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\documentclass[12pt]{scrartcl}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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%\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[ngerman]{babel}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{multicol}
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\usepackage{booktabs}
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\usepackage[paper=a4paper,left=30mm,right=20mm,top=20mm,bottom =25mm]{geometry}
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|
\usepackage[
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pdftitle={Mathevorkurs für Informatik},
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pdfsubject={Mitschrift des Mathematikvorkurses},
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pdfauthor={Thomas Battermann},
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pdfkeywords={Mathevorkurs für Informatik},
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pdfborder={0 0 0}
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]{hyperref}
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\usepackage{tabularx}
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\usepackage{graphicx}
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\setlength{\parindent}{0ex}
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\setlength{\parskip}{2ex}
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\title{Mathevorkurs für Informatik}
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|
\author{Mitschrift von Thomas Battermann}
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\date{21. - 30. September 2010}
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|
\begin{document}
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\maketitle
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|
\tableofcontents
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\newpage
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%%% 21. September %%%
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|
\section{Einleitung}
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|
\textbf{Modelieren}\\
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\hspace*{5mm} von Aufgabenstellungen/Problemen\\
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|
\textbf{Spezifizieren}\\
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|
\hspace*{5mm} Was soll/muss das Programm können\\
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|
\textbf{Verifizieren}\\
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|
\hspace*{5mm} Zeigen, das ein Programm/Algorithmus bestimmte Eigenschaften erfüllt.\\
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|
\noindent\underline{Zum Lernen:}\\
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|
\begin{itemize}
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\item Mathematik ist Übungssache
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\item In Vorlesungen wird wenig geübt\\
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|
\(\Rightarrow\) Selbst üben
|
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|
\item Prüfungen gleich nach Vorlesungsende\\
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|
\(\Rightarrow\) regelmäßig üben! Vorlesungsbegleitend\\
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Etwa 1h pro Vorlesungsstunde
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|
\item Arbeitsmöglichkeit schaffen
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\item In der Mathematik:\\
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Aussagen werden bewiesen
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\end{itemize}
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|
\section{Natürliche Zahlen}
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|
\hspace*{5mm}\(0,1,2,3,4,...\)\\
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|
\hspace*{5mm}dienen zum Zählen\\
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|
\subsection{Axiome}
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|
\begin{enumerate}
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|
\item 0 ist eine natürliche Zahl
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|
\item Jede natürliche Zahl hat einen eindeutigen Nachfolger: \(s_{(n)}\) ist nachfolger\\
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|
\(0, s_{(0)}, s_{(s_{(0)})}, s_{(s_{(s_{(0)})})}, ...\)
|
|
|
\item 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl\\
|
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
|
\( \forall n \in \mathbb N\)
|
|
|
\columnbreak\\
|
|
|
\(s_{(n)} \ne 0\)
|
|
|
\end{multicols}
|
|
|
\item Ist der Nachfolger von \(n\) gleich dem Nachfolger von \(m\), dann gilt \(n = m\)\\
|
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
|
\( \forall n,m \in \mathbb N\)
|
|
|
\columnbreak\\
|
|
|
\(s_{(n)} = s_{(m)} \Rightarrow m = n\)
|
|
|
\end{multicols}
|
|
|
\item Induktionsprinzip:\\
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|
Ist \(M\) eine Menge von natürlichen Zahlen und gilt folgendes:
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|
|
\begin{itemize}
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|
\item[-] \(0 \in M \)
|
|
|
\item[-] Falls \(n \in M\) ist auch \( s_{(n)} \in M \)\\
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|
|
(für jedes \(n\))
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
Dann ist \( M \in \mathbb N\)
|
|
|
\end{enumerate}
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|
|
\underline{Satz:} Es gibt keine größte natürliche Zahl\\
|
|
|
\underline{Def.:}Eine Zahl ist am größten, wenn sie keinen Nachfolger hat\\
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|
\underline{Beweis:} Folgt direkt Axiom 2
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|
|
\section{Addieren, Multiplizieren, Potenzieren}
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|
\underline{Def.:} \( a + b = `a + 1 + 1 + ... + 1' = s_{(s_{(...s_{(0)}...)})} \)\\
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|
|
Genauer, rekursive Definition:
|
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
|
\( a + 0 = a\)\\
|
|
|
\(a + s_{(n)} = s_{(a+n)} \)
|
|
|
\columnbreak\\
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|
Basisfall\\
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|
Rekursionsfall
|
|
|
\end{multicols}
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|
|
|
|
\underline{Bsp.:}\\
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|
\begin{tabular}{rcl}
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|
|
\( s_{(0)} + s_{(s_{(0)})} \) & \( = \) & \( s_{(s_{(0)} + s_{(0)} )} \)\\
|
|
|
& \( = \) & \( s_{( s_{( s_{( 0 )} +0 )} )} \)\\
|
|
|
& \( = \) & \( s_{( s_{( s_{( 0 )} )} )} \)
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Rekursive Definitionen}
|
|
|
|
|
|
\underline{Bsp.:}\\
|
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
|
\( f_{(0)} = 0 \)\\
|
|
|
\( f_{(n+1)} = f_{(n)} + f_{(n)} \)
|
|
|
\columnbreak\\
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|
|
\\
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|
|
für \( n \ge 0\)
|
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
|
|
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c}
|
|
|
\( n \) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & ...\\
|
|
|
\hline
|
|
|
\( f_{(n)} \) & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & ...\\
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
\vspace*{4mm}\\
|
|
|
\(f_{(1)} = f_{(0+1)} = f_{(0)} + f_{(0)} = 1 + 1 = 2 \)\\
|
|
|
\(f_{(2)} = f_{(1+1)} = f_{(1)} + f_{(1)} = 2 + 2 = 4 \)\\
|
|
|
\(f_{(3)} = f_{(2+1)} = f_{(2)} + f_{(2)} = 4 + 4 = 8 \)\\
|
|
|
\(f_{(4)} = f_{(3+1)} = f_{(3)} + f_{(3)} = 8 + 8 = 16 \)\\
|
|
|
\(f_{(5)} = f_{(4+1)} = f_{(4)} + f_{(4)} = 16 + 16 = 32 \)\\
|
|
|
|
|
|
\begin{tabular}{|c|}
|
|
|
\hline
|
|
|
Geschlossene Form\\
|
|
|
\(f_{(n)} = 2^n \)\\
|
|
|
\hline
|
|
|
\end{tabular}
|
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|
|
|
|
\subsection{Rechengesetze für + und -}
|
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|
|
Folgen aus Definition und Axiomen
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|
\begin{multicols}{2}
|
|
|
\( a+b=b+a\)\\
|
|
|
\( a+(b+c) = (a+b)+c\)\\
|
|
|
\(a \cdot b = b \cdot a\)\\
|
|
|
\(a \cdot ( b \cdot c ) = (a \cdot b) \cdot c\)\\
|
|
|
\(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\)\\
|
|
|
\(0+a=a\) und \(1 \cdot a = a\)
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|
\columnbreak\\
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|
Kommutativgesetz der Addition\\
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|
Assoziativgesetz der Addition\\
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|
Kommutativgesetz der Multiplikation\\
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|
|
Assoziativgesetz der Multiplikation\\
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|
Distributivgesetz\\
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|
Neutrale Elemente
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\end{multicols}
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|
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|
|
\subsection{Def.: Multiplikation}
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|
\(a \cdot b = 0 + b + ... +b\)\\
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|
\\
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|
Rekursiv:\\
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|
\( 0 \cdot b = 0 \)\\
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|
\( s_{(n)} \cdot b = ( n + 1 ) \cdot b = b + n \cdot b \)\\
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|
\subsection{Potenzieren}
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|
\(a^b = a \cdot ... \cdot a\) \\
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|
\textbf{Rekursive Definition}
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|
\(a^1 = a\)\\
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|
\(a^{n+1} = a \cdot a^n\)
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\section{Rechengesetze}
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\(a+b=b+a\)
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|
Die beiden Ausdrücke liefern den selben Wert, egal welche Zahlen für \(a\) ound \(b\) eingesetzt werden.
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|
|
Anwendung der Rechengsetze zur Manipulation von Arithmetischen Ausdrücken\\
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|
\begin{tabular}{rcl}
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|
|
\(2 \cdot (( a+b)+c)\) & \(=\) & \(2 \cdot (a+(b+c)) \)\\
|
|
|
& \(=\) & \( 2 \cdot (a+(c+b)) \)\\
|
|
|
& \(=\) & \( 2 \cdot ((a+c)+b) \) \\
|
|
|
& \(=\) & \( 2 \cdot ((c+a)+b) \) \\
|
|
|
& \(=\) & \( 2 \cdot (c+a) + 2 \cdot b\)) \\
|
|
|
& \(=\) & \( 2 \cdot c + 2 \cdot a + 2 \cdot b\)\\
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
|
|
\textbf{Abgeleitete Gesetze:}\\
|
|
|
\begin{tabular}{rcl}
|
|
|
\( (a+b)^2\) & \(=\) & \( (a+b) \cdot (a+b)\) \\
|
|
|
& \(=\) & \( a \cdot (a+b) + b \cdot (a+b) \)\\
|
|
|
& \(=\) & \(a^2 + a \cdot b + a \cdot b + b^2\)\\
|
|
|
& \(=\) & \(a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2\)\\
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
|
|
\section{Arithmetische Ausdrücke}
|
|
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|
|
|
\underline{Def.:}\\
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|
|
\textbf{Basisfall:}
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
|
\item Jede Variable ist ein arithmetischer Ausdruck (Bsp.: \(a,b,c,x,y,z,a_1,a_2,a_3,...\))
|
|
|
\item Jede Zahl ist ein Arithmetischer Ausdruck
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
\textbf{Rekursionsfall:}\\
|
|
|
Sind \(x\) und \(y\) arithmetische Ausdrücke, dann auch
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
|
\item \((x+y)\)
|
|
|
\item \((x \cdot y)\)
|
|
|
\item \((x^y)\)
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
|
|
\underline{Bsp.:}\\
|
|
|
\( (( a+2) \cdot c ) \)\\
|
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
|
\begin{tabular}{rl}
|
|
|
\(x=\) & \(a\) \\
|
|
|
\(y=\) & \(2\)
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
\columnbreak\\
|
|
|
A.A. (Basisfall)\\
|
|
|
A.A. (Basisfall)
|
|
|
\end{multicols}
|
|
|
\(\Rightarrow \quad (x+y) = (a+2) \quad \) ist A.A. (Rekursion)\\
|
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
|
\begin{tabular}{rl}
|
|
|
\(x=\) & \(a+2\) \\
|
|
|
\(y=\) & \(c\)
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
\columnbreak\\
|
|
|
\\
|
|
|
A.A. (Basisfall)
|
|
|
\end{multicols}
|
|
|
\(\Rightarrow \quad (x+y) = ((a+2) \cdot c) \quad \) ist A.A. (Rekursion)\\
|
|
|
|
|
|
Mit der (Potenzieren-vor-) Punkt-vor-Strich-Regel kann man Klammern einsparen\\
|
|
|
\underline{Bsp.:}\\
|
|
|
\(2 \cdot 5 + 2 \cdot 3^2 \)\\
|
|
|
steht für: \( (2 \cdot 5) + (2 \cdot (3^2)) = 28 \)\\
|
|
|
\( \neq 2 \cdot ( 5 + ( 2 \cdot (3^2))) = 46\)\\
|
|
|
\\
|
|
|
\((2 \cdot (3+5)) \cdot 7 = 112 \)\\
|
|
|
\(2 \cdot ((3+5) \cdot 7) = 112 \)\\
|
|
|
\(2 \cdot (3+5) \cdot 7 = 112 \)\\
|
|
|
|
|
|
Das AG für \(+\) und \( \cdot \) erlaubt, dass Klammern bei gleichrangigen Operationen weggelassen werden können, ohne das Ergebnis zu verändern.\\
|
|
|
|
|
|
Variablen in Arithmetischen Ausdrücken sind Platzhalter von Zahlen.\\
|
|
|
|
|
|
%%% 22. September 2010 %%%
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|
|
\section{Distributivgesetz "`rückwärts"'}
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|
|
\subsection{Ausklammern}
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|
\(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot ( b + c )\)
|
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|
|
|
|
\subsection{Vieta}
|
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|
|
\(( a + a_1 ) \cdot ( a + a_2 ) = a^2 + ( a_1 + a_2 ) \cdot a + a_1 \cdot a_2 \)
|
|
|
|
|
|
\section{Rechengesetze fürs Potenzieren}
|
|
|
|
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
|
\item[(I)] \(a^0 = 1\)
|
|
|
\item[(II)] \(a^{n+1} = a \cdot a^n\)
|
|
|
\item[(III)] \(a^n \cdot a^m = a^{n \cdot m}\)
|
|
|
\item[(IV)] \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)
|
|
|
\item[(V)] \( (a^n)^m = a^{n \cdot m}\)
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
\columnbreak
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
|
\item[] (evtl. \(a = 0\) ausschließen)
|
|
|
\item[] (Spezialfall von (III), \(m = 1\))
|
|
|
\item[] gleiche Basis
|
|
|
\item[] gleicher Exponent
|
|
|
\item[]
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
|
|
\section{Primzahlen}
|
|
|
|
|
|
Eine Zahl \(c\) mit
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|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
|
\(c = a \cdot b\)
|
|
|
\columnbreak\\
|
|
|
(für \(a,b \in \mathbb N\))
|
|
|
\end{multicols}
|
|
|
heißt vielfaches von a und b heißt Teiler von c (\(c = a \cdot b\) bedeutet \(c\) kann als Rechteck mit Seitenlängen \(a\) und \(b\) gelegt werden)\\
|
|
|
\\
|
|
|
\underline{Bsp.:} \(6 = 2 \cdot 3\)\\
|
|
|
\begin{tabular}{|c|c|c|}
|
|
|
\hline&&\\
|
|
|
\hline&&\\
|
|
|
\hline
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
\\
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|
|
\\
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|
|
Eine Primzahl ist eine Zahl \(p >= 2\), falls für alle \(a,b \in \mathbb N\) mit \(a \cdot b = p\) gilt \(a=1\) oder \(b = 1\)\\
|
|
|
(Primzahlen können nur als `triviale' Rechtecke gelegt werden, d.\,h. eine Zeile oder eine Spalte)
|
|
|
|
|
|
Primzahlen sind `Atome' bei der Zerlegung in Faktoren.\\
|
|
|
Jede Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.\\
|
|
|
\(\Rightarrow\) Primfaktorzerlegung\\
|
|
|
\underline{Bsp.:} \( 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3\)
|
|
|
|
|
|
\section{Summenschreibweise}
|
|
|
|
|
|
Sind \(a_1,...,a_n\) arithmetische Ausdrücke, dann schreibt man für \(a_1 + ... + a_n\) auch kurz:
|
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
|
\( \sum\limits_{i=1}^{n} a_i \)
|
|
|
\columnbreak\\
|
|
|
(Summe von \(i=1\) bis \(n\) \hspace*{4mm} \(a_i\))
|
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
|
|
\underline{Bsp.:}\\
|
|
|
\( \sum\limits_{i=1}^{5} 3 = 3+3+3+3+3 = 5 \cdot 3 = 15 \)\\
|
|
|
\( \sum\limits_{i=1}^{5} i = 1+2+3+4+5 = 15 \)
|
|
|
|
|
|
\subsection{Rekursive Definition}
|
|
|
|
|
|
\( \sum\limits_{i=1}^{0} a_i = 0 \)\\
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|
|
\( \sum\limits_{i=1}^{n+1} a_i = ( \sum\limits_{i=1}^{n} ai ) + a_{n+1} \)
|
|
|
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|
%%% 23.09.2010 %%%
|
|
|
|
|
|
\section{Ganze Zahlen}
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|
|
\hspace{4mm} \(x + 1000 = 0\)\\[2mm]
|
|
|
Diese Gleichung hat keine Lösung. Bzw.\\[2mm]
|
|
|
\hspace*{4mm} \(x + n = 0\)\\[2mm]
|
|
|
hat keine Lösung für \(n \in \mathbb N , n \ne 0\)\\[4mm]
|
|
|
|
|
|
\begin{tabular}{ll}
|
|
|
\(\rightsquigarrow\) & Neue Zahlen \hspace{4mm} \(-n\) für \(n \in \mathbb N\)\\
|
|
|
& mit\\
|
|
|
& \hspace{4mm} \(-n + n = 0\)\\
|
|
|
\(\Rightarrow\) & \(-0 = 0\)\\
|
|
|
\(\rightsquigarrow\) & Ganze Zahlen\\
|
|
|
& \hspace{4mm}\(\mathbb Z = \{ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}\)\\
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
|
|
Alle Rechengesetze gelten weiterhin!
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Neues Rechengesetz:}
|
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
|
\begin{tabular}{|c|}
|
|
|
\hline
|
|
|
\( (-a) + a = 0 \)\\
|
|
|
\hline
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
\columnbreak\\
|
|
|
Inverses für Addition
|
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
|
|
Was ist \(-(-a))\)?\\
|
|
|
|
|
|
\begin{tabular}{rclcl}
|
|
|
\(-(-a))\) & \(=\) & \(-(-a) + 0\) & \hspace{1cm} & (Neutrales Element +)\\
|
|
|
& \(=\) & \( -(-a) + ((-a) + a) \) & \hspace{1cm} & (Inverses +)\\
|
|
|
& \(=\) & \( (-(-a) + (-a) ) +a \) & \hspace{1cm} & (AG+)\\
|
|
|
& \(=\) & \( 0 + a \) & \hspace{1cm} & (Inverses +)\\
|
|
|
& \(=\) & \(a\) & \hspace{1cm} &
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
|
\(-(-a) = a \)
|
|
|
\columnbreak\\
|
|
|
(Abgeleitetes Rechengesetz)
|
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Was ist \( a \cdot (-1) = (-1) \cdot a\) ?\\
|
|
|
|
|
|
\begin{tabular}{rclcl}
|
|
|
\( a \cdot (-1)\) & \(=\) & \( a \cdot (-1) + ( a + (-a)) \) & \hspace{1cm} & (NE+, I+)\\
|
|
|
& \(=\) & \( (a \cdot (-1) + a) +(-a) \) & \hspace{1cm} & (AG+, NE\(\cdot\))\\
|
|
|
& \(=\) & \( a \cdot (-1+1)+(-a) \) & \hspace{1cm} & (DG)\\
|
|
|
& \(=\) & \( a \cdot 0 + (-a) \) & \hspace{1cm} & (I+)\\
|
|
|
& \(=\) & \(0 + (-a)\) & \hspace{1cm} & \\
|
|
|
& \(=\) & \(-a\) & \hspace{1cm} &
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\end{tabular}
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\begin{tabular}{|c|}
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\hline
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\(a \cdot (-1) = -a\)\\
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\hline
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\end{tabular}
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\begin{itemize}
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\item[\textbf{Regel:}] \( + \cdot +\) ist \(+\)
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\item[] \( + \cdot -\) ist \(-\)
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\item[] \( - \cdot -\) ist \(+\)
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\end{itemize}
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\begin{tabular}{rcl}
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\((-1) \cdot (-1)\) & \(=\) & \( -(-1)\)\\
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&\(=\) & \(1\)
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\end{tabular}
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\subsection{Neue Operation: Subtraktion}
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\hspace{4mm} \(a-b = a + (-b)\)
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AG gilt nicht bei \(-\)
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\begin{tabular}{rcl}
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\( (1-2)-3 \) & \(=\) & \( -4\)\\
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\( 1-(2-3) \) & \(=\) & \( 1-(-1) = 2 \)\\
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\(1-2-3\) & \( = \) & \( (1-2)-3 \)
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\end{tabular}
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Bei Ausdrücken ist ohne Klammern:\\
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\hspace{3mm}Default ist Linksseitige Klammerung (Rechnen von Links nach Rechts)
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Bemerkung:\\[2mm]
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\hspace{3mm} \( x = a-b\)\\[2mm]
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ist Lösung der Gleichung\\[2mm]
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\(x+b=a\)
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Was ist -(a-b) ?
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\begin{tabular}{rcl}
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\(-(a-b)\) & \(=\) & \( (-1) \cdot (a-b)\)\\
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& \(=\) & \((-1) \cdot a + (-1) \cdot (-b)\)\\
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& \(=\) & \( -a + (-(-b)) \)\\
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& \(=\) & \(-a + b) \)
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\end{tabular}
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Bei Negierung einer Klammer wird \(+\) und \(-\) vertauscht.
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Entsprechendes bei Subtraktion einer Klammer:
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\begin{tabular}{rcl}
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\( a-(b-c) \) & \(=\) & \( a+(-(b-c)) \)\\
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& \(=\) & \( a+(-b+c) \)\\
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& \(=\) & \( a-b+c \)
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\end{tabular}
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\begin{tabular}{cl}
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& \( a-(b-(c-(d-e))) \) \\
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\(=\) & \( a-b+(c-(d-e))\) \\
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\(=\) & \( a-b+c-d+e\)
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\end{tabular}
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\section{Rationale Zahlen}
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Gleichung:\\[2mm]
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\hspace*{4mm} \(x \cdot a = 1\)\\[2mm]
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hat keine Lösung \( x \in \mathbb Z \) für \( a \ne 1 \)
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Idee, führe \(\frac{1}{a}\) ein für \( a\ne 0\)\\
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mit \( \frac{1}{a} \cdot a = 1\)
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\subsubsection{Neues Rechengesetz:}
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\begin{multicols}{2}
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\(\frac{1}{a} \cdot a = 1\)
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\columnbreak\\
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Multiplikatives Inverses (I\(\cdot\))
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\end{multicols}
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für \(a \ne 0\)
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Schreibweise:
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\( b \cdot \frac{1}{a} = \frac{b}{a} \)\\
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Oben: Zähler; Unten: Nenner
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Alle anderen Rechengesetze sollen weiter gelten.
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\( \frac{1}{1} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1 \)
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Rechengesetze (abgeleitet) fürs Bruchrechnen
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\subsection{Multiplikation von Brüchen}
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\( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)
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\begin{tabular}{rclcl}
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\( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\) & \(=\) & \( a \cdot \frac{1}{b} \cdot c \frac{1}{d} \) & \hspace*{10mm} & Def. Bruch\\[1mm]
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|
& \(=\) & \( a \cdot c \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{d} \cdot 1 \) & \hspace*{10mm} & KG\(\cdot\), NE\(\cdot\)\\[1mm]
|
|
|
& \(=\) & \( a \cdot c \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{d} \cdot (b \cdot d \cdot \frac{1}{b \cdot d} ) \) & \hspace*{1cm} & I\(\cdot\)\\[1mm]
|
|
|
& \(=\) & \( a \cdot c \cdot (\frac{1}{b} \cdot b) \cdot (\frac{1}{d} \cdot d) \cdot \frac{1}{b \cdot d} \)& \hspace*{1cm} & KG\\[1mm]
|
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|
& \(=\) & \(a \cdot c \cdot \frac{1}{b \cdot d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \) & \hspace*{1cm} & Def. Bruch
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\end{tabular}
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\subsection{Erweitern/Kürzen}
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\( \frac{a}{b} = \frac{c \cdot a}{c \cdot b} \) \hspace*{1cm} für \(c \ne 0\)
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\(\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} \cdot c = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{c} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} \)
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\(\frac{2}{3} = \frac{10}{15} \) \hspace*{1cm} Bruchdarstellung nicht eindeutig!
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Eindeutige Darstellung: gekürzte Brüche\\
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Ein Bruch heißt \underline{gekürzt}, wenn Zähler und Nenner als gemeinsamen Teiler nur die 1 haben.
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\begin{multicols}{2}
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Teiler von 2: \underline{1}, 2\\
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Teiler von 3: \underline{1}, 3
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\columnbreak\\
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Teiler von 10: \underline{1}, 2, \underline{5}, 10\\
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Teiler von 15: \underline{1}, 3, \underline{5}, 15
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|
\end{multicols}
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|
\underline{ggT:} größer gemeinsamer Teiler\\[3mm]
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\hspace*{4mm} \( ggT(10,15) = 5 \)\\
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\hspace*{4mm} \( ggT( 2, 3) = 1 \)\\[3mm]
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|
D.\,h. Bruch \(\frac{a}{b}\) gekürtzt, falls \( ggT(a,b) = 1\)
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\(\frac{a}{b} = \frac{a : ggT(a,b)}{b : ggT(a,b)} \quad \Leftarrow\) gekürzter Bruch
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\subsection{Addition von Brüchen}
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\subsubsection{Addition von gleichnamigen Brüchen}
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\( \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)
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\( \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = a \cdot \frac{1}{c} + b \cdot \frac{1}{c} = (a+b) \cdot \frac{1}{c} = \frac{a+b}{c} \)
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\subsubsection{Addition von ungleichnamigen Brüchen}
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\( \frac{a}{c} + \frac{b}{d} = \frac{a \cdot d}{c \cdot d} + \frac{b \cdot c}{d \cdot c} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{ d \cdot c } \)
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|
\underline{Bsp.:}\\
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\begin{tabular}{rcl}
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|
\( \frac{2}{10} + \frac{7}{12}\) & \(=\) & \( \frac{3 \cdot 12 + 7 \cdot 10}{120} \) \\[2mm]
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|
& \(=\) & \( \frac{36 + 70}{120} = \frac{106}{120} = \frac{53}{60} \)
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|
\end{tabular}
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|
\begin{itemize}
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|
\item[\(kgV(n,m)\)] kleinstes gemeinsames Vielfaches von n und m
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\item[\(kgV(n,m)\)] \(= \frac{n \cdot m}{ggT(n,m)}\)
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|
\end{itemize}
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\( \frac{a}{c} + \frac{b}{d} = \frac{a \cdot \frac{kgV(c,d)}{c}}{kgV(c,d)} + \frac{b \cdot \frac{kgV(c,d)}{d}}{kgV(c,d)} \)
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%%% 24.09.2010 %%%
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\subsection{Potenzrechnung mit Brüchen}
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\subsubsection{Exponent von $n \in \mathbb N$}
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\((\frac{a}{b})^n = \underbrace {\frac{a}{b} \cdot ... \cdot \frac{a}{b}}_{n-mal} = \frac{\overbrace {a \cdot ... \cdot a}^{n-mal}}{\underbrace {b \cdot ... \cdot b}_{n-mal}} = \frac{a^n}{b^n}\)
|
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|
Bsp.: \( \frac{a^3}{b^5} = \frac{1}{b^2} \cdot ( \frac{a}{b} )^3\)
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\subsubsection{Exponent von $n \in \mathbb N$}
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\(a^{-1}\)
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\(a^{-1} \cdot a^{1} = a^{-1+1} = a^0 = 1\quad \text{für } a \ne 0\)
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\( \frac{1}{a} \) ist das \(x\) mit \( x \cdot a = 1 \)
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\( \Rightarrow \frac{1}{a} = a^{-1} \)
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\( (\frac{a}{b})^{-1} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} \)
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\( a^{-n} = a^{(-1) \cdot n} = (a ^{(-1)} )^n = (\frac{1}{a})^n = \frac{1}{a^n} \)
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|
\( (-a)^n = ((-1) \cdot a)^n = (-1)^n \cdot a^n \)
|
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\( (-1)^n = \overbrace {(-1) \cdot (-1)}^{1} \cdot ... \cdot \overbrace {(-1) \cdot (-1)}^{1} = \begin{cases}
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|
-1, & \text{wenn } n \text{ ungerade}\\
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|
|
1, & \text{wenn } n \text{ gerade}
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\end{cases}\)
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\section{Stellenwertsystem}
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Zahlendarstellung auch hintereinandergeschriebene Ziffern.\\
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Wert der Ziffern von Position abhängig
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\begin{tabular}{lccccc}
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|
Bsp.: & 7 & 0 & 3 & 7 & 1\\
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& \(10^4\) & \(10^3\) & \(10^2\) & \(10^1\) & \(10^0\)
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|
\end{tabular}
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Wert (dargestellte Zahl):
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\( \quad 7 \cdot 10^4 + 0 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0\)
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Basis b
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b Ziffern \( \quad Z_0, ... Z_{b-1} \)
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mit Wert \( w_{(Z_0)} = 0, ... w_{(Z_{b-1})} = b-1 \)
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Bsp.:
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\hspace*{6mm} \( b = 10\)\\
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|
\hspace*{6mm} Ziffern \( '0','1',...,'9'\)\\
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|
\hspace*{6mm} Wert \( 0,1,...,9\)
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|
\hspace*{3mm} 2er-System:\\
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|
\hspace*{6mm} \( b = 2\)\\
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|
\hspace*{6mm} Ziffern \( '0','1'\)\\
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|
|
\hspace*{6mm} Wert \( 0,1\)
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|
|
\hspace*{3mm} 16er-System:\\
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|
\hspace*{6mm} \( b = 16\)\\
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|
|
\hspace*{6mm} Ziffern \( '0',...,'9','a',...,'f'\)\\
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|
|
\hspace*{6mm} Wert \( 0,...,9,10,...,15\)
|
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|
Im System mit Basis b steht die Ziffenfolge
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\(Z_{a_k} Z_{a_{k-1}} ... Z_{a_0} \)
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für die Zahl
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\(a_k \cdot b^k + a_{k-1} \cdot b^{k-1} + ... + a_0 \cdot b^0 \)
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\( = \sum_{i=0}{k} a_i \cdot b^i\)
|
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Bsp.:
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\begin{tabular}{rcl}
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|
\( ( 1 A F )_{16}\) & \(=\) & \( 16^2 + 160 + 16 \) \\
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& \(=\) & \(156 + 160 + 15\) \\
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& \(=\) & \(431\)
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|
\end{tabular}
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\subsection{Nachkommastellen}
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\(Z_k, ... , Z_1 , Z_0 \text{\textbf{ , }} Z_{-1} , ... \)
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hat wer
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\( a_k \cdot b^k + ... + a_1 \cdot b^1 + a_0 \cdot b^0 + a_{-1} \cdot b^{-1} + ... \)
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|
Bsp.:\\
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|
\(1,5 = 1 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-1} = 1 + \frac{5}{10} = \frac{3}{2} \)
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|
\( (1,1)_2 = 1 \cdot 2^0 + 1 \cdot 2^{-1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)
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\subsection{Zählen}
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|
\(199 +1 = 200\)
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\(10111)_2 = (11000)_2 \)
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|
\subsection{Addition, Multiplikation}
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|
\subsubsection{Schriftlich Addieren}
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|
\begin{multicols}{2}
|
|
|
10er-System:
|
|
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|
\begin{tabular}{ccccc}
|
|
|
5&4&3&1&1\\
|
|
|
&2&1&8&9\\
|
|
|
&&\tiny{1}&\tiny{1}&\\
|
|
|
5&6&5&0&0
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
\columnbreak\\
|
|
|
10er-System:
|
|
|
|
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|
\begin{tabular}{cccccccc}
|
|
|
&1&0&1&1&0&1&1\\
|
|
|
&&1&1&0&0&0&1\\
|
|
|
\tiny{1}&\tiny{1}&\tiny{1}& & &\tiny{1}&\tiny{1}&\\
|
|
|
1&0&0&0&1&1&0&0
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Schriftliche Multiplikation}
|
|
|
|
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
|
10er-System:
|
|
|
|
|
|
\begin{tabular}{ccccccccc}
|
|
|
5&4&4&1&\(\cdot\)&1&2&0&3\\
|
|
|
\hline
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|
|
&&5&4&4&1\\
|
|
|
&&1&0&8&8&2\\
|
|
|
&&&&&&0\\
|
|
|
&&&&1&6&3&2&3\\
|
|
|
&&&\tiny{1}&\tiny{1}\\
|
|
|
\hline
|
|
|
&&6&5&4&5&5&2&3\\
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
\columnbreak\\
|
|
|
2er-System:
|
|
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|
|
|
\begin{tabular}{ccccccccccc}
|
|
|
1&0&0&1&1&0&\(\cdot\)&1&0&1&1\\
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|
|
\hline
|
|
|
&&1&0&0&1&1&0\\
|
|
|
&&&&&&&&0\\
|
|
|
&&&&1&0&0&1&1&0\\
|
|
|
&&&&&1&0&0&1&1&0\\
|
|
|
&&&\tiny{1}&\tiny{1}&\tiny{1}&\tiny{1}&\tiny{1}\\
|
|
|
\hline
|
|
|
&&1&1&0&1&0&0&0&1&0
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Dividieren}
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\( a : b \)\\
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\( a \rightarrow\) Divident \\
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\( b \rightarrow\) Divisor
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|
Im Prinzip durch Sukzessives Subtrahieren. Divisor wird dabei möglichst hoch gewichtet.
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|
Bsp:\\
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|
\begin{tabular}{cccccccccc}
|
|
|
\hspace*{4mm}&4&5&0&:&1&5&=&3&0\\
|
|
|
&4&5&0&\\\cline{2-4}
|
|
|
&&&0
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
|
|
\begin{tabular}{lcccccccccccc}
|
|
|
\cline{8-13}
|
|
|
\hspace*{4mm}&1&:&7&=&0&,&1&4&2&8&5&7\\
|
|
|
&0\\\cline{2-2}
|
|
|
&1&0\\
|
|
|
&&7\\\cline{2-3}
|
|
|
&&3&0\\
|
|
|
&&2&8\\\cline{3-4}
|
|
|
&&&2&0\\
|
|
|
&&&1&4\\\cline{4-5}
|
|
|
&&&&6&0\\
|
|
|
&&&&5&6\\\cline{5-6}
|
|
|
&&&&&4&0\\
|
|
|
&&&&&3&5\\\cline{6-7}
|
|
|
&&&&&&5&0\\
|
|
|
&&&&&&4&9\\\cline{7-8}
|
|
|
&&&&&&&1&0
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|
\end{tabular}
|
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|
\section{Polynom}
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Arithmetischer Ausdruck
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\(a_k \cdot x^k + ... + a_1 \cdot x1 + a_0 \quad \text{mit } a_i \in \mathbb Q \text{später }\mathbb R\text{)} \)
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|
heißt Polynom x von Grad k \( \quad a_k \ne 0 \)
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|
\( = \sum_{i=0}^{k} a_i \cdot x^i \)
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Analogie zur Zahlendarstellung:\\
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|
\hspace*{3mm} Variable x = Basis b\\
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|
\hspace*{3mm} Ziffern sind beliebige Zahlen
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|
\subsection{Polynommultiplikation}
|
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|
\begin{tabular}{ccccccccccccccc}
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|
|
( & $x^3$ & $+$ & $0x^2$ & $+$ & $5x$ & $-$ & $1$ & ) \(\cdot\) ( & $x^2$ & $-$ & $2x$ & $-$ & $1$ &)\\
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|
|
\hline
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|
|
&&&$x^5$&$+$&$0$&$+$&$5x^3$&$-$&$x^2$\\
|
|
|
&&&&$-$&$2x^4$&$+$&$0$&$-$&$10x^2$&$+$&$2x$\\
|
|
|
&&&&&&$-$&$x^3$&$+$&$0$&$-$&$5x$&$+$&$1$\\
|
|
|
\hline
|
|
|
&\(=\)&&\(x^5\)&\(-\)&$2x^4$&$+$&$4x^3$&$-$&$11x^2$&$-$&$3x$&$+$&$1$
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\end{tabular}
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\subsection{Polynomdivision}
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Division \( p_{(x)} : q_{(x)} \)
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\begin{tabular}{l}
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Solange \( Grad( p_{(x)} ) => Grad( q_{(x)} ) \)\\[2mm]
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\begin{tabular}{|l}
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Bestimme \(a \cdot x^l \) so, dass\\
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\(r_{(x)} = p_{(x)} - a ¸cdot x^l \cdot q_{(x)} \) \\
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kleineren Grad hat als \( p_{(x)} \)\\
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Output „\(a \cdot x^l + \)“\\
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\(p_{(x)} = r_{(x)} \)
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\end{tabular}\\[2mm]
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|
Wenn \( p_{(x)} \ne 0\) dann:\\
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\( \quad \text{Output } \frac{p_{(x)}}{q_{(x)}} \)
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\end{tabular}
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\underline{Bsp.:}
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\begin{tabular}{rcccccccl}
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\((\) & \(x^3\) & \(+\) & \(0 \cdot x^2\) & \(+\) & \(5 \cdot x\) & \(-\) & \(1\) & \( ) : (x^2 - 2\cdot x - 1) = x + 2 + \frac{10 \cdot x + 1}{x^2 - 2 \cdot x - 1}\)\\
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|
\(-(\) & \(x^3\) & \(-\) & \(2 \cdot x^2\) & \(-\) & \(x\) &&& \()\)\\\cline{2-8}
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\( (\) & \(0\) & \(+\) & \(2 \cdot x^2 \) & \(+\) & \(6 \cdot x\) & \(-\) & \(1\) & \()\)\\
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\(-(\) &&&\(2 \cdot x^2\) & \(-\) & \( 4 \cdot x\) & \(-\) & \(2\) & \()\)\\\cline{2-8}
|
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|
&&&& \(+\) & \(10 \cdot x \) & \(+\) & \(1\)
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|
\end{tabular}
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\section{Reele Zahlen $\mathbb R$}
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rationale Zahlen:\\
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\hspace*{4mm} Darstellung als endliche oder periodische Dezimalbrüche
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\underline{Bsp.:}\\
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\(\frac{1}{7}\)
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\(3,0 \quad 3,1\overline{0} \approx 3,0\overline{9} \)
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Nicht periodische Dezimalbrüche\\
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Bsp.:\\
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\( 1,10100100010000... \)\\
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ist nicht rational\\
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\( \rightarrow \) irrationale Zahlen
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reele Zahlen: rationale und irrationale Zahlen
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%%% 27.09.2010 %%%
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\section{Brüche im Exponent}
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Was ist \( a^\frac{1}{b}\) ?
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Potenzregel: \( (a^m)^n = a^{n \cdot m} \)
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\( n = b; \quad m = \frac{1}{b} \quad \text{für } b \ne 0 \)
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\( (a^\frac{1}{b})^b = a^{b \cdot \frac{1}{b}} = a \)
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Idee: \( a^\frac{1}{b}\) ist Lösung von
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\( x^b = a \)
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\underline{Bsp.:} \( x^3=27 \quad b=3; a=27; Lsg.: x=3 \)
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\textbf{Probleme:}\\[2mm]
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\begin{enumerate}
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\item Manchmal gibt es mehrere Lösungen: \\[2mm]
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\(x^2 = 4 \quad ; \text{Lsg.:} x_1 = 2 \text{ und } x_2 = -2 \)\\[2mm]
|
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|
\(4^\frac{1}{2} = ? \)\\[2mm]
|
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|
\(\rightarrow\) Positive Lösung, d.\,h. \(4^\frac{1}{2} = 2 \)
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|
\item Manchmal gibt es keine Rationale Lösung\\[2mm]
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\underline{Bsp.:} \(b=2 \quad a=3\)\\[2mm]
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\(x^2 = 3\)\\[2mm]
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hat keine Rationale Lösung\\
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Annäherung durch Rationale Zahlen:\\[2mm]
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\( \quad 1 < x < 2 \) \\[2mm]
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\( \quad 1,7 < x < 1,8 \)\\[2mm]
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|
\( \rightarrow \) Irrationale Zahl\\[3mm]
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\( \rightarrow \) reele Zahlen
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|
\item \( b < 0 \rightarrow \) keine Reele Lsg.\\[2mm]
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\(x^2 = -1\)\\[2mm]
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|
\(\rightarrow\) neue Zahlen: \( \mathbb C \) (komplexe Zahlen)\\[1mm]
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\underline{Bsp.:} \( 2+\sqrt{-4} = 2+2i \)
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|
\end{enumerate}
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\underline{Def.:} Für \(a \ge 0\) ist \(a^\frac{1}{b}\) die positive Lösung der Gleichung
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\(x^b = a\)
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Schreibweise:
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\(\sqrt[b]{a} = a^\frac{1}{b} \)
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\small{b = Wurzelexponent; a = Radikant}
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Für \(a<0\) und b ungerade ist \( \sqrt[b]{a} \) Definiert als Lösung der Gleichung\\[2mm]
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\(a^b = a\)
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\underline{Bsp.:}\\[3mm]
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\( \sqrt[3]{27} = 3 = 27^\frac{1}{3} \) \\[3mm]
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\( \sqrt[3]{-27} = -3 \) \\[1mm]
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|
\((-27)^\frac{1}{3} \) ist undefiniert
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Sonst:
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\( (-27)^\frac{1}{3} = (-27)^\frac{2}{6} = (-27)^{2 \cdot\frac{1}{6}} = (27^2)^\frac{1}{6} \)\\[1mm]
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\( = 3 \) !widerspruch!
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Was ist \( \sqrt{x^2} \) ?\\[1mm]
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\( \quad \sqrt{x^2} = \left| x \right| \)
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\subsection{Potenzgesetze}
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\( a,b \in \mathbb R^+ \)\\
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\( m,n \in \mathbb Z (\mathbb R) \quad n \ne 0\)\\
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\( \alpha,\beta \in \mathbb R\)
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\(a^0 = 1 \quad \) (gilt auch für \( \alpha \in \mathbb R^-\))
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\( \frac{1}{a^\alpha} = a^{-\alpha} \)
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\( \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} \)
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\(a^\alpha \cdot b^\alpha = (a \cdot b)^\alpha \) und \( \frac{a^\alpha}{b^\alpha} = \left(\frac{a}{b}\right)^\alpha \)\\[1mm]
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|
(Produkt mit gleichem Exponent)
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|
\(a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha \cdot \beta} \) und \( \frac{a^\alpha}{a^\beta} = \left(\frac{a}{b}\right)^{\alpha-\beta} \)\\[1mm]
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|
(Produkt mit gleicher Basis)
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\( (a^\alpha)^\beta = a^{\alpha \cdot \beta} \)
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Bemerkung:
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\hspace*{4mm} für \( \alpha,\beta \in \mathbb Z \) ist auch \( a,b \in \mathbb R \) möglich.
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\section{Logarithmen}
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\begin{itemize}
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\item[Def.:] Sei \( a \in \mathbb R^+, b \in \mathbb R^+, b \ne 1\)\\
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|
Der Logarithmus von a zur Basis b\\
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\hspace*{3mm} \( \log_{b}{ a} \)\\
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ist diejenige Zahl \( x \in \mathbb R\) mit\\
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\hspace*{3mm} \( b^x = a \)
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\item[Bem.:] Dieses \(x\) ist eindeutig
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\item[Bew.:]
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\begin{itemize}
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\item[] \( b^{x_1} = b^{x_2} = a \) \\
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\item[\(\Rightarrow\)] \( a \cdot b^{x_1 - x_2} = b^{x_1} \cdot b^{x_2-x_1}\)\\
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\( = b^{x_2} \)\\
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|
\(a \cdot b^{x_2-x_1} = a \quad | \cdot \left(\frac{1}{a}\right) \)
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\item[\(\Rightarrow\)] \( b^{x_2-x_1} = 1 \)
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|
\item[\(\Rightarrow\)] \( b=1 \) (ausgeschlossen)\\
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|
oder \( x_2-x_1 = 0 \) d.\,h. \(x_2 = x_1 \)
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|
\end{itemize}
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\end{itemize}
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|
Es gilt also:
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\begin{tabular}{|c|}
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\hline
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\(b ^{\log_{b} a} = a \)
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\\\hline
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|
\end{tabular}
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|
\underline{Bspe.:} \\[1mm]
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\( \log_{7} 49 = 2 \)\\[1mm]
|
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|
\( \log_{2} 64 = 6 \)\\[1mm]
|
|
|
\( \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{6} = 4 \)\\[1mm]
|
|
|
\( \log_{3} 81 = 4 \)\\[1mm]
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|
\( 2^{\log_{2} 10} = 10 \)
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\subsection{Logarithmen-Gesetze}
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\(x,y \in \mathbb R^+\) \\
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\(b \in \mathbb R^+ \quad b \ne 1\)
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|
\begin{itemize}
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|
\item[(I)] \( \log_{b} (x \cdot y ) = \log_{b} (x) + \log_{b} (y) \)
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|
|
\item[(II)] \( \log_{b} \left( \frac{x}{y}\right) = \log_{b} (x) - \log_{b} (y) \)
|
|
|
\item[(III)] \( \log_{b} x^a = a \cdot \log_{b} x \quad (a \in \mathbb R) \)
|
|
|
\item[(IV)] \( \log_{b} x = \frac{\log_{a} x}{\log_{a} b } \quad a \in \mathbb R^+ ; a \ne 1 \)
|
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|
\item[(V)] \( \log_{b} 1 = 0 \quad und \quad \log_{b} b = 1 \)
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|
\end{itemize}
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|
\subsubsection{Beweis}
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\begin{itemize}
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\item[(I)]
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|
Es gilt:\\
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\( b^{\underline{log_{b} (x \cdot y)}} = x \cdot x = b^{\log_{b} x} \cdot b^{\log_{b} y} \)\\[2mm]
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|
\( = b^{ \underline{\log_b x + \log_b y}} \)\\
|
|
|
\( \Rightarrow \log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \)
|
|
|
\item[(III)]
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|
\( b^{\underline{\log_b x^a}} = x^a = (b^{log_b x})^a = b^{\underline{a \cdot log_b x}} \)
|
|
|
\item[(II)]
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|
|
\( \log_b \frac{x}{y} = \log_b x \cdot y^{-1} = \log_b x + \log_b y^{-1} \)\\
|
|
|
\( = \log_b x + (-1) \cdot \log_b y \)
|
|
|
\( = \log_b x - \log_b y \)
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|
|
\item[(IV)]
|
|
|
\( \log_a a \cdot x = \log_a b^{\log_b x} \)\\
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|
|
\( = \log_b x \cdot \log_a b \)\\
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|
|
\( \Rightarrow = \frac{\log_a x}{\log_a b} \)
|
|
|
\end{itemize}
|
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|
\underline{Bspe.:}\\
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|
\( log_{10} 3^6 = 5 \cdot log_{10} 3 \)\\[2mm]
|
|
|
\( log_{10} \frac{2 \cdot b^2}{x^5} = log_{10} 2 \cdot b^2 - \log_{10} x^5 \)\\[2mm]
|
|
|
\( = \log_{10} 2 + 2 \cdot \log_{10} b - 5 \cdot \log_{10} x \)
|
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\section{Runden}
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Untere/Obere Ganzklammern
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\begin{itemize}
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|
\item[\( \lfloor x \rfloor \)] = größte ganze Zahl \( z \le x \)
|
|
|
\item[\( \lceil x \rceil \)] = kleine ganze Zahl \(z \ge x \)
|
|
|
\end{itemize}
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|
\( \lceil 4,5 \rceil = 5 \)\\
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|
|
\( \lfloor 4,5 \rfloor = 4 \)\\
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|
\( \lceil -3,1 \rceil = -3 \)\\
|
|
|
\( \lfloor -3,1 \rfloor = -4 \)\\
|
|
|
\( \lfloor 4 \rfloor = 4 \)\\
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|
|
\( \lceil 5 \rceil = 5 \)
|
|
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\section{Naive Mengenlehre}
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\underline{Def.:} Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten.\\
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|
Eine Menge ist ein neues Objekt, die Menge ihrer Objekte.\\
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Ein Objekt ist entweder in der Menge\\
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|
\hspace*{3mm} \( x \in M \) (x Element von M)\\
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|
oder nicht in der Menge\\
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\hspace*{3mm} \(x \not\in M \)\\
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(nichts sonst)
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Darstellung:
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\begin{enumerate}
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\item
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Aufzählung der Elemente in Mengenklammern\\
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Bspe.:\\
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\( \{1,2,3\} \)
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Die Menge der Teiler von 6:\\
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\( T_6 = \{1,2,3,6\} \)
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\( \mathbb N = \{0,1,2,...\} \)
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|
\(\mathbb Z = \{ ...,-2,-1,0,1,2,...\} \)
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|
\( \mathbb Q, \mathbb R \)
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|
|
|
|
\( \{ \{1,2,3\}, \{1,2,3,6\}, \mathbb N, \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R \} \)\\
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|
(Menge der oben genannten Mengen)
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\( \emptyset = \{\} \)
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|
|
\item
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Durch eine Eigenschaft der Elemente (Grundmenge a)
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\( \{ x | x \text{ hat Eigenschaft E }\} \)
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|
\( \{ x \in G | x \text{ hat Eigenschaft E }\} \)\\
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|
\( = \{ x | x \in G \text{ und x hat Eigenschaft E} \} \)
|
|
|
\end{enumerate}
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|
\underline{Bsp.:}
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|
\( T_6 = \{ x \in \mathbb N | x \text{ ist Teiler von } 6 \} \)\\
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|
\( = \{ x \in \mathbb N | x \text{ teilt } 6 \} \)
|
|
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|
\( \{ x \in \mathbb N | x \text{ ist vielfaches von } 2 \} \)\\
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|
|
Menge aller geraden Zahlen
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|
\( \{ x \in \mathbb R | x^2 = 9 \} = \{-3,3\} \)
|
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|
%%% 29.09.2010 %%%
|
|
|
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|
|
Darstellung mit Eigenschaft und Transformation
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|
\( \{ f_{(x)} | x \text{ hat Eigenschaft E} \} \)\\
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|
=\( \{ y | \text{ es gibt ein x mit Eigenschaft E und } y = f_{(x)} \} \)
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|
\underline{Bsp.:}
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|
\( \{ 2 \cdot x | s \in \mathbb Z \} = \{ ..., -4, -2, 0, 2, 4, ...\} \)\\
|
|
|
= Menge der Vielfachen von 2
|
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|
\( \{ 2 \cdot x | x \in \mathbb R \} = \mathbb R \)
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|
\( \{ x^2 | x \in \mathbb Z \} = \) Menge aller Quadratzahlen
|
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|
\(\{ x^2 | x \in \mathbb R \} = \mathbb R^{+}_0 = \{ x \in \mathbb R | x \ge 0 \} \)
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|
Zwei Mengen sind \underline{gleich}, wenn die dieselben Elemente enthalten
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|
\( A = B \)
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|
Bsp.:
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|
\( \{ 1,2,3\} = \{3,1,2\}\)\\
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|
|
\(\{2,3,4\} \ne \{ 1,2,3 \} \)\\
|
|
|
\( \{ x \in \mathbb Z | x \text{ ist gerade }\} = \{ 2 \cdot x | x \in \mathbb Z \} \)
|
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\subsection{Teilmengenbeziehungen}
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|
\begin{itemize}
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|
\item[\( A \subseteq B \)]
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|
\(A\) ist Teilmenge von \(B\), falls jedes Element von \(A\) auch Element von \(B\) ist.
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|
\item[Bspe.:]
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|
\( \{ 1,2,3\} \subseteq \{ 1,2,3\} \)\\
|
|
|
\( \{ 1\} \subseteq \{ 1,2,3\} \)\\
|
|
|
\( \{1,2\} \not\subseteq \{1\} \)
|
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|
\item[Satz:]
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|
Es gilt folgendes für alle Mengen \(A,B\)
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\begin{enumerate}
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|
\item \( \emptyset \subseteq A \)
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|
\item \( A \subseteq A \)
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|
\item Wenn \( A \subseteq B \) und \( B \subseteq A \), dann \(B=A\)
|
|
|
\end{enumerate}
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|
3. wird oft benutzt, um zu zeigen, das 2 Mengen gleich sind.
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|
\end{itemize}
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\subsection{Notation}
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\begin{itemize}
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\item[\( \subseteq \)]
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(Manchmal in der Literatur \(\subset\) )
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\item[\( \subsetneq \)]
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|
\(A \subsetneq B\) ( \(A\) echte Teilmenge von \(B\), falls \( A \subseteq B \) aber \(A \ne B \)\\
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|
|
( \( \subsetneq \) in anderer Literatur manchmal \( \subset \)
|
|
|
\item[ \(\not\subseteq\) ]
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|
\( A \not\subseteq B \) (\(A\) nicht Teilmenge von \(B\) )
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|
\end{itemize}
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|
\subsection{Operationen auf Mengen}
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\begin{tabular}{lcl}
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|
Schnitt: & \( A \cap B \) & (A Geschnitten B)\\
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|
&& \( A \cap B = \{ x | x \in A \text{ und } x \in B \} \)\\[2mm]
|
|
|
Vereinigung: & \( A \cup B \) & \( A \cup B = \{ x | x \in A \text{ oder } x \in B \} \) \\[2mm]
|
|
|
Differenz: & \( A-B\) & \( = A \backslash B = \{ x | x \in A \text{ und } x \not\in B \} \)
|
|
|
\end{tabular}
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|
|
Komplement mit einer Grundmenge \(G\) (d.\,h. \(A \in G\) )\\
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\( \overline{A} = G-A \)
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|
\underline{Bspe.:}
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\( \{1,2,3\} \cup \{3,4,5\} = \{1,2,3,4,5\} \)
|
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|
\( \{1,2,3\} \cap \{3,4,5\} = \{3\}\)
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\( \{1,2,3\} - \{3,4,5\} = \{1,2\} \)
|
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\( H = \{ x \in \mathbb Z | x \text{ ist nicht vielfaches von } 12 \} \)
|
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|
\( \overline{H} = \{ x \in \mathbb Z | x \text{ ist vielfaches von } 12 \} \)\\
|
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|
\( = \{ 12 \cdot x | x \in \mathbb Z \} \)
|
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|
\( \overline{\overline{H}} = H \)
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\subsection{Mengendiagramme}
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(Venn / Euler-Diagramm)
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\includegraphics{bilder/mengendiagramme_1.pdf}
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1: \( A \subseteq B \) ; 2: \( A \cap B \) und \( A \cup B \)
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\includegraphics{bilder/mengendiagramme_2.pdf}
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3: \( \overline A \) ; 4: \( (A \cap B) - C = (A-C) \cap (B-C) \)
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\section{Intervalle}
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Eine Teilmenge \(I\) von \(\mathbb R \) ist ein Intervall, falls für \( a,b \in I\) auch jedes \(c, a < c < b\) in \(I\) ist.\\
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D.\,h. auf dem Zahlenstrahl dargestellt ist ein Intervall ein Zusammenhängendes Gebiet.
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Bezeichnung durch Zahlen am Rand, die entweder im Interval liegen \([ \text{ bzw. }]\) oder nicht ( bzw. )
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Bsp.:\\
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\( {[3;5)} = \{ x \in \mathbb R | 3 \le x < 5 \} \) \\
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\( {(3;5)} = \{ x \in \mathbb R | 3 < x < 5 \} \)
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\( \{ 1,2,3\} \) kein Intervall, denn \( 1,5 \not\in \{1,2,3\} \)\\
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aber \( 1 \in \{ 1,2,3 \} \)
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\subsection{Unbegrenztes Intervall}
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\( {(-\infty ; 5 ]} = \{ x \in \mathbb R | x \le 5 \} \)\\
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\( { (-3;+\infty)} = \{ x \in \mathbb R | -3 < x \}\)
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\textbf{Intervalle sind Mengen}
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\underline{Bspe.:}\\
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\( {[1;2]} \subseteq {[0;3)} \)\\
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\( {[1;2]} - {(1;2)} = \{1;2\} \)\\
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\( {[4;4]} \cap {(2,5;10)} = {(3,5;4]} \)
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\begin{itemize}
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\item[\underline{Achtung:}]
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zwischen \(\subseteq\) und \(\in\) unterscheiden!
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\item[Bsp.:]
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\( \{1,2\} \subseteq \{1,2,3\} \)\\
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\( \{1,2\} \not\in \{1,2,3\} \)
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\( \{1,2\} \not\subseteq \{ \{1\}, \{1,2\}, \mathbb Z \} \)
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\item[aber]
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\( \{1,2\} \in \{ \{1\}, \{1,2\}, \mathbb Z \} \)
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\end{itemize}
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\section{(Un-)Gleichungen}
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Für die Ordnungsrelation \(<\) („kleiner“) auf \(\mathbb R\) gelten die folgenden Grundregeln
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\begin{enumerate}
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\item
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Für \( a,b \in \mathbb R\) gilt genau einer der drei Fälle:\\
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\(a < b, a = b, a > b\)
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\item
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Transivität\\
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\( a<b \text{ und } b<c \Rightarrow a<c \)
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Weitere Zeichen:\\
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\(a \le b\) falls \( a<b \) oder \( a = b \)\\
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\(a \ge b\)\\
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\(a > b \)\\
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\(a = b \)
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\item
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Monotonie der Addition\\
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\( a < b = a+c < b+c \)\\
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für jedes \( c \in \mathbb R \)
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\item
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Monotonie der Multiplikation mit positiven Zahlen\\
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Für \( a > 0\) gilt:\\
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\( b > c \Rightarrow a \cdot b > a \cdot c \)
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\end{enumerate}
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\underline{Bemerkung 1:} Für \( <;\le;>;\ge,= \) gelten die selben Gesetze für \(=\) gilt 4. für jedes \( a \in \mathbb R \)
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\underline{Bemerkung 2:} (Einschub)\\
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Implikation \( A \Rightarrow B \)\\
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(Aus \(A\) folgt \(B\), wenn \(A\), dann \(B\))\\
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Bedeutet immer wenn \(A\) wahr ist, dann ist auch \(B\) wahr.
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Bsp.:
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\(x \text{ teilt } 6 \Rightarrow a \text{ teilt } 12 \)\\
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ist richtig, denn wenn \( 6 = a \cdot x\) für \(a \in \mathbb N \), dann gilt \( 12 = 2 \cdot a \cdot x\), d.\,h. \(x\) teilt \(12\)
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\(x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \)\\
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gilt nicht, da \((-1)^2 = 1\), aber \(-1 \ne 1\)
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\( x = 1 \Rightarrow x^2 = 1\)\\
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gilt
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Man schreibt \( A \Leftrightarrow B\) ( \( A \overbrace{\text{äquivalent}}^{\text{genau dann, wenn}} B\) ) gilt, falls \( A \Rightarrow B \) und \(B \Rightarrow A\)
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\(x\) ist gerade \( Leftrightarrow x\) ist Differenz zweier ungerader Zahlen\\
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Beweis:\\
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„\(\Rightarrow\)” wenn \(x\) gerade ist, dann ist \(x+1\) ungerade und \((x+1)-1\)\\
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„\(\Leftarrow\)“ wenn \(x,y\) ungerade ist, dann gilt:\\
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\( x-y = x+1 - (y-1) \qquad \text{ für } Z_1,Z_2 \in \mathbb Z \)\\
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\( = 2 \cdot Z_1 - 2 \cdot Z_2 \)\\
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\(2 \cdot (\underbrace{Z_1 - Z_2}_{\mathbb Z})\)
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\( \Rightarrow x-y\) ist gerade.
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\underline{Foglerungen}
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\subsection{Umformungen von Ungleichungen}
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\begin{enumerate}
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\item
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Addition:
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\( b < c \Leftrightarrow a+b < a+c \)
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\item
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Multiplikation mit positiver Zahl ist Äquivalenzumformung:\\
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Für \(a>0\) gilt:\\
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\( b<c \Leftrightarrow a \cdot b < a \cdot c \)
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\item
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Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht die Ungleichung:\\
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Für \(a < 0\) gilt:
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\( b<c \Leftrightarrow a \cdot b > a \cdot c \)
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\item
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|
Addition von Ungleichungen:\\
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\(a<b\) und \(c<d\)\\
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|
\( \Rightarrow a+c < b+d \)
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\end{enumerate}
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\textbf{Beweis:}
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\begin{enumerate}
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\item
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\( b < c \Rightarrow b+a < c+a \) (Grundregeln)\\
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\(b+a < c+a \qquad | +(-a) \)\\
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|
\(\Rightarrow b < c \)
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\item
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|
\(a<c \Rightarrow a \cdot b < a \cdot c \qquad (a>0)\)\\
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|
\( \Leftarrow a \cdot < a \cdot c \qquad | \cdot \left(\frac{1}{a}\right) \)\\
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|
|
\( \Rightarrow b < c \)
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|
\item
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|
\(a<0\)\\
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|
\(b<c \qquad | \cdot (-a) \qquad -a > 0\) \\
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|
\( \overset{2.}{\Leftrightarrow} -a \cdot b < -a \cdot c \qquad | +a \cdot b \)\\
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|
\( \overset{1.}{\Leftrightarrow} 0 < -a \cdot c + a \cdot b \qquad | + a\cdot c \)\\
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|
|
\( \overset{1.}{\Leftrightarrow} a \cdot c < a \cdot b \)
|
|
|
\item
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|
|
\( a < b \text{ und } c < d\)\\
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|
\( \Rightarrow a+c < b+d \) und \( c+b < d+b \)\\
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|
Transivität\\
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|
\( \Rightarrow a+c < b+c < b+d \)\\
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|
|
\( \Rightarrow a+c < d+b \)
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|
\end{enumerate}
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|
\underline{Bspe.:}
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\begin{tabular}{rclcl}
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\( x+1\) & \(<\) & \(-2x +3\) & \hspace*{1cm} & \( | +2x \)\\
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\(3x+1\) & \(<\) & \( 3\) && \(| -1 \)\\
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|
\(3x\) & \(<\) & \(2\) && \(| \cdot \frac{1}{3} \) \\
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|
\(x\) & \(<\) & \(\frac{2}{3}\) &
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|
|
\end{tabular}
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|
\( \mathbb L = \{ x | x < \frac{2}{3} \} = {(-\infty;\frac{2}{3}]} \)
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\underline{Bsp.:}\\
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\( x>5\) und \(5>3\)
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\( \Rightarrow x+5 > 5+3 \)\\
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\( \Rightarrow x+5 > 8 \)\\
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(also \(x>5 \Rightarrow x+5 > 8\), aber nicht umgekehrt)
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\underline{Bsp.:}\\
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\(-\frac{1}{5} \cdot x < 2 \qquad | \cdot (-5) \)\\
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\( \Leftrightarrow x > -10 \)
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\( \mathbb L = (-10;\infty) \)
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\textbf{Vorsicht} bei Multiplikationen mit Variablen Ausdrücken ergeben sich Unterschiedliche Fälle, je nachdem, ob der Ausdruck \(>0\) oder \(<0\) ist.\\
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\underline{Bsp.:} \( \frac{1}{x} < 5 \qquad | \cdot x \)
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\underline{Fall 1 \(x>0\):}\\
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\( 1<5x \qquad | :5 \)\\
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\(\frac{1}{5} < x \)
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\( \mathbb L_1 = \{x | x > \frac{1}{5}\} \)
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|
\underline{Fall 2 \(x<0\):}\\
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\( 1 > 5x \qquad | :5 \)\\
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\(\frac{1}{5} > x \)
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\(\mathbb L_2 = \{ x \in \mathbb R^- \} \)
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|
\( \mathbb L = {(-\infty;0)} \cup {(\frac{1}{5};\infty)} \)
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%%% 30.09.2010 %%%
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\subsection{Gleichungen}
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Umformungsregeln entsprechend)
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\( b = c \Rightarrow a \cdot b = a \cdot c \qquad \text{ für } a \in \mathbb R \)\\
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\( b = c \Leftrightarrow a \cdot b = a \cdot c \qquad \text{ für } a \in \mathbb R-\{0\} \quad \text{(1)}\)\\
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\( b = c \Rightarrow a + b = a + c \qquad \text{ für } a \in \mathbb R \)
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(1) Multiplikation mit Variablem Ausdruck:\\
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dieser darf nicht 0 werden
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\( a=b \text{ und } c=d \)\\
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\( a+c = b+d \)
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\(3 \cdot x +3 = -5 \cdot x + 5\)
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\(\Rightarrow 2\cdot x^2 - 15 \cdot x - 63 = 0 \)
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|
\begin{enumerate}
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\item
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Mitternachtsformel:\( \qquad a \cdot x^2 + b \cdot x +c \)
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\( x_{1,2} = \frac{ - b \pm \sqrt{ b^2 - 4 \cdot a \cdot c } }{ 2 \cdot a } \)
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\( x_{1,2} = \frac{ 15 \pm \sqrt{ 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-63) } }{ 2 \cdot 2 } \)
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\( x_{1,2} = \frac{ 15 \pm \sqrt{ 225 + 504 } }{ 4 } \)
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\( x_{1,2} = \frac{ 15 \pm \sqrt{ 729 } }{ 4 } \)
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|
\( x_{1,2} = \frac{ 15 \pm 27 }{ 4 } \)
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\( x_1 = \frac{21}{2} = 10,5 \)
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\( x_2 = -3 \)
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|
\( \mathbb L = \{ \frac{21}{2} ; -3 \} \)
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\item
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\( (2 \cdot (x-10) - 1) \cdot (x+3) = 0 \)
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\( (2x -21) \cdot (x+3) = 0 \)
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|
\( 2 \cdot (x-10,5) \cdot (x+3) = 0 \)
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\end{enumerate}
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Allgemein: Ein Produkt ist 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
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\( a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0 \text{ oder } b = 0 \)
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Mehrere Faktoren:
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\( a \cdot b \cdot c = 0 \Leftrightarrow a = 0 \text{ oder } b = 0 \text{ oder } c = 0 \)
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Beweis:
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\( \quad (a \cdot b) \cdot c = 0 \)\\
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\( \Leftrightarrow (a \cdot b) = 0 \text{ oder } c=0 \)\\
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\( \Leftrightarrow a = 0 \text{ oder } b=0 \text{ oder } c=0 \)
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Aufsplittung quadratischer Polynome in Faktoren:
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sind \(x_1,x_2\) Lösungen von:
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\(a \cdot x^2 + b \cdot x +c = 0 \)
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dann gilt:
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\( a \cdot x^2 + b \cdot x + c = a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \)\\
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(Evtl. \(x_1 = x_2 \))
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\underline{Bsp.:}
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\( ( \underbrace{|x| + 1 }_{>0} ) \cdot ( \underbrace{x-1}_{0 \text{ für } x=1 } ) \cdot 2 \cdot \underbrace{x}_{0 \text{ für } x=0} \cdot 5 = 0 \)
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\( |x| = \begin{cases}
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-x& \text {für } x<0 \\
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x & \text{sonst}
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\end{cases} \)
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\( \mathbb L = \{ 0 ; 1 \} \)
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\section{Funktionen}
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Eine Funktion
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\( f\colon\, A \to B\) (von \(A\) nach \(B\))
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ordnet jedem Element \( x \in A\) genau ein Element in \(x \in B\) zu.
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\(A\) heißt Definitionsbereich\\
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\(B\) heißt Zielmenge/-Bereich
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wird \(x \in A\) das Element \(y \in B \) zugeordnet, schreibt man auch
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\(y = f(x) \)
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oder
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\(f\colon\, x \to y \)
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oder Veranschaulicht z.\,B. mit einem Mengenbild
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\underline{Bsp.:}\\
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\includegraphics{bilder/funktionen_mengenbild.pdf}
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\(f\colon\, \{ \text{Rafl}, \text{Peter}, \text{Maria}, \text{Leslie} \} \to \{ \text{m},\text{w} \} \)
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|
\( f\colon\, \text{Ralf} \to \text{m} \)
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|
\( f\colon\, \text{Peter} \to \text{m}\)
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\( f\colon\, \text{Maria} \to \text{w} \)
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oder:
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\( f(\text{Ralf}) = \text{m} \)
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\( f(\text{Leslie}) = \text{w} \)
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|
Vollständige Wertetabelle:
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\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
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\(x\) & Ralf & Peter & Maria & Leslie\\\hline
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\(f(x)\) & m & m & w & w
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\end{tabular}
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Funktionen die Zahlen auf Zahlen abbilden werden gerne durch eine Berechnungsvorschrift angegeben.
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\( f\colon\, \mathbb R \to \mathbb N \)
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\( f(x) = | \lceil x \rceil | \)
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z.\,B.: \(f(1) = 1 \qquad f(-\frac{3}{2}) = 1 \)
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2.
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\(f\colon\, \mathbb R \to \mathbb R \)
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\(f(x) = \begin{cases}0 & \text{für } x<0 \\
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|
x & \text{sonst}\end{cases} \)
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z.\,B. \( f(5) = 5, \qquad f(-5) = 0 \)
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|
Bei funktionen in der Analysis\\
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\hspace*{4mm} \(f\colon\, \mathbb R \to \mathbb R \)\\
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ergibt sich der Definitionsbereich \(\mathbb D(f) \) oft aus der Berechnungsvorschrift
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\underline{Bspe.:}
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\begin{multicols}{2}
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\( f_{(x)} = \sqrt{x} \)\\
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|
\( f_{(x)} = \frac{1}{1-x} \)\\
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|
\( f_{(x)} = \log_{10} x^3 \)
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|
\columnbreak\\
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|
\( \mathbb D(f) = {[0;\infty)} \)\\
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|
\( \mathbb D(f) = \mathbb R - \{1\} \)\\
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|
\( \mathbb D(f) = \{x \in \mathbb R | x > 0\} \)
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|
\end{multicols}
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|
\subsection{Injektiv}
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Eine Funktion \(f\colon\, A \to B \) heißt Injektiv, falls
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\hspace*{4mm} \( f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \)
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Bzw. äquivalent ausgedrückt:
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\hspace*{4mm} \( x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2) \)\\
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\hspace*{4mm} für alle \( x_1,x_2 \in A\) (Kontraposition)
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|
\underline{Bspe.:}
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|
\begin{multicols}{2}
|
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|
\includegraphics{bilder/injektiv_bsp.pdf}\\
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|
\(g\colon\, \mathbb N \rightarrow \mathbb Z \)\\
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|
\(g(x) = 2 \cdot x - 3 \)
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\columnbreak\\
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Nein, z.\,B.\\
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\(x_1 = 2; x_2 = 1\)\\
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|
\( f(1) = f(2) \text{ aber } 1 \ne 2 \)\\
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\begin{align*}
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|
\mathbb W &= \{ f(1), f(2), f(3) \}\\
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&= \{1,2\}
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|
\end{align*}
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|
|
\end{multicols}
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|
\begin{align*}
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|
g(x_1) &= g(x_2)\\
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2 \cdot x_1 -3 &= 2 \cdot x_2 - 3 &|+3\\
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|
\Leftrightarrow \quad 2 \cdot x_1 &= 2\cdot x_2 &| \cdot \frac{1}{2}\\
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|
\Leftrightarrow \quad x_1 &= x_2
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|
\end{align*}
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|
d.\,h. injektiv \(g(x_1) = g(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \)\\
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|
\begin{align*}
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\text{Wertebereich } \mathbb W(g) &= \{f(x) | x \in A \}\\
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f\colon\, A \rightarrow B &= \{ -3,-1,1,3,...\}\\
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&= \{ x \in \mathbb Z | x \ge -3 \text{ und } x \text{ ungerade}\}
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\end{align*}
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\subsection{Surjektiv}
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Eine Funktion heißt Surjektiv, falls \( \mathbb W(f) = B\)
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\includegraphics{bilder/surjektiv_bsp.pdf}
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\(F_Z\) ist surjektiv und injektiv.
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\subsection{Bijektiv}
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Eine Funktion \( f\colon\, A \mapsto B \) die surjektiv und bijektiv ist, ist \underline{bijektiv}.\\
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Eine bijektive Funktion \(f\colon\, A \mapsto B \) hat eine Umkehrfunktion \(f^{-1}\colon\, B \mapsto A \) mit
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\( f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y \)
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\( f\colon\, \{1,2,3\} \mapsto \{1,2,3\} \)
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\includegraphics{bilder/bijektiv_bsp.pdf}
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\end{document}
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