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	pdftitle={Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik},
	pdfsubject={Mitschrift der Vorlesung "Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik" an der HTW-Aalen, bei Herrn Fischer.},
	pdfauthor={Thomas Battermann},
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\title{Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik}
\author{Mitschrift von Thomas Battermann}
\date{3. Semester}

\begin{document}
	\pagestyle{empty}
	
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	\newpage
	\pagestyle{fancy}
	\setcounter{page}{1}

	Statistik:
	\begin{itemize}
		\item beschreibende Statistik\\
			\(\to\) Erfassung, Auswertung von Daten.\\
			(z.\,B. über Mittelwerte)
			\begin{itemize}
				\item oftmals keine Gesamterhebung (z.\,B. Wahl)
				\item sondern Stichproben (z.\,B. Hochrechnung, Umfragen vorab)\\
					Auswahl:
					\begin{itemize}
						\item Zufällig\\
							Qualitätstests
						\item gezielt (Repräsentative Stichprobe)\\
							z.\,B. Hochrechnung der Wahl
					\end{itemize}
			\end{itemize}
		\item beurteilende Statistik
			\begin{itemize}
				\item Rückschlüsse von Stichproben auf die Gesamtheit
				\item Tests \( \to \)
				\item[\(\to\)] Zufallseffekte
				\item[\(\to\)] Wahrscheinlichkeitsrechnung als Hilfsmittel
			\end{itemize}
	\end{itemize}
					

	\section{Wahrscheinlichkeitsrechnung}

		\subsection{Grundbegriffe}

		\subsubsection{Zufallsexperimente}
		\begin{itemize}
			\item Mehrere mögliche Ergebnisse\\
				{\color{orange}\bsp Würfeln \(\to\) 1,2,3,4,5,6}
			\item prinzipiell beliebig oft wiederholbar
			\item für die Ergebnisse lassen sich Wahrscheinlichkeiten angeben\\
				{\color{orange}\(\to\) jeweils \(\frac 1 6\)}
		\end{itemize}

		Überprüfung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe häufiger Wiederholungen des Experiments. {\color{orange}\bsp 1000 maliges Würfeln \(\to\) 160mal 1, 168mal 2, …}\\
		{\color{orange}Schätzwert für die W.: \(\frac{160}{1000} = 0,16 = \) relative Häufigkeit}\\
		{\color{orange}absolute Häufigkeit der 1 = 160}

		Man erhält W. aus den relativen Häufigkeiten, wenn die Anzahl der Wiederholungen gegen \(\infty\) geht.\\
		{\color{orange}W. für die 1 = \(0.1\overline{6}\)}

		\subsubsection{Begriffe, Bezeichnungen:}

		\underline{Ergebnisse} \( \omega_1, \omega_2, \omega_3, …\)

		\underline{Ergebnismenge:} \( \Omega = \{ \omega_1, \omega_2, \omega_3, … \} \) {\color{orange} \( \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\)}

		\underline{Ereignisse:} \( A,B,C,… \) sind Teilmengen von \(\Omega\)\\
		\spa meist zunächst verbal formuliert\\
		\spa {\color{orange}A: Es wird eine gerade Zahl gewürfelt.}\\
		\spa {\color{orange}\(\to A= \{2,4,6\} \) }

		\underline{Wahrscheinlichkeiten} für die Ergebnisse und die Ereignisse.\\
		\spa \(P(\omega_1), P(\omega_2), …\) und \(P(A), P(B), …\) (\(P\) für probalby)\\
		\spa {\color{orange} \(P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=\frac{1}{6} \)} (Lauter gleiche W. (Gleichverteilung))\\
		\spa {\color{orange} \( P(a) = \frac 3 6 = \frac 1 2 = 0,5 = 50\% \)}

		\bsp 2maliges Würfeln\\
		A: im 1. Wurf kommt 5\\
		B: Summe der Augen ist 7\\
		gesucht: \(\Omega, P(A), P(B) \)

		\( \Omega = \{ 11,12,,21,13,31,…,66\} \) W. jeweils  \( \frac 1 36 \)\\
		\( A = \{ 51,52,53,54,55,56 \} \)\\
		\( B = \{ 16,25,34,43,52,61 \} \)\\
		\( P(A) = \frac 1 6 \)\\
		\( P(B) = \frac 1 6 \)

		C: Summe der Augenzahlen ist 12\\
		\( C = \{ 66 \} \) \( P(C) = \frac 1 {36} \)

		\bsp 3-maliger Münzwurf\\
		Mit welcher w.\\
		(a) tritt keinmal Wappen auf?\\
		(b) tritt genau zweimal Wappen auf?

		\(\Omega = \{ ZZZ, ZZW, ZWZ, WZZ, ZWW, WZW, ZWW, WWW \} \)\\
		\( P(A) = \{ ZZZ \} = \frac 1 8 \)\\
		\( P(B) = \{ ZWW, WZW, WWZ \} = \frac 3 8 \)

		\subsubsection{Eigenschaften, Rechenregeln für W.}

		\( P(\Omega) = 1 \), \( P(\emptyset) = 0\), für jedes Ereignis A: \( 0 \le P(A) \le 1 \)

		Ereignis A \(\to\) Gegenereignis (Komplement) von A: \(\overline{A} = A^C\) mit \( P(\overline{A}) = 1-P(A) \)

		Schnitt von Ereignissen A und B: \( A \cap B \)

		Vereinigung von Ereignissen A und B: \( A \cup B \)\\
		\( P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \)\\

		Wenn A und B \underline{disjunkt} sind, dann ist \( P(A\cup B) = P(A)+P(B) \)

		P(\underline{entweder} A oder B) ) \( P(A) + P(B) - 2 \cdot P(A\cap B)\) \(( = P( (A\cap \overline{B}) \cup (\overline{A}\cap B) ))\)

		allgemeiner:\\
		\begin{align*}
			P(A \cup B \cup C) = &P(A) + P(B) + P(C) \\
			&+ P(A\cap B\cap C) \\
			&- P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C)
		\end{align*}

		allgemein (Siebformel oder Inklusions-Exklusions-Methode):
		\begin{align*}
			    &P(A_1 \cup A_2 \cup … \cup A_n)\\
			  = &P(A_1) + P(A_2) + … + P(A_n)\\
			  &-P(A_1 \cap A_2) - P(A_1 \cap A_2) -\\
			  &+ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) + …\\
			  &…\\
			  &+(-1)^{n+1} \cdot P(A_1 \cap A_2 \cap … \cap A_n )
		\end{align*}

		\bsp 100 maliges Würfeln. Mit welcher W. titt {\color{orange}\(\to 6^{100} \) mögliche Ergebnisse}\\
		\begin{itemize}
			\item[(a)] 100 mal 5 auf? { \color{orange}\( \frac 1 {6^{100}} \) }
			\item[(b)] keine 5 auf? { \color{orange} \( \left( \frac 5 6 \right)^{100} \) }
			\item[(c)] mindestens eine 5 auf? { \color{orange} \( 1- \left( \frac 5 6 \right)^{100} \) }
			\item[(d)] genau eine 5 auf? { \color{orange} \( \frac 1 6 \cdot  \left( \frac 5 6 \right)^{99} \cdot 100 \) }
		\end{itemize}


\end{document}
