Update Berechenbarkeits-KomplexTh (1. VL 2011-11-09)

Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex

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 	\bsp \( D = \{ \left[ \frac{b}{ca} \right], \left[ \frac{a}{ab} \right], \left[ \frac{ca}{a} \right], \left[ \frac{abc}{c} \right] \} \)
 
-	Ziel: lege Domins so, dass das Wort, das oben steht gleich dem ist, das unten steht.
+	Ziel: lege Dominos so, dass das Wort, das oben steht gleich dem ist, das unten steht.
 
 	\( \left[ \frac{a}{ab} \right] \left[ \frac{b}{ca} \right] \left[ \frac{ca}{a} \right] \left[ \frac{abc}{c} \right] \) Widerspruch!\\
 	\( \left[ \frac{a}{ab} \right] \left[ \frac{b}{ca} \right] \left[ \frac{ca}{a} \right] \left[ \frac{a}{ab} \right] \left[ \frac{abc}{c} \right] \)
@@ -595,11 +595,72 @@
 
 	\( \left[ \frac{ab}{abc} \right]\left[ \frac{c}{ab} \right] \)
 
-	hat keine Lösung, da Wörter unten immer Länger aös Wörter oben sind. \( D_1 \not\in PCP \)
+	hat keine Lösung, da Wörter unten immer Länger als Wörter oben sind. \( D_1 \not\in PCP \)
 
 	\bsp \( \{ \left[ \frac{0}{011} \right] \left[ \frac{001}{1} \right] \left[ \frac{1}{00} \right] \left[ \frac{11}{110} \right] \} \)\\
 	Kürzeste Lösung hat 515 Dominos.
 
 	PCP ist unentscheidbar
 
+	Eulerkreise:
+
+	Rundweg in $G$, der über \underline{jede} Kante \underline{genau einmal} führt.\\
+	Kreis \( = (1,5,2,3,1,2,4,6,3,4) \)
+
+	Ein Eulescher Kreis besucht jeden Knoten gerade oft, d.\,h. jeder Knoten muss geraden Grad haben.\\
+	\satz (Euler) $G$ ungerichtet, zusammenhängend\\
+	$G$ hat Eulerkreis \( \Leftrightarrow \) jeder Knoten hat geraden Grad.
+
+	Zu "\(\Leftarrow\)":
+	Konstruiere Eulerkreis\\
+	Starte an beliebigem Knote, der noch unbesuchte Knoten hat. Laufe in beliebige Richtung, solange bis es nicht mehr weiter geht.\\
+	Falls es noch unbesuchte Kanten gibt, wiederhole.\\
+	Füge (rekursiv) die Kreise zu einem Kreis zusammen.
+
+	Der Algorithmus funktioniert, weil in jeder Iteration in dem Restgraph mit dem noch unbesuchten Kanten jeder Knoten geraden Grad hat. (Invariante)
+
+	\underline{Hamilton Kreise}
+
+	= Kreise, in denen jeder Knoten genau einmal besucht wird.
+
+	Brute force: teste alle Möglichkeiten.\\
+	n Knoten. Liste alle Permutationen der n Knoten auf.\\
+	\(1,2, 3, …, n\)\\
+	\(2,1,3,…,n\)\\
+	…
+
+	für jede Permutation teste, ob sie ein Hamilton Kreis ist d.\,h. ob alle Kreiskanten in $G$ existieren.\\
+	Laufzeit \( \ge n! \) (im schlechtesten Fall)\\
+	\( n! \approx 2^{n \log n} \ge 2^n \)\\
+	also exponentielle Laufzeit.
+
+	(Sehr schneller) Rechner mit \( 10^9 \frac{\text{instructions}}{s} \)\\
+	\( n = 100 \)\\
+	\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
+		$t(n)$ & $n$ & $n^2$ & $n^3$ & $2^n$ \\
+		\hline
+		Zeit   & $\frac{1}{10^7}$ & $\frac{1}{10^4}$ & $\frac{1}{10^2}$ & \( \frac{2^{100}}{10^9}  = \frac{(2^{10})^{10}}{10^9} \approx \frac{(10^3)^{10}}{10^9} = 10^{21} s = 3 * 10^{13} \) Jahre
+	\end{tabular}
+
+	Schnellere Hardware:\\
+	Sei $n_0$ = Eingabegröße, die in 1h gelöst wird.\\
+	Neue Rechner, 1000-mal schneller als bisher.\\
+	Berechne $n_1$ = Eingabegröße, die in einer Stunde mit den neuen Rechnern gelöst wird.
+	\begin{enumerate}
+		\item
+			\( t(n) = n \)\\
+			1h. \( t(n_1) = 1000 t(n_0) \)\\
+			\( n_1 = 1000 * n_0 \)
+		\item 
+			\( t(n) = n^2: n_1^2 = 1000*n_0^2 \)\\
+			\( n1 = \underbrace{\sqrt{1000}}_{\approx 33} * n_0 \)
+		\item
+			\( t(n) = n^3 \)\\
+			\( n_1^3 = 1000*n_0^3 \)\\
+			\( n_1 = 10 * n_0 \)
+		\item
+			\( t(n) = 2^n \)\\
+			\( 2^{n_1} = 1000 * 2^{n_0} = 2^{n_0 + \log 1000} \)\\
+			\( \Rightarrow n_1 = n_0 + \underbrace{\log 1000}_{\le 10} \)
+	\end{enumerate}
 \end{document}