@ -247,7 +247,7 @@
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für
\begin { enumerate}
\item [(a)] 6 Richtige\\
\( \frac { 1 } { \binom { 6} { 49 } } = \frac { 1 } { 13 . 983 . 816 } \) ~ 14 Mio. Möglichkeiten
\( \frac { 1 } { \binom { 49} { 6 } } = \frac { 1 } { 13 . 983 . 816 } \) ~ 14 Mio. Möglichkeiten
\item [(b)] 4 Richtige\\
\( \frac { \binom { 6 } { 4 } * \binom { 43 } { 2 } } { \binom { 6 } { 49 } } = \frac { 645 } { 665896 } \approx 0 . 096861972440140803 \% \)
\item [(c)] 3 Richtige\\
@ -263,4 +263,73 @@
\( \frac { \binom { 8 } { 6 } * \binom { 7 } { 2 } } { \binom { 15 } { 8 } } = \frac { 196 } { 2145 } \)
\end { enumerate}
\bsp Kiste wie in vorigem Beispiel. Wir stellen 2 Pakete mit jeweils 4 Laptops zusammen (zufällig).\\
Mit welcher Wahrscheinlichkeit { \color { Orange} \( \to \binom { 15 } { 4 } * \binom { 11 } { 4 } \) } \\
\begin { enumerate}
\item [(a)] enthält das 1. Paket 1 blauen und das 2. Paket 2 blaue Laptops?
\item [(b)] enthält das 1. Paket 1 blauen Laptop?
\item [(c)] enthält das 2. Paket 1 blauen Laptop?
\item [(d)] enthält das 1. oder 2. Paket 1 blauen Laptop?
\item [(e)] Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält das 2. Paket 1 blauen Laptop, wenn man weiß, das im 1. Paket 2 blaue Laptops sind?
\end { enumerate}
Lösung:\\
\begin { enumerate}
\item [(a)] \( \frac { \binom { 4 } { 1 } * \binom { 11 } { 3 } * \binom { 3 } { 2 } * \binom { 8 } { 2 } } { \binom { 15 } { 4 } * \binom { 11 } { 4 } } \approx 0 . 12307692307692307692 \)
\item [(b)] \( \frac { \binom { 4 } { 1 } * \binom { 11 } { 3 } * \binom { 11 } { 4 } } { \binom { 15 } { 4 } * \binom { 11 } { 4 } } \)
\item [(c)] \( \frac { \binom { 4 } { 1 } * \binom { 11 } { 3 } * \binom { 11 } { 4 } } { \binom { 15 } { 4 } * \binom { 11 } { 4 } } \)
\item [(d)]
Ereignis A: 1. Paket enthält 1 blauen Laptop\\
Ereignis B: 2. Paket enthält 1 blauen Laptop\\
gesucht: \( A \cup B = P ( A ) + P ( B ) - P ( A \cap B ) \) \\
\( 2 * \frac { \binom { 4 } { 1 } * \binom { 11 } { 3 } } { \binom { 15 } { 4 } } - \frac { \binom { 4 } { 1 } * \binom { 11 } { 3 } * \binom { 3 } { 1 } * \binom { 8 } { 3 } } { \binom { 15 } { 4 } * \binom { 11 } { 4 } } \) \\
{ \color { Orange} Man sieht hier: \( P ( A \cap B ) \not = P ( A ) * P ( B ) \) }
\item [(e)] \( \frac { \binom { 2 } { 1 } * \binom { 9 } { 3 } } { \binom { 11 } { 4 } } \)
\end { enumerate}
\begin { itemize}
\item [4.] Fall: Ziehen mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge.\\
{ \color { Orange} \( \to \) ungeeignet für Wahrscheinlichkeitsrechnungen.} \\
\bsp 2 maliges Würfeln\\
Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt keine 5 auf?\\
im 4. Fall: \( \Omega = \{ ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 6 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , … ( 6 , 6 ) \} ; \quad \left | \Omega \right | = 21 \) \\
Formal für die Anzahl der Ergebnisse in \( \Omega \) :\\
\( \Omega = \binom { n + k - 1 } { k } = \binom { 6 + 2 - 1 } { 2 } = \binom { 7 } { 2 } = \frac { 7 ! } { 6 ! } = \frac { 7 * 6 } { 2 } = 21 \)
{ \color { Orange} Problem:} Ergebnisse sind nicht gleich Wahrscheinlich\\
\( \to \) 4. Fall: blöd!\\
\( \to \) statt dem 4. Fall wird der 1. Fall betrachtet: Ziehen mit Zurücklegen und mit Reihenfolge \( \to \left | \Omega \right | = n ^ k \) \\
im \bsp \( P ( \text { keine 5 } ) = \frac { 5 ^ 2 } { 6 ^ 2 } = \frac { 25 } { 36 } \)
\end { itemize}
\bsp $ k = 40 $ Personen\\
Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben mindestens 2 am gleichen Tag Geburtstag?\\
$ n = 365 $ Kugeln; $ k = 40 $ maliges Ziehen\\
Ziehen mit Zurücklegen, mit Reihenfolge \( \to \) 1. Fall: \( \left | \Omega \right | = n ^ k = 365 ^ { 40 } \) \\
\( P ( \text { mindestens 2 haben am gleichen Tag Geburtstag } ) \) \\
\( = 1 - P ( \text { alle haben an verschiedenen Tagen Geburtstag } ) \) \\
\( = 1 * \frac { 365 ^ { \underline { 40 } } } { 365 ^ { 40 } } \approx 89 . 123 \% \)
\underline { Binomialkoeffizient/Multinomialkoeffizient}
Anzahl der Möglichkeiten, aus $ n $ Elementen $ k $ auszuwählen: \( \binom { n } { k } = \frac { n ! } { k ! * ( n - k ) ! } \) \\
Allgemeiner:\\
Anzahl der Möglichkeiten, aus $ n $ Elementen $ k _ 1 $ auszuwählen, aus den restlichen dann $ k _ 2 , …, k _ l $ \\
\( \binom { n } { k _ 1 } * \binom { n - k _ 1 } { k _ 2 } * \binom { n - k _ 1 - k _ 2 } { k _ 3 } * … * \binom { k _ l } { k _ l } \) \\ [4mm]
\( = \frac { n ! } { k _ 1 ! * ( n - k _ 1 ) ! } * \frac { ( n - k _ 1 ) ! } { k _ 2 ! * ( n - k _ 1 - k _ 2 ) ! } * \frac { ( n - k _ 1 - k _ 2 ) ! } { … } * … * \frac { k _ l ! } { k _ l ! * 0 ! } \) \\ [4mm]
\( = \underbrace { \frac { n ! } { k _ 1 ! * k _ 2 ! * … * k _ l ! } } _ \text { Multinomialkoeffizient } \) \\ [4mm]
{ \color { Orange} wobei $ k _ 1 + k _ 2 + … + k _ l = n $ }
$ n ! $ = Anzahl der Möglichkeiten, $ n $ verschiedene Elemente zu vertauschen\\ [4mm]
\( \frac { n ! } { k _ 1 ! * k _ 2 ! * … * k _ l ! } = \) Anzahl der Möglichkeiten, $ n $ Elemente zu vertauschen, bei denen $ k _ 1 $ von der Sorte 1 sind, $ k _ 2 $ von der Sorte 2, …, $ k _ l $ von der Sorte $ l $ .
\bsp MISSISSIPPI \( \to \) Wie viele verschiedene Wörter erhält man durch vertauschen?\\
\spa \( \frac { 11 ! } { 1 ! * 4 ! * 4 ! * 2 ! } \)
Sorte 1: M: $ k _ 1 = 1 $ \\
Sorte 2: I: $ k _ 2 = 4 $ \\
Sorte 3: S: $ k _ 3 = 4 $ \\
Sorte 4: P: $ k _ 4 = 2 $
\end { document}
