From def239013164b72e26b7d856df217e8ede88dad4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Thomas Ba <git@thomasba.de>
Date: Thu, 22 Mar 2012 17:09:47 +0100
Subject: [PATCH] ford-fulkerson (todo)

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 Algorithmen/Algorithmen.tex    |  5 ++-
 Algorithmen/flussnetzwerke.tex | 60 +++++++++++++++++++++++++++++++++-
 2 files changed, 63 insertions(+), 2 deletions(-)

diff --git a/Algorithmen/Algorithmen.tex b/Algorithmen/Algorithmen.tex
index f6c787a..af81883 100644
--- a/Algorithmen/Algorithmen.tex
+++ b/Algorithmen/Algorithmen.tex
@@ -53,6 +53,8 @@
 \setlength{\leftbarsep}{10pt}
 \colorlet{leftbarcolor}{gray}
 
+\usepackage{pseudocode}
+
 \usepackage{listings}
 \lstdefinelanguage{pseudo}{
   morekeywords=
@@ -69,6 +71,7 @@
             {rfloor} {$\rfloor$}{1} {cdot} {$\cdot$}{1}
 }
 \lstset{
+  language=pseudo,
   basicstyle=\ttfamily\footnotesize,
   keywordstyle=\color{red},
   commentstyle=\color{blue},
@@ -79,7 +82,7 @@
   frame=single,
   showstringspaces=true,
   breaklines=true,
-  numberstyle=\footnotesize\textcolor{grey},
+  numberstyle=\footnotesize\textcolor{gray},
   numbers=left,
   tabsize=4,
   captionpos=b
diff --git a/Algorithmen/flussnetzwerke.tex b/Algorithmen/flussnetzwerke.tex
index ca267f8..4fe92ca 100644
--- a/Algorithmen/flussnetzwerke.tex
+++ b/Algorithmen/flussnetzwerke.tex
@@ -63,7 +63,65 @@ Im \bsp \( c_f(p) = 4 \)
 		Für \( (u,v) \in p \) ist \(f_p(u,v) = c_f(p) \le c_f(u,v) \) nach Definition von \(c_f(p) \)
 	\item Symmetrie gilt nach Definition
 	\item Kirchhoffsches Gestz: Sei $u$ Knoten auf $p$\\
-		\includegraphics{img/restnetzwerk_p.pdf}
+		\includegraphics{img/restnetzwerk_p.pdf}\\
+		\begin{align}
+			\sum\limits_{v\in V} f(u,v) &= f(v,u) + f(u,v) + f(u,w) + f(w,u)\\ % TODO: Underbrace c_f(...)
+										&= 0
+		\end{align}\\
 \end{enumerate}
 
+Wert \(\|f_p\| = c_f(p) \) (Im \bsp \(=4\))
+
+\lemma Sei $f$ Fluss in $G$ und $f'$ Fluss in $G_f$. Dann ist \( f + f' \) ein Fluss in $G$ und der Wert \(\|f+f'\| = \|f\| + \|f'\|\).
+
+\bew
+\begin{enumerate}
+	\item \underline{Symmetrie}
+		\begin{align}
+			(f+f')(u,v) &= f(u,v) + f'(u,v)\\
+						&= -f(v,u) - f'(v,u)\\
+						&= -\left( (f+f')(v,u) \right)
+		\end{align}
+	\item \underline{Kapazität}
+		\begin{align}
+			(f+f')(u,v) &= f(u,v) + \underbrace{f'(u,v)}_{ \le c_f(u,v) = c(u,v)-f(u,v) }\\
+						&\le f(u,v) + c(u,v) - f(u,v)\\
+						&= c(u,v)
+		\end{align}
+	\item \underline{Kirchhoff}:
+		\begin{align}
+			\sum\limits_{v\in V} (f+f')(u,v) &= \sum\limits_{v\in V} \left(f(u,v) + f'(u,v)\right)\\
+											 &= \sum\limits_{v\in V} f(u,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(u,v)\\
+											 &= 0 + 0 = 0
+		\end{align}
+\end{enumerate}
+\begin{align}
+	\text{Wert:} \|f+f'\| &= \sum\limits_{v\in V} (f+f')(s,v)\\
+						  &= \sum\limits_{v\in V} f(s,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(s,v)\\
+						  &= \|f\| + \|f'\|
+\end{align}
+
+\subsection{Ford-Fulkerson-Methode}
+
+\begin{pseudocode}[framebox]{Ford-Fulkerson-Methode}{G,s,t,c}
+f \GETS 0\\
+\WHILE \text{es gibt einen Erweiterungspfad }p\text{ in }G_p
+\DO \text{erhöhe den Fluss um }f_p\\
+\RETURN f
+\end{pseudocode}
+
+Genauer:
+
+\begin{pseudocode}[framebox]{Ford-Fulkerson}{G,s,t,c}
+	\FOREACH (u,v) \in E
+	\DO \BEGIN
+		f(u,v) \GETS 0\\
+		f(v,u) \GETS 0
+	\END
+	\WHILE \text{Es gibt einen Weg } p \text{ von } s \text{ nach } t \text{ in } G_f
+	\DO\BEGIN
+		% TODO
+	\END
+\end{pseudocode}
+
 % vim: ft=tex :