" height="5.812" depth="0.83" valign="baseline">$+ * - = -$</text>
<text transformations="translations" pos="272 784" stroke="black" type="label" width="92.77" height="7.473" depth="2.49" valign="baseline">$(X-\mu_X) * (Y-\mu_Y)$</text>
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51
Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/snv.tex
Unescape View File

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$\phi_{0;1}(z)$
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0,3* & 0,61791 & 0,62172 & 0,62552 & 0,62930 & 0,63307 & 0,63683 & 0,64058 & 0,64431 & 0,64803 & 0,65173\\\hline
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0,9* & 0,81594 & 0,81859 & 0,82121 & 0,82381 & 0,82639 & 0,82894 & 0,83147 & 0,83398 & 0,83646 & 0,83891\\\hline
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\rowcolor{lightgrey} 3,0* & 0,99865 & 0,99869 & 0,99874 & 0,99878 & 0,99882 & 0,99886 & 0,99889 & 0,99893 & 0,99896 & 0,99900\\\hline
3,1* & 0,99903 & 0,99906 & 0,99910 & 0,99913 & 0,99916 & 0,99918 & 0,99921 & 0,99924 & 0,99926 & 0,99929\\\hline
\rowcolor{lightgrey} 3,2* & 0,99931 & 0,99934 & 0,99936 & 0,99938 & 0,99940 & 0,99942 & 0,99944 & 0,99946 & 0,99948 & 0,99950\\\hline
3,3* & 0,99952 & 0,99953 & 0,99955 & 0,99957 & 0,99958 & 0,99960 & 0,99961 & 0,99962 & 0,99964 & 0,99965\\\hline
\rowcolor{lightgrey} 3,4* & 0,99966 & 0,99968 & 0,99969 & 0,99970 & 0,99971 & 0,99972 & 0,99973 & 0,99974 & 0,99975 & 0,99976\\\hline
3,5* & 0,99977 & 0,99978 & 0,99978 & 0,99979 & 0,99980 & 0,99981 & 0,99981 & 0,99982 & 0,99983 & 0,99983\\\hline
\rowcolor{lightgrey} 3,6* & 0,99984 & 0,99985 & 0,99985 & 0,99986 & 0,99986 & 0,99987 & 0,99987 & 0,99988 & 0,99988 & 0,99989\\\hline
3,7* & 0,99989 & 0,99990 & 0,99990 & 0,99990 & 0,99991 & 0,99991 & 0,99992 & 0,99992 & 0,99992 & 0,99992\\\hline
\rowcolor{lightgrey} 3,8* & 0,99993 & 0,99993 & 0,99993 & 0,99994 & 0,99994 & 0,99994 & 0,99994 & 0,99995 & 0,99995 & 0,99995\\\hline
3,9* & 0,99995 & 0,99995 & 0,99996 & 0,99996 & 0,99996 & 0,99996 & 0,99996 & 0,99996 & 0,99997 & 0,99997\\\hline
\rowcolor{lightgrey} 4,0* & 0,99997 & 0,99997 & 0,99997 & 0,99997 & 0,99997 & 0,99997 & 0,99998 & 0,99998 & 0,99998 & 0,99998\\\hline
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