\section{Flüsse in Netzwerken}

\includegraphics{img/flussnetzwerk.pdf}

Ein \underline{Flussnetzwerk} besteht aus einem gerichteten Graph \(G=(V,E)\) und einer \underline{Kapazitätsfunktion} \(c: V\times V \to \mathbb R\) mit \(c(u,v) \ge 0 \forall u,v \in V\) und \(c(u,v) = 0\), falls \((u,v) \not\in E\).\\
Außerdem seien \(s\ne t \in V\) 2 ausgezeichnete Knoten. Dabei liege jeder Knoten auf einem Weg von \(s\) nach \(t\).

Ein \underline{Fluss (im Netzwerk)} ist eine Funktion \( f: V\times V \to \mathbb R\) mit folgenden Eigenschaften:

\begin{enumerate}
	\item \underline{Kapazitätsbedingung}: \(f(u,v) \le c(u,v) \forall u,v \in V\)
	\item \underline{Symmetriebedingung}: \(f(u,v) = -f(v,u) \forall u,v \in V\)\\
		Ein Fluss von z.\,B. 12 von $u$ nach $v$ ist auch ein Fluss von \(-12\) von $v$ nach $u$.
	\item \underline{Kirchhoffsches Gesetz}:\\
		\(\forall u\in V - \{s,t\}\)\\
		\(\sum\limits_{v\in V} f(u,v) = 0\)\\
		Bsp.: \(v: 12+(-11)+(-1) = 0\)
\end{enumerate}

\subsection{Wert des Flusses}

Der Wert des Flusses $f$ ist \( \|f\| = \sum\limits_{v\in V} f(s,v) \)\\
Kurzschreibweise sei \(X,Y \subseteq V\)\\
dann Def. \( f(X,Y) = \sum\limits_{x\in X} \sum\limits_{y\in Y} f(x,y) \)

\underline{Maximaler Fluss} berechnen:

Gegeben: \( G=(V,E), \  s,t \in V, c \)\\
Gesucht: Fluss $f$, so dass \(\|f\|\) maximal ist.


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