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+ pdftitle={Algorithmen},
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+ pdfauthor={Thomas Battermann},
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+\newcommand{\beh}{\textcolor{lightblue}{\textbf{Beh.:}}}
+\newcommand{\lemma}{\textbf{Lemma:}}
+
+\title{Algorithmen}
+\author{Mitschrift von Thomas Battermann\\Dozent: Prof. Thomas Thierauf}
+\date{4. Semester}
+
+\begin{document}
+ \pagestyle{empty}
+
+ \maketitle\thispagestyle{empty}
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+
+ \newpage
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+ \input{flussnetzwerke}
+\end{document}
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+\section{Flüsse in Netzwerken}
+
+\includegraphics{img/flussnetzwerk.pdf}
+
+Ein \underline{Flussnetzwerk} besteht aus einem gerichteten Graph \(G=(V,E)\) und einer \underline{Kapazitätsfunktion} \(c: V\times V \to \mathbb R\) mit \(c(u,v) \ge 0 \forall u,v \in V\) und \(c(u,v) = 0\), falls \((u,v) \not\in E\).\\
+Außerdem seien \(s\ne t \in V\) 2 ausgezeichnete Knoten. Dabei liege jeder Knoten auf einem Weg von \(s\) nach \(t\).
+
+Ein \underline{Fluss (im Netzwerk)} ist eine Funktion \( f: V\times V \to \mathbb R\) mit folgenden Eigenschaften:
+
+\begin{enumerate}
+ \item \underline{Kapazitätsbedingung}: \(f(u,v) \le c(u,v) \forall u,v \in V\)
+ \item \underline{Symmetriebedingung}: \(f(u,v) = -f(v,u) \forall u,v \in V\)\\
+ Ein Fluss von z.\,B. 12 von $u$ nach $v$ ist auch ein Fluss von \(-12\) von $v$ nach $u$.
+ \item \underline{Kirchhoffsches Gesetz}:\\
+ \(\forall u\in V - \{s,t\}\)\\
+ \(\sum\limits_{v\in V} f(u,v) = 0\)\\
+ Bsp.: \(v: 12+(-11)+(-1) = 0\)
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Wert des Flusses}
+
+Der Wert des Flusses $f$ ist \( \|f\| = \sum\limits_{v\in V} f(s,v) \)\\
+Kurzschreibweise sei \(X,Y \subseteq V\)\\
+dann Def. \( f(X,Y) = \sum\limits_{x\in X} \sum\limits_{y\in Y} f(x,y) \)
+
+\underline{Maximaler Fluss} berechnen:
+
+Gegeben: \( G=(V,E), \ s,t \in V, c \)\\
+Gesucht: Fluss $f$, so dass \(\|f\|\) maximal ist.
+
+
+% vim: ft=tex :
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+0.6 0 0 0.6 0 0 e
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+#!/bin/bash
+
+for FILE in $(find img/ -iname '*.xml') ; do
+ if [ ! -f "${FILE%.xml}.pdf" -o "$FILE" -nt "${FILE%.xml}.pdf" ] ; then
+ ipetoipe -pdf -runlatex $FILE ${FILE%.xml}.pdf
+ fi
+done
+
+if [ ! -f "Algorithmen.toc" ] ; then
+ # Run it twice to generate TOC
+ pdflatex Algorithmen.tex
+fi
+pdflatex Algorithmen.tex