From d34cbf0f2bc92d073d50e05f0719677d0f464549 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Thomas Ba Date: Wed, 25 Jan 2012 18:02:35 +0100 Subject: [PATCH] Update: Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik --- ...hrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex | 171 +++++++++-- .../bilder/1-6_konfidenz.xml | 258 +++++++++++++++++ .../bilder/1-7_korrelation.xml | 271 ++++++++++++++++++ .../snv.tex | 51 ++++ 4 files changed, 732 insertions(+), 19 deletions(-) create mode 100644 Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_konfidenz.xml create mode 100644 Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-7_korrelation.xml create mode 100644 Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/snv.tex diff --git a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex index 7a9d099..8a346e4 100644 --- a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex +++ b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex @@ -28,6 +28,7 @@ \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[usenames,dvipsnames]{color} +\usepackage[table]{xcolor} \usepackage{lastpage} \usepackage{fancyhdr} \setlength{\parindent}{0ex} @@ -36,6 +37,8 @@ \setcounter{tocdepth}{4} \definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0} \definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5} +\definecolor{lightgrey}{rgb}{0.9,0.9,0.9} +\definecolor{lightgreen}{rgb}{0.9,1,0.9} \pagestyle{fancy} %eigener Seitenstil \fancyhf{} %alle Kopf- und Fußzeilenfelder bereinigen @@ -94,11 +97,9 @@ \end{itemize} - \section{Wahrscheinlichkeitsrechnung} + \section{Grundbegriffe} - \subsection{Grundbegriffe} - - \subsubsection{Zufallsexperimente} + \subsection{Zufallsexperimente} \begin{itemize} \item Mehrere mögliche Ergebnisse\\ {\color{Orange}\bsp Würfeln \(\to\) 1,2,3,4,5,6} @@ -114,7 +115,7 @@ Man erhält W. aus den relativen Häufigkeiten, wenn die Anzahl der Wiederholungen gegen \(\infty\) geht.\\ {\color{Orange}W. für die 1 = \(0.1\overline{6}\)} - \subsubsection{Begriffe, Bezeichnungen:} + \subsection{Begriffe, Bezeichnungen:} \underline{Ergebnisse} \( \omega_1, \omega_2, \omega_3, …\) @@ -153,7 +154,7 @@ \( P(A) = \{ ZZZ \} = \frac 1 8 \)\\ \( P(B) = \{ ZWW, WZW, WWZ \} = \frac 3 8 \) - \subsubsection{Eigenschaften, Rechenregeln für W.} + \subsection{Eigenschaften, Rechenregeln für W.} \( P(\Omega) = 1 \), \( P(\emptyset) = 0\), für jedes Ereignis A: \( 0 \le P(A) \le 1 \) @@ -193,7 +194,7 @@ \item[(d)] genau eine 5 auf? { \color{Orange} \( \frac 1 6 \cdot \left( \frac 5 6 \right)^{99} \cdot 100 \) } \end{itemize} - \subsection{Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der Kombinatorik} + \section{Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der Kombinatorik} Für ein Ereignis A, das Teilmenge von \(\Omega\) ist.\\ \( P(A) = \frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}= \frac{\text{günstige Fälle}}{\text{mögliche Fälle}} \) {\color{Orange}Elemente von \(\Omega\) = Anzahl aller möglichen Ergebnisse}\\ @@ -342,7 +343,7 @@ Sorte 3: S: $k_3 = 4$\\ Sorte 4: P: $k_4 = 2$ - \subsection{Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit} + \section{Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit} \bsp 2 rote Bälle und ein gelber Ball. Wir ziehen 2 Bälle ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge.\\ Mit welcher Wahrscheinlichkeit @@ -386,7 +387,7 @@ {\color{Orange} \(\to\) nur bei unabhängigen Ereignissen.} \end{mydef} - \subsubsection{Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit} + \subsection{Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit} {\color{Orange}wenn \(P(A\mid B)\) und \(P(A\mid \overline{B})\) bekannt sind.}\\ \( P(A) = P(A\mid B) * P(B) + P(A\mid \overline{B}) * P(\overline{B}) \) @@ -545,7 +546,7 @@ \( \underbrace{P(a\cap B)}_{=0} \not= \underbrace{ P(A) }_{\frac 1 6} * \underbrace{P(B)}_{\frac{1}{36}} \)\\ \(\to\) A, B und C sind abhängig - \subsection{Zufallsvariablen} + \section{Zufallsvariablen} \begin{mydef} Eine Zufallsvariable $X$ ist eine Funktion.\\ @@ -588,7 +589,7 @@ \( \sigma^2 = 4 * \frac 1 6 + 25 * \frac{25}{36} + 750.76 * \frac{5}{36} = 122.3 \)\\ \( \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{122.3} = 11.06 \) - \subsubsection{Diskrete Zufallsvariable} + \subsection{Diskrete Zufallsvariable} Diskret: $X$ nimmt nur einzelne Werte mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten an. @@ -643,7 +644,7 @@ Man muss \(\sigma\) in Relation zu \(\mu\) sehen.\\ \(\to\) Variationskoeffizient \( \frac{\sigma}{\mu} = \frac{2,47}{0,05} = 49,4 = 4940\% \) - \subsubsection{Verteilung und Verteilungsfunktion von Zufallsvariablen} + \subsection{Verteilung und Verteilungsfunktion von Zufallsvariablen} Im \bsp 2 maliges Würfeln von vorhin:\\ \underline{Verteilung von $X$}: \( P(X=2) = \frac 1 6, P(X=5) = \frac{25}{36}, P(X=-27.4) = \frac{5}{36} \) @@ -728,7 +729,7 @@ \( P(x\le X < 2) = P(X<2) - P(X<1) = 0.2 - 0 = 0.2 \)\\ \( P(2< X < 2.2) = P(X< 2.2) - P(X\le 2) = \frac{121}{200} - 0.5 = \frac{21}{200} \approx 0.105 \) - \subsubsection{Stetige Verteilung} + \subsection{Stetige Verteilung} \(\to\) stetige Funktion \(F(x)\)\\ \(\to\) \(P(X=x) = 0\) \(\forall x \in \mathbb R\) (\(\to\) keine Sprünge) @@ -1047,7 +1048,7 @@ &= \frac{a+b}{2} \end{align*} - \subsection{Normalverteilung} + \section{Normalverteilung} \begin{mydef} $X$ ist $N(\mu,\sigma)$ verteilt, wenn $X$ die Dichtefunktion \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}*\sigma} * e^{-\frac12 * \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\) besitzt.\\ @@ -1106,12 +1107,12 @@ &= 0.00023 = \underline{\underline{0.023\%}} \end{align*} - \subsection{Schätzungen und Tests} + \section{Schätzungen und Tests} Test z.\,B. Liefert die Maschine im Mittel die geforderten $10cm$ Länge?\\ \(\to\) mit einer Stichprobe. - \subsubsection{Stichproben} + \subsection{Stichproben} Stichprobenumfang $n$, Stichprobenwerte \(x_1,x_2,…,x_n\).\\ $\to$ arithmetisches Mittel (Durchschnitt) @@ -1146,7 +1147,7 @@ \end{align*} \textcolor{Green}{Maß für die Streuung: $0.0876cm$\\($\to\ 10.02\pm 0.08762cm$)} - \subsubsection{Zentraler Grenzwertsatz}\label{sec:zentraler_grenzwertsatz} + \subsection{Zentraler Grenzwertsatz}\label{sec:zentraler_grenzwertsatz} Wenn die Zufallsvariablen $X_i\ , i=1,2,3,…$ unabhängig ($X_1,X_2$ sind unabhängig, wenn $P(X_1=a \land X_2=b) = P(X_1=a)*P(X_2=b)$) und identisch Verteilt (alle $X_i$ besitzen die gleiche Verteilungsfunktion) sind mit Erwartungswert \(\mu=E(X_i)\) und Varianz \(\sigma^2 = Var(X_i) \), dann gilt für die Zufallsvariable \(\overline{X}=\frac1n*\left(X_1+X_2+…+X_n\right)\):\\ \( \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma} * \sqrt{n} \) ist für große $n$ näherungsweise $N(0,1)$ verteilt.\\ @@ -1154,7 +1155,7 @@ \includegraphics{bilder/1-6_dichtefunktion_3.eps} - \subsubsection{Tests (Erwartungswerttests)} + \subsection{Tests (Erwartungswerttests)} \underline{Nullhypothese} $\to$ soll getestet werden beim Erwartungswerttest:\\ \(H_0: \mu = \mu_0 \) z.\,B. Sollwert der Bauteillängen\\ @@ -1274,7 +1275,7 @@ $T\ge c$ & Mindestens \end{tabular} - \subsubsection{Fehler 1. Art, Fehler 2. Art} + \subsection{Fehler 1. Art, Fehler 2. Art} Vorgeben muss man $\alpha = $ Fehler 1. Art $ = P( H_0 \text{ ablehnen } \mid H_0 \text{ stimmt} )$\\ es ergibt sich $\beta = $ Fehler 2. Art $ = P( H_0 \text{ annehmen } \mid H_0 \text{ stimmt nicht})$ @@ -1296,6 +1297,138 @@ $\beta = P(H_0 \text{ annehmen} \mid \mu = 9.8 ) = P(T \ge -2.05 \mid \mu = 9.8)$\\ $= P(\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma} * \sqrt{n} \ge -2.05 \mid \mu = 9.8) $ + \begin{align*} + &= P( \frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma} * \sqrt{n} \ge -2.05 \mid \mu = 9.8 )\\ + &= P( \frac{\overline{x}-\mu_1}{\sigma} * \sqrt{n} + \frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma} * \sqrt{n} \ge -2.05 \mid \mu = 9.8 )\\ + &= P( \frac{\overline{x}-\mu_1}{\sigma} * \sqrt{n} \ge -2.05 - \frac{\overbrace{\mu_1}^{9.8} - \overbrace{\mu_0}^{10} }{\sigma} * \sqrt{n} \mid u = 9.8 )\\ + &= P( \frac{\overline{x}-\mu_1}{\sigma} * \sqrt{n} \ge 6.99 \mid \mu = 9.8 ) = 1-P(\frac{\overline{x}-\mu_1}{\sigma} * \sqrt{n} \ge 6.99) = 1 - \overbrace{\phi(6.99)}^{\approx 1} \approx 0 + \end{align*} + ideal, das Praktisch kein Fehler 2. Art + + Berechnung von $\beta$ für $\mu = 9.99 \to$ nah an $\mu_0 = 10$ + \[ = -2.05 - \frac{9.99-10}{0.7} * \sqrt{1000} = -1.6 \] + \[ \to \beta = 1-\underbrace{\phi(-1.6)}_{1-\phi(1.6)} = 1 - ( 1- \phi(1.6)) = \phi(1.6) = 0.9452 = 94.52\% \] + $\to$ extrem hoch, blöd + + Mit 94.52\% Wahrscheinlichkeit wird die Hypothese angenommen, obwohl sie nicht stimmt. + + \subsection{Tests bei Binomialverteilung} + \label{Tests bei Binomialverteilung} + + $X_i = \begin{cases} 0, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } 1-p \\ 1, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } p \end{cases}$ $\to$ ist $B(\underbrace{n}_{=1},p)$-verteilt + + $\mu = E(X_i) = 0 * (1-p) + 1 * p = p$\\ + $\sigma^2 = Var(X_i) = 0^2 * (1-p) + 1^2 * p - p^2 = p-p^2 = p*(1-p)$\\ + $\sigma = \sqrt{p*(1-p)}$\\ + mit einem Test $H_0: \mu = \mu_0 \to p = p_0$ können Wahrscheinlichkeiten getestet werden; z.\.B. für Fehlerraten $H_0: p\le p_0$ ($P_0$ = max. Fehlerrate). + + \bsp Es soll getestet werden, ob ein Würfel gezinkt ist, anhand der Anzahl an Zweiern.\\ + $H_0: p = \frac16$, Stichprobe: 3600 maliges Würfeln $\to$ liefert 580 Zweier.\\ + Kann man mit Irrtumswahrscheinlichkeit von 3\% sagen, dass der Würfel gezinkt ist? + + Testgröße $T = \frac{\overline{x}-p_0}{\sqrt{p_0*(1-p_0)}} * \sqrt{n} = \frac{-2 * \sqrt{5}}{5} \approx -0.8944$ + + Bestimmung von $c: \phi(c) = 1-\frac\alpha2 = 1-\frac{0.03}{2} = 0.985 \Rightarrow 2.17$\\ + \textcolor{Orange}{für Zweiseitigen Test: $H_0: \mu = \mu_0$}\\ + Testentscheidung:\\ + Annehmen, wenn $-c \le T \le c \Rightarrow -2.17 \le -0.8944 \le 2.17$\\ + $\Rightarrow$ Wird angenommen $\Rightarrow$ Nicht gezinkt. + + \bsp Datenübertragung\\ + Gefordert: maximale Fehlerrate von 1\% aller übertragenen Bits. Nachricht mit 10000 Bits wird übertragen.\\ + \(\to\) es treten 105 Fehler auf. + + Kann man bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 2\% davon ausgehen, dass die Fehlerrate max. 1\% beträgt? + + $p_0 = 0.01; \overline{x} = \frac{105}{10000} = 0.0105; n = 10000 $ + + + Testgröße $T = \frac{\overline{x}-p_0}{\sqrt{p_0*(1-p_0)}} * \sqrt{n} = \frac{0.0105 - 0.01}{\sqrt{0.01*(1-0.01)}} * \sqrt{10000} = \frac{5*\sqrt{11}}{33} \approx 0.5025 $ + + Bestimmung von $c: \phi(c) = 1-\alpha = 1 - 0.02 = 0.98 \Rightarrow 2.05$ + + Testentscheidung: Annehmen, wenn $T\le c \Rightarrow 0.5025 \le 2.05$\\ + $\Rightarrow$ Es ist davon auszugehen, dass die Fehlerrate max. 1\% beträgt. + + \subsection{Konfidenzintervall} + + Konfidenzintervall (Vertrauensintervall) für den Erwartungswert $\mu$ + + $\to$ Intervall, das um den Stichproben-Schätzwert $\overline{x}$ herumliegt, in dem $\mu$ mit Wahrscheinlichkeit \cunder{Yellow}{$1-\alpha$} liegt.\\ + \textcolor{Orange}{$\to$ $1-\alpha$ Konfidenzintervall} + + Analog zu den Tests (zweiseitig): $P(-c \le T \le c) = 1-\alpha$\\ + $\to \underbrace{P\Big(-\phi^{-1}(1-\frac\alpha2) \le \underbrace{T}_{ \frac{\overline{x}-\mu}{\sigma} * \sqrt{n} } \le \phi^{-1}(1-\frac\alpha2) \Big) }_{\color{Orange}\text{Umformen, so dass } \mu \text{ in der Mitte steht}}$\\ + $\to P\Big( \overline{x}-\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) * \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \overline{x}+\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) * \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Big)$\\ + $\to$ Formel für das $(1-\alpha)$ Konfidenzintervall:\\ + $ \Big[ \overline{x}-\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) * \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x}+\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) * \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \Big] $ \textcolor{Orange}{$\leftarrow$ da drin liegt $\mu$ mit Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$} + + \includegraphics{bilder/1-6_konfidenz.eps} + + \bsp Länge von Bauteilen aus der Produktion.\\ + Stichprobe von 100 Bauteilen mit $\overline{x} = 8.8, s=0.2$\\ + gesucht: 95\% Konfidenzintervall für $\mu$ + + $ \Big[ \overline{x}-\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) * \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x}+\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) * \frac{\sigma} {\sqrt{n}} \Big] $\\ + $= \Big[ 8.8 - 1.96 * \frac{0.2}{\sqrt{100}} , 8.8 + 1.96 * \frac{0.2}{\sqrt{100}} \Big] $\\ + $= \Big[ \frac{10951}{1250} , \frac{11049}{1250} \Big] = \Big[ 8.7608, 8.8392 \Big]$ + + \textcolor{Orange}{In diesem Intervall liegt mit 95\% Wahrscheinlichkeit die $\varnothing$-Länge der Bauteile, die die Maschine Produziert.\\ + Wird $1-\alpha$ größer gewählt, so wird das Intervall größer.\\ + Für größeres $n$ wird das Intervall kleiner. + } + + \subsection{Näherungen durch die Normalverteilung} + + $\to$ Wie groß muss $n$ sein, damit die Näherung erlaubt ist?\\ + Bei der Binomialverteilung (zum Schätzen von Wahrscheinlichkeit) ist die Näherung erlaubt, wenn $n*p*(1-P) \ge 9$ ist. + + Im \bsp aus \ref{Tests bei Binomialverteilung}: maximale Fehlerrate 1\%, $p=0.01 ; n = 10000$\\ + $ n * p * (1-p) = 10000 * 0.01 * (1-0.01) = 99 \ge 9 \to$ Näherung passt gut.\\ + $n$ sollte $ \ge \frac{9}{p*(1-p)} = \frac{9}{0.01*0.99} = 910$ sein. + + \section{Kovarianz und Korrelation} + + Zur Messung von Zusammenhängen, hier: lineare Zusammenhänge, zwischen 2 Zufallsvariablen $X,Y$. + + \begin{mydef} + \underline{Kovarianz} von $X$ und $Y$: $Cov(X,Y) = E\big( (X-\mu_X) * (Y-\mu_Y) \big) = E(X*Y) - \mu_X * \mu_Y$\\ + \textcolor{Orange}{$( \to Var(X) = E((X-\mu_X)^2 = Cov(X,X) = E(X^2) - \mu_X^2 )$} + \end{mydef} + + \begin{mydef} + \underline{Korrelationskoeffizient}:\\ + $ \rho (X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X*\sigma_Y} $\\ + \textcolor{Orange}{$\to -1 \le \rho(X,Y) \le 1$ } + \end{mydef} + + \includegraphics{bilder/1-7_korrelation.eps} + + \begin{tabular}{lcl} + $\rho(X,Y)$ & $=0$ & $\to$ kein Zusammenhang zwischen X und Y (unkorreliert)\\ + & $>0$ & $\to$ wachsender Zusammenhang (positiv korreliert)\\ + & $=1$ & $\to$ exakt auf einer Gerade mit positiver Steigung + \end{tabular} + + \bsp Zweimaliger Münzwurf\\ + $X: $ Anzahl an Wappen im 1. Wurf\\ + $Y: $ Gesamtzahl an Wappen + + \begin{align*} + P(X=0,Y=0) &\overset{ZZ}{=} \frac14\\ + P(X=0,Y=1) &\overset{ZW}{=} \frac14\\ + P(X=1,Y=1) &\overset{WZ}{=} \frac14\\ + P(X=1,Y=2) &\overset{WW}{=} \frac14\\ + \\ + Cov(X,Y) &= E(X+Y) - \mu_X*\mu_Y\\ + &= 0 * 0 * \frac14 + 0 * 1 * \frac14 + 1 * 1 * \frac14 + 1 * 2 * \frac14 - 0.5 * 1\\ + &= \frac 14 = 0.25 > 0 + \end{align*} + + \newpage + \section*{Standardnormalverteilung} + \addcontentsline{toc}{section}{Standardnormalverteilung} + \input{snv.tex} \end{document} diff --git a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_konfidenz.xml b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_konfidenz.xml new file mode 100644 index 0000000..347a64f --- /dev/null +++ b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_konfidenz.xml @@ -0,0 +1,258 @@ + + + + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e +0.4 0 0 0.4 0 0 e + + + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e + + + + + +0.5 0 0 0.5 0 0 e + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e +0.4 0 0 0.4 0 0 e + + + + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h +-0.4 -0.4 m +0.4 -0.4 l +0.4 0.4 l +-0.4 0.4 l +h + + + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h + + + + + +-0.5 -0.5 m +0.5 -0.5 l +0.5 0.5 l +-0.5 0.5 l +h + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h +-0.4 -0.4 m +0.4 -0.4 l +0.4 0.4 l +-0.4 0.4 l +h + + + + + + +-0.43 -0.57 m +0.57 0.43 l +0.43 0.57 l +-0.57 -0.43 l +h + + +-0.43 0.57 m +0.57 -0.43 l +0.43 -0.57 l +-0.57 0.43 l +h + + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-0.8 0 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-0.8 0 l +-1 -0.333 l +h + + + + +-1 0.333 m +0 0 l +-1 -0.333 l + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h +-1 0 m +-2 0.333 l +-2 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h +-1 0 m +-2 0.333 l +-2 -0.333 l +h + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +64 768 m +256 768 l + + +144 772 m +144 764 l + + +104 752 m +96 752 l +96 784 l +104 784 l + + +184 784 m +192 784 l +192 752 l +184 752 l + +$\overline{x}$ +Konfidenzintervall mit $\overline{x}$ in der Mitte + + diff --git a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-7_korrelation.xml b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-7_korrelation.xml new file mode 100644 index 0000000..12fef93 --- /dev/null +++ b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-7_korrelation.xml @@ -0,0 +1,271 @@ + + + + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e +0.4 0 0 0.4 0 0 e + + + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e + + + + + +0.5 0 0 0.5 0 0 e + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e +0.4 0 0 0.4 0 0 e + + + + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h +-0.4 -0.4 m +0.4 -0.4 l +0.4 0.4 l +-0.4 0.4 l +h + + + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h + + + + + +-0.5 -0.5 m +0.5 -0.5 l +0.5 0.5 l +-0.5 0.5 l +h + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h +-0.4 -0.4 m +0.4 -0.4 l +0.4 0.4 l +-0.4 0.4 l +h + + + + + + +-0.43 -0.57 m +0.57 0.43 l +0.43 0.57 l +-0.57 -0.43 l +h + + +-0.43 0.57 m +0.57 -0.43 l +0.43 -0.57 l +-0.57 0.43 l +h + + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-0.8 0 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-0.8 0 l +-1 -0.333 l +h + + + + +-1 0.333 m +0 0 l +-1 -0.333 l + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h +-1 0 m +-2 0.333 l +-2 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h +-1 0 m +-2 0.333 l +-2 -0.333 l +h + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +128 704 m +256 704 l + + +160 672 m +160 800 l + +$\mu_Y$ +$\mu_X$ + +144 752 m +256 752 l + + +208 688 m +208 800 l + + + + + + + + + + + + + +$+ * + = +$ +$- * - = +$ +$- * + = -$ +$+ * - = -$ +$(X-\mu_X) * (Y-\mu_Y)$ + + diff --git a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/snv.tex b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/snv.tex new file mode 100644 index 0000000..6e864e4 --- /dev/null +++ b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/snv.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +$\phi_{0;1}(z)$ + +\footnotesize +% \rowcolors{1}{white}{lightgrey} +\newcolumntype{g}{>{\columncolor{lightgreen}}c} +\begin{tabular}{|c|g|c|g|c|g|c|g|c|g|c|} + \hline + $z \backslash *$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 0,0* & 0,50000 & 0,50399 & 0,50798 & 0,51197 & 0,51595 & 0,51994 & 0,52392 & 0,52790 & 0,53188 & 0,53586\\\hline + 0,1* & 0,53983 & 0,54380 & 0,54776 & 0,55172 & 0,55567 & 0,55962 & 0,56356 & 0,56749 & 0,57142 & 0,57535\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 0,2* & 0,57926 & 0,58317 & 0,58706 & 0,59095 & 0,59483 & 0,59871 & 0,60257 & 0,60642 & 0,61026 & 0,61409\\\hline + 0,3* & 0,61791 & 0,62172 & 0,62552 & 0,62930 & 0,63307 & 0,63683 & 0,64058 & 0,64431 & 0,64803 & 0,65173\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 0,4* & 0,65542 & 0,65910 & 0,66276 & 0,66640 & 0,67003 & 0,67364 & 0,67724 & 0,68082 & 0,68439 & 0,68793\\\hline + 0,5* & 0,69146 & 0,69497 & 0,69847 & 0,70194 & 0,70540 & 0,70884 & 0,71226 & 0,71566 & 0,71904 & 0,72240\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 0,6* & 0,72575 & 0,72907 & 0,73237 & 0,73565 & 0,73891 & 0,74215 & 0,74537 & 0,74857 & 0,75175 & 0,75490\\\hline + 0,7* & 0,75804 & 0,76115 & 0,76424 & 0,76730 & 0,77035 & 0,77337 & 0,77637 & 0,77935 & 0,78230 & 0,78524\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 0,8* & 0,78814 & 0,79103 & 0,79389 & 0,79673 & 0,79955 & 0,80234 & 0,80511 & 0,80785 & 0,81057 & 0,81327\\\hline + 0,9* & 0,81594 & 0,81859 & 0,82121 & 0,82381 & 0,82639 & 0,82894 & 0,83147 & 0,83398 & 0,83646 & 0,83891\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 1,0* & 0,84134 & 0,84375 & 0,84614 & 0,84849 & 0,85083 & 0,85314 & 0,85543 & 0,85769 & 0,85993 & 0,86214\\\hline + 1,1* & 0,86433 & 0,86650 & 0,86864 & 0,87076 & 0,87286 & 0,87493 & 0,87698 & 0,87900 & 0,88100 & 0,88298\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 1,2* & 0,88493 & 0,88686 & 0,88877 & 0,89065 & 0,89251 & 0,89435 & 0,89617 & 0,89796 & 0,89973 & 0,90147\\\hline + 1,3* & 0,90320 & 0,90490 & 0,90658 & 0,90824 & 0,90988 & 0,91149 & 0,91309 & 0,91466 & 0,91621 & 0,91774\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 1,4* & 0,91924 & 0,92073 & 0,92220 & 0,92364 & 0,92507 & 0,92647 & 0,92785 & 0,92922 & 0,93056 & 0,93189\\\hline + 1,5* & 0,93319 & 0,93448 & 0,93574 & 0,93699 & 0,93822 & 0,93943 & 0,94062 & 0,94179 & 0,94295 & 0,94408\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 1,6* & 0,94520 & 0,94630 & 0,94738 & 0,94845 & 0,94950 & 0,95053 & 0,95154 & 0,95254 & 0,95352 & 0,95449\\\hline + 1,7* & 0,95543 & 0,95637 & 0,95728 & 0,95818 & 0,95907 & 0,95994 & 0,96080 & 0,96164 & 0,96246 & 0,96327\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 1,8* & 0,96407 & 0,96485 & 0,96562 & 0,96638 & 0,96712 & 0,96784 & 0,96856 & 0,96926 & 0,96995 & 0,97062\\\hline + 1,9* & 0,97128 & 0,97193 & 0,97257 & 0,97320 & 0,97381 & 0,97441 & 0,97500 & 0,97558 & 0,97615 & 0,97670\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 2,0* & 0,97725 & 0,97778 & 0,97831 & 0,97882 & 0,97932 & 0,97982 & 0,98030 & 0,98077 & 0,98124 & 0,98169\\\hline + 2,1* & 0,98214 & 0,98257 & 0,98300 & 0,98341 & 0,98382 & 0,98422 & 0,98461 & 0,98500 & 0,98537 & 0,98574\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 2,2* & 0,98610 & 0,98645 & 0,98679 & 0,98713 & 0,98745 & 0,98778 & 0,98809 & 0,98840 & 0,98870 & 0,98899\\\hline + 2,3* & 0,98928 & 0,98956 & 0,98983 & 0,99010 & 0,99036 & 0,99061 & 0,99086 & 0,99111 & 0,99134 & 0,99158\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 2,4* & 0,99180 & 0,99202 & 0,99224 & 0,99245 & 0,99266 & 0,99286 & 0,99305 & 0,99324 & 0,99343 & 0,99361\\\hline + 2,5* & 0,99379 & 0,99396 & 0,99413 & 0,99430 & 0,99446 & 0,99461 & 0,99477 & 0,99492 & 0,99506 & 0,99520\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 2,6* & 0,99534 & 0,99547 & 0,99560 & 0,99573 & 0,99585 & 0,99598 & 0,99609 & 0,99621 & 0,99632 & 0,99643\\\hline + 2,7* & 0,99653 & 0,99664 & 0,99674 & 0,99683 & 0,99693 & 0,99702 & 0,99711 & 0,99720 & 0,99728 & 0,99736\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 2,8* & 0,99744 & 0,99752 & 0,99760 & 0,99767 & 0,99774 & 0,99781 & 0,99788 & 0,99795 & 0,99801 & 0,99807\\\hline + 2,9* & 0,99813 & 0,99819 & 0,99825 & 0,99831 & 0,99836 & 0,99841 & 0,99846 & 0,99851 & 0,99856 & 0,99861\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 3,0* & 0,99865 & 0,99869 & 0,99874 & 0,99878 & 0,99882 & 0,99886 & 0,99889 & 0,99893 & 0,99896 & 0,99900\\\hline + 3,1* & 0,99903 & 0,99906 & 0,99910 & 0,99913 & 0,99916 & 0,99918 & 0,99921 & 0,99924 & 0,99926 & 0,99929\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 3,2* & 0,99931 & 0,99934 & 0,99936 & 0,99938 & 0,99940 & 0,99942 & 0,99944 & 0,99946 & 0,99948 & 0,99950\\\hline + 3,3* & 0,99952 & 0,99953 & 0,99955 & 0,99957 & 0,99958 & 0,99960 & 0,99961 & 0,99962 & 0,99964 & 0,99965\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 3,4* & 0,99966 & 0,99968 & 0,99969 & 0,99970 & 0,99971 & 0,99972 & 0,99973 & 0,99974 & 0,99975 & 0,99976\\\hline + 3,5* & 0,99977 & 0,99978 & 0,99978 & 0,99979 & 0,99980 & 0,99981 & 0,99981 & 0,99982 & 0,99983 & 0,99983\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 3,6* & 0,99984 & 0,99985 & 0,99985 & 0,99986 & 0,99986 & 0,99987 & 0,99987 & 0,99988 & 0,99988 & 0,99989\\\hline + 3,7* & 0,99989 & 0,99990 & 0,99990 & 0,99990 & 0,99991 & 0,99991 & 0,99992 & 0,99992 & 0,99992 & 0,99992\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 3,8* & 0,99993 & 0,99993 & 0,99993 & 0,99994 & 0,99994 & 0,99994 & 0,99994 & 0,99995 & 0,99995 & 0,99995\\\hline + 3,9* & 0,99995 & 0,99995 & 0,99996 & 0,99996 & 0,99996 & 0,99996 & 0,99996 & 0,99996 & 0,99997 & 0,99997\\\hline + \rowcolor{lightgrey} 4,0* & 0,99997 & 0,99997 & 0,99997 & 0,99997 & 0,99997 & 0,99997 & 0,99998 & 0,99998 & 0,99998 & 0,99998\\\hline +\end{tabular} +\normalsize