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Update: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

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Thomas Ba. 14 years ago
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Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex
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@ -3,6 +3,7 @@
\usepackage[ngerman]{babel}
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%\usepackage{pstricks}
@ -15,6 +16,14 @@
pdfkeywords={Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik},
pdfborder={0 0 0}
]{hyperref}
%TEST
\usepackage{framed}
\usepackage{amsthm}
\newtheorem{mdef}[equation]{Definition}
\newenvironment{mydef}
{\begin{leftbar}\begin{mdef}}
{\end{mdef}\end{leftbar}}
%TEST ENDE
\usepackage{tabularx}
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\usepackage[usenames,dvipsnames]{color}
@ -359,16 +368,22 @@
\item[(d)] bedingte Wahrscheinlichkeit \( P(B \mid A) = \frac 1 2 \not= P(B) \), denn A und B sind abhängig.
\end{itemize}
\defin Für 2 Ereignisse A und B ist die \underline{bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A}\\
\spa \( P(B\mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) (wenn \(P(A) \not= 0\))
\begin{mydef}
Für 2 Ereignisse A und B ist die \underline{bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A}\\
\spa \( P(B\mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) (wenn \(P(A) \not= 0\))
\end{mydef}
\defin umgestellt zur Berechnung von \(P(A\cap B)\):\\
\spa \( P(A\cap B) = P(A) * P(B\mid A) = P(B) * P(A\mid B) \) {\color{Orange}\(\to\) gilt immer}
\begin{mydef}
umgestellt zur Berechnung von \(P(A\cap B)\):\\
\spa \( P(A\cap B) = P(A) * P(B\mid A) = P(B) * P(A\mid B) \) {\color{Orange}\(\to\) gilt immer}
\end{mydef}
\defin 2 Ereignisse A und B sind \underline{unabhängig}, wenn \( P(A\cap B) = P(A) * P(B) \).\\
\spa bzw. wenn \(P(B\mid A) = P(A) \)\\
\spa bzw. wenn \(P(A\mid B) = P(B) \)\\
\spa {\color{Orange} \(\to\) nur bei unabhängigen Ereignissen.}
\begin{mydef}
2 Ereignisse A und B sind \underline{unabhängig}, wenn \( P(A\cap B) = P(A) * P(B) \).\\
bzw. wenn \(P(B\mid A) = P(A) \)\\
bzw. wenn \(P(A\mid B) = P(B) \)\\
{\color{Orange} \(\to\) nur bei unabhängigen Ereignissen.}
\end{mydef}
\subsubsection{Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit}
@ -419,7 +434,9 @@
\item[(a)] Wie viel Prozent der Daten sind 0en, die als 1 ankommen?\\
\( P(A \cap \overline{B}) = P(\overline{B}\mid A) * P(A) = 0,02 * 0,03 = 0,006 = 0,6\% \)
\item[(b)] Wie viel Prozent der ankommenden 0en sind 1en, die gesendet wurden?\\
\( P(\overline{A}\mid B) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B\mid\overline{A} * P(\overline{A}}{P(B)} \)
\( P(\overline{A}\mid B) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B\mid\overline{A}) * P(\overline{A})}{P(B)} \)
\item[(c)] Wie viel Prozent der Daten werden Fehlerhaft übertragen?\\
\( \underbrace{P(A\cap \overline{B})}_{=0,6\%} + \underbrace{P(\overline{A} \cap B)}_{=0,7\%} = 1,3\% \)
\end{itemize}
Ereignisse:
@ -429,7 +446,141 @@
\end{itemize}
Gegeben: \( P(B\mid\overline{A}) = 1\%; P(\overline{B}\mid A) = 2\%; P(A) = 30\% \)\\
\bsp (zu bedingten Wahrscheinlichkeiten).\\
2 maliges Würfeln\\
Ereignisse:
\begin{itemize}
\item[A:] 1. Wurf ergibt 4
\item[B:] Summe der Augenzahlen ist 12
\item[C:] Summe der Augenzahlen ist 7
\item[D:] 2. Wurf ergibt 3
\end{itemize}
Sind A und B bzw. A und C bzw. A und D bzw. A C und D unabhängig?\\
\textcolor{Orange}{A und B sind Unabhängig, wenn \( P(A \cap B) = P(A) * P(B) \) }
\( P(A) = \frac 1 6 \)\\
\( P(B) = \frac{1}{36} \)\\
\( P(C) = \frac 1 6 \)\\
\( P(D) = \frac 1 6 \)
\( P(A \cap B) = 0 \not= \frac{1}{216} = P(A) * P(B) \)\\
A und B sind abhängig.
\( A\cap C = \{ 43 \} \)\\
\( P(A\cap C) = \frac{1}{36} = \frac 1 6 * \frac 1 6 = P(A) * P(C) \)\\
A und C und unabhängig
\( A\cap D = \{ 43 \} \)\\
\( P(A\cap D)= \frac{1}{36} = \frac 1 6 * \frac 1 6 * P(A) * P(D) \)
A und D und unabhängig
\( A\cap D=\{43\} \)\\
\( P(A\cap D) = \frac{1}{36} = \frac 1 6 * \frac 1 6 = P(A) * P(D) \)\\
\( A\cap C\cap D = \{ 43 \} \)\\
\( P(A\cap C\cap D) = \frac{1}{36} \not= \frac 1 6 * \frac 1 6 * \frac 1 6 = P(A) * P(C) * P(D) \)\\
A, C und D sind abhängig
Zusatzfragen:\\
\begin{itemize}
\item[(a)]
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, \cunder{Yellow}{das der 1. Wurf 3 ist} \textcolor{Yellow}{A},\\
\cunder{Orange}{wenn die Summe der Augenzahlen 6 ist} \textcolor{Orange}{B}?
\item[(b)]
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, \cunder{Yellow}{dass (mindestens) einer der Würfe 3 ist} \textcolor{Yellow}{C},\\
\cunder{Orange}{wenn die Summe der Augenzahlen 6 ist} \textcolor{Orange}{B}?
\end{itemize}
\( B = \{ 15,24,33,42,51 \} \)
\(P(A) = \frac 1 6 \)\\
\(P(B) = \frac{5}{36} \)\\
\(P(C) = \)
\begin{itemize}
\item[(a)]
\( P(A \mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{ \frac{1}{36} }{ \frac{5}{36} } = \frac 1 5 \)
\item[(b)]
\( P(A \mid C) = \frac{P(A\cap C)}{P(B)} = \frac{ \frac{1}{36} }{ \frac{5}{36} } = \frac 1 5 \)\\
\end{itemize}
Oder direkt:
\begin{itemize}
\item[(a)]
\( P(A\mid B) = \frac 1 5 \)\\
Bedingung \( B = \{ 15, 24, \underline{3}3, 42, 51 \} \)
\item[(b)]
\( P(C\mid B) = \frac 1 5 \)\\
Bedingung: \( B = \{ 15, 24, \underline{33}, 42, 51 \} \)
\end{itemize}
\subsection*{Formeln}
\(P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)\\
\(\to\)
\( P(A\cap B) = P(A\mid B) * P(B) = P(B\mid A) * P(A) \) \textcolor{Orange}{gilt immer}\\
\( P(A\cap B) = P(A) * P(B) \) \textcolor{Orange}{nur wenn A und B unabhängig}
Totale Wahrscheinlichkeit: \( P(A) = P(A\mid B) * P(B) + P(A\mid \overline{B}) * P(\overline{B}) \)
Gegenteile: \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) ; P(\overline{A}\mid B) = 1-P(A\mid B) \)
Unabhängigkeit von Ereignissen:\\
A und B sind unabhängig, wenn \( P(A\cap B) = P(A) * P(B) \) oder wenn \( P(A\mid B) = P(A) \) oder wenn \( P(B\mid A) = P(B) \)
A, B und C sind unabhängig, wenn \( P(A\cap B\cap C) = P(A) * P(B) * P(C)\) \cunder{Yellow}{und} \( P(A\cap B) = P(A)*P(B) \), \( P(A\cap C) = P(A) * P(C) \), \( P(B\cap C) = P(B)*P(C) \)
\bsp bei 100 Mengen zu prüfen:\\
\( \binom{100}{1} + \binom{100}{3} + … + \binom{100}{99} + \binom{100}{100} = 2^{100} - \binom{100}{1} - \binom{100}{0} \)
\bsp 2 maliges Würfeln
\begin{itemize}
\item[A:] 1. Wurf ist 3. \( P(A) = \frac 1 6 \)
\item[B:] Summe der Augenzahlen ist 12. \( P(B) = \frac{1}{36} \)
\item[C:] 2. Wurf ist 7. \( P(C) = 0 \)
\end{itemize}
\( \underbrace{P(A\cap B\cap C)}_{_0} = \underbrace{P(A) * P(B) * P(C)}_{=0} \)\\[2mm]
\( \underbrace{P(a\cap B)}_{=0} \not= \underbrace{ P(A) }_{\frac 1 6} * \underbrace{P(B)}_{\frac{1}{36}} \)\\
\(\to\) A, B und C sind abhängig
\subsection{Zufallsvariablen}
\begin{mydef}
Eine Zufallsvariable $X$ ist eine Funktion.\\
\(X: \Omega \to \mathbb R \) (jedem Ergebnis aus \(\Omega\) wird eine reelle Zahl zugeordnet)
\end{mydef}
\bsp 2 maliger Münzwurf\\
Wird 2 mal Wappen geworfen, so gewinnen wir \EUR{2}\\
Wird 2 mal Zahl geworfen, so gewinnen wir \EUR{3}\\
sonst verlieren wir \EUR{2,40}.
\( \Omega = \{ \underbrace{WW}_{3}, \underbrace{ZZ}_{2}, \underbrace{WZ}_{-2,40}, \underbrace{ZW}_{-2,40} \} \) Wahrscheinlichkeit jeweils \( \frac 1 4\)\\
Zufallsvariable $X$: Gewinn (in \EUR{})
\begin{mydef}
Die \underline{Verteilung} (Wahrscheinlichkeitsverteilung) einer Zufallsvariable gibt an, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die Zufallsvariable ihre möglichen Werte annimmt.
\end{mydef}
im \bsp Verteilung von $X$:\\
\( P(X=3) = \frac 1 4 \)\\
\( P(X=2) = \frac 1 4 \)\\
\( P(X=-2,40) = \frac 2 4 = \frac 1 2 \)
anderes \bsp 2 maliges Würfeln:\\
Wir gewinnen \EUR{2}, wenn zuerst eine 6 gewürfelt wird.\\
Wir gewinnen \EUR{5}, wenn keine 6 gewürfelt wird.\\
Wir verlieren sonst den Betrag $B$.
Zufallsvariable $X$: unser Gewinn\\
gesucht:Verteilung von $X$
Verteilung von $X$:\\
\( P(X=2) = \frac 1 6 \)\\
\( P(X=5) = \frac 5 6 * \frac 5 6 = \frac{25}{36} \)\\
\( P(X=-B) = 1 - \left( \frac 1 6 + \frac{25}{36} \right) = 1 - \frac{31}{36} = \frac{5}{36} \)
\end{document}

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