2011-11-13 2. VL Berechenbarkeits-KomplexTh

Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex

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 	Zu jedem Zeitpunkt $t$ ist genau eine Variable von \(zust_{t,z_0}, …, zust_{t,z_k} \) wahr.
 	Ebenso von \( pos_{t,-p(m),…,p(m)} \)
 
-	
+	Variable \(y_1,…,y_n\)\\
+	\( G(y_1,…,y_n) = \begin{cases} 1, & \text{falls genau eine der Variable } y_i = 1 \text{ ist}\\0, &\text{sonst}\end{cases} \)
+
+	\( G = y_1,…,y_n) = ( \bigvee\limits_{i=1}^n y_i ) \land ( \bigwedge\limits_{1\le i\le j\le n} \overline{y_i \land y_j} ) \)
+
+	1. Teil heißt: \(\ge 1\) Variablen ist \(1\)\\
+	2. Teil heißt: keine 2 Variablen sind 1 \(\equiv \le 1\) Variable ist 1
+
+	Damit\\
+	\( R = \bigwedge\limits_{t=0}^{p(n)} \left( G( zust_{t,t_0}, …, zust_{t,t_k} ) \land G(pos_{t,-p(n)},…,pos_{t,p(n)}) \land \bigwedge\limits_{i=-p(n)}^{p(n)} G(band_{t,i,a},…,band_{t,i,a_m}) \right) \)\\
+	\( \left|R\right| = O\left(p(n) * (1 + (2*p(n))^2 + 2 * p(n) * 1) \right) \)\\
+	\( = O(p^3(n)) \)
+
+	\(A\), die Anfangsbedingung beschreibt die Variablen zum Zeitpunkt \(t=0\).\\
+	\( A = zust_{0,Z_0} \land pos_{0,1} \land \left( \bigwedge\limits_{i=-p(n)}^{0} band_{0,1,\Box} \land \bigwedge\limits_{i=1}^{n} band_{0,i,x_i} \land \bigwedge\limits_{i = n+1}^{p(n)} band_{0,i,\Box} \right)\)\\
+	\( \left|A\right| = O(p(n)) \)
+
+	\( \ddot U_1 = \) Beschreibt den Übergang von $t$ nach \(t+1\) an der Stelle, an der der Lese/Schreib-Kopf steht.\\
+	\( = \bigwedge\limits_{t=0}^{p(n)-1} \bigwedge\limits_{z\in Z} \bigwedge\limits_{i=-p(n)}^{p(n)} \bigwedge\limits_{a\in\Gamma} \left( (zust_{t,Z} \land pos_{t,i} \land band_{t,i,a} ) \to \bigvee\limits_{Z',a',d} ( zust_{t+1,Z'} \land pos_{t+1,i+d} \land band_{t+1,i,a'} ) \right)\)\\
+	\( (Z',a',d) \in \delta(Z,a) \) mit \( d = \begin{cases} 1 & \text{für R} \\ 0 & \text{für N} \\ -1 & \text{für L} \end{cases} \)
+
+	\( \left|\ddot U_1\right| = O\left( p(n) * 1 * (2 *p(n)) * 1 * 1 \right) = O\left(p^2(n)\right) \)
+
+	\(\ddot U_2\) beschreibt die restlichen Übergänge.\\
+	\( \ddot U_2 = \bigwedge\limits_{t=0}^{p(n)} \bigwedge\limits_{i=-p(n)}^{p(n)} \bigwedge\limits_{a\in\Gamma} \left( \neg pos_{t,i} \land band_{t,i,a} \to band_{t+1,i,a} \right) \)
+	\( \left|\ddot U_2\right| = O\left(p^2(n)\right) \)
+
+	E beschreibt das Ende, dass M akzeptiert\\
+	\( E = \bigvee\limits_{t=1}^{p(n)} zust_{t,Z_a} \)\\
+	\( \left|E\right| = O\left(p(n)\right) \)
+
+	\( F_x = R\land A\land \ddot U_1 \land \ddot U_2 \land E \)\\
+	\( \left|F_x\right| = O\left(p(n)^3\right) \)
+
+	Dann gilt:\\
+	zu jeder akzeptierenden Rechnung von \(M(x)\) gibt es eine zugehörige Belegung der Variablen von \(F_x\), die \(F_x\) erfüllt, und umgekehrt.
+
+	Es gilt also: \(M(x)\) hat gleichviele akzeptierende Rechnungen wie \(F_x\) erfüllende Felegungen.\\
+	Insbesondere gilt also:\\
+	\spa \( x\in L(M) \Leftrightarrow F_x \in SAT \quad \Box\) 
+
+	Um von einem weiteren Problem A zu zeigen, dass A NP-vollständig ist, genügtes jetzt zu zeigen\\
+	\spa \( SAT \le^P A \) (und \(A\in NP\))\\
+	da dann für \( L\in NP\) gilt:\\
+	\spa \( L \le^P SAT \) und \( SAT \le^P A \Rightarrow L \le^P A\).
 
 \end{document}