\documentclass[11pt]{scrartcl} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{eurosym} \usepackage{enumerate} \usepackage{multicol} %\usepackage{booktabs} %\usepackage{pstricks} %\usepackage{pst-node} \usepackage[paper=a4paper,left=30mm,right=20mm,top=20mm,bottom =25mm]{geometry} \usepackage[ pdftitle={Formelsammlung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik}, pdfsubject={Formelsammlung "Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik"}, pdfauthor={Friesen und Battermann}, pdfkeywords={Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Formelsammlung}, pdfborder={0 0 0} ]{hyperref} %TEST \usepackage{framed} \usepackage{amsthm} \newtheorem{mdef}[equation]{Definition} \newenvironment{mydef} {\begin{leftbar}\begin{mdef}} {\end{mdef}\end{leftbar}} %TEST ENDE \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[usenames,dvipsnames]{color} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{lastpage} \usepackage{fancyhdr} \setlength{\parindent}{0ex} \setlength{\parskip}{2ex} \setcounter{secnumdepth}{4} \setcounter{tocdepth}{4} \definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0} \definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5} \definecolor{lightgrey}{rgb}{0.9,0.9,0.9} \definecolor{lightgreen}{rgb}{0.9,1,0.9} \pagestyle{fancy} %eigener Seitenstil \fancyhf{} %alle Kopf- und Fußzeilenfelder bereinigen \fancyhead[L]{Formelsammlung} %zentrierte Kopfzeile \fancyhead[C]{Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik} %Kopfzeile links \fancyhead[R]{Seite \thepage\ von \pageref{LastPage}} %Kopfzeile rechts \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} %obere Trennlinie \newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}} \newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}} \newcommand{\bsp}{\textcolor{darkblue}{\textbf{\underline{Bsp.}: }}} \newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor} \newcommand{\llfloor}{\left\lfloor} \newcommand{\cunder}[2]{{\color{#1}\underline{\color{Black}#2}}} \title{Formelsammlung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik} \begin{document} \pagestyle{fancy} \setcounter{page}{1} \section*{Eigenschaften und Rechenregeln für Wahrscheinlichkeit} \addcontentsline{toc}{section}{Eigenschaften und Rechenregeln für Wahrscheinlichkeit} \begin{math} P(\Omega) = 1, P(\phi) = 0 \text{ für } A: 0 \le P(A) \le 1\\ \overline{A} = A^C \text{ mit } P(\overline{A}) = 1-P(A) \text{ (Gegenereignis)}\\ P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \text{ (Vereinigung)}\\ P(A\cup B) = P(A) + P(B) \text{ (Wenn A und B \underline{disjunkt})} \end{math} \section*{Berechnung von Wahrscheinlichkeit mit Kombinatorik} \addcontentsline{toc}{section}{Berechnung von Wahrscheinlichkeit mit Kombinatorik} \begin{itemize} \item[1.] Fall:\\ Ziehen mit Zurücklegen, mit Reihenfolge: \( n^k \quad |\Omega| = n^k\) \item[2.] Fall:\\ Ziehen ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge: \( \frac{n!}{(n-k)!} = n^{\underline{k}} \) \item[3.] Fall:\\ Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge: \( \frac{n!}{(n-k)!*k!} = \binom{n}{k} \) \item[4.] Fall (Doof!)\\ Ziehen mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge: \( \binom{n+k-1}{k} \overset{\text{da doof}}{\Rightarrow} n^k \text{ 1. Fall}\) \end{itemize} \section*{Binomialkoeffizient/Multinomialkoeffizient} \addcontentsline{toc}{section}{Binomialkoeffizient/Multinomialkoeffizient} Bi: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!*k!} \) Multi: \( \frac{n!}{k_1! * k_2! * … * k_l!} \) mit \( k_1 + k_2 + … + k_l = n \) \section*{Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit} \addcontentsline{toc}{section}{Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit} \(P(B\mid A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}\) (wenn \( P(A) \ne 0 \) bedingte Wahrscheinlichkeit und Bedingung) \( P(A\cap B) = P(A) * P(B\mid A) = P(B) * P(A\mid B) \) \( P(A\cap B) = P(A) * P(B) \) (Wenn \(A,B\) unabhängig von einander) \section*{Totale Wahrscheinlichkeit} \addcontentsline{toc}{section}{Totale Wahrscheinlichkeit} Satz: \( P(A) = P(A\mid B_1) * P(B_1) + P(A\mid B_2) * P(B_2) + … + P(A\mid B_k) * P(B_k) \) \section*{Zufallsvariablen} \addcontentsline{toc}{section}{Zufallsvariablen} Eine Zufallsvariable \(X\) ist eine Funktion \(X: \omega \to \mathbb R\)\\ Die Verteilung einer Zufallsvariable gibt an, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die Zufallsvariable ihre möglichen Werte annimmt. \subsection*{Diskrete Zufallsvariable} \addcontentsline{toc}{subsection}{Diskrete Zufallsvariable} Diskret: \(X\) nimmt nur einzelne Werte mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten an \subsubsection*{Erwartungswert (Mittelwert)} \addcontentsline{toc}{subsubsection}{Erwartungswert (Mittelwert)} \( M = E(X) = \sum\limits_i x_i * p_i \) mit \( (i=1,2,3,…) \) \subsubsection*{Streuung (Varianz)} \addcontentsline{toc}{subsubsection}{Streuung (Varianz)} \( \sigma^2 = V(X) = Var(X) = \sum\limits_i (x_i-\mu)^2 * p_i \to\) mittlerer Quadratischer Abstand Standardabweichung \(\sigma\) ist \( \sigma = \sqrt{\sigma^2} \) Wenn \( \sigma = 0 \Rightarrow x = \mu \) mit Wahrscheinlichkeit 1 \( \sigma^2 = \sum\limits_i x_i * p_i - \mu^2 \) (einfachere Formel) Variationskoeffizient \(\frac{\sigma}{\mu}\) in (\%) \section*{Verteilung und Verteilungsfunktion von Zufallsvariablen} \addcontentsline{toc}{section}{Verteilung und Verteilungsfunktion von Zufallsvariablen} Funktion \(F: \mathbb R \to [0,1] \) mit \( F(x) = P(X \le x) \) \subsection*{Eigenschaften von \(F(x)\)} \addcontentsline{toc}{subsection}{Eigenschaften von \(F(x)\)} \begin{itemize} \item \( \lim\limits_{x\to-\infty} F(x) = 0 \) und \( \lim\limits_{x\to\infty} F(x) = 1 \) \item \(F(x)\) ist monoton Wachsend (nicht unbedingt streng) \item \(F(x)\) ist rechtsseitig stetig \( (F(x) ? P(X\le c) )\) \end{itemize} \subsection*{Verteilungsfunktion} \addcontentsline{toc}{subsection}{Verteilungsfunktion} \begin{itemize} \item eine Treppenfunktion \(\to\) bei diskreten Verteilungen \item eine durchgehend stetige Funktion \(\to\) Keine Sprünge \end{itemize} \section*{Stetige Verteilung} \addcontentsline{toc}{section}{Stetige Verteilung} \begin{itemize} \item stetige Funktion \(F(x)\) \item \(P(X=x) = 0 \forall x \in\mathbb R \) (\(\Rightarrow\) Keine Sprünge) \end{itemize} Stetige Stetige Verteilungsfunktionen besitzen eine Dichtefunktion \(f(x)\) mit \begin{itemize} \item \(f(x) = F'(x)\) \end{itemize} \subsection*{Eigenschaften Dichtefunktion} \addcontentsline{toc}{subsection}{Eigenschaften Dichtefunktion} \begin{itemize} \item \( f: \mathbb R \to \left[0,\infty\right)\), also \(f(x) \ge 0 \forall x \in \mathbb R \) \item \( \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm dx = 1\) \end{itemize} \section*{Diskrete Verteilung} \addcontentsline{toc}{section}{Diskrete Verteilung} Gleichverteilung: \( P(X=x_1) = P(X=x_2) = … = P(X=x_n) = \frac1n \) \section*{Geometrische Verteilung} \addcontentsline{toc}{section}{Geometrische Verteilung} \(X\) ist geometrisch verteilt mit Parameter \(p\): \(P(X=k) = (1-p)^{k-1}*p \) \section*{Binomialverteilung} \addcontentsline{toc}{section}{Binomialverteilung} Ein Zufallsexperiment wird \(n\)-mal unabhängig voneinander wiederholt\\ \( P(X=k) = \binom{n}{k} * p^k *(1-p)^{n-k} \) \begin{itemize} \item \(\mu = \sum\limits_{k=0}^n k * \binom{n}{k} *p^k * (1-p)^{n-k} = n*p \) \item \(\sigma^2 = n*p*(1-p) \) \end{itemize} für \( p = 0,5 \) ist die Verteilung Symmetrisch \section*{Gaußsche Normalverteilung} \addcontentsline{toc}{section}{Gaußsche Normalverteilung} \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} * \sigma} *e^{-\frac12*(\frac{\pi-\mu}{\sigma})^2} \) Veränderung von \(\mu\to\) Verschiebung ind \(x\)-Richtung Veränderung von \(\sigma\to\) Stauchung/Dehnung in der Breite/Höhe Standardnormalverteilung: \( N(0,1): F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} * e^{-\frac12x^2} \) \section*{Erwartungswert und Varianz stetiger Verteilung} \addcontentsline{toc}{section}{Erwartungswert und Varianz stetiger Verteilung} \underline{diskret:} \( \mu = \sum\limits_i x_i * p_i \quad \sigma^2 = \sum\limits_i x_i^2 * p_i -\mu^2 \) \underline{stetig:} \( \mu = \int\limits_{-\infty}^\infty x * f(x) \mathrm dx \quad \sigma^2 = \int\limits_{-\infty}^\infty x^2 * f(x) \mathrm dx - \mu^2 \) \section*{Normalverteilung} \addcontentsline{toc}{section}{Normalverteilung} Wenn \(f(x) \in X\), dann \(X\) ist \(N(\mu,\sigma)\) verteilt. Es gilt: \( E(X) = \mu, Var(X) = \sigma^2 \) \(\Rightarrow X\) heißt standardnormalverteilt, wenn \(\mu = 0, \sigma = 1 \Rightarrow f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}*e^{-\frac12x^2} \) Verteilungsfunktion \(F(x) = \phi(x) = \phi_{0,1}(x) \to \) hierfür: Tabellenwerte \includegraphics{bilder/fosa_dichtefunktion.pdf} \section*{Schätzungen und Tests} \addcontentsline{toc}{section}{Schätzungen und Tests} \subsection*{Stichproben} \addcontentsline{toc}{subsection}{Stichproben} \begin{itemize} \item arithmetisches Mittel (Durchschnitt)\\ \( \overline{x} = \frac1n * (x_1+x_2+…+x_n) = \frac1n \sum\limits_{i=1}^n x_i \) \item Schätzung für \(\mu\)\\ \( \overline{x} = \frac1n * (x_1+x_2+…+x_n) \) \item Schätzwert für \(\sigma\)\\ \( s^2 = \frac{1}{n-1} * (x_1^2 + x_2^2 + … + x_n^2 ) - \frac{n}{n-1} * \overline{x}^2 = \sqrt{s_{n-1}^2} \) \end{itemize} \subsection*{Zentraler Grenzwertsatz} \addcontentsline{toc}{subsection}{Zentraler Grenzwertsatz} \( \overline{x} = \frac1n * (x_1+x_2+…+x_n) \) \( \frac{\overline{x}-\mu}{\sigma} * \sqrt{n} \) ist für große \(n\) näherungsweise \(N(0,1)\) verteilt. \subsection*{Tests} \addcontentsline{toc}{subsection}{Tests} \( H_0: \mu = \mu_0 \Rightarrow \) zweiseitiger Test \( H_0: \mu \le \mu_0 \) oder \( H_0: \mu \ge \mu_0 \Rightarrow \) einseitige Tests \( T= \frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma} * \sqrt{n} \) \includegraphics{bilder/fosa_dichtefunktion_zwei.pdf}\\ zweiseitiger Test Testentscheidung: \(H_0\) wird \(\begin{cases} \text{angenommen} &, -c \le T \le c \\ \text{abgelehnt} &, T>c,T<-c \end{cases} \) \underline{Bestimmung von \(c\)} \( \phi(c) = 1-\frac\alpha2,\quad c=\phi^{-1}(1-\frac\alpha2) \) (rückwärts) \underline{Einseitige Tests} \(H_0: \mu \le \mu_0 \) (vorgegebener Maximalwert) \includegraphics{bilder/fosa_dichtefunktion_max.pdf} \(H_0\) wird \(\begin{cases} \text{angenommen} &, T \le c \\ \text{abgelehnt} &, T>c \end{cases} \) \(H_0: \mu \ge \mu_0 \) (vorgegebener Minimalwert) \includegraphics{bilder/fosa_dichtefunktion_min.pdf} \(H_0\) wird \(\begin{cases} \text{angenommen} &, T \ge c \\ \text{abgelehnt} &, T