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\documentclass[11pt]{scrartcl}
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\usepackage[paper=a4paper,left=30mm,right=20mm,top=20mm,bottom =25mm]{geometry}
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\usepackage[
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pdftitle={Berechenbarkeits.- Komplex.Th.},
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pdfsubject={Mitschrift der Vorlesung "Berechenbarkeits.- Komplex.Th." an der HTW-Aalen, bei Herrn Thierauf.},
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pdfauthor={Thomas Battermann},
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pdfkeywords={Berechenbarkeits.- Komplex.Th.},
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pdfborder={0 0 0}
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]{hyperref}
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\setlength{\parindent}{0ex}
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\setlength{\parskip}{2ex}
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\setcounter{secnumdepth}{4}
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\setcounter{tocdepth}{4}
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\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0}
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\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5}
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\pagestyle{fancy} %eigener Seitenstil
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\fancyhf{} %alle Kopf- und Fußzeilenfelder bereinigen
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\fancyhead[L]{Berechenbarkeits.- Komplex.Th.} %Kopfzeile links
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\fancyhead[C]{Semester 3} %zentrierte Kopfzeile
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\fancyhead[R]{WS 2011/2012} %Kopfzeile rechts
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} %obere Trennlinie
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\fancyfoot[C]{Seite \thepage\ von \pageref{LastPage}}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} %untere Trennlinie
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\newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}}
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\newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}}
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\newcommand{\satz}{\textcolor{darkblue}{\textbf{Satz: }}}
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\newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor}
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\newcommand{\llfloor}{\left\lfloor}
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\title{Berechenbarkeits.- Komplex.Th.}
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\author{Mitschrift von Thomas Battermann}
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\date{3. Semester}
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\begin{document}
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\pagestyle{empty}
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|
\maketitle\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{fancy}
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\setcounter{page}{1}
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|
\section{Turingmaschinen}
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Eingabe und Arbeitsband
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
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|
\hline
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& \color{Orange}{\(x_1\)} & \(x_2\) & \(x_3\) & … & \(x_n\) & \\
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\hline
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|
\end{tabular}
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|
{\color{Orange}Lese- Schreibkopf}
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Abhängig vom Zustand und vom gelesenen Zeichen auf dem Band kann die Maschine:
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\begin{itemize}
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\item den Zustand wechseln
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\item das gelesene Zeichen überschreiben
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\item den Lese-Schreib-Kopf um \( \le 1\) Feld auf dem Band nach links oder rechts bewegen.
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\end{itemize}
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Formal:\\
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Ein \underline{Turingmaschine} (TM) M hat 8 Komponenten,\\
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\spa \( M = (Z, \Sigma, \Gamma, \delta, Z_0, Z_a, Z_V,\Box ) \)\\
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wobei:
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\begin{itemize}
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\item \(Z\) – Zustände
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\item \(\Sigma\) – Eingabealphabet
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\item \(\Gamma\) – Arbeitalphabet
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\item \(Z_0\) – Anfangszustand
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\item \(Z_a\) – akzeptierender Zustand
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\item \(Z_V\) – verwerfender Zustand
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\item \(\Box\) – Blank \( \in \Gamma \) – \(\Sigma\)
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\end{itemize}
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Die Übergangsfunktion S,\\
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\spa \( \delta: Z \times \Gamma \to Z \times \Gamma \times \{ L,N,R \} \)\\
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D.\,h. typische Anweisung ist\\
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\spa \( \delta(z,a) = (Z',b,x) \)\\
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Wenn M im Zustand z ist und das Zeichen a liest, dann wechselt M in den Zustand \(Z'\), überschreibt a mit b und bewegt den Lese-Schreibkopf um ein Feld nach links, falls \( X=L\)
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\begin{itemize}
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|
\item um ein Feld nach rechts, falls \( X=R\)
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|
\item bleibt stehen, falls \( X=N\)
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\end{itemize}
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Rechnung von M auf Eingabe \( x = x_1 … x_n \in \Sigma^x \):\\
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Initial steht x auf dem Eingabeband und der Lese-Schreibkopf auf dem 1. Zeichen \(x_1\) .\\
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Links und rechts der Eingabe steht \(\Box\) auf allen Feldern (Beidseitig unbeschränktes Band).\\
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Anfangszustand ist \(Z_0\)
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Dann fährt die Maschine Schritte gemäß \(\delta\). Die Rechnung stoppt, wenn \(Z_a\) oder \( Z_V\) erreicht wird. x wird akzeptiert, falls \(Z_a\) erreicht wird, sonst wird x verworfen.
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|
Die von \underline{M akzeptierte Sprache} ist\\
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\spa \( L(M) = \{ x \in \Sigma* \mid M \text{ akzeptiert } x \} \)
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|
Bsp. Sei \( \Sigma = \{ 0,1 \} \)\\
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\spa Berechne \(f(x) = x+1 \)\\
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
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\hline
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\(\Box\) & 1& 0 & 1 & \(\Box\) \\
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\hline
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\end{tabular} \( \to \)
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
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|
\hline
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\(\Box\) & 1& 1 & 0 & \(\Box\) \\
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|
\hline
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|
\end{tabular}
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|
Der berechnete Funktionswert ist definiert als das Wort \( \in \Sigma* \) von der Position des Lese-Schreibkopfs nach rechts, bis zu 1. Blank.\\
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In \(Z_a\).
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|
\( \sigma(Z_0,0) = (Z_0, 0, R) \)\\
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|
\( \sigma(Z_0,1) = (Z_0, 1, R) \)\\
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|
|
\( \sigma(Z_0,\Box) = (Z_1, \Box, L) \)\\
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|
|
\( \sigma(Z_1,0) = (Z_2, 1, L) \)\\
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|
|
\( \sigma(Z_1,1) = (Z_1, 0, L) \)\\
|
|
|
\( \sigma(Z_2,0) = (Z_2, 0, L) \)\\
|
|
|
\( \sigma(Z_2,1) = (Z_2, 1, L) \)\\
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|
|
\( \sigma(Z_2,\Box) = (Z_a, \Box, R) \)\\
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|
|
\( \sigma(Z_1,\Box) = (Z_a, 1, N) \)
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|
Als Diagramm
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% TODO
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\( L = \{ 0^{2^n} \mid n \ge 0 \} \)\\
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\( 0, 00, 0^4, 0^8, …\)
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|
|
|
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
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|
|
\hline
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|
& 0 & 0 & 0 & 0 & \\
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|
\hline
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|
\end{tabular}
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|
|
\begin{enumerate}
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|
\item Vorschlag: Zähle\\
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
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|
\hline
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|
& \( \not0\) & 0 & … 0 & \( \Box \) & 0\\
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|
\hline
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|
\end{tabular}
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|
|
\item Vorschlag:\\
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\begin{enumerate}
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|
\item streiche jede 2. Null, teste dabei, ob Anzahl gerade
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|
\item iteriere Schritt 1\\
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|
bis nur noch eine Null bleibt.\\
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|
% TODO: Diagramm
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\( 0000 \to 0x0x \to 0xxx \)
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|
\end{enumerate}
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|
|
\end{enumerate}
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|
|
\subsection{Erweiterungen}
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|
\subsubsection{Mehrband-Turingmaschine}
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|
Turingmaschine mit fester Anzahl k von Bändern. Davon eins ausgezeichnet für die Eingabe.\\
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\( \delta: Z \times \Gamma^k \to Z \times \Gamma^k \times \{ L,N,R \}^k \)
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|
Bsp.:\\
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\( \delta(Z,a,b) = \delta(Z', c,d,L,R) \)
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|
Bsp.: \( L = \left\{ w \# w \mid w \in \{0,1\}^k \right\} \)\\
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\( 100\#100 \to x00\#x00 …\)
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|
|
\underline{2-Band-Turingmaschine}\\
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|
kopiert w auf 2. Band\\
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|
\spa \( \delta(Z_0, a, \Box) = (Z_0,a,a,R,R) \) für \( a \in \{1,0\}\)\\
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|
|
\spa \( \delta(Z_0, \#,\Box) = (Z_1, \#,\Box, N,L) \)\\
|
|
|
\spa \( \delta(Z_1, \#,\Box) = (Z_1, \#,a, N,L)\)\\
|
|
|
\spa \( \delta(Z_1, \#,\Box) = (Z_2, \#,\Box,R,R) \)\\
|
|
|
\spa \( \delta(Z_2, a,a) = (Z_2,a,a,R,R) \)\\
|
|
|
\spa \( \delta(Z_2, \Box,\Box) = (Z_a, \Box,\Box,N,N) \)
|
|
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|
Alles was fehlt geht nach \( Z_V \)
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\subsubsection{Nichtdeterministische Turingmaschine (NTM)}
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Definiert wie Turingmaschine, mit:\\
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\spa \( \delta: Z\times \Gamma \to \mathcal{P}(Z \times \Gamma \times \{ L,N,R \}) \)\\
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|
z.\,B. \( \delta(Z,a) = \{ (Z_1,b,L) , (Z_2,c,N) \} \)
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|
M akzeptiert x, falls es eine akzeptierende Rechnung gibt.
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|
\subsubsection{Nichtdeterministische Mehrband Turingmaschine}
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Bsp. \( L = \{ x0y \mid \left|x\right| = \left|y\right| \}\)\\
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|
über \( \Sigma = \{0,1\}\)
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|
\begin{align*}
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|
\delta(Z_0, 1, \Box) &= \{( Z_0,1,1,R,R )\}\\
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|
\delta(Z_0,0,\Box) &= \{ (Z_0,0,0,R,R), (Z_1,0,\Box,R,L) \} \\
|
|
|
\delta(Z_1,a,b) &= \{ (Z_1,a,b,R,L) \} \quad a,b \rightarrow \{0,1\}\\
|
|
|
\delta(Z_1,\Box,\Box) &= \{ (Z_a,\Box,\Box,N,N) \}\\
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|
|
\delta(Z_0,\Box,\Box) &= \{ (Z_v,\Box,\Box,N,N) \}\\
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|
|
\end{align*}
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|
|
(fehlende Anweisungen verwerfen.)
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|
|
Deterministisch: \(\delta: Z\times \Gamma \to Z \times \Gamma \times \{ L,N,R\} \)\\
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|
Nicht Deterministisch: \(\delta: Z\times \Gamma \to \mathcal P(Z \times \Gamma \times \{ L,N,R\}) \)
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|
|
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|
\satz Zu jeder k-Band Turingmaschine gibt es eine äquivalente (1-Band) Turingmaschine\\
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|
\underline{Bew.:} (Idee)\\
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|
k-Band Turingmaschine M\\\
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|
\begin{tabular}{c|c|c|c|c} \hline & x & & & \\\hline & & y & & \\\hline & & & z & \\\hline \end{tabular}
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|
|
|
|
|
TM M'\\
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|
|
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
|
|
|
\hline & \# & x & & & \# & & y & & \# & & & z & \# & \\\hline
|
|
|
\end{tabular}
|
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|
|
M:\\
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|
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
|
|
|
\hline
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|
\(\Box\)&a&b&a&c&\(\Box\)\\
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|
|
\hline
|
|
|
\(\Box\)&c&c&\(\Box\)\\
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|
|
\hline
|
|
|
\(\Box\)&b&a&a&a&\(\Box\)\\
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|
|
\hline
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
|
|
M':\\
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|
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
|
|
|
\hline
|
|
|
\# & \(\Box\)& a& \(\dot b\)& a&c&\(\Box\)&\#&\(\Box\)&\(\dot c\)&a&\(\Box\) & \# & \(\dot\Box\) & b&a&a&a&\(\Box\)&\#\\
|
|
|
\hline
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|
|
\end{tabular}\\
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|
|
\( \dot b \rightarrow \Gamma' - \Gamma \)
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|
M' läuft 2x mal über das gesamte Band (und zurück)
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|
\begin{enumerate}
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|
\item M' merkt sich alle Zeichen, die die Lese-Schreibköpfe aktuell lesen
|
|
|
\item M' führt die Änderungen gemäß \(\delta\) von M auf allen Bändern aus.
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|
|
\end{enumerate}
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|
|
Merke Zeichen im Zustand:\\
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|
\spa \( Z_{Z,b,c,\Box} \)\\
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|
d.\,h. \(\left|Z\right| \cdot \left|\Gamma\right|^3 \) viele Zustände, also endlich.
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|
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Initial:\\
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
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|
|
\hline
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|
|
\# & x & \# & \(\Box\) & \# & \(\Box\) &\#\\
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|
|
\hline
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|
|
\end{tabular}
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|
Zeit: M macht t Schritte auf Eingabe X.\\
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|
Alle Bänder von M' sind also mit Wörtern beschriftet mit Länge \(\le t\)\\
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|
\(\to\) Beschrifteter Teil des Bands von M hat Länge \(\le k \cdot t \)
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|
|
Pro Schritt von M macht M'
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|
|
\begin{itemize}
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|
\item \( \le 2 \cdot 2 \cdot t \) Schritte für die beiden Durchläufe.
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|
\item verschieben zum Platz schaffen \( \le k \cdot 2\cdot t\)
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|
\item Zusammen \( \le (k+2) \cdot 2\cdot t = \mathcal O(t)\).\\
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|
|
M macht t Schritte \( \Rightarrow M' \) macht \( \mathcal O(t^2) \) Schritte
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|
|
\end{itemize}
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|
\satz Zu jeder NTM gibt es eine äquivalente TM.
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Bew. (Idee):\\
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Sei M NTM
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Strategie: durchsuche Baum "Breite zuerst". Dazu zunächst Mehrband-TM (det.).\\
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Pro Adresse:
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\begin{itemize}
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|
\item Kopiere x auf das (leere) Simulationsband,
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|
\item führe Rechnung von M auf x aus, wobei jeweils die Anweisung gemäß Adresse benützt wird.
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|
\item falls M akzeptiert wird, dann akzeptierte.
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|
\end{itemize}
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|
Bann lösche Simulationsband, erhöhe Adresse um 1 (zur Basis d) und wiederhole.
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Zeit: Habe jede Rechnung von M die länge \(\le t\)\\
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\(\Rightarrow\) Anzahl der Knoten im Baum ist \( \le d^{t+1} - 1 \)\\
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|
\(\Rightarrow\) Rechenzeit von M': \(\mathcal O(t+n)\cdot d^t\)\\
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|
|
\(\Rightarrow\) Rechenzeit der det. 1-Band TM M'' ist dann \( \mathcal O\left(\left(\left(t+n\right) \cdot d^t\right)^2\right) \)
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|
\begin{align*}
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&\mathcal O(t^2 2^{2t \cdot \log d})\\
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= &\mathcal O(2^{2 \log t} \cdot 2^{2 \cdot \log d})\\
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= &\mathcal O(2^{2t \log d + 2 \log t})\\
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|
|
= &\mathcal O(2^{2^{2t(\log d + 1)}})\\
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|
= & 2^{\mathcal O(t)}
|
|
|
\end{align*}
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|
Weitere Rechenmodelle haben sich alle als äquivalent zur TM erwiesen. Insbesondere lässt sich jedes C-Programm in eine äquivalente TM umschreiben.
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\underline{These von Turing/Church}
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Algorithmus = TM
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intuitiver Begriff = formal
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\end{document}
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