2011-11-16 VL1

Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex

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 		\item
 			\( F(x) \) ist monoton wachsend \textcolor{Orange}{nicht unbedingt \underline{streng} wachsend}
 		\item
-			\(F(x)\) ist rechtsseitig stetig \textcolor{Orange}{\(\to\) aus der Def.: \(F(x) = P(X{\color{Red}\le}c) \) }
+			\(F(x)\) ist rechtsseitig stetig \textcolor{Orange}{\(\to\) aus der Definition: \(F(x) = P(X{\color{Red}\le}c) \) }
 	\end{itemize}
 
 	\bsp $X$: Anzahl an Wappen bei 2maligem Münzwurf. Skizziere die Verteilungsfunktion \(F(x)\)
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 	\bsp \( F(x) = \begin{cases} a, & x < 0 \\ b*x+0.75, & 0 \le x < 1 \\ c, & x \ge 1 \end{cases} \)
 	
-	Für welche \(a,b,c \in \mathbb R\) ist \(R(x)\) eine Verteilungsfunktion?
+	Für welche \(a,b,c \in \mathbb R\) ist \(F(x)\) eine Verteilungsfunktion?
 
 	\(a = 0, 0\le x \le 2.25, c=1 \)
 
+	\bsp (zu Verteilungsfunktion)\\
+	\( F(x) = \begin{cases} e^x * \frac 1 2, & x < 0 \\ b, & 0 \le x < 2 \\ c, & x\ge 2 \end{cases} \)
+	\begin{itemize}
+		\item[(a)]
+			Wie groß müssen $b$ und $c$ sein, damit $F(x)$ eine Verteilungsfunktion ist?
+		\item[(b)]
+			Sei \( b=0.8, c=1 \).\\
+			Berechne:\\
+			\(P(X=0), P(X=-1), P(X\le -1), P(X>-1), P(X\le 2), P(X>2), P(X\ge3) \)
+	\end{itemize}
+
+	\begin{itemize}
+		\item[(a)]
+			\( e^0 * \frac 1 2 = 0.5 \)\\
+			\( \frac 1 2 \le b \le c = 1 \)\\
+			Eigenschaften der Verteilungsfunktion:
+			\begin{itemize}
+				\item \( \lim\limits_{x\to-\infty} \underbrace{F(x)}_{e^x*\frac 1 2} = 0 \), \( \lim\limits_{x\to-\infty} \underbrace{F(x)}_c = 1 \Rightarrow c=1 \)
+				\item \(F(x)\) rechtsseitig stetig
+				\item \(F(x)\) monoton wachsend
+			\end{itemize}
+		\item[(b)]
+			\(P(X=0) = 0.3 (=0.8-0.5) \)\\
+			\(P(X=-1) = 0\) (Kein Sprung)\\
+			\(P(X\le-1) = F(-1) = \frac{e^{-1}}{2} \approx 0.18394 \)\\
+			\(P(X>-1) = 1-F(-1) = 1- \frac{e^{-1}}{2} \approx 0.81606 \)\\
+			\(P(X\le 2) = F(2) = 1\)\\
+			\(P(X>2) = 1-P(X\le 2) = 0 \)\\
+			\(P(X<2) = P(X\le 2) - P(X=2) = F(2) - 0.2 = 0.8\)\\
+			\(P(X\ge 3) = 1-P(X<3) = 0\)
+	\end{itemize}
+
+	Meist ist die Verteilungsfunktion
+	\begin{itemize}
+		\item eine Treppenfunktion \(\to\) bei diskreten Verteilungen
+		\item eine durchgehend stetige Funktion \(\to\) keine Sprünge
+	\end{itemize}
+
 \end{document}