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		pdftitle={Mathevorkurs für Informatik},
		pdfsubject={Mitschrift des Mathematikvorkurses},
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\title{Mathevorkurs für Informatik}
\author{Mitschrift von Thomas Battermann}
\date{21. - 30. September 2010}
\begin{document}
 
\maketitle
\tableofcontents

\newpage

%%% 21. September %%%

\section{Einleitung}

\textbf{Modelieren}\\
\hspace*{5mm} von Aufgabenstellungen/Problemen\\
\textbf{Spezifizieren}\\
\hspace*{5mm} Was soll/muss das Programm können\\
\textbf{Verifizieren}\\
\hspace*{5mm} Zeigen, das ein Programm/Algorithmus bestimmte Eigenschaften erfüllt.\\

\noindent\underline{Zum Lernen:}\\
\begin{itemize}
	\item Mathematik ist Übungssache
	\item In Vorlesungen wird wenig geübt\\
		\(\Rightarrow\) Selbst üben
	\item Prüfungen gleich nach Vorlesungsende\\
		\(\Rightarrow\) regelmäßig üben! Vorlesungsbegleitend\\
		Etwa 1h pro Vorlesungsstunde
	\item Arbeitsmöglichkeit schaffen
	\item In der Mathematik:\\
		Aussagen werden bewiesen
\end{itemize}

\section{Natürliche Zahlen}

\hspace*{5mm}\(0,1,2,3,4,...\)\\
\hspace*{5mm}dienen zum Zählen\\

\subsection{Axiome}

\begin{enumerate}
	\item 0 ist eine natürliche Zahl
	\item Jede natürliche Zahl hat einen eindeutigen Nachfolger: \(s_{(n)}\) ist nachfolger\\
		\(0, s_{(0)}, s_{(s_{(0)})}, s_{(s_{(s_{(0)})})}, ...\)
	\item 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl\\
		\begin{multicols}{2}
			\( \forall n \in \mathbb N\)
			\columnbreak\\
			\(s_{(n)} \ne 0\)
		\end{multicols}
	\item Ist der Nachfolger von \(n\) gleich dem Nachfolger von \(m\), dann gilt \(n = m\)\\
		\begin{multicols}{2}
			\( \forall n,m \in \mathbb N\)
			\columnbreak\\
			\(s_{(n)} = s_{(m)} \Rightarrow m = n\)
		\end{multicols}
	\item Induktionsprinzip:\\
		Ist \(M\) eine Menge von natürlichen Zahlen und gilt folgendes:
		\begin{itemize}
			\item[-] \(0 \in M \)
			\item[-] Falls \(n \in M\) ist auch \( s_{(n)} \in M \)\\
				(für jedes \(n\))
		\end{itemize}
		Dann ist \( M \in \mathbb N\)
\end{enumerate}

\underline{Satz:} Es gibt keine größte natürliche Zahl\\
\underline{Def.:}Eine Zahl ist am größten, wenn sie keinen Nachfolger hat\\
\underline{Beweis:} Folgt direkt Axiom 2

\section{Addieren, Multiplizieren, Potenzieren}

\underline{Def.:} \( a + b = `a + 1 + 1 + ... + 1' = s_{(s_{(...s_{(0)}...)})} \)\\
Genauer, rekursive Definition:
\begin{multicols}{2}
		\( a + 0 = a\)\\
		\(a + s_{(n)} = s_{(a+n)} \)
	\columnbreak\\
		Basisfall\\
		Rekursionsfall
\end{multicols}

\underline{Bsp.:}\\
\begin{tabular}{rcl}
	\( s_{(0)} + s_{(s_{(0)})} \) & \( = \) & \( s_{(s_{(0)} + s_{(0)} )} \)\\
	& \( = \) & \( s_{( s_{( s_{( 0 )} +0 )} )} \)\\
	& \( = \) & \( s_{( s_{( s_{( 0 )} )} )} \)
\end{tabular}


\subsection{Rekursive Definitionen}

\underline{Bsp.:}\\
\begin{multicols}{2}
		\( f_{(0)} = 0 \)\\
		\( f_{(n+1)} = f_{(n)} + f_{(n)} \)
	\columnbreak\\
		\\
		für \( n \ge 0\)
\end{multicols}

\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c}
	\( n \) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & ...\\
	\hline
	\( f_{(n)} \) & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & ...\\
\end{tabular}
\vspace*{4mm}\\
\(f_{(1)} = f_{(0+1)} = f_{(0)} + f_{(0)} = 1 + 1 = 2 \)\\
\(f_{(2)} = f_{(1+1)} = f_{(1)} + f_{(1)} = 2 + 2 = 4 \)\\
\(f_{(3)} = f_{(2+1)} = f_{(2)} + f_{(2)} = 4 + 4 = 8 \)\\
\(f_{(4)} = f_{(3+1)} = f_{(3)} + f_{(3)} = 8 + 8 = 16 \)\\
\(f_{(5)} = f_{(4+1)} = f_{(4)} + f_{(4)} = 16 + 16 = 32 \)\\

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
		Geschlossene Form\\
		\(f_{(n)} = 2^n \)\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Rechengesetze für + und -}

Folgen aus Definition und Axiomen

\begin{multicols}{2}
		\( a+b=b+a\)\\
		\( a+(b+c) = (a+b)+c\)\\
		\(a \cdot b = b \cdot a\)\\
		\(a \cdot ( b \cdot c ) = (a \cdot b) \cdot c\)\\
		\(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\)\\
		\(0+a=a\) und \(1 \cdot a = a\)
	\columnbreak\\
		Kommutativgesetz der Addition\\
		Assoziativgesetz der Addition\\
		Kommutativgesetz der Multiplikation\\
		Assoziativgesetz der Multiplikation\\
		Distributivgesetz\\
		Neutrale Elemente
\end{multicols}

\subsection{Def.: Multiplikation}

\(a \cdot b = 0 + b + ... +b\)\\
\\
Rekursiv:\\
\( 0 \cdot b = 0 \)\\
\( s_{(n)} \cdot b = ( n + 1 ) \cdot b = b + n \cdot b \)\\

\subsection{Potenzieren}

\(a^b = a \cdot ... \cdot a\) \\

\textbf{Rekursive Definition}

\(a^1 = a\)\\
\(a^{n+1} = a \cdot a^n\)

\section{Rechengesetze}

\(a+b=b+a\)

Die beiden Ausdrücke liefern den selben Wert, egal welche Zahlen für \(a\) ound \(b\) eingesetzt werden.

Anwendung der Rechengsetze zur Manipulation von Arithmetischen Ausdrücken\\
\begin{tabular}{rcl}
	\(2 \cdot (( a+b)+c)\) & \(=\) & \(2 \cdot (a+(b+c)) \)\\
	& \(=\) & \( 2 \cdot (a+(c+b)) \)\\
	& \(=\) & \( 2 \cdot ((a+c)+b) \) \\
	& \(=\) & \( 2 \cdot ((c+a)+b) \) \\
	& \(=\) & \( 2 \cdot (c+a) + 2 \cdot b\)) \\
	& \(=\) & \( 2 \cdot c + 2 \cdot a + 2 \cdot b\)\\
\end{tabular}

\textbf{Abgeleitete Gesetze:}\\
\begin{tabular}{rcl}
	\( (a+b)^2\) & \(=\) & \( (a+b) \cdot (a+b)\) \\
	 & \(=\) & \( a \cdot (a+b) + b \cdot (a+b) \)\\
	 & \(=\) & \(a^2 + a \cdot b + a \cdot b + b^2\)\\
	 & \(=\) & \(a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2\)\\
\end{tabular}

\section{Arithmetische Ausdrücke}

\underline{Def.:}\\
\textbf{Basisfall:}
\begin{itemize}
	\item Jede Variable ist ein arithmetischer Ausdruck (Bsp.: \(a,b,c,x,y,z,a_1,a_2,a_3,...\))
	\item Jede Zahl ist ein Arithmetischer Ausdruck
\end{itemize}
\textbf{Rekursionsfall:}\\
Sind \(x\) und \(y\) arithmetische Ausdrücke, dann auch
\begin{itemize}
	\item \((x+y)\)
	\item \((x \cdot y)\)
	\item \((x^y)\)
\end{itemize}

\underline{Bsp.:}\\
\( (( a+2) \cdot c ) \)\\
\begin{multicols}{2}
	\begin{tabular}{rl}
		\(x=\) & \(a\) \\
		\(y=\) & \(2\)
	\end{tabular}
	\columnbreak\\
	A.A. (Basisfall)\\
	A.A. (Basisfall)
\end{multicols}
\(\Rightarrow \quad (x+y) = (a+2) \quad \) ist A.A. (Rekursion)\\
\begin{multicols}{2}
	\begin{tabular}{rl}
		\(x=\) & \(a+2\) \\
		\(y=\) & \(c\)
	\end{tabular}
	\columnbreak\\
	\\
	A.A. (Basisfall)
\end{multicols}
\(\Rightarrow \quad (x+y) = ((a+2) \cdot c) \quad \) ist A.A. (Rekursion)\\

Mit der (Potenzieren-vor-) Punkt-vor-Strich-Regel kann man Klammern einsparen\\
\underline{Bsp.:}\\
\(2 \cdot 5 + 2 \cdot 3^2 \)\\
steht für: \( (2 \cdot 5) + (2 \cdot (3^2)) = 28 \)\\
\( \neq 2 \cdot ( 5 + ( 2 \cdot (3^2))) = 46\)\\
\\
\((2 \cdot (3+5)) \cdot 7 = 112 \)\\
\(2 \cdot ((3+5) \cdot 7) = 112 \)\\
\(2 \cdot (3+5) \cdot 7 = 112 \)\\

Das AG für \(+\) und \( \cdot \) erlaubt, dass Klammern bei gleichrangigen Operationen weggelassen werden können, ohne das Ergebnis zu verändern.\\

Variablen in Arithmetischen Ausdrücken sind Platzhalter von Zahlen.\\

%%% 22. September 2010 %%%

\section{Distributivgesetz "`rückwärts"'}
 
\subsection{Ausklammern}

\(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot ( b + c )\)
 
\subsection{Vieta}
 
\(( a + a_1 ) \cdot ( a + a_2 ) = a^2 + ( a_1 + a_2 ) \cdot a + a_1 \cdot a_2 \)

\section{Rechengesetze fürs Potenzieren}

\begin{multicols}{2}
	\begin{itemize}
		\item[(I)]   \(a^0 = 1\)
		\item[(II)]  \(a^{n+1} = a \cdot a^n\)
		\item[(III)] \(a^n \cdot a^m = a^{n \cdot m}\)
		\item[(IV)]  \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)
		\item[(V)]   \( (a^n)^m = a^{n \cdot m}\)
	\end{itemize}
\columnbreak
	\begin{itemize}
		\item[] (evtl. \(a = 0\) ausschließen)
		\item[] (Spezialfall von (III), \(m = 1\))
		\item[] gleiche Basis
		\item[] gleicher Exponent
		\item[] 
	\end{itemize}
\end{multicols}

\section{Primzahlen}

Eine Zahl \(c\) mit
\begin{multicols}{2}
		\(c = a \cdot b\)
	\columnbreak\\
		(für \(a,b \in \mathbb N\))
\end{multicols}
heißt vielfaches von a und b heißt Teiler von c (\(c = a \cdot b\) bedeutet \(c\) kann als Rechteck mit Seitenlängen \(a\) und \(b\) gelegt werden)\\
\\
\underline{Bsp.:} \(6 = 2 \cdot 3\)\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}
	\hline&&\\
	\hline&&\\
	\hline
\end{tabular}
\\
\\
Eine Primzahl ist eine Zahl \(p >= 2\), falls für alle \(a,b \in \mathbb N\) mit \(a \cdot b = p\) gilt \(a=1\) oder \(b = 1\)\\
(Primzahlen können nur als `triviale' Rechtecke gelegt werden, d.\,h. eine Zeile oder eine Spalte)

Primzahlen sind `Atome' bei der Zerlegung in Faktoren.\\
Jede Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.\\
\(\Rightarrow\) Primfaktorzerlegung\\
\underline{Bsp.:} \( 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3\)

\section{Summenschreibweise}

Sind \(a_1,...,a_n\) arithmetische Ausdrücke, dann schreibt man für \(a_1 + ... + a_n\) auch kurz:
\begin{multicols}{2}
		\( \sum\limits_{i=1}^{n} a_i \)
	\columnbreak\\
		(Summe von \(i=1\) bis \(n\) \hspace*{4mm} \(a_i\))
\end{multicols}

\underline{Bsp.:}\\
\( \sum\limits_{i=1}^{5} 3 = 3+3+3+3+3 = 5 \cdot 3 = 15 \)\\
\( \sum\limits_{i=1}^{5} i = 1+2+3+4+5 = 15 \)

\subsection{Rekursive Definition}

\( \sum\limits_{i=1}^{0} a_i = 0 \)\\
\( \sum\limits_{i=1}^{n+1} a_i = ( \sum\limits_{i=1}^{n} ai ) + a_{n+1} \)

%%% 23.09.2010 %%%

\section{Ganze Zahlen}

\hspace{4mm} \(x + 1000 = 0\)\\[2mm]
Diese Gleichung hat keine Lösung. Bzw.\\[2mm]
\hspace*{4mm} \(x + n = 0\)\\[2mm]
hat keine Lösung für \(n \in \mathbb N , n \ne 0\)\\[4mm]

\begin{tabular}{ll}
	\(\rightsquigarrow\) & Neue Zahlen \hspace{4mm} \(-n\) für \(n \in \mathbb N\)\\
	& mit\\
	& \hspace{4mm} \(-n + n = 0\)\\
	\(\Rightarrow\) & \(-0 = 0\)\\
	\(\rightsquigarrow\) & Ganze Zahlen\\
	& \hspace{4mm}\(\mathbb Z = \{ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}\)\\
\end{tabular}

Alle Rechengesetze gelten weiterhin!

\subsubsection{Neues Rechengesetz:}
\begin{multicols}{2}
	\begin{tabular}{|c|}
		\hline
		\( (-a) + a = 0 \)\\
		\hline
	\end{tabular}
	\columnbreak\\
	 Inverses für Addition
\end{multicols}

Was ist \(-(-a))\)?\\

\begin{tabular}{rclcl}
	\(-(-a))\) & \(=\) & \(-(-a) + 0\) & \hspace{1cm} & (Neutrales Element +)\\
	& \(=\) & \( -(-a) + ((-a) + a) \) & \hspace{1cm} & (Inverses +)\\
	& \(=\) & \( (-(-a) + (-a) ) +a \) & \hspace{1cm} & (AG+)\\
	& \(=\) & \( 0 + a \) & \hspace{1cm} & (Inverses +)\\
	& \(=\) & \(a\) & \hspace{1cm} & 
\end{tabular}

\begin{multicols}{2}
	\(-(-a) = a \)
	\columnbreak\\
	(Abgeleitetes Rechengesetz)
\end{multicols}



Was ist \( a \cdot (-1) = (-1) \cdot a\) ?\\

\begin{tabular}{rclcl}
	\( a \cdot (-1)\) & \(=\) & \( a \cdot (-1) + ( a + (-a)) \) & \hspace{1cm} & (NE+, I+)\\
	& \(=\) & \( (a \cdot (-1) + a) +(-a) \) & \hspace{1cm} & (AG+, NE\(\cdot\))\\
	& \(=\) & \( a \cdot (-1+1)+(-a) \) & \hspace{1cm} & (DG)\\
	& \(=\) & \( a \cdot 0 + (-a) \) & \hspace{1cm} & (I+)\\
	& \(=\) & \(0 + (-a)\) & \hspace{1cm} & \\
	& \(=\) & \(-a\) & \hspace{1cm} & 
\end{tabular}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\(a \cdot (-1) = -a\)\\
	\hline
\end{tabular}

\begin{itemize}
	\item[\textbf{Regel:}] \( + \cdot +\) ist \(+\)
	\item[] \( + \cdot -\) ist \(-\)
	\item[] \( - \cdot -\) ist \(+\)
\end{itemize}

\begin{tabular}{rcl}
	\((-1) \cdot (-1)\) & \(=\) & \( -(-1)\)\\
	&\(=\) & \(1\)
\end{tabular}

\subsection{Neue Operation: Subtraktion}

\hspace{4mm} \(a-b = a + (-b)\)

AG gilt nicht bei \(-\)

\begin{tabular}{rcl}
	\( (1-2)-3 \) & \(=\) & \( -4\)\\
	\( 1-(2-3) \) & \(=\) & \( 1-(-1) = 2 \)\\
	\(1-2-3\) & \( = \) & \( (1-2)-3 \)
\end{tabular}

Bei Ausdrücken ist ohne Klammern:\\
\hspace{3mm}Default ist Linksseitige Klammerung (Rechnen von Links nach Rechts)

Bemerkung:\\[2mm]
\hspace{3mm} \( x = a-b\)\\[2mm]
ist Lösung der Gleichung\\[2mm]
\(x+b=a\)

Was ist -(a-b) ?

\begin{tabular}{rcl}
	\(-(a-b)\) & \(=\) & \( (-1) \cdot (a-b)\)\\
	& \(=\) & \((-1) \cdot a + (-1) \cdot (-b)\)\\
	& \(=\) & \( -a + (-(-b)) \)\\
	& \(=\) & \(-a + b) \)
\end{tabular}

Bei Negierung einer Klammer wird \(+\) und \(-\) vertauscht.

Entsprechendes bei Subtraktion einer Klammer:

\begin{tabular}{rcl}
	\( a-(b-c) \) & \(=\) & \( a+(-(b-c)) \)\\
	& \(=\) & \( a+(-b+c) \)\\
	& \(=\) & \( a-b+c \)
\end{tabular}

\begin{tabular}{cl}
	& \( a-(b-(c-(d-e))) \) \\
	\(=\) & \( a-b+(c-(d-e))\) \\
	\(=\) & \( a-b+c-d+e\)
\end{tabular}

\section{Rationale Zahlen}

Gleichung:\\[2mm]
\hspace*{4mm} \(x \cdot a = 1\)\\[2mm]
hat keine Lösung \( x \in \mathbb Z \) für \( a \ne 1 \)

Idee, führe \(\frac{1}{a}\) ein für \( a\ne 0\)\\
mit \( \frac{1}{a} \cdot a = 1\)

\subsubsection{Neues Rechengesetz:}

\begin{multicols}{2}
	\(\frac{1}{a} \cdot a = 1\)
	\columnbreak\\
	Multiplikatives Inverses (I\(\cdot\))
\end{multicols}
für \(a \ne 0\)

Schreibweise:

\( b \cdot \frac{1}{a} = \frac{b}{a} \)\\
Oben: Zähler; Unten: Nenner

Alle anderen Rechengesetze sollen weiter gelten.

\( \frac{1}{1} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1 \)

Rechengesetze (abgeleitet) fürs Bruchrechnen

\subsection{Multiplikation von Brüchen}

\( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)

\begin{tabular}{rclcl}
	\( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\) & \(=\) & \( a \cdot \frac{1}{b} \cdot c \frac{1}{d} \) & \hspace*{10mm} & Def. Bruch\\[1mm]
	& \(=\) & \( a \cdot c \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{d} \cdot 1 \) & \hspace*{10mm} & KG\(\cdot\), NE\(\cdot\)\\[1mm]
	& \(=\) & \( a \cdot c \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{d} \cdot (b \cdot d \cdot \frac{1}{b \cdot d} ) \) & \hspace*{1cm} & I\(\cdot\)\\[1mm]
	& \(=\) & \( a \cdot c \cdot (\frac{1}{b} \cdot b) \cdot (\frac{1}{d} \cdot d) \cdot \frac{1}{b \cdot d} \)& \hspace*{1cm} & KG\\[1mm]
	& \(=\) & \(a \cdot c \cdot \frac{1}{b \cdot d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \) & \hspace*{1cm} & Def. Bruch
\end{tabular}

\subsection{Erweitern/Kürzen}

\( \frac{a}{b} = \frac{c \cdot a}{c \cdot b} \) \hspace*{1cm} für \(c \ne 0\)

\(\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} \cdot c = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{c} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} \)

\(\frac{2}{3} = \frac{10}{15} \) \hspace*{1cm} Bruchdarstellung nicht eindeutig!

Eindeutige Darstellung: gekürzte Brüche\\
Ein Bruch heißt \underline{gekürzt}, wenn Zähler und Nenner als gemeinsamen Teiler nur die 1 haben.

\begin{multicols}{2}
	Teiler von 2: \underline{1}, 2\\
	Teiler von 3: \underline{1}, 3
	\columnbreak\\
	Teiler von 10: \underline{1}, 2, \underline{5}, 10\\
	Teiler von 15: \underline{1}, 3, \underline{5}, 15
\end{multicols}

\underline{ggT:} größer gemeinsamer Teiler\\[3mm]
\hspace*{4mm} \( ggT(10,15) = 5 \)\\
\hspace*{4mm} \( ggT( 2, 3) = 1 \)\\[3mm]
D.\,h. Bruch \(\frac{a}{b}\) gekürtzt, falls \( ggT(a,b) = 1\)

\(\frac{a}{b} = \frac{a : ggT(a,b)}{b : ggT(a,b)} \quad \Leftarrow\) gekürzter Bruch

\subsection{Addition von Brüchen}

\subsubsection{Addition von gleichnamigen Brüchen}

\( \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)

\( \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = a \cdot \frac{1}{c} + b \cdot \frac{1}{c} = (a+b) \cdot \frac{1}{c} = \frac{a+b}{c} \)


\subsubsection{Addition von ungleichnamigen Brüchen}

\( \frac{a}{c} + \frac{b}{d} = \frac{a \cdot d}{c \cdot d} + \frac{b \cdot c}{d \cdot c} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{ d \cdot c } \)

\underline{Bsp.:}\\
\begin{tabular}{rcl}
	\( \frac{2}{10} + \frac{7}{12}\) & \(=\) & \( \frac{3 \cdot 12 + 7 \cdot 10}{120} \) \\[2mm]
	& \(=\) & \( \frac{36 + 70}{120} = \frac{106}{120} = \frac{53}{60} \)
\end{tabular}

\begin{itemize}
	\item[\(kgV(n,m)\)] kleinstes gemeinsames Vielfaches von n und m
	\item[\(kgV(n,m)\)] \(= \frac{n \cdot m}{ggT(n,m)}\)
\end{itemize}

\( \frac{a}{c} + \frac{b}{d} = \frac{a \cdot \frac{kgV(c,d)}{c}}{kgV(c,d)} + \frac{b \cdot \frac{kgV(c,d)}{d}}{kgV(c,d)} \)


%%% 24.09.2010 %%%

\subsection{Potenzrechnung mit Brüchen}

\subsubsection{Exponent von $n \in \mathbb N$}

\((\frac{a}{b})^n = \underbrace {\frac{a}{b} \cdot ... \cdot \frac{a}{b}}_{n-mal} = \frac{\overbrace {a \cdot ... \cdot a}^{n-mal}}{\underbrace {b \cdot ... \cdot b}_{n-mal}} = \frac{a^n}{b^n}\)

Bsp.: \( \frac{a^3}{b^5} = \frac{1}{b^2} \cdot ( \frac{a}{b} )^3\)

\subsubsection{Exponent von $n \in \mathbb N$}

\(a^{-1}\)

\(a^{-1} \cdot a^{1} = a^{-1+1} = a^0 = 1\quad \text{für } a \ne 0\)

\( \frac{1}{a} \) ist das \(x\) mit \( x \cdot a = 1 \)

\( \Rightarrow \frac{1}{a} = a^{-1} \)

\( (\frac{a}{b})^{-1} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} \)

\( a^{-n} = a^{(-1) \cdot n} = (a ^{(-1)} )^n = (\frac{1}{a})^n = \frac{1}{a^n} \)

\( (-a)^n = ((-1) \cdot a)^n = (-1)^n \cdot a^n \)

\( (-1)^n = \overbrace {(-1) \cdot (-1)}^{1} \cdot ... \cdot \overbrace {(-1) \cdot (-1)}^{1} = \begin{cases}
	-1, & \text{wenn } n \text{ ungerade}\\
	1, & \text{wenn } n \text{ gerade}
\end{cases}\)

\section{Stellenwertsystem}

Zahlendarstellung auch hintereinandergeschriebene Ziffern.\\
Wert der Ziffern von Position abhängig

\begin{tabular}{lccccc}
	Bsp.: & 7 & 0 & 3 & 7 & 1\\
	& \(10^4\) & \(10^3\) & \(10^2\) & \(10^1\) & \(10^0\)
\end{tabular}

Wert (dargestellte Zahl):

	\( \quad 7 \cdot 10^4 + 0 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0\)

Basis b

b Ziffern \( \quad Z_0, ... Z_{b-1} \)

mit Wert \( w_{(Z_0)} = 0, ... w_{(Z_{b-1})} = b-1 \)

Bsp.:
\hspace*{6mm} \( b = 10\)\\
\hspace*{6mm} Ziffern \( '0','1',...,'9'\)\\
\hspace*{6mm} 	Wert \( 0,1,...,9\)

\hspace*{3mm} 2er-System:\\
\hspace*{6mm} \( b = 2\)\\
\hspace*{6mm} Ziffern \( '0','1'\)\\
\hspace*{6mm} 	Wert \( 0,1\)

\hspace*{3mm} 16er-System:\\
\hspace*{6mm} \( b = 16\)\\
\hspace*{6mm} Ziffern \( '0',...,'9','a',...,'f'\)\\
\hspace*{6mm} 	Wert \( 0,...,9,10,...,15\)


Im System mit Basis b steht die Ziffenfolge

	\(Z_{a_k} Z_{a_{k-1}} ... Z_{a_0} \)

für die Zahl

	\(a_k \cdot b^k + a_{k-1} \cdot b^{k-1} + ... + a_0 \cdot b^0 \)
	\( = \sum_{i=0}{k} a_i \cdot b^i\)

Bsp.:

\begin{tabular}{rcl}
	\( ( 1 A F )_{16}\) & \(=\) & \( 16^2 + 160 + 16 \) \\
	& \(=\) & \(156 + 160 + 15\) \\
	& \(=\) & \(431\)
\end{tabular}

\subsection{Nachkommastellen}

\(Z_k, ... , Z_1 , Z_0 \text{\textbf{ , }} Z_{-1} , ... \)

hat wer

	\( a_k \cdot b^k + ... + a_1 \cdot b^1 + a_0 \cdot b^0 + a_{-1} \cdot b^{-1} + ... \)

Bsp.:\\
\(1,5 = 1 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-1} = 1 + \frac{5}{10} = \frac{3}{2} \)

\( (1,1)_2 = 1 \cdot 2^0 + 1 \cdot 2^{-1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)

\subsection{Zählen}

\(199 +1 = 200\)

\(10111)_2 = (11000)_2 \)

\subsection{Addition, Multiplikation}

\subsubsection{Schriftlich Addieren}

\begin{multicols}{2}
	10er-System:

	\begin{tabular}{ccccc}
		5&4&3&1&1\\
		 &2&1&8&9\\
		&&\tiny{1}&\tiny{1}&\\
		5&6&5&0&0
	\end{tabular}
	\columnbreak\\
	10er-System:

	\begin{tabular}{cccccccc}
		&1&0&1&1&0&1&1\\
		&&1&1&0&0&0&1\\
		\tiny{1}&\tiny{1}&\tiny{1}& & &\tiny{1}&\tiny{1}&\\
		1&0&0&0&1&1&0&0
	\end{tabular}
\end{multicols}

\subsubsection{Schriftliche Multiplikation}

\begin{multicols}{2}
	10er-System:

	\begin{tabular}{ccccccccc}
		5&4&4&1&\(\cdot\)&1&2&0&3\\
		\hline
		&&5&4&4&1\\
		&&1&0&8&8&2\\
		&&&&&&0\\
		&&&&1&6&3&2&3\\
		&&&\tiny{1}&\tiny{1}\\
		\hline
		&&6&5&4&5&5&2&3\\
	\end{tabular}
	\columnbreak\\
	2er-System:

	\begin{tabular}{ccccccccccc}
		1&0&0&1&1&0&\(\cdot\)&1&0&1&1\\
		\hline
		&&1&0&0&1&1&0\\
		&&&&&&&&0\\
		&&&&1&0&0&1&1&0\\
		&&&&&1&0&0&1&1&0\\
		&&&\tiny{1}&\tiny{1}&\tiny{1}&\tiny{1}&\tiny{1}\\
		\hline
		&&1&1&0&1&0&0&0&1&0
	\end{tabular}
\end{multicols}

\subsection{Dividieren}

	\( a : b \)\\
	\( a \rightarrow\) Divident \\
	\( b \rightarrow\) Divisor

Im Prinzip durch Sukzessives Subtrahieren. Divisor wird dabei möglichst hoch gewichtet.

Bsp:\\
\begin{tabular}{cccccccccc}
	\hspace*{4mm}&4&5&0&:&1&5&=&3&0\\
	&4&5&0&\\\cline{2-4}
	&&&0
\end{tabular}

\begin{tabular}{lcccccccccccc}
	\cline{8-13}
	\hspace*{4mm}&1&:&7&=&0&,&1&4&2&8&5&7\\
	&0\\\cline{2-2}
	&1&0\\
	&&7\\\cline{2-3}
	&&3&0\\
	&&2&8\\\cline{3-4}
	&&&2&0\\
	&&&1&4\\\cline{4-5}
	&&&&6&0\\
	&&&&5&6\\\cline{5-6}
	&&&&&4&0\\
	&&&&&3&5\\\cline{6-7}
	&&&&&&5&0\\
	&&&&&&4&9\\\cline{7-8}
	&&&&&&&1&0
\end{tabular}

\section{Polynom}

Arithmetischer Ausdruck

\(a_k \cdot x^k + ... + a_1 \cdot x1 + a_0 \quad \text{mit } a_i \in \mathbb Q \text{später }\mathbb R\text{)} \)

heißt Polynom x von Grad k \( \quad a_k \ne 0 \)

\( = \sum_{i=0}^{k} a_i \cdot x^i \)

Analogie zur Zahlendarstellung:\\
\hspace*{3mm} Variable x = Basis b\\
\hspace*{3mm} Ziffern sind beliebige Zahlen

\subsection{Polynommultiplikation}

\begin{tabular}{ccccccccccccccc}
	( & $x^3$ & $+$ & $0x^2$ & $+$ & $5x$ & $-$ & $1$ & ) \(\cdot\) ( & $x^2$ & $-$ & $2x$ & $-$ & $1$ &)\\
	\hline
	&&&$x^5$&$+$&$0$&$+$&$5x^3$&$-$&$x^2$\\
	&&&&$-$&$2x^4$&$+$&$0$&$-$&$10x^2$&$+$&$2x$\\
	&&&&&&$-$&$x^3$&$+$&$0$&$-$&$5x$&$+$&$1$\\
	\hline
	&\(=\)&&\(x^5\)&\(-\)&$2x^4$&$+$&$4x^3$&$-$&$11x^2$&$-$&$3x$&$+$&$1$
\end{tabular}

\subsection{Polynomdivision}

Division \( p_{(x)} : q_{(x)} \)

\begin{tabular}{l}
	Solange \( Grad( p_{(x)} ) => Grad( q_{(x)} ) \)\\[2mm]
	\begin{tabular}{|l}
		Bestimme \(a \cdot x^l \) so, dass\\
		\(r_{(x)} = p_{(x)} - a ¸cdot x^l \cdot q_{(x)} \) \\
		kleineren Grad hat als \( p_{(x)} \)\\
		Output „\(a \cdot x^l + \)“\\
		\(p_{(x)} = r_{(x)} \)
	\end{tabular}\\[2mm]
	Wenn \( p_{(x)} \ne 0\) dann:\\
	\( \quad \text{Output } \frac{p_{(x)}}{q_{(x)}} \)
\end{tabular}

\underline{Bsp.:}

\begin{tabular}{rcccccccl}
	 \((\) & \(x^3\) & \(+\) & \(0 \cdot x^2\) & \(+\) & \(5 \cdot x\) & \(-\) & \(1\) & \( ) : (x^2 - 2\cdot x - 1) = x + 2 + \frac{10 \cdot x + 1}{x^2 - 2 \cdot x - 1}\)\\
	\(-(\) & \(x^3\) & \(-\) & \(2 \cdot x^2\) & \(-\) & \(x\) &&& \()\)\\\cline{2-8}
	\( (\) & \(0\) & \(+\) & \(2 \cdot x^2 \) & \(+\) & \(6 \cdot x\) & \(-\) & \(1\) & \()\)\\
	\(-(\) &&&\(2 \cdot x^2\) & \(-\) & \( 4 \cdot x\) & \(-\) & \(2\) & \()\)\\\cline{2-8}
	&&&& \(+\) & \(10 \cdot x \) & \(+\) & \(1\)
\end{tabular}

\section{Reele Zahlen $\mathbb R$}

rationale Zahlen:\\
\hspace*{4mm} Darstellung als endliche oder periodische Dezimalbrüche

\underline{Bsp.:}\\
	\(\frac{1}{7}\)

	\(3,0 \quad 3,1\overline{0} \approx 3,0\overline{9} \)

	Nicht periodische Dezimalbrüche\\
	Bsp.:\\
		\( 1,10100100010000... \)\\
	ist nicht rational\\
	\( \rightarrow \) irrationale Zahlen

reele Zahlen: rationale und irrationale Zahlen

%%% 27.09.2010 %%%

\section{Brüche im Exponent}

Was ist \( a^\frac{1}{b}\) ?

Potenzregel: \( (a^m)^n = a^{n \cdot m} \)

\( n = b; \quad m = \frac{1}{b} \quad \text{für } b \ne 0 \)

\( (a^\frac{1}{b})^b = a^{b \cdot \frac{1}{b}} = a \)

Idee: \( a^\frac{1}{b}\) ist Lösung von

	\( x^b = a \)

	\underline{Bsp.:} \( x^3=27 \quad b=3; a=27; Lsg.: x=3 \)

\textbf{Probleme:}\\[2mm]
\begin{enumerate}
	\item Manchmal gibt es mehrere Lösungen: \\[2mm]
		\(x^2 = 4 \quad ; \text{Lsg.:} x_1 = 2 \text{ und } x_2 = -2 \)\\[2mm]
		\(4^\frac{1}{2} = ? \)\\[2mm]
		\(\rightarrow\) Positive Lösung, d.\,h. \(4^\frac{1}{2} = 2 \)
	\item Manchmal gibt es keine Rationale Lösung\\[2mm]
		\underline{Bsp.:} \(b=2 \quad a=3\)\\[2mm]
		\(x^2 = 3\)\\[2mm]
		hat keine Rationale Lösung\\
		Annäherung durch Rationale Zahlen:\\[2mm]
		\( \quad 1 < x < 2 \) \\[2mm]
		\( \quad 1,7 < x < 1,8 \)\\[2mm]
		\( \rightarrow \) Irrationale Zahl\\[3mm]
		\( \rightarrow \) reele Zahlen
	\item \( b < 0 \rightarrow \)  keine Reele Lsg.\\[2mm]
		\(x^2 = -1\)\\[2mm]
		\(\rightarrow\) neue Zahlen: \( \mathbb C \) (komplexe Zahlen)\\[1mm]
		\underline{Bsp.:} \( 2+\sqrt{-4} = 2+2i \)
\end{enumerate}

\underline{Def.:} Für \(a \ge 0\) ist \(a^\frac{1}{b}\) die positive Lösung der Gleichung

	\(x^b = a\)

Schreibweise:

\(\sqrt[b]{a} = a^\frac{1}{b} \)

\small{b = Wurzelexponent; a = Radikant}

Für \(a<0\) und b ungerade ist \( \sqrt[b]{a} \) Definiert als Lösung der Gleichung\\[2mm]
\(a^b = a\)

\underline{Bsp.:}\\[3mm]
\( \sqrt[3]{27} = 3 = 27^\frac{1}{3} \) \\[3mm]
\( \sqrt[3]{-27} = -3 \) \\[1mm]
\((-27)^\frac{1}{3} \) ist undefiniert

Sonst:

\( (-27)^\frac{1}{3} = (-27)^\frac{2}{6} = (-27)^{2 \cdot\frac{1}{6}} = (27^2)^\frac{1}{6} \)\\[1mm]
\( = 3  \) !widerspruch!

Was ist \( \sqrt{x^2} \) ?\\[1mm]
\( \quad \sqrt{x^2} = \left| x \right| \)

\subsection{Potenzgesetze}

\( a,b \in \mathbb R^+ \)\\
\( m,n \in \mathbb Z (\mathbb R) \quad n \ne 0\)\\
\( \alpha,\beta \in \mathbb R\)

\(a^0 = 1 \quad \) (gilt auch für \( \alpha \in \mathbb R^-\))

\( \frac{1}{a^\alpha} = a^{-\alpha} \)

\( \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} \)

\(a^\alpha \cdot b^\alpha = (a \cdot b)^\alpha \) und \( \frac{a^\alpha}{b^\alpha} = \left(\frac{a}{b}\right)^\alpha \)\\[1mm]
(Produkt mit gleichem Exponent)

\(a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha \cdot \beta} \) und \( \frac{a^\alpha}{a^\beta} = \left(\frac{a}{b}\right)^{\alpha-\beta} \)\\[1mm]
(Produkt mit gleicher Basis)

\( (a^\alpha)^\beta = a^{\alpha \cdot \beta} \)

Bemerkung:
\hspace*{4mm} für \( \alpha,\beta \in \mathbb Z \) ist auch \( a,b \in \mathbb R \) möglich.

\section{Logarithmen}

\begin{itemize}
	\item[Def.:] Sei \( a \in \mathbb R^+, b \in \mathbb R^+, b \ne 1\)\\
		Der Logarithmus von a zur Basis b\\
		\hspace*{3mm} \( \log_{b}{ a} \)\\
		ist diejenige Zahl \( x \in \mathbb R\) mit\\
		\hspace*{3mm} \( b^x = a \)
	\item[Bem.:] Dieses \(x\) ist eindeutig
	\item[Bew.:] 
		\begin{itemize}
			\item[] \( b^{x_1} = b^{x_2} = a \) \\
			\item[\(\Rightarrow\)] \( a \cdot b^{x_1 - x_2} = b^{x_1} \cdot b^{x_2-x_1}\)\\
				\( = b^{x_2} \)\\
				\(a \cdot b^{x_2-x_1} = a \quad | \cdot \left(\frac{1}{a}\right) \)
			\item[\(\Rightarrow\)] \( b^{x_2-x_1} = 1 \)
			\item[\(\Rightarrow\)] \( b=1 \) (ausgeschlossen)\\
				oder \( x_2-x_1 = 0 \) d.\,h. \(x_2 = x_1 \)
		\end{itemize}
\end{itemize}

Es gilt also:
\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\(b ^{\log_{b} a} = a \)
	\\\hline
\end{tabular}

\underline{Bspe.:} \\[1mm]
\( \log_{7} 49 = 2 \)\\[1mm]
\( \log_{2} 64 = 6 \)\\[1mm]
\( \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{6} = 4 \)\\[1mm]
\( \log_{3} 81 = 4 \)\\[1mm]
\( 2^{\log_{2} 10} = 10 \)

\subsection{Logarithmen-Gesetze}

\(x,y \in \mathbb R^+\) \\
\(b \in \mathbb R^+ \quad b \ne 1\)

\begin{itemize}
	\item[(I)] \( \log_{b} (x \cdot y ) = \log_{b} (x) + \log_{b} (y) \)
	\item[(II)] \( \log_{b} \left( \frac{x}{y}\right) = \log_{b} (x) - \log_{b} (y) \)
	\item[(III)] \( \log_{b} x^a = a \cdot \log_{b} x \quad (a \in \mathbb R) \)
	\item[(IV)] \( \log_{b} x = \frac{\log_{a} x}{\log_{a} b } \quad a \in \mathbb R^+ ; a \ne 1 \)
	\item[(V)] \( \log_{b} 1 = 0 \quad und \quad \log_{b} b = 1 \)
\end{itemize}

\subsubsection{Beweis}

\begin{itemize}
	\item[(I)]
		Es gilt:\\
		\( b^{\underline{log_{b} (x \cdot y)}} = x \cdot x = b^{\log_{b} x} \cdot b^{\log_{b} y} \)\\[2mm]
		\( = b^{ \underline{\log_b x + \log_b y}} \)\\
		\( \Rightarrow \log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \)
	\item[(III)]
		\( b^{\underline{\log_b x^a}} = x^a = (b^{log_b x})^a = b^{\underline{a \cdot log_b x}} \)
	\item[(II)]
		\( \log_b \frac{x}{y} = \log_b x \cdot y^{-1} = \log_b x + \log_b y^{-1} \)\\
		\( = \log_b x + (-1) \cdot \log_b y \)
		\( = \log_b x - \log_b y \)
	\item[(IV)]
		\( \log_a a \cdot x = \log_a b^{\log_b x} \)\\
		\( = \log_b x \cdot \log_a b \)\\
		\( \Rightarrow = \frac{\log_a x}{\log_a b} \)
\end{itemize}

\underline{Bspe.:}\\
	\( log_{10} 3^6 = 5 \cdot log_{10} 3 \)\\[2mm]
	\( log_{10} \frac{2 \cdot b^2}{x^5} = log_{10} 2 \cdot b^2 - \log_{10} x^5 \)\\[2mm]
	\( = \log_{10} 2 + 2 \cdot \log_{10} b - 5 \cdot \log_{10} x \)

\section{Runden}

Untere/Obere Ganzklammern

\begin{itemize}
	\item[\( \lfloor x \rfloor \)] = größte ganze Zahl \( z \le x \)
	\item[\( \lceil x \rceil \)] = kleine ganze Zahl \(z \ge x \)
\end{itemize}

\( \lceil 4,5 \rceil = 5 \)\\
\( \lfloor 4,5 \rfloor = 4 \)\\
\( \lceil -3,1 \rceil = -3 \)\\
\( \lfloor -3,1 \rfloor = -4 \)\\
\( \lfloor 4 \rfloor = 4 \)\\
\( \lceil 5 \rceil = 5 \)

\section{Naive Mengenlehre}

\underline{Def.:} Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten.\\
Eine Menge ist ein neues Objekt, die Menge ihrer Objekte.\\
Ein Objekt ist entweder in der Menge\\
\hspace*{3mm} \( x \in M \) (x Element von M)\\
oder nicht in der Menge\\
\hspace*{3mm} \(x \not\in M \)\\
(nichts sonst)

Darstellung:

\begin{enumerate}
	\item
		Aufzählung der Elemente in Mengenklammern\\
		Bspe.:\\
		\( \{1,2,3\} \)

		Die Menge der Teiler von 6:\\
		\( T_6 = \{1,2,3,6\} \)

		\( \mathbb N = \{0,1,2,...\} \)

		\(\mathbb Z = \{ ...,-2,-1,0,1,2,...\} \)

		\( \mathbb Q, \mathbb R \)

		\( \{ \{1,2,3\}, \{1,2,3,6\}, \mathbb N, \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R \} \)\\
		(Menge der oben genannten Mengen)

		\( \emptyset = \{\} \)
	\item
		Durch eine Eigenschaft der Elemente (Grundmenge a)

		\( \{ x | x \text{ hat Eigenschaft E }\} \)

		\( \{ x \in G | x \text{ hat Eigenschaft E }\} \)\\
		\( = \{ x | x \in G \text{ und x hat Eigenschaft E} \} \)
\end{enumerate}

\underline{Bsp.:}

\( T_6 = \{ x \in \mathbb N | x \text{ ist Teiler von } 6 \} \)\\
\( = \{ x \in \mathbb N | x \text{ teilt } 6 \} \)

\( \{ x \in \mathbb N | x \text{ ist vielfaches von } 2 \} \)\\
Menge aller geraden Zahlen

\( \{ x \in \mathbb R | x^2 = 9 \} = \{-3,3\} \)

%%% 29.09.2010 %%%

Darstellung mit Eigenschaft und Transformation

	\( \{ f_{(x)} | x \text{ hat Eigenschaft E} \} \)\\
	=\( \{ y | \text{ es gibt ein x mit Eigenschaft E und } y = f_{(x)} \} \)

\underline{Bsp.:}

	\( \{ 2 \cdot x | s \in \mathbb Z \} = \{ ..., -4, -2, 0, 2, 4, ...\} \)\\
	= Menge der Vielfachen von 2

	\( \{ 2 \cdot x | x \in \mathbb R \} = \mathbb R \)

	\( \{ x^2 | x \in \mathbb Z \} = \) Menge aller Quadratzahlen

	\(\{  x^2 | x \in \mathbb R \} = \mathbb R^{+}_0 = \{ x \in \mathbb R | x \ge 0 \} \)

Zwei Mengen sind \underline{gleich}, wenn die dieselben Elemente enthalten

\( A = B \)

Bsp.:

	\( \{ 1,2,3\} = \{3,1,2\}\)\\
	\(\{2,3,4\} \ne \{ 1,2,3 \} \)\\
	\( \{ x \in \mathbb Z | x \text{ ist gerade }\} = \{ 2 \cdot x | x \in \mathbb Z \} \)

\subsection{Teilmengenbeziehungen}

\begin{itemize}
	\item[\( A \subseteq B \)]
		\(A\) ist Teilmenge von \(B\), falls jedes Element von \(A\) auch Element von \(B\) ist.
	\item[Bspe.:]
		\( \{ 1,2,3\} \subseteq \{ 1,2,3\} \)\\
		\( \{ 1\} \subseteq \{ 1,2,3\} \)\\
		\( \{1,2\} \not\subseteq \{1\} \)
	\item[Satz:]
		Es gilt folgendes für alle Mengen \(A,B\)
		\begin{enumerate}
			\item \( \emptyset \subseteq A \)
			\item \( A \subseteq A \)
			\item Wenn \( A \subseteq B \) und \( B \subseteq A \), dann \(B=A\)
		\end{enumerate}
		3. wird oft benutzt, um zu zeigen, das 2 Mengen gleich sind.
\end{itemize}

\subsection{Notation}

\begin{itemize}
	\item[\( \subseteq \)]
		(Manchmal in der Literatur \(\subset\) )
	\item[\( \subsetneq \)]
		\(A \subsetneq B\) ( \(A\) echte Teilmenge von \(B\), falls \( A \subseteq B \) aber \(A \ne B \)\\
		( \( \subsetneq \) in anderer Literatur manchmal \( \subset \)
	\item[ \(\not\subseteq\) ]
		\( A \not\subseteq B \) (\(A\) nicht Teilmenge von \(B\) )
\end{itemize}


\subsection{Operationen auf Mengen}

\begin{tabular}{lcl}
	Schnitt: & \( A \cap B \) & (A Geschnitten B)\\
	&& \( A \cap B = \{ x | x \in A \text{ und } x \in B \} \)\\[2mm]
	Vereinigung: & \( A \cup B \) & \( A \cup B = \{ x | x \in A \text{ oder } x \in B \} \) \\[2mm]
	Differenz: & \( A-B\) & \( = A \backslash B = \{ x | x \in A \text{ und } x \not\in B \} \)
\end{tabular}

Komplement mit einer Grundmenge \(G\) (d.\,h. \(A \in G\) )\\
\(  \overline{A} = G-A \)

\underline{Bspe.:}

	\( \{1,2,3\} \cup \{3,4,5\} = \{1,2,3,4,5\} \)

	\( \{1,2,3\} \cap \{3,4,5\} = \{3\}\)

	\( \{1,2,3\} - \{3,4,5\} = \{1,2\} \)

	\( H = \{ x \in \mathbb Z | x \text{ ist nicht vielfaches von } 12 \} \)

	\( \overline{H} = \{ x \in \mathbb Z | x \text{ ist vielfaches von } 12  \} \)\\
	\( = \{ 12 \cdot x | x \in \mathbb Z \} \)

	\( \overline{\overline{H}} = H \) 

\subsection{Mengendiagramme}

(Venn / Euler-Diagramm)

\includegraphics{bilder/mengendiagramme_1.pdf}

1: \( A \subseteq B \) ; 2: \( A \cap B \) und \( A \cup B \)

\includegraphics{bilder/mengendiagramme_2.pdf}

3: \( \overline A \) ; 4: \( (A \cap B) - C = (A-C) \cap (B-C) \)

\section{Intervalle}

Eine Teilmenge \(I\) von \(\mathbb R \) ist ein Intervall, falls für \( a,b \in I\) auch jedes \(c, a < c < b\) in \(I\) ist.\\
D.\,h. auf dem Zahlenstrahl dargestellt ist ein Intervall ein Zusammenhängendes Gebiet.

Bezeichnung durch Zahlen am Rand, die entweder im Interval liegen \([ \text{ bzw. }]\) oder nicht ( bzw. )

Bsp.:\\
	\( {[3;5)} = \{ x \in \mathbb R | 3 \le x < 5 \} \) \\
	\( {(3;5)} = \{ x \in \mathbb R | 3 < x < 5 \} \) 

	\( \{ 1,2,3\} \) kein Intervall, denn \( 1,5 \not\in \{1,2,3\} \)\\
	aber \( 1 \in \{ 1,2,3 \} \)

\subsection{Unbegrenztes Intervall}

\( {(-\infty ; 5 ]} = \{ x \in \mathbb R | x \le 5 \} \)\\
\( { (-3;+\infty)} = \{ x \in \mathbb R | -3 < x \}\)

\textbf{Intervalle sind Mengen}

\underline{Bspe.:}\\
	\( {[1;2]} \subseteq {[0;3)} \)\\
	\( {[1;2]} - {(1;2)} = \{1;2\} \)\\
	\( {[4;4]} \cap {(2,5;10)} = {(3,5;4]} \)

\begin{itemize}
	\item[\underline{Achtung:}]
		zwischen \(\subseteq\) und \(\in\) unterscheiden!
	\item[Bsp.:]
		\( \{1,2\} \subseteq \{1,2,3\} \)\\
		\( \{1,2\} \not\in \{1,2,3\} \)

		\( \{1,2\} \not\subseteq \{ \{1\}, \{1,2\}, \mathbb Z \} \)
	\item[aber]
		\( \{1,2\} \in \{ \{1\}, \{1,2\}, \mathbb Z \} \)
\end{itemize}

\section{(Un-)Gleichungen}

Für die Ordnungsrelation \(<\) („kleiner“) auf \(\mathbb R\) gelten die folgenden Grundregeln

\begin{enumerate}
	\item
		Für \( a,b \in \mathbb R\) gilt genau einer der drei Fälle:\\
		\(a < b, a = b, a > b\)
	\item
		Transivität\\
		\( a<b \text{ und } b<c \Rightarrow a<c \)

		Weitere Zeichen:\\
			\(a \le b\) falls \( a<b \) oder \( a = b \)\\
			\(a \ge b\)\\
			\(a > b \)\\
			\(a = b \)
	\item
		Monotonie der Addition\\
		\( a < b = a+c < b+c \)\\
		für jedes \( c \in \mathbb R \)
	\item
		Monotonie der Multiplikation mit positiven Zahlen\\
		Für \( a > 0\) gilt:\\
		\( b > c \Rightarrow a \cdot b > a \cdot c \)
\end{enumerate}

\underline{Bemerkung 1:} Für \( <;\le;>;\ge,= \) gelten die selben Gesetze für \(=\) gilt 4. für jedes \( a \in \mathbb R \)

\underline{Bemerkung 2:} (Einschub)\\
Implikation \( A \Rightarrow B \)\\
(Aus \(A\) folgt \(B\), wenn \(A\), dann \(B\))\\
Bedeutet immer wenn \(A\) wahr ist, dann ist auch \(B\) wahr.

Bsp.:

\(x \text{ teilt } 6 \Rightarrow a \text{ teilt } 12 \)\\
ist richtig, denn wenn \( 6 = a \cdot x\)  für \(a \in \mathbb N \), dann gilt \( 12 = 2 \cdot a \cdot x\), d.\,h. \(x\) teilt \(12\)

\(x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \)\\
gilt nicht, da \((-1)^2 = 1\), aber \(-1 \ne 1\)

\( x = 1 \Rightarrow x^2 = 1\)\\
gilt

Man schreibt \( A \Leftrightarrow B\) ( \( A \overbrace{\text{äquivalent}}^{\text{genau dann, wenn}} B\) ) gilt, falls \( A \Rightarrow B \) und \(B \Rightarrow A\)

\(x\) ist gerade \( Leftrightarrow x\) ist Differenz zweier ungerader Zahlen\\
Beweis:\\
„\(\Rightarrow\)” wenn \(x\) gerade ist, dann ist \(x+1\) ungerade und \((x+1)-1\)\\
„\(\Leftarrow\)“ wenn \(x,y\) ungerade ist, dann gilt:\\
	\( x-y = x+1 - (y-1) \qquad \text{ für } Z_1,Z_2 \in \mathbb Z \)\\
	\( = 2 \cdot Z_1 - 2 \cdot Z_2 \)\\
	\(2 \cdot (\underbrace{Z_1 - Z_2}_{\mathbb Z})\)

\( \Rightarrow  x-y\) ist gerade.

\underline{Foglerungen}

\subsection{Umformungen von Ungleichungen}

\begin{enumerate}
	\item
		Addition:
		\( b < c \Leftrightarrow a+b < a+c \)
	\item
		Multiplikation mit positiver Zahl ist Äquivalenzumformung:\\
		Für \(a>0\) gilt:\\
		\( b<c \Leftrightarrow a \cdot b < a \cdot c \)
	\item
		Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht die Ungleichung:\\
		Für \(a < 0\) gilt:
		\( b<c \Leftrightarrow a \cdot b > a \cdot c \)
	\item 
		Addition von Ungleichungen:\\
		\(a<b\) und \(c<d\)\\
		\( \Rightarrow a+c < b+d \)
\end{enumerate}

\textbf{Beweis:}

\begin{enumerate}
	\item
		\( b < c \Rightarrow b+a < c+a \) (Grundregeln)\\
		\(b+a < c+a \qquad | +(-a) \)\\
		\(\Rightarrow b < c \)
	\item
		\(a<c \Rightarrow a \cdot b < a \cdot c \qquad (a>0)\)\\
		\( \Leftarrow a \cdot < a \cdot c \qquad | \cdot \left(\frac{1}{a}\right) \)\\
		\( \Rightarrow b < c \)
	\item
		\(a<0\)\\
		\(b<c \qquad | \cdot (-a) \qquad -a > 0\) \\
		\( \overset{2.}{\Leftrightarrow}  -a \cdot b < -a \cdot c \qquad | +a \cdot b \)\\
		\( \overset{1.}{\Leftrightarrow} 0 < -a \cdot c + a \cdot b \qquad | + a\cdot c \)\\
		\( \overset{1.}{\Leftrightarrow} a \cdot c < a \cdot b \)
	\item
		\( a < b \text{ und } c < d\)\\
		\( \Rightarrow a+c < b+d \) und \( c+b < d+b \)\\
		Transivität\\
		\( \Rightarrow a+c < b+c < b+d \)\\
		\( \Rightarrow a+c < d+b \)
\end{enumerate}

\underline{Bspe.:}

\begin{tabular}{rclcl}
	
	\( x+1\) & \(<\) &  \(-2x +3\) & \hspace*{1cm} & \( | +2x \)\\
	\(3x+1\) & \(<\) & \( 3\) && \(| -1 \)\\
	\(3x\) & \(<\) & \(2\) && \(| \cdot \frac{1}{3} \) \\
	\(x\) & \(<\) & \(\frac{2}{3}\) &
\end{tabular}

	\( \mathbb L = \{ x | x < \frac{2}{3} \} = {(-\infty;\frac{2}{3}]} \)

\underline{Bsp.:}\\
	\( x>5\) und \(5>3\)

	\( \Rightarrow x+5 > 5+3 \)\\
	\( \Rightarrow x+5 > 8 \)\\
	(also \(x>5 \Rightarrow x+5 > 8\), aber nicht umgekehrt)

\underline{Bsp.:}\\
	\(-\frac{1}{5} \cdot x < 2 \qquad | \cdot (-5) \)\\
	\( \Leftrightarrow x > -10 \)

	\( \mathbb L = (-10;\infty) \)

\textbf{Vorsicht} bei Multiplikationen mit Variablen Ausdrücken ergeben sich Unterschiedliche Fälle, je nachdem, ob der Ausdruck \(>0\) oder \(<0\) ist.\\
\underline{Bsp.:} \( \frac{1}{x} < 5 \qquad | \cdot x \)

\underline{Fall 1 \(x>0\):}\\
	\( 1<5x \qquad | :5 \)\\
	\(\frac{1}{5} < x \)

	\( \mathbb L_1 = \{x | x > \frac{1}{5}\} \)

\underline{Fall 2 \(x<0\):}\\
	\( 1 > 5x \qquad | :5 \)\\
	\(\frac{1}{5} > x \)
	
	\(\mathbb L_2 = \{ x \in \mathbb R^- \} \)

\( \mathbb L = {(-\infty;0)} \cup {(\frac{1}{5};\infty)} \)

%%% 30.09.2010 %%%

\subsection{Gleichungen}

Umformungsregeln entsprechend)

\( b = c \Rightarrow a \cdot b = a \cdot c \qquad \text{ für } a \in \mathbb R \)\\
\( b = c \Leftrightarrow a \cdot b = a \cdot c \qquad \text{ für } a \in \mathbb R-\{0\} \quad \text{(1)}\)\\
\( b = c \Rightarrow a + b = a + c \qquad \text{ für } a \in \mathbb R \)

(1) Multiplikation mit Variablem Ausdruck:\\
dieser darf nicht 0 werden

\( a=b \text{ und } c=d \)\\
\( a+c = b+d \)

\(3 \cdot x +3 = -5 \cdot x + 5\)

\(\Rightarrow 2\cdot x^2 - 15 \cdot x - 63 = 0 \)
\begin{enumerate}
	\item
		Mitternachtsformel:\( \qquad a \cdot x^2 + b \cdot x +c \)

		\( x_{1,2} = \frac{ - b \pm \sqrt{ b^2 - 4 \cdot a \cdot c } }{ 2 \cdot a } \)

		\( x_{1,2} = \frac{ 15 \pm \sqrt{ 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-63) } }{ 2 \cdot 2 } \)

		\( x_{1,2} = \frac{ 15 \pm \sqrt{ 225 + 504 } }{ 4 } \)

		\( x_{1,2} = \frac{ 15 \pm \sqrt{ 729 } }{ 4 } \)

		\( x_{1,2} = \frac{ 15 \pm 27 }{ 4 } \)

		\( x_1 = \frac{21}{2} = 10,5 \)

		\( x_2 = -3 \)

		\( \mathbb L = \{ \frac{21}{2} ; -3 \} \)
	\item
		\( (2 \cdot (x-10) - 1) \cdot (x+3) = 0 \)

		\( (2x -21) \cdot (x+3) = 0 \)

		\( 2 \cdot (x-10,5) \cdot (x+3) = 0 \)
\end{enumerate}

Allgemein: Ein Produkt ist 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

\( a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0 \text{ oder } b = 0 \)

Mehrere Faktoren:

\( a \cdot b \cdot c = 0 \Leftrightarrow a = 0 \text{ oder } b = 0 \text{ oder } c = 0 \)

Beweis:

\( \quad (a \cdot b) \cdot c = 0 \)\\
\( \Leftrightarrow (a \cdot b) = 0 \text{ oder } c=0 \)\\
\( \Leftrightarrow a = 0 \text{ oder } b=0 \text{ oder } c=0 \)

Aufsplittung quadratischer Polynome in Faktoren:

sind \(x_1,x_2\) Lösungen von:

	\(a \cdot x^2 + b \cdot x +c = 0 \)

dann gilt:

	\( a \cdot x^2 + b \cdot x + c = a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \)\\
	(Evtl. \(x_1 = x_2 \))

\underline{Bsp.:}

\( ( \underbrace{|x| + 1 }_{>0} ) \cdot ( \underbrace{x-1}_{0 \text{ für } x=1 } ) \cdot 2 \cdot \underbrace{x}_{0 \text{ für } x=0} \cdot 5 = 0 \)

\( |x| = \begin{cases}
	-x& \text {für } x<0 \\
	x & \text{sonst}
\end{cases} \)

\( \mathbb L = \{ 0 ; 1 \} \)

\section{Funktionen}

Eine Funktion

\( f\colon\, A \to B\) (von \(A\) nach \(B\))

ordnet jedem Element \( x \in A\) genau ein Element in \(x \in B\) zu.

\(A\) heißt Definitionsbereich\\
\(B\) heißt Zielmenge/-Bereich

wird \(x \in A\) das Element \(y \in B \) zugeordnet, schreibt man auch

	\(y = f(x) \)

oder

	\(f\colon\, x \to y \)

oder Veranschaulicht z.\,B. mit einem Mengenbild

\underline{Bsp.:}\\
\includegraphics{bilder/funktionen_mengenbild.pdf}

\(f\colon\, \{ \text{Rafl}, \text{Peter}, \text{Maria}, \text{Leslie} \} \to \{ \text{m},\text{w} \} \)

\( f\colon\, \text{Ralf} \to \text{m} \)

\( f\colon\, \text{Peter} \to \text{m}\)

\( f\colon\, \text{Maria} \to \text{w} \)

oder:

\( f(\text{Ralf}) = \text{m} \)

\( f(\text{Leslie}) = \text{w} \)

Vollständige Wertetabelle:

\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
	\(x\) & Ralf & Peter & Maria & Leslie\\\hline
	\(f(x)\) & m & m & w & w
\end{tabular}

Funktionen die Zahlen auf Zahlen abbilden werden gerne durch eine Berechnungsvorschrift angegeben.

	\( f\colon\, \mathbb R \to \mathbb N \)

	\( f(x) = | \lceil x \rceil | \)

	z.\,B.: \(f(1) = 1 \qquad f(-\frac{3}{2}) = 1 \)

2.

\(f\colon\, \mathbb R \to \mathbb R \)

\(f(x) = \begin{cases}0 & \text{für } x<0 \\
	x & \text{sonst}\end{cases} \)

z.\,B. \( f(5) = 5, \qquad f(-5) = 0 \)

Bei funktionen in der Analysis\\
\hspace*{4mm} \(f\colon\, \mathbb R \to \mathbb R \)\\
ergibt sich der Definitionsbereich \(\mathbb D(f) \) oft aus der Berechnungsvorschrift

\underline{Bspe.:}
\begin{multicols}{2}
	\( f_{(x)} = \sqrt{x} \)\\
	\( f_{(x)} = \frac{1}{1-x} \)\\
	\( f_{(x)} = \log_{10} x^3 \)
	\columnbreak\\
	\( \mathbb D(f) = {[0;\infty)} \)\\
	\( \mathbb D(f) = \mathbb R - \{1\} \)\\
	\( \mathbb D(f) = \{x \in \mathbb R | x > 0\} \)	
\end{multicols}

\subsection{Injektiv}

Eine Funktion \(f\colon\, A \to B \) heißt Injektiv, falls

\hspace*{4mm} \( f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \)

Bzw. äquivalent ausgedrückt:

\hspace*{4mm} \( x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2) \)\\
\hspace*{4mm} für alle \( x_1,x_2 \in A\) (Kontraposition)

\underline{Bspe.:}
\begin{multicols}{2}
	\includegraphics{bilder/injektiv_bsp.pdf}\\
	\(g\colon\, \mathbb N \rightarrow \mathbb Z \)\\
	\(g(x) = 2 \cdot x - 3 \)
\columnbreak\\
	Nein, z.\,B.\\
	\(x_1 = 2; x_2 = 1\)\\
	\( f(1) = f(2) \text{ aber } 1 \ne 2 \)\\
\begin{align*}	
\mathbb W &= \{ f(1), f(2), f(3) \}\\
		&= \{1,2\} 
\end{align*}
\end{multicols}

\begin{align*}
	g(x_1) &= g(x_2)\\
	2 \cdot x_1 -3 &= 2 \cdot x_2 - 3 &|+3\\
	\Leftrightarrow \quad 2 \cdot x_1 &= 2\cdot x_2 &| \cdot \frac{1}{2}\\
	\Leftrightarrow \quad x_1 &= x_2
\end{align*}

d.\,h. injektiv \(g(x_1) = g(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \)\\
\begin{align*}
	\text{Wertebereich } \mathbb W(g) &= \{f(x) | x \in A \}\\
	f\colon\, A \rightarrow B &= \{ -3,-1,1,3,...\}\\
	&= \{ x \in \mathbb Z | x \ge -3 \text{ und } x \text{ ungerade}\}
\end{align*}

\subsection{Surjektiv}

Eine Funktion heißt Surjektiv, falls \( \mathbb W(f) = B\)

\includegraphics{bilder/surjektiv_bsp.pdf}

\(F_Z\) ist surjektiv und injektiv.

\subsection{Bijektiv}

Eine Funktion \( f\colon\, A \mapsto B \) die surjektiv und bijektiv ist, ist \underline{bijektiv}.\\
Eine bijektive Funktion \(f\colon\, A \mapsto B \) hat eine Umkehrfunktion \(f^{-1}\colon\, B \mapsto A \) mit

\( f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y \)

\( f\colon\, \{1,2,3\} \mapsto \{1,2,3\} \)

\includegraphics{bilder/bijektiv_bsp.pdf}

\end{document}
