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\section{Flüsse in Netzwerken}
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\includegraphics{img/flussnetzwerk.pdf}
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Ein \underline{Flussnetzwerk} besteht aus einem gerichteten Graph \(G=(V,E)\) und einer \underline{Kapazitätsfunktion} \(c: V\times V \to \mathbb R\) mit \(c(u,v) \ge 0 \forall u,v \in V\) und \(c(u,v) = 0\), falls \((u,v) \not\in E\).\\
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Außerdem seien \(s\ne t \in V\) 2 ausgezeichnete Knoten. Dabei liege jeder Knoten auf einem Weg von \(s\) nach \(t\).
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Ein \underline{Fluss (im Netzwerk)} ist eine Funktion \( f: V\times V \to \mathbb R\) mit folgenden Eigenschaften:
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\begin{enumerate}
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\item \underline{Kapazitätsbedingung}: \(f(u,v) \le c(u,v) \forall u,v \in V\)
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\item \underline{Symmetriebedingung}: \(f(u,v) = -f(v,u) \forall u,v \in V\)\\
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Ein Fluss von z.\,B. 12 von $u$ nach $v$ ist auch ein Fluss von \(-12\) von $v$ nach $u$.
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\item \underline{Kirchhoffsches Gesetz}:\\
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\(\forall u\in V - \{s,t\}\)\\
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\(\sum\limits_{v\in V} f(u,v) = 0\)\\
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Bsp.: \(v: 12+(-11)+(-1) = 0\)
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\end{enumerate}
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\subsection{Wert des Flusses}
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Der Wert des Flusses $f$ ist \( \|f\| = \sum\limits_{v\in V} f(s,v) \)\\
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Kurzschreibweise sei \(X,Y \subseteq V\)\\
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dann Def. \( f(X,Y) = \sum\limits_{x\in X} \sum\limits_{y\in Y} f(x,y) \)
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\underline{Maximaler Fluss} berechnen:
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Gegeben: \( G=(V,E), \ s,t \in V, c \)\\
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Gesucht: Fluss $f$, so dass \(\|f\|\) maximal ist.
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Ist \((u,v) \not\in E\) und \((v,u) \not\in E\), dann ist \( c(u,v) = c(v,u) = 0 \).\\
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Für \(f\) muss also gelten:
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\begin{itemize}
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\item \( f(u,v) \le 0 \) und \( f(v,u) \le 0 \)
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\item \( f(u,v) = -f(v,u) \Rightarrow f(u,v) = f(v,u) = 0 \)
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\end{itemize}
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\subsection{Restnetzwerk}
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Sei $f$ ein Fluss in $G$. Die \underline{Restkapazität der Kante \((u,v)\)} ist \( c_f(u,v) = c(u,v) - f(u,v) \). Das \underline{Restnetzwerk von $G$ bzgl. $f$} ist \( G_f = (V,E_f) \) mit \( E_f = \{ (u,v) \in V\times V \mid c_f(u,v) > 0 \}\).
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\bsp\\
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\includegraphics{img/restnetzwerk.pdf}
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Sei $p$ Weg von $s$ nach $t$ in $G_f$ die \underline{Restkapazität von $p$ in $G_f$}\\
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\( c_f(p) = min \{ c_f(u,v) \mid (u,v) \in p \} \)\\
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Im \bsp \( c_f(p) = 4 \)
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\begin{mydef}
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Definiere \(f_p\):\\
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\begin{math}
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f_p(u,v) = \begin{cases}
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c_f(p) &,\text{ falls } (u,v) \in p\\
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-c_f(p) &,\text{ falls } (v,u) \in p\\
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0 &,\text{ sonst}
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\end{cases}
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\end{math}
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\end{mydef}
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\(f_p\) ist Fluss:
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\begin{enumerate}
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\item Kapazitätsbedingung:\\
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Für \( (u,v) \in p \) ist \(f_p(u,v) = c_f(p) \le c_f(u,v) \) nach Definition von \(c_f(p) \)
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\item Symmetrie gilt nach Definition
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\item Kirchhoffsches Gestz: Sei $u$ Knoten auf $p$\\
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\includegraphics{img/restnetzwerk_p.pdf}\\
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\begin{align}
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\sum\limits_{v\in V} f(u,v) &= f(v,u) + f(u,v) + f(u,w) + f(w,u)\\ % TODO: Underbrace c_f(...)
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&= 0
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\end{align}\\
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\end{enumerate}
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Wert \(\|f_p\| = c_f(p) \) (Im \bsp \(=4\))
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\lemma Sei $f$ Fluss in $G$ und $f'$ Fluss in $G_f$. Dann ist \( f + f' \) ein Fluss in $G$ und der Wert \(\|f+f'\| = \|f\| + \|f'\|\).
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\bew
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\begin{enumerate}
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\item \underline{Symmetrie}
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\begin{align}
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(f+f')(u,v) &= f(u,v) + f'(u,v)\\
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&= -f(v,u) - f'(v,u)\\
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&= -\left( (f+f')(v,u) \right)
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\end{align}
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\item \underline{Kapazität}
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\begin{align}
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(f+f')(u,v) &= f(u,v) + \underbrace{f'(u,v)}_{ \le c_f(u,v) = c(u,v)-f(u,v) }\\
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&\le f(u,v) + c(u,v) - f(u,v)\\
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&= c(u,v)
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\end{align}
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\item \underline{Kirchhoff}:
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\begin{align}
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\sum\limits_{v\in V} (f+f')(u,v) &= \sum\limits_{v\in V} \left(f(u,v) + f'(u,v)\right)\\
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&= \sum\limits_{v\in V} f(u,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(u,v)\\
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&= 0 + 0 = 0
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\end{align}
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\end{enumerate}
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\begin{align}
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\text{Wert:} \|f+f'\| &= \sum\limits_{v\in V} (f+f')(s,v)\\
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&= \sum\limits_{v\in V} f(s,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(s,v)\\
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&= \|f\| + \|f'\|
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\end{align}
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\subsection{Ford-Fulkerson-Methode}
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\begin{pseudocode}[framebox]{Ford-Fulkerson-Methode}{G,s,t,c}
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f \GETS 0\\
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\WHILE \text{es gibt einen Erweiterungspfad }p\text{ in }G_p
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\DO \text{erhöhe den Fluss um }f_p\\
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\RETURN f
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\end{pseudocode}
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Genauer:
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\begin{pseudocode}[framebox]{Ford-Fulkerson}{G,s,t,c}
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\FOREACH (u,v) \in E
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\DO \BEGIN
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f(u,v) \GETS 0\\
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f(v,u) \GETS 0
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\END
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\WHILE \text{Es gibt einen Weg } p \text{ von } s \text{ nach } t \text{ in } G_f
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\DO\BEGIN
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% TODO
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\END
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\end{pseudocode}
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% vim: ft=tex :
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