Update Berechenbarkeits-KomplexTh

Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex

@@ -303,5 +303,95 @@
 	Algorithmus = TM
 	intuitiver Begriff = formal 
 
+	\subsection{Kodierung von Turingmaschinen}
+
+	Sei M TM mit \( Z = \{ Z_1, Z_2, …, Z_k \}\) und \( \Sigma \le \Gamma = \{ a_1, a_2, …, a_m \} \)\\
+	Sei \( \delta(Z_i,a_j) = (Z_{i'}, a_{j'}, d) \)\\
+	\( d = \{ L,M,R \} \)
+
+	Kodiere mit:\\
+	\( x_{i,j} = 0 1^i 0 1^j 0 1^{i'} 0 1^{j'} 0 1^{d'} 0 \)
+
+	mit \( d = \begin{cases} 1 & \text{,falls d = L} \\ 2 & \text{,falls d = N} \\ 3 & \text{,falls d = R} \end{cases} \)
+
+	Kodiere M durch\\
+	\( x = x_{1,1} x_{1,2} … x_{1,m} x_{2,1} … x_{k,m} \)
+
+	Dabei lege fest: \(Z_1\) ist Startzustand; \( Z_{k-1} \) ist \(Z_V\); \(Z_k\) ist \( Z_a \)\\
+	und \( a_1 = \Box \)
+
+	Damit besitzt jede Turingmaschine M eine Kodierung \( x \in \{0,1\}^* \). x heißt auch \underline{Index} oder \underline{Gödelnummer von M}\\
+	Nicht jedes Wort aus \(\{0,1\}^*\) taucht als Kodierung gemäß obigem Schema auf.\\
+	Deswegen: Für \(x\in \{0,1\}^* \)\\
+	\( x \to \begin{cases} M_x & \text{, falls Kodierung von } M_x x \text{ ergibt}\\ M_0 & \text{, sonst} \end{cases} \)\\
+	\(M_0\) fest, mit \( L(M_0) = \emptyset \)
+
+	Mit dieser Festlegung kodiert \underline{jedes} Wort \( x \in \{0,1\}^* \) eine TM \(M_x\).
+
+	D.\,h. \( \{0,1\}^* = \{ \epsilon, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, … \} \)\\
+	dies ist eine Aufzählung aller 0-1-Wörter und damit auch aller Turingmaschinen.
+
+	\subsection{Das Halteproblem}
+
+	\( H = \{ (x,y) \mid M_y(x) \text{ hält} \} \)\\
+	dabei sei \((x,y) = x_1 x_1 x_2 x_2 … x_n x_n 01 y \)\\
+	\( (010, 10) = \begin{cases} 000101010 \\ 00 11 00 10 \underbrace{10}_{y} \end{cases} \)
+
+	\subsection{Die Universalsprache}
+
+	\( U = \{ (x,y) \mid M_y \text{ akzeptiert } x \} \)
+
+	Eine Sprache L heißt (Turing-) \underline{akzeptierbar}, falls es eine Turingmaschine M gibt, mit \( L(M) = L \).
+
+	L heißt (Turing-) \underline{entscheidbar}, falls M zusätzlich auf alle Eingaben hält.
+
+	U ist akzeptierbar:\\
+	Beschreibe zunächst eine 3-Band-Turingmaschine\\
+	M für U\\
+	M: \begin{tabular}{c|c|c}
+		\hline
+		&\((x,y)\)&\\
+		\hline
+	\end{tabular}\\
+	\(\underset{Z_1\text{ Startzustand}}{\to}\)\\
+	\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
+		\hline
+		&\(x_1\)&\(x_2\)&…&\(x_n\)&\\
+		\hline
+		& \(Z_1 \) &\\
+		\hline
+		&\(y\)&\\
+		\hline
+	\end{tabular}\\
+	dann simuliere \(M_y\) auf dem 1. Band
+
+	d.\,h. Suche in y die Stelle wo \( \delta(Z_1,x_1)\) definiert ist und führe dann Änderungen auf dem 1. Band aus. * Dann gehe auf Band 2 und 3 wieder nach links und wiederhole.\
+	Abbruch wenn \(M_y\) \(Z_a\) oder \(Z_v\) erreicht.
+
+	* Auf Band 2 ändere den Zustand.
+
+	M akzeptiert, falls \(M_y\) \(Z_a\) erreicht und verwirft bei \(Z_v\).
+
+	Dann gilt:\\
+	\begin{itemize}
+		\item \((x,y) \in U \Rightarrow M_y(x) \) akzeptiert.\\
+			\(\Rightarrow M_y(x)\) kommt nach endlich vielen Schritten nach \(Z_a\)\\
+			\(\Rightarrow M(x,y)\) akzeptiert
+		\item \( (x,y) \not\in U \Rightarrow M_y(x)\) verwirft.
+			\begin{itemize}
+				\item[a)] \( M_y(x) \) erreicht \(Z_v\)\\
+					\( \Rightarrow M(x,y)\) verwirft.
+				\item[b)] \( M_y(x) \) hält nicht\\
+					\( \Rightarrow M(x,y) \) hält nicht.\\
+					\( \Rightarrow M(x,y) \) verwirft.
+			\end{itemize}
+	\end{itemize}
+
+	Es gibt also \( L(M) = U \).\\
+	Sei \(M_U\) die zu M äquivalente (1-Band) Turingmaschine.\\
+	\(M_U\) heißt \underline{universelle Turingmaschine}. 
+
+	Analog ist H akzeptierbar.\\
+	(nehme M von oben und akzeptiere auch, wenn \(Z_v\) erreicht wird.)
 
 \end{document}

Sichere_Hardware/Sichere_Hardware.tex

@@ -221,4 +221,26 @@
 				Wenn identisch, Anmeldung, sonst Fehlermeldung
 		\end{enumerate}
 
+		\subsection{Digitale Signatur}
+
+		A \begin{tabular}{|c|c|} \hline \(pS(a) \) & \(öS(a) \) \\\hline \end{tabular} \\
+		A: Nachricht + \(pS(a) \to V_M \to B\) \\
+		B: \(V + öS(A) \to M\)
+
+		Authentizität, aber keine Vertraulichkeit!
+
+		z.\,B. AES-Verschlüsselte Passwörter\\
+		256 Bit
+
+		PW: Groß-/Kleinbuchstaben, Ziffern\\
+		\(26+26+10=62\)\\
+		\(\Rightarrow\) 1 Zeichen d. PW \(\mathrel{\widehat{=}} \text{ } \approx \) 6 Bit
+
+		\(\Rightarrow\) im Sicherheit von AES voll nutzen zu können, wären \( \frac{256 Bit}{6 Bit} = 42\) Zeichen lange Passwörter nötig!
+
+		z.\,B. 6 Zeichen Passwort \(\mathrel{\widehat{=}}\) 36 Bit Schlüssellänge
+
+		z.\,B. Truecrypt:\\
+		PW \(\to\) Hash-Alg. \(\to\) 256-Bit AES-Schlüssel \(\to\) AES
+
 \end{document}