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Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex

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 			\( \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 \to \) auflösen nach a\\
 			\( \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int\limits_0^1 \frac 1 2 x dx + \int\limits_1^2 a * x^2 dx \)\\
 			\( = \left[ \frac 1 4 x^2 \right]_0^1 + \left[ \frac a 3 * x^3 \right]_1^2 \)\\
-			\( = \frac 1 4 + \frac a 3 * 8 - \frac a 3 = \frac 7 3 *a + \frac 1 4 \)
-			\( a = \frac{9}{28} \approx 0.3214 \)
+			\( = \frac14 - 0 + \frac83 - \frac13 a = \frac14+\frac73a=1 \)\\
+			\( \frac73a=\frac34 \Rightarrow a = \frac{9}{28} \)\\
+			\( f(x) = \begin{cases} 0, & x<0\\\frac12*x,&0\le x<1\\\frac{9}{28} * x^2, & 1 \le x < x \\ 0, & x \ge 2 \end{cases} \)
+		\item[(b)]
+			\( F'(x) = f(x) \Rightarrow F(x) = \int f(x) dx \)\\
+			\( F(x) = \begin{cases} c_1,&x<0\\\frac14 x^2+c_2,&0\le x<1\\\frac{3}{28} x^3+c_3, & 1 \le x < x \\ c_4, & x \ge 2 \end{cases} \)\\
+			Bestimmung der Konstanten:\\
+			\( c_1 = 0 \), \textcolor{Orange}{da \(\lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=0\)}\\
+			\( c_4 = 0 \), \textcolor{Orange}{da \(\lim\limits_{x\to\infty}F(x)=1\)}\\
+			\cunder{Orange}{Stetigkeit} an den Nahtstellen \(0,1,2\)\\
+			\(x=0: c_1 = \frac14*0^2 + c_2 \Rightarrow c_2 = 0 \)\\
+			\(x=1: \frac12*1^2 + c_2 = \frac{3}{28}*1^2+c_3 \Rightarrow c_3 = \frac14 -\frac{3}{28} = \frac{4}{28} = \frac17 \)\\
+			Zur Kontrolle:\\
+			\( x2: \frac{3}{28}*2^3+\frac17 = 1 = c_4 \Rightarrow\) stimmt
+	\end{itemize}
+
+	\bsp \( f(x) = \begin{cases} c_1*e^{-2x}, & x\ge 0 \\ c_2, & x<0 \end{cases} \)\\
+	Bestimme \( c_1,c_2 \in \mathbb R\) so, dass \(f(x)\) eine Dichtefunktion ist.\\
+	Berechne dann \(F(x)\).
+
+	\( x=0: c_2=0 \)\\
+	Damit die Fläche für \(x<0\) nicht \(\infty\) groß ist, muss \(c_2=0\) sein.\\
+	\( 1 = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) dx = \int\limits_{-\infty}^0 c_2 dx + \int\limits_{0}^\infty c_1*e^{-2x} dx = \int\limits_{0}^\infty c_1*e^{-2x} dx = \left[ -\frac12 * c_1 * e^{-2x}\right]_0^\infty\)\\
+	\( = -\frac12*c_1*e^{-\infty} - (-\frac12*c_1*e^0) = \frac12 * c_1 \Rightarrow c_1 = 2 \)\\
+	\( f(x) = \begin{cases} 2*e^{-2x}, & x\ge 0\\0,&x<0\end{cases} \)\\
+	\( F(x) = \begin{cases} -e^{-2x} + d_1, & x\ge 0\\d_2,&x<0\end{cases} \)\\
+	Berechnung von \(d_1,d_2\):\\
+	\(d_2 = 0\), da \( \lim\limits_{x\to-\infty} F(x) = 0\) Stetigkeit an der Nahtstelle \(x=0\).\\
+	\(-e^{-2*0} + d_1 = d_2 \Rightarrow -1 + d_1 = 0 \Rightarrow d_1 = 1 \)
+
+	\( F(x) = \begin{cases} -e^{-2x} + 1,& x\ge 0 \\ 0,&x<0 \end{cases} \)
+
+	Berechne \( P(X\le-1), P(X>0.5), P(1<X\le2), P(X=0.5), P(Xy0.5) \)
+
+	\( P(X\le-1)  = F(-1) = 0\)\\
+	\( P(X>0.5)   = 1-P(X\le 0.5) = 1-F(0.5) = e^{-1} \approx 0.36788\)\\
+	\( P(1<X\le2) = P(X\le2) - P(x\le1) = F(2) - F(1) = e^{-2}-e^{-4} \approx 0.11702\)\\
+	\( P(X=0.5)   = 0\)\\
+	\( P(X<0.5)   = 1-P(X\le0.5) = 1-F(0.5) = 1-e^{-1} \approx 0.63212)\)
+
+	Allgemein: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei \cunder{Orange}{stetigen} Verteilungen:\\
+	\( P(X=a) = 0\)\\
+	\(P(X\le a) = P(X<a) = F(a)\)\\
+	\(P(X\ge a) = P(X>a) = 1-F(a), P(a\le x\le b) = P(a<x<b) = F(b)-F(a) \)
+
+	Oder mit Hilfe der Dichtefunktion \(f(x)\):\\
+	\( P(X\le a) = \int\limits_{-\infty}^a f(x) dx \)\\
+	\( P(a \le a \le b) = \int\limits_a^b f(x) dx \)
+
+	\subsection{Wichtige Beispiele für Verteilungen}
+
+	\subsubsection{Diskrete Verteilung}
+
+	\begin{itemize}
+		\item \underline{Gleichverteilung}\\
+			Die Zufallsvariable $X$ nimmt Werte \( x_1,x_2,…,x_n \) mit gleicher Wahrscheinlichkeit \(\frac1n\) an.\\
+			\(\to P(X=x_1) = P(X=x_2) = … = P(X=x_n) = \frac1n\) \\
+		\item \underline{Binomialverteilung}
+			Ein Zufallsexperiment wird $n$-mal unabhängig voneinander wiederholt.\\
+			\textcolor{Orange}{\bsp 100 maliges würfeln (\(n=100\))}\\
+			A: Ereignis bei 1-maliger Durchführung des Experiments\\
+			\textcolor{Orange}{Im \bsp A: es wird 5 gewürfelt}\\
+			\(\to\) Zufallsvariable X: Anzahl, wie oft A eintritt bei der $n$-maligen Wiederholung des Experiments.\\
+			\textcolor{Orange}{im \bsp X: Anzahl der 5en beim 100-maligen Würfeln}\\
+			\(\to\) $X$ ist binomialverteilt mit Parametern $n$ und \(p=P(A)\), d.\,h. \(P(X=k)= \binom{n}{k} * p^k * (1-p)^{n-k} \) für \( k=0..n \)\\
+			\textcolor{Orange}{
+				\( P(X=0) = P(\text{keine }5)  = \frac{5^{100}}{6^{100}} \) \\
+				\( P( X=1) = P(\text{eine }5)  = \frac{100 * 5^{99}}{6^{100}} \) \\
+				\( P(X=10) = P(10 \text{ 5en}) = \frac{\binom{100}{10} * 5^{90}}{6^{100}} \) }
+	\end{itemize}
+
+	\bsp Datenübertragung von 5000 Bits.\\
+	Wahrscheinlichkeit, dass ein Bit Fehlerhaft übertragen wird, ist 1\%.\\
+	Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden
+	\begin{itemize}
+		\item[(a)] genau 20 Bits fehlerhaft übertragen?\\
+			\textcolor{Orange}{ \( \binom{5000}{20} * 0.01^{20} * 0.99^{4980} \) }
+		\item[(b)] mehr als 2 Bits fehlerhaft übertragen?
 	\end{itemize}
 
 \end{document}