\documentclass[11pt]{scrartcl} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} %\usepackage{multicol} %\usepackage{booktabs} %\usepackage{pstricks} %\usepackage{pst-node} \usepackage[paper=a4paper,left=30mm,right=20mm,top=20mm,bottom =25mm]{geometry} \usepackage[ pdftitle={Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik}, pdfsubject={Mitschrift der Vorlesung "Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik" an der HTW-Aalen, bei Herrn Fischer.}, pdfauthor={Thomas Battermann}, pdfkeywords={Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik}, pdfborder={0 0 0} ]{hyperref} \usepackage{tabularx} %\usepackage{graphicx} \usepackage[usenames,dvipsnames]{color} \usepackage{lastpage} \usepackage{fancyhdr} \setlength{\parindent}{0ex} \setlength{\parskip}{2ex} \setcounter{secnumdepth}{4} \setcounter{tocdepth}{4} \definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0} \definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5} \pagestyle{fancy} %eigener Seitenstil \fancyhf{} %alle Kopf- und Fußzeilenfelder bereinigen \fancyhead[L]{Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik} %Kopfzeile links \fancyhead[C]{Semester 3} %zentrierte Kopfzeile \fancyhead[R]{WS 2011/2012} %Kopfzeile rechts \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} %obere Trennlinie \fancyfoot[C]{Seite \thepage\ von \pageref{LastPage}} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} %untere Trennlinie \newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}} \newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}} \newcommand{\bsp}{\textcolor{darkblue}{\textbf{\underline{Bsp.}: }}} \newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor} \newcommand{\llfloor}{\left\lfloor} \title{Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik} \author{Mitschrift von Thomas Battermann} \date{3. Semester} \begin{document} \pagestyle{empty} \maketitle\thispagestyle{empty} \tableofcontents\thispagestyle{empty} \newpage \pagestyle{fancy} \setcounter{page}{1} Statistik: \begin{itemize} \item beschreibende Statistik\\ \(\to\) Erfassung, Auswertung von Daten.\\ (z.\,B. über Mittelwerte) \begin{itemize} \item oftmals keine Gesamterhebung (z.\,B. Wahl) \item sondern Stichproben (z.\,B. Hochrechnung, Umfragen vorab)\\ Auswahl: \begin{itemize} \item Zufällig\\ Qualitätstests \item gezielt (Repräsentative Stichprobe)\\ z.\,B. Hochrechnung der Wahl \end{itemize} \end{itemize} \item beurteilende Statistik \begin{itemize} \item Rückschlüsse von Stichproben auf die Gesamtheit \item Tests \( \to \) \item[\(\to\)] Zufallseffekte \item[\(\to\)] Wahrscheinlichkeitsrechnung als Hilfsmittel \end{itemize} \end{itemize} \section{Wahrscheinlichkeitsrechnung} \subsection{Grundbegriffe} \subsubsection{Zufallsexperimente} \begin{itemize} \item Mehrere mögliche Ergebnisse\\ {\color{Orange}\bsp Würfeln \(\to\) 1,2,3,4,5,6} \item prinzipiell beliebig oft wiederholbar \item für die Ergebnisse lassen sich Wahrscheinlichkeiten angeben\\ {\color{Orange}\(\to\) jeweils \(\frac 1 6\)} \end{itemize} Überprüfung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe häufiger Wiederholungen des Experiments. {\color{Orange}\bsp 1000 maliges Würfeln \(\to\) 160mal 1, 168mal 2, …}\\ {\color{Orange}Schätzwert für die W.: \(\frac{160}{1000} = 0,16 = \) relative Häufigkeit}\\ {\color{Orange}absolute Häufigkeit der 1 = 160} Man erhält W. aus den relativen Häufigkeiten, wenn die Anzahl der Wiederholungen gegen \(\infty\) geht.\\ {\color{Orange}W. für die 1 = \(0.1\overline{6}\)} \subsubsection{Begriffe, Bezeichnungen:} \underline{Ergebnisse} \( \omega_1, \omega_2, \omega_3, …\) \underline{Ergebnismenge:} \( \Omega = \{ \omega_1, \omega_2, \omega_3, … \} \) {\color{Orange} \( \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\)} \underline{Ereignisse:} \( A,B,C,… \) sind Teilmengen von \(\Omega\)\\ \spa meist zunächst verbal formuliert\\ \spa {\color{Orange}A: Es wird eine gerade Zahl gewürfelt.}\\ \spa {\color{Orange}\(\to A= \{2,4,6\} \) } \underline{Wahrscheinlichkeiten} für die Ergebnisse und die Ereignisse.\\ \spa \(P(\omega_1), P(\omega_2), …\) und \(P(A), P(B), …\) (\(P\) für probalby)\\ \spa {\color{Orange} \(P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=\frac{1}{6} \)} (Lauter gleiche W. (Gleichverteilung))\\ \spa {\color{Orange} \( P(a) = \frac 3 6 = \frac 1 2 = 0,5 = 50\% \)} \bsp 2maliges Würfeln\\ A: im 1. Wurf kommt 5\\ B: Summe der Augen ist 7\\ gesucht: \(\Omega, P(A), P(B) \) \( \Omega = \{ 11,12,,21,13,31,…,66\} \) W. jeweils \( \frac 1 36 \)\\ \( A = \{ 51,52,53,54,55,56 \} \)\\ \( B = \{ 16,25,34,43,52,61 \} \)\\ \( P(A) = \frac 1 6 \)\\ \( P(B) = \frac 1 6 \) C: Summe der Augenzahlen ist 12\\ \( C = \{ 66 \} \) \( P(C) = \frac 1 {36} \) \bsp 3-maliger Münzwurf\\ Mit welcher w.\\ (a) tritt keinmal Wappen auf?\\ (b) tritt genau zweimal Wappen auf? \(\Omega = \{ ZZZ, ZZW, ZWZ, WZZ, ZWW, WZW, ZWW, WWW \} \)\\ \( P(A) = \{ ZZZ \} = \frac 1 8 \)\\ \( P(B) = \{ ZWW, WZW, WWZ \} = \frac 3 8 \) \subsubsection{Eigenschaften, Rechenregeln für W.} \( P(\Omega) = 1 \), \( P(\emptyset) = 0\), für jedes Ereignis A: \( 0 \le P(A) \le 1 \) Ereignis A \(\to\) Gegenereignis (Komplement) von A: \(\overline{A} = A^C\) mit \( P(\overline{A}) = 1-P(A) \) Schnitt von Ereignissen A und B: \( A \cap B \) Vereinigung von Ereignissen A und B: \( A \cup B \)\\ \( P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \)\\ Wenn A und B \underline{disjunkt} sind, dann ist \( P(A\cup B) = P(A)+P(B) \) P(\underline{entweder} A oder B) ) \( P(A) + P(B) - 2 \cdot P(A\cap B)\) \(( = P( (A\cap \overline{B}) \cup (\overline{A}\cap B) ))\) Allgemeiner:\\ \begin{align*} P(A \cup B \cup C) = &P(A) + P(B) + P(C) \\ &+ P(A\cap B\cap C) \\ &- P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) \end{align*} Allgemein (Siebformel oder Inklusions-Exklusions-Methode): \begin{align*} &P(A_1 \cup A_2 \cup … \cup A_n)\\ = &P(A_1) + P(A_2) + … + P(A_n)\\ &-P(A_1 \cap A_2) - P(A_1 \cap A_2) -\\ &+ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) + …\\ &…\\ &+(-1)^{n+1} \cdot P(A_1 \cap A_2 \cap … \cap A_n ) \end{align*} \bsp 100 maliges Würfeln. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt {\color{Orange}\(\to 6^{100} \) mögliche Ergebnisse}\\ \begin{itemize} \item[(a)] 100 mal 5 auf? { \color{Orange}\( \frac 1 {6^{100}} \) } \item[(b)] keine 5 auf? { \color{Orange} \( \left( \frac 5 6 \right)^{100} \) } \item[(c)] mindestens eine 5 auf? { \color{Orange} \( 1- \left( \frac 5 6 \right)^{100} \) } \( \to \) Über Gegenereignis (b). \item[(d)] genau eine 5 auf? { \color{Orange} \( \frac 1 6 \cdot \left( \frac 5 6 \right)^{99} \cdot 100 \) } \end{itemize} \subsection{Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der Kombinatorik} Für ein Ereignis A, das Teilmenge von \(\Omega\) ist.\\ \( P(A) = \frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}= \frac{\text{günstige Fälle}}{\text{mögliche Fälle}} \) {\color{Orange}Elemente von \(\Omega\) = Anzahl aller möglichen Ergebnisse}\\ Nur wenn alle Ergebnisse aus \(\Omega\) \underline{gleich} Wahrscheinlich sind. {\color{Orange}ansonsten: \( P(A) = \sum\limits_{\omega \in A} P(\omega) \)} Berechnung von \(\left|A\right|\) und \( \left|\Omega\right| \) mit der Kombinatorik.\\ Kombinatorik:\\ k-maliges Ziehen aus n Kugeln.\\ Ziehen mit oder ohne Zurücklegen.\\ mit/ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. \bsp Lotto \( k = 6\) aus \(n = 49\). Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge. 4 Fälle: \begin{enumerate} \item Fall: Ziehen mit Zurücklegen, mit Reihenfolge:\\ \( n^k \) Möglichkeiten {\color{Orange}gesamt: \(\left|\Omega\right| = n^k\) Möglichkeiten} \item Fall: Ziehen ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge:\\ \( \frac{n!}{(n-k)!} = n^{\underline{k}} \) \end{enumerate} \bsp Ein 5 stelliger Code wird zufällig zufällig gewählt, bestehend aus Ziffern \( 1,2,…,9 \).\\ {\color{Orange} \( k=5; n=9 \) Gesamt: \( n^k = 9^6 \) Möglichkeiten}\\ Mit welcher Wahrscheinlichkeit \begin{itemize} \item[(a)] tritt die Kombination \(13758\) auf?\\ {\color{Orange} \( \frac{1}{9^5} \)} \item[(b)] enthält der Code lauter gleiche Zahlen?\\ {\color{Orange} \( \frac{9}{9^5} = \frac{1}{9^4} \)} \item[(c)] enthält der Code lauter verschiedene Zahlen?\\ {\color{Orange} \( \frac{9!}{4! * 9^5} \) } \item[(d)] beginnt der Code mit 3?\\ {\color{Orange} \( \frac{1 * 9^4}{9^5} = \frac 1 9 \)} \item[(e)] enthält der Code genau eine 3?\\ {\color{Orange} \( \frac 1 9 * \left(\frac 8 9\right)^4 * 5 = \frac{ 5 * 8^4 }{ 9^5 } \)} \item[(f)] enthält der Code genau zwei 3er?\\ {\color{Orange} \( \left(\frac{1}{9}\right)^2 * \left(\frac{8}{9}\right)^3 * 2 * 5 = \frac{10 * 8^3}{9^5} \)} \end{itemize} % \begin{itemize} \item[3.] Fall: Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge.\\ \(\to\) Aus n Kugeln werden k {\color{Yellow}\underline{\color{Black}ausgewählt}}.\\ Vergleich mit 2. Fall: Ziehen ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge\\ \spa \(\to n^{\underline{k}} = \frac{n!}{(n-k)!}\) Möglichkeiten\\ Es gibt \(k!\) Möglichkeiten, \(k\) Kugeln zu Vertauschen (auf \(k\) Plätzen).\\ im 3. Fall:\\ gesamt: \( \frac{n!}{(n-k)! * k!} = \binom{n}{k} \) Möglichkeiten.\\ im Beispiel von Oben (f).\\ \spa Mögl. aus 5 Plätzen 2 Stück für die 3er {\color{Yellow}\underline{\color{Black}auszuwählen}}:\\ \spa \( \binom 5 2 = \frac{5!}{2! * (5-2)!} = \frac{5 * 4 * \not 3 * \not 2 * \not 1}{2 * 1 * \not 3 * \not 2 * \not 1} = 10\)\\ \bsp Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt bei 100 maligem Würfeln genau 20 mal die 4 auf?\\ \( W = \frac{ \binom{100}{20} * 5^{80} }{ 6^{100} } \)\\ \end{itemize} \bsp Lotto 6 aus 49\\ Berechne die Wahrscheinlichkeiten für \begin{enumerate} \item[(a)] 6 Richtige\\ \( \frac{1}{\binom{49}{6}} = \frac{1}{13.983.816} \) ~ 14 Mio. Möglichkeiten \item[(b)] 4 Richtige\\ \( \frac{ \binom{6}{4} * \binom{43}{2} }{ \binom{6}{49} } = \frac{645}{665896} \approx 0.096861972440140803\%\) \item[(c)] 3 Richtige\\ \( \frac{ \binom{6}{3} * \binom{43}{3} }{ \binom{6}{49} } = \frac{8815}{499422} \approx 1.765040386687010184\%\) \end{enumerate} \bsp Kiste mit 4 blauen, 3 roten, 8 gelben Laptops\\ Wir wählen zufällig 8 aus. \begin{enumerate} \item[(a)] Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind 3 blau und 5 gelb?\\ \( \frac{ \binom{4}{3} * \binom{3}{0} * \binom{8}{5} }{\binom{15}{8}} = \frac{224}{6435} \) \item[(b)] Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind 6 gelb\\ \( \frac{ \binom{8}{6} * \binom{7}{2} }{ \binom{15}{8} } = \frac{196}{2145} \) \end{enumerate} \bsp Kiste wie in vorigem Beispiel. Wir stellen 2 Pakete mit jeweils 4 Laptops zusammen (zufällig).\\ Mit welcher Wahrscheinlichkeit {\color{Orange} \(\to \binom{15}{4} * \binom{11}{4} \)}\\ \begin{enumerate} \item[(a)] enthält das 1. Paket 1 blauen und das 2. Paket 2 blaue Laptops? \item[(b)] enthält das 1. Paket 1 blauen Laptop? \item[(c)] enthält das 2. Paket 1 blauen Laptop? \item[(d)] enthält das 1. oder 2. Paket 1 blauen Laptop? \item[(e)] Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält das 2. Paket 1 blauen Laptop, wenn man weiß, das im 1. Paket 2 blaue Laptops sind? \end{enumerate} Lösung:\\ \begin{enumerate} \item[(a)] \( \frac{ \binom{4}{1}*\binom{11}{3} * \binom{3}{2} * \binom{8}{2} }{\binom{15}{4}*\binom{11}{4}} \approx 0.12307692307692307692\) \item[(b)] \( \frac{ \binom{4}{1}*\binom{11}{3} * \binom{11}{4} }{ \binom{15}{4}*\binom{11}{4} } \) \item[(c)] \( \frac{ \binom{4}{1}*\binom{11}{3} * \binom{11}{4} }{ \binom{15}{4}*\binom{11}{4} } \) \item[(d)] Ereignis A: 1. Paket enthält 1 blauen Laptop\\ Ereignis B: 2. Paket enthält 1 blauen Laptop\\ gesucht: \( A \cup B = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)\\ \( 2 * \frac{ \binom{4}{1} * \binom{11}{3} }{ \binom{15}{4} } - \frac{ \binom{4}{1} * \binom{11}{3} * \binom{3}{1} * \binom{8}{3} }{ \binom{15}{4} * \binom{11}{4}} \)\\ {\color{Orange} Man sieht hier: \(P(A \cap B) \not= P(A) * P(B) \)} \item[(e)] \( \frac{ \binom{2}{1} * \binom{9}{3} }{ \binom{11}{4} } \) \end{enumerate} \begin{itemize} \item[4.] Fall: Ziehen mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge.\\ {\color{Orange} \(\to\) ungeeignet für Wahrscheinlichkeitsrechnungen.}\\ \bsp 2 maliges Würfeln\\ Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt keine 5 auf?\\ im 4. Fall: \( \Omega = \{ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2), (2,3), … (6,6) \}; \quad \left|\Omega\right| = 21\)\\ Formal für die Anzahl der Ergebnisse in \(\Omega\):\\ \( \Omega = \binom{n+k-1}{k} = \binom{6+2-1}{2} = \binom{7}{2} = \frac{7!}{6!} = \frac{7 * 6}{2} = 21 \) {\color{Orange} Problem:} Ergebnisse sind nicht gleich Wahrscheinlich\\ \(\to\) 4. Fall: blöd!\\ \(\to\) statt dem 4. Fall wird der 1. Fall betrachtet: Ziehen mit Zurücklegen und mit Reihenfolge \(\to \left|\Omega\right| = n^k \)\\ im \bsp \( P(\text{keine 5}) = \frac{5^2}{6^2} = \frac{25}{36}\) \end{itemize} \bsp $k = 40$ Personen\\ Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben mindestens 2 am gleichen Tag Geburtstag?\\ $n = 365$ Kugeln; $k = 40$ maliges Ziehen\\ Ziehen mit Zurücklegen, mit Reihenfolge \( \to \) 1. Fall: \( \left| \Omega \right| = n^k = 365^{40} \)\\ \(P(\text{mindestens 2 haben am gleichen Tag Geburtstag})\)\\ \(= 1 - P(\text{alle haben an verschiedenen Tagen Geburtstag})\)\\ \( = 1 * \frac{ 365^{\underline{40}} }{365^{40}} \approx 89.123\% \) \underline{Binomialkoeffizient/Multinomialkoeffizient} Anzahl der Möglichkeiten, aus $n$ Elementen $k$ auszuwählen: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! * (n-k)!} \)\\ Allgemeiner:\\ Anzahl der Möglichkeiten, aus $n$ Elementen $k_1$ auszuwählen, aus den restlichen dann $k_2, …, k_l$\\ \( \binom{n}{k_1} * \binom{n-k_1}{k_2} * \binom{n-k_1-k_2}{k_3} * … * \binom{k_l}{k_l} \)\\[4mm] \( = \frac{n!}{k_1! * (n-k_1)!} * \frac{(n-k_1)!}{k_2! * (n-k_1-k_2)!} * \frac{(n-k_1-k_2)!}{…}*…* \frac{k_l!}{k_l! * 0!} \)\\[4mm] \( = \underbrace{\frac{n!}{k_1! * k_2! * … * k_l!}}_\text{Multinomialkoeffizient} \)\\[4mm] {\color{Orange} wobei $k_1 + k_2 + … + k_l = n $ } $n!$ = Anzahl der Möglichkeiten, $n$ verschiedene Elemente zu vertauschen\\[4mm] \( \frac{n!}{k_1! * k_2! * … * k_l! } = \) Anzahl der Möglichkeiten, $n$ Elemente zu vertauschen, bei denen $k_1$ von der Sorte 1 sind, $k_2$ von der Sorte 2, …, $k_l$ von der Sorte $l$. \bsp MISSISSIPPI \(\to\) Wie viele verschiedene Wörter erhält man durch vertauschen?\\ \spa\( \frac{11!}{1! * 4! * 4! * 2!} \) Sorte 1: M: $k_1 = 1$\\ Sorte 2: I: $k_2 = 4$\\ Sorte 3: S: $k_3 = 4$\\ Sorte 4: P: $k_4 = 2$ \end{document}