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6.5 KiB
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\documentclass[11pt]{scrartcl}
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\usepackage[
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pdftitle={Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik},
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pdfsubject={Mitschrift der Vorlesung "Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik" an der HTW-Aalen, bei Herrn Fischer.},
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pdfauthor={Thomas Battermann},
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pdfkeywords={Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik},
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pdfborder={0 0 0}
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]{hyperref}
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\setcounter{secnumdepth}{4}
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\setcounter{tocdepth}{4}
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\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0}
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\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5}
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\pagestyle{fancy} %eigener Seitenstil
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\fancyhf{} %alle Kopf- und Fußzeilenfelder bereinigen
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\fancyhead[L]{Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik} %Kopfzeile links
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\fancyhead[C]{Semester 3} %zentrierte Kopfzeile
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\fancyhead[R]{WS 2011/2012} %Kopfzeile rechts
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} %obere Trennlinie
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\fancyfoot[C]{Seite \thepage\ von \pageref{LastPage}}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} %untere Trennlinie
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\newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}}
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\newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}}
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\newcommand{\bsp}{\textcolor{darkblue}{\textbf{\underline{Bsp.}: }}}
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\newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor}
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\newcommand{\llfloor}{\left\lfloor}
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\title{Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik}
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\author{Mitschrift von Thomas Battermann}
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\date{3. Semester}
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\begin{document}
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\pagestyle{empty}
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\maketitle\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{fancy}
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\setcounter{page}{1}
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Statistik:
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\begin{itemize}
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\item beschreibende Statistik\\
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\(\to\) Erfassung, Auswertung von Daten.\\
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(z.\,B. über Mittelwerte)
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\begin{itemize}
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\item oftmals keine Gesamterhebung (z.\,B. Wahl)
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\item sondern Stichproben (z.\,B. Hochrechnung, Umfragen vorab)\\
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Auswahl:
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\begin{itemize}
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\item Zufällig\\
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Qualitätstests
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\item gezielt (Repräsentative Stichprobe)\\
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z.\,B. Hochrechnung der Wahl
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\item beurteilende Statistik
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\begin{itemize}
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\item Rückschlüsse von Stichproben auf die Gesamtheit
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\item Tests \( \to \)
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\item[\(\to\)] Zufallseffekte
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\item[\(\to\)] Wahrscheinlichkeitsrechnung als Hilfsmittel
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\section{Wahrscheinlichkeitsrechnung}
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\subsection{Grundbegriffe}
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\subsubsection{Zufallsexperimente}
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\begin{itemize}
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\item Mehrere mögliche Ergebnisse\\
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{\color{Orange}\bsp Würfeln \(\to\) 1,2,3,4,5,6}
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\item prinzipiell beliebig oft wiederholbar
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\item für die Ergebnisse lassen sich Wahrscheinlichkeiten angeben\\
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{\color{Orange}\(\to\) jeweils \(\frac 1 6\)}
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\end{itemize}
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Überprüfung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe häufiger Wiederholungen des Experiments. {\color{Orange}\bsp 1000 maliges Würfeln \(\to\) 160mal 1, 168mal 2, …}\\
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{\color{Orange}Schätzwert für die W.: \(\frac{160}{1000} = 0,16 = \) relative Häufigkeit}\\
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{\color{Orange}absolute Häufigkeit der 1 = 160}
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Man erhält W. aus den relativen Häufigkeiten, wenn die Anzahl der Wiederholungen gegen \(\infty\) geht.\\
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{\color{Orange}W. für die 1 = \(0.1\overline{6}\)}
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\subsubsection{Begriffe, Bezeichnungen:}
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\underline{Ergebnisse} \( \omega_1, \omega_2, \omega_3, …\)
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\underline{Ergebnismenge:} \( \Omega = \{ \omega_1, \omega_2, \omega_3, … \} \) {\color{Orange} \( \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\)}
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\underline{Ereignisse:} \( A,B,C,… \) sind Teilmengen von \(\Omega\)\\
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\spa meist zunächst verbal formuliert\\
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\spa {\color{Orange}A: Es wird eine gerade Zahl gewürfelt.}\\
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\spa {\color{Orange}\(\to A= \{2,4,6\} \) }
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\underline{Wahrscheinlichkeiten} für die Ergebnisse und die Ereignisse.\\
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\spa \(P(\omega_1), P(\omega_2), …\) und \(P(A), P(B), …\) (\(P\) für probalby)\\
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\spa {\color{Orange} \(P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=\frac{1}{6} \)} (Lauter gleiche W. (Gleichverteilung))\\
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\spa {\color{Orange} \( P(a) = \frac 3 6 = \frac 1 2 = 0,5 = 50\% \)}
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\bsp 2maliges Würfeln\\
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A: im 1. Wurf kommt 5\\
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B: Summe der Augen ist 7\\
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gesucht: \(\Omega, P(A), P(B) \)
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\( \Omega = \{ 11,12,,21,13,31,…,66\} \) W. jeweils \( \frac 1 36 \)\\
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\( A = \{ 51,52,53,54,55,56 \} \)\\
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\( B = \{ 16,25,34,43,52,61 \} \)\\
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\( P(A) = \frac 1 6 \)\\
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\( P(B) = \frac 1 6 \)
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C: Summe der Augenzahlen ist 12\\
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\( C = \{ 66 \} \) \( P(C) = \frac 1 {36} \)
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\bsp 3-maliger Münzwurf\\
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Mit welcher w.\\
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(a) tritt keinmal Wappen auf?\\
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(b) tritt genau zweimal Wappen auf?
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\(\Omega = \{ ZZZ, ZZW, ZWZ, WZZ, ZWW, WZW, ZWW, WWW \} \)\\
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\( P(A) = \{ ZZZ \} = \frac 1 8 \)\\
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\( P(B) = \{ ZWW, WZW, WWZ \} = \frac 3 8 \)
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\subsubsection{Eigenschaften, Rechenregeln für W.}
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\( P(\Omega) = 1 \), \( P(\emptyset) = 0\), für jedes Ereignis A: \( 0 \le P(A) \le 1 \)
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Ereignis A \(\to\) Gegenereignis (Komplement) von A: \(\overline{A} = A^C\) mit \( P(\overline{A}) = 1-P(A) \)
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Schnitt von Ereignissen A und B: \( A \cap B \)
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Vereinigung von Ereignissen A und B: \( A \cup B \)\\
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\( P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \)\\
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Wenn A und B \underline{disjunkt} sind, dann ist \( P(A\cup B) = P(A)+P(B) \)
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P(\underline{entweder} A oder B) ) \( P(A) + P(B) - 2 \cdot P(A\cap B)\) \(( = P( (A\cap \overline{B}) \cup (\overline{A}\cap B) ))\)
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allgemeiner:\\
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\begin{align*}
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P(A \cup B \cup C) = &P(A) + P(B) + P(C) \\
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&+ P(A\cap B\cap C) \\
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&- P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C)
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\end{align*}
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allgemein (Siebformel oder Inklusions-Exklusions-Methode):
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\begin{align*}
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&P(A_1 \cup A_2 \cup … \cup A_n)\\
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= &P(A_1) + P(A_2) + … + P(A_n)\\
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&-P(A_1 \cap A_2) - P(A_1 \cap A_2) -\\
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&+ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) + …\\
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&…\\
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&+(-1)^{n+1} \cdot P(A_1 \cap A_2 \cap … \cap A_n )
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\end{align*}
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\bsp 100 maliges Würfeln. Mit welcher W. titt {\color{Orange}\(\to 6^{100} \) mögliche Ergebnisse}\\
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\begin{itemize}
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\item[(a)] 100 mal 5 auf? { \color{Orange}\( \frac 1 {6^{100}} \) }
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\item[(b)] keine 5 auf? { \color{Orange} \( \left( \frac 5 6 \right)^{100} \) }
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\item[(c)] mindestens eine 5 auf? { \color{Orange} \( 1- \left( \frac 5 6 \right)^{100} \) }
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\item[(d)] genau eine 5 auf? { \color{Orange} \( \frac 1 6 \cdot \left( \frac 5 6 \right)^{99} \cdot 100 \) }
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\end{itemize}
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\end{document}
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