$P \ne NP \Rightarrow$ es gibt keine $c$-Approximation für TSP.
$P \ne NP \Rightarrow$ es gibt keine $c$-Approximation für TSP.
@ -1639,7 +1639,7 @@
Sei $G =(V,E)$ ein Graph mit $|V| = n$.\\
Sei $G =(V,E)$ ein Graph mit $|V| = n$.\\
Konstruiere Eingabe für TSP mit $n$ Städte und Abständen $d$:\\
Konstruiere Eingabe für TSP mit $n$ Städte und Abständen $d$:\\
\[ d(i,j)=\begin{cases}1,&\text{falls }(i,j)\in E \\ c * n, &\text{sonst}\end{cases}\]
\[ d(i,j)=\begin{cases}1,&\text{falls }(i,j)\in E \\ c * n, &\text{sonst}\end{cases}\]
\includegraphics{bilder/tsp_graph.eps}
\includegraphics{bilder/tsp_graph.pdf}
Dann gilt:
Dann gilt:
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}
@ -1668,7 +1668,7 @@
\subsection{Subset Sum}
\subsection{Subset Sum}
Für Subset Sum git es eine Approximation, die auf Eingabe $(a_1,…,a_n,b,\epsilon), \epsilon > 0$ eine $(1+\epsilon)$-Approximation liefert.\\
Für Subset Sum git es eine Approximation, die auf Eingabe $(a_1,…,a_n,b,\epsilon), \epsilon > 0$ eine $(1+\epsilon)$-Approximation liefert.\\
\includegraphics{bilder/subset_sum_opt.eps}
\includegraphics{bilder/subset_sum_opt.pdf}
Optimierungsversion: $I\le\{1,…,n\}$ sodass $\sum\limits_{i\in I} a_i$ maximal und $\le b$
Optimierungsversion: $I\le\{1,…,n\}$ sodass $\sum\limits_{i\in I} a_i$ maximal und $\le b$
@ -1687,7 +1687,7 @@
$TQBF \in PSPACE$
$TQBF \in PSPACE$
\includegraphics{bilder/pspace_tqbf.eps}
\includegraphics{bilder/pspace_tqbf.pdf}
Stelle Formel als Schaltkreis dar und werte mittels Tiefensuche aus. Es gilt: $TQBF$ ist $PSPACE$-vollständig.\\
Stelle Formel als Schaltkreis dar und werte mittels Tiefensuche aus. Es gilt: $TQBF$ ist $PSPACE$-vollständig.\\
Jede $QBF$-Formel lässt sich äquivalent umschreiben in $Q_1x_1Q_2x_2…Q_nx_n F(x_1,…,x_n)$ mit $Q_1=\exists, Q_2=\forall, …$ alternierend und $F$ in $3-KNF$ ist. (quantorenfrei)
Jede $QBF$-Formel lässt sich äquivalent umschreiben in $Q_1x_1Q_2x_2…Q_nx_n F(x_1,…,x_n)$ mit $Q_1=\exists, Q_2=\forall, …$ alternierend und $F$ in $3-KNF$ ist. (quantorenfrei)
$\to$ Formel für das $(1-\alpha)$ Konfidenzintervall:\\
$\to$ Formel für das $(1-\alpha)$ Konfidenzintervall:\\
$\Big[\overline{x}-\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2})*\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \overline{x}+\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2})*\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Big]$\textcolor{Orange}{$\leftarrow$ da drin liegt $\mu$ mit Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$}\\
$\Big[\overline{x}-\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2})*\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \overline{x}+\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2})*\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Big]$\textcolor{Orange}{$\leftarrow$ da drin liegt $\mu$ mit Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$}\\
\bsp Bauteile aus der Produktion $\to$\underline{Länge des Bauteils} ist Normalverteilt. Mit \(\mu=10cm\) (Normalverteilt), \(\sigma=0.2cm \) (Streuung $\to$ Maß für die mittlere Abweichung von $\mu$)\\
\bsp Bauteile aus der Produktion $\to$\underline{Länge des Bauteils} ist Normalverteilt. Mit \(\mu=10cm\) (Normalverteilt), \(\sigma=0.2cm \) (Streuung $\to$ Maß für die mittlere Abweichung von $\mu$)\\
@ -1153,7 +1153,7 @@
\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}*\sqrt{n}\) ist für große $n$ näherungsweise $N(0,1)$ verteilt.\\
\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}*\sqrt{n}\) ist für große $n$ näherungsweise $N(0,1)$ verteilt.\\
$\hookrightarrow$ mit der Tabelle: $c =-\phi^{-1}(1-\alpha)$\\
$\hookrightarrow$ mit der Tabelle: $c =-\phi^{-1}(1-\alpha)$\\
Testentscheidung: $ T \ge c \to H_0$ annehmen\\
Testentscheidung: $ T \ge c \to H_0$ annehmen\\
$T<c \to H_0 ablehnen$
$T<c \to H_0 ablehnen$
@ -1282,14 +1282,14 @@
Problem: je kleiner man $\alpha$ wählt, umso größer ist $\beta$.
Problem: je kleiner man $\alpha$ wählt, umso größer ist $\beta$.
\includegraphics{bilder/1-6_dichtefunktion_7.eps}
\includegraphics{bilder/1-6_dichtefunktion_7.pdf}
\textbf{Gütefunktion eines Tests:}
\textbf{Gütefunktion eines Tests:}
beim zweiseitigen Test: $H_0: \mu=\mu_0$\\
beim zweiseitigen Test: $H_0: \mu=\mu_0$\\
wenn $H_0$ nicht stimmt, dann ist das wahre $\mu=\mu_1$
wenn $H_0$ nicht stimmt, dann ist das wahre $\mu=\mu_1$
\includegraphics{bilder/1-6_guetefunktion.eps}
\includegraphics{bilder/1-6_guetefunktion.pdf}
Berechnung von $\beta$ im \bsp von vorhin:\\
Berechnung von $\beta$ im \bsp von vorhin:\\
$H_0: \mu\ge10 ; \alpha ? 2\%\to c =-2.05$, $H_0$ annehmen, wenn $T\ge c$\\
$H_0: \mu\ge10 ; \alpha ? 2\%\to c =-2.05$, $H_0$ annehmen, wenn $T\ge c$\\
@ -1363,7 +1363,7 @@
$\to$ Formel für das $(1-\alpha)$ Konfidenzintervall:\\
$\to$ Formel für das $(1-\alpha)$ Konfidenzintervall:\\
$\Big[\overline{x}-\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2})*\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x}+\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2})*\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Big]$\textcolor{Orange}{$\leftarrow$ da drin liegt $\mu$ mit Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$}
$\Big[\overline{x}-\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2})*\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x}+\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2})*\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Big]$\textcolor{Orange}{$\leftarrow$ da drin liegt $\mu$ mit Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$}
\includegraphics{bilder/1-6_konfidenz.eps}
\includegraphics{bilder/1-6_konfidenz.pdf}
\bsp Länge von Bauteilen aus der Produktion.\\
\bsp Länge von Bauteilen aus der Produktion.\\
Stichprobe von 100 Bauteilen mit $\overline{x}=8.8, s=0.2$\\
Stichprobe von 100 Bauteilen mit $\overline{x}=8.8, s=0.2$\\
@ -1402,7 +1402,7 @@
\textcolor{Orange}{$\to-1\le\rho(X,Y)\le1$}
\textcolor{Orange}{$\to-1\le\rho(X,Y)\le1$}
\end{mydef}
\end{mydef}
\includegraphics{bilder/1-7_korrelation.eps}
\includegraphics{bilder/1-7_korrelation.pdf}
\begin{tabular}{lcl}
\begin{tabular}{lcl}
$\rho(X,Y)$&$=0$&$\to$ kein Zusammenhang zwischen X und Y (unkorreliert)\\
$\rho(X,Y)$&$=0$&$\to$ kein Zusammenhang zwischen X und Y (unkorreliert)\\
