2011-11-30 Berechenbarkeits-KomplexTh 1.VL

Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex

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 \usepackage{amssymb}
 \usepackage{multicol}
 \usepackage{framed}
+\usepackage{enumerate}
 %\usepackage{booktabs}
 %\usepackage{pstricks}
 %\usepackage{pst-node}
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 	Dann gilt:\\
 	zu jeder akzeptierenden Rechnung von \(M(x)\) gibt es eine zugehörige Belegung der Variablen von \(F_x\), die \(F_x\) erfüllt, und umgekehrt.
 
-	Es gilt also: \(M(x)\) hat gleichviele akzeptierende Rechnungen wie \(F_x\) erfüllende Felegungen.\\
+	Es gilt also: \(M(x)\) hat gleichviele akzeptierende Rechnungen wie \(F_x\) erfüllende Belegungen.\\
 	Insbesondere gilt also:\\
 	\spa \( x\in L(M) \Leftrightarrow F_x \in SAT \quad \Box\) 
 
-	Um von einem weiteren Problem A zu zeigen, dass A NP-vollständig ist, genügtes jetzt zu zeigen\\
+	Um von einem weiteren Problem A zu zeigen, dass A NP-vollständig ist, genügtves jetzt zu zeigen\\
 	\spa \( SAT \le^P A \) (und \(A\in NP\))\\
 	da dann für \( L\in NP\) gilt:\\
 	\spa \( L \le^P SAT \) und \( SAT \le^P A \Rightarrow L \le^P A\).
 
+	\underline{Cook} SAT ist NP-Vollständig
+
+	\satz Sei $A$ NP-Vollständig und \(B\in NP\).\\
+	Dann gilt: $B=$ NP-Vollständig \( \Leftrightarrow A \le^P V \)
+
+	\( KNF-SAT = \{ F \in SAT\mid F \text{ ist in KNF} \} \)
+
+	\( k-SAT = \{ F \in KNF-SAT \mid \) jede Klausel von $F$ hat $\le 3$ Literale \( \} \)
+
+	\satz 3-SAT ist NP-Vollständig.\\
+	\bew Zeige \( SAT \le^P 3-SAT \)\\
+	\bsp Sei $F$ boolsche Formel.\\
+	\( F = \left(( x_1 \lor \overline{x_3}) \land x_4 \right) \lor ( \overline{x_2} \land x_3) \)
+
+	\begin{enumerate}[1{. Schritt:}]
+		\item Bringe alle Negationszeichen nach innen \( \neg(x_1\lor \overline{x_2}) \equiv (\overline{x_1}\land x_2)\)
+		\item nehme neue Variablen \( y_1,y_2,…\) und ordne jedem Gatter eine Variable zu
+		\item Definiere G\\
+			\( G = (y_1 \leftrightarrow (x_1\lor \overline{x_3})) \land (y_2  \leftrightarrow (y_1 \land x_4)) \land (y_3 \leftrightarrow (\overline{x_2} \land x_3)) \land (y_4 \leftrightarrow (y_2 \lor y_3)) \land y_4 \)\\[3mm]
+			Dann gilt: \( F \in SAT \Leftrightarrow G \in SAT \)\\[3mm]
+			\( x_1 = 1, x_2 = 0, x_3 = 1, x_4 = 1 \)\\
+			\( y_1 = 1, y_2 = 1, y_3 = 1, y_4 = 1 \)
+		\item forme einzelne Klammern in KNF um:\\
+			\( a \leftrightarrow (b\lor c) \equiv (a\lor \overline{b}) \land (\overline{a}\lor b\lor c) \land (a \lor \overline{c}) \)\\
+			\( a \leftrightarrow (b\land c)\equiv (\overline{a}\lor b)\land (a\lor\overline{b}\lor\overline{c})\land(\overline{a}\lor c)\)
+	\end{enumerate}
+
+	Dann ist $G$ in 3-KNF. \( \blacksquare \)\\
+	Es gilt: 2-SAT \(\in P\)
+
+	Not-all-equal-SAT, kurz: NAE-SAT
+
+	gegeben: $F$ in 3-KNF\\
+	gefragt: gibt es eine erfüllende Belegung für $F$, so dass in keiner Klausel alle Literale den Wert 1 haben.
+
+	\( F = (x_1 \lor \overline{x_2}) \land (\overline{x_1} \lor x_2) \)
+
+	\satz $NAE-SAT$ ist NP-Vollständig\\
+	\bew $NAE-SAT \in NP$:\\
+	wähle nicht-deterministisch Belegung a und teste dass jede Klausel erfüllt ist und nicht alle 3 Literale Wert 1 haben.
+
+	Zeige \( SAT \le^P NAE-SAT \)\\
+	Sei $F$ beliebige Formel und $G$ die oben konstruierte in 3-KNF.\\
+	Es gilt: eine erfüllbare Belegung von $G$ erfüllt nicht alle Literale in Klauseln mit 3 Literalen.
+	\begin{itemize}
+		\item \( \overline{a} \lor b\lor c: \) haben $b$ oder $c$ den Wert 1, dann muss $a=1$ sein, da \( a\leftrightarrow a\lor b\)
+		\item ist \(b=c=0\), dann ist \(a=0\), also \(\overline{a} = 1\)
+	\end{itemize}
+	\(a\lor \overline{b}\lor\overline{c}: \) hat \(\overline{b}\) oder \(\overline{v}\) Wert 1, dann ist \( a=0\), da \(a\leftrightarrow(n\lor c\).
+	\begin{itemize}
+		\item ist \(\overline{b} = \overline{c} = 0\), dann ist \(a = a\)
+	\end{itemize}
+	Für die Klauseln mit 2 Literalen nehme neue Variable $Z$ hinzu und bringe $Z$ in die Klauseln ein:\\
+	\( a\lor\overline{b} \to a \lor \overline{b} \lor z \)\\
+	\( a\lor\overline{c} \to a \lor \overline{c} \lor z \)
+
+	Sei \(H\) die so entstehende Formal.\\
+	Dann gilt: \( F\in SAT\leftrightarrow G \in 3-SAT\)\\
+	\( F\in SAT\leftrightarrow G \in NAE-SAT \).
+
+	"\(\Rightarrow\)": Sei \( a = (a_1,…a_n) \) eine erfüllende Belegung von $G$.\\
+	Dann wähle $z=0$.\\
+	Dann ist \((a_1,…a_n,0)\) erfüllende Belegung von $H$.
+
+	"\(\Leftarrow\)" Sei \( (a_1,a_2,…,a_n,a_{n+1}) \) erfüllende Belegung von $H$ im NAE-Sinn.\\
+	\begin{enumerate}[1{. Fall:}]
+		\item
+			\( a_{n+1} = 0 \) dann ist, \( a = (a_1,…,a_n)\) erfüllende Belegung von $G$
+		\item \(a_{n+1} = 1 \)
+			Es ist auch \(( \overline{a_1},\overline{a_2},…,\overline{a_n},\overline{x_{n+1}})\) einer erfüllende Belegung von $H$ im NAE-Sinn.\\
+			\((0,0,1)\to(1,1,0)\)\\
+			Jetzt ist \(t=0\). Dann nach Fall 1.
+	\end{enumerate}
+
+
 \end{document}