diff --git a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex index cbc0a74..66e55db 100644 --- a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex +++ b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex @@ -3,6 +3,7 @@ \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} +\usepackage{eurosym} %\usepackage{multicol} %\usepackage{booktabs} %\usepackage{pstricks} @@ -15,6 +16,14 @@ pdfkeywords={Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik}, pdfborder={0 0 0} ]{hyperref} +%TEST +\usepackage{framed} +\usepackage{amsthm} +\newtheorem{mdef}[equation]{Definition} +\newenvironment{mydef} + {\begin{leftbar}\begin{mdef}} + {\end{mdef}\end{leftbar}} +%TEST ENDE \usepackage{tabularx} %\usepackage{graphicx} \usepackage[usenames,dvipsnames]{color} @@ -359,16 +368,22 @@ \item[(d)] bedingte Wahrscheinlichkeit \( P(B \mid A) = \frac 1 2 \not= P(B) \), denn A und B sind abhängig. \end{itemize} - \defin Für 2 Ereignisse A und B ist die \underline{bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A}\\ - \spa \( P(B\mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) (wenn \(P(A) \not= 0\)) + \begin{mydef} + Für 2 Ereignisse A und B ist die \underline{bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A}\\ + \spa \( P(B\mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) (wenn \(P(A) \not= 0\)) + \end{mydef} - \defin umgestellt zur Berechnung von \(P(A\cap B)\):\\ - \spa \( P(A\cap B) = P(A) * P(B\mid A) = P(B) * P(A\mid B) \) {\color{Orange}\(\to\) gilt immer} + \begin{mydef} + umgestellt zur Berechnung von \(P(A\cap B)\):\\ + \spa \( P(A\cap B) = P(A) * P(B\mid A) = P(B) * P(A\mid B) \) {\color{Orange}\(\to\) gilt immer} + \end{mydef} - \defin 2 Ereignisse A und B sind \underline{unabhängig}, wenn \( P(A\cap B) = P(A) * P(B) \).\\ - \spa bzw. wenn \(P(B\mid A) = P(A) \)\\ - \spa bzw. wenn \(P(A\mid B) = P(B) \)\\ - \spa {\color{Orange} \(\to\) nur bei unabhängigen Ereignissen.} + \begin{mydef} + 2 Ereignisse A und B sind \underline{unabhängig}, wenn \( P(A\cap B) = P(A) * P(B) \).\\ + bzw. wenn \(P(B\mid A) = P(A) \)\\ + bzw. wenn \(P(A\mid B) = P(B) \)\\ + {\color{Orange} \(\to\) nur bei unabhängigen Ereignissen.} + \end{mydef} \subsubsection{Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit} @@ -419,7 +434,9 @@ \item[(a)] Wie viel Prozent der Daten sind 0en, die als 1 ankommen?\\ \( P(A \cap \overline{B}) = P(\overline{B}\mid A) * P(A) = 0,02 * 0,03 = 0,006 = 0,6\% \) \item[(b)] Wie viel Prozent der ankommenden 0en sind 1en, die gesendet wurden?\\ - \( P(\overline{A}\mid B) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B\mid\overline{A} * P(\overline{A}}{P(B)} \) + \( P(\overline{A}\mid B) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B\mid\overline{A}) * P(\overline{A})}{P(B)} \) + \item[(c)] Wie viel Prozent der Daten werden Fehlerhaft übertragen?\\ + \( \underbrace{P(A\cap \overline{B})}_{=0,6\%} + \underbrace{P(\overline{A} \cap B)}_{=0,7\%} = 1,3\% \) \end{itemize} Ereignisse: @@ -429,7 +446,141 @@ \end{itemize} Gegeben: \( P(B\mid\overline{A}) = 1\%; P(\overline{B}\mid A) = 2\%; P(A) = 30\% \)\\ - + \bsp (zu bedingten Wahrscheinlichkeiten).\\ + 2 maliges Würfeln\\ + Ereignisse: + \begin{itemize} + \item[A:] 1. Wurf ergibt 4 + \item[B:] Summe der Augenzahlen ist 12 + \item[C:] Summe der Augenzahlen ist 7 + \item[D:] 2. Wurf ergibt 3 + \end{itemize} + Sind A und B bzw. A und C bzw. A und D bzw. A C und D unabhängig?\\ + \textcolor{Orange}{A und B sind Unabhängig, wenn \( P(A \cap B) = P(A) * P(B) \) } + + \( P(A) = \frac 1 6 \)\\ + \( P(B) = \frac{1}{36} \)\\ + \( P(C) = \frac 1 6 \)\\ + \( P(D) = \frac 1 6 \) + + \( P(A \cap B) = 0 \not= \frac{1}{216} = P(A) * P(B) \)\\ + A und B sind abhängig. + + \( A\cap C = \{ 43 \} \)\\ + \( P(A\cap C) = \frac{1}{36} = \frac 1 6 * \frac 1 6 = P(A) * P(C) \)\\ + A und C und unabhängig + + \( A\cap D = \{ 43 \} \)\\ + \( P(A\cap D)= \frac{1}{36} = \frac 1 6 * \frac 1 6 * P(A) * P(D) \) + A und D und unabhängig + + \( A\cap D=\{43\} \)\\ + \( P(A\cap D) = \frac{1}{36} = \frac 1 6 * \frac 1 6 = P(A) * P(D) \)\\ + \( A\cap C\cap D = \{ 43 \} \)\\ + \( P(A\cap C\cap D) = \frac{1}{36} \not= \frac 1 6 * \frac 1 6 * \frac 1 6 = P(A) * P(C) * P(D) \)\\ + A, C und D sind abhängig + + Zusatzfragen:\\ + \begin{itemize} + \item[(a)] + Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, \cunder{Yellow}{das der 1. Wurf 3 ist} \textcolor{Yellow}{A},\\ + \cunder{Orange}{wenn die Summe der Augenzahlen 6 ist} \textcolor{Orange}{B}? + \item[(b)] + Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, \cunder{Yellow}{dass (mindestens) einer der Würfe 3 ist} \textcolor{Yellow}{C},\\ + \cunder{Orange}{wenn die Summe der Augenzahlen 6 ist} \textcolor{Orange}{B}? + \end{itemize} + + \( B = \{ 15,24,33,42,51 \} \) + + \(P(A) = \frac 1 6 \)\\ + \(P(B) = \frac{5}{36} \)\\ + \(P(C) = \) + + \begin{itemize} + \item[(a)] + \( P(A \mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{ \frac{1}{36} }{ \frac{5}{36} } = \frac 1 5 \) + \item[(b)] + \( P(A \mid C) = \frac{P(A\cap C)}{P(B)} = \frac{ \frac{1}{36} }{ \frac{5}{36} } = \frac 1 5 \)\\ + \end{itemize} + + Oder direkt: + \begin{itemize} + \item[(a)] + \( P(A\mid B) = \frac 1 5 \)\\ + Bedingung \( B = \{ 15, 24, \underline{3}3, 42, 51 \} \) + \item[(b)] + \( P(C\mid B) = \frac 1 5 \)\\ + Bedingung: \( B = \{ 15, 24, \underline{33}, 42, 51 \} \) + \end{itemize} + + + \subsection*{Formeln} + + \(P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)\\ + \(\to\) + \( P(A\cap B) = P(A\mid B) * P(B) = P(B\mid A) * P(A) \) \textcolor{Orange}{gilt immer}\\ + \( P(A\cap B) = P(A) * P(B) \) \textcolor{Orange}{nur wenn A und B unabhängig} + + Totale Wahrscheinlichkeit: \( P(A) = P(A\mid B) * P(B) + P(A\mid \overline{B}) * P(\overline{B}) \) + + Gegenteile: \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) ; P(\overline{A}\mid B) = 1-P(A\mid B) \) + + Unabhängigkeit von Ereignissen:\\ + A und B sind unabhängig, wenn \( P(A\cap B) = P(A) * P(B) \) oder wenn \( P(A\mid B) = P(A) \) oder wenn \( P(B\mid A) = P(B) \) + + A, B und C sind unabhängig, wenn \( P(A\cap B\cap C) = P(A) * P(B) * P(C)\) \cunder{Yellow}{und} \( P(A\cap B) = P(A)*P(B) \), \( P(A\cap C) = P(A) * P(C) \), \( P(B\cap C) = P(B)*P(C) \) + + \bsp bei 100 Mengen zu prüfen:\\ + \( \binom{100}{1} + \binom{100}{3} + … + \binom{100}{99} + \binom{100}{100} = 2^{100} - \binom{100}{1} - \binom{100}{0} \) + + \bsp 2 maliges Würfeln + \begin{itemize} + \item[A:] 1. Wurf ist 3. \( P(A) = \frac 1 6 \) + \item[B:] Summe der Augenzahlen ist 12. \( P(B) = \frac{1}{36} \) + \item[C:] 2. Wurf ist 7. \( P(C) = 0 \) + \end{itemize} + \( \underbrace{P(A\cap B\cap C)}_{_0} = \underbrace{P(A) * P(B) * P(C)}_{=0} \)\\[2mm] + \( \underbrace{P(a\cap B)}_{=0} \not= \underbrace{ P(A) }_{\frac 1 6} * \underbrace{P(B)}_{\frac{1}{36}} \)\\ + \(\to\) A, B und C sind abhängig + + \subsection{Zufallsvariablen} + + \begin{mydef} + Eine Zufallsvariable $X$ ist eine Funktion.\\ + \(X: \Omega \to \mathbb R \) (jedem Ergebnis aus \(\Omega\) wird eine reelle Zahl zugeordnet) + \end{mydef} + + \bsp 2 maliger Münzwurf\\ + Wird 2 mal Wappen geworfen, so gewinnen wir \EUR{2}\\ + Wird 2 mal Zahl geworfen, so gewinnen wir \EUR{3}\\ + sonst verlieren wir \EUR{2,40}. + + \( \Omega = \{ \underbrace{WW}_{3}, \underbrace{ZZ}_{2}, \underbrace{WZ}_{-2,40}, \underbrace{ZW}_{-2,40} \} \) Wahrscheinlichkeit jeweils \( \frac 1 4\)\\ + Zufallsvariable $X$: Gewinn (in \EUR{}) + + \begin{mydef} + Die \underline{Verteilung} (Wahrscheinlichkeitsverteilung) einer Zufallsvariable gibt an, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die Zufallsvariable ihre möglichen Werte annimmt. + \end{mydef} + + im \bsp Verteilung von $X$:\\ + \( P(X=3) = \frac 1 4 \)\\ + \( P(X=2) = \frac 1 4 \)\\ + \( P(X=-2,40) = \frac 2 4 = \frac 1 2 \) + + anderes \bsp 2 maliges Würfeln:\\ + Wir gewinnen \EUR{2}, wenn zuerst eine 6 gewürfelt wird.\\ + Wir gewinnen \EUR{5}, wenn keine 6 gewürfelt wird.\\ + Wir verlieren sonst den Betrag $B$. + + Zufallsvariable $X$: unser Gewinn\\ + gesucht:Verteilung von $X$ + + Verteilung von $X$:\\ + \( P(X=2) = \frac 1 6 \)\\ + \( P(X=5) = \frac 5 6 * \frac 5 6 = \frac{25}{36} \)\\ + \( P(X=-B) = 1 - \left( \frac 1 6 + \frac{25}{36} \right) = 1 - \frac{31}{36} = \frac{5}{36} \) + + \end{document}