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Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex

@@ -844,7 +844,7 @@
 				\( = 1-\left( \binom{5000}{2}*0.01^2*0.99^{4998}+\binom{5000}{1}*0.01*0.99^{4999}+\binom{5000}{0}*0.01^0*0.99^{5000} \right)\) }
 	\end{enumerate}
 
-	\subsection{Geometrische Verteilung}
+	\subsubsection{Geometrische Verteilung}
 
 	\bsp Wir schießen so lange, bis wir den anderen Treffen.\\
 	Wahrscheinlichkeit, bei einem Schuss zu treffen, ist 30\%.\\
@@ -929,4 +929,97 @@
 
 	für $p=0.5$ ist die Verteilung Symmetrisch
 
+	\underline{stetige Verteilung}
+
+	\begin{itemize}
+		\item
+			stetige Gleichverteilung auf einem Intervall \([a,b]\)\\
+			\\% TODO
+			\begin{align*}
+				f(x) &= \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a\le x\le b\\ 0, &\text{sonst} \end{cases}\\
+				F(x) &= \begin{cases}
+						c_1 \textcolor{Orange}{=0}, & x\le a \\
+						\frac{1}{b-a} * x + c_2, & a \le x \le b \\
+						c_3\textcolor{Orange}{=1} , & x \ge b
+					\end{cases}
+			\end{align*}
+			$F(x)$ muss an der Stelle $a$ stetig sein:\\
+			\( 0 = \frac{1}{b-a}*a + c_2 \Rightarrow c_2 = -\frac{a}{b-a} \)
+		\item Exponentialverteilung\\
+		Dichtefunktion \( f(x) = \begin{cases} 0, & x<0 \\ c*e^{-\lambda*x}, & 0 \le x \end{cases} \)\\
+		Bestimmen von $c$, so dass die Dichtefunktion passt:
+		\begin{align*}
+			\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) dx &= \underbrace{\int\limits_{-\infty}^{0} 0 dx}_{=0} + \int\limits_{0}^{\infty} f(x) dx\\
+			&= \left[-\frac c\lambda * e^{-\lambda*x}\right]_0^\infty = 1\\
+			\underbrace{(-\frac{c}{\lambda}*e^{-\lambda*\infty})}_{=0} - ((-\frac{c}{\lambda}*e^{-\lambda*o})) &= 1\\
+			\frac{c}{\lambda} &=1 &| *\lambda\\
+			c &= \lambda\\
+			\Rightarrow f(x) &= \begin{cases} 0, & x < 0\\ \lambda*e^{-\lambda*x}, & 0\le x \end{cases}\\
+			F(x) &= \begin{cases} 0, &x<0 \\ -e^{-\lambda*x} + c_2, & 0 \le x \end{cases}\\
+			\Rightarrow F(x) &= \begin{cases} 0, &x<0 \\ -e^{-\lambda*x} + 1, & 0 \le x \end{cases}
+		\end{align*}
+	\end{itemize}
+
+	Anwendung: auf Wartezeiten-/Warteschlangenproblem\\
+	\(\to\) kurze Wartezeit mit hoher Wahrscheinlichkeit\\
+	\(\to\) größeres \(\lambda\): kürzere Wartezeiten mit höherer Wahrscheinlichkeit.
+	
+	\underline{(Gaußsche Normalverteilung)}
+
+	Anwendung: wenn es einen Sollwert gibt und durch Zufallseffekte (Toleranzen, Messungenauigkeit, natürliche Abweichungen, …) Abweichungen nach oben und unten auftreten.
+
+	\begin{mydef}
+		Die Dichtefunktion der Normalverteilung mit Parametern \(\mu\) und \(\sigma\) (\(N(\mu,\sigma)\)-Verteilung) ist
+		\begin{align*}
+			f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi} * \sigma} * e^{-\frac12 * \left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 }
+		\end{align*}
+	\end{mydef}
+	
+	\( \Rightarrow f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}*\sigma} * \underbrace{e ^{-\frac12 * 0^2}}_{=0} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}*\sigma} \)
+
+	Veränderung von \(\mu \to\) Verschiebung in $x$ Richtung\\
+	Veränderung von \(\sigma \to\) Stauchung/Dehnung in der Breite/Höhe
+
+	speziell: Standardnormalverteilung: \(N(0,1): f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} * e^{-\frac12 x^2} \)\\
+	Problem: Verteilungsfunktion \(F(x)\) lässt sich nicht angeben/berechnen \(\to\) nur Tabellenwerte für die Standartnormalverteilung
+
+	\subsubsection{Erwartungswert und Varianz stetiger Verteilung}
+
+	\underline{diskret}:\\
+	\begin{align*}
+		\mu &= \sum\limits_i x_i*p_i\\
+		\sigma^2 &= \sum\limits_i x_i^2 * p_i - \mu^2
+	\end{align*}
+	\underline{stetig}:\\
+	\begin{align*}
+		\mu &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} x*f(x) dx\\
+		\sigma^2 &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2 * f(x) dx - \mu^2
+	\end{align*}
+
+	\bsp \(f(x) = \begin{cases} 0, & x<0 \\ x, &0\le x <1 \\ a * x^2, & 1\le x\le 2 \\ 0, & x>2 \end{cases} \)\\
+	Bestimme $a$ so, dass $f(x)$ eine Dichtefunktion ist und bestimme dann \(\mu\).
+
+	\begin{align*}
+		\text{Bestimmung von }a:\\
+		1 &= \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) dx\\
+		  &= \int\limits_0^1 x dx + \int\limits_1^2 a*x^2 dx\\
+		  &= \left[ \frac12 x^2 \right]_0^1 + \left[ a * \frac13 x^3 \right]_1^2\\
+		  &= \frac12*1^2 - \frac12 *0^2+a*\frac13*8-a*\frac13*1\\
+		  &= \frac12 + \frac73a = 1\\
+		\Rightarrow \frac73a &= \frac12\\
+		\Rightarrow a &= \frac{3}{14}\\[1cm]
+		%
+		\Rightarrow f(x) &= \begin{cases}
+				0,&x<0\\
+				x,&0\le x<1\\
+				\frac{3}{14}x^2,&1\le x<2\\
+				0,&x>2
+			\end{cases}\\
+		\mu &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} x*f(x) dx\\
+			&= \int\limits_0^1 x*x dx + \int\limits_1^2 x * \frac{3}{14} x^2 dx\\
+			&= \left[ \frac13*x^3 \right]_0^1 + \left[ \frac{3}{56} x^4 \right]_1^2\\
+			&= \frac13 * 1 - \frac13 * 0 + \frac{3}{56} * 2^4 - \frac{3}{56} * 1\\
+			&= \frac13 -0 + \frac{48}{56}-\frac{3}{56} = \frac{191}{168}
+	\end{align*}
+
 \end{document}