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@ -38,6 +38,7 @@
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\newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}}
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\newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}}
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\newcommand{\satz}{\textcolor{darkblue}{\textbf{Satz:}}}
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\newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor}
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\newcommand{\llfloor}{\left\lfloor}
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@ -191,5 +192,83 @@
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M akzeptiert x, falls es eine akzeptierende Rechnung gibt.
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\subsubsection{Nichtdeterministische Mehrband Turingmaschine}
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Bsp. \( L = \{ x0y \mid \left|x\right| = \left|y\right| \}\)\\
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über \( \Sigma = \{0,1\}\)
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\begin{align*}
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\delta(Z_0, 1, \Box) &= \{( Z_0,1,1,R,R )\}\\
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\delta(Z_0,0,\Box) &= \{ (Z_0,0,0,R,R), (Z_1,0,\Box,R,L) \} \\
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\delta(Z_1,a,b) &= \{ (Z_1,a,b,R,L) \} \quad a,b \rightarrow \{0,1\}\\
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\delta(Z_1,\Box,\Box) &= \{ (Z_a,\Box,\Box,N,N) \}\\
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\delta(Z_0,\Box,\Box) &= \{ (Z_v,\Box,\Box,N,N) \}\\
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\end{align*}
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(fehlende Anweisungen verwerfen.)
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Deterministisch: \(\delta: Z\times \Gamma \to Z \times \Gamma \times \{ L,N,R\} \)\\
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Nicht Deterministisch: \(\delta: Z\times \Gamma \to \mathcal P(Z \times \Gamma \times \{ L,N,R\}) \)
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\satz Zu jeder k-Band Turingmaschine gibt es eine äquivalente (1-Band) Turingmaschine\\
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\underline{Bew.:} (Idee)\\
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k-Band Turingmaschine M\\\
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c} \hline & x & & & \\\hline & & y & & \\\hline & & & z & \\\hline \end{tabular}
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TM M'\\
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
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\hline & \# & x & & & \# & & y & & \# & & & z & \# & \\\hline
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\end{tabular}
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M:\\
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
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\hline
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\(\Box\)&a&b&a&c&\(\Box\)\\
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\hline
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\(\Box\)&c&c&\(\Box\)\\
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\hline
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\(\Box\)&b&a&a&a&\(\Box\)\\
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\hline
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\end{tabular}
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M':\\
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
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\hline
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\# & \(\Box\)& a& \(\dot b\)& a&c&\(\Box\)&\#&\(\Box\)&\(\dot c\)&a&\(\Box\) & \# & \(\dot\Box\) & b&a&a&a&\(\Box\)&\#\\
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\hline
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\end{tabular}\\
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\( \dot b \rightarrow \Gamma' - \Gamma \)
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M' läuft 2x mal über das gesamte Band (und zurück)
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\begin{enumerate}
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\item M' merkt sich alle Zeichen, die die Lese-Schreibköpfe aktuell lesen
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\item M' führt die Änderungen gemäß \(\delta\) von M auf allen Bändern aus.
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\end{enumerate}
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Merke Zeichen im Zustand:\\
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\spa \( Z_{Z,b,c,\Box} \)\\
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d.\,h. \(\left|Z\right| \cdot \left|\Gamma\right|^3 \) viele Zustände, also endlich.
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Initial:\\
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
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\hline
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\# & x & \# & \(\Box\) & \# & \(\Box\) &\#\\
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\hline
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\end{tabular}
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Zeit: M macht t Schritte auf Eingabe X.\\
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Alle Bänder von M' sind also mit Wörtern beschriftet mit Länge \(\le t\)\\
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\(\to\) Beschrifteter Teil des Bands von M hat Länge \(\le k \cdot t \)
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Pro Schritt von M macht M'
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\begin{itemize}
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\item \( \le 2 \cdot 2 \cdot t \) Schritte für die beiden Durchläufe.
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\item verschieben zum Platz schaffen \( \le k \cdot 2\cdot t\)
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\item Zusammen \( \le (k+2) \cdot 2\cdot t = \mathcal O(t)\).\\
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M macht t Schritte \( \Rightarrow M' \) macht \( \mathcal O(t^2) \) Schritte
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\end{itemize}
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\satz Zu jeder NTM gibt es eine äquivalente TM.
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Bew. (Idee):\\
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Sei M NTM
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\end{document}
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