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336 lines
14 KiB
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\documentclass[11pt]{scrartcl}
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\usepackage[
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pdftitle={Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik},
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pdfsubject={Mitschrift der Vorlesung "Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik" an der HTW-Aalen, bei Herrn Fischer.},
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pdfauthor={Thomas Battermann},
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pdfkeywords={Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik},
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\setcounter{secnumdepth}{4}
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\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0}
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\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5}
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\pagestyle{fancy} %eigener Seitenstil
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\fancyhf{} %alle Kopf- und Fußzeilenfelder bereinigen
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\fancyhead[L]{Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik} %Kopfzeile links
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\fancyhead[C]{Semester 3} %zentrierte Kopfzeile
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\fancyhead[R]{WS 2011/2012} %Kopfzeile rechts
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\fancyfoot[C]{Seite \thepage\ von \pageref{LastPage}}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} %untere Trennlinie
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\newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}}
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\newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}}
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\newcommand{\bsp}{\textcolor{darkblue}{\textbf{\underline{Bsp.}: }}}
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\newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor}
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\newcommand{\llfloor}{\left\lfloor}
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\title{Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik}
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\author{Mitschrift von Thomas Battermann}
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\date{3. Semester}
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\begin{document}
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\pagestyle{empty}
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\maketitle\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{fancy}
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\setcounter{page}{1}
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Statistik:
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\begin{itemize}
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\item beschreibende Statistik\\
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\(\to\) Erfassung, Auswertung von Daten.\\
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(z.\,B. über Mittelwerte)
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\begin{itemize}
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\item oftmals keine Gesamterhebung (z.\,B. Wahl)
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\item sondern Stichproben (z.\,B. Hochrechnung, Umfragen vorab)\\
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Auswahl:
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\begin{itemize}
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\item Zufällig\\
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Qualitätstests
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\item gezielt (Repräsentative Stichprobe)\\
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z.\,B. Hochrechnung der Wahl
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\item beurteilende Statistik
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\begin{itemize}
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\item Rückschlüsse von Stichproben auf die Gesamtheit
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\item Tests \( \to \)
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\item[\(\to\)] Zufallseffekte
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\item[\(\to\)] Wahrscheinlichkeitsrechnung als Hilfsmittel
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\section{Wahrscheinlichkeitsrechnung}
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\subsection{Grundbegriffe}
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\subsubsection{Zufallsexperimente}
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\begin{itemize}
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\item Mehrere mögliche Ergebnisse\\
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{\color{Orange}\bsp Würfeln \(\to\) 1,2,3,4,5,6}
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\item prinzipiell beliebig oft wiederholbar
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\item für die Ergebnisse lassen sich Wahrscheinlichkeiten angeben\\
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{\color{Orange}\(\to\) jeweils \(\frac 1 6\)}
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\end{itemize}
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Überprüfung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe häufiger Wiederholungen des Experiments. {\color{Orange}\bsp 1000 maliges Würfeln \(\to\) 160mal 1, 168mal 2, …}\\
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{\color{Orange}Schätzwert für die W.: \(\frac{160}{1000} = 0,16 = \) relative Häufigkeit}\\
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{\color{Orange}absolute Häufigkeit der 1 = 160}
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Man erhält W. aus den relativen Häufigkeiten, wenn die Anzahl der Wiederholungen gegen \(\infty\) geht.\\
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{\color{Orange}W. für die 1 = \(0.1\overline{6}\)}
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\subsubsection{Begriffe, Bezeichnungen:}
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\underline{Ergebnisse} \( \omega_1, \omega_2, \omega_3, …\)
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\underline{Ergebnismenge:} \( \Omega = \{ \omega_1, \omega_2, \omega_3, … \} \) {\color{Orange} \( \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\)}
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\underline{Ereignisse:} \( A,B,C,… \) sind Teilmengen von \(\Omega\)\\
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\spa meist zunächst verbal formuliert\\
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\spa {\color{Orange}A: Es wird eine gerade Zahl gewürfelt.}\\
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\spa {\color{Orange}\(\to A= \{2,4,6\} \) }
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\underline{Wahrscheinlichkeiten} für die Ergebnisse und die Ereignisse.\\
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\spa \(P(\omega_1), P(\omega_2), …\) und \(P(A), P(B), …\) (\(P\) für probalby)\\
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\spa {\color{Orange} \(P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=\frac{1}{6} \)} (Lauter gleiche W. (Gleichverteilung))\\
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\spa {\color{Orange} \( P(a) = \frac 3 6 = \frac 1 2 = 0,5 = 50\% \)}
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\bsp 2maliges Würfeln\\
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A: im 1. Wurf kommt 5\\
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B: Summe der Augen ist 7\\
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gesucht: \(\Omega, P(A), P(B) \)
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\( \Omega = \{ 11,12,,21,13,31,…,66\} \) W. jeweils \( \frac 1 36 \)\\
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\( A = \{ 51,52,53,54,55,56 \} \)\\
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\( B = \{ 16,25,34,43,52,61 \} \)\\
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\( P(A) = \frac 1 6 \)\\
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\( P(B) = \frac 1 6 \)
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C: Summe der Augenzahlen ist 12\\
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\( C = \{ 66 \} \) \( P(C) = \frac 1 {36} \)
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\bsp 3-maliger Münzwurf\\
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Mit welcher w.\\
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(a) tritt keinmal Wappen auf?\\
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(b) tritt genau zweimal Wappen auf?
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\(\Omega = \{ ZZZ, ZZW, ZWZ, WZZ, ZWW, WZW, ZWW, WWW \} \)\\
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\( P(A) = \{ ZZZ \} = \frac 1 8 \)\\
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\( P(B) = \{ ZWW, WZW, WWZ \} = \frac 3 8 \)
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\subsubsection{Eigenschaften, Rechenregeln für W.}
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\( P(\Omega) = 1 \), \( P(\emptyset) = 0\), für jedes Ereignis A: \( 0 \le P(A) \le 1 \)
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Ereignis A \(\to\) Gegenereignis (Komplement) von A: \(\overline{A} = A^C\) mit \( P(\overline{A}) = 1-P(A) \)
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Schnitt von Ereignissen A und B: \( A \cap B \)
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Vereinigung von Ereignissen A und B: \( A \cup B \)\\
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\( P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \)\\
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Wenn A und B \underline{disjunkt} sind, dann ist \( P(A\cup B) = P(A)+P(B) \)
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P(\underline{entweder} A oder B) ) \( P(A) + P(B) - 2 \cdot P(A\cap B)\) \(( = P( (A\cap \overline{B}) \cup (\overline{A}\cap B) ))\)
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Allgemeiner:\\
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\begin{align*}
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P(A \cup B \cup C) = &P(A) + P(B) + P(C) \\
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&+ P(A\cap B\cap C) \\
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&- P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C)
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\end{align*}
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Allgemein (Siebformel oder Inklusions-Exklusions-Methode):
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\begin{align*}
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&P(A_1 \cup A_2 \cup … \cup A_n)\\
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= &P(A_1) + P(A_2) + … + P(A_n)\\
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&-P(A_1 \cap A_2) - P(A_1 \cap A_2) -\\
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&+ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) + …\\
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&…\\
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&+(-1)^{n+1} \cdot P(A_1 \cap A_2 \cap … \cap A_n )
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\end{align*}
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\bsp 100 maliges Würfeln. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt {\color{Orange}\(\to 6^{100} \) mögliche Ergebnisse}\\
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\begin{itemize}
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\item[(a)] 100 mal 5 auf? { \color{Orange}\( \frac 1 {6^{100}} \) }
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\item[(b)] keine 5 auf? { \color{Orange} \( \left( \frac 5 6 \right)^{100} \) }
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\item[(c)] mindestens eine 5 auf? { \color{Orange} \( 1- \left( \frac 5 6 \right)^{100} \) } \( \to \) Über Gegenereignis (b).
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\item[(d)] genau eine 5 auf? { \color{Orange} \( \frac 1 6 \cdot \left( \frac 5 6 \right)^{99} \cdot 100 \) }
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\end{itemize}
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\subsection{Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der Kombinatorik}
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Für ein Ereignis A, das Teilmenge von \(\Omega\) ist.\\
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\( P(A) = \frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}= \frac{\text{günstige Fälle}}{\text{mögliche Fälle}} \) {\color{Orange}Elemente von \(\Omega\) = Anzahl aller möglichen Ergebnisse}\\
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Nur wenn alle Ergebnisse aus \(\Omega\) \underline{gleich} Wahrscheinlich sind.
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{\color{Orange}ansonsten: \( P(A) = \sum\limits_{\omega \in A} P(\omega) \)}
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Berechnung von \(\left|A\right|\) und \( \left|\Omega\right| \) mit der Kombinatorik.\\
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Kombinatorik:\\
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k-maliges Ziehen aus n Kugeln.\\
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Ziehen mit oder ohne Zurücklegen.\\
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mit/ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.
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\bsp Lotto \( k = 6\) aus \(n = 49\). Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge.
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4 Fälle:
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\begin{enumerate}
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\item
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Fall: Ziehen mit Zurücklegen, mit Reihenfolge:\\
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\( n^k \) Möglichkeiten {\color{Orange}gesamt: \(\left|\Omega\right| = n^k\) Möglichkeiten}
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\item
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Fall: Ziehen ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge:\\
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\( \frac{n!}{(n-k)!} = n^{\underline{k}} \)
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\end{enumerate}
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\bsp Ein 5 stelliger Code wird zufällig zufällig gewählt, bestehend aus Ziffern \( 1,2,…,9 \).\\
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{\color{Orange} \( k=5; n=9 \) Gesamt: \( n^k = 9^6 \) Möglichkeiten}\\
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit
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\begin{itemize}
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\item[(a)] tritt die Kombination \(13758\) auf?\\
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{\color{Orange} \( \frac{1}{9^5} \)}
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\item[(b)] enthält der Code lauter gleiche Zahlen?\\
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{\color{Orange} \( \frac{9}{9^5} = \frac{1}{9^4} \)}
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\item[(c)] enthält der Code lauter verschiedene Zahlen?\\
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{\color{Orange} \( \frac{9!}{4! * 9^5} \) }
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\item[(d)] beginnt der Code mit 3?\\
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{\color{Orange} \( \frac{1 * 9^4}{9^5} = \frac 1 9 \)}
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\item[(e)] enthält der Code genau eine 3?\\
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{\color{Orange} \( \frac 1 9 * \left(\frac 8 9\right)^4 * 5 = \frac{ 5 * 8^4 }{ 9^5 } \)}
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\item[(f)] enthält der Code genau zwei 3er?\\
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{\color{Orange} \( \left(\frac{1}{9}\right)^2 * \left(\frac{8}{9}\right)^3 * 2 * 5 = \frac{10 * 8^3}{9^5} \)}
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\end{itemize}
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%
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\begin{itemize}
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\item[3.] Fall: Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge.\\
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\(\to\) Aus n Kugeln werden k {\color{Yellow}\underline{\color{Black}ausgewählt}}.\\
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Vergleich mit 2. Fall: Ziehen ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge\\
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\spa \(\to n^{\underline{k}} = \frac{n!}{(n-k)!}\) Möglichkeiten\\
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Es gibt \(k!\) Möglichkeiten, \(k\) Kugeln zu Vertauschen (auf \(k\) Plätzen).\\
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im 3. Fall:\\
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gesamt: \( \frac{n!}{(n-k)! * k!} = \binom{n}{k} \) Möglichkeiten.\\
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im Beispiel von Oben (f).\\
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\spa Mögl. aus 5 Plätzen 2 Stück für die 3er {\color{Yellow}\underline{\color{Black}auszuwählen}}:\\
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\spa \( \binom 5 2 = \frac{5!}{2! * (5-2)!} = \frac{5 * 4 * \not 3 * \not 2 * \not 1}{2 * 1 * \not 3 * \not 2 * \not 1} = 10\)\\
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\bsp Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt bei 100 maligem Würfeln genau 20 mal die 4 auf?\\
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\( W = \frac{ \binom{100}{20} * 5^{80} }{ 6^{100} } \)\\
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|
\end{itemize}
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\bsp Lotto 6 aus 49\\
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Berechne die Wahrscheinlichkeiten für
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\begin{enumerate}
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\item[(a)] 6 Richtige\\
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\( \frac{1}{\binom{49}{6}} = \frac{1}{13.983.816} \) ~ 14 Mio. Möglichkeiten
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\item[(b)] 4 Richtige\\
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\( \frac{ \binom{6}{4} * \binom{43}{2} }{ \binom{6}{49} } = \frac{645}{665896} \approx 0.096861972440140803\%\)
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|
\item[(c)] 3 Richtige\\
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\( \frac{ \binom{6}{3} * \binom{43}{3} }{ \binom{6}{49} } = \frac{8815}{499422} \approx 1.765040386687010184\%\)
|
|
\end{enumerate}
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\bsp Kiste mit 4 blauen, 3 roten, 8 gelben Laptops\\
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Wir wählen zufällig 8 aus.
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\begin{enumerate}
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\item[(a)] Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind 3 blau und 5 gelb?\\
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\( \frac{ \binom{4}{3} * \binom{3}{0} * \binom{8}{5} }{\binom{15}{8}} = \frac{224}{6435} \)
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|
\item[(b)] Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind 6 gelb\\
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\( \frac{ \binom{8}{6} * \binom{7}{2} }{ \binom{15}{8} } = \frac{196}{2145} \)
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|
\end{enumerate}
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\bsp Kiste wie in vorigem Beispiel. Wir stellen 2 Pakete mit jeweils 4 Laptops zusammen (zufällig).\\
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit {\color{Orange} \(\to \binom{15}{4} * \binom{11}{4} \)}\\
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\begin{enumerate}
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\item[(a)] enthält das 1. Paket 1 blauen und das 2. Paket 2 blaue Laptops?
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|
\item[(b)] enthält das 1. Paket 1 blauen Laptop?
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|
\item[(c)] enthält das 2. Paket 1 blauen Laptop?
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|
\item[(d)] enthält das 1. oder 2. Paket 1 blauen Laptop?
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\item[(e)] Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält das 2. Paket 1 blauen Laptop, wenn man weiß, das im 1. Paket 2 blaue Laptops sind?
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|
\end{enumerate}
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Lösung:\\
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\begin{enumerate}
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\item[(a)] \( \frac{ \binom{4}{1}*\binom{11}{3} * \binom{3}{2} * \binom{8}{2} }{\binom{15}{4}*\binom{11}{4}} \approx 0.12307692307692307692\)
|
|
\item[(b)] \( \frac{ \binom{4}{1}*\binom{11}{3} * \binom{11}{4} }{ \binom{15}{4}*\binom{11}{4} } \)
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|
\item[(c)] \( \frac{ \binom{4}{1}*\binom{11}{3} * \binom{11}{4} }{ \binom{15}{4}*\binom{11}{4} } \)
|
|
\item[(d)]
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|
Ereignis A: 1. Paket enthält 1 blauen Laptop\\
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|
Ereignis B: 2. Paket enthält 1 blauen Laptop\\
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|
gesucht: \( A \cup B = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)\\
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|
\( 2 * \frac{ \binom{4}{1} * \binom{11}{3} }{ \binom{15}{4} } - \frac{ \binom{4}{1} * \binom{11}{3} * \binom{3}{1} * \binom{8}{3} }{ \binom{15}{4} * \binom{11}{4}} \)\\
|
|
{\color{Orange} Man sieht hier: \(P(A \cap B) \not= P(A) * P(B) \)}
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|
\item[(e)] \( \frac{ \binom{2}{1} * \binom{9}{3} }{ \binom{11}{4} } \)
|
|
\end{enumerate}
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|
|
\begin{itemize}
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|
\item[4.] Fall: Ziehen mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge.\\
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|
{\color{Orange} \(\to\) ungeeignet für Wahrscheinlichkeitsrechnungen.}\\
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|
\bsp 2 maliges Würfeln\\
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|
Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt keine 5 auf?\\
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im 4. Fall: \( \Omega = \{ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2), (2,3), … (6,6) \}; \quad \left|\Omega\right| = 21\)\\
|
|
Formal für die Anzahl der Ergebnisse in \(\Omega\):\\
|
|
\( \Omega = \binom{n+k-1}{k} = \binom{6+2-1}{2} = \binom{7}{2} = \frac{7!}{6!} = \frac{7 * 6}{2} = 21 \)
|
|
{\color{Orange} Problem:} Ergebnisse sind nicht gleich Wahrscheinlich\\
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|
\(\to\) 4. Fall: blöd!\\
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|
\(\to\) statt dem 4. Fall wird der 1. Fall betrachtet: Ziehen mit Zurücklegen und mit Reihenfolge \(\to \left|\Omega\right| = n^k \)\\
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|
im \bsp \( P(\text{keine 5}) = \frac{5^2}{6^2} = \frac{25}{36}\)
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|
\end{itemize}
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\bsp $k = 40$ Personen\\
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben mindestens 2 am gleichen Tag Geburtstag?\\
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$n = 365$ Kugeln; $k = 40$ maliges Ziehen\\
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|
Ziehen mit Zurücklegen, mit Reihenfolge \( \to \) 1. Fall: \( \left| \Omega \right| = n^k = 365^{40} \)\\
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|
\(P(\text{mindestens 2 haben am gleichen Tag Geburtstag})\)\\
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|
\(= 1 - P(\text{alle haben an verschiedenen Tagen Geburtstag})\)\\
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|
\( = 1 * \frac{ 365^{\underline{40}} }{365^{40}} \approx 89.123\% \)
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|
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|
\underline{Binomialkoeffizient/Multinomialkoeffizient}
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Anzahl der Möglichkeiten, aus $n$ Elementen $k$ auszuwählen: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! * (n-k)!} \)\\
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Allgemeiner:\\
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Anzahl der Möglichkeiten, aus $n$ Elementen $k_1$ auszuwählen, aus den restlichen dann $k_2, …, k_l$\\
|
|
\( \binom{n}{k_1} * \binom{n-k_1}{k_2} * \binom{n-k_1-k_2}{k_3} * … * \binom{k_l}{k_l} \)\\[4mm]
|
|
\( = \frac{n!}{k_1! * (n-k_1)!} * \frac{(n-k_1)!}{k_2! * (n-k_1-k_2)!} * \frac{(n-k_1-k_2)!}{…}*…* \frac{k_l!}{k_l! * 0!} \)\\[4mm]
|
|
\( = \underbrace{\frac{n!}{k_1! * k_2! * … * k_l!}}_\text{Multinomialkoeffizient} \)\\[4mm]
|
|
{\color{Orange} wobei $k_1 + k_2 + … + k_l = n $ }
|
|
|
|
$n!$ = Anzahl der Möglichkeiten, $n$ verschiedene Elemente zu vertauschen\\[4mm]
|
|
\( \frac{n!}{k_1! * k_2! * … * k_l! } = \) Anzahl der Möglichkeiten, $n$ Elemente zu vertauschen, bei denen $k_1$ von der Sorte 1 sind, $k_2$ von der Sorte 2, …, $k_l$ von der Sorte $l$.
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|
|
|
\bsp MISSISSIPPI \(\to\) Wie viele verschiedene Wörter erhält man durch vertauschen?\\
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|
\spa\( \frac{11!}{1! * 4! * 4! * 2!} \)
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|
Sorte 1: M: $k_1 = 1$\\
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|
Sorte 2: I: $k_2 = 4$\\
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|
Sorte 3: S: $k_3 = 4$\\
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|
Sorte 4: P: $k_4 = 2$
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|