From ae6433feb3b54627137a1cff28f7a10a04deeb51 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Thomas Ba Date: Thu, 26 Jan 2012 08:09:23 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Ein=20paar=20=C3=9Cberschriften=20Hinzugef?= =?UTF-8?q?=C3=BCgt=20=E2=86=92=20=C3=9Cbersichtlicher?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../Berechenbarkeits-KomplexTh.tex | 39 +++++++++++-------- 1 file changed, 22 insertions(+), 17 deletions(-) diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex index 9d7c9c9..6ee5e08 100644 --- a/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex +++ b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex @@ -451,7 +451,9 @@ Es gilt aber \( x\in D \leftrightarrow x \not\in L(M_x) \)\\ Widerspruch! - \underline{Diagonalsprache} \( D = \{ x \mid x \not\in L(M_X) \} \) ist nicht \underline{akzeptierbar}. + \subsection{Diagonalsprache} + + \( D = \{ x \mid x \not\in L(M_X) \} \) ist nicht \underline{akzeptierbar}. %%TODO: Grafik @@ -499,7 +501,8 @@ Es gilt.: $M'$ hält auf alle Eingaben und \( L(M') = D \). Widerspruch \( \Box\) \end{enumerate} - Das \underline{spezielle Halteproblem}\\ + \subsection{Das spezielle Halteproblem} + \spa \( H_0 = \{ x \mid M_x(x) \text{ hält } \} \)\\ $H_0$ ist akzeptierbar und entscheidbar. @@ -564,7 +567,7 @@ ist unentscheidbar für jede Eigenschaft $E$. - \underline{Satz von Rice} + \subsubsection{Satz von Rice} \bsp \( F = \{ x \mid L(M_x) \text{ ist endlich} \} \) @@ -584,7 +587,7 @@ \( \forall n \exists m : (n=2m \text{ oder } n=2m-1) \) wahr\\ \( \forall n \exists m: n=2m \) falsch - Post’sches Korrespondenz Problem (PCP) + \subsubsection{Post’sches Korrespondenz Problem (PCP)} gegeben sind Dominos der Form \( \left[ \frac x y \right] \)\\ wobei \(x,y \in \Sigma^* \), endlich viele Typen, von jedem Type beliebig viele. @@ -609,7 +612,7 @@ PCP ist unentscheidbar - Eulerkreise: + \section{Eulerkreise} Rundweg in $G$, der über \underline{jede} Kante \underline{genau einmal} führt.\\ Kreis \( = (1,5,2,3,1,2,4,6,3,4) \) @@ -626,7 +629,7 @@ Der Algorithmus funktioniert, weil in jeder Iteration in dem Restgraph mit dem noch unbesuchten Kanten jeder Knoten geraden Grad hat. (Invariante) - \underline{Hamilton Kreise} + \section{Hamilton Kreise} = Kreise, in denen jeder Knoten genau einmal besucht wird. @@ -684,7 +687,7 @@ HAM nichtdeterministisch effizient lösbar. - \underline{Erfüllbarkeit logischer Formeln}, SAT + \section{Erfüllbarkeit logischer Formeln, SAT} \( F(x_1, …, x_n) = (\overline{x_1 \land x_2} \lor x_3) \to (x_4 \land \overline{x_5}) \)\\ Frage: gibt es eine Belegung \( a \in \{0,1\}^n\) so dass \( F(a) = 1 \). @@ -719,7 +722,7 @@ Es genügt, eine Klausel zu erfüllen \(\Rightarrow\) DNF-SAT\\ \( \Rightarrow \) DNF-SAT ist effizient lösbar. - \underline{Einteilung in Klassen} + \section{Einteilung in Klassen} Sei \( t: \mathbb N \to \mathbb N\)\\ \( DTIME(t) = \{ L \le \Sigma^* \mid \) es gibt eine Turingmaschine M mit \( L(M) = L \) und M macht \(O(t(m))\) Schnitte auf Eingaben der Länge \( n\} \)\\ @@ -827,6 +830,8 @@ d.\,h. \( x\in A \Rightarrow f(x) \in B\)\\ und \( x\not\in A \Rightarrow f(x) \not\in B\) + \section{Traveling Salesman (TSP)} + \bsp Traveling Salesman (TSP)\\ Finde kürzeste Rundreise die jede Stadt genau einmal besucht. @@ -1043,7 +1048,7 @@ NP-Vollständig sind: \(SAT, 3-SAT, NAE-SAT \) - \underline{k-Färbbarkeit} + \section{k-Färbbarkeit} gegeben: \( G = (V,E) \) ungerichtet\\ gefragt: \( \exists f: V \to \{ 1, …, k\} \) mit \( f(n) \ne f(v) \quad \forall (u,v) \in E\) @@ -1126,7 +1131,7 @@ \item Ham. Kreise in $G'$ müssen die Richtun gvon $G$ einhalten (oder komplett in Gegenrichtung). Andernfalls bleibt man stecken, z.\,B. bei $v^1$. \end{enumerate} - \underline{Unabhängige Knotenmenge (Independent Set (IS))} + \section{Unabhängige Knotenmenge (Independent Set (IS))} gegeben: \( G = (V,E), k \)\\ gefragt: \( \exists I \subseteq V, \left|I\right| \ge k \)\\ @@ -1160,7 +1165,7 @@ Wähle aus Klausel-\(\triangle\) für \(C_i\) das Literal das in $I$ ist und gebe Wert 1.\\ Noch nicht belegte Variablen können jetzt beliebig belegt werden. Diese Belegung erfüllt $F$, da keine komplementären Literale auftauchen. - \underline{Clique} + \section{Clique} gegeben: \( G = (V,E), k\)\\ gefragt: \( \exists C \subseteq V, \left|C\right| \ge k \)\\ @@ -1175,7 +1180,7 @@ D.\,h. \( \overline{E} = \{ (a,v) \mid (u,v) \not\in E \} \)\\ Dann gilt: \( (G,k) \in IS \Leftrightarrow (\overline{G},k) \in \) Clique - \underline{Knotenüberdeckung (Vortex Cover (VC))} + \section{Knotenüberdeckung (Vortex Cover (VC))} gegeben: \( G = (V,E), k\)\\ gefragt: \( \exists C\subseteq V, \left|C\right| \le k\), so dass \underline{jede} Kante in G mindestens einen Endpunkt in C hat. @@ -1187,7 +1192,7 @@ D.\,h. \( G' = G \) und \( C = V-I = \overline{I} \)\\ Dann gilt: \( (G,k) \in IS \Leftrightarrow (G,n-k) \in VC \) - \underline{Dominating Set (DS)} + \section{Dominating Set (DS)} Gegeben: \( G= (V,E), k\)\\ Gefragt: \( \exists D \subseteq V, \left|D\right|\le k\)\\ @@ -1212,7 +1217,7 @@ wäre für Knate $(u,v)$ weder $u\in D'$ noch $v\in D'$, dann hätte $K_{u,v}$ keinen Nachbarn in $D'$.\\ Dann wäre $D'$ kein D.S. \Lightning - \underline{Subset Sum} + \section{Subset Sum} Gegeben: \(a_1,a_2,…,a_n,b\).\\ Gefragt: \( \exists I \le \{ 1,2,…,n\} \quad \sum\limits_{i\in I} a_i - b \) @@ -1269,7 +1274,7 @@ Da im vorderen Teil mit den Füll-Zahlen maximal 2 erreicht werden kann, muss die Summe der ausgewählten $y-$ und $z-$Zahlen $\ge 1$ je Klauselspalte sein.\\ \(\Rightarrow\) nach Konstruktion enthält also jede Klausel $\ge 1$ erfülltes Problem. - \underline{Knapsack (Rucksack)} + \section{Knapsack (Rucksack)} Gegeben: \( s_1,…,s_n, \ , w_1,…,w_n, \ , s, w \)\\ Gefragt: \( \exists I \subseteq \{ 1,…,n\} \)\\ @@ -1282,7 +1287,7 @@ \( w_i = a_i \ , W=b\)\\ Dann ist \( \sum\limits_{i\in I} a_i = b \Leftrightarrow \sum\limits_{i\in I} a_i \le b \) und \( \sum\limits_{i\in I} a_i \ge b\) - \underline{Partition} + \section{Partition} Gegeben: \( a_1,…a_n\)\\ Gefragt: \( \exists I \subseteq \{ 1,…,n\} \)\\ @@ -1315,7 +1320,7 @@ \(\Rightarrow \sum\limits_{i\in I} a_i + \underbrace{A - \sum\limits_{i\not\in I} a_i}_{ =\sum\limits_{i\in I} a_i } = 2b \)\\ \(\Rightarrow \sum\limits_{i\in I} a_i = b\) - \underline{Bin Packing} + \subsection{Bin Packing} Gegeben: \( a_1,…,a_n,B,k\)\\ Gefragt: Kann man \(a_1,…,a_n\) auf k Bins der Größe B verteilen?