2011-11-02 2. VL Berechenbarkeits-KomplexTh

Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex

@@ -27,7 +27,8 @@
 \setcounter{tocdepth}{4}
 \definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0}
 \definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5}
-\definecolor{greenblue}{rgb}{0,0.25,0.5}
+\definecolor{greenblue}{rgb}{0,0.5,0.5}
+\definecolor{lightgreen}{rgb}{0.5,1,0.5}
 
 \renewenvironment{leftbar}[1]{%
     \def\FrameCommand{{{\vrule width #1\relax\hspace {8pt}}}}%
@@ -49,6 +50,7 @@
 \newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}}
 \newcommand{\satz}{\textcolor{darkblue}{\textbf{Satz: }}}
 \newcommand{\bew}{\textcolor{greenblue}{\textbf{Beweis: }}}
+\newcommand{\bsp}{\textcolor{lightgreen}{\textbf{Bsp.: }}}
 \newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor}
 \newcommand{\llfloor}{\left\lfloor}
 
@@ -473,11 +475,11 @@
 	\begin{leftbar}{1mm}
 		Eingabe $x$\\
 		Starte $M$ auf Eingabe $(x,x)$.\\
-		Falls $M$ akzeptiert\\
+		Falls $M$ akzeptiert
 		\begin{leftbar}{1mm}
 			dann starte $M_x$ auf $x$\\
 			falls $M_x$ akzeptiert, dann verwerfe\\
-			sonst akzeptiere\\
+			sonst akzeptiere
 		\end{leftbar}
 		sonst akzeptiere
 	\end{leftbar}
@@ -530,4 +532,74 @@
 	Sei $y_0$ Kodierung von $M_0$.\\
 	Dann gilt:\\
 	\spa \( (x,y) \in H \Leftrightarrow y_0 \in T \)
+
+	$M$ für $H$:\\
+	\begin{leftbar}{1mm}
+		Eingabe $(x,y)$\\
+		Konstruiere Turingmaschine $M_0$ (aus $x$ wird $y$)\\
+		Sei $y_0$ Kodierung von $M_0$\\
+		Falls $y_0 \in T$, dann akzeptiere\\
+		Sonst verwerfe
+	\end{leftbar}
+
+	\begin{itemize}
+		\item[1. Fall]
+			\( (x,y) \in H \Rightarrow M_x(x) \) hält\\
+			\( \Rightarrow L(M_0) = \Sigma^* \) \\
+			\( \Rightarrow \) insbesondere hält $M_0$ auf alle Eingaben\\
+			\( \Rightarrow y_0 \in T \)\\
+			\( \Rightarrow M \) akzeptiert \( (x,y) \)
+		\item[2. Fall]
+			\( (x,y) \not\in H \Rightarrow L(M_0) = \emptyset \) und $M_0$ hält auf \underline{\underline{keine}} Eingabe\\
+			d.\,h. $M$ entscheidet $H$ Widerspruch \( \Box \)
+	\end{itemize}
+
+	\( L_E = \{ x \mid \text{Turingmaschine } M_x \text{ hat }\underbrace{\text{Eigenschaft}}_{\text{Spracheigenschaft}} E \} \)
+
+	ist unentscheidbar für jede Eigenschaft $E$.
+	\underline{Satz von Rice}
+
+	\bsp \( F = \{ x \mid L(M_x) \text{ ist endlich} \} \)
+
+	finite: \( \overline{F} = \{ x \mid L(M_x) \text{ ist unendlich} \} \)
+
+	empty: \( E = \{ x \mid L(M_x) = \emptyset \} \)
+
+	\( S = \{ x \mid L(M_x) = \Sigma^* \)
+
+	Äquivalenz \( = \{ (x,y) \mid L(M_x) = L(M_y) \} \)
+
+	Äquivalenz für alle Sprachen\\
+	\spa \( = \{ (x,y) \mid x,y \text{ sind PDAs und } L(M_y) = L(M_y) \} \)\\
+	ist unentscheidbar.
+
+	\underline{Gödel}: mehrere Arithmetische Formeln:\\
+	\( \forall n \exists m : (n=2m \text{ oder } n=2m-1) \) wahr\\
+	\( \forall n \exists m: n=2m \) falsch
+
+	Post’sches Korrespondenz Problem (PCP)
+
+	gegeben sind Dominos der Form \( \left[ \frac x y \right] \)\\
+	wobei \(x,y \in \Sigma^* \), endlich viele Typen, von jedem Type beliebig viele.
+
+	\bsp \( D = \{ \left[ \frac{b}{ca} \right], \left[ \frac{a}{ab} \right], \left[ \frac{ca}{a} \right], \left[ \frac{abc}{c} \right] \} \)
+
+	Ziel: lege Domins so, dass das Wort, das oben steht gleich dem ist, das unten steht.
+
+	\( \left[ \frac{a}{ab} \right] \left[ \frac{b}{ca} \right] \left[ \frac{ca}{a} \right] \left[ \frac{abc}{c} \right] \) Widerspruch!\\
+	\( \left[ \frac{a}{ab} \right] \left[ \frac{b}{ca} \right] \left[ \frac{ca}{a} \right] \left[ \frac{a}{ab} \right] \left[ \frac{abc}{c} \right] \)
+
+	$D$ hat Lösung, also \( D \in PCP \)
+
+	\( D_1 = \{ \left[ \frac{ab}{abc} \right] \left[ \frac{c}{ab} \right] \left[ \frac{ac}{cab} \right] \left[ \frac{ba}{acb} \right] \)
+
+	\( \left[ \frac{ab}{abc} \right]\left[ \frac{c}{ab} \right] \)
+
+	hat keine Lösung, da Wörter unten immer Länger aös Wörter oben sind. \( D_1 \not\in PCP \)
+
+	\bsp \( \{ \left[ \frac{0}{011} \right] \left[ \frac{001}{1} \right] \left[ \frac{1}{00} \right] \left[ \frac{11}{110} \right] \} \)\\
+	Kürzeste Lösung hat 515 Dominos.
+
+	PCP ist unentscheidbar
+
 \end{document}