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	pdftitle={Grundlagen der Mathematik},
	pdfsubject={Mitschrift der Vorlesung "Grundlagen der Mathematik" an der HTW-Aalen, bei Herrn Arnold.},
	pdfauthor={Thomas Battermann},
	pdfkeywords={Grundlagen der Mathematik,Logik,Mengen,Relationen,Funktion,Vollstaendige Induktion},
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\title{Grundlagen der Mathematik}
\author{Mitschrift von Thomas Battermann}
\date{1. Semester}
\begin{document}
\pagestyle{empty} 

\maketitle\thispagestyle{empty}
\tableofcontents\thispagestyle{empty}

\newpage
\pagestyle{fancy}
\setcounter{page}{1}

\section{Logik}

\begin{itemize}
	\item Grundlage (Mathematischer und anderer Beweise)
	\item interessante Problemstellungen in der Informatik:\\
		Besitzt eine logische Formel eine Lösung?
	\item Kontrollstrukturen in Computerprogrammen arbeiten nach den Gesetzen der Logik
\end{itemize}

\subsection{Formeln}

\underline{Aussagen} sind Sätze, die wahr oder falsch sind.\\
	Beispiele:
	\begin{itemize}
		\item „3 ist eine Primzahl“ ist eine (wahre) Aussage
		\item „4 ist eine Primzahl“ ist eine (falsche) Aussage
		\item „Wieviel Uhr ist es?“ ist keine Aussage, sondern eine Frage
		\item „Sagen sie mir bitte wieviel Uhr es ist.“ ist eine Aufforderung, keine Aussage
	\end{itemize}
	
\underline{Formeln} entstehen durch Verknüpfung einzelner Aussagen (oder Formeln).\\
	Beispiele: Seien A und B Aussagen.\\
	Dann sind
	\begin{itemize}
		\item nicht $A$
		\item $A$ oder $B$
		\item entweder $A$ oder $B$
		\item wenn $A$, dann $B$
	\end{itemize}
	Formeln.

Die Verknüpfungen nicht, oder usw. heißen Junktoren.

Formeln nehmen (wie die Aussage) einen der Wahrheitswerte wahr oder falsch an; dieser hängt ab von den Wahrheitswerten enthaltenen Aussagen.\\
Diese Abhängigkeiten stellen wir in einer Wahrheitstabelle dar, die für jede Kombination der Aussagen den zugehörigen Wahrheitswert der Formel enthält.

\begin{tabular}{ll}
	Abkürzungen: & \( 0 \widehat{=} \) falsch \\
	&  \( 1 \widehat{=} \) wahr
\end{tabular}

\underline{Negation} (nicht \(A =: \neg A =: \overline{A}\)

\begin{tabular}{c|c}
	\(A\) & \(\overline{A}\) \\
	\hline
	0 & 1\\
	1 & 0
\end{tabular}

\underline{Konjunktion} ( \(A \text{ und } B =: A \land B =: A \cdot B \))

\begin{tabular}{cc|c}
	\(A\) & \(B\) & \(A \land B\)\\
	\hline
	0&0&0\\
	0&1&0\\
	1&0&0\\
	1&1&1
\end{tabular}

\underline{Disjunktion} (\( A \text{ oder } B =: A \lor B =: A + B\))

\begin{tabular}{cc|c}
	\(A\) & \(B\) & \( A \lor B \)\\
	\hline
	0&0&0\\
	0&1&1\\
	1&0&1\\
	1&1&1
\end{tabular}

\underline{Exklusive Disjunktion} (entweder \(A\) oder \(B =: A \oplus B\))

\begin{tabular}{cc|c}
	\(A\) & \(B\) & \(A \oplus B\)\\
	\hline
	0&0&0\\
	0&1&1\\
	1&0&1\\
	1&1&0
\end{tabular}

\underline{Implikation} (wenn \(A\), dann \(B =: A \leftarrow B \))
\begin{multicols}{2}
	\begin{tabular}{cc|c}
		\(A\) & \(B\) & \(A \rightarrow B\)\\
		\hline
		0&0&1\\
		0&1&1\\
		1&0&0\\
		1&1&1
	\end{tabular}
\columnbreak\\
	A: Voraussetzung\\
	B: Folgerung
\end{multicols}

\underline{Äquivalenz} (\(A\) genau dann, wenn \( B =: A \leftrightarrow B\))

\begin{tabular}{cc|c}
	\(A\) & \(B\) & \(A \leftrightarrow B\)\\
	\hline
	0&0&1\\
	0&1&0\\
	1&0&0\\
	1&1&1
\end{tabular}

Formeln können zu komplexeren Formeln verknüpft werden.\\
Beispiel: \( ( A \oplus B ) \rightarrow ( C \lor B ) \)

Eine Formel heißt \underline{erfüllbar}, wenn es eine Belegung der enthaltenen Aussagen gibt, so dass eine Formel wahr wird.\\
Eine Formel, die nicht erfüllbar ist, heißt \underline{unerfüllbar}.\\
Eine Formel, die bei jeder Belegung wahr wird, heißt \underline{gültig} oder \underline{tautologisch}.

Beispiel:
\begin{itemize}
	\item \( A \lor B\) ist erfüllbar.
	\item \( A \land \overline{A} \) ist unerfüllbar.
	\item \( A \lor \overline{A}\) ist tautologisch.
	\item
		Sei \(F\) eine Formel.\\
		\(F\) ist genau dann tautologisch, wenn \(\overline{F}\) unerfüllbar ist.
\end{itemize}

\subsection{Äquivalenz von Formeln}

Zwei Formeln \(F\) und \(G\) heißen \underline{äquivalent}, wenn \(F\) und \(G\) bei jeder Variablenbelegung denselben Wahrheitswert annehmen (d.\,h. die Wahrheitstabellen sind identisch).\\
\hspace*{4mm} \( F \equiv G, \quad F \Leftrightarrow G\)\\
(\(F\),\(G\) heißen gleich, wenn ihre Definitionen Zeichen für Zeichen übereinstimmen, \(F = G\))

Beispiel:\\
	\(\quad F := A \land B, \quad G := B \land A\)\\
	\(\Rightarrow F \equiv G, \quad F \ne G \)

in Analogie zu \(\Leftrightarrow\):\\
	\( \quad F \Rightarrow G \)

(G wird bei jeder wahr, bei der auch \(F\) wahr ist.)\\
Beispiel:\\
	\(A \land B \Rightarrow A \)

\subsubsection{Rechengesetze:}

\begin{itemize}
\item\underline{Kommutativgesetze}\\
Vertauschungsgesetze

\begin{align*}
	A \lor B &\equiv B \lor A\\
	A \land B &\equiv B \land A\\
	A \oplus B &\equiv B \oplus\\
	A \leftrightarrow B &\equiv B \leftrightarrow A
\end{align*}

\item\underline{Assoziativgesetze}\\
(Klammergesetze)

\begin{align*}
	A \lor (B \lor C) &\equiv (A \lor B) \lor C\\
	A \land ( B \land C) &\equiv (A \land B) \land C\\
	A \oplus ( B \oplus C) & \equiv (A \oplus B) \land C\\
	A \leftrightarrow (B \leftrightarrow C) &\equiv (A \leftrightarrow B) \leftrightarrow C
\end{align*}

\item\underline{Distributivgesetze}\\
(Ausklammern)

Vgl. mit Arithmetik:\\
	\(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\)\\
i.\,a. \( a + (b \cdot c) \ne (a +b)(a+c) \)

In der Logik:\\
\begin{align*}	
	A \land ( B \lor C) &\equiv (A \land B) \lor (A\land C)\\
	A \lor ( B \land C) &\equiv (A \lor B) \land (A \lor C)\\
	A \land ( B \oplus C ) &\equiv (A \land B) \oplus (A \land C)
\end{align*}

\item\underline{doppelte Negation}

\( \overline{\overline{A}} = A \)

\item\underline{deMorgansche Gesetze}\\
\( \neg ( A \land B) \equiv \overline{A} \lor \overline{B} \)\\
\( \neg ( A \lor B) \equiv \overline{A}\land \overline{B} \)

\item\underline{weitere Negation-Gesetze}\\
	\( \overline{A \oplus B} \equiv A \leftrightarrow B \equiv \overline{A} \leftrightarrow \overline{B} \)\\
	\( \overline{A \leftrightarrow B} \equiv A \oplus B \equiv \overline{A} \oplus \overline{B} \)

\begin{tabular}{cc|ccc}
	A & B & \( A \oplus B \) & \( \overline{a \oplus }\) & \(A \leftrightarrow B\)\\
	\hline
	0&0&0&1&1\\
	0&1&1&0&0\\
	1&0&1&0&0\\
	1&1&0&1&1
\end{tabular}

\item\underline{Absorptionsgesetze}\\

\begin{align*}
	(A \land B) \lor A &\equiv A\\
	(A \lor B) \land A &\equiv A
\end{align*}

\item\underline{Idempotenzgesetze}\\
\( A \land A \equiv A \equiv A \lor A \)

\item\underline{ausgeschlossenes Drittes}\\
\begin{align*}
	A \land \overline{A} \equiv 0 \\
	A \lor \overline{A} \equiv 1
\end{align*}

\item\underline{Gesetze für 0 und 1}\\
\begin{align*}
	A \land 1 &\equiv A & A \lor 1 &\equiv 1\\
	A \land 0 &\equiv 0 & A \lor 0 &\equiv A\\
	A \oplus 0 &\equiv A & A \oplus 1 &\equiv \overline{A}
\end{align*}

\item\underline{Kontraposition}\\
\( A \rightarrow B \equiv \overline{B} \rightarrow \overline{A}\)\\
(verwendet man z.\,B. beim Widerspruchsbeweis)

\item\underline{auch noch wichtig}\\
\begin{multicols}{2}
\( A \rightarrow B \equiv \overline{A} \lor B \)\\
\( \overline{C} \lor D \equiv C \rightarrow D\)
\columnbreak\\
\begin{tabular}{cc|cc}
	A & B & \(A \rightarrow B \) & \( \overline{A} \lor B \)\\
	\hline
	0 & 0 & 1\\
	0&1&1\\
	1&0&0\\
	1&1&1
\end{tabular}
\end{multicols}
\end{itemize}

Beispiel:\\
Beweis der Kontrapositionsgesetzes
\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
	A \rightarrow B \underset{12}{\equiv} \overline{A} \lor B
		\underset{1}{\equiv} B \lor \overline{A}
		\underset{4}{\equiv} \overline{\overline{B}} \lor \overline{A}
		\underset{12}{\equiv} \overline{B} \rightarrow \overline{A}
\end{align*}
\columnbreak\\
	\begin{tabular}{cc|ccc}
		A & B & \(\overline{A}\) & \(\overline{B}\) & \( \overline{B} \rightarrow \overline{A} \)\\
		\hline
		0&0&1&1&1\\
		0&1&1&0&1\\
		1&0&0&1&0\\
		1&1&0&0&1
	\end{tabular}
\end{multicols}

\subsection{Normalformen}
Konstruktion einer zu F Äquivalenten Formel:

Idee: Suche eine Formel , die genau bei den 1-Zeilen wahr wird.

\begin{tabular}{ccc|ccl}
	A&B&C& F & \hspace*{5mm}\\
	\hline
	0&0&0& 0\\
	0&0&1& 1 && \( \overline{A} \land \overline{B} \land C\)\\
	0&1&0& 1 && \( \overline{A} \land B \land \overline{C}\)\\
	0&1&1& 0\\
	1&0&0& 1 && \( A \land \overline{B} \land \overline{C}\)\\
	1&0&1& 0\\
	1&1&0& 1 && \( A \land B \land \overline{C}\)\\
	1&1&1& 0\\
\end{tabular}

\( F' := \overline{A B} C \lor \overline{A} B \overline{C} \lor A \overline{BC} \lor A B \overline{C} \)

\begin{multicols}{2}
Die entstandene Formel ist also eine Disjunktion von Konjunktionen von Variablen der negierten Variablen.\\
(Variablen und negierte Variablen bezeichnet man als \underline{Literale}, Konjunktionen von Literalen als (Und-)\underline{Klauseln})\\
Solche Formeln heißen \underline{disjunktive Normalformen} (DNF).
\columnbreak\\
\begin{tabular}{ccc|ccl}
	A&B&C& F\\
	\hline
	0&0&0& 0\\
	0&0&1& 1\\
	0&1&0& 1\\
	0&1&1& 0\\
	1&0&0& 1\\
	1&0&1& 0\\
	1&1&0& 1\\
	1&1&1& 0\\
\end{tabular}
\end{multicols}


2. Idee: Suche eine Formel für \(F''\), die genau bei den 0-Zeilen in der Wahrheitstabelle falsch wird.

\begin{align*}
F''	&= 	\neg ( \overline{A}\overline{B}\overline{C} ) \land
		\neg ( \overline{A} B C ) \land
		\neg ( A \overline{B} C ) \land
		\neg ( A B C ) & (*)\\
	&=	\left(A \lor B \lor C\right) \land
		\left(A \lor \overline{B} \lor \overline{C}\right) \land
		\left(\overline{A} \lor B \lor \overline{C}\right) \land
		\left(\overline{A} \lor \overline{B} \lor \overline{C}\right)
\end{align*}

Eine solche Konjunktion von (Oder-)Klauseln heißt \underline{Konjunktive Normalform} (KNF).\\
An der Formel \((*)\) sieht man, daß es zu jeder Formel eine äquivalente Formel gibt, die nur die Junktoren \( \land, \neg \) enthält.\\
Junktorenmenge mit dieser Eigenschaft nennt man Basen.

Beispiel: Auch \( \{ \lor, \neg \} \) ist eine Basis.\\
	Es gibt zwei Basen aus nur einem Junktor:
	\begin{itemize}
		\item NAND ( \( A \text{ NAND } B = \neg ( A \land B ) \) )
		\item NOR (weder-noch),\\
			\( A \text{ NOR } B = \overline{A} \land \overline{B} \)
			
			Beweisidee:\\
			\( \{\lor, \neg\} \) ist eine Basis;\\
			\( A \lor B \equiv \overline{\overline{A\lor B}} \equiv \overline{\overline{A} \land \overline{B}} \equiv \neg (A \text{ NOR } B ) \)\\
			\( \neg A \equiv \overline{A} \land \overline{A} \equiv A \text{ NOR } A \equiv (A \text{ NOR } B ) \text{ NOR } ( A \text{ NOR } B )\)
	\end{itemize}

Beispiel: Logik-Rätsel Banküberfall
\begin{itemize}
	\item[a)]
		Es kommen nur drei Personen, Herbert, Klaus und Fritz, in Frage.\\
		\(G_a =  H \lor K \lor F\)
	\item[b)]
		Wenn Herbert schuldig und Klaus unschuldig ist, dann ist Fritz schuldig.\\
		\( G_b = (H \land \overline{K}) \rightarrow F \)
	\item[c)]
		Fritz „arbeitet“ niemals alleine.\\
		\( G_c = F \rightarrow (H \lor K ) \)
	\item[d)]
		Herbert arbeitet nie mit Fritz zusammen.\\
		\( G_d = H \rightarrow \overline{F} ( = F \rightarrow \overline{H}) \)
\end{itemize} 

\begin{tabular}{ccc|ccccc}
	H&K&F&\(G_a\)&\(G_b\)&\(G_c\)&\(G_d\) & \(G_a \land G_b \land G_c \land G_d\)\\
	\hline
	0&0&0& 0& 1& 1& 1& 0\\
	0&0&1& 1& 1& 0& 1& 0\\
	0&1&0& 1& 1& 1& 1& 1\\
	0&1&1& 1& 1& 1& 1& 1\\
	1&0&0& 1& 0& 1& 1& 0\\
	1&0&1& 1& 1& 1& 0& 0\\
	1&1&0& 1& 1& 1& 1& 1\\
	1&1&1& 1& 1& 1& 0& 0
\end{tabular}

Antwort: Klaus war auf jeden Fall beteiligt.

DNF: \( \overline{H} F \overline{K} \lor \overline{H} K F \lor H K \overline{F} \)\\
KNF: \(	(H \lor K \lor F) \land
		(H \lor K \lor \overline{F}) \land
		(\overline{H} \lor K \lor F) \land
		(\overline{H} \lor K \lor \overline{F}) \land
		(\overline{H} \lor \overline{K} \lor \overline{F}) \)

\subsection{Die Länge der Normalformen}
Mit dem Verfahren aus 1.3 erhält man Normalformen, bei denen alle Klauseln jede Variable (negiert oder nicht negiert) enthalten.\\
Solche Normalformen bezeichnet man als \underline{vollständige} oder \underline{kanonische} DNF, bzw. KNF.

Wahrheitstabelle, kanonische DNF und kanonische KNF sind eineindeutige Dartsellung äquivalenter Formeln.\\
Diese Darstellungen besitzen i.\,a. unterschiedliche Länge. Bei \(n\) Variablen und \(k\) erfüllende Belegungen enthält
\begin{itemize}
	\item[-] die Wahrheitstabelle \(2^n\) Zeilen
	\item[-] die kanonische DNF \(k\) Klauseln
	\item[-] die kanonische KNF \(2^n - k\) Klauseln.
\end{itemize}

Häufig kann man die Normalformen verkürzen.

Beispiel von vorhin:

\begin{align*}
\text{DNF: }&\quad \overline{H} F \overline{K} \lor \overline{H} K F \lor H K \overline{F}\\
&\equiv \overline{H} F \overline{K} \lor \overline{H} K F \lor \overline{H} K F \lor H K \overline{F}\\
&\equiv \overline{H} K \underbrace{( \overline{F} \lor F)}_{\equiv1} \lor \underbrace{( \overline{H} \lor H )}_{\equiv1} K \overline{F}\\
&\equiv \overline{H} K \lor K \overline{F} &\text{(verkürzte DNF)}\\
&\equiv K ( \overline{H} \lor \overline{F} ) &\text{(verkürzte KNF)}
\end{align*}

Bem.: In manchen Fällen kann die kanonische DNF (oder KNF) nicht mehr verkürzt werden.\\
Beispiel:\\
\( F_n := (A_1 \oplus A_2) \land (A_3 \oplus A_4 ) \land ... \land (A_{n-1} plus A_n) \)\\
\(n\) gerade.\\
Kann nicht gekürzt werden.\\
Beweis durch Widerspruch:\\
Sei \(\hat F_n\) die kanonische DNF von \(F_n\), \(\tilde F_n\) eine verkürzte DNF von \(F_n\)\\
\( \Rightarrow \) \(\tilde F_n\) enthält eine Klausel K, die nicht alle Variablen enthält. Sei \(A_j\) in K nicht enthalten.

Wähle \(A_1, ..., A_n\) so, dass K den Wert 1 annimmt.\\
( \( \Rightarrow \hat F_n, F_n, \tilde F_n\) sind wahr.)

Ändere den Wert von \(A_j\)\\
Der Wert von K (und \(\tilde F_n\)) ändert sich nicht, aber der Wert von \(F_n\) wird 0.\\
\( \rightarrow \) Widerspruch!\\
\( \rightarrow \) \(\tilde F_n\) gibt es nicht.

\newpage
\section{Mengen}
\subsection{Definition von Mengen}

Wir definieren hier eine \underline{Menge} als Zusammenfassung wohldefinierter, unterscheidbarer Objekte.\\
Ein Objekt \(x\) heißt \underline{Element} der Menge \(M\) (\(x \in M \)), wenn \(x\) in \(M\) enthalten ist.. (anderfalls \(x \not\in M\))

Anmerkung: Diese „naive“ Definition von Mengen kann zu Widersprüchen führen. Keine Widersprüche treten auf, wenn man nur Teilmengen einer zuvor Definierten Grundmenge betrachtet.

Zwei Mengen \(M,N\) sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten:\\
\hspace*{5mm}\(M=N \Leftrightarrow \) Für alle Objekte \(x\) gilt: \( x \in M\) genau dann, wenn \(x \in N\)

Bem.: Insbesondere sind keine Konzepte wie die Häufigkeit der Elemente in einer Menge oder die Reihenfolge der Elemente in einer Menge definiert.\\
z.\,B.:
\begin{align*}
\{1,2,3\} &= \{ 3,2,1\}\\
	&= \{1,2,2,3,3,3\}\\
	|\{1,2,3\}| &= 3
\end{align*}

Die Anzahl der verschiedenen Elemente einer Menge \(M\) heißt die \underline{Mächtigkeit} von M (Abk.: \( |M|\))

\subsection{Notation von Mengen}

\begin{itemize}
	\item
		Aufzählung (bei endlich vielen Elementen).\\
		\( T_{10} = \{1,2,5,10\} \) (Menge der Teiler von 10)
	\item
		Aufzählung mit Auslassungszeichen:\\
		\( \{ 1,2,...,n\} =: [n]\) (alle natürlichen Zahlen von 1 bis n)
	\item
		Bei unendlichen Mengen:
		\begin{align*}
			\mathbb N := &\{ 0,1,2,...\} &\text{(Menge der natürlichen Zahlen)}\\
			&\{ 1,3,5,7,...\} &\text{(ungerade natürliche Zahlen)}\\
			Q = &\{ 0,2,4,9,16 \} &\text{(Quadratzahlen)}
		\end{align*}
	\item
		ganz allgemein: Angabe einer Eigenschaft:
		\begin{align*}
			Q &= \{ x \in \mathbb N \mid x \text{ ist Quadratzahl} \}\\
			&= \{ x \in \mathbb N \mid \text{ es gibt } y\in \mathbb N: y^2 = x\}\\
			&= \{ x \in \mathbb N \mid \sqrt(x) \in \mathbb N \}\\
			\mathbb Q &= \left\{ \frac{a}{b} \mid a,b \in \mathbb Z \text{ und } b \ne 0 \right\} &\text{(Menge der Natürlichen Zahlen)}
		\end{align*}
\end{itemize}

\subsection{Teilmengen}

Enthält \(M\) alle Elemte der Menge \(N\), dann heißt, dann heißt \(N\) \underline{Teilmenge} von \(M\) (\(N \subseteq N\))\\
\( N  \subseteq M \)\\
und \(M\) \underline{Obermenge} von \(N\).\\
Wenn \(M\) ein Element enthält, das nicht in \(N\) vorkommt \(N  \subseteq, aber N \ne M \), dann heißt \(N\) \underline{echte Teilmenge} von \(M\) ( \( N \subset M, N \subsetneq M \)).

Jede Menge hat zwei triviale Teilmengen:
\begin{align*}
	M &\subseteq M \\
	\emptyset &\subseteq M
\end{align*}
Die Teilmengenbeziehung nennt man auch \underline{Inklusion}.\\
Die Inklusion hat folgende Eigenschaften:
\begin{enumerate}
	\item
		Reflexivität:\\
		\(M \subseteq M \) für jede Menge \(M\)
	\item
		Transivität:\\
		\( A \subseteq B \text{ und } B \subseteq C \)\\
		\( \Rightarrow A \subseteq C \)
	\item
		Antisymmetrie:\\
		\(A \subseteq B\quad\land\quad B \subseteq A \Leftrightarrow A = B \)
\end{enumerate}
Beispiel:\\
\begin{align*}
	A &:= \{ 2\cdot x \mid x \in \mathbb Z \} \\
	B &:= \{ y+z \mid y+z \in\mathbb Z, y \text{ und } z \text{ ungerade } \}\\
	A &\overset{?}{=} B\\
	A &\overset{!}{=} B\\
	\text{Sei } &2x \in A, x \in \mathbb Z\\
	&\Rightarrow 2x = \underbrace{(2x +1)}_{=y}\underbrace{-1}_{=z} \in B\\
	&\Rightarrow A \subseteq B\\
	B \subseteq A:\\
	\text{Sei } &y+z \in B \text{ y,z ungerade}\\
	y &= 2n +1 \text{ für ein } n \in \mathbb Z\\
	z &= 2n + 1\\
	&\Rightarrow y + 2 = 2 (n+m+1) \text{ ist gerade}\\
	&\Rightarrow y + z \in A, B \subseteq A
\end{align*}
Antisymmetrie:\\
\( \Rightarrow A = B \)

Die \underline{Potenzmenge} \(\mathcal P(M)\) einer Menge \(M\) ist die Menge aller Teilmegen von \(M\).

Bsp.:\\
	\(\mathcal P(T_q) = \mathcal P(\{1,3,9\})\)\\
	\( = \{ \emptyset, \{1\},\{3\},\{9\},\{1,3\},\{1,9\},\{3,9\},\{1,3,9\} \} \)\\
	\( |\mathcal P(M)| = 2^{|M|} \)

\subsection{Operationen auf Mengen}

Es seien \(A,B\) zwei beliebige Mengen.
%TODO% Venn-Diagramme…
\begin{itemize}
	\item
		Vereinigungsmenge:\\
		\( A \cup B := \{ x \mid x \in A \text{ oder } x \in B \}\)
	\item 
		Schnittmenge:\\
		\( A \cap B := \{ x \mid x \in A \text{ und } c \in B \}\)
	\item
		Differenzmenge:\\
		\(A -B := A \backslash B := \{ x \mid x \in A \text{ und } x \not\in B \}\)
	\item
		Symmetrische Differenz:\\
		\(A \triangle B := (A \backslash B) \lor (B \backslash A) \)\\
		\( = \{ x \mid \text{entweder } x \in A \text{ oder } x \in B \} \)
\end{itemize}

\subsection{Rechenregeln}
(Folgen direkt aus den Regeln für logische Formeln.)

\( A \cup B = \{ x \mid x\in A \text{ oder } x \in B \} \underset{(1)}{=} \{ x \mid x\in B \text{ oder } x \in A \} = B \cup A \)\\
{\small \((1)\) Kummutativgesetz für\( \land \)}

\begin{enumerate}
	\item
		\underline{Kommutativgesetz} \((*)\)\\
		\( A \cup B = B \cup A \)\\
		\( A \cap B = B \cup A \)\\
		\( A \triangle B = B \triangle A \)
	\item
		\underline{Assoziotivgesetze} \((*)\)\\
		\(A \cup ( B \cup C ) = ( A \cup B ) \cup C\)\\
		\( A\cap ( B \cap C ) = ( A \cap C ) \cap C \)\\
		\( A\triangle ( B \triangle C ) = ( A \triangle C ) \triangle C \)\\
	\item
		\underline{Distributivgesetze} \((*)\)\\
		\( A \cup ( B \cap C ) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)\\
		\( A \cap ( B \cup C ) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)\\
		\( A \cap ( B \triangle C ) = (A \cap B) \triangle (A \cap C)\)
	\item 
		\underline{Doppeltes Komplement}\\
		\( \overline{\overline{A}} = A \)
	\item
		\underline{de Morgansche Gesetze}\\
		\( \overline{ A \cup B } = \overline{A} \cap \overline{B} \)\\
		\( \overline{ A \cap B } = \overline{A} \cup \overline{B} \)\\
	\item
		\underline{weiteres Gesetz mit Komplement}\\
		\( A \triangle B = \overline{A} \triangle \overline{b} \)
	\item
		\underline{Verschmelzungsgesetze} \((*)\)\\	
		\(A \cap ( A \cup B ) = A \)\\
		\( A \cup ( A \cap B ) = A \)
	\item
		\underline{Idempotenzgesetze}\\
		\( A \cup A = A \)\\
		\( A \cap A = A \)
	\item
		\underline{Existenz des komplementären Elements} \((*)\)\\
		\( A \cup \overline{A} = M\)\\
		\( A \cap \overline{A} = \emptyset\)
	\item
		\underline{Gesetze für \(M, \emptyset\)}
		\begin{align*}
			A \cup M &= M  &  A \cup \overbrace{\emptyset}^{1} &= A \\
			A \cap \underbrace{M}_{2} &= A  &  A \cap \emptyset &= \emptyset
		\end{align*}
		{\small \((1)\) neutrales Element bzgl. \(\cup\)}\\
		{\small \((2)\) neutrales Element bzgl. \(\cap\)}
	\item
		\underline{Kontraposition}\\
		\( A \backslash B = \overline{B} \backslash \overline{A} \)
	\item
		\underline{weitere}\\
		\( A \backslash B = A \cap \overline{B} = \overline{\overline{A} \cup B} \)
\end{enumerate}

\textcolor{darkgreen}{\underline{Def.:}} Sei \(M\) eine beliebige Menge, \( A \subseteq M \).\\
Dann heißt\\
\hspace*{4mm} \(\overline{A} = M \backslash A = \{ x \mid x \in M \text{ und }x \not\in A \}\)\\
das \underline{Komplement} von A bzgl. M.

\subsection{Kreuzprodukte}
Bei vielen Anwendungen hat man mit geordneten Paaren von Objekten zu tun.

\underline{Beispiel:} kartesische Koordinaten in der Ebene.
%TODO% koordinatensystem; punkte: P(sqrt(3),1); Q(1,sqrt(3))

Mengen sind ungeeignet zur Darstellung geordneter Paare.\\
\( \left( \left\{ 1,\sqrt{3} \right\} = \left\{ \sqrt{3},1 \right\} \right) \)

\textcolor{darkgreen}{\underline{Definition:}}\\
Seien A und B beliebige Mengen.\\
Die Menge:\\
\vspace*{4mm}\( A \times B := \{(a,b) \mid a \in A \text{ und } b \in B \} \)\\
der geordneten Paare mit erster Komponente in A und zweiter Komponente in B heißt das \underline{Kreuzprodukt} (oder \underline{kartesische Produkt}) von A und B.

Abkürzung: \( A \times A =: A^2\)

\underline{Beispiel:}\\
\begin{itemize}
	\item
		Koordinatenmenge der Eben:\\
		\( \mathbb R \times \mathbb R = \mathbb R^2\)
	\item
		Seien \( [x_{min}; x_{max}] \subset \mathbb R, [y_{min}; y_{max}] \subset \mathbb R \) (mit
		\( x_{min} < x_{max}, y_{min} < y_{max} \)) zwei Intervalle.\\
		\( [x_{min},x_{max}] \times [y_{min}, y_{max}] \)
	\item
		\underline{Polarkoordinaten (in der Ebene)}\\
		\( (r,\phi) \in \mathbb R_{0}^+ \times {[0,2\pi)} \)\\
		\( = \{r', \phi' \mid 0 \le r', 0 \le \phi' <2\pi \} \)
\end{itemize}

Allgemeiner:\\
Für beliebige Mengen \( A_1, ... A_n \) bezeichnet das n-fache Kreuzprodukt\\
\hspace*{4mm} \( A_1\times ... \times A_n:= \{ (a_1, a_2, ..., a_n) \mid a_i \in A_i \text{ für } i=1, ... , n  \} \)\\
die Menge aller n-Tupel mit i-ter Komponente in \(A_i \).

\underline{Beispiel:} kartesische Koordinaten in 3D:\\
Koordinaten von P:\\
\includegraphics{bilder/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf}\\
\( (x_P,Y_P,Z_P) \in \mathbb R \times \mathbb R \times \mathbb R \) \\
\( (1, \sqrt{3}, 5) \)

\underline{Beispiel:} Zylinderkoordinaten\\
%TODO% Koordinatensystem
\( (r_P, \phi_P, Z_P) \in \mathbb R_{0}^+ \times {[0,2\pi)} \times \mathbb R  \)

\( (r, \phi, Z) \in {[0,R]} \times {[0,2\pi)} \times {[0,Z]} ,\quad R,Z \in \mathbb R^+ \)
%TODO% Zylinder [=,R] x [0,2pi) x [0,Z]

\underline{Beispiel:}
\begin{align*}
	\mathbb B := \{0,1\} &\widehat= 1 \text{ Bit}\\
	\mathbb B^8 = \underbrace{\mathbb B \times ... \times \mathbb B}_{\text{8-mal}} &\widehat=  1\text{ Byte} = 8 \text{ Bit}
\end{align*}
\(\mathbb B^n \widehat= \) Menge aller Bitstrings von Länge \(n\).

	\( \underbrace{\{  \}}_{\text{Leeres Wort}} \cup \mathbb B \cup \mathbb B^2 \cup \mathbb B^3 \cup ...
	=: \bigcup^{\infty}_{i=0} \mathbb B^i \)\\
	\( = B^* \)\\
	( \(B^*\) enthält alle Bitstrings von endlicher Länge)

Mit einem Bit lassen sich zwei Zahlen darstellen, mit einem Byte \( \left| \mathbb B^8 \right | = 2^8 = 256 \).

Allgemein gilt:\\
	Wenn \(A_1, ... A_n \) endliche Mengen sind, ist \( \left| A_1 \times ... \times A_n \right| = \left| A_1 \right| \cdot ... \cdot \left| A_n \right| \)

\newpage
\section{Relationen}
\subsection{Relationen}
Das Kreuzprodukt \( A \times B \) enthält alle Kombinationen von Elementen aus \(A\) mit Elementen aus der Menge \(B\). Häufig ist man nur an einer Teilmenge dieser Kombinationen interessiert.

\underline{Beispiel:} Kategorisierung von Objekten, etwa:\\
\begin{itemize}
	\item Bücher: Autor, Vertrag, Genre, Themengebiet
	\item Online-Shop:\\
		Artikel nach Produkttyp,  Hersteller, Preisklasse, Sonderangebote\\[3mm]
		\begin{tabular}{r|cccl}
			Artikel: && Produkttyp: &\\
			\textbf{T} & Bügeleisen & Fernseher & DVD-Player & ...\\
			\hline
			1023 & X\\
			0815 & & X & X\\
			923  & X
		\end{tabular}
\end{itemize}

\textbf{T} \( \subseteq \) Menge aller Artikel  \(\times\) Menge aller Produkttypen

\textcolor{darkgreen}{\underline{Definition:}} Seien \(A, B\) zwei Mengen, \( R \subseteq A \times B \)\\
	Dann heißt \(R\) eine \underline{Relation zwischen \(A\) und \(B\)}. Falls \(A=B\), d.\,h. \(R \subseteq A^2\), dann heißt \(R\) auch \underline{Relation} auf \(A\)\\
\((A^2 = A \times A )\)

\underline{Beispiel:}\\
\( T = \{ (1023, \text{ Bügeleisen}), (0815, \text{ Fernseher}), (0815, \text{ DVD-Player}), ... \}\)\\
Schreibweise: statt \((a,b) \in \mathbb R \) schreibt man häufig \( a\mathbb R b \)

Allgemeiner:\\
Jede Teilmenge \(\mathbb R \le A_1 \times ... \times A_n \) eines n-fachen Kreuzprodukts heißt \underline{n-stellige Relation}.

\underline{Beispiel:} Vater-Mutter-Kind-Relation:\\
	\((x,y,z) \in B \Leftrightarrow \) x ist Vater von z und y ist Mutter von z.

\underline{Beispiel Online-Shop:}\\
\( T' \subseteq \) Menge der Artikel \(\times\) Menge der Produkttypen \(\times\) Menge der Preisklassen \(\times\) Menge der Hersteller.

Besodners häufig hat man es mit binären Relationen R auf eine endliche Menge A zu tun; solche Relationen ann man auch durch einen \underline{Graphen} darstellen:\\
\includegraphics{bilder/3-1.pdf}\\
Graph \(G = (V,E)\)\\
\(V\): Menge der Knoten („Punkte“, vertices)\\
\(E\): Menge der Kanten („Pfeile“, edges)\\
\( R = E \subseteq V \times V = A \times A \)

alternative Darstellung von Graphen:\\
(z.\,B. Algorithmen)

\underline{Adjazenzmatrix:}\\
\( M = \begin{pmatrix}
	1&1&0&0\\
	1&0&1&0\\
	0&0&0&0\\
	0&1&1&0
	\end{pmatrix}\)\\
Der Eintrag \(M_{ij}\) in Zeile i, Spalte j von M ist 1, wenn es im Graphen eine Kante vom Knoten i zum Knoten j gibt, sonst 0.

Die Adjazenzmatrix läßt sich also mit \( |V| ^2\) vielen Bits abspeichern.

\textcolor{darkgreen}{\underline{Definition:}}\\
Sei \( R \subseteq A \times B \) eine binäre Relation.\\
\(D(R) := \{ a \in A \mid \text{ es gibt ein } b \in B \text{ mit } a R b \} \)\\
\hspace*{4mm}(\underline{Definitionsbereich} von R)\\
\( W(R) := \{ b \in B \mid \text{ es gibt ein } a \in A \text{ mit } a R b \} \)\\
\hspace*{4mm}(\underline{Definitionsbereich} von R)

\underline{Obiges Beispiel:}\\
\(D(R) = \{1,2,5\} \)\\
\hspace*{4mm}(Zeile 3 ist eine Nullzeile in M)\\
\(W(R) = \{1,2,3\} \)\\
\hspace*{4mm}(Spalte 4 in M ist eine Nullspalte)

\underline{Einschub: Quantoren}\\
Sei \(F(x)\) eine Formel, die von einer Variablen \(x\) abhängt.\\
Wir führen zwei Quantoren, den \underline{Allquantor} \(\forall\) und den \underline{Existenzquantor} \(\exists\) ein:\\
\( \forall x: F(x)) \) bedeutet „für alle x gilt F(x)“\\
\( \exists x: F(x) \) bedeutet „es gibt ein x, so dass F(x) gilt“

Für eine Formel \( G(x_1,..., x_n) \) definiert man analog:\\
	\(Q_1 x_1 : Q_2 x_2 : ... : Q_n x_n : G(x_1 , ... x_n) \)\\
wobei die \(Q_i\) jeweils ein Allquantor oder ein Existenzquantor sind.\\
\underline{Beispiel:} „Es gibt jemanden, der alles versteht.“\\
entspricht: \( \exists x : \forall y : x \text{ versteht } y\).\\
Die Reihenfolge der Quantoren ist wichtig:\\
\( \forall y : \exists x : x \text{ versteht } y \)\\
„Jede Sache wird von jemandem verstanden.“

Negation quantisierter Formeln:\\
\( \neg \forall x : F(x) \) („nicht für alle \(x\) gilt \(F(x)\))\\
\( \equiv \exists x : \neg F(x) \) („es gibt ein \(x\), so dass \(F(x)\) nicht gilt.“)\\
\( \neg \exists x : F(x) \) („es gibt kein \(x\), so dass \(F(x)\) gilt“)\\
\( \equiv \forall x : \neg F(x) \) („für alle \(x\) gilt \(F(x)\) nicht“)

\underline{Beispiel:}\\
„Niemand versteht alles“\\
\( \neg \exists x : \forall y : x \text{ versteht } y \)\\
\( \equiv \forall x : \neg ( \forall y : x \text{ versteht } y) \) („Jeder versteht nicht alles.“)\\
\( \equiv \forall x : \exists y : \neg ( x \text{ versteht } y )\) („Für jedes x gibt es etwas, was x nicht versteht“)

\subsection{Zusammengesetzte Relationen}
Seien \(R,S\) zwei Relationen \((R \subseteq A \times B, S \subseteq B \times C )\)
\begin{itemize}
	\item
		Die \underline{Umkehrrelation} \(R^{-1} \subseteq B \times A \) ist definiert als\\
		\(R^{-1} = \{ (a,b) \mid (a,b) \in R \} \)
		\begin{itemize}
			\item Rollen der Zeilen und Spalten vertauscht
			\item für die Matrixeinträge gilt:\\
				\((A_{R^{-1}})_{ij} = (A_R)_{ji} \) für \(i,j = a,...,e\)
			\item \(A_{R^{-1}}\) ist also die Transponierte von \((A_R)^T\) von \(A_R\)
			\item \(A_{R^{-1}}\) geht durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen aus \(A_R\) hervor
			\item \( (A_{(R^{-1})^{-1}})_{ij} = (A_{R^{-1}})_{ji}\)\\
				\( \Rightarrow ( A_{(R^{-1})^{-1}} ) = (A_R)_{ij} \)
		\end{itemize}
	\item
		Die \underline{Verkettungsrelation} \( S \circ R \subseteq A \times C \) (S nach R)\\
		ist \( S \circ R := \{ (a,c) \in A \times C \mid \exists v \in B : a R b \land b S c \} \)
\end{itemize}
\underline{Beispiel:} Online-Shop:\\
„Heute 20\% Rabatt auf Tiernahrung und Fernseher.“\\
\begin{tabular}{c|ccc}
	S & „-20\%“ & „-10\%“ & „\(\pm\)0\% \\
	\hline
	Tiernahrung & X\\
	Fernseher & X\\
	Bügeleisen & & & X
\end{tabular}\\
Frage: „Wieviel Rabatt gibt es auf Artikel 0815?“\\
Lösung:\\
Betrachte \(S \circ T \)\\
wir finden: (0815, Fernseher) \( \in T \),\\
(0815, DVD-Player) \( \in T \),\\
(Fernseher,„-20\%) \( \in S\)\\
\( \Rightarrow\) (0815, „-20\%“) \( \in S \circ T \)\\
(wähle b=Fernseher in der Definition von \(S \circ T\)

Beispiel für die Umkehrrelation:\\
\begin{itemize}
	\item
		Kleiner-gleich-Relation auf \(\mathbb R \):\\
		\( y \leqslant^{-1} x \Leftrightarrow x \leqslant y \Leftrightarrow y \geqslant x\)\\
		\( (y,x) \in \leqslant^{-1} \quad (x,y) \in \leqslant \quad (y,x) \in \geqslant\)\\
		\( \Rightarrow \) Die Umkehrrelation von \( \leqslant \) ist \( \geqslant \).
\end{itemize}

\underline{am Beispiel von Graphen:}\\
\begin{itemize}
	\item
		\underline{Umkehrrelation:}\\
		Es ändert sich lediglich die Richtung der Pfeile.
	\item
		\underline{Verkettungsrelation:}\\
		\( G^2 = G \circ G := (V, E \circ E) \)\\
		wenn \( G = (V, E )\)
\end{itemize}
\includegraphics{bilder/3-2.pdf}

\underline{\underline{\textbf{Eigenschaften von Umkehr- und Verkettungsrelationen}}}

\textbf{Einschub: Umkehrrelation}

\( R \subseteq A \times B , C \subseteq B \times C , R \subseteq B \times A \)\\
\( b(R^{-1})a \Leftrightarrow aRb\)\\
\(b \in B, a \in A\)

Bsp.:\\
\( x \le y \Leftrightarrow y \ge x \)\\
\( \le^{-1} \Leftrightarrow \ge \)

Adjezenzmatrix von \(\mathbb R \):

\includegraphics[width=6cm]{bilder/3-3_adjezenzmatrix.pdf}

\textbf{Einschub Verkettungsrelation:}

\( S \circ R \subseteq A \times C, \quad a \in A \quad c \in C \)\\
\(a(A \circ R)c \Leftrightarrow \exists b \in B: aRb \land bSc\)

Eigenschaften:\\
\begin{itemize}
	\item
		\textcolor{yellow}{\underline{\textcolor{black}{\( (R^{-1})^{-1} = R \subseteq A \times B\)}}} \( : a \in A, b \in B \) beliebig gewählt.\\
		\( a(R^{-1})^{-1}b \Leftrightarrow b(R^{-1})a \Leftrightarrow aRb \)
	\item
		\textcolor{yellow}{\underline{\textcolor{black}{\( (S \circ R)^{-1} = R^{-1} \circ S^{-1} \)}}}\\
		Beweis: siehe Übungsaufgabe
\end{itemize}

\subsection{Die Klassifikation von Relationen}

Eine Relation \( R \subseteq A \times A \) kann folgende Eigenschaften besitzen:\\
\begin{itemize}
	\item Reflexivität: \( \forall a \in A : aRa\,(R) \)
	\item Symmetrie: \( \forall a,b \in A : aRb \leftrightarrow bRa\,(S) \)
	\item Antisymmetrie: \( \forall a,b \in A : aRb \land bRa \rightarrow a=b\,(AS) \)
	\item Transitivität: \( \forall a,b,c \in A : aRb \land bRc \rightarrow aRc\,(TR) \)
	\item Totalität: \( \forall a,b \in A : aRb \lor bRa\,(TO) \)
\end{itemize}

Von besonderer Bedeutung sind folgende Kombinationen dieser Eigenschaften:
\begin{enumerate}
	\item \(R\) ist eine Äquivalenzrelation, wenn \(R\) die Eigenschaften \((R),(S),(TR)\) besitzt.
	\item \(R\) ist eine Halbordnung, wenn \(R\) die Eigenschaften der \((R),(AS),(TR)\) besitzt.
	\item Eine Halbordnung, für die zusätzlich \((TO)\) gilt, heißt totale Ordnung.
\end{enumerate}

Bsp.:
\begin{itemize}
	\item
		Die Äquivalenz aussagen logischer Formeln (\(\equiv\)) ist ein Bsp für eine Äquivalenzrelation
	\item
		Definiere \(\cong\) als Relation auf \(\mathbb Z\) als:\\
		\( a \cong b : \Leftrightarrow a,b\) sind beide gerade oder beide Ungerade\\
		\( a \cong a \) (R)\\
		\(  a \cong b \land b \cong c \rightarrow a \cong c\,(TR)\)\\
		\( \Rightarrow \cong \) ist eine Äquivalenzrelation
	\item
		Die Kleiner-Gleich-Relation \(\le\) auf \(\mathbb R\) ist eine totale Ordnung:\\
		\begin{align*}
			x &\le x &(R)\\
			x &\le y \land y \le x \rightarrow x = y & (AS)\\
			x &\le y \land y \le z \rightarrow y \le z & (TR)\\
			\text{Es gilt auch immer:}\\
			x &\le y \lor y \le x & (TO)
		\end{align*}
	\item
		Eine Halbordnung, die keine totale Ordnung ist:\\
		Die Inklusion als Relation auf \(\mathcal P(M) \) für eine Menge.\\
		Seien \( A,B,C \in \mathcal P(M) \) (d.\,h. \( A \subseteq M, B \subseteq M, C \subseteq M\))\\
		\begin{align*}
			&\Rightarrow A \subseteq A & (R)\\
			&\Rightarrow A \subseteq B \land B \subseteq A \rightarrow A = B & (AS) \\
			&\Rightarrow A \subseteq B \land B \subseteq C \rightarrow A \subseteq C & (TR)\\
		\end{align*}
		Wenn \( |M| \ge 2 \), dann gibt es \( x \in M, y\in M \text{ mit } x \ne y \)\\
		\( \Rightarrow \{x\} \not\subseteq \{y\} \quad \{y\} \not\subseteq \{x\}\) \\
		\(\Rightarrow \) Die Inklusion ist nicht total, wenn \(M\) als 2 Elemente.
\end{itemize}

Darstellung einer Halbordnung auf einer endlichen Menge Hasse-Diagramm (am Bsp. einer Inklusion auf \(\{1,2,3\}\))

\includegraphics[height=5cm]{bilder/3-3_hasse-diagramm.pdf}

neue Klasse\\
\begin{itemize}
	\item zum Hinzufügen in eine Menge: Äquivalenzrelation!
	\item zum Hinzufügen in eine sortierte Datenstruktur Totale Ordnung
\end{itemize}

%% 2010-11-05 %%

\subsubsection{Transitive Hülle}

Transitivität: \( aRb \land bRc \rightarrow aRc \)\\
Veranschaulichung an deinem Graphen\\
\( G:= (V,E):\)

\includegraphics[height=4cm]{bilder/3-3_transitive_huelle.pdf}

Fragestellung:\\
Welche Knoten sind von eine gegebenen Knoten aus erreichbar?\\
\( G^+ := \bigcup\limits^{\infty}_{i=1} G^i = G^1 \cup G^2 \cup G^3 \cup ... \)

\underline{transitive Hülle} von G:\\
Relation R:\\
\( R^+ := \bigcup\limits^{\infty}_{i=1} R^i = R^1 \cup R^2 \cup R^3 \cup ... \) \\
\(R^+\) ist die kleinste transitive Relation die \(R\) enthält.

reflexiv-transitive Hülle einer Relation R:\\
\( R^* := R^0 \cup R^+ = \bigcup\limits_{i \in \mathbb N} R^i\)\\
(Falls R Relation auf der Menge M ist:\\
\hspace*{4mm}\(R^0 := \{ (x,x) \mid x \in M \} \))\\
\(R^*\) ist die kleinste Relation, die \(R\) enthält und (R) sowie (TR) erfüllt.

\includegraphics[height=4cm]{bilder/3-3_transitive_huelle_2.pdf}

Falls R bereits transitiv ist:\\
\hspace*{4mm}\( R^+ = R \)\\
(Falls R bereits reflexiv und Transitiv ist:\\
\hspace*{4mm}\( R^* = R  \)

\subsubsection{Äquivalenzrelationen, Partitionen, Äquivalenzklassen}

Gegeben sei eine beliebige Menge A.\\
\includegraphics[height=3cm]{bilder/3-3_unterteile.pdf}\\
Unterteile A in dijunkte Teilmengen \(A_i\) (für alle \(i \ne j: A_i \cap A_j = \emptyset\))\\
\( \bigcup\limits_i A_i = A\)\\
Die Teilmengen \(A_i\) bilden also eine \underline{Partition} von A.

Dann ist die Relation R:\\
\hspace*{4mm}\(aRb \Leftrightarrow \exists i: a \in A_i \land b \in A_i\)\\
eine Äquivalenzrelation auf A.

\underline{Beispiele:}\\
\begin{itemize}
	\item
		Unterteile \(\mathbb Z\) in Teilmengen\\
		\(A_i = \{ x \in \mathbb Z \mid x \text{ hat Rest } i \text{ bei Division durch } n\}\)
		mit \( n \in \mathbb N, n > 0 \).\\
		\includegraphics[height=15mm]{bilder/3-3_zahlenstrahl.pdf}\\
		Äquivalenzrelation:\\
		\(x \equiv y (mod n) \)\\
		(Sprechweise: „x ist kongruent zu y modulo n“)
		\(x \equiv y (mod n) \) genau dann, wenn \( \underbrace{x \text{ mod } n}_{=\text{ Divisionsrest}} = y \text{ mod } n \)

	\item
		Rundung reeller Zahlen \((A = \mathbb R)\):\\
		\( A_i := \{ x \in \mathbb R \mid x \in {(i-\frac{1}{2} , i+\frac{1}{2} ]} \} \)\\
		%% Zahlenstrahl
		x und y sind also äquivalent genau dann, wenn x und y auf dieselbe ganze Zahl gerundet werden.
\end{itemize}

umgekehrt:\\
Es sei R eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M. Für \(x \in M\) ist\\
\hspace*{4mm}\([x]_R := \{y \in M \mid xRy \} \)\\
die \underline{Äquivalenzklasse} von x bzgl. R.

Der „Quotient“\\
\hspace*{4mm}\( M / R := \{ [x]_R \mid x \in M \} \)

Behauptung:\\
Die Äquivalenzklassen von R bilder eine Partition von M.\\
Beweis:\\
\begin{itemize}
	\item
		Die Äquivalenzklassen überdecken M:\\
		Sei \( x \in M \) beliebig.\\
		Dann ist \( x \in [x]_R\), denn:\\
		\( xRx \) (folgt aus (R))\\
		\(\Rightarrow \bigcup\limits_{x \in M} [x]_R = M \) 
	\item
		Verschiedene Äquivalenzklassen sind disjunkt:\\
		Sei \([x]_R \ne [y]_R \),\\
		Annahme: \( [x]_R \cap [y]_R \ne \emptyset \)\\
		Dann gibt es ein \( c \in [x]_R \cap [y]_R\).\\
		Wähle \( z \in [x]_R\), zeige: \( z \in [y]_R\):\\
		\( xRz \land xRc \underset{(S)}{\Rightarrow} cRx \land xRz \underset{(TR)}{\Rightarrow} cRz, yRc \underset{(TR)}{\Rightarrow} yRz \Leftrightarrow z \in [y]_R\)\\
		also: \( [x]_R \subseteq [y]_R, [y]_R \subseteq [x]_R \rightarrow [x]_R = [y]_R \) Widerspruch!!
\end{itemize}

Sei G der Graph einer reflexiv-transitiven Relation R.\\
R ist eine Halbordnung \( \leftrightarrow \) G enthält keine Kreise.

\includegraphics[height=2cm]{bilder/kreis_5ele.pdf}\\
(G enthält einen Kreis \( \Leftrightarrow \) R ist keine Halbordnung.

\(\overset{\text{Beweis}}{\Leftarrow}\) (R),(TR) gelten laut Voraussetzung.\\
\( \rightarrow \) (AS) ist Verletzt.

\( \Rightarrow \exists x,y : xRy \land yRx\)

in G: \includegraphics[height=1cm]{bilder/kreis_2ele.pdf}\\

\( \Rightarrow \) Sei %%TODO x1,x2,...,xn
ein Kreis in G.

\( \Rightarrow x_{1}Rx_{2}, x_{2}Rx_{3}, ..., x_{n-1}Rx_{n}, x_{n}Rx_{1} \)\\
\( \Rightarrow x_{1}Rx_{n}, x_{n}Rx_{1} \)\\
\( \quad x_1 \ne x_n \rightarrow \) (AS) ist verletzt.

Einbettung einer Halbordnung in eine totale Ordnung.

Algorithmus:
\begin{enumerate}
	\item Wähle ein minimales x (d.\,h. \(\neg \exists y : y \le x \))\\
		(im zugehörigen Graphen führt also keine Kante zu x.)
	\item Setze \( x_1 := x \), entferne x aus dem Graphen, ebenso alle Kanten von x.
	\item Fahre bei 1. fort und wähle nacheinander \( x_1,x_2,...,x_n \) bis der Graph leer ist.
\end{enumerate}
\( \Rightarrow \) Definiere:\\
\hspace*{4mm} \( x_1 \le x_2 \le ... \le x_n \)

Beispiel:\\
\(\subseteq \) auf der Menge \( \mathcal P(\{1,2\}) \)\\
\begin{multicols}{2}
\( x_1 := \{\} \)\\
\( x_2 := \{2\} \)\\
\( x_3 := \{1\} \)\\
\( x_4 := \{1,2\} \)\\
\columnbreak\\
\includegraphics[height=4cm]{bilder/3-3_bsp.pdf}
\end{multicols}

\( \Rightarrow \)Gefundene totale Ordnung.\\
\( \{\} \le \{2\} \le \{1\} \le \{1,2\} \)

\newpage
\section{Funktionen}

Sei R eine Relation zwischen A und B. R heißt \underline{eindeutig}, wenn es zu jedem \( a \in A \) höchstens ein \(b \in B\) gibt, so dass \(aRb\). Eine eindeutige Relation \( R \subseteq A \times B \) heißt \underline{Funktion} oder \underline{Abbildung}, wenn \(D(R) = A\)

Veranschaulichung:\\
\includegraphics[height=3cm]{bilder/4-0_ver1.pdf}\\
eindeutige Relation\\
\includegraphics[height=3cm]{bilder/4-0_ver2.pdf}\\
Funktion\\

Schreibweise:\\
\( f\colon A \to B \) „d ist eine Funktion von A nach B“\\
\( f\colon a \to b \) oder \( f(a) = b \)\\
„f bildet a auf b ab.“\\
„Der Funktionswert von f an der Stelle a ist b.“\\
(„a und b stehen in Relation bzgl. f.“)

\underline{Frage:}  „Wann ist die Umkehrrelation von f wieder eine Funktion?“
\begin{itemize}
	\item \(f^{-1} \) muss eindeutig sein, d.\,h.\\
		\( \forall b \in B: \exists \) höchstens ein \(a \in A : f(a) = b\)
		oder gleichbedeutend:\\
		\(\forall a_1,a_2 \in A \text{ mit } a_1 \ne a_2 \)\\
		\( \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2) \)\\
		Funktionen mit dieser Eigenschaft heißen \underline{injektiv}.
	\item Es muss gelten:\\
		\(D(f^{-1}) = B\).\\
		\(D(f^{-1}) = W(F)\)\\
		\(f\colon Y \to X \)\\
		\(\forall y \in Y \exists x \in X : f(x)=y\)\\
		Funktionen mit dieser Eigenschaft heißen \underline{surjektiv}.
\end{itemize}
Also \(f^{-1}\) ist eine Funktion (von B nach A), wenn \(f\) injektiv und surjektiv ist. (Dann heißt \(f\) \underline{bijektiv}.)

Beispiele:\\
\begin{itemize}
	\item[a)] \(f(x) := 2x \) ist surjektiv auf \( \mathbb Q\), aber nicht auf \(\mathbb Z \) und injektiv auf \(\mathbb  Q \) und auf \(\mathbb Z\).
	\item[b)] \(f(x) := x^2\) ist nicht surjektiv auf \(\mathbb N\), ist injektiv auf \(\mathbb N \)
\end{itemize}

\textcolor{darkgreen}{\underline{Definition:}} Zwei Mengen A,B heißen \underline{gleichmächtig}, wenn es eine bijektion zwischen A und B gibt.\\
\underline{Bem.:} Eine Menge A ist endlich, wenn es ein \( n \in \mathbb N \) gibt mit\\
\hspace*{4mm}\( A \sim [n] \).\\
(Dann hat A die Mächtigkeit n.)

A ist unendlich, wenn A nicht endlich ist.\\
\textcolor{darkgreen}{\underline{Definition:}}\\
	A heißt \underline{abzählbar unendlich}, wenn \( A \sim \mathbb N\).\\
	A heißt \underline{überabzählbar unendlich}, wenn A unendlich, aber nicht abzählbar unendlich ist.

Beispiele:
\begin{itemize}
	\item \(\mathbb N \backslash \{0\} \)\\
		Bijektion\(f\colon \mathbb N \to \mathbb N \backslash \{0\} , f(x) := x+1 \)\\
		\(f\) ist injektiv: seien \(x,y \in \mathbb N, x \ne y \)\\
		\( f(x) = x+1 , f(y) = y+1\)\\
		\( x \ne y \)\\
		\(x+1 \ne y+1\)\\
		also: \( f(x) \ne f(y) \)\\
		f ist surjektiv:\\
		Sei \( z \in \mathbb N \backslash \{0\} \)  beliebig:\\
		Wähle \( x := z-1 \in \mathbb N \)\\
		\( \rightarrow f(x) = z \)\\
		d.\,h. \(W(f) = \mathbb N \backslash \{0\} \).
	\item \(\mathbb Z \) ist auch abzählbar unendlich:\\
		Nummerierung:\\
		\( 5 3 1 0 2 4 6 \)\\
		Bijetkion: \( f\colon \mathbb N \to \mathbb Z, f(x) := (-1)^x \lceil \frac{x}{2} \rceil \)
	\item \(\mathbb Q\) ist abzählbar:\\
		\(\mathbb Q \sim \mathbb Z^2 \sim \mathbb N^2 \)
	\item allgemeiner:\\
		Es seien \(A_n, n\in \mathbb N\), abzählbar unendliche Mengen. Dann ist auch\\
		\( \bigcup\limits_{n \in \mathbb N} A_n\) abzählbar.

		Konstruiere eine Bijektion\\
		\( f\colon \mathbb N \to \bigcup\limits_{n \in \mathbb N} A_n\)\\
		\hspace*{4mm}\(a_n\) ist abzählbar unendlich\\
		\(\rightarrow\) es gibt eine Bijektion\\
		\hspace*{4mm}\(g_{n}\colon \mathbb N \to A_N \)

		Definiere \(f\):
		\begin{align*}
			f(0) &:= g_{0}(0) & f(4) &:= g_{1}(1)\\
			f(1) &:= g_{0}(1) & f(5) &:= g_{2}(0)\\
			f(2) &:= g_{1}(0) & f(6) &:= g_{0}(3)\\
			f(3) &:= g_{0}(2)
		\end{align*}
		
		Falls einer der \(g_{i}(j)\) schon vorher in dieser Liste auftaucht, wird es übersprungen.
	\item \(\mathbb R\) ist überabzählbar unendlich\\
		Widerspruchsbeweis mit Diagonalargument:\\
		Annahme: \(\mathbb R\) ist abzählbar unendlich (offensichtlich: \(\mathbb R\) ist nicht endlich)\\
		\(\rightarrow\) es gibt eine Bijektion\\
		\hspace*{4mm} \(r\colon \mathbb N \to \mathbb R\)\\
		Wir zeigen: \( \exists c \in \mathbb R : c \not\in W(r)\)\\
		Konstruiere c:\\
		Es sei \(R_{i}(n)\) die i-te Nachkommastelle von \(r(n)\);\\
		setze \(c := c_0,c_1 c_2 c_3 c_4 ...\) (c = Dezimalziffer)\\
		wobei \(c_0 \ne r_{0}(0), c_1 \ne r_{1}(1), c_2 \ne r_{2}(2) \)\\
		allgemein: \(c_n \ne r_{n}(n) \)\\
		\(\Rightarrow c \ne r(0), c \ne r(1), c \ne r(2) \)\\
		\(\forall n \in \mathbb N : c \ne r(n) \)\\
		weil c und \(r(n)\) sich in der n-ten Nachkommastelle underscheiden.\\
		\(\Rightarrow c \not\in W(r) \text{ aber } c \in \mathbb R \)\\
		\hspace*{2mm}\(\Rightarrow \) r ist keine Bijektion\\
		\hspace*{4mm}\( \rightarrow \mathbb R \not\sim \mathbb N\)
	\item ähnlich:\\
		\(\mathcal P(\mathbb N) \not\sim \mathbb N \) (s. Übungsaufgabe)
\end{itemize}

\subsection{Permutation}

Zufallsexperiment:\\
n Kugeln mit Nummern \(1,...,n\);\\
ziehe Kugeln ohne zurücklegen, beachte die Reihenfolge:\\
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
	n & 1 & 2 & 3 &4 & 5\\ \hline
	\(f(n)\) & 2 & 3 & 5 & 4 & 1
\end{tabular}\\
(mögliches Ergebnis für \(n=5\))

\(\rightarrow\) \(f\) ist eine Bijektion.\\
Eine Bijektion auf einer endlichen Menge heißt \underline{Permutation}.\\
Die Menge aller Permutationen auf \([n] =: S_n\)

Algorithmus zum Erzeugen aller Permutationen auf \([n]\):
\begin{itemize}
	\item Interpretiere die Permutationen als Zahlen
	\item generiere alle Permutationen „der Größe nach“ geordnet
		\begin{enumerate}
			\item 12345 (id = „Identität“)
		\end{enumerate}
		nächst größere Zahl (von 23541 aus):\\
		\hspace*{3mm} \(a := 2 \underbrace{3}_{j} 5 4 1\)\\
		\hspace*{3mm} \(b := 2 4 1 3 5\)\\
\end{itemize}

\underline{Graphen zu Permutationen}
\begin{align*}
	n & 1\,2\,3\,4\,5 & n 1\,2\,3\,4\,5\\
	\sigma(n) & 2\,3\,5\,4\,1 & id(n) & 1\,2\,3\,4\,5
\end{align*}

\includegraphics[height=3cm]{bilder/4-1_permut.pdf}

Allgemein gilt: Jeder Knoten besitzt genau einen Nachfolger und genau einen Vorgänger.\\
\(\rightarrow\) Der Graph besteht aus unzusammenhängenden Kreisen, d.\,h. jeder Knoten ist in genau einem Kreis enthalten.

Zyklenschreibweise:\\
\((1\,2\,3\,5) (4) \)\\
Letzteres wird oft weggelassen.

\( \sigma := (1\,2\,3\,5) (4) \)\\
\( \tau := (1\,2\,4) (3\,5)\)\\[2mm]
\( \sigma \circ \sigma = (1 \, 3) (2\,5) (5)\) \\
\( \sigma \circ \tau = (1\,3) (2\,4) (5) \)\\[2mm]
\(\sigma^{-1} = (5\,3\,2\,1) (4) = (1 \, 5 \, 3 \,2 ) (4)\)\\[2mm]
\(\sigma^{-1} \circ \sigma = (1) (2) (3) (4) (5) = \) id

\newpage
\section{Vollständige Induktion}

\subsection{Einführung des Beweisverfahrens}

\( 1+2+...+100 = ? \)\\
\begin{tabular}{ccccc}
	1&2&...&50 &\\
	+100&99&...&51&\\\hline
	101+ & 101+ &...+& 101 &= \(50 \cdot 101 = \frac{100 \cdot (100+1)}{2}\)
\end{tabular}

allgemeiner Beweis mit vollständiger Induktion: \( \sum\limits_{k=1}^{n} k \overset{!}{=} \frac{n \cdot ( n+1)}{2} \)\\
Induktionsanfang: \(n=1\)\\
	\( \sum\limits_{k=1}^{1} k = 1 = \frac{1 \cdot 2}{2} \quad \checkmark\)\\
Induktionsschritt:\\
Zeige die Behauptung „für n+1“, unter der Vorraussetzung, dass sie „für n“ gilt.\\
\( \sum\limits_{k=1}^{n+1} k = \sum\limits_{k=1}^{n} k + (n+1)\)\\
\( \sum\limits_{k=1}^{n+1} k \overset{!}{=} \frac{(n+1)(n+2)}{2} \)\\
\(  \underset{\text{Induktionsvorraussetung}}{=} \frac{n\cdot (n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}\)

Allgemeine Struktur eines Beweises mit \underline{vollständiger} Induktion:\\
Wir möchten alle Aussagen \(A_i, i \in \mathbb N\), beweisen. Das funktioniert (u.\,U.) mit diesen zwei Schritten:
\begin{enumerate}
	\item
		Induktionsanfang:\\
		Beweise \(A_0\)
	\item
		Induktionsschritt:\\
		Beweise \(A_{n+1}\) (für beliebiges \(N \in \mathbb N\)\\
		unter der sog. Induktionsvorraussetzung, dass \(A_n\) gilt.
		
		\(A_0 \land (A_0 \rightarrow A_1) \land (A_1 \rightarrow A_2) \land  (A_2 \rightarrow A_3) \)\\
		\( \Rightarrow A_0 \land A_1\)
\end{enumerate}

\underline{Geometrische Reihe}

wenn der Summationsindex im Exponenten steht:\\
\( \sum\limits_{i=0}^{n} q^i , \text{ mit } q \in \mathbb R \)\\
\( q \sum\limits_{i=0}^{n} q^i = \sum\limits_{i=0}^{n} q^{i+1} = \sum\limits_{j=1}^{n+1} q^j = \sum\limits_{i=0}^{n} + q^{n+1} - 1\)
\begin{align*}
	(q-1) \sum\limits_{i=0}^{n} q^i &= q^{n+1} - 1 &\mid :(q-1) \text{ falls } q\ne 1\\
	\sum\limits_{i=0}^{n} q^i &= \frac{q^{n+1} - 1}{1-q} \\
	\sum\limits_{i=0}^{n} q^i &= \frac{1-q^{n+1}}{1-q}
\end{align*}
\underline{Bemerkung:}

Für \(q \in \mathbb Z\) ist also \(1-q^{n+1}\) teilbar duch \(1-q\).

Beispiel:
\begin{itemize}
	\item \( 12^{17} -1 \) ist teilbar duch 11.
	\item \( 2^{24} - 1 = (2^3)^8 -1 = 8^8 - 1 \) ist durch 7 teilbar.
\end{itemize}

\(q = 1\):\\
\( \sum\limits_{i=0}{n} q^i = \sum\limits_{i=0}^{n} = n+1\).

alternativ: Beweis mit vollständiger Induktion (für \(q\ne 0\))\\
IA: \(n=0\),\\
\(\sum\limits_{i=0}^{0} q^i = 1 = \frac{1-q^{0+1}}{1-q}\)

IS: \( \sum\limits_{i=0}{n+1} q^i = \sum\limits_{i=0}^{n} q^i + q^{n+1} \)\\
\( \underset{\text{I.V.}}{=} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} + \frac{q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}\)

\(\sum\limits_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)\\
kleine Verallgemeinerung:\\
\( \sum\limits_{k=0}^{n} p^{n-k} \cdot q^k = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{p^n}{p^k} \cdot q^k\)\\
%TODO% \( = p^n \frac{(1-(\frac{p}{q})^{n+1}) \cdot p\)\\
\( = \frac{ p{n+1} - q^{n+1} }{ p-q} \)

Folgerung falls \(p,q \in \mathbb Z\), ist \\
\( p^{n+1} - q^{n+1} \) teilbar durch p-q.\\
z.B. \(12^100 - 5^100 \) ist teilbar duch 7.

\underline{Einschub: Summen und Produkte}

\begin{enumerate}
	\item Definition (rekursiv):\\
		\( \sum\limits_{k=1}^{0} a_k := 0\) „leere Summe“ \\
		\( \prod\limits_{k=1}{0} a_k := 1\) „leeres Produkt“

		\( \sum\limits_{k=1}{n+1} a_k := \sum\limits_{k=1}{n} a_k + a_{n+1}\)\\
		\( \prod\limits_{k=1}{n+1} a_k :=a_{n+1} \prod\limits_{k=1}{n} a_k \)

	\item \underline{Präzendent der Operatoren}\\
		\( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k = \left( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \right) + b \)\\
		\( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \cdot b =  \sum\limits_{k=1}^{n}\left( a_k \cdot b \right)\)\\
		\( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k + b = \left( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k \right) +b \)\\
		\( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k \cdot b = \left( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k \right) \cdot b \)
		
		\( \sum \) bindet geringfügig stärker als „+“ und „-“\\
		\( \prod \) bindet geringfügig stärker als „\(\cdot\)“
	
	\item \underline{konstante Faktoren}\\
		\( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \cdot c =  c \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \)\\
		\( a_1 \cdot c + a_2 \cdot c + ... = c \cdot ( a_1 + a_2 + ...) \)\\
		\( \prod\limits_{k=1}^{n} \left( a_k \cdot c \right) = c^n \cdot \prod\limits_{k=1}^{n} a_k \)

	\item \underline{Aufspaltung}\\
		\( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k = \sum\limits_{k=1}^{l} a_k + \sum\limits_{k=l+1}^{n} a_k \)\\
		mit \( l \in \{ 1 , ..., n \} \)\\
		\( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k = \prod\limits_{k=1}^{l} a_k \cdot \prod\limits_{k=l+1}^{n} a_k \)\\
		\( \sum\limits_{k=1}^{n} ( a_k + b_k ) = \sum\limits_{k=1}^{n}  a_k + \sum\limits_{k=1}^{n} b_k \)\\
		\( \prod\limits_{k=1}^{n} ( a_k + b_k ) = \prod\limits_{k=1}^{n}  a_k \cdot \prod\limits_{k=1}^{n} b_k \)

	\item \underline{Umnummerierung}\\
		\( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k = \sum\limits_{k=1}^{n} a_{\sigma(k)} \)\\
		\( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k = \prod\limits_{k=1}^{n} a_{\sigma(k)} \)\\
		mit einer Permutation \( \sigma \in S_n\)

	\item \underline{Mehrfachsummen/-produkte}\\
		\( \sum\limits_{k=1}^{m}\sum\limits_{l=1}^{n} a_{k l} = \sum\limits_{l=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} a_{k l} \)\\
		\( \prod\limits_{k=1}^{m}\prod\limits_{l=1}^{n} a_{k l} = \prod\limits_{l=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m} a_{k l} \)\\
		
\end{enumerate}

\subsubsection{Die Türme von Hanoi}

Aufgabe: Bringe $n$ Scheiben von A nach C, so dass jederzeit keine Scheibe auf einer kleineren Scheibe liegt.

Lösung: Bringe $n-1$ Scheiben von A nach B; lege anschließend Scheibe $n$ von A nach B. Bringe zuletzt die $n-1$ Scheiben von B nach C.

Die minimale Anzahl an Operationen um das Problem zu lösen, sei $T_n$

\( T_n = T_{n - 1} + 1 + T_{n -1} = 2 T_{n-1} + 1 \)\\
\( T_1 = 1 \)

\begin{tabular}{l|ccccc}
	n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
	\hline
	$T_n$ & 1 & 3 & 7 & 15 & 31
\end{tabular}\\
\( T_n \overset{\text{?}}{=} 2^n - 1 \) Beweis

Beweis von $2^n - 1$

\textbf{IA:} n = 1\\
\( T_1 = 1 = 2^1 - 1\)

\textbf{IS}\\
\begin{align*}
	T_{n+1} &= 2 \cdot T_n + 1\\
	&\underset{\text{IV}}{=} 2 \cdot (2^n - 1) +1\\
	&=2^{n+1} - 1 & \text{q.e.d.}
\end{align*}

Wenn sie für $n$ gilt, sollte sie auch für $n+1$ gelten, ziel der Vollständigen Induktion.

\subsection{Anwendung: Analyse von Algorithmen}

Dec2Bin(n)
\begin{enumerate}
	\item k = 0
	\item while \(n > 0\) do
	\item \hspace*{3mm}b[k] = n mod 2
	\item \hspace*{3mm}n = \(\lfloor n/n \rfloor\)
	\item \hspace*{3mm}k = k + 1
	\item return b
\end{enumerate}

Bei erreichen von Zeile 2 gilt jedesmal die Invariante\\
\( m = 2^k \cdot n + \sum_{j=0}^{k-1} b[j] \cdot 2^j \quad (*)\)

Bei verlassen der Schleife (n=0) ist \( m = \sum_{j=0}^{k-1} b[j] \cdot 2^j\).\\
Also enthält b die Binärziffern von m.

Beweis von \((*)\) mit vollständiger Induktion:

\textbf{IA:} (vor dem ersten Schleifendurchlauf)\\
\(m=nm k=0 \Rightarrow 2^k \cdot n + \sum_{j=0}^{k-1} b[j] \cdot 2^j = n+0 = m \)

\textbf{IS:} \((*)\) gelte vor einem Schleifendurchlauf (I.V.)\\
Nach dem Durchlauf:\\
\( k' = k+1, n' = \lfloor n/2 \rfloor\)\\
\(2^{k+1} \lfloor n/2 \rfloor + \sum_{j=0}^{k} b[j] \cdot 2^j \)\\
\( \underset{\text{i.V.}}{=} 2^{k+1} \cdot \lfloor n/2 \rfloor + (m - 2^k \cdot n) + \underbrace{b[k]}_{n \mod 2} \cdot 2^k \)\\
\( = m + 2^k ( 2\cdot \lfloor n/2 \rfloor + n \mod 2 - n) \)

Der Wert der Klammer is 0:\\
\( n = c \cdot \lfloor n/c \rfloor + n \mod c \) für beliebiges \( c \in \mathbb N, c > 0\)

denn der Devisionsrest ist definiert als \( n \mod c := n -c \cdot \lfloor n/c \rfloor\)\\
\( \rightarrow 2^{k'} \cdot n' + \sum_{j=0}^{k'-1} b[j] \cdot 2^j = m \) q.e.d

\underline{Laufzeitabschätzung:}\\
Es sei T(n) die Anzahl der Schleifendurchläufe bei Eingabe n.\\
\( T(1) = 1\)\\
\( T(n) = 1 + T( \lfloor n/2 \rfloor ) \)\\
Das ist eine Rekursionsgleichung ähnlich wie bei Aufgabe 5.4\\
\( \Rightarrow T(n) = \lfloor \log_2 n \rfloor + 1 \)

\underline{Schnelle Exponentation}

berechne \( a^n = \underbrace{a \cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}} \) -> Aufwand O(n).

mit einem Aufwand von O(log n)

In Zeile 3 gilt die Invariante:\\
\( d = a^{(b_{k-1} ... b_{i+1})_2} \)\\
am Ende: \( i=-1, d=a^{b_{k-1} ...b_0} = a^n \)

\textbf{IA:} (vor dem ersten Durchlauf)\\
	\( 1 = d, i = k-1\)\\
	\( \Rightarrow a ^{(b_{k-1} ... b_{i+1})_2} \)\\
	\( = a^{()_z} = a^0 = ^ = d\) q.e.d

\textbf{IS:} Werte nach dem schleifen Durchlauf:\\
\(i' = i-1 \)\\
Fall 1: \(b_i = 0\)\\
	\(d' = d \cdot d = [a ^{(b_{k-1} ... b_{i+1})_2}] ^ 2 \)\\
	\( = a^{(b_{k-1} ... b_{i+1})_2 + (b_{k-1} ... b_{i+1})_2 } \)
	\( = a ^ {(b_{k-1} ... b_{i+1} 0)_2} \)\\
	\( = a^{(b_{k-1} ... b_{i})_2}\)\\
	\( = a ^ {(b_{k-1} ... b_{i'+1})_2} \)

\(a^n\)\\
Invariante in Zeile 3:\\
\( d = a^{(b_{m-1} ... b_{i+1})_2}\)\\
Fall 2: \( b_i = 1 \)\\
nach der Ausführung des Schleifendurchlaufs:\\
\( i' = i-1\)\\
\( d' = d^2 \cdot a \underset{\text{i.V.}}{=} a^{2 \cdot (b_{k-1} ... b_{i+1})_2 + 1} \)\\
\( = a ^ {(b_{k-1} ... b_{i+1} 1)_2}\)\\
\( = a ^ {(b_{k-1} ... b_{i'+1})_2}\) \\
q.e.d.

\subsection{Anwendungen in der Graphentheorie}

In diesem Abschnitt ist stets \( G = (V,E) \) ein ungerichteter Graph ohne Schleifen, über der Knotenmenge \( V := [n] \text{ mit } |E| =: e \) vielen Kanten. Bei Ungerichteten Graphen:\\
\( E \subseteq \{\{u,v\} \mid u,v \in V, u \ne v \} \)

\defin  Der \underline{Grad} (degree, engl.) deg(v) eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die bei v beginnen.

\defin  Ein \underline{Baum} ist ein zusammenhängender, azyklischer Graph. (G heißt zusammenhängend, wenn man von einem jedem Knoten in G zu jedem anderen Knoten gelangen kann. Zusammenhangskomponenten: größte zusammenhängende Teilgraphen.)

Ein \underline{Wald} ist ein azyklischer Graph. (d.\,h. die Zusammenhangskomponenten eines solchen Graphen sind Bäume)

Die Knoten vom Grad 1 (oder 0) eines Baumes heißen \underline{Blätter}, alle anderen Knoten sind \underline{innere Knoten}.

\includegraphics[height=4cm]{bilder/5-3_graphen.pdf}

\begin{enumerate}
	\item nicht azyklisch, nicht zusammenhängend
	\item azyklisch, nicht zusammenhängend, ein Wald aus zwei Bäumen.
	\item enthält einen Kreis, weder Baum noch Wald.
	\item Ein Baum: azyklisch und zusammenhängend.
\end{enumerate}

\underline{Beh.:} Jeder Baum hat Blätter.\\
\underline{Beweis:} Starte bei einem beliebigen Knoten, gehe entlang beliebiger Kanten, ohne bereits besuchte Knoten nochmals zu besuchen. Da \(|V|\) endlich ist, endet dieser Vorgang nach spätestens n Schritten.\checkmark 

\textcolor{darkblue}{\underline{Satz:}} Jeder Baum hat \(e = n-1\) viele Kanten.

Beweis mit Vollständiger Induktion übder n:\\
\textbf{IA:} \( n = 1 \rightarrow e = 0 \) \checkmark  \\
\textbf{IS:} \(G'\) habe $n+1$ Knoten. Sei v ein Blatt von \(G'\). es sei \(G\) der Teilgraph von \(G'\), den man durch Entfernen von v (und der Kante v) erhält.\\
\( \Rightarrow \) $G$ hat $n$ Knoten\\
\( \overset{\text{i.V.}}{\Rightarrow} \) $G$ hat $n-1$ Kanten\\
\( \Rightarrow \) $G'$ hat \((n-1)+1 = n\) Kanten \checkmark

Folgerung: Hat G n oder mehr Kanten, dann enthält G einen Kreis.

\defin  Ein \underline{Wurzelbaum} ist ein Baum mit einem ausgezeichneten Knoten, der sog. \underline{Wurzel}.

\defin  Die \underline{Tiefe} eines Knotens in einem Wurzelbaum ist sein Abstand zur Wurzel.\\
Die \underline{Tiefe} eines Wurzelbaumes ist die größte Tiefe eines Knotens in diesem Baum.

\underline{Bsp.:}\\
\includegraphics[height=2cm]{bilder/5-3_tiefe.pdf}

\defin  Ein \underline{Binärbaum} ist ein Wurzelbaum, in dem jeder Knoten Grad \(\le 3\)  hat, die Wurzel hat Grad 2.

\textcolor{darkblue}{\underline{Satz:}} Ein Binärbaum der Tiefe t hat höchstens \(2^t\) viele Blätter.

\includegraphics[height=2cm]{bilder/5-3_planar.png}

\defin  Ein Graph ist \underline{planar}, wenn man ihn so in der Ebene zeichnen kann, dass sich keine Kanten überschneiden.

\includegraphics[height=3cm]{bilder/5-3_planar_bsp.pdf}

Bem.: Jeder planare Graph unterteilt die Ebene in disjunkte Gebiete.


\underline{Eulersche Polyederformel:}

\(n + \underbrace{g}_{\text{anzahl der Gebiete}} = e +2\)\\
Gilt für zusammenhängende planare Graphen.

Beweis mit vollständiger Induktion über g:

\textbf{IA:} Es sei G ein zusammenhängender planarer Graph mit nur einem Gebiet.\\
Jeder planare Graph mit min. einem Kreis hat min. ein inneres Gebiet.\\
\(\rightarrow\) G kann keinen Kreis enthalten, G ist also ein Baum.
\(\Rightarrow e = n-1\),\\
\( \quad n +g = n+1 = e+2 \) \checkmark

\textbf{IS:} Es sei \(G'\) ein zusammenhängender, planarer Graph mit $g+1$ Gebieten, $n'$ Knoten und $e'$ Kanten.\\
z.z. \( n' + (g+1) \overset{!}{=} e' + 2 \)\\
$G'$ enthält min ein inneres Gebiet, also auch einen Kreis. Wähle eine Kante auf dem Kreis, entferne diese.\\
\(\Rightarrow\) Es entsteht der zusammenhängende, planare Graph $G$ mit $g$ Gebieten.
\(\underset{\text{I.V.}}{\Rightarrow}\) für $G$ gilt:\\
\( n + g = e+2\),\\
\( n' = n, e' = e+1\)\\
\(\Rightarrow\) für $G'$ gilt:
\( n' + (g+1) = (n+g) +1 = e+ 3 = e' +2 \) q.e.d.

gesucht: Zusammenhang zwischen e und n (oder Schranke für e)
\begin{itemize}
	\item edes innere Gebiet ist von mindestens drei Kanten umgeben.
	\item Jede Kante trennt höchstens zwei Gebiete.
\end{itemize}
Zähle paare von Gebieten und Kanten:
\( M := \{ (\gamma, \kappa \mid \gamma \text{ ein inneres Gebiet, }\kappa\text{ eine Kante, die J begrenzt} \} \)\\
\begin{align*}
g  \cdot 3 \le |M| \le 2 \cdot e
\Rightarrow g &\le \frac{2}{3} e \Leftrightarrow g+n \le \frac{2}{3} e + n\\
n + \frac{2}{3} \cdot e &\ge n + g \underset{\text{Euler}}{=} e + 3 &| -\frac{2}{3} \cdot e\\
n &\ge \frac{1}{3} e + 2 &| -2\\
n-2 &\ge \frac{1}{3} e &| \cdot 3\\
3n - 6 &\ge e
\end{align*}
gilt für alle zusammenhängenden planaren Graphen.

\subsubsection{Färbung von Graphen}

Eine \underline{Färbung} von G ist eine Zuordnung von Knoten auf Farben, sodass benachbarte Kanten unterschiedliche Farben besitzen.

Bem.: Als „Farben“ können können die Elemente beliebiger endlicher Mengen dienen.

Bsp.: \\
\begin{multicols}{2}
	\includegraphics[height=2cm]{bilder/5-3-1_bsp_2.pdf}
\columnbreak\\
	3-färbbar (d.\,h. es gibt eine Färbung mit 3 Farben)
\end{multicols}

K3,3\\
\begin{multicols}{2}
	\includegraphics[height=2cm]{bilder/5-3-1_k3.pdf}
\columnbreak\\
	2-Färbbar\\
	\( \chi(K_{3,3}) = 2 \)
\end{multicols}

K5\\
\begin{multicols}{2}
	\includegraphics[height=2cm]{bilder/5-3-1_k5.pdf}
\columnbreak\\
	5-Färbbar\\
	\( \chi(K_{5}) = 5 \)
\end{multicols}

Die minimale Anzahl an Farben einer Färbung von G heißt \underline{chromatische Zahl} \( \chi(G) \) von G.

\textbf{Vier-Farben-Satz}

Jede politische Landkarte kann mit vier Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Länder verschiedene Farbe besitzen.

Beweis des Vier-Farben-Satzes 1971 von Appel und Haken. (Reduktion auf ca. 2000 einzelne Graphen, Untersuchung derselben in ca. 1200 Rechnerstunden).

\textbf{Fünf-Farben-Satz (Heowood)}

Jeder planare Graph ist 5-färbbar

Beweis: Induktion über n:\\
\textbf{IA:} n = 1,2,3,4,5 \checkmark\\
\textbf{IS:} n > 5\\
(Graph $G'$ mit n+1 Kanten)\\
\( \Rightarrow \) Es gibt einen Knoten mit \(deg(v) \le 5\)\\
$G'$ ist planarer Graph.

Konstruiere Teilgraph G um $G'$ durch entfernen von V.\\
\( \Rightarrow \) G hat n Knoten und ist planar\\
\( \Rightarrow \) G ist 5-färbbar

\textbf{I.V.} Falls die Nachbarn von V weniger als 5 verschiedene Farben besitzen, kann V mit der fünften Farbe gefüllt werden. Sonst (d.\,h. die Nachbarn haben fünf versch. Farben)\\
Beweisidee:\\
\includegraphics[height=3cm]{bilder/5-3-1_beweis.pdf}
Farben \( = \{A,B,C,D,E\} \)\\
\underline{Fall 1:} Es gibt keinen „A-C, weg $V_1$ nach $V_3 \Rightarrow $  Vertausche die Farben A und C inder Umgebung von $V_3 \rightarrow$ Färbe V mit C.

\underline{Fall 2}(sonst): Es gibt keinen „B-D“ Weg von $V_2$ nach $V_4$ Verfahre analog zu Fall 1.

%TODO - Farben%
\newpage
\section{Kombinatorik}

Zufallsexperiment:
\begin{itemize}
	\item Gegeben ist eine Urne mit n Kugeln, die von 1 bis n durchnummeriert sind.
	\item Ziehe k Kugeln, wieviele mögliche Ergebnisse gibt es?
\end{itemize}

mögliche Modi:
\begin{itemize}
	\item mit zurücklegen oder ohne zurücklegen
	\item die Reihenfolge der gezogenen Kugeln wird beachtet, oder nicht.
\end{itemize}

\underline{Bsp.:} Ziehe zwei Zahlen aus \( \{ 1,2,3 \} \).

%TODO%

%\begin{tabular}{l|ll}
%	 & mit zurücklegen & ohne zurücklegen\\
%	\hline
%	geordnet & \( (1,1), (1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3) \) & \( (1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) \)\\
%	& \( \rightarrow 9 \) & \( \rightarrow 6 \)
%	ungeordnet & \begin{tabular}{l|l} & \( \{1,2\},\{1,3\},\{2,3\} \\
%	&\( \rightarrow 9 \) & \( \rightarrow 3 \) 
%\end{tabular}

\begin{enumerate}
	\item \underline{geordnet, mit zurücklegen}\\
		ziehe k Zahlen aus \( [n] \)\\
		Menge möglicher Ergebnisse: \( [n]^k \)\\
		Anzahl: \(\left| [n]^k \right| = \left| [n] \right|^k = n^k \)\\
		\underline{Bsp.:} Mögliche Zustände eines Bytes:\\
		\( \left| \{0,1\} \right|^8 = 2^8 = 256 \)
		\underline{Bsp.:} Anzahl der Wörter mit fünf Buchstaben über dem Alphabet \( C := \{ a, ..., z \} \):\\
		\( | \{a,...,z\}^5| = |C|^5 = 26^5 \)
	\item \underline{geordnet, ohne zurücklegen}
		Anzahl insgesamt:\\
		\( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-k+1) \)
		\( = \prod\limits_{j=0}{k-1} ( n-j ) \)\\
		\( n^{\underline{k}} = \underbrace{n\cdot (n-1) ... ( n-k+1)}_{\text{k Faktoren}} \)\\
		„fallende Faktorielle“
		Zusammenhang mit der Fakultät:\\
		\( n^{\underline{k}} = n! \)\\
		\( n^{\underline{n}} = \frac{n(n-1) ... 1}{(n-k)(n-k-1) ... 1} \)\\
		\( = \frac{n!}{(n-k)!}\)\\
		Bsp.: \( 5^{\underline{3}} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5!}{3!} = 60 \)
	\item \underline{ungeordnet, ohne zurücklegen}\\
		\includegraphics[width=10cm]{bilder/6-0_ung_ohne_zur.pdf}\\
		Jedes Ergebnis im Fall (1) entspricht $k!$ Ergebnissen im Fall (2), nämlich allen $k!$ Permutationen dieser k Objekte.\\
		Anzahl möglicher Ergebnisse im Fall (1)\\
		= Anzahl möglicher Ergebnisse im Fall (2) \( \cdot \frac{1}{k!}\)\\
		\( = \frac{n^{\underline{k}}}{k!} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot n!} =: \binom{n}{k} \)\\
		Binomialkoeffizient, „k aus n“
		\underline{Bsp.: von oben:} „Zwei aus Drei“
		\( \binom{2}{3} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \) \checkmark\\
		\underline{Bsp. Lotto:}\\
			\( \binom{49}{6} = \frac{49!}{43! \cdot 6!} = \frac{49 \cdot 48  \cdot  47  \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13.983.816\) mögliche Ergebnisse\\
		\(\Rightarrow\) Warhscheinlichkeit für sechs richtige \(\approx \frac{1}{14.000.000}\)
		
		Wahrscheinlichkeit für drei Richtige:\\
		Anzahl günstiger Ergebnisse:\\
		\( \binom{6}{3} \cdot \binom{43}{3} \)

		Wahrscheinlichkeit für genau drei Richtige:\\
		\( \frac{\binom 6 3 \cdot \binom{43}{3}}{\binom{49}{6}} = \frac{6!^2 \cdot 43!^2}{3!^3 \cdot 40! \cdot 49!} = \frac{8815}{499422} \)

		\underline{Bem.:} \(\binom n k\) ist die Anzahl der Möglichkeiten, eine k-elementige Teilmenge aus einer n-elementigen Menge zu wählen.

		\underline{Bsp.:} Wieviele Bitstrings der Länge 8 mit fünf Einsen (und drei Nullen) gibt es?\\
		Menge der Indizes = \( \{0,1,...,7\} \)\\
		Ergebnis = Anzahl fünfelementiger Teilmengen von \(\{ 0,1,...,7\}\)\\
		= \(\binom 8 5 = \binom{8}{8-5} = \binom{8}{3} = 56\)\\
		\( \binom 8 5 = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot (n-(n-)k)!} = \binom{n}{n-k} \)
	\item \underline{ungeordnet, mit zurücklegen}\\
		mit \( x_i \in \mathbb N, \sum\limits_{i=1}^{n} = k\) (Gesamtzahl gezogener Objekte)\\
		Bsp.: 5 Objekte, ziehe 8\\
		\begin{tabular}{c|c}
			Objekt & Anzahl\\
			1 & 3\\
			2 & 0\\
			3 & 1\\
			4 & 2\\
			5 & 2
		\end{tabular}
		\( \Rightarrow \) \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline1&1&1&3&4&4&5&5\\\hline\end{tabular}\\
		Anzahl der Ergebnisse = \( \binom{k+n-1}{n-1} = \binom{k+n-1}{n} \)
\end{enumerate}

\underline{Zusatz:} Ziehen aus einer Menge von Objekten, die nicht alle verschieden sind, am Beispiel des Algorithmus Permutations.\\
Eingabe: l Ziffern mit Häufigkeiten \( n_9,...,n_l \) mit \( \sum\limits_{i=1}^{l} n_i = n \).\\
Gesucht: Anzahl der der Zahlen, die sich aus diesen Ziffern bilden lassen.\\
Das entspricht dem Fall „geordnet, ohne zurücklegen“.\\
Nehme zunächst an, dass alle Ziffern unterscheidbar sind. Zähle diese Möglichkeiten und vergesse anschließend die Idendität gleicher Ziffern.\\
Anzahl der Möglichkeiten im Zwischenschritt:\\
\( n ^ {\underline{n}} = n! \)\\
\underline{Bsp.:} alle Ziffern \( 1,1,2,...,n-1\) (nur die 1 kommt doppelt vor)\\
Zwischenschritt:
\begin{itemize}
	\item ersetze \( 1,1 \) durch \( 1a,1b\)
	\item zu jeder Kombination \(X\) der Ziffern gibt es genau eine Kombination \(X'\), bei der lediglich $1a$ und $1b$ vertauscht sind.
	\item Vergisst man die Identität von \(1a,1b\) dann führen $X$ und $X'$ auf dieselbe Kombination des ursprünglichen Problems
	\item[\(\Rightarrow\)] Anzahl der möglichkeiten im Ursprünglichen Problem \( = \frac{1}{2} \cdot n! \)
\end{itemize}
Im allgemeinen Fall:\\
Ziffern i mit Häufigkeit $n_i$ können beliebig untereinander ausgetauscht werden \(\rightarrow n_i!\) Permutationen\\
\(\Rightarrow \) Endergebnis: \( \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_l!} = \frac{n!}{\prod\limits_{i=1}^{l} n_i! } \)

\underline{Bsp.:} Aufgabe 7.1\\
\(1,1,3,3,3\)\\
\( \Rightarrow \frac{5!}{2! 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \) \checkmark

\underline{Bsp.:} John hat 4 Büchsen Gulaschsuppe, 2 Dosen Ravioli und eine Fertigpizza. Wieviele Wochenspeisepläne sind möglich?\\
\( \rightarrow \) Ziehen ohne zurücklegen, geordnet, mit ununterscheidbaren Objekten.

Bei Unterscheidbaren Mahlzeiten:\\
\spa Anzahl Speisepläne \( = 7^{\underline{7}} = 7! \)\\
bei Unterscheidbaren Mahlzeiten:\\
\spa Anzahl der Speisepläne \( = \frac{7!}{4! 2! 1!} = 7 \cdot 3 \cdot 5\)\\
\spa \( = 105\)

\underline{einige Eigenschaften der Binomialkoeffizienten}\\
fall \( n,j \in \mathbb N, n \ge k\):
\spa \( \binom n k := \frac{n!}{k! (n-k)!} \)\\
allgemeiner:\\
\spa \( \alpha \in \mathbb R , k \in \mathbb N \)\\
\spa \( \binom \alpha k := \prod\limits_{j=1}^{k} \frac{\alpha + 1 - j}{j} = \frac{\alpha \cdot (\alpha -1) \cdot ... \cdot (\alpha +1 - k) }{k \cdot (k-1)  \cdot ... \cdot 1} \)

im Folgenden ist jeweils \( \alpha \in \mathbb R; k,n \in \mathbb N\)

\begin{enumerate}
	\item \( \binom n k = 0 \quad \text{ falls } 0 \le n < k \)\\
		z.\,B. \( \binom 3 5 = \frac{3\cdot 2 \cdot 1 \cdot 0 \cdot (-1)}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 0 \)
	\item \( \binom n k = \binom n {n-k} \) \spa (Symmetrie)
	\item \( \binom \alpha k = \frac{\alpha \cdot ... \cdot ( \alpha +1-k)}{k ... 1} \)\\
		\( = \frac{\alpha + 1 - k }{k} \frac{\alpha ... (\alpha+2-k)}{(k-1) ... 1} \)\\
		\( = \frac{\alpha + 1 -k}{k} \cdot \binom \alpha {k-1} \)
	\item \( \binom \alpha k = \frac{\alpha}{k} \cdot \frac{(\alpha-1) ... ( \alpha +1-k)}{(k-1) ... 1} \)\\
		\( = \frac{\alpha}{k} \binom{\alpha-1}{k-1} \)
	\item Summenformel:\\
		\( \binom \alpha k + \binom \alpha {k-1} \underset{3.}{=} \frac{\alpha + 1-k}{k} \binom{\alpha}{k-1} + \binom{\alpha}{k-1} \)\\
		\( = \frac{\alpha + 1}{k} \binom \alpha {k-1} \underbrace{-\frac{k}{k} \binom \alpha {k-1} + \binom \alpha {k-1}}_{=0} \)\\
		\( \underset{4.}{=} \binom {\alpha+1} k \)

		\( \rightarrow \) Pascalsches Dreieck
		%% TODO pascalsches dreieck %%
\end{enumerate}

\underline{Binomealtheorem}\\
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)\\
\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)\\
\((a+b)^n = (a+b)(a+b) ... (a+b) \)

Ausmultiplizieren von \( (a+b)^n\) liefert eine Summe von Termen der Form\\
\spa \( x_1 x_2 ... x_n \text{ mit } x_i = a \text{ oder } x_i = b \);\\
jede Kombination kommt einmal vor.\\
\(\Rightarrow\)  Der Wert von \( x_1 x_2 ... x_n \) hängt nur von der \underline{Anzahl} der enthaltenen a's und b's ab.\\
\( (a + b )^n = \sum\limits_{k=0}^{n} a^{n-k} b^k \)

Folgerung:\\
\( (1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} 1^{n-k} x ^ k \) \\
\( = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom n k \cdot x^k \)\\
\( \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{n} \binom n k = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom n k 1^k = (1+1)^n = 2^n \)\\
\spa \(  \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k \binom n k = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom n k \cdot (-1)^k = (1+(-1))^n = 0\) 

\underline{Monotone Gitterwege}

Gegeben sein ein Rechtwinkliges Gitter.\\
\includegraphics[height=3cm]{bilder/5-3-1_monotone_gitterwege.pdf}\\
Gesucht: Anzahl der kürzesten Wege von (0,0) nach (b,a); die Länge der kürzesten Wege ist \( l = a + b \).\\
Die Anzahl kürzester Wege sei\( w(a,l) \)

falls \( a  = 0 : w(0,l) = 1 \)\\
falls \( b  = 0 : w(a,a) = 1 \)\\
falls \( a >0, b>0 \)

\( w(a,l) = w(a,l-1) + w(a-1,l-1) \)\\
Beh.:\\
\( w(a,l) \overset{!}{=} \binom l a \underset{\text{symmetrie}}{=} \binom l b\)

Beweis mit vollständiger Induktion, Induktionsschritt:\\
\( w(a,l-1) + w(a-1,l-1) \)\\
\( \underset{\text{I.V.}}{=} \binom {l-1} a + \binom {l-1}{a-1} \)\\
\( = \binom l a \) \checkmark

\newpage

\section{Zahlentheorie}

\subsection{Teilbarkeit}

\defin Es seien \( m,n \in \mathbb Z \).\\
\begin{enumerate}
	\item \(m|n : \Leftrightarrow m\) ist Teiler $n$.\\
		:\( \Leftrightarrow \exists t \in \mathbb Z: m\cdot t = n\).
	\item \(T_m := \{ k \mid k \in \mathbb Z, k >0 , k|m \} \)\\
		ist die Menge aller positiven Teiler von $m$
	\item \( T_{m,n} := T_m \cap T_n\)\\
		ist die Menge der gemeinsamen (positiven) Teiler von $m$ und $n$.\\
		\underline{Bsp.:}
		\begin{itemize}
			\item \( 3|12, \text{ denn } 3 \cdot 4 = 12 \)
			\item \( 5 \not| 12 \)
			\item \( T_{12} = \{1,2,3,4,6,12 \} \)\\
				\( T_{18} = \{1,2,3,6,9,18\} \)
			\item \( \forall m \in \mathbb Z : 1|m, \text{ denn } 1 \cdot m = m\)\\
				\( m | m \)
			\item \( \forall m \in Z : m|0, \text{ denn } 0 \cdot m = 0 \)\\
				\( \rightarrow T_0 = \{ t \in \mathbb Z \mid t > 0 \} \)\\
				\( T_{0,n} = T_0 \cap T_n = T_n \)
		\end{itemize}
\end{enumerate}

\defin Divisionsrest\\
Es seien \( m,n \in \mathbb Z, m>0 \).\\
Der \underline{Rest} bei Division $n$ durch $m$ ist \( n \mod m := n-\lfloor \frac{n}{m} \rfloor m\).\\
(\( \lfloor x \rfloor \) bedeutet Abrunden, also:\\
\( \lfloor x \rfloor\) ist die größte ganze Zahl $y$ mit \( y \le x \);\\
\(\lceil x \rceil \) ist die kleinste Zahl \( z \in \mathbb Z \text{ mit } z \ge x \))

\underline{Bez.:} \( n \mod m\) „n modulo m“\\
\underline{Bsp.:}
\begin{itemize}
	\item \( 7 \mod 3 = 7 - \lfloor \frac{7}{3} \rfloor \cdot 3 = 7 - \lfloor 2+\frac{1}{3} \rfloor \cdot 3 = 7 - 2 \cdot 3 = 1 \)
	\item \(-7 \mod 3 = -7 - \lfloor -2-\frac{1}{3} \rfloor \cdot 3 \)\\
		\( = -7 - (-3) \cdot 3 = -7 + 9 = 2 \)
\end{itemize}

\underline{Folgerung:}
\begin{itemize}
	\item falls \( m|n, t \cdot m = n \)\\
		\( n \mod m = n - \lfloor \frac{n}{m} \rfloor \cdot m \)\\
		\( = n -m \lfloor t \rfloor m = n - t \cdot m = 0 \)
	\item \( r := n \mod m \in \{ 0, ... m-1 \} \):\\
		\begin{enumerate}
			\item \( r \ge 0 \):
				\( \lfloor \frac{n}{m} \rfloor \le \frac n m \rightarrow r = \lfloor \frac n m \rfloor m \overset{m>0}{\ge} n - \frac n m \cdot m = 0 \)
			\item \( r <m \):\\
				Setze \( t := \lfloor \frac n m \rfloor \)\\
				\( r = n -t \cdot m \quad | +tm -r\)\\
				\( t \cdot m = n -r \quad | :m \)\\
				\( t = \frac{n-r}{m} \)
		\end{enumerate}
		Annahme: \( r \ge m \)\\
		\begin{align*}
			\Rightarrow t+1 &= \frac{n-r}{m} + \frac{n}{m}\\
			&= \frac{n-\overset{\ge 0}{(r-m)}}{m} \le \frac n m
		\end{align*}
		also \( t+1 \in \mathbb Z, t+1 \le \frac n m \)\\
		\( \Rightarrow t\) ist \underline{nicht} die größte ganze Zahl \( \le \frac n m \), widerspruc zu \( t:= \lfloor \frac n m \rfloor \).\\
		\( \Rightarrow r < m \)
	\item Falls \( n = t \cdot m +r \text{ mit } r \in \{ 0, ..., m-1 \} \), dann gilt \( t = \lfloor \frac n m \rfloor, r = n \mod m \) . (ohne Beweis)
\end{itemize}

\defin Es seien \( m,n \in \mathbb Z, (m,n) \ne (0,0) \).\\
Dann ist ggT(m,n) der \underline{größte gemeinsame Teiler} von m und n, d.\,h. ggT(m,n) = max. \(T_{m,n}\)

kgV(m,n) :=\(  min\{ k \in \mathbb N \mid k > 0, m|k und n|k \} \) ist das \underline{kleinste gemeinsame Vielfache} von m und n.\\
\underline{Bsp.:}\\
ggT(12,18) = max( \( T_{12} \cap T_{18} \) ) = max(\(\{1,2,3,5\}\)) = 6\\
kgV(12,18) = \( 36 ( 12 \cdot 3 = 35, 18 \cdot 2 = 36) \)

\textbf{Beh.:} Für alle \( a \in \mathbb Z \) ist \(T_{min} = T_{m,n-a\cdot m} \)
\begin{enumerate}
	\item \( T_{m,n} \le T_{m,n-m\cdot a} \)\\
		Es sei \(x \in T_{m,n} \);\\
		\( t,s \in \mathbb Z \text{ mit } t\cdot x = m, s\cdot x = n. \)\\
		\( x|m \) \checkmark \\
		\( x|n-a\cdot m \):\\
		\( (s - a \cdot t) \cdot x = n -a \cdot m \)\\
		\( \Rightarrow x \in T_{m,n-a\cdot m}\) ,\\
		d.\,h. \( T_{m,n} \le T_{m,n - a\cdot m} \)
	\item \( T_{m,n} \ge T_{m,n-a\cdot m} \)\\
		Es sei \( x \in T_{m,n-a\cdot m}\),\\
		\( t,s \in \mathbb Z \text{ mit } x \cdot t = , x \cdot s = n-a\cdot m \)\\
		\( x \in T_{m,n}\):\\
		\( x|m \) \checkmark\\
		\( x|n: ( s +a \cdot t ) \cdot x = n \)\\
		\( \rightarrow T_{m,n} \supseteq T_{m,n-a\cdot m}\),\\
		\( T_{m,n} = T_{m,n-a\cdot m} \)

		Folgerung: \( T_{m,n} = T_{m,n- \lfloor \frac n m \rfloor \cdot m} \)\\
		\( = T_{m,n \mod m} \),\\
		\(ggT(m,n) =max T_{m,n} \)\\
		\( = max T_{m,n \mod m} \)\\
		\( = max T_{n \mod m,m} \)\\
		\( ggT(n \mod m , m )\)
\end{enumerate}

\underline{Anwendung:} Euklidscher Algorithmus zur Bestimmung des ggT.

\begin{itemize}
	\item rekursive Formulierung:\\
		Eingabe: \( m,n \in \mathbb Z, m,n \ge 0, (m,n) \ne (0,0) \)\\
		E{\tiny UKLID}(m,n)\\
		\spa if \( m = 0\) then return n\\
		\spa else return E{\tiny UKLID}(\( n \mod m, m \))\\
		\underline{Bsp.:} ggT(18,12)\\
		\( = ggt( \underbrace{12 \mod 18}_{=12}, 18) \)\\
		\( = ggt( \underbrace{18 \mod 12}_{=6}, 12) \)\\
		\( = ggt( \underbrace{12 \mod 6}_{=0}, 6) \)\\
		\( = 6 \)
	\item iterative Formulierung:\\
		E{\tiny UKLID1}(m,n)\\
		\spa while $m \ne 0$ \\
		\spa\spa tmp := m\\
		\spa\spa m := n mod m\\
		\spa\spa n := tmp\\
		\spa return n
\end{itemize}

\textbf{Beh.:} Für alle Zahlen \( m,n \in \mathbb Z, (m,n) \ne (0,0), 0 \le m \le n \le 2^c\) (für ein \( c \in \mathbb N \)) sei \( R(m,n)\) die Anzahl rekursiver Aufrufe bei der Berechnung E{\tiny UKLID}(n mod m,m)\\
Dann ist \( R(m,n) \le 2\cdot c + 1\).\\
Beweis mit vollständiger Induktion über $c$:\\
\textbf{IA}: \( c = 0 \)
\begin{itemize}
	\item[\(\Rightarrow\)] \( n = 1, m \in 0,1 \).
	\item[1.] \( ggT(0,1) = 1 \)\\
		\(\rightarrow R(0,1) = 0\)
	\item[2.] \( ggt(1,1) = ggT(0,1) = 1\) \\
		\( \rightarrow R(1,1) = 1 \le 2 \cdot 0 + 1 \) \checkmark
\end{itemize}
\textbf{IS}: \( 0 \le m \le n \le 2^{c+1}\)\\
	z.z. \( R(m,n) \le (2(c+1) +1) \)\
	\( ggT(m,n) = ggT(n \mod m, m)\)\\
	\( = ggT(\underbrace{m \mod (n \mod m)}_{=:m'}, \underbrace{n \mod m}_{=: n'}) \)\\
	\( \Rightarrow m' < m \);\\
	\( \quad n' \le \frac n 2 \le 2^c\)\\
	\underline{Fall 1:} \( 2m > n \):\\
	\spa \( n < 2m \rightarrow n \mod m = n-m < n - \frac n 2 = \frac n 2\)\\
	\underline{Fall 2:} \( 2m < n \):\\
	\spa \( \Rightarrow n \mod m \le m-1 < m \le \frac n 2\)

Also: Nach den ersten zwei rekursiven Aufrufen gilt:  \( 0 \le m' \le n' \le \frac n 2 \le 2^c\).\\
Wegen Induktionsvorraussetzung gilt also
\begin{align*}
R(m',n') &\le 2\cdot c +1\\
\Rightarrow R(m,n) &\le 2 + R(m',n')\\
	&\le 2 \cdot (c + 1) +1. \quad \checkmark
\end{align*}

Die Laufzeit von E{\tiny UKLID}(m,n) ist also \( \le 2 \cdot \lceil \log_2 max\{m,n\} \rceil + 2\)

\underline{Der erweiterte Euklidsche Algorithmus}\\
\underline{Beh.:} \( \exists x,y \in \mathbb Z : ggT(m,n) = x \cdot m + y \cdot n \)\\
Beweis:\\
\underline{Fall 1:} \( m = 0 \Rightarrow ggT(m,n) = ggT(0,n) = n = 0 \cdot m + 1 \cdot n\), d.\,h. wähle \( x:= 0, y:= 1\).\\
\underline{Fall 2:} \( m > 0 \Rightarrow ggT(m,n) = ggT(n \mod m, m) \)

Beweis mit volständiger Induktion:\\
\textbf{IA:} \( m = 0\) \checkmark (s.\,o.)\\
\textbf{IS:} IV: \( \forall m' < m : \exists x,y \in \mathbb Z : ggT(m',n) = x \cdot m' + y \cdot n \).\\
z.\,z.: Dann gilt:\\
\spa \(\exists x', y' \in \mathbb Z: x' \cdot m + y' \cdot n = ggT(m,n) \)\\
\(ggT(m,n) = ggT(\underbrace{n \mod m}_{=: m', m'<m},m) \)\\
\( \overset{\text{.V.}}{=} x \cdot m' + y \cdot m \)\\
\( = x \cdot (n - \lfloor \frac n m \rfloor \cdot m ) + y \cdot m \)\\
\( = \underbrace{(y - x \cdot \lfloor \frac n m \rfloor )}_{=x'} \cdot m + \underbrace{x}_{=y'} \cdot m \) \checkmark

erweiterter Euklidscher Algorithmus:\\
Eingabe (wie zuvor), \( m,n \in \mathbb N, (m,n) \ne (0,0)\)\\
Ausgabe: \( d,x,y) \) mit \(d = ggT(m,n) = x \cdot m + y \cdot n \) \\
E{\tiny XTENDED}E{\tiny UKLID}(m,n)\\
\spa if m = 0 then return (n,0,1)\\
\spa else\\
\spa\spa (d,x,y):= E{\tiny XTENDED}E{\tiny UKLID}(n mod m, m)\\
\spa\spa return (d, \( y -x \lfloor \frac n m \rfloor, x\))

Bsp. (für die Ausführung des erweiterten Euklidischen Algorithmus).

\( ggT(48,27) = x \cdot 48 + y \cot 27 \)\\
\( m_0 = 48, n_0 = 27;\)\\
\( m_{i+1} = n_i, n_{i+1} = m_i \mod n_i = m_i - \lfloor \frac{m_i}{n_i} \rfloor \cdot n_i\)\\
\( x_{i-1},y_{i-1} = ? \)\\
\(ggT(m_{i+1},n_{i+1}) = x_{i+1} m_{i+1} + y_{i+1} n_{i+1} \)\\
\spa\( = y_{i+1} m_i + (x_{i+1} - \lfloor \frac{m_i}{n_i}  \rfloor y_{i+1}) n_i \)\\
\( = ggT(m_0,n_0) \)

\begin{tabular}{ccc|cc}
	$i$ & $n_i$ & $m_i$ & $y_i$ & $x_i$\\
	\hline
	0 & 48 & 27 & 4 & \(-3 - \lfloor \frac{48}{27} \rfloor \cdot 4 = -7\) \\
	1 & 27 & 21 & -3 & \(1 - \lfloor \frac{27}{21} \rfloor \cdot (-3) = 4\)\\
	2 & 21 & 6 & 1 & \(0 - \lfloor \frac{21}{6} \rfloor \cdot 1 = -3\)\\
	3 & 6 & 3 & 0 & \(1 - \lfloor \frac{6}{3} \rfloor \cdot 0 = -1\)\\
	4 & 3 & 0 & 1 & 0
\end{tabular}

\( 4 \cdot 48 - 7 \cdot 27 = 160 + 32 - 140 - 40 = 3 = ggT(48,27)\)

Den ggT braucht man z.B. zum Vollständigen lürzen von Brüchen.

Anwendungsbeispiel für den erweiterten Euklidischen Algorithmus:\\
geg. zwei Meßlatten der Längen\\
\spa \( l_1 = 48 \text{cm } , l_2 = 27 \text{cm}\)\\
Damit kann man die Länge l = 3cm (ggt(48,27)=3) vermessen:\\
\( \underset{=4}{x} \cdot 48 + \underset{=-7}{y} \cdot 27 = 3 \)\\
\(\rightarrow\) \( 4 \cdot l_1\) abmessen, \(7 \cdot l_2\) abziehen.

\subsection{Primzahlen}

Jede ganze Zahl \(n\) hat min. die \underline{trivialen} Teiler 1 und n.\\
\defin \( p \in \mathbb N\) heißt Primzahl, wenn p genau zwei positive Teiler besitzt (1 und p).

Die kleinsten Primzahlen sind:\\
\(2,3,5,7,11,13,17,19\)

\underline{Beh.:} Jede natürliche Zahl \(\ge 1\) kann als Produkt von Primzahlen geschrieben werden.

Beweis mit vollst. Induktion:\\
alternative Formulierung der Beh.:\\
Alle positiven natürlichen Zahlen \( \le n\) lassen sich als Primzahlprodukt schreiben. (\( n \ge 1\) beliebig)

\textbf{IA:} \( n = 1  \rightarrow 1 \) ist der Wert des leeren Produkts. \checkmark\\
\textbf{IS:} IV.: alle Zahlen \( \le  n\) sind Primzahlprodukte\\
	zu zeigen: alle Zahlen \( \le n+1\) sind Primzahlprodukte\\
	Es genügt, zu zeigen:
	\spa \(n+1\) ist Primzahlprodukt\\
	Fall 1:\\
	\( \rightarrow \) n+1 ist Primzahlprodukt mit nur einem Faktor.
	Fall 2:\\
	\spa \(n+1\) ist keine Primzahl,\\
	\spa \(n+1 = k \cdot l \text{ mit } 1 < k,l < n+1 \) \\
	\( \overset{\text{IV.}}{\Rightarrow} k \text{ und } l \) sind Primzahlprodukte\\
	\( \Rightarrow n+1 = k \cdot l \) ist auch Primzahlprodukt. \(\square\)

Die Darstellung einer Zahl \( n \in \mathbb N\) als Primzahlprodukt \( n = p_1 p_2 \dots p_k \) heißt auch \underline{Primfaktorzerlegung} von n (PFZ), die \(p_i\) sind \underline{Primfaktoren} von n.

\underline{Satz:} Die Primfaktorzerlegung\\
\spa \( n = p_1 p_2 \dots p_k , \quad p_1 \le p_2 \le \dots \le p_k \)

\underline{Beweis:}\\
\textbf{IA:} n = 1 (leeres Produkt) ist eindeutig \checkmark\\
\textbf{IS:} n+1 habe zwei verschiedene PFZ, \( n+1 = p_1 \dots p_r = q_1 \dots q_s \) mit \( p_1 \le \dots \le p_r, q_1 \le \dots \le q_s \)\\
1. Fall: \( p_1 = q_1 \Rightarrow \frac{n+1}{p_1} = p_2 \dots p_r = q_2 \dots q_s = \frac{n+1}{q_1} \)\\
\spa IV: \(\rightarrow\) PFZ von \( \frac{n+1}{p_1} \le n\) ist eindeutig\\
\spa \( \Rightarrow r=s , p_i = q_i \) \\
\spa \( \Rightarrow \) Die PFZen von \( p_1, \dots , p_r\) und \( q_1, \dots , q_r\) sind gar nicht verschieden, Widerspruch.

2. Fall: \( p_1 < q_1 \)\\
\spa \( p_1 | n+1 = q_1 \dots q_s \)\\
\spa \( p_1 | p_1 q_2 \dots q_s \)\\
\spa \( \Rightarrow p_1 | (q_1 - p_1) q_2 \dots q_s \)\\
\spa \( q_2, \dots , q_s\) sind nicht durch \(p_1\) teilbar, denn \( q_2, \dots, q_s \ge q_1 > p_1 \).\\
\spa \( \curvearrowright p_1 | q_1 - p_1 \curvearrowright p_1 | q_1\), aber \( p_1 < q_i \Rightarrow \) Widerspruch.

3. Fall: \( p_1 > q_1 \): analofg zu Fall 2.

\( \Rightarrow \) PFZ von \(n+1\) ist eindeutig. \(\square\)

Häufig faßt man gleiche Primfaktoren zu Potenzen zusammen:\\
\( n = \sum\limits_{i=1}^{n} p_{i}^{e_i} \quad \text{ mit } p_1 < p_2 < \dots < p_k \)\\
Ist \( p_i \not | n\), muss natürlich \(e_i = 0\) sein.

Es ist nützlich, \underline{alle} Primzahlen in das Produkt aufzunehmen:\\
\( n = \prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i^{e_i} \)\\
Wir können jede Zahl \( n \in \mathbb N, n > 0 \) durch die unendliche folge \( e_1,e_2,e_3, \dots\) von Exponenten in der PFZ darstellen.

Definiere die Hilfsfunktion\\
\( P(n) := (e_1,e_2,e_3,\dots \)\\
(„P liefert die PFZ einer beliebigen Zahl“)

P ist eine Bijektion, da die PFZ eineindeutig ist.\\
\underline{Rechenregeln für P:}\\
(Es seien \(P(m) = ( m_1,m_2,m_3,\dots) \)\\
\spa und \( P(n) = ( n_1,n_2,n_3,\dots) \))
\begin{itemize}
	\item \(P(m \cdot n)  = ? \) \\
		\(m \cdot n = (\prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i ^{m_i})(\prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i ^{n_i})\) \\
		\( = \prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i ^{m_i + n_i} \)\\
		\( \Rightarrow P(m \cdot n) = (m_1 + n_1, m_2+n_2, m_3+n_3, \dots) \)
	\item falls \( n | m: P(\frac{m}{n})  = (m_1-n_1,m_2-n_2,m_3-n_3)\) (analog)
	\item \( P( ggT(m,n) ) = ? \)\\
		\( ggT(m,n) = ggT(\prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i^{m_i},\prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i^{n_i}) \)\\
		\( = \prod\limits_{i=1}{\infty} p_i^{min(m_i,n_i)} \)
		\( \curvearrowright P(ggT(m,n)) = (min(m_1,n_1),min(m_2,n_2),min(m_3,n_3),\dots )\)
	\item \( P(kgV(m,n)) = (max(m_1,n_1),max(m_2,n_2),max(m_3,n_3),\dots )\)
	\item \(P(ggT(m,n) \cdot kgV(m,n)) = (min(m_1,n_1) + max(m_1,n_1),min(m_2,n_2) + max(m_2,n_2),min(m_3,n_3) + max(m_3,n_3),\dots )\)\\
		\( = (m_1 + n_1, m_2+n_2, \dots) \)\\
		\( = P(m,n)\)
\end{itemize}
P ist injektiv \( \Rightarrow ggT(m,n) \cdot kgV(m,n) = m \cdot n \)\\
\( kgV(m,n) = \frac{m \cdot n}{ggT(m,n)} \)\\
(Kann mit E{\tiny UKLID} berechnet werden.)

Anwendung der PFZ:\\
\( \sqrt{2} \) ist irrational (d.\,h. nicht rational, d.\,h. kein Bruch)\\
Annahme: \( \exists \frac{a}{b} \in \mathbb Q: \left( \frac{a}{b} \right) ^2 = 2 \)\\
\( \Rightarrow \underbrace{a^2}_{\text{gerade..}} = \underbrace{2 b^2}_{\text{ungerade..}} \)\\
.. Anzahl an Zweiern in der PFZ\\
aber PFZ ist eindeutig\\
\( \Rightarrow a^2 \ne 2b^2\)\\
\( \rightarrow\) Widerspruch, \( \sqrt{2} \not\in \mathbb Q \)

\defin Zwei Zahlen \(m,n \in \mathbb N; m,n > 0\) mit \(ggT(m,n) = 1\) heißen \underline{teilerfremd}. (Abk.: \( m \perp n \) )

\underline{Bsp.:} Ein Bruch \( \frac{a}{b} \) ist vollständig gekürtzt, wenn \( a \perp b\).\\
\( \frac{16}{9} \) ist vollständig gekürzt, \( 16 \perp 9 \).

Frage: Warum gibt es unendlich viele Primzahlen?\\
Annahme: Es gibt nur k verschiedene Primzahlen \(p_1, \dots, p_k \)\\
Konstruiere eine weitere Prizahl \( P := p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k + 1 \)\\
\begin{itemize}
	\item p ist nicht teilbar durch \( p_1,p_2, \dots, p_k \)
	\item also: Die PFZ von p enthält keine der Primzahlen \( p_1, \cdot , p_k\), also muss sie aus „neuen“ Primzahlen bestehen.
\end{itemize}
\(\Rightarrow \) Widerspruch. \(\square\)

\underline{Primzahlsatz:}\\
\( \pi(n) := \left| \{ p \le n \mid p \text{ ist Primzahl } \} \right| \)\\
(Anzahl Primzahlen \( \le n \))\\
\( \pi(n) \underset{\text{asymptotisch äquivalent}}{\sim} \frac{n}{\log n} \left( \pi(n) \cdot \frac{\log n}{n} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 1 \right)\)

\subsection{Kongruenzen}

Es seien \( a,b,m \in \mathbb Z, m > 0 \).\\
\( a \equiv b (\mod m) : \Leftrightarrow a \mod m = b \mod m \Leftrightarrow m | (a-b) \)\\
„a ist kongruent zu b modulo m“

Wir haben bereits gesehen (Aufgabe 3.5 zur Vorlesung) dass \(\equiv\) (mod m) eine Äquivalenzrelation ist. Diese hat m verschiedene Äquivalenzklassen:\\
\( [0]_{\equiv \mod m} = \{ t \cdot m + 0 \mid t \in \mathbb Z \} \)\\
\( [1]_{\equiv \mod m} = \{ t \cdot m + 1 \mid t \in \mathbb Z \} \)\\
...\\
\( [m-1]_{\equiv \mod m} = \{ t \cdot m + (m-1) \mid t \in \mathbb Z \} \)

\underline{zum Rechnen mit Resten:}\\
\((a+b) \mod m = (a + (b \mod m) ) \mod m\):\\
\(a + (b \mod m) = a + b - \lfloor \frac{b}{m} \rfloor m \)\\
\( \curvearrowright (a + (b \mod m)) \mod m \)\\
\( = (a + b - \lfloor \frac{b}{m} \rfloor m) - \lfloor \frac{a + b - \lfloor \frac{b}{m} \rfloor m}{m} \rfloor m \)\\
\( = a+b-\lfloor \frac{b}{m} \rfloor m - (-\lfloor\frac{b}{m} + \lfloor\frac{a+b}{m}\rfloor)m \)\\
\( = a+b- (\lfloor\frac{a+b}{m}\rfloor)m \)\\
\( = (a+b) \mod m \)

\( \Rightarrow (a+b) \mod m = (a + (b \mod m))\mod m \)\\
\( = ((a \mod m) + (b \mod m) ) \mod m\)\\
vertausche Rollen von a und b\\
\begin{itemize}
	\item analog: \( (a-b) \mod m = ( (a\mod m) - (b\mod m) ) \mod m \)
	\item \((a \cdot b) \mod m = ( \underbrace{a + \dots + a}_{\text{b-mal}} ) \mod m \)\\
		\( = ( \underbrace{(a\mod m) + \dots + (a\mod m)}_{\text{b-mal}} ) \mod m\)\\
		\( = ( (a\mod m) \cdot b ) \mod m\)\\
		\( = ( (a\mod m) \cdot(b\mod m)) \mod m\)
\end{itemize}

\underline{Bsp.:}
\( (3.8 \dot 10^9 + 378956743) \mod 5 \) \\
\( = ((3.8 \dot 10^9 \mod 5) + (378956743 \mod 5)) \mod 5 \)\\
\( = (0+3) \mod 5 = 3 \)

\underline{Rechenregeln für Kongruenzen}\\
Es seien \( a \equiv b (\mod m), c \equiv d (\mod m)\)\\
\( \Rightarrow (a+c) \equiv b+d (\mod m)\)\\
\spa\( (a-c) \equiv b-d (\mod m)\)\\
\spa\( (a\cdot c) \equiv b\cdot d (\mod m)\)\\
Beweis:\\
\spa\( a \pm c \equiv a \pm d (\mod m)\)\\
\(\Leftrightarrow m | \underbrace{(a \pm b) - (c \pm d)}_{= (a-b) \pm (c-d)} \)\\
\( m | (a-b), m | (c-d) \)\\
\( \Rightarrow m | \left[ (a-b) \pm (c-d) \right] \) \checkmark

\( a\cdot c \equiv b \cdot d (\mod m)\)\\
\( \Leftrightarrow m | \underbrace{a\cdot c - b \cdot d}{} \)\\
\( = a\cdot c - b \cdot c + b \cdot c - b\cdot d \)\\
\( = \underbrace{(a-b)}{}\cdot c + b \cdot \underbrace{(c-d)}{} \quad \Box \)\\
\spa\spa Vielfache von m 

\underline{Inverse modulo m}\\
Wann gibt es \( x \in \mathbb Z \) mit\\
\spa \( a\cdot x \equiv 1 (\mod m)\) ?
\begin{itemize}
	\item falls ggT(a,m) = 1:\\
		erweiterter Euklidischer Algorithmus liefert \(x,y \in \mathbb Z\) mit\\
		\spa \( a\cdot x + m \cdot y = ggT(a,m) = 1\)\\
		\( \Rightarrow \underbrace{a\cdot x = m\cdot y}_{\equiv 1} = a\cdot x (\mod m) \)\\
		\( \Rightarrow x\) aus dem erw. Eukl. Alg. ist genau das Inverse von a.\\
		Bez.: \( x = a^{-1} \) oder \( x = a^{-1}_{\mod m} \)
	\item falls \( d := ggt(a,m) > 1 \):\\
		\( (a\cdot x) \mod m = \underbrace{a\cdot x - \llfloor \frac{a\cdot x}{m} \rrfloor m}_{\text{teilbar durch d}} \)\\
		\( \Rightarrow d | (a\cdot x) \mod m\),\\
		aber \( d \not| 1\)\\
		\( \Rightarrow (a\cdot x) \mod m \ne 1 \mod m \)\\
		\( \Leftrightarrow a \cdot x \not\equiv 1 (\mod m) \)\\
		Also hat a kein Inverses modulo m.
\end{itemize}
Man kann zeigen:\\
Falls \(a \perp m\), dann gibt es ein eindeutiges Inverses \(a^{-1}_{\mod m} \in \mathbb Z_m := \{0,1,\dots,m-1\} \) 

Menge der Zahlen mit Inversen modulo m:\\
\( \mathbb Z^x_m := \{ a \in \mathbb Z_m \mid a \perp m \} \)

\underline{Bsp.:}\\
\( \mathbb Z^x_2 =\{ 1 \}, Z^x_3 = \{ 1,2 \} \)\\
\( ( 1^{-1} = 1, 2^{-1} = 2 : 2 \cdot 2 \mod 3 = 1 ) \)\\
\( \mathbb Z^x_4 = \{1,3\}, \mathbb Z^x_5 = \{1,2,3,4\} \) \\
\( \mathbb Z^x_6 = \{1,4,5\} \)

Damit lassen sich lineare Kongruenzen lösen:\\
\spa \( a\cdot x \equiv b (\mod m) \)\\
mit \( a \in \mathbb Z^x_m, b \in \mathbb Z_m \)\\
\spa \( x:= a^{-1} \cdot b \mod m \)\\
\(\rightarrow a\cdot x = a(a^{-1} \cdot b) \mod m\)\\
\spa \(\equiv \underbrace{(a\cdot a^{-1})}_{\equiv 1} \cdot b \equiv b (\mod m) \)\\
Diese Lösung für \(x\) ist eindeutig in \(\mathbb Z_m\).

„Wie groß ist \(\mathbb Z^x_m\)?“\\
\defin \( \phi(m) := | \mathbb Z^x_m | \)

\underline{Eulersche Phi-Funktion}\\
Wir wissen:
\begin{itemize}
	\item falls p Primzahl ist: \( \phi(p) = | \{1,...,p-1\} | = p-1 \).
	\item für Primzahlpotenzen gilt:\\
		\( \phi(p^k) = | \mathbb Z_{p^k} \backslash \{0,p,2\cdot p, 3 \cdot p,... ,  p^k-p\} | \)\\
		größtes Vielfaches von \( p \le p^k \) ist \(p^k\); ... \(p < p^k\) ist \( p^k - p\)\\
		\( \curvearrowright \phi(p^k) = | \mathbb Z_{p^k} | - | \{ 0,p,2p, ... , p^k - p \}| \)\\
		\spa \( = p^k - \frac{p^k}{p} = p^k - p^{k-1} = p^k(1-\frac{1}{p}) \)\\
		\underline{Bsp.:}\\
		\(|\mathbb Z^x_{125}| = \phi(125) \)\\
		\( = \phi(5^3) = 5^3(1-\frac{1}{5}) = 100 \)
	\item allgemeiner Fall: \( m = \prod\limits_{i=1}^{k} p_i^{m_i} \leftarrow \) Primfaktorzerlegung\\
		\(\phi(m) = \phi\left( \prod\limits_{i=1}^{k} p_i^{m_i}\right) = ? \)\\
		Zusammenhang zwischen\\
		\( \mathbb Z_{p_1^{m_k} ... p_k^{m_k} }^x  \) und \( \mathbb Z_{p_1^{m_k} }, ...,\mathbb Z _{p_k^{m_k} }^x  \) ?
\end{itemize}

\underline{Chinesischer Restsatz}\\
Gibt es eine Lösung \(x\) des Systems von Kongruenzen?\\
\( c_1 \cdot x \equiv d_1 (\mod m) \)\\
\( c_2 \cdot x \equiv d_2 (\mod n ) \)\\
(Hierbei seien \(c_1 \in \mathbb Z^x_m, c_2 \in \mathbb Z^x_n, d_1,d_2 \in\mathbb Z\) )\\
Multipliziere mit \( c_1^{-1} , c_2^{-1} \)\\
\spa \(x \equiv c_1^{-1} d_1 (\mod m) \)\\
\spa \(x \equiv c_2^{-1} d_2 (\mod m) \)\\
setze:\\
\spa \( a := c_1^{-1} \cdot d_1 \in \mathbb Z_m,\)\\
\spa \( b := c_2^{-1} \cdot d_2 \)\\
Ansatz: \(x = y \cdot m + z \cdot n \) mit \( y,z \in \mathbb Z\)\\
\(\rightarrow x \mod m = z \cdot n \mod m \overset{!}{\equiv} a \)\\
\spa \( x \mod n = y \cdot m \mod n \overset{!}{\equiv} b \)\\
löse also \( z \cdot n \equiv a (\mod m) \) nach z\\
auf, \( y \cdot m \equiv b (\mod n) \) nach y.\\

Falls \(m \perp n\):\\
\spa \(z = a \cdot n^{-1}_{\mod m}, y = b \cdot m^{-1}_{\mod n} \)\\
\( \Rightarrow x = b \cdot m^{-1}_{\mod n} \cdot m + a \cdot n^{-1}_{\mod m} \cdot n \)\\
Man kann zeigen: x ist eindeutig bis auf Vielfache von \( m \cdot n \).\\
Zu jedem Paar \((a,b) \in \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n \) gibt es eine eindeutige Lösung \( x \in \mathbb Z_{m\cdot n}\).\\
Definiere die Funktion \( \psi: \mathbb Z_{m\cdot n} \to \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n \);\\
\( \psi(x) := ( x \mod m, x \mod n) \).\\
\(\psi\) ist also bijektiv.\\
\( \curvearrowright | \mathbb Z_{m \cdot n} | = | \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n | = |\mathbb Z_m| \cdot |\mathbb Z_n| \)

Eigenschaften vo \(\psi\):
\begin{itemize}
	\item \(\psi\) ist bijektiv
	\item \(\psi(1) = (1,1)\) \\
		\(\psi(0) = (0,0)\)
	\item \(\psi((x+y) \mod (m\cdot n)) = \psi(x) +\psi(y) \),\\
		wobei \( (a,b) + (c,d) := (a+c \mod m, b+d \mod n) \)
	\item \(\psi(x \cdot y) \mod (m\cdot n) = \psi(x)\cdot \psi(y) \),
		mit \((a,b)(c,d) = ( (a\cdot c) \mod m, (b\cdot d) \mod n) \)
\end{itemize}
\spa \( (x \cdot y ) \mod (m\mod n) = x \cdot y - \llfloor \frac{x\cdot y}{m \cdot n} \rrfloor \cdot  m \cdot n \)\\
\( \curvearrowright (x \cdot y ) \mod (m\mod n) \equiv x \dot y (\mod m) \)\\
\spa \( (x \cdot y ) \mod (m\mod n) \equiv x \cdot y (\mod n) \)\\
\( \Rightarrow \psi( (x\cdot y) \mod (m\cdot n) ) = ( (x\cdot y) \mod m, (x\cdot y) \mod n ) \)\\
\spa\spa\( = ( (x \mod m)(y\mod m) \mod m, (x \mod n)(y\mod n) \mod n) \)\\
\spa\spa\( = \psi(x) \cdot \psi(x) \)\\
\begin{tabular}{ccc}
	Eingaben \( \in \mathbb Z_{m\cdot n} \) & \spa \( \underset{\psi}{\longrightarrow} \)\spa & Eingabe \( \in \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n \)\\[5mm]
	Richtung in \( \mathbb Z_{m\cdot n} \downarrow\)  & & \(\downarrow\)Richtung in \( \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n\)\\[5mm]
	Ergebnis in \( \mathbb Z_{m\cdot n } \) & \spa\( \underset{\psi^{-1}}{\longleftarrow} \)\spa & Ergebnis in \(\mathbb Z_m \times \mathbb Z_n\)
\end{tabular}

\( (x\cdot y ) \mod (m \cdot n) = 1\)\\
\( \Leftrightarrow \psi(x) \cdot \psi(y) = \psi( (x\cdot y) \mod (m\cdot n) ) = (1,1) \)\\
Also: \( (x_1,x_2) := \psi(x), (y_1,y_2) := \psi(y)\)\\
\( \Rightarrow x_1 \dot y_1 \mod m = 1 \),\\
\spa \( x_2 \dot y_2 \mod m = 1 \)\\
also: \( x_1 \in \mathbb Z^x_m\)\\
\spa \(x_x \in \mathbb Z^x_n\).

\(\psi\) ist also auch eine Bijektion zwischen \(\mathbb Z^x_{m\cdot n} \) und \( \mathbb Z^x_m \times \mathbb Z^x_n \).\\
\( \Rightarrow | \mathbb Z^x_{m\cdot n} | = | \mathbb Z^x_m \times \mathbb Z^x_n | = |\mathbb Z^x_m| \cdot |\mathbb Z^x_n| \)\\
Konsequenz für \( \phi\left(  \prod\limits_{i=1}^{k} p_i^{m_i} \right) \):\\
\spa \( p_i^{m_i} \perp p_j^{m_j} \quad \text{ für } i \ne j \)\\
\( \curvearrowright | \mathbb Z^x_{p_1^{m_1} ... p_k^{m_k}} | = | \mathbb Z^x_{p_1^{m_1}} | ... | \mathbb Z^x_{p_k^{m_k}} | \)\\
\( = p_1^{m_1} \left( 1-\frac{1}{p_1} \right) ... p_k^{m_k} \left( 1-\frac{1}{p_k} \right) \)\\
\( m \prod\limits_{p | m} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \)

\underline{Bsp.:} \( \phi(100) = | \mathbb Z_{100}^x | \)\\
\( = \phi(2^2 \cdot 5^2) = 100 \cdot \underbrace{(1 - \frac{1}{2})}_{=\frac{1}{2}} \cdot \underbrace{(1 - \frac{1}{5})}_{=\frac{4}{5}} \)\\
\( = 40 \)

\( \phi(2) = 2\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right) = 1 \)\\
\( \phi(3) = 3\cdot \left(1-\frac{1}{3}\right) = 2 \)\\
\( \phi(4) = 4\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right) = 2 \)\\
\( \phi(5) = 5\cdot \left(1-\frac{1}{5}\right) = 4 \)\\
\( \phi(6) = 6 \cdot \left(1-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(1-\frac{1}{3}\right) = 2 \)

\newpage
\section{Algebra}

algebraische Strukturen, Beispiele:\\
\begin{tabular}{l|l}
	Gruppe: & \( (S_n, \circ), (\mathbb Z^x_m, \cdot ), (\mathbb Z, +) \)\\
	\hline
	Ring: & \( (\mathbb Z,+, \cdot) , \mathbb Z, + , \cdot ) \)\\
	\hline
	Körper & \( \mathbb R, \mathbb Q, \mathbb Z_p \) (p Primzahl)\\
	\hline
	Vektorräume & \( \mathbb R^3 \)\\
\end{tabular}

\subsection{Gruppen}

\defin Gegeben seien eine Menge G und eine binäre Operation \(*\): \( G \times G \mapsto G \).\\
(G,\(*\)) heißt \underline{Gruppe}, falls folgende Axiome gelten:\\
\begin{tabular}{lll}
	(G1) & \( \forall a,b,c \in G: (a * b) * c = a * ( b * c ) \) & (assoziativgesetz)\\
	(G2) & \( \exists e\in G: \forall a \in G: a * e = a \) & (neutrales Element)\\
	(G3) & \( \forall a \in G: \exists a^{-1} \in G: a \cdot a^{-1} = e \) & (Inverses)\\
	\multicolumn{3}{l}{(G,\(*\)) heißt \underline{Abelsche} oder \underline{kommutative Gruppe}, wenn zusätzlich gilt:}\\
	(G4) & \( \forall a,b \in G: a * b = b * a \). &
\end{tabular}

\underline{Bem.:} Wenn die Verknüpfung \(*\) aus dem Kontext hervorgeht, bezeichnet man auch G als Gruppe.

\underline{Beispiele:}
\begin{enumerate}
	\item \((\mathbb Z,+)\) ist eine Kommutative Gruppe:\\
		\begin{tabular}{lll}
			(G1) & \( (a+b) + c = a + (b+c) \) & \checkmark\\
			(G2) & \( a + 0 = a \) & \checkmark\\
			(G3) & \( a^{-1} := -a; a + (-a) = 0 \) & \checkmark\\
			(G4) & \( a + b = b + a \) & \checkmark
		\end{tabular}
	\item \( (\mathbb Z^x_m, \cdot) \)\\
		\begin{tabular}{lll}
			(G1) & \( ( (a\cdot b) \mod m \cdot c ) \mod m = (a \cdot ((b\cdot c )\mod m)) \mod m \) & \checkmark\\
			(G2) & \( a \cdot 1 \mod m = a \) & \checkmark\\
			(G3) & \( \exists a^{-1} \in \mathbb Z^x_m: a\cdot a^{-1} \mod m = 1 \) & \checkmark\\
			(G4) & \( (a\cdot b) \mod m = (b\cdot a)\mod m \) & \checkmark\\
			\( \rightsquigarrow \) & \( (\mathbb Z^x_m, \cdot) \) ist eine kommutative Gruppe 
		\end{tabular}
	\item aber: \((\mathbb Z_m,\cdot)\) ist keine Gruppe, weil z.\,B. \( 0 \in \mathbb Z_m \) kein Inverses besitzt.
	\item \( (S_n, \circ)\) ist eine Gruppe, aber nicht Kommutativ:\\
		\begin{tabular}{lll}
			(G1) &  & \checkmark\\
			(G2) & \(id: x \mapsto x, \sigma \circ id = \sigma \) & \checkmark\\
			(G3) & \( \exists \sigma^{-1} \in S_n: \sigma \circ \sigma^{-1} = id \) & \checkmark\\
			(G4) & \( (12) \circ (23) = (123) \ne (23) \circ (12) = (132) \) &
		\end{tabular}
\end{enumerate}

Es gilt stets:\\
\begin{enumerate}
	\item \( a^{-1} * a = e \)
	\item \( e * a = a^{-1} \)
	\item \( ( a^{-1})^{-1} = a \)
	\item \( (a*b )^{-1} = b^{-1} * a^{-1} \)
\end{enumerate}

%TODO
%\begin{enumerate}
%	\item \( a^{-1} * a = a^{-1} * \underbrace{a * 
%\end{enumerate}

Eindeutigkeit des Inversen\\
\( \curvearrowright (a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} \Box\)\\

Die Gleichungen\\
\( a * x = b, \quad y * a = b\)\\
besitzen die eindeutigen Lösungen:\\
\( x = a^{-1} * b, \quad y = b * a^{-1} \).\\
(Es sei \( a * x= b = a * x' \) )\\
\( \Rightarrow x = a^{-1} * (a * x) = a^{-1} * (a * x') = x' \)\\
Die Eindeutigkeit von y folgt analog.\\
Folgerung: Das neutrale Element und die inversen Elemente sind Eindeutig

\underline{Untergruppen}

\defin \((G,*), (U,*)\) seien Gruppen, \( U \subseteq G\)
Dann heißt U \underline{Untergruppe} von G\\
(Schreibweise: \(U \le G\))

\underline{Bsp.:}\\
\( (\mathbb Z,+) \le (\mathbb Q,+) \le (\mathbb R,+) \) 
\begin{itemize}
	\item Es sei G eine endliche Gruppe, \( a \in G \).\\
		\( <a> := \{a^0,a,a^2,a^3,... \} \)\\
		( \( a^n = \underbrace{a * ... * a}_{\text{n-mal a}} \) )\\
		\( a^0 = e \)
		\( <a> \) heißt die von a \underline{erzeugte Gruppe}.\\
		\( <a> \) ist die kleinste Untergruppe von G, die a enthält.\\
		Beispiel: \( G = \mathbb Z_7^* = \{1,2,3,4,5,6\} \)\\
		\( \curvearrowright <2> = \{1,2,2^2=4,2^3\equiv 1 (\mod 7)\} = \{1,2,4\} \),\\
		\(  <2> \le \mathbb Z_7^* \)\\
		Bem.: Jede Gruppe G hat zwei triviale Untergruppen, \( G \le G \) und \( \{e\} \le G \). Alle anderen Untergruppen von G sind nichttrivial.

\end{itemize}

\underline{Satz von Lagrange}\\
Es seien \(U \le G\) Gruppen , \(G\) endlich. Dann ist \( |U|\, \big|\, |G| \) ,

\defin Für \( x \in G \) definiert man die \underline{Nebenklasse} von U in G,\\
\( x * U := \{ x * a \mid a \in U \} \)\\
\underline{Bsp.:} \((Z_6,+) \ge <3> = \{0,3\} \)\\
Nebenklassen von \(<3>\) in \(\mathbb Z_6 \):\\
\( 0 + <3> = \{0+0,0+3\} = \{0,3\} = 3 + <3> \)\\
\( 1 + <3> = \{1+0,1+3\} = \{1,4\} = 4 + <3> \)\\
\( 2 + <3> = \{2+0,2+3\} = \{2,5\} = 5 + <3> \)

Die Nebenklassen von \( U \text{ in } G\)bilden eine Partition von \(G\):\\
\begin{enumerate}
	\item Überdeckung: \( \underset{x \in G}{\cup} (x*U) \overset{!}{=}G \)\\
		Es sei \( x\in G\) beliebig gewählt.\\
		\( \Rightarrow x \in x * U\), denn \( x = x * e \in x * U\)\\
		\( \curvearrowright G \subseteq \underset{c \in G}{\cup} (x * U) \) \checkmark
	\item Disjunktheit:\\
		Es sei \( z \in (x * U ) \land (y * U) \ne \emptyset \)\\
		zu zeigen: \( x * U = y * U\)\\
		(wir zeigen: \(x * U \subseteq y * U; x * U \supseteq y * U \) folgt analog )\\
		Es sei \( a \in x * U, a = x * a_x\) mit \( a_x \in U \).\\
		\( z = x * z_x = y * z_y, \text{ wobei } x_z,z_y \in U. \)\\
		\( a = x * a_x = ( x * z_x) * z_x^{-1} * a_x \)\\
		\( = (x* \underbrace{z_y) * z_x^{-1} * a_x}_{\in U } \)\\
		\( \Rightarrow a \in y + U. \quad \Box\) 
	\item Alle Nebenklassen \( x * I \) sind gleichmächtig.\\
		(Beweisidee: Finde eine Bijektion zwischen \(x * U \) und \(e*U, |e*U| = |U|\))
\end{enumerate}

\underline{Beweis des Satzes von Lagrange}

Wähle \( M \subseteq G\), so dass:\\
\spa \( G = \underset{x\in M}{\uplus} (x*U) \) d.\,h. \( x_1 * U \ne x_2 * U, \text{ für } x_1 \ne x_2\)\\
\( |G| = \sum\limits_{x\in M} |x*U| = \sum\limits_{x \in M} |U| = |M| \cdot |U|\)\\
\( \rightarrow |U| \cdot |G| \quad \Box \)

Es sei G eine endliche Gruppe, \( a \in G \).\\
Betrachte \(<a> := \{a^0,a^1,a^2,...\} \)\\
G ist endlich. \( \Rightarrow \exists s,t \in \mathbb N: a^s = a^t , s < t \).\\
\(\Rightarrow a^{t-s} = e \)\\
D.\,h. \( \exists n>0: a^n = e \quad (n=t-s) \)

\defin Die \underline{Ordnung} von \(a\), \(ord(a)\) ist die kleinste Zahl \( n>0 \), so dass \(a^n = e\).\\
\(\Rightarrow <a> = \{ a^1,a^2,a^3,...,a^{ord(a)} = e \}\)\\
also: \(|<a>| = ord(a) \)

\underline{Folgerung:}\\
\( <a> \le G \overset{\text{Lagrange}}{\Rightarrow} |G| = m \cdot |<a>|, \)\\
\( a^{|G|} = \left(a^{|<a>|}\right)^m = \underbrace{\left( a^{ord(a)} \right)^m}_{=e} = e. \)

\underline{Beispiele:}
\begin{itemize}
	\item \underline{Satz von Fermat}\\
		Es sei p eine Primzahl, \( a \in \{ 1,...,p-1\} \).\\
		\( \Rightarrow a^{p-1} = a^{|\mathbb Z_p^x|} \equiv 1 (\mod p)\).
	\item \underline{Satz von Euler}:\\
		Es sei \( n>1; |\mathbb Z_n^x| = \phi(n), a \in \mathbb Z_n^x \)\\
		\(\rightarrow a^{\phi(n)} = a^{|\mathbb Z_n^x|} \equiv 1 (\mod n)\)
\end{itemize}

\underline{Beispiel:}\\
\( 7^{243} \mod 300 = ? \)\\
\( |\mathbb Z_{300}^x| = \phi(300) = \phi(2^2 \cdot 3 \cdot 5^2) \)\\
\( = 300 \cdot (1-\frac 1 2) \cdot (1-\frac 1 3) \cdot (1-\frac 1 5)  \)\\
\( = 300 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = 10 \cdot 2 \cdot 4 = 80 \)\\
\( \underset{7 \perp 300}{\overset{\text{Euler}}{\rightarrow}} 7^{80} \equiv 1 ( \mod 300),\)\\
\( 7^{243} = \underbrace{(7^{80})^3}_{\equiv 1} \cdot 7^3 \equiv 7^3\equiv 343 (\mod 300) \equiv 43 (\mod 300) \)

n zusammengesetz, keine Camichael-Zahl:\\
\( U:= \{ a\in \mathbb Z_n^x \mid a^{n-1} \equiv 1 (\mod n) \} \ne \mathbb Z_n^x\)\\
Falls \( U\le \mathbb Z_n^x \):\\
\( |u|  \big| | \mathbb Z_n^x| \rightarrow | \mathbb Z_n^x | = m \cdot |U| \)\\
\( \rightarrow |U| \le \frac 1 2 | \mathbb Z_n^x| \)

Ist \( U \le \mathbb Z_n^x \)?\\
\( \mathbb Z_n^x\) ist endlich \(\Rightarrow\) Prüfe (G0) !\\
Wähle \(a,b \in U\) beliebig.\\
\( \Rightarrow (ab)^{n-1} = \underbrace{a^{n-1}}_{\equiv 1} \cdot \underbrace{b^{n-1}}_{\equiv 1} \equiv 1 (\mod n) \)\\
\(\Rightarrow ab \in I\), also: \( U \le G = \mathbb Z_n^x\)

\underline{RSA-Public-Key-Kryptosystem}

geheime Nachricht: \(m \in \mathbb Z_n\)\\
verschlüsselte Nachricht: \( c \in \mathbb Z_n \)

Schlüsselkonstruktion:\\
\begin{enumerate}
	\item Primzahlen \(p\ne q, n := p\cdot q\)\\
		\( \phi(n) = n(1-\frac 1 p)(1- \frac 1 q) = (p-1)(q-1)\)
	\item geheimer Schlüssel:\\
		Zufallszahl \(d\) (für „decryption“)\\
		\(\in \mathbb Z_{\phi(n)}^x\)
	\item öffentlicher Schlüssel:\\
		\( (\underbrace{d^{-1}_{\mod \phi(n)}}_{mit Euklid} , n) \)\\
		„encryption“ := e
\end{enumerate}
Protokoll:\\
\begin{tabular}{ccc}
	A & & B\\
	&& \(m\)\\
	&& \( \rightarrow c := m^e (\mod n)\)\\
	& \(\swarrow\) & \\
	berechtet && \\
	\(c^d \mod n = m\) &&
\end{tabular}

\underline{1. Fall:}\\
\begin{align*}
	m \perp n, m \in \mathbb Z_n^x\\
	\Rightarrow c^d \equiv (m^e)^d &\equiv m^{e\cdot d} (\mod n)\\
	m^{\mathbb Z_n^x} = m^{\phi(n)} &\equiv 1 (\mod n)\\
	\rightarrow c^d \equiv m^{e\cdot d} &\equiv m^{(e\cdot d) \mod \phi(n)} \equiv m^1 (\mod n)
\end{align*}

\underline{2. Fall:}\\
\(ggT(m,n) > 1, \text{ entweder } ggT(m,n) = p \text{ oder } ggT(m,n) = q\)\\
hier: \( ggT(m,n) = p \)

Chinesischer Restsatz:\\
Der Lösung von \(x \equiv m^{e\cdot d} (\mod n) \) (t) \\
entspricht genau einer Lösung von\\
\( x \equiv m^{e\cdot d} (\mod p) (*)\)\\
\( x \equiv m^{e\cdot d} (\mod q) (*)\)\\ 
Wir zeigen, dass \( x = m \) die von \((*)\) ist, und deshalb auch von (t)

\( p | m \Rightarrow m \equiv0 (\mod p) \)\\
\( \curvearrowright m^{e\cdot d} \equiv 0^{e\cdot d} = 0 (\mod p)\)\\
\(\Rightarrow m \equiv m^{e\cdot d} (\mod p) \);\\
\( m \perp q; ed = 1(\mod (p-1)(q-1) )\)\\
\(\rightarrow \exists k \in \mathbb Z: ed = 1 + k \cdot (p-1)(q-1) \)\\
modulo \( |\mathbb Z_q^x| = \phi(q) = q-1\):
\( ed = 1 + [ k(p-1) ] \cdot (q-1) \)\\
\( \Rightarrow ed \equiv 1 (\mod (q-1))\)\\
\( m^{ed} \equiv m^{ed \mod q-1} \equiv m^1 (\mod q) \)\\
also: m ist die eindeutige Lösung \( \in \mathbb Z_n\) von \((*)\).

\( \rightarrow \) Entschlüsselung liefert tatsächlich m.


Entschlüsselung ist möglich, wenn \(\phi(n)\) bekannt ist. Warum ist \(\phi(n)\) schwierig zu bestimmen?\\
Primfaktor \( \overset{\text{leicht}}{\rightarrow} \phi(n)\) \\
Primfaktor \( \underset{\text{leicht?}}{\leftarrow} \phi(n)\) \\
\(\phi(n) = (p-1)(q-1) \)\\
\(\Rightarrow\) betrachte:\\
\(f(x) = x^2 - (n-\phi(n)+1) x + n = x^2 - (pq- [ pq - p - q +1] +1 ) x + n \)\\
\( = x^2 - (n-\phi(n)+1) x + n = x^2 - (p + q) x + pq \)\\
\( = (x-p)(x-q) \)\\
f(x) hat genau die Nullstellen p und q, \( \phi(n) \) zu berechnen ist also ebenso schwierig wie die PFZ zu bestimmen.

\section{Exkurs: Polynome}

Polynom: \( p(x) := \sum\limits_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i \) mit \( a_0, ... , a_n \in \mathbb R \)\\
Der \underline{Grad} von \(p\) ist \(n\), falls \(a_n \ne 0 \).\\
Abkürzung: \( n = grad(p) \)

Aufwand zur Berechnung von \(p(x_0)\):\\
\( p(x_0) = a_n \cdot x_0^n + a_{n-1} \cdot x_0^{n-1} + ... + a_1 \cdot x_0^1 + a_0 \)\\
\( \Rightarrow\) Aufwand: \(n\) Additionen, \(2n-1\) Multiplikationen.\\
effizienter: Horner-Schema\\
\begin{align*}
	p(x_0) &= \underbrace{a_n \cdot x_0^n + a_{n-1} \cdot x_0^{n-1}} + a_{n-2} \cdot x_0^{n-2} + ... + a_0\\
	&= \underbrace{ (a_n \cdot x_0 + a_{n-1} ) \cdot x_0^{n-1} + a_{n-2} \cdot x_0^{n-2} } + ... + a_0\\
	&= \underbrace{ ((a_n \cdot x_0 + a_{n-1} ) \cdot x_0 + a_{n-2} ) x_0^{n-2}  + ... + a_0}\\
	&= (( ... (a_n\cdot x_0 + a_{n-1})x_0 + ... ) +a_1) x_0 + a_0
\end{align*}
\( \Rightarrow \) Aufwand: n Additionen, n Multiplikationen

Rechnen mit Polynomen:\\
es seien \(a(x) := \sum\limits_{i=0}^m a_i \cdot x^i, b(x) = \sum\limits_{i=0}^n n_i \cdot x^i \)\\
zwei Polynome, \( a_m \ne 0 \ne b_n (m \ge n) \)
\begin{itemize}
	\item Summe: \(a(x) + b(x) = \sum\limits_{i=0}^m (a_i + b_i) x^i \)\\
		\((b_{n+1}, ... b_m := 0\)
	\item DIfferenz: analog
	\item Produkt: \(a(x) \cdot b(x) = ( \sum\limits_{i=0}^m a_i \cdot x^i)( \sum\limits_{i=0}^n b_i \cdot x^i) \)\\
		\( = \sum\limits_{i=0}^{m+n} c_i \cdot x^i \) mit \( c_i = \sum\limits_{j=0}^m a_j b_i-j\) \\
		\( b_i := 0 \text{ für } i < 0 \)
	\item Division?\\
		\underline{Satz:} Es seien \(a(x), b(x)\) Polynome, \(b\ne 0\). Dann existieren Polynome \(q(x) \text{ und } r(x) \), so dass gilt:\\
		\(a(x) = q(x) \cdot b(x) + r(x) \)\\
		wobei \( r = 0\) oder \( grad(r) < grad(b) \).\\
		Beweis: ohne.\\
\end{itemize}
\underline{Bsp.:} \( p(x) := 3x^3 + 4x^2 -5x + 1\)\\
\( \Rightarrow ((3x+4)x-5)x+1 \)\\
\( p(2) = \left(\left(3 \cdot 2 + 4 \right) \cdot 2 -5 \right) \cdot 2 + 1 \)\\
\spa \( = (10 \cdot 2 - 5) \cdot 2 +1 = 15 \cdot 2 +1 = 31 \)

\( \frac{(3x^3 + 4x^2 - 5x +1) }{x^2 - x + 1} = 3x+7 (=q(x)) \quad \text{ Rest } -x-6 (=r(x)) \)

Häufig interessiert man sich für die Nullstellen eines Polynoms.\\
\underline{Bsp.:}\\
\begin{align*}
	p(x) := 2x^2 - 4x +1 &\overset{!}{=} 0\\
	\Leftrightarrow x^2 - 2x + \frac 1 2 &\overset{!}{=} 0\\
	\curvearrowright x_{1/2} &= +1 \pm \sqrt{1^2 - \frac 1 2}\\
	&= 1 \pm \sqrt{\frac 1 2}
\end{align*}

Wieviele Nullstellen kann ein Polynom \(p \ne 0\) vom Grad n besitzen?\\
Höchstens \(n\) Nullstellen!

Beweis: mit vollständiger Induktion nach n\\
\textbf{I.A.} \(n=0: p(x) = a_0 \ne 0\)\\
\( \curvearrowright \) Keine Nullstellen \checkmark

\textbf{I.S.} Es sei \(grad(p) = n+1\):
\begin{labeling}[:]{x. Fall}
	\item[1. Fall] p hat keine Nullstelle \( \rightarrow \) \checkmark
	\item[2. Fall] p besitzt eine Nullstelle \(x_0\).\\
		Es sei \(p(x) = q(x)(x-x_0) +r(x) \) mit \( r\ne 0 \lor grad(r) < grad(x-x_0) = 0\)\\
		\( \curvearrowright grad(r) = 0\)\\
		\(x_0\) ist Nullstelle von \(p \rightsquigarrow\)\\
		\(p(x_0) = q(x_0)\underbrace{(x_0-x_0)}_{=0} + r(x_0) \overset{!}{=} 0 \)\\
		\( \Rightarrow r(x_0) = 0 \lor grad(r)=0 \Rightarrow r = a_0 \ne 0 \)\\
		\( \Rightarrow r = 0\),\\
		\( p(x) = q(x)(x-x_0) \), wobei \(grad(q) = grad(p) - 1 = n \)\\
		Alle weiteren Nullstellen von \(p\) sind Nullstellen von \(q\); Induktionsvorraussetzung:\\
		\spa q hat höchstens n Nullstellen.\\
		\(\Rightarrow p\) hat höchstens \(n+1\) Nullstellen  \(\Box\)
\end{labeling}

\end{document}
