Update: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex

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 		P(\underline{entweder} A oder B) ) \( P(A) + P(B) - 2 \cdot P(A\cap B)\) \(( = P( (A\cap \overline{B}) \cup (\overline{A}\cap B) ))\)
 
-		allgemeiner:\\
+		Allgemeiner:\\
 		\begin{align*}
 			P(A \cup B \cup C) = &P(A) + P(B) + P(C) \\
 			&+ P(A\cap B\cap C) \\
 			&- P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C)
 		\end{align*}
 
-		allgemein (Siebformel oder Inklusions-Exklusions-Methode):
+		Allgemein (Siebformel oder Inklusions-Exklusions-Methode):
 		\begin{align*}
 			    &P(A_1 \cup A_2 \cup … \cup A_n)\\
 			  = &P(A_1) + P(A_2) + … + P(A_n)\\
@@ -174,13 +174,93 @@
 			  &+(-1)^{n+1} \cdot P(A_1 \cap A_2 \cap … \cap A_n )
 		\end{align*}
 
-		\bsp 100 maliges Würfeln. Mit welcher W. titt {\color{Orange}\(\to 6^{100} \) mögliche Ergebnisse}\\
+		\bsp 100 maliges Würfeln. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt {\color{Orange}\(\to 6^{100} \) mögliche Ergebnisse}\\
 		\begin{itemize}
 			\item[(a)] 100 mal 5 auf? { \color{Orange}\( \frac 1 {6^{100}} \) }
 			\item[(b)] keine 5 auf? { \color{Orange} \( \left( \frac 5 6 \right)^{100} \) }
-			\item[(c)] mindestens eine 5 auf? { \color{Orange} \( 1- \left( \frac 5 6 \right)^{100} \) }
+			\item[(c)] mindestens eine 5 auf? { \color{Orange} \( 1- \left( \frac 5 6 \right)^{100} \) } \( \to \) Über Gegenereignis (b).
 			\item[(d)] genau eine 5 auf? { \color{Orange} \( \frac 1 6 \cdot  \left( \frac 5 6 \right)^{99} \cdot 100 \) }
 		\end{itemize}
 
+		\subsection{Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der Kombinatorik}
+
+		Für ein Ereignis A, das Teilmenge von \(\Omega\) ist.\\
+		\( P(A) = \frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}= \frac{\text{günstige Fälle}}{\text{mögliche Fälle}} \) {\color{Orange}Elemente von \(\Omega\) = Anzahl aller möglichen Ergebnisse}\\
+		Nur wenn alle Ergebnisse aus \(\Omega\) \underline{gleich} Wahrscheinlich sind.
+		{\color{Orange}ansonsten: \( P(A) = \sum\limits_{\omega \in A} P(\omega) \)}
+
+		Berechnung von \(\left|A\right|\) und \( \left|\Omega\right| \) mit der Kombinatorik.\\
+
+		Kombinatorik:\\
+		k-maliges Ziehen aus n Kugeln.\\
+		Ziehen mit oder ohne Zurücklegen.\\
+		mit/ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.
+
+		\bsp Lotto \( k = 6\) aus \(n = 49\). Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge.
+
+		4 Fälle:
+		\begin{enumerate}
+			\item
+				Fall: Ziehen mit Zurücklegen, mit Reihenfolge:\\
+				\( n^k \) Möglichkeiten {\color{Orange}gesamt: \(\left|\Omega\right| = n^k\) Möglichkeiten}
+			\item  
+				Fall: Ziehen ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge:\\
+				\( \frac{n!}{(n-k)!} = n^{\underline{k}} \)
+		\end{enumerate}
+
+		\bsp Ein 5 stelliger Code wird zufällig zufällig gewählt, bestehend aus Ziffern \( 1,2,…,9 \).\\
+		{\color{Orange} \( k=5; n=9 \) Gesamt: \( n^k = 9^6 \) Möglichkeiten}\\
+		Mit welcher Wahrscheinlichkeit
+		\begin{itemize}
+			\item[(a)] tritt die Kombination \(13758\) auf?\\
+				{\color{Orange} \( \frac{1}{9^5} \)}
+			\item[(b)] enthält der Code lauter gleiche Zahlen?\\
+				{\color{Orange} \( \frac{9}{9^5} = \frac{1}{9^4} \)}
+			\item[(c)] enthält der Code lauter verschiedene Zahlen?\\
+				{\color{Orange} \( \frac{9!}{4! * 9^5} \) }
+			\item[(d)] beginnt der Code mit 3?\\
+				{\color{Orange} \( \frac{1 * 9^4}{9^5} = \frac 1 9 \)}
+			\item[(e)] enthält der Code genau eine 3?\\
+				{\color{Orange} \( \frac 1 9 * \left(\frac 8 9\right)^4 * 5 = \frac{ 5 * 8^4 }{ 9^5 } \)}
+			\item[(f)] enthält der Code genau zwei 3er?\\
+				{\color{Orange} \( \left(\frac{1}{9}\right)^2 * \left(\frac{8}{9}\right)^3 * 2 * 5 = \frac{10 * 8^3}{9^5} \)}
+		\end{itemize}
+
+		%
+
+		\begin{itemize}
+			\item[3.] Fall: Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge.\\
+				\(\to\) Aus n Kugeln werden k {\color{Yellow}\underline{\color{Black}ausgewählt}}.\\
+				Vergleich mit 2. Fall: Ziehen ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge\\
+				\spa \(\to n^{\underline{k}} = \frac{n!}{(n-k)!}\) Möglichkeiten\\
+				Es gibt \(k!\) Möglichkeiten, \(k\) Kugeln zu Vertauschen (auf \(k\) Plätzen).\\
+				im 3. Fall:\\
+				gesamt: \( \frac{n!}{(n-k)! * k!} = \binom{n}{k} \) Möglichkeiten.\\
+				im Beispiel von Oben (f).\\
+				\spa Mögl. aus 5 Plätzen 2 Stück für die 3er {\color{Yellow}\underline{\color{Black}auszuwählen}}:\\
+				\spa \( \binom 5 2 = \frac{5!}{2! * (5-2)!} = \frac{5 * 4 * \not 3 * \not 2 * \not 1}{2 * 1 * \not 3 * \not 2 * \not 1} = 10\)\\
+				\bsp Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt bei 100 maligem Würfeln genau 20 mal die 4 auf?\\
+				\( W = \frac{ \binom{100}{20} * 5^{80}  }{ 6^{100} } \)\\
+		\end{itemize}
+
+		\bsp Lotto 6 aus 49\\
+		Berechne die Wahrscheinlichkeiten für
+		\begin{enumerate}
+			\item[(a)] 6 Richtige\\
+				\( \frac{1}{\binom{6}{49}} = \frac{1}{13.983.816} \) ~ 14 Mio. Möglichkeiten
+			\item[(b)] 4 Richtige\\
+				\( \frac{ \binom{6}{4} * \binom{43}{2} }{ \binom{6}{49} } = \frac{645}{665896} \approx 0.096861972440140803\%\)
+			\item[(c)] 3 Richtige\\
+				\( \frac{ \binom{6}{3} * \binom{43}{3} }{ \binom{6}{49} } = \frac{8815}{499422} \approx 1.765040386687010184\%\)
+		\end{enumerate}
+
+		\bsp Kiste mit 4 blauen, 3 roten, 8 gelben Laptops\\
+		Wir wählen zufällig 8 aus.
+		\begin{enumerate}
+			\item[(a)] Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind 3 blau und 5 gelb?\\
+				\( \frac{ \binom{4}{3} * \binom{3}{0} * \binom{8}{5} }{\binom{15}{8}} = \frac{224}{6435} \) 
+			\item[(b)] Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind 6 gelb\\
+				\( \frac{ \binom{8}{6} * \binom{7}{2} }{ \binom{15}{8} } = \frac{196}{2145} \)
+		\end{enumerate}
 
 \end{document}