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11 KiB
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\documentclass[11pt]{scrartcl}
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\usepackage[paper=a4paper,left=30mm,right=20mm,top=20mm,bottom =25mm]{geometry}
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\usepackage[
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pdftitle={Formelsammlung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik},
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pdfsubject={Formelsammlung "Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik"},
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pdfauthor={Friesen und Battermann},
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pdfkeywords={Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Formelsammlung},
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pdfborder={0 0 0}
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]{hyperref}
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%TEST
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\usepackage{framed}
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\usepackage{amsthm}
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\newtheorem{mdef}[equation]{Definition}
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\newenvironment{mydef}
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{\begin{leftbar}\begin{mdef}}
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{\end{mdef}\end{leftbar}}
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%TEST ENDE
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\usepackage{tabularx}
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\setlength{\parindent}{0ex}
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\setlength{\parskip}{2ex}
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\setcounter{secnumdepth}{4}
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\setcounter{tocdepth}{4}
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\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0}
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\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5}
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\definecolor{lightgrey}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
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\definecolor{lightgreen}{rgb}{0.9,1,0.9}
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\pagestyle{fancy} %eigener Seitenstil
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\fancyhf{} %alle Kopf- und Fußzeilenfelder bereinigen
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\fancyhead[L]{Formelsammlung} %zentrierte Kopfzeile
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\fancyhead[C]{Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik} %Kopfzeile links
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\fancyhead[R]{Seite \thepage\ von \pageref{LastPage}} %Kopfzeile rechts
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} %obere Trennlinie
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\newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}}
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\newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}}
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\newcommand{\bsp}{\textcolor{darkblue}{\textbf{\underline{Bsp.}: }}}
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\newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor}
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\newcommand{\llfloor}{\left\lfloor}
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\newcommand{\cunder}[2]{{\color{#1}\underline{\color{Black}#2}}}
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\title{Formelsammlung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik}
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\begin{document}
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\pagestyle{fancy}
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\setcounter{page}{1}
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\section*{Eigenschaften und Rechenregeln für Wahrscheinlichkeit}
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\addcontentsline{toc}{section}{Eigenschaften und Rechenregeln für Wahrscheinlichkeit}
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\begin{math}
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P(\Omega) = 1, P(\phi) = 0 \text{ für } A: 0 \le P(A) \le 1\\
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\overline{A} = A^C \text{ mit } P(\overline{A}) = 1-P(A) \text{ (Gegenereignis)}\\
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P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \text{ (Vereinigung)}\\
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P(A\cup B) = P(A) + P(B) \text{ (Wenn A und B \underline{disjunkt})}
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\end{math}
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\section*{Berechnung von Wahrscheinlichkeit mit Kombinatorik}
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\addcontentsline{toc}{section}{Berechnung von Wahrscheinlichkeit mit Kombinatorik}
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\begin{itemize}
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\item[1.] Fall:\\
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Ziehen mit Zurücklegen, mit Reihenfolge: \( n^k \quad |\Omega| = n^k\)
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\item[2.] Fall:\\
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Ziehen ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge: \( \frac{n!}{(n-k)!} = n^{\underline{k}} \)
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\item[3.] Fall:\\
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Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge: \( \frac{n!}{(n-k)!*k!} = \binom{n}{k} \)
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\item[4.] Fall (Doof!)\\
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Ziehen mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge: \( \binom{n+k-1}{k} \overset{\text{da doof}}{\Rightarrow} n^k \text{ 1. Fall}\)
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\end{itemize}
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\section*{Binomialkoeffizient/Multinomialkoeffizient}
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\addcontentsline{toc}{section}{Binomialkoeffizient/Multinomialkoeffizient}
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Bi: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!*k!} \)
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Multi: \( \frac{n!}{k_1! * k_2! * … * k_l!} \) mit \( k_1 + k_2 + … + k_l = n \)
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\section*{Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit}
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\addcontentsline{toc}{section}{Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit}
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\(P(B\mid A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}\) (wenn \( P(A) \ne 0 \) bedingte Wahrscheinlichkeit und Bedingung)
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\( P(A\cap B) = P(A) * P(B\mid A) = P(B) * P(A\mid B) \)
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\( P(A\cap B) = P(A) * P(B) \) (Wenn \(A,B\) unabhängig von einander)
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\section*{Totale Wahrscheinlichkeit}
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\addcontentsline{toc}{section}{Totale Wahrscheinlichkeit}
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Satz: \( P(A) = P(A\mid B_1) * P(B_1) + P(A\mid B_2) * P(B_2) + … + P(A\mid B_k) * P(B_k) \)
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\section*{Zufallsvariablen}
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\addcontentsline{toc}{section}{Zufallsvariablen}
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Eine Zufallsvariable \(X\) ist eine Funktion \(X: \omega \to \mathbb R\)\\
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Die Verteilung einer Zufallsvariable gibt an, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die Zufallsvariable ihre möglichen Werte annimmt.
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\subsection*{Diskrete Zufallsvariable}
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\addcontentsline{toc}{subsection}{Diskrete Zufallsvariable}
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Diskret: \(X\) nimmt nur einzelne Werte mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten an
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\subsubsection*{Erwartungswert (Mittelwert)}
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\addcontentsline{toc}{subsubsection}{Erwartungswert (Mittelwert)}
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\( M = E(X) = \sum\limits_i x_i * p_i \) mit \( (i=1,2,3,…) \)
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\subsubsection*{Streuung (Varianz)}
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\addcontentsline{toc}{subsubsection}{Streuung (Varianz)}
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\( \sigma^2 = V(X) = Var(X) = \sum\limits_i (x_i-\mu)^2 * p_i \to\) mittlerer Quadratischer Abstand
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Standardabweichung \(\sigma\) ist \( \sigma = \sqrt{\sigma^2} \)
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Wenn \( \sigma = 0 \Rightarrow x = \mu \) mit Wahrscheinlichkeit 1
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\( \sigma^2 = \sum\limits_i x_i * p_i - \mu^2 \) (einfachere Formel)
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Variationskoeffizient \(\frac{\sigma}{\mu}\) in (\%)
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\section*{Verteilung und Verteilungsfunktion von Zufallsvariablen}
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\addcontentsline{toc}{section}{Verteilung und Verteilungsfunktion von Zufallsvariablen}
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Funktion \(F: \mathbb R \to [0,1] \) mit \( F(x) = P(X \le x) \)
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\subsection*{Eigenschaften von \(F(x)\)}
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\addcontentsline{toc}{subsection}{Eigenschaften von \(F(x)\)}
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\begin{itemize}
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\item \( \lim\limits_{x\to-\infty} F(x) = 0 \) und \( \lim\limits_{x\to\infty} F(x) = 1 \)
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\item \(F(x)\) ist monoton Wachsend (nicht unbedingt streng)
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\item \(F(x)\) ist rechtsseitig stetig \( (F(x) ? P(X\le c) )\)
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\end{itemize}
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\subsection*{Verteilungsfunktion}
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\addcontentsline{toc}{subsection}{Verteilungsfunktion}
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\begin{itemize}
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\item eine Treppenfunktion \(\to\) bei diskreten Verteilungen
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\item eine durchgehend stetige Funktion \(\to\) Keine Sprünge
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\end{itemize}
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\section*{Stetige Verteilung}
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\addcontentsline{toc}{section}{Stetige Verteilung}
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\begin{itemize}
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\item stetige Funktion \(F(x)\)
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\item \(P(X=x) = 0 \forall x \in\mathbb R \) (\(\Rightarrow\) Keine Sprünge)
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\end{itemize}
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Stetige Stetige Verteilungsfunktionen besitzen eine Dichtefunktion \(f(x)\) mit
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\begin{itemize}
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\item \(f(x) = F'(x)\)
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\end{itemize}
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\subsection*{Eigenschaften Dichtefunktion}
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\addcontentsline{toc}{subsection}{Eigenschaften Dichtefunktion}
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\begin{itemize}
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\item \( f: \mathbb R \to \left[0,\infty\right)\), also \(f(x) \ge 0 \forall x \in \mathbb R \)
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\item \( \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm dx = 1\)
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\end{itemize}
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\section*{Diskrete Verteilung}
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\addcontentsline{toc}{section}{Diskrete Verteilung}
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Gleichverteilung: \( P(X=x_1) = P(X=x_2) = … = P(X=x_n) = \frac1n \)
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\section*{Geometrische Verteilung}
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\addcontentsline{toc}{section}{Geometrische Verteilung}
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\(X\) ist geometrisch verteilt mit Parameter \(p\): \(P(X=k) = (1-p)^{k-1}*p \)
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\section*{Binomialverteilung}
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\addcontentsline{toc}{section}{Binomialverteilung}
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Ein Zufallsexperiment wird \(n\)-mal unabhängig voneinander wiederholt\\
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\( P(X=k) = \binom{n}{k} * p^k *(1-p)^{n-k} \)
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\begin{itemize}
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\item \(\mu = \sum\limits_{k=0}^n k * \binom{n}{k} *p^k * (1-p)^{n-k} = n*p \)
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\item \(\sigma^2 = n*p*(1-p) \)
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\end{itemize}
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für \( p = 0,5 \) ist die Verteilung Symmetrisch
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\section*{Gaußsche Normalverteilung}
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\addcontentsline{toc}{section}{Gaußsche Normalverteilung}
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\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} * \sigma} *e^{-\frac12*(\frac{\pi-\mu}{\sigma})^2} \)
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Veränderung von \(\mu\to\) Verschiebung ind \(x\)-Richtung
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Veränderung von \(\sigma\to\) Stauchung/Dehnung in der Breite/Höhe
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Standardnormalverteilung: \( N(0,1): F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} * e^{-\frac12x^2} \)
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\section*{Erwartungswert und Varianz stetiger Verteilung}
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\addcontentsline{toc}{section}{Erwartungswert und Varianz stetiger Verteilung}
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\underline{diskret:} \( \mu = \sum\limits_i x_i * p_i \quad \sigma^2 = \sum\limits_i x_i^2 * p_i -\mu^2 \)
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\underline{stetig:} \( \mu = \int\limits_{-\infty}^\infty x * f(x) \mathrm dx \quad \sigma^2 = \int\limits_{-\infty}^\infty x^2 * f(x) \mathrm dx - \mu^2 \)
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\section*{Normalverteilung}
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\addcontentsline{toc}{section}{Normalverteilung}
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Wenn \(f(x) \in X\), dann \(X\) ist \(N(\mu,\sigma)\) verteilt.
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Es gilt: \( E(X) = \mu, Var(X) = \sigma^2 \)
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\(\Rightarrow X\) heißt standardnormalverteilt, wenn \(\mu = 0, \sigma = 1 \Rightarrow f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}*e^{-\frac12x^2} \)
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Verteilungsfunktion \(F(x) = \phi(x) = \phi_{0,1}(x) \to \) hierfür: Tabellenwerte
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\includegraphics{bilder/fosa_dichtefunktion.pdf}
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\section*{Schätzungen und Tests}
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\addcontentsline{toc}{section}{Schätzungen und Tests}
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\subsection*{Stichproben}
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\addcontentsline{toc}{subsection}{Stichproben}
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\begin{itemize}
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\item arithmetisches Mittel (Durchschnitt)\\
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\( \overline{x} = \frac1n * (x_1+x_2+…+x_n) = \frac1n \sum\limits_{i=1}^n x_i \)
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\item Schätzung für \(\mu\)\\
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\( \overline{x} = \frac1n * (x_1+x_2+…+x_n) \)
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\item Schätzwert für \(\sigma\)\\
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\( s^2 = \frac{1}{n-1} * (x_1^2 + x_2^2 + … + x_n^2 ) - \frac{n}{n-1} * \overline{x}^2 = \sqrt{s_{n-1}^2} \)
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\end{itemize}
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\subsection*{Zentraler Grenzwertsatz}
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\addcontentsline{toc}{subsection}{Zentraler Grenzwertsatz}
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\( \overline{x} = \frac1n * (x_1+x_2+…+x_n) \)
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\( \frac{\overline{x}-\mu}{\sigma} * \sqrt{n} \) ist für große \(n\) näherungsweise \(N(0,1)\) verteilt.
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\subsection*{Tests}
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\addcontentsline{toc}{subsection}{Tests}
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\( H_0: \mu = \mu_0 \Rightarrow \) zweiseitiger Test
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\( H_0: \mu \le \mu_0 \) oder \( H_0: \mu \ge \mu_0 \Rightarrow \) einseitige Tests
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\( T= \frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma} * \sqrt{n} \)
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\includegraphics{bilder/fosa_dichtefunktion_zwei.pdf}\\
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zweiseitiger Test
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Testentscheidung: \(H_0\) wird \(\begin{cases} \text{angenommen} &, -c \le T \le c \\ \text{abgelehnt} &, T>c,T<-c \end{cases} \)
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\underline{Bestimmung von \(c\)}
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\( \phi(c) = 1-\frac\alpha2,\quad c=\phi^{-1}(1-\frac\alpha2) \) (rückwärts)
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\underline{Einseitige Tests}
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\(H_0: \mu \le \mu_0 \) (vorgegebener Maximalwert)
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\includegraphics{bilder/fosa_dichtefunktion_max.pdf}
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\(H_0\) wird \(\begin{cases} \text{angenommen} &, T \le c \\ \text{abgelehnt} &, T>c \end{cases} \)
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\(H_0: \mu \ge \mu_0 \) (vorgegebener Minimalwert)
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\includegraphics{bilder/fosa_dichtefunktion_min.pdf}
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\(H_0\) wird \(\begin{cases} \text{angenommen} &, T \ge c \\ \text{abgelehnt} &, T<c \end{cases} \)
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\subsection*{Konfidenzintervall}
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\addcontentsline{toc}{subsection}{Konfidenzintervall}
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Konfidenzintervall (Vertrauensintervall) für den Erwartungswert $\mu$ $\to$ Intervall, das um den Stichproben-Schätzwert $\overline{x}$ herumliegt, in dem $\mu$ mit Wahrscheinlichkeit \cunder{Yellow}{$1-\alpha$} liegt.
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Analog zu den Tests (zweiseitig): $P(-c \le T \le c) = 1-\alpha$\\
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$\to \underbrace{P\Big(-\phi^{-1}(1-\frac\alpha2) \le \underbrace{T}_{ \frac{\overline{x}-\mu}{\sigma} * \sqrt{n} } \le \phi^{-1}(1-\frac\alpha2) \Big) }_{\color{Orange}\text{Umformen, so dass } \mu \text{ in der Mitte steht}}$\\
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$\to P\Big( \overline{x}-\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) * \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\ \le\ \mu\ \le\ \overline{x}+\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) * \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Big)$\\
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$\to$ Formel für das $(1-\alpha)$ Konfidenzintervall:\\
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$ \Big[ \overline{x}-\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) * \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \overline{x}+\phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) * \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \Big] $ \textcolor{Orange}{$\leftarrow$ da drin liegt $\mu$ mit Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$}\\
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\includegraphics{bilder/1-6_konfidenz.pdf}
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\end{document}
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