Update: totale Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex

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 \newcommand{\bsp}{\textcolor{darkblue}{\textbf{\underline{Bsp.}: }}}
 \newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor}
 \newcommand{\llfloor}{\left\lfloor}
+\newcommand{\cunder}[2]{{\color{#1}\underline{\color{Black}#2}}}
 
 
 \title{Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik}
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 		\begin{itemize}
 			\item[3.] Fall: Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge.\\
-				\(\to\) Aus n Kugeln werden k {\color{Yellow}\underline{\color{Black}ausgewählt}}.\\
+				\(\to\) Aus n Kugeln werden k \cunder{Yellow}{ausgewählt}.\\
 				Vergleich mit 2. Fall: Ziehen ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge\\
 				\spa \(\to n^{\underline{k}} = \frac{n!}{(n-k)!}\) Möglichkeiten\\
 				Es gibt \(k!\) Möglichkeiten, \(k\) Kugeln zu Vertauschen (auf \(k\) Plätzen).\\
 				im 3. Fall:\\
 				gesamt: \( \frac{n!}{(n-k)! * k!} = \binom{n}{k} \) Möglichkeiten.\\
 				im Beispiel von Oben (f).\\
-				\spa Mögl. aus 5 Plätzen 2 Stück für die 3er {\color{Yellow}\underline{\color{Black}auszuwählen}}:\\
+				\spa Mögl. aus 5 Plätzen 2 Stück für die 3er \cunder{Yellow}{auszuwählen}:\\
 				\spa \( \binom 5 2 = \frac{5!}{2! * (5-2)!} = \frac{5 * 4 * \not 3 * \not 2 * \not 1}{2 * 1 * \not 3 * \not 2 * \not 1} = 10\)\\
 				\bsp Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt bei 100 maligem Würfeln genau 20 mal die 4 auf?\\
 				\( W = \frac{ \binom{100}{20} * 5^{80}  }{ 6^{100} } \)\\
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 	\underline{Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Allgemeiner:}
 
-	Ist \( \omega = B_1 \cup B_2 \cup … \cup B_K\) Zerlegung von \( \omega\) in {\color{Orange}\underline{\color{Black}disjunkte}} B, d.\,h. \( B_i \cap B_j = \emptyset \)\\
+	Ist \( \omega = B_1 \cup B_2 \cup … \cup B_K\) Zerlegung von \( \omega\) in \cunder{Yellow}{disjunkte} B, d.\,h. \( B_i \cap B_j = \emptyset \)\\
 	dann gilt: \( P(A) = P(A\mid B_1) * P(B_1) + P(A\mid B_2) * P(B_2) + … P(A\mid B_K) * P(B_K) \)
 
 	\bsp Datenübertragung über 2 Kanäle (alternativ).\\
@@ -387,4 +388,48 @@
 	\spa 90\% der Daten, die über Kanal 2 übertragen werden, kommen korrekt an.\\
 	\spa 40\% der Daten werden über Kanal 1 übertragen, 60\% über Kanal 2.
 
+	\begin{itemize}
+		\item[(a)] Wie viel Prozent der Daten werden über Kanal 1 übertragen und kommen korrekt an?\\
+			Formulierung mit Ereignissen:\\
+			A: Daten werden über Kanal 1 übertragen\\
+			B: Daten kommen korrekt an.\\
+			gegeben: \(P(A) = 0,40;  P(B\mid A) = 0,95; P(B\mid \overline{A}) = 0.90 \)\\
+			Gegenteile: \( P(\overline{A}) = 0,60; P(\overline{B} \mid A) = 0.05; P(\overline{B}\mid \overline{A}) = 0.10 \)\\
+			gesucht: \( \underbrace{P(A)}_{0,4} * \underbrace{P(B\mid A)}_{0,95} = 0,38 = 38\% \)
+		\item[(b)] Wie viel Prozent der Daten werden über Kanal 1 übertragen und kommen nicht korrekt an?\\
+			\( P(A \cap B) = \underbrace{P(\overline{B}\mid A}_{=0,05} * \underbrace{P(A)}_{0,4} = 0,02 = 2\% \)
+		\item[(c)] Wie viel Prozent der Daten kommen korrekt an?\\
+			\( P(B) = \underbrace{P(B\mid A)}_{0,95} * \underbrace{P(A)}_{0,4} + \underbrace{P(B|\overline{A})}_{0,9} * \underbrace{P(\overline{A})}_{0,6} = 0,92 = 92\% \)
+		\item[(d)] Wie viel Prozent der Daten kommen nicht korrekt an, wenn man weiß, dass sie über Kanal 1 übertragen wurden?\\
+			\( P(\overline{B}\mid A) = 0,05 = 5\% \)
+		\item[(e)] Wie viel Prozent der Daten kommen korrekt an oder werden über Kanal 1 Übertragen?\\
+			\( P(B\cup A) = P(B) + P(A) - P(A\cap B) \overset{(c)(a)}{=} 0,92 + 0,4 - 0,38 = 0,94 = 94\% \)
+		\item[(f)] Wie viel Prozent der Daten, die korrekt ankommen, wurden über Kanal 1 übertragen?\\
+			\( P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \overset{(a)}{\underset{(c)}{=}} \frac{0,38}{0,92} = 0,413 = 41,3\% \)
+	\end{itemize}
+
+	Im vorigen Beispiel:\\
+	A und B sind abhängig, da \( \underbrace{P(B\mid A)}_{0,95} \not= \underbrace{P(B\mid\overline{A})}_{0,9} \)
+
+	\bsp Datenübertragung:\\
+	\spa 1\% der gesendeten 1en kommt als 0 an.\\
+	\spa 2\% der gesendeten 0en kommt als 1 an.\\
+	\spa 30\% der gesendeten Daten sin 0en.
+	\begin{itemize}
+		\item[(a)] Wie viel Prozent der Daten sind 0en, die als 1 ankommen?\\
+			\( P(A \cap \overline{B}) = P(\overline{B}\mid A) * P(A) = 0,02 * 0,03 = 0,006 = 0,6\% \)
+		\item[(b)] Wie viel Prozent der ankommenden 0en sind 1en, die gesendet wurden?\\
+			\( P(\overline{A}\mid B) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B\mid\overline{A} * P(\overline{A}}{P(B)} \)
+	\end{itemize}
+
+	Ereignisse:
+	\begin{itemize}
+		\item[A:] 0 wird gesendet
+		\item[B:] 0 kommt an
+	\end{itemize}	
+
+	Gegeben: \( P(B\mid\overline{A}) = 1\%; P(\overline{B}\mid A) = 2\%; P(A) = 30\% \)\\
+	
+
+
 \end{document}