From fabb3e62463f42df03e76cc27bc98134f55a9bfb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Thomas Ba Date: Wed, 30 Nov 2011 17:15:52 +0100 Subject: [PATCH] 2011-11-30 Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik 2VL --- .../Berechenbarkeits-KomplexTh.tex | 18 +- ...hrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex | 272 ++++++++++++------ 2 files changed, 189 insertions(+), 101 deletions(-) diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex index b5a925f..3f6d37b 100644 --- a/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex +++ b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex @@ -11,10 +11,10 @@ %\usepackage{pst-node} \usepackage[paper=a4paper,left=30mm,right=20mm,top=20mm,bottom =25mm]{geometry} \usepackage[ - pdftitle={Berechenbarkeits.- Komplex.Th.}, - pdfsubject={Mitschrift der Vorlesung "Berechenbarkeits.- Komplex.Th." an der HTW-Aalen, bei Herrn Thierauf.}, + pdftitle={Berechenbarkeit und Komplexitaetstheorie}, + pdfsubject={Mitschrift der Vorlesung "Berechenbarkeit und Komplexitaetstheorie" an der HTW-Aalen, bei Herrn Thierauf.}, pdfauthor={Thomas Battermann}, - pdfkeywords={Berechenbarkeits.- Komplex.Th.}, + pdfkeywords={Berechenbarkeit und Komplexitaetstheorie}, pdfborder={0 0 0} ]{hyperref} \usepackage{tabularx} @@ -55,7 +55,7 @@ \newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor} \newcommand{\llfloor}{\left\lfloor} -\title{Berechenbarkeits.- Komplex.Th.} +\title{Berechenbarkeit und Komplexitätstheorie} \author{Mitschrift von Thomas Battermann} \date{3. Semester} @@ -391,13 +391,13 @@ \(\Rightarrow M_y(x)\) kommt nach endlich vielen Schritten nach \(Z_a\)\\ \(\Rightarrow M(x,y)\) akzeptiert \item \( (x,y) \not\in U \Rightarrow M_y(x)\) verwirft. - \begin{itemize} - \item[a)] \( M_y(x) \) erreicht \(Z_v\)\\ + \begin{enumerate}[a)] + \item] \( M_y(x) \) erreicht \(Z_v\)\\ \( \Rightarrow M(x,y)\) verwirft. - \item[b)] \( M_y(x) \) hält nicht\\ + \item \( M_y(x) \) hält nicht\\ \( \Rightarrow M(x,y) \) hält nicht.\\ \( \Rightarrow M(x,y) \) verwirft. - \end{itemize} + \end{enumerate} \end{itemize} Es gibt also \( L(M) = U \).\\ @@ -558,6 +558,7 @@ \( L_E = \{ x \mid \text{Turingmaschine } M_x \text{ hat }\underbrace{\text{Eigenschaft}}_{\text{Spracheigenschaft}} E \} \) ist unentscheidbar für jede Eigenschaft $E$. + \underline{Satz von Rice} \bsp \( F = \{ x \mid L(M_x) \text{ ist endlich} \} \) @@ -1035,5 +1036,6 @@ Jetzt ist \(t=0\). Dann nach Fall 1. \end{enumerate} + \end{document} diff --git a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex index 2256be0..f5ce5d4 100644 --- a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex +++ b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex @@ -4,6 +4,7 @@ \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{eurosym} +\usepackage{enumerate} %\usepackage{multicol} %\usepackage{booktabs} %\usepackage{pstricks} @@ -221,20 +222,20 @@ \bsp Ein 5 stelliger Code wird zufällig zufällig gewählt, bestehend aus Ziffern \( 1,2,…,9 \).\\ {\color{Orange} \( k=5; n=9 \) Gesamt: \( n^k = 9^6 \) Möglichkeiten}\\ Mit welcher Wahrscheinlichkeit - \begin{itemize} - \item[(a)] tritt die Kombination \(13758\) auf?\\ + \begin{enumerate}[(a)] + \item tritt die Kombination \(13758\) auf?\\ {\color{Orange} \( \frac{1}{9^5} \)} - \item[(b)] enthält der Code lauter gleiche Zahlen?\\ + \item enthält der Code lauter gleiche Zahlen?\\ {\color{Orange} \( \frac{9}{9^5} = \frac{1}{9^4} \)} - \item[(c)] enthält der Code lauter verschiedene Zahlen?\\ + \item enthält der Code lauter verschiedene Zahlen?\\ {\color{Orange} \( \frac{9!}{4! * 9^5} \) } - \item[(d)] beginnt der Code mit 3?\\ + \item beginnt der Code mit 3?\\ {\color{Orange} \( \frac{1 * 9^4}{9^5} = \frac 1 9 \)} - \item[(e)] enthält der Code genau eine 3?\\ + \item enthält der Code genau eine 3?\\ {\color{Orange} \( \frac 1 9 * \left(\frac 8 9\right)^4 * 5 = \frac{ 5 * 8^4 }{ 9^5 } \)} - \item[(f)] enthält der Code genau zwei 3er?\\ + \item enthält der Code genau zwei 3er?\\ {\color{Orange} \( \left(\frac{1}{9}\right)^2 * \left(\frac{8}{9}\right)^3 * 2 * 5 = \frac{10 * 8^3}{9^5} \)} - \end{itemize} + \end{enumerate} % @@ -255,46 +256,46 @@ \bsp Lotto 6 aus 49\\ Berechne die Wahrscheinlichkeiten für - \begin{enumerate} - \item[(a)] 6 Richtige\\ + \begin{enumerate}[(a)] + \item 6 Richtige\\ \( \frac{1}{\binom{49}{6}} = \frac{1}{13.983.816} \) ~ 14 Mio. Möglichkeiten - \item[(b)] 4 Richtige\\ + \item 4 Richtige\\ \( \frac{ \binom{6}{4} * \binom{43}{2} }{ \binom{6}{49} } = \frac{645}{665896} \approx 0.096861972440140803\%\) - \item[(c)] 3 Richtige\\ + \item 3 Richtige\\ \( \frac{ \binom{6}{3} * \binom{43}{3} }{ \binom{6}{49} } = \frac{8815}{499422} \approx 1.765040386687010184\%\) \end{enumerate} \bsp Kiste mit 4 blauen, 3 roten, 8 gelben Laptops\\ Wir wählen zufällig 8 aus. - \begin{enumerate} - \item[(a)] Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind 3 blau und 5 gelb?\\ + \begin{enumerate}[(a)] + \item Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind 3 blau und 5 gelb?\\ \( \frac{ \binom{4}{3} * \binom{3}{0} * \binom{8}{5} }{\binom{15}{8}} = \frac{224}{6435} \) - \item[(b)] Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind 6 gelb\\ + \item Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind 6 gelb\\ \( \frac{ \binom{8}{6} * \binom{7}{2} }{ \binom{15}{8} } = \frac{196}{2145} \) \end{enumerate} \bsp Kiste wie in vorigem Beispiel. Wir stellen 2 Pakete mit jeweils 4 Laptops zusammen (zufällig).\\ Mit welcher Wahrscheinlichkeit {\color{Orange} \(\to \binom{15}{4} * \binom{11}{4} \)}\\ - \begin{enumerate} - \item[(a)] enthält das 1. Paket 1 blauen und das 2. Paket 2 blaue Laptops? - \item[(b)] enthält das 1. Paket 1 blauen Laptop? - \item[(c)] enthält das 2. Paket 1 blauen Laptop? - \item[(d)] enthält das 1. oder 2. Paket 1 blauen Laptop? - \item[(e)] Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält das 2. Paket 1 blauen Laptop, wenn man weiß, das im 1. Paket 2 blaue Laptops sind? + \begin{enumerate}[(a)] + \item enthält das 1. Paket 1 blauen und das 2. Paket 2 blaue Laptops? + \item enthält das 1. Paket 1 blauen Laptop? + \item enthält das 2. Paket 1 blauen Laptop? + \item enthält das 1. oder 2. Paket 1 blauen Laptop? + \item Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält das 2. Paket 1 blauen Laptop, wenn man weiß, das im 1. Paket 2 blaue Laptops sind? \end{enumerate} Lösung:\\ - \begin{enumerate} - \item[(a)] \( \frac{ \binom{4}{1}*\binom{11}{3} * \binom{3}{2} * \binom{8}{2} }{\binom{15}{4}*\binom{11}{4}} \approx 0.12307692307692307692\) - \item[(b)] \( \frac{ \binom{4}{1}*\binom{11}{3} * \binom{11}{4} }{ \binom{15}{4}*\binom{11}{4} } \) - \item[(c)] \( \frac{ \binom{4}{1}*\binom{11}{3} * \binom{11}{4} }{ \binom{15}{4}*\binom{11}{4} } \) - \item[(d)] + \begin{enumerate}[(a)] + \item \( \frac{ \binom{4}{1}*\binom{11}{3} * \binom{3}{2} * \binom{8}{2} }{\binom{15}{4}*\binom{11}{4}} \approx 0.12307692307692307692\) + \item \( \frac{ \binom{4}{1}*\binom{11}{3} * \binom{11}{4} }{ \binom{15}{4}*\binom{11}{4} } \) + \item \( \frac{ \binom{4}{1}*\binom{11}{3} * \binom{11}{4} }{ \binom{15}{4}*\binom{11}{4} } \) + \item Ereignis A: 1. Paket enthält 1 blauen Laptop\\ Ereignis B: 2. Paket enthält 1 blauen Laptop\\ gesucht: \( A \cup B = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)\\ \( 2 * \frac{ \binom{4}{1} * \binom{11}{3} }{ \binom{15}{4} } - \frac{ \binom{4}{1} * \binom{11}{3} * \binom{3}{1} * \binom{8}{3} }{ \binom{15}{4} * \binom{11}{4}} \)\\ {\color{Orange} Man sieht hier: \(P(A \cap B) \not= P(A) * P(B) \)} - \item[(e)] \( \frac{ \binom{2}{1} * \binom{9}{3} }{ \binom{11}{4} } \) + \item \( \frac{ \binom{2}{1} * \binom{9}{3} }{ \binom{11}{4} } \) \end{enumerate} @@ -345,16 +346,16 @@ \bsp 2 rote Bälle und ein gelber Ball. Wir ziehen 2 Bälle ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge.\\ Mit welcher Wahrscheinlichkeit - \begin{itemize} - \item[(a)] ist der 1. Ball rot?\\ + \begin{enumerate}[(a)] + \item ist der 1. Ball rot?\\ \( \frac 2 3 \) - \item[(b)] ist der 2. Ball rot?\\ + \item ist der 2. Ball rot?\\ \( \frac 2 3 \) - \item[(c)] sind beide Bälle rot?\\ + \item sind beide Bälle rot?\\ \( \frac 2 3 * \frac 1 2 = \frac 1 3 \) - \item[(d)] ist der 2. Ball rot, wenn man weiß, dass der 1. Ball rot ist?\\ + \item ist der 2. Ball rot, wenn man weiß, dass der 1. Ball rot ist?\\ \( \frac 1 2 \) - \end{itemize} + \end{enumerate} mit Ereignissen formuliert: \begin{itemize} @@ -403,25 +404,25 @@ \spa 90\% der Daten, die über Kanal 2 übertragen werden, kommen korrekt an.\\ \spa 40\% der Daten werden über Kanal 1 übertragen, 60\% über Kanal 2. - \begin{itemize} - \item[(a)] Wie viel Prozent der Daten werden über Kanal 1 übertragen und kommen korrekt an?\\ + \begin{enumerate}[(a)] + \item Wie viel Prozent der Daten werden über Kanal 1 übertragen und kommen korrekt an?\\ Formulierung mit Ereignissen:\\ A: Daten werden über Kanal 1 übertragen\\ B: Daten kommen korrekt an.\\ gegeben: \(P(A) = 0,40; P(B\mid A) = 0,95; P(B\mid \overline{A}) = 0.90 \)\\ Gegenteile: \( P(\overline{A}) = 0,60; P(\overline{B} \mid A) = 0.05; P(\overline{B}\mid \overline{A}) = 0.10 \)\\ gesucht: \( \underbrace{P(A)}_{0,4} * \underbrace{P(B\mid A)}_{0,95} = 0,38 = 38\% \) - \item[(b)] Wie viel Prozent der Daten werden über Kanal 1 übertragen und kommen nicht korrekt an?\\ + \item Wie viel Prozent der Daten werden über Kanal 1 übertragen und kommen nicht korrekt an?\\ \( P(A \cap B) = \underbrace{P(\overline{B}\mid A}_{=0,05} * \underbrace{P(A)}_{0,4} = 0,02 = 2\% \) - \item[(c)] Wie viel Prozent der Daten kommen korrekt an?\\ + \item Wie viel Prozent der Daten kommen korrekt an?\\ \( P(B) = \underbrace{P(B\mid A)}_{0,95} * \underbrace{P(A)}_{0,4} + \underbrace{P(B|\overline{A})}_{0,9} * \underbrace{P(\overline{A})}_{0,6} = 0,92 = 92\% \) - \item[(d)] Wie viel Prozent der Daten kommen nicht korrekt an, wenn man weiß, dass sie über Kanal 1 übertragen wurden?\\ + \item Wie viel Prozent der Daten kommen nicht korrekt an, wenn man weiß, dass sie über Kanal 1 übertragen wurden?\\ \( P(\overline{B}\mid A) = 0,05 = 5\% \) - \item[(e)] Wie viel Prozent der Daten kommen korrekt an oder werden über Kanal 1 Übertragen?\\ + \item Wie viel Prozent der Daten kommen korrekt an oder werden über Kanal 1 Übertragen?\\ \( P(B\cup A) = P(B) + P(A) - P(A\cap B) \overset{(c)(a)}{=} 0,92 + 0,4 - 0,38 = 0,94 = 94\% \) - \item[(f)] Wie viel Prozent der Daten, die korrekt ankommen, wurden über Kanal 1 übertragen?\\ + \item Wie viel Prozent der Daten, die korrekt ankommen, wurden über Kanal 1 übertragen?\\ \( P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \overset{(a)}{\underset{(c)}{=}} \frac{0,38}{0,92} = 0,413 = 41,3\% \) - \end{itemize} + \end{enumerate} Im vorigen Beispiel:\\ A und B sind abhängig, da \( \underbrace{P(B\mid A)}_{0,95} \not= \underbrace{P(B\mid\overline{A})}_{0,9} \) @@ -430,32 +431,32 @@ \spa 1\% der gesendeten 1en kommt als 0 an.\\ \spa 2\% der gesendeten 0en kommt als 1 an.\\ \spa 30\% der gesendeten Daten sin 0en. - \begin{itemize} - \item[(a)] Wie viel Prozent der Daten sind 0en, die als 1 ankommen?\\ + \begin{enumerate}[(a)] + \item Wie viel Prozent der Daten sind 0en, die als 1 ankommen?\\ \( P(A \cap \overline{B}) = P(\overline{B}\mid A) * P(A) = 0,02 * 0,03 = 0,006 = 0,6\% \) - \item[(b)] Wie viel Prozent der ankommenden 0en sind 1en, die gesendet wurden?\\ + \item Wie viel Prozent der ankommenden 0en sind 1en, die gesendet wurden?\\ \( P(\overline{A}\mid B) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B\mid\overline{A}) * P(\overline{A})}{P(B)} \) - \item[(c)] Wie viel Prozent der Daten werden Fehlerhaft übertragen?\\ + \item Wie viel Prozent der Daten werden Fehlerhaft übertragen?\\ \( \underbrace{P(A\cap \overline{B})}_{=0,6\%} + \underbrace{P(\overline{A} \cap B)}_{=0,7\%} = 1,3\% \) - \end{itemize} + \end{enumerate} Ereignisse: - \begin{itemize} - \item[A:] 0 wird gesendet - \item[B:] 0 kommt an - \end{itemize} + \begin{enumerate}[A:] + \item 0 wird gesendet + \item 0 kommt an + \end{enumerate} Gegeben: \( P(B\mid\overline{A}) = 1\%; P(\overline{B}\mid A) = 2\%; P(A) = 30\% \)\\ \bsp (zu bedingten Wahrscheinlichkeiten).\\ 2 maliges Würfeln\\ Ereignisse: - \begin{itemize} - \item[A:] 1. Wurf ergibt 4 - \item[B:] Summe der Augenzahlen ist 12 - \item[C:] Summe der Augenzahlen ist 7 - \item[D:] 2. Wurf ergibt 3 - \end{itemize} + \begin{enumerate}[A:] + \item 1. Wurf ergibt 4 + \item Summe der Augenzahlen ist 12 + \item Summe der Augenzahlen ist 7 + \item 2. Wurf ergibt 3 + \end{enumerate} Sind A und B bzw. A und C bzw. A und D bzw. A C und D unabhängig?\\ \textcolor{Orange}{A und B sind Unabhängig, wenn \( P(A \cap B) = P(A) * P(B) \) } @@ -482,14 +483,14 @@ A, C und D sind abhängig Zusatzfragen:\\ - \begin{itemize} - \item[(a)] + \begin{enumerate}[(a)] + \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, \cunder{Yellow}{das der 1. Wurf 3 ist} \textcolor{Yellow}{A},\\ \cunder{Orange}{wenn die Summe der Augenzahlen 6 ist} \textcolor{Orange}{B}? - \item[(b)] + \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, \cunder{Yellow}{dass (mindestens) einer der Würfe 3 ist} \textcolor{Yellow}{C},\\ \cunder{Orange}{wenn die Summe der Augenzahlen 6 ist} \textcolor{Orange}{B}? - \end{itemize} + \end{enumerate} \( B = \{ 15,24,33,42,51 \} \) @@ -497,22 +498,22 @@ \(P(B) = \frac{5}{36} \)\\ \(P(C) = \) - \begin{itemize} - \item[(a)] + \begin{enumerate}[(a)] + \item \( P(A \mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{ \frac{1}{36} }{ \frac{5}{36} } = \frac 1 5 \) - \item[(b)] + \item \( P(A \mid C) = \frac{P(A\cap C)}{P(B)} = \frac{ \frac{1}{36} }{ \frac{5}{36} } = \frac 1 5 \)\\ - \end{itemize} + \end{enumerate} Oder direkt: - \begin{itemize} - \item[(a)] + \begin{enumerate} + \item \( P(A\mid B) = \frac 1 5 \)\\ Bedingung \( B = \{ 15, 24, \underline{3}3, 42, 51 \} \) - \item[(b)] + \item \( P(C\mid B) = \frac 1 5 \)\\ Bedingung: \( B = \{ 15, 24, \underline{33}, 42, 51 \} \) - \end{itemize} + \end{enumerate} \subsection*{Formeln} @@ -535,11 +536,11 @@ \( \binom{100}{1} + \binom{100}{3} + … + \binom{100}{99} + \binom{100}{100} = 2^{100} - \binom{100}{1} - \binom{100}{0} \) \bsp 2 maliges Würfeln - \begin{itemize} - \item[A:] 1. Wurf ist 3. \( P(A) = \frac 1 6 \) - \item[B:] Summe der Augenzahlen ist 12. \( P(B) = \frac{1}{36} \) - \item[C:] 2. Wurf ist 7. \( P(C) = 0 \) - \end{itemize} + \begin{enumerate}[A:] + \item 1. Wurf ist 3. \( P(A) = \frac 1 6 \) + \item Summe der Augenzahlen ist 12. \( P(B) = \frac{1}{36} \) + \item 2. Wurf ist 7. \( P(C) = 0 \) + \end{enumerate} \( \underbrace{P(A\cap B\cap C)}_{_0} = \underbrace{P(A) * P(B) * P(C)}_{=0} \)\\[2mm] \( \underbrace{P(a\cap B)}_{=0} \not= \underbrace{ P(A) }_{\frac 1 6} * \underbrace{P(B)}_{\frac{1}{36}} \)\\ \(\to\) A, B und C sind abhängig @@ -679,17 +680,17 @@ \bsp (zu Verteilungsfunktion)\\ \( F(x) = \begin{cases} e^x * \frac 1 2, & x < 0 \\ b, & 0 \le x < 2 \\ c, & x\ge 2 \end{cases} \) - \begin{itemize} - \item[(a)] + \begin{enumerate}[(a)] + \item Wie groß müssen $b$ und $c$ sein, damit $F(x)$ eine Verteilungsfunktion ist? - \item[(b)] + \item Sei \( b=0.8, c=1 \).\\ Berechne:\\ \(P(X=0), P(X=-1), P(X\le -1), P(X>-1), P(X\le 2), P(X>2), P(X\ge3) \) - \end{itemize} + \end{enumerate} - \begin{itemize} - \item[(a)] + \begin{enumerate}[(a)] + \item \( e^0 * \frac 1 2 = 0.5 \)\\ \( \frac 1 2 \le b \le c = 1 \)\\ Eigenschaften der Verteilungsfunktion: @@ -698,7 +699,7 @@ \item \(F(x)\) rechtsseitig stetig \item \(F(x)\) monoton wachsend \end{itemize} - \item[(b)] + \item \(P(X=0) = 0.3 (=0.8-0.5) \)\\ \(P(X=-1) = 0\) (Kein Sprung)\\ \(P(X\le-1) = F(-1) = \frac{e^{-1}}{2} \approx 0.18394 \)\\ @@ -707,7 +708,7 @@ \(P(X>2) = 1-P(X\le 2) = 0 \)\\ \(P(X<2) = P(X\le 2) - P(X=2) = F(2) - 0.2 = 0.8\)\\ \(P(X\ge 3) = 1-P(X<3) = 0\) - \end{itemize} + \end{enumerate} Meist ist die Verteilungsfunktion \begin{itemize} @@ -750,21 +751,21 @@ \bsp\\ \( f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac 1 2 x, & 0 \le x < 1 \\ a * x^2, & 1 \le x < x \\ 0, & x \ge 2 \end{cases} \) - \begin{itemize} - \item[(a)] + \begin{enumerate}[(a)] + \item Für welches \( a \in \mathbb R \) ist \(f(x)\) eine Dichtefunktion? - \item[(b)] Berechne für das $a$ aus (a) die zugehörige Verteilungsfunktion \(F(x)\) - \end{itemize} + \item Berechne für das $a$ aus (a) die zugehörige Verteilungsfunktion \(F(x)\) + \end{enumerate} - \begin{itemize} - \item[(a)] + \begin{enumerate}[(a)] + \item \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 \to \) auflösen nach a\\ \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int\limits_0^1 \frac 1 2 x dx + \int\limits_1^2 a * x^2 dx \)\\ \( = \left[ \frac 1 4 x^2 \right]_0^1 + \left[ \frac a 3 * x^3 \right]_1^2 \)\\ \( = \frac14 - 0 + \frac83 - \frac13 a = \frac14+\frac73a=1 \)\\ \( \frac73a=\frac34 \Rightarrow a = \frac{9}{28} \)\\ \( f(x) = \begin{cases} 0, & x<0\\\frac12*x,&0\le x<1\\\frac{9}{28} * x^2, & 1 \le x < x \\ 0, & x \ge 2 \end{cases} \) - \item[(b)] + \item \( F'(x) = f(x) \Rightarrow F(x) = \int f(x) dx \)\\ \( F(x) = \begin{cases} c_1,&x<0\\\frac14 x^2+c_2,&0\le x<1\\\frac{3}{28} x^3+c_3, & 1 \le x < x \\ c_4, & x \ge 2 \end{cases} \)\\ Bestimmung der Konstanten:\\ @@ -775,7 +776,7 @@ \(x=1: \frac12*1^2 + c_2 = \frac{3}{28}*1^2+c_3 \Rightarrow c_3 = \frac14 -\frac{3}{28} = \frac{4}{28} = \frac17 \)\\ Zur Kontrolle:\\ \( x2: \frac{3}{28}*2^3+\frac17 = 1 = c_4 \Rightarrow\) stimmt - \end{itemize} + \end{enumerate} \bsp \( f(x) = \begin{cases} c_1*e^{-2x}, & x\ge 0 \\ c_2, & x<0 \end{cases} \)\\ Bestimme \( c_1,c_2 \in \mathbb R\) so, dass \(f(x)\) eine Dichtefunktion ist.\\ @@ -835,10 +836,95 @@ \bsp Datenübertragung von 5000 Bits.\\ Wahrscheinlichkeit, dass ein Bit Fehlerhaft übertragen wird, ist 1\%.\\ Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden - \begin{itemize} - \item[(a)] genau 20 Bits fehlerhaft übertragen?\\ + \begin{enumerate}[(a)] + \item genau 20 Bits fehlerhaft übertragen?\\ \textcolor{Orange}{ \( \binom{5000}{20} * 0.01^{20} * 0.99^{4980} \) } - \item[(b)] mehr als 2 Bits fehlerhaft übertragen? - \end{itemize} + \item mehr als 2 Bits fehlerhaft übertragen?\\ + \textcolor{Orange}{ \( P(X>2) \underset{\text{Gegenteil}}{=} 1-P(X\le 2) = 1-\left(P(X=2) + P(X=1) + P(X=0)\right) \)\\ + \( = 1-\left( \binom{5000}{2}*0.01^2*0.99^{4998}+\binom{5000}{1}*0.01*0.99^{4999}+\binom{5000}{0}*0.01^0*0.99^{5000} \right)\) } + \end{enumerate} + + \subsection{Geometrische Verteilung} + + \bsp Wir schießen so lange, bis wir den anderen Treffen.\\ + Wahrscheinlichkeit, bei einem Schuss zu treffen, ist 30\%.\\ + \(X\) Anzahl der Schüsse bis zum Treffer\\ + \(\to\) mögliche Werte von $X: 1,2,3,…$ + + \( P(X=k) = 0.7^{k-1} * 0.3 \) + + Allgemein: Ein Zufallsexperiment wird beliebig oft (unabhängig voneinander) wiederholt.\\ + Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis $A$ bei einmaliger Durchführung auftritt, ist $p$. + $X:$ Anzahl der Wiederholungen, bis zum ersten mal $A$ eintritt.\\ + $\to X$ ist geometrisch verteilt mit Parameter $p$, d.\,h.\\ + \( P(X=k) = (1-p)^{k-1} * p \) für \( k=1,2,3,…\) + + \bsp Mit welcher Wahrscheinlichkeit + \begin{enumerate}[(a)] + \item tritt beim zweiten oder dritten Wurf beim Würfeln die \cunder{Orange}{erste} 2 auf?\\ + \textcolor{Orange}{\( P(X=2)+P(X=3) = \left(\frac56\right)^2*\frac16 + \left(\frac56\right)^3*\frac16 \)} + \item tritt beim zehnten Wurf die \cunder{Orange}{zweite} 2 auf?\\ + \textcolor{Orange}{\( 9*\frac16*(\frac56)^8*\frac16 \)} + \item Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten bei zehn Würfen zwei zweier auf?\\ + \textcolor{Orange}{\( \binom{10}{2} * \left(\frac16\right)^2 * \left(\frac56\right)^8 \)} + \item Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt beim 100. Wurf die fünfte zwei auf?\\ + \textcolor{Orange}{\( \binom{100}{4}*\left(\frac16\right)^4*\left(\frac56\right)^{95}\)} + \end{enumerate} + + \bsp Russisches Roulette, 6er Trommel, mit einer Patrone. Wir spielen allein.\\ + $X:$ Anzahl der Versuche, bis wir tot sind. + \begin{align*} + P(X=1) &= \frac16 &= \frac16\\ + P(X=2) &= \frac56*\frac15 &= \frac16\\ + P(X=3) &= \frac56*\frac45*\frac14&=\frac16\\ + P(X=4) &= \frac56*\frac45*\frac34*\frac13&=\frac16\\ + P(X=5) &= \frac56*\frac45*\frac34*\frac23*\frac12&=\frac16\\ + P(X=6) &= \frac56*\frac45*\frac34*\frac23*\frac12*\frac11&=\frac16\\ + \end{align*} + \textcolor{Orange}{Keine geometrische Verteilung, da keine \underline{Unabhängigkeit} der Versuche} + + Gleiches Beispiel, aber nach jedem Versuch wird die Trommel zufällig gedreht \(\to\) geometrische Verteilung. + \begin{align*} + P(X=1) &= \frac16\\ + P(X=2) &= \frac56*\frac16\\ + P(X=3) &= \left(\frac56\right)^2 * \frac16 + \end{align*} + + Berechnung von \(\mu\) und \(\sigma^2\): + + Bei der \underline{geometrischen Verteilung}:\\ + $ P(X=k) = \left(1-p\right)^{k-1} * p $, $k=1,2,3…$\\ + \begin{align*} + \mu &= \sum\limits_{k=1}^\infty k*(1-p)^{k-1} * p\\ + &= p * \sum\limits_{k=1}^\infty l*(1-p)^{k-1} \\ + &= p*\frac{1}{p^2}\\ + &= \frac1p\\ + \sigma^2 &= \sum\limits_{k=1}^\infty k^2 * \left(1-p\right)^{k-1} * p - \left(\frac1p\right)^2\\ + &= ? + \end{align*} + \textcolor{Orange}{geometrische Reihe: + \begin{align*} + \sum\limits_{k=0}^\infty x^k &= \frac{1}{1-x} &\text{für }\left|x\right| < 1\\ + \sum\limits_{k=1}^\infty k*x^{k-1} &= \frac{1}{(1-x)^2} + \end{align*}} + + Bei der \underline{Binomialverteilung}: + + \begin{align*} + P(X=k) &= \binom{n}{k}*p^k*(1-p)^{n-k}\\ + \mu &= \sum\limits_{k=0}^n k * \binom{n}{k} * p^k * \left(1-p\right)^{n-k}\\ + &= … = n*p\\ + \sigma^2 &= … = n*p*(1-p) + \end{align*} + + \underline{Skizze} der Verteilungen: + + \underline{geometrische} Verteilung: + + % TODO + + \underline{Binomialverteilt} + + % TODO \end{document}