Bis Ford-Fulkerson-Methode

Algorithmen/Algorithmen.tex

@@ -39,8 +39,8 @@
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+
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+% Farben
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-
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@@ -101,6 +69,7 @@
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+% Eigene Befehle
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@@ -118,6 +87,7 @@
 	
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 	\newpage
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Algorithmen/flussnetzwerke.tex

@@ -19,14 +19,14 @@ Ein \underline{Fluss (im Netzwerk)} ist eine Funktion \( f: V\times V \to \mathb
 
 \subsection{Wert des Flusses}
 
-Der Wert des Flusses $f$ ist \( \|f\| = \sum\limits_{v\in V} f(s,v) \)\\
+Der Wert des Flusses $f$ ist \( |f| = \sum\limits_{v\in V} f(s,v) \)\\
 Kurzschreibweise sei \(X,Y \subseteq V\)\\
 dann Def. \( f(X,Y) = \sum\limits_{x\in X} \sum\limits_{y\in Y} f(x,y) \)
 
 \underline{Maximaler Fluss} berechnen:
 
 Gegeben: \( G=(V,E), \  s,t \in V, c \)\\
-Gesucht: Fluss $f$, so dass \(\|f\|\) maximal ist.
+Gesucht: Fluss $f$, so dass \(|f|\) maximal ist.
 
 Ist \((u,v) \not\in E\) und \((v,u) \not\in E\), dann ist \( c(u,v) = c(v,u) = 0 \).\\
 Für \(f\) muss also gelten:
@@ -64,64 +64,74 @@ Im \bsp \( c_f(p) = 4 \)
 	\item Symmetrie gilt nach Definition
 	\item Kirchhoffsches Gestz: Sei $u$ Knoten auf $p$\\
 		\includegraphics{img/restnetzwerk_p.pdf}\\
-		\begin{align}
+		\begin{align*}
 			\sum\limits_{v\in V} f(u,v) &= f(v,u) + f(u,v) + f(u,w) + f(w,u)\\ % TODO: Underbrace c_f(...)
 										&= 0
-		\end{align}\\
+		\end{align*}\\
 \end{enumerate}
 
-Wert \(\|f_p\| = c_f(p) \) (Im \bsp \(=4\))
+Wert \(|f_p| = c_f(p) \) (Im \bsp \(=4\))
 
-\lemma Sei $f$ Fluss in $G$ und $f'$ Fluss in $G_f$. Dann ist \( f + f' \) ein Fluss in $G$ und der Wert \(\|f+f'\| = \|f\| + \|f'\|\).
+\lemma Sei $f$ Fluss in $G$ und $f'$ Fluss in $G_f$. Dann ist \( f + f' \) ein Fluss in $G$ und der Wert \(|f+f'| = |f| + |f'|\).
 
 \bew
 \begin{enumerate}
 	\item \underline{Symmetrie}
-		\begin{align}
+		\begin{align*}
 			(f+f')(u,v) &= f(u,v) + f'(u,v)\\
 						&= -f(v,u) - f'(v,u)\\
 						&= -\left( (f+f')(v,u) \right)
-		\end{align}
+		\end{align*}
 	\item \underline{Kapazität}
-		\begin{align}
+		\begin{align*}
 			(f+f')(u,v) &= f(u,v) + \underbrace{f'(u,v)}_{ \le c_f(u,v) = c(u,v)-f(u,v) }\\
 						&\le f(u,v) + c(u,v) - f(u,v)\\
 						&= c(u,v)
-		\end{align}
+		\end{align*}
 	\item \underline{Kirchhoff}:
-		\begin{align}
+		\begin{align*}
 			\sum\limits_{v\in V} (f+f')(u,v) &= \sum\limits_{v\in V} \left(f(u,v) + f'(u,v)\right)\\
 											 &= \sum\limits_{v\in V} f(u,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(u,v)\\
 											 &= 0 + 0 = 0
-		\end{align}
+		\end{align*}
 \end{enumerate}
-\begin{align}
+\begin{align*}
-	\text{Wert:} \|f+f'\| &= \sum\limits_{v\in V} (f+f')(s,v)\\
+	\text{Wert:} |f+f'| &= \sum\limits_{v\in V} (f+f')(s,v)\\
 						  &= \sum\limits_{v\in V} f(s,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(s,v)\\
-						  &= \|f\| + \|f'\|
+						  &= |f| + |f'|
-\end{align}
+\end{align*}
-
+\newpage
 \subsection{Ford-Fulkerson-Methode}
 
-\begin{pseudocode}[framebox]{Ford-Fulkerson-Methode}{G,s,t,c}
+\begin{algorithm}
-f \GETS 0\\
+	\caption{\textsc{Ford-Fulkerson-Methode} $(G,s,t,c)$}
-\WHILE \text{es gibt einen Erweiterungspfad }p\text{ in }G_p
+	\begin{algorithmic}[1]
-\DO \text{erhöhe den Fluss um }f_p\\
+		\State \(f \leftarrow 0\)
-\RETURN f
+		\While{es gibt einen Erweiterungspfad $p$ in $G_p$}
-\end{pseudocode}
+			\State erhöhe den Fluss um $f_p$
+		\EndWhile\\
+		\Return{f}
+	\end{algorithmic}
+\end{algorithm}
 
 Genauer:
 
-\begin{pseudocode}[framebox]{Ford-Fulkerson}{G,s,t,c}
+\begin{algorithm}
-	\FOREACH (u,v) \in E
+	\caption{\textsc{Ford-Fulkerson} $(G,s,t,c)$}
-	\DO \BEGIN
+	\begin{algorithmic}[1]
-		f(u,v) \GETS 0\\
+		\ForAll{\((u,v) \in E\)}
-		f(v,u) \GETS 0
+			\State \(f(u,v) \leftarrow 0\)
-	\END
+			\State \(f(v,u) \leftarrow 0\)
-	\WHILE \text{Es gibt einen Weg } p \text{ von } s \text{ nach } t \text{ in } G_f
+		\EndFor
-	\DO\BEGIN
+		\While{Es gibt einen Weg \(p\) von \(s\) nach \(t\) in \(G_f\)}
-		% TODO
+			\State \(G_f(P) \leftarrow min\{ c_f(u,v) \mid (u,v) \in P \} \)
-	\END
+			\ForAll{\((u,v) \in P\)}
-\end{pseudocode}
+				\State \(f(u,v) \leftarrow f(u,v) + c_f(P) \)
+				\State \(f(v,u) \leftarrow -f(u,v) \)
+			\EndFor
+		\EndWhile
+	\end{algorithmic}
+\end{algorithm}
+
 
 % vim: ft=tex :