2011-11-17

Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex

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 		\item eine durchgehend stetige Funktion \(\to\) keine Sprünge
 	\end{itemize}
 
+	\bsp\\
+	\( F(x) = \begin{cases}0, & x<1 \\ 0.2, & 1\le x<2 \\ \frac 1 8 *x^2, & x\le x<2.5 \\ 1, & x\ge 2.5 \end{cases}\)\\
+	Berechne:\\
+	\( P(X=-10) = 0\) (Kein Sprung)\\
+	\( P(X=2) = 0.3\) (Sprunghöhe bei \(x=2\))\\
+	\( P(X\le 2) = F(2) = \frac 1 8 * 2^2 = 0.5\)\\
+	\( P(X\ge 2) = 1 - P(X<2) = 1 - 0.2 = 0.8 \)\\
+	\( P(X\ge 2.2) = 1 - P(X<2.2) = 1 - P(X\le 2.2) = 1 - \frac{121}{200} = \frac{79}{200} \approx 0.395 \) (Kein Sprung!)
+
+	\( P(x\le X < 2) = P(X<2) - P(X<1) = 0.2 - 0 = 0.2  \)\\
+	\( P(2< X < 2.2) = P(X< 2.2) - P(X\le 2) = \frac{121}{200} - 0.5 = \frac{21}{200} \approx 0.105 \)
+
+	\subsubsection{Stetige Verteilung}
+
+	\(\to\) stetige Funktion \(F(x)\)\\
+	\(\to\) \(P(X=x) = 0\) \(\forall x \in \mathbb R\) (\(\to\) keine Sprünge)
+
+	\bsp Zufallszahlen (reelle Zahlen) im Intervall \( [100,500] \), und zwar gleich verteilt.\\
+	\( P(240\le X \le 260) = \frac{260-240}{500-100} = \frac{20}{400} = \frac{1}{20} = 0.05 \)
+
+	Stetige Verteilungsfunktionen besitzen eine \underline{Dichtefunktion} \(f(x)\) mit \( f(x) = F'(x) \).\\
+	\textcolor{Orange}{bis auf einzelne Stellen, an denen man nicht ableiten kann}\\
+	bzw. \(F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) dt \) \textcolor{Orange}{(\(=P(X\le x)\))}
+
+	\textcolor{Orange}{\(\to\) Bedeutung:} Die Dichtefunktion bei stetigen Verteilungen ist der Ersatz für die Einzelwahrscheinlichkeiten bei diskreten Verteilungen.
+
+	Im \bsp Fläche \( \underbrace{\frac{1}{400}}_{\text{Höhe}} * \underbrace{400}_{\text{Breite}} = 1 = \) Gesamtwahrscheinlichkeit
+
+	\textbf{Eigenschaften einer Dichtefunktion \(f(x)\):}
+
+	\(f: \mathbb R \to \left[0,\infty\right) \), \textcolor{Orange}{d.\,h. \( f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb R \)}\\
+	und \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 \) \textcolor{Orange}{\(\leftarrow\) Gesamtwahrscheinlichkeit}
+
+	\bsp\\
+	\( f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac 1 2 x, & 0 \le x < 1 \\ a * x^2, & 1 \le x < x \\ 0, & x \ge 2 \end{cases} \)
+	\begin{itemize}
+		\item[(a)]
+			Für welches \( a \in \mathbb R \) ist \(f(x)\) eine Dichtefunktion?
+		\item[(b)] Berechne für das $a$ aus (a) die zugehörige Verteilungsfunktion \(F(x)\)
+	\end{itemize}
+
+	\begin{itemize}
+		\item[(a)]
+			\( \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 \to \) auflösen nach a\\
+			\( \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int\limits_0^1 \frac 1 2 x dx + \int\limits_1^2 a * x^2 dx \)\\
+			\( = \left[ \frac 1 4 x^2 \right]_0^1 + \left[ \frac a 3 * x^3 \right]_1^2 \)\\
+			\( = \frac 1 4 + \frac a 3 * 8 - \frac a 3 = \frac 7 3 *a + \frac 1 4 \)
+			\( a = \frac{9}{28} \approx 0.3214 \)
+	\end{itemize}
+
 \end{document}