\item Ham. Kreise in $G'$ müssen die Richtun gvon $G$ einhalten (oder komplett in Gegenrichtung). Andernfalls bleibt man stecken, z.\,B. bei $v^1$.
\end{enumerate}
\underline{Unabhängige Knotenmenge (Independent Set (IS))}
gegeben: \( G =(V,E), k \)\\
gefragt: \(\exists I \subseteq V, \left|I\right| \ge k \)\\
innerhalb von $I$ gibt es keine Kanten.:w
\( IS \in NP \): rate $I\subseteq V, \left|I\right|=k $\\
prüfe, ob $I$ unabhängig
Deterministisch: durchlaufe alle $I\subseteq V$ mit $\left|I\right|=k$\\
Es gibt $\binom{n}{k}$ solche Teilmengen.\\
\(n^{\frac n2}\le\binom{n}{k}\le n^k\)
\(3-SAT \le^P IS \)\\
Sei \( F(x_1,…,x_n)= c_1\land c_2\land … \land c_n\) in \(3-KNF\)\\
Konstruiere Graph $G$ und $k$, so dass gilt \(F\in3-SAT \Leftrightarrow(G,k)\in IS\)
\bsp\( F =(x_1\lor x_2\lor x_3)\land(\overline{x_1}\lor\overline{x_2}\lor x_3)\land(\overline{x_1}\lor x_2\lor\overline{x_3})\)\\
Verbinde zwischen allen \(C_i\) und \(C_j\)\( i\ne j\) komplimentäre Literale
Beobachtung: eine unabhängige Menge $I$ in $G$ kann aus jedem Klauseldreieck höchstens 1 Knoten haben \(\Rightarrow\left|I\right| \le m \)\\
\beh\( F \in3-SAT \Leftrightarrow(G,m)\in IS \).\\
\('\Rightarrow'\) Sei \( a=(a_1,…,a_n)\) erfüllende Belegung von $F$.\\
Definiere $I$: wähle aus jedem Klausel-\(\triangle\) einen Knoten, dessen Literal Wert 1 hat.\\
Im \bsp\( a=(1,0,0)\)\\
\(\rightarrow I =\{x_1\text{ aus } C_1, \overline{x_2}\text{ aus }C_2, \overline{x_3}\text{ aus } C_3\}\)\\
Dann ist $I$ unabhängig, da nie $x_i$ und $\overline{x_i}$ ausgewählt wurden (sonst wäre $a$ nicht erfüllbar) und nur diese durch Kanten verbunden sind.
\('\Leftarrow'\) Sei $I$ unabhängig, \(\left|I\right|=m\).\\
Dann muss $I$ nach obiger Beobachtung aus \underline{jedem} Klausel-\(\triangle\) genau einen Knoten haben.\\
Konstruiere Belegung $a$ für F:\\
Wähle aus Klausel-\(\triangle\) für \(C_i\) das Literal das in $I$ ist und gebe Wert 1.\\
Noch nicht belegte Variablen können jetzt beliebig belegt werden. Diese Belegung erfüllt $F$, da keine komplementären Literale auftauchen.
\underline{Clique}
gegeben: \( G =(V,E), k\)\\
gefragt: \(\exists C \subseteq V, \left|C\right| \ge k \)\\
so dass je 2 Knoten in $C$ durch eine Kante verbunden sind.
Clique \(\in NP\): rate \( C \subseteq V, \left|C\right|=k\) prüfe, ob $C$ Clique ist.\\
\( IS =^P \) Clique\\
Sei \(G,k\) Eingabe für $IS$.\\
Konstruiere $G',k'$, so dass \((G,k)\in IS \Leftrightarrow(G',k')\in\) Clique.
Der \underline{Komplementgraph von G} ist \(\overline{G}=(V,\overline{E})\)\\
D.\,h. \(\overline{E}=\{(a,v)\mid(u,v)\not\in E \}\)\\
Dann gilt: \((G,k)\in IS \Leftrightarrow(\overline{G},k)\in\) Clique
\underline{Knotenüberdeckung (Vortex Cover (VC))}
gegeben: \( G =(V,E), k\)\\
gefragt: \(\exists C\subseteq V, \left|C\right| \le k\), so dass \underline{jede} Kante in G mindestens einen Endpunkt in C hat.
\( VC \in NP\): rate \( C \subseteq V, \left|C\right|=k\) prüfe, ob $C$ cover ist.\\
\( IS \le^P VC\)\\
Sei $G,k$ Eingabe für $IS$.\\
Ziel: konstruiere \(G',k'\), so dass gilt: \((G,k)\in IS \Leftrightarrow(G',k')\in VC \)\\
D.\,h. \( G' = G \) und \( C = V-I =\overline{I}\)\\
Dann gilt: \((G,k)\in IS \Leftrightarrow(G,n-k)\in VC \)
\underline{Dominating Set (DS)}
Gegeben: \( G=(V,E), k\)\\
Gefragt: \(\exists D \subseteq V, \left|D\right|\le k\)\\
so dass für jeden Knoten $v\in V$ gilt: $v$ oder ein Nachbar von $v$ ist in $D$.
