diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex
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--- a/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex
+++ b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex
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 \definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5}
 \definecolor{greenblue}{rgb}{0,0.5,0.5}
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 \renewenvironment{leftbar}[1]{%
     \def\FrameCommand{{{\vrule width #1\relax\hspace {8pt}}}}%
@@ -52,6 +53,7 @@
 \newcommand{\satz}{\textcolor{darkblue}{\textbf{Satz: }}}
 \newcommand{\bew}[1][]{\textcolor{greenblue}{\textbf{Beweis}}#1:}
 \newcommand{\bsp}{\textcolor{lightgreen}{\textbf{Bsp.: }}}
+\newcommand{\beh}{\textcolor{lightblue}{\textbf{Beh.:}}}
 \newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor}
 \newcommand{\llfloor}{\left\lfloor}
 
@@ -1121,4 +1123,71 @@
 		\item Ham. Kreise in $G'$ müssen die Richtun gvon $G$ einhalten (oder komplett in Gegenrichtung). Andernfalls bleibt man stecken, z.\,B. bei $v^1$.
 	\end{enumerate}
 
+	\underline{Unabhängige Knotenmenge (Independent Set (IS))}
+
+	gegeben: \( G = (V,E), k \)\\
+	gefragt: \( \exists I \subseteq V, \left|I\right| \ge k \)\\
+	innerhalb von $I$ gibt es keine Kanten.:w
+
+	\( IS \in NP \): rate $I\subseteq V, \left|I\right|=k $\\
+	prüfe, ob $I$ unabhängig
+
+	Deterministisch: durchlaufe alle $I\subseteq V$ mit $\left|I\right|=k$\\
+	Es gibt $\binom{n}{k}$ solche Teilmengen.\\
+	\(n^{\frac n2} \le \binom{n}{k}\le n^k\)
+
+	\( 3-SAT \le^P IS \)\\
+	Sei \( F(x_1,…,x_n) = c_1 \land c_2 \land … \land c_n\) in \(3-KNF\)\\
+	Konstruiere Graph $G$ und $k$, so dass gilt \(F\in 3-SAT \Leftrightarrow (G,k) \in IS\)
+
+	\bsp \( F = (x_1\lor x_2\lor x_3)\land(\overline{x_1}\lor \overline{x_2}\lor x_3) \land ( \overline{x_1}\lor x_2\lor \overline{x_3}) \)\\
+	Verbinde zwischen allen \(C_i\) und \(C_j\) \( i\ne j\) komplimentäre Literale
+
+	Beobachtung: eine unabhängige Menge $I$ in $G$ kann aus jedem Klauseldreieck höchstens 1 Knoten haben \(\Rightarrow \left|I\right| \le m \)\\
+	\beh \( F \in 3-SAT \Leftrightarrow (G,m) \in IS \).\\
+	\('\Rightarrow'\) Sei \( a=(a_1,…,a_n)\) erfüllende Belegung von $F$.\\
+	Definiere $I$: wähle aus jedem Klausel-\(\triangle\) einen Knoten, dessen Literal Wert 1 hat.\\
+	Im \bsp \( a=(1,0,0)\)\\
+	\( \rightarrow I = \{x_1 \text{ aus } C_1, \overline{x_2}\text{ aus }C_2, \overline{x_3}\text{ aus } C_3 \}\)\\
+	Dann ist $I$ unabhängig, da nie $x_i$ und $\overline{x_i}$ ausgewählt wurden (sonst wäre $a$ nicht erfüllbar) und nur diese durch Kanten verbunden sind.
+
+	\('\Leftarrow'\) Sei $I$ unabhängig, \(\left|I\right|=m\).\\
+	Dann muss $I$ nach obiger Beobachtung aus \underline{jedem} Klausel-\(\triangle\) genau einen Knoten haben.\\
+	Konstruiere Belegung $a$ für F:\\
+	Wähle aus Klausel-\(\triangle\) für \(C_i\) das Literal das in $I$ ist und gebe Wert 1.\\
+	Noch nicht belegte Variablen können jetzt beliebig belegt werden. Diese Belegung erfüllt $F$, da keine komplementären Literale auftauchen.
+
+	\underline{Clique}
+
+	gegeben: \( G = (V,E), k\)\\
+	gefragt: \( \exists C \subseteq V, \left|C\right| \ge k \)\\
+	so dass je 2 Knoten in $C$ durch eine Kante verbunden sind.
+
+	Clique \(\in NP\): rate \( C \subseteq V, \left|C\right|=k\) prüfe, ob $C$ Clique ist.\\
+	\( IS =^P \) Clique\\
+	Sei \(G,k\) Eingabe für $IS$.\\
+	Konstruiere $G',k'$, so dass \( (G,k) \in IS \Leftrightarrow (G',k') \in\) Clique.
+
+	Der \underline{Komplementgraph von G} ist \( \overline{G} = (V,\overline{E})\)\\
+	D.\,h. \( \overline{E} = \{ (a,v) \mid (u,v) \not\in E \} \)\\
+	Dann gilt: \( (G,k) \in IS \Leftrightarrow (\overline{G},k) \in \) Clique
+
+	\underline{Knotenüberdeckung (Vortex Cover (VC))}
+
+	gegeben: \( G = (V,E), k\)\\
+	gefragt: \( \exists C\subseteq V, \left|C\right| \le k\), so dass \underline{jede} Kante in G mindestens einen Endpunkt in C hat.
+
+	\( VC \in NP\): rate \( C \subseteq V, \left|C\right|=k\) prüfe, ob $C$ cover ist.\\
+	\( IS \le^P VC\)\\
+	Sei $G,k$ Eingabe für $IS$.\\
+	Ziel: konstruiere \(G',k'\), so dass gilt: \( (G,k) \in IS \Leftrightarrow (G',k') \in VC \)\\
+	D.\,h. \( G' = G \) und \( C = V-I = \overline{I} \)\\
+	Dann gilt: \( (G,k) \in IS \Leftrightarrow (G,n-k) \in VC \)
+
+	\underline{Dominating Set (DS)}
+
+	Gegeben: \( G= (V,E), k\)\\
+	Gefragt: \( \exists D \subseteq V, \left|D\right|\le k\)\\
+	so dass für jeden Knoten $v\in V$ gilt: $v$ oder ein Nachbar von $v$ ist in $D$.
+
 \end{document}