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\title{Formelsammlung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik}
\author{--}
\date{3. Semester}

\begin{document}
	\pagestyle{fancy}
	\setcounter{page}{1}

	\section*{Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (Formeln)}
	\addcontentsline{toc}{section}{Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (Formeln)}

	\subsection*{Eigenschaften und Rechenregeln für Wahrscheinlichkeit}
	\addcontentsline{toc}{subsection}{Eigenschaften und Rechenregeln für Wahrscheinlichkeit}

	\begin{math}
		P(\omega) = 1, P(\phi) = 0 \text{ für } A: 0 \le P(A) \le 1\\
		\overline{A} = A^C \text{ mit } P(\overline{A}) = 1-P(A) \text{ (Gegenereignis)}\\
		P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \text{ (Vereinigung)}\\
		P(A\cup B) = P(A) + P(B) \text{ (Wenn A und B \underline{disjunkt})}
	\end{math}

	\subsection*{Berechnung von Wahrscheinlichkeit mit Kombinatorik}
	\addcontentsline{toc}{subsection}{Berechnung von Wahrscheinlichkeit mit Kombinatorik}

	\begin{itemize}
		\item[1.] Fall:\\
			Ziehen mit Zurücklegen, mit Reihenfolge: \( n^k \quad |\omega| = n^k\)
		\item[2.] Fall:\\
			Ziehen ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge: \( \frac{n!}{(n-k)!} = n^{\underline{k}} \)
		\item[3.] Fall:\\
			Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge: \( \frac{n!}{(n-k)!*k!} = \binom{n}{k} \)
		\item[4.] Fall (Doof!)\\
			Ziehen mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge: \( \binom{n+k-1}{k} \overset{\text{da doof}}{\Rightarrow} n^k \text{ 1. Fall}\)
	\end{itemize}

	\subsection*{Binomialkoeffizient/Multinomialkoeffizient}
	\addcontentsline{toc}{subsection}{Binomialkoeffizient/Multinomialkoeffizient}

	Bi: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!*k!} \)

	Multi: \( \frac{n!}{k_1! * k_2! * … * k_l!} \) mit \( k_1 + k_2 + … + k_l = n \)

	\subsection*{Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit}
	\addcontentsline{toc}{subsection}{Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit}

	\(P(B\mid A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}\) (wenn \( P(A) \ne 0 \) bedingte Wahrscheinlichkeit und Bedingung)

	\( P(A\cap B) = P(A) * P(B\mid A) = P(B) * P(A\mid B) \)

	\( P(A\cap B) = P(A) * P(B) \) (Wenn \(A,B\) unabhängig von einander)

	\subsection*{Totale Wahrscheinlichkeit}
	\addcontentsline{toc}{subsection}{Totale Wahrscheinlichkeit}

	Satz: \( P(A) = P(A\mid B_1) * P(B_1) + P(A\mid B_2) * P(B_2) + … + P(A\mid B_k) * P(B_k) \)

	\subsection*{Zufallsvariablen}
	\addcontentsline{toc}{subsection}{Zufallsvariablen}

	Eine Zufallsvariable \(X\) ist eine Funktion \(X: \omega \to \mathbb R\)\\
	Die Verteilung einer Zufallsvariable gibt an, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die Zufallsvariable ihre möglichen Werte annimmt.



\end{document}
