Update: totale Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex

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 		Sorte 3: S: $k_3 = 4$\\
 		Sorte 4: P: $k_4 = 2$
 
+	\subsection{Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit}
+
+	\bsp 2 rote Bälle und ein gelber Ball. Wir ziehen 2 Bälle ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge.\\
+	Mit welcher Wahrscheinlichkeit
+	\begin{itemize}
+		\item[(a)] ist der 1. Ball rot?\\
+			\( \frac 2 3 \)
+		\item[(b)] ist der 2. Ball rot?\\
+			\( \frac 2 3 \)
+		\item[(c)] sind beide Bälle rot?\\
+			\( \frac 2 3 * \frac 1 2 = \frac 1 3 \)
+		\item[(d)] ist der 2. Ball rot, wenn man weiß, dass der 1. Ball rot ist?\\
+			\( \frac 1 2 \)
+	\end{itemize}
+	
+	mit Ereignissen formuliert:
+	\begin{itemize}
+		\item[A:] 1. Ball ist rot
+		\item[B:] 2. Ball ist rot
+		\item[(a)]\( P(A) = \frac 2 3 \)
+		\item[(b)] \( P(B) = \frac 2 3 \)
+		\item[(c)] \( P(A \cap B) = \frac 2 4 * \frac 1 3 \)\\
+			Man sieht: \( P(A\cap B) \not= P(A) * P(B) \), denn A und B sind abhängig.\\
+			\( P(A \cap B) = \frac 2 3 * \frac 1 2 = P(A) * P(B \mid A) \)
+		\item[(d)] bedingte Wahrscheinlichkeit \( P(B \mid A) = \frac 1 2 \not= P(B) \), denn A und B sind abhängig.
+	\end{itemize}
+
+	\defin Für 2 Ereignisse A und B ist die \underline{bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A}\\
+	\spa \( P(B\mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) (wenn \(P(A) \not= 0\))
+
+	\defin umgestellt zur Berechnung von \(P(A\cap B)\):\\
+	\spa \( P(A\cap B) = P(A) * P(B\mid A) = P(B) * P(A\mid B) \) {\color{Orange}\(\to\) gilt immer}
+
+	\defin 2 Ereignisse A und B sind \underline{unabhängig}, wenn \( P(A\cap B) = P(A) * P(B) \).\\
+	\spa bzw. wenn \(P(B\mid A) = P(A) \)\\
+	\spa bzw. wenn \(P(A\mid B) = P(B) \)\\
+	\spa {\color{Orange} \(\to\) nur bei unabhängigen Ereignissen.}
+
+	\subsubsection{Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit}
+
+	{\color{Orange}wenn \(P(A\mid B)\) und \(P(A\mid \overline{B})\) bekannt sind.}\\
+	\( P(A) = P(A\mid B) * P(B) + P(A\mid \overline{B}) * P(\overline{B}) \)
+
+	Anwendung des Satzes für (b):\\
+	\( P(\underbrace{B}_{\text{2. Ball rot}}) = \underbrace{P(B\mid A)}_{\frac 1 2} * \underbrace{P(A)}_{\frac 2 3} + \underbrace{P(B\mid \overline{A})}_{1} * \underbrace{P(\overline{A})}_{\frac 1 3} \)
+
+	\underline{Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Allgemeiner:}
+
+	Ist \( \omega = B_1 \cup B_2 \cup … \cup B_K\) Zerlegung von \( \omega\) in {\color{Orange}\underline{\color{Black}disjunkte}} B, d.\,h. \( B_i \cap B_j = \emptyset \)\\
+	dann gilt: \( P(A) = P(A\mid B_1) * P(B_1) + P(A\mid B_2) * P(B_2) + … P(A\mid B_K) * P(B_K) \)
+
+	\bsp Datenübertragung über 2 Kanäle (alternativ).\\
+	\spa 95\% der Daten, die über Kanal 1 übertragen werden, kommen korrekt an.\\
+	\spa 90\% der Daten, die über Kanal 2 übertragen werden, kommen korrekt an.\\
+	\spa 40\% der Daten werden über Kanal 1 übertragen, 60\% über Kanal 2.
 
 \end{document}