From 93f4cea8900184fbe71d1adc0e7431abef77aa7f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Thomas Ba Date: Wed, 23 Nov 2011 12:30:34 +0100 Subject: [PATCH] 2011-11-13 2. VL Berechenbarkeits-KomplexTh --- .../Berechenbarkeits-KomplexTh.tex | 46 ++++++++++++++++++- 1 file changed, 45 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex index eecccb1..c2aa216 100644 --- a/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex +++ b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex @@ -914,6 +914,50 @@ Zu jedem Zeitpunkt $t$ ist genau eine Variable von \(zust_{t,z_0}, …, zust_{t,z_k} \) wahr. Ebenso von \( pos_{t,-p(m),…,p(m)} \) - + Variable \(y_1,…,y_n\)\\ + \( G(y_1,…,y_n) = \begin{cases} 1, & \text{falls genau eine der Variable } y_i = 1 \text{ ist}\\0, &\text{sonst}\end{cases} \) + + \( G = y_1,…,y_n) = ( \bigvee\limits_{i=1}^n y_i ) \land ( \bigwedge\limits_{1\le i\le j\le n} \overline{y_i \land y_j} ) \) + + 1. Teil heißt: \(\ge 1\) Variablen ist \(1\)\\ + 2. Teil heißt: keine 2 Variablen sind 1 \(\equiv \le 1\) Variable ist 1 + + Damit\\ + \( R = \bigwedge\limits_{t=0}^{p(n)} \left( G( zust_{t,t_0}, …, zust_{t,t_k} ) \land G(pos_{t,-p(n)},…,pos_{t,p(n)}) \land \bigwedge\limits_{i=-p(n)}^{p(n)} G(band_{t,i,a},…,band_{t,i,a_m}) \right) \)\\ + \( \left|R\right| = O\left(p(n) * (1 + (2*p(n))^2 + 2 * p(n) * 1) \right) \)\\ + \( = O(p^3(n)) \) + + \(A\), die Anfangsbedingung beschreibt die Variablen zum Zeitpunkt \(t=0\).\\ + \( A = zust_{0,Z_0} \land pos_{0,1} \land \left( \bigwedge\limits_{i=-p(n)}^{0} band_{0,1,\Box} \land \bigwedge\limits_{i=1}^{n} band_{0,i,x_i} \land \bigwedge\limits_{i = n+1}^{p(n)} band_{0,i,\Box} \right)\)\\ + \( \left|A\right| = O(p(n)) \) + + \( \ddot U_1 = \) Beschreibt den Übergang von $t$ nach \(t+1\) an der Stelle, an der der Lese/Schreib-Kopf steht.\\ + \( = \bigwedge\limits_{t=0}^{p(n)-1} \bigwedge\limits_{z\in Z} \bigwedge\limits_{i=-p(n)}^{p(n)} \bigwedge\limits_{a\in\Gamma} \left( (zust_{t,Z} \land pos_{t,i} \land band_{t,i,a} ) \to \bigvee\limits_{Z',a',d} ( zust_{t+1,Z'} \land pos_{t+1,i+d} \land band_{t+1,i,a'} ) \right)\)\\ + \( (Z',a',d) \in \delta(Z,a) \) mit \( d = \begin{cases} 1 & \text{für R} \\ 0 & \text{für N} \\ -1 & \text{für L} \end{cases} \) + + \( \left|\ddot U_1\right| = O\left( p(n) * 1 * (2 *p(n)) * 1 * 1 \right) = O\left(p^2(n)\right) \) + + \(\ddot U_2\) beschreibt die restlichen Übergänge.\\ + \( \ddot U_2 = \bigwedge\limits_{t=0}^{p(n)} \bigwedge\limits_{i=-p(n)}^{p(n)} \bigwedge\limits_{a\in\Gamma} \left( \neg pos_{t,i} \land band_{t,i,a} \to band_{t+1,i,a} \right) \) + \( \left|\ddot U_2\right| = O\left(p^2(n)\right) \) + + E beschreibt das Ende, dass M akzeptiert\\ + \( E = \bigvee\limits_{t=1}^{p(n)} zust_{t,Z_a} \)\\ + \( \left|E\right| = O\left(p(n)\right) \) + + \( F_x = R\land A\land \ddot U_1 \land \ddot U_2 \land E \)\\ + \( \left|F_x\right| = O\left(p(n)^3\right) \) + + Dann gilt:\\ + zu jeder akzeptierenden Rechnung von \(M(x)\) gibt es eine zugehörige Belegung der Variablen von \(F_x\), die \(F_x\) erfüllt, und umgekehrt. + + Es gilt also: \(M(x)\) hat gleichviele akzeptierende Rechnungen wie \(F_x\) erfüllende Felegungen.\\ + Insbesondere gilt also:\\ + \spa \( x\in L(M) \Leftrightarrow F_x \in SAT \quad \Box\) + + Um von einem weiteren Problem A zu zeigen, dass A NP-vollständig ist, genügtes jetzt zu zeigen\\ + \spa \( SAT \le^P A \) (und \(A\in NP\))\\ + da dann für \( L\in NP\) gilt:\\ + \spa \( L \le^P SAT \) und \( SAT \le^P A \Rightarrow L \le^P A\). \end{document}