2011-11-02 Update 1. VL

Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex

@@ -3,8 +3,9 @@
 \usepackage[ngerman]{babel}
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage{amssymb}
-%usepackage{multicol}
-%usepackage{booktabs}
+\usepackage{multicol}
+\usepackage{framed}
+%\usepackage{booktabs}
 %\usepackage{pstricks}
 %\usepackage{pst-node}
 \usepackage[paper=a4paper,left=30mm,right=20mm,top=20mm,bottom =25mm]{geometry}
@@ -26,6 +27,14 @@
 \setcounter{tocdepth}{4}
 \definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0}
 \definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5}
+\definecolor{greenblue}{rgb}{0,0.25,0.5}
+
+\renewenvironment{leftbar}[1]{%
+    \def\FrameCommand{{{\vrule width #1\relax\hspace {8pt}}}}%
+    \MakeFramed {\advance \hsize -\width \FrameRestore }%
+}{%
+    \endMakeFramed%
+}
 
 \pagestyle{fancy} %eigener Seitenstil
 \fancyhf{} %alle Kopf- und Fußzeilenfelder bereinigen
@@ -39,6 +48,7 @@
 \newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}} 
 \newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}}
 \newcommand{\satz}{\textcolor{darkblue}{\textbf{Satz: }}}
+\newcommand{\bew}{\textcolor{greenblue}{\textbf{Beweis: }}}
 \newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor}
 \newcommand{\llfloor}{\left\lfloor}
 
@@ -404,7 +414,7 @@
 			\subitem rekursiv
 	\end{itemize}
 
-	Wir Konstruieren eine Sprache D, die nicht \underline{nicht} akzeptierbar ist.\\
+	Wir Konstruieren eine Sprache $D$, die nicht \underline{nicht} akzeptierbar ist.\\
 	D.\,h. \( D \not= L(M) \) für alle Turingmaschinen M.
 
 	\begin{tabular}{c|ccccc}
@@ -433,6 +443,91 @@
 	Es gilt aber \( x\in D \leftrightarrow x \not\in L(M_x) \)\\
 	Widerspruch!
 
+	\underline{Diagonalsprache} \( D = \{ x \mid x \not\in L(M_X) \} \) ist nicht \underline{akzeptierbar}.
+
+	%%TODO: Grafik
+
+	\( U = \{ (x,y) \mid i\underbrace{M_y \text{ akzeptiert } x}_{x \in L(M_y)} \} \)
+
+	\satz $H$ und $U$ sind nicht entscheidbar.
+
+	Beweis zu $U$: Angenommen $U$ wäre entscheidbar. D.\,h. es gibt eine Turingmaschine $M$, die $U$ akzeptiert die auf alle Eingaben hält.\\
+	Dann entscheidet folgende Turingmaschine $M'$ die Sprache $D$:
+
+		\( D = \{ x \mid (x,x) \not\in U \} \)\\
+		\( H = \{ (x,y) \mid M_y \text{ auf } x \text{ hält } \} \)
+
+	$M'$:
+	\begin{leftbar}{1mm}
+		Eingabe $x$.\\
+		Starte $M$ auf Eingabe $(x,x)$\\
+		Falls $M$ akzeptiert, dann verwerfe, sonst akzeptiere.
+	\end{leftbar}
+
+	Da $M$ immer hält, hält auch $M'$ auf alle Eingaben und $L( M')  = D$.\\
+	Widerspruch, da $D$ nicht entscheidbar. $\Box$
+
+	\underline{Zu $H$:} Angenommen $H$ ist entscheidbar, $H=L(M)$.\\
+	Konstruiere $M'$ für $D$:\\
+	$M'$:
+	\begin{leftbar}{1mm}
+		Eingabe $x$\\
+		Starte $M$ auf Eingabe $(x,x)$.\\
+		Falls $M$ akzeptiert\\
+		\begin{leftbar}{1mm}
+			dann starte $M_x$ auf $x$\\
+			falls $M_x$ akzeptiert, dann verwerfe\\
+			sonst akzeptiere\\
+		\end{leftbar}
+		sonst akzeptiere
+	\end{leftbar}
+
+	\begin{enumerate}
+		\item \( (x,x) \in H \to M_x(x) \) hält\\
+			und \( x \in D \leftrightarrow M_x \) verwirft
+		\item \( (x,x) \not\in H \Rightarrow M_x(x)\) hält nicht\\
+			\( \Rightarrow M_x \) verwirft $x$\\
+			\( \Rightarrow x \in D \)\\
+			Es gilt.: $M'$ hält auf alle Eingaben und \( L(M') = D \). Widerspruch \( \Box\)
+	\end{enumerate}
 
+	Das \underline{spezielle Halteproblem}\\
+	\spa \( H_0 = \{ x \mid M_x(x) \text{ hält } \} \)\\
+	$H_0$ ist akzeptierbar und entscheidbar.
 
+	\underline{Zu $H_0$}: Angenommen $H_0$ ist entscheidbar, \( H_0 = L(M)\).
+
+	\( T = \{ x \mid M_x \text{ hält auf alle Eingabe }\} \)
+
+	Turingmaschine $M$ heißt \underline{total}, falls $M$ auf alle Eingaben hält.
+
+	\( L_E = \{ x \mid M_x \text{ hat Eigenschaft } E \} \)
+
+	\satz $T$ ist nicht entscheidbar.
+	
+	\bew Sonst wäre $H$ entscheidbar.\\
+	Sei $M_T$ Turingmaschine für $T$ (die immer hält)\\
+	Turingmaschine $M$ für $H$: Eingabe $(x,y)$.\\
+	Betrachte folgende Turingmaschine $M_0$:
+
+	\begin{leftbar}{1mm}
+		$M_0$ auf Eingabe $w \in \Sigma^*$:\\
+		\spa Simuliere $M_y(x)$\\
+		\spa Falls $M_y(x)$  hält, dann akzeptiere
+	\end{leftbar}
+
+	\begin{itemize}
+		\item[1. Fall:]
+			\( (x,y) \in H \Rightarrow M_y(x) \) hält.\\
+			\( \Rightarrow M_0 \) akzeptiert\\
+			\( L(M_0) = \Sigma^* \)
+		\item[2. Fall:]
+			\( (x,y) \not\in H \Rightarrow M_0\) hält nicht\\
+			\( \Rightarrow M_0 \) verwirft\\
+			\( \Rightarrow L(M_0) = \emptyset \)
+	\end{itemize}
+
+	Sei $y_0$ Kodierung von $M_0$.\\
+	Dann gilt:\\
+	\spa \( (x,y) \in H \Leftrightarrow y_0 \in T \)
 \end{document}