From a598afc7769d8cda5dd25e676db194211eec4b2d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Thomas Ba Date: Wed, 21 Dec 2011 17:16:05 +0100 Subject: [PATCH] Wahrscheinlichkeit --- Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/ds-vc.xml | 24 +- ...hrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex | 172 +++++++++- .../bilder/1-6_dichtefunktion.xml | 296 +++++++++++++++++ .../bilder/1-6_dichtefunktion_2.xml | 256 +++++++++++++++ .../bilder/1-6_dichtefunktion_3.xml | 287 +++++++++++++++++ .../bilder/1-6_dichtefunktion_4.xml | 280 ++++++++++++++++ .../bilder/1-6_dichtefunktion_5.xml | 302 ++++++++++++++++++ 7 files changed, 1605 insertions(+), 12 deletions(-) create mode 100644 Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_dichtefunktion.xml create mode 100644 Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_dichtefunktion_2.xml create mode 100644 Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_dichtefunktion_3.xml create mode 100644 Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_dichtefunktion_4.xml create mode 100644 Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_dichtefunktion_5.xml diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/ds-vc.xml b/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/ds-vc.xml index c97a35f..68836a8 100644 --- a/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/ds-vc.xml +++ b/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/ds-vc.xml @@ -1,7 +1,7 @@ - + @@ -244,15 +244,6 @@ h 64 768 l 128 704 l - -144 736 m -176 736 l -160 752 l - - -176 736 m -160 720 l - @@ -286,5 +277,18 @@ h Vortex Cover $G'$ + +144 736 m +176 736 l +176 736 l + + +176 736 m +168 744 l + + +168 728 m +176 736 l + diff --git a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex index ce991d6..bcf1cbc 100644 --- a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex +++ b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex @@ -5,7 +5,7 @@ \usepackage{amssymb} \usepackage{eurosym} \usepackage{enumerate} -%\usepackage{multicol} +\usepackage{multicol} %\usepackage{booktabs} %\usepackage{pstricks} %\usepackage{pst-node} @@ -26,7 +26,7 @@ {\end{mdef}\end{leftbar}} %TEST ENDE \usepackage{tabularx} -%\usepackage{graphicx} +\usepackage{graphicx} \usepackage[usenames,dvipsnames]{color} \usepackage{lastpage} \usepackage{fancyhdr} @@ -1056,4 +1056,172 @@ Zugehörige Verteilungsfunktion \(F(x) = \phi(x) = \phi_{0,1}(x) \rightarrow\) hierfür: \underline{Tabellenwerte} \end{mydef} + \includegraphics{bilder/1-6_dichtefunktion.eps} + + Aus der Tabelle:\\ + \bsp \(\phi(1.27) = 0.89796 \)\\ + \( \phi(0) = \phi(0.00) = 0.5 \)\\ + \( \phi(-1.27) = 1- \phi(1.27) = 1-0.89796 \) + + Berechnung von \(\phi(-x)\):\\ + \( \phi(-x) = 1 -\phi(x) \) + + Wenn $X$ $N(0,1)$ verteilt ist, dann ist \( P(X\le b) = \phi(b), P(x\ge a) = 1-\phi(a), P(a\le x\le b) = \phi(b)-\phi(a), P(X=a)=0\) + + Wenn $X$ $N(\mu,0)$ verteilt ist, dann ist…\\ + \includegraphics{bilder/1-6_dichtefunktion_2.eps}\\ + … \( \frac{X-\mu}{\rho} \) \( N(0,1)\) verteilt. Standardverteilung \(\to\) Tabelle Anwendbar. + + \bsp Bauteile aus der Produktion $\to$ \underline{Länge des Bauteils} ist Normalverteilt. Mit \( \mu = 10cm\) (Normalverteilt), \( \sigma = 0.2cm \) (Streuung $\to$ Maß für die mittlere Abweichung von $\mu$)\\ + $\to 10cm\pm 0.2cm$ + + Ausschuss liegt vor, wenn die Länge unter $9.5cm$ liegt.\\ + Gesucht: Auschussanteil\\ + \begin{align*} + \to P(X\le 9.5) &= P(\frac{x-\mu}{\sigma} \le \frac{0.9-\mu}{\sigma})\\ + &= P(\underbrace{\frac{x-\mu}{\sigma}}_{\text{ist }N(0,1)\text{ verteilt}} \le \frac{9.5-10}{0.2})\\ + &= P(\frac{x-\mu}{\sigma} \le -2.5) = \phi(-2.5)\\ + &= 1-\phi(2.5) = 1-0.99379\\ + &= 0.00621 + \end{align*} + + Wie viel \% der Bauteile nimmt uns ein Kunde ab, wenn er eine Länge zwischen $9.7$ und $10.25$ benötigt? + \begin{align*} + P(9.7\le X<10.25) &= P\left( \frac{9.7-\mu}{\sigma} \le \frac{x-\mu}{\sigma} < \frac{10.25-\mu}{\sigma}\right)\\ + &= P\left(\frac{-0.3}{0.2}\le \frac{x-\mu}{\sigma}<\frac{0.25}{0.2}\right)\\ + &= \phi(\frac{0.25}{0.2}) - \phi(\frac{-0.3}{0.2})\\ + &= \phi(1.25) - \phi(-1.5) = \phi(1.25) - (1-\phi(1.5)) \\ + &= 0.89435 - (1-0.93319)\\ + &= 0.89435 - 0.06681\\ + &= 0.82754 = \underline{\underline{82.754\%}} + \end{align*} + + Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil länger als $10.7cm$ ist. + \begin{align*} + P(X>10.7) &= 1 - P(X<10.7)\\ + &= 1-P(\frac{x-\mu}{\sigma} < \frac{10.7-\mu}{\sigma})\\ + &= 1-P(\frac{x-\mu}{\sigma} < \frac{0.7}{0.2})\\ + &= 1-P(\frac{x-\mu}{\sigma} < 3.5)\\ + &= 1 - \phi(3.5) = 1-0.99977\\ + &= 0.00023 = \underline{\underline{0.023\%}} + \end{align*} + + \subsection{Schätzungen und Tests} + + Test z.\,B. Liefert die Maschine im Mittel die geforderten $10cm$ Länge?\\ + \(\to\) mit einer Stichprobe. + + \subsubsection{Stichproben} + + Stichprobenumfang $n$, Stichprobenwerte \(x_1,x_2,…,x_n\).\\ + $\to$ arithmetisches Mittel (Durchschnitt) + + \( \overline{x} = \frac1n * (x_1+x_2+…+x_n) = \frac1n \sum\limits_{i=1}^n x_i \)\\ + \( \to\) Schätzung für $\mu$ + + Stichprobenvarianz + \begin{align*} + s_{\color{Orange}n}^2 &= \frac{1}{\color{Orange}n} * \left( (x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2+ … + (x_n-\overline{x})^2 \right) \\ + &= \frac1n * \left( x_1^2 + x_2^2 + … + x_n^2 \right) - \overline{x}^2\\ + s^2 = s_{\color{Orange}n-1}^2 &= \frac{1}{\color{Orange}n-1} + \left( (x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + … + (x_n - \overline{x})^2 \right)\\ + &= \frac{1}{n-1} * (x_1^2 + … + x_n^2) - \frac{n}{n-1} * \overline{x}^2 + \end{align*} + + % Datum: 2011-12-21 + + \begin{align*} + \overline{x} &= \frac1n * \left( x_1+x_2+…+x_n \right) & \textcolor{Orange}{\to \text{ Schätzwert für }\mu}\\ + s^2 = s_{n-1}^2 &= \frac{1}{n-1} \left( x_1^2 + x_2^2 + … + x_n^2 \right) - \frac{n}{n-1}*\overline{x}^2\\ + s = s_{n-1} &= \sqrt{s_{n-1}^2} & \textcolor{Orange}{\to \text{ Schätzwert für }\sigma} + \end{align*} + + \bsp Stichprobe mit 100 Bauteilen aus der Produktion\\ + $\to$ gemessene Lösungen: 50 mal 10cm, 20 mal 10.1cm, 10 mal 10.2cm, 20 mal 9.9cm. + \begin{align*} + \overline{x} &= \frac{1}{100} * (50*10 + 20*10.1 + 10*10.2 + 20*9.9)\\ + &= 10.02 \\ + s^2 &= \frac{1}{100} * (50*10^2 + 20*10.1^2 + 10*10.2^2 + 20*9.9^2) - \frac{100}{99} * 10.02^2\\ + &= \frac{19}{2475} \approx 0.007677\\ + s &= \sqrt{\frac{19}{2475}} = \frac{\sqrt{209}}{165} \approx 0.08762 + \end{align*} + \textcolor{Green}{Maß für die Streuung: $0.0876cm$\\($\to\ 10.02\pm 0.08762cm$)} + + \subsubsection{Zentraler Grenzwertsatz}\label{sec:zentraler_grenzwertsatz} + + Wenn die Zufallsvariablen $X_i\ , i=1,2,3,…$ unabhängig ($X_1,X_2$ sind unabhängig, wenn $P(X_1=a \land X_2=b) = P(X_1=a)*P(X_2=b)$) und identisch Verteilt (alle $X_i$ besitzen die gleiche Verteilungsfunktion) sind mit Erwartungswert \(\mu=E(X_i)\) und Varianz \(\sigma^2 = Var(X_i) \), dann gilt für die Zufallsvariable \(\overline{X}=\frac1n*\left(X_1+X_2+…+X_n\right)\):\\ + \( \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma} * \sqrt{n} \) ist für große $n$ näherungsweise $N(0,1)$ verteilt.\\ + (und: Konvergenz für \(n\to\infty\)) + + \includegraphics{bilder/1-6_dichtefunktion_3.eps} + + \subsubsection{Tests (Erwartungswerttests)} + + \underline{Nullhypothese} $\to$ soll getestet werden beim Erwartungswerttest:\\ + \(H_0: \mu = \mu_0 \) z.\,B. Sollwert der Bauteillängen\\ + \(\to\) Zweiseitiger Test\\ + oder \(H_0: \mu\le\mu_0\) oder \(H_0: \mu\ge\mu_0 \)\\ + \(\to\) Einseitige Tests + + Testgröße \(T=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma} * \sqrt{n} \)\\ + i\(\to\) ist für große $n$ näherungsweise $N(0,1)$ verteilt (siehe \ref{sec:zentraler_grenzwertsatz}) wenn $H_0$ stimmt. + + \includegraphics{bilder/1-6_dichtefunktion_4.eps} + + Man muss sich eine \underline{Irrtumswahrscheinlichkeit} $\alpha$ vorgeben (z.\,B. \(\alpha = 1\%, 2\% \text{ oder } 5\%\))\\ + Testentscheidung: $H_0$ wird \( \begin{cases} \text{angenommen}, &\text{wenn } -c\le T\le c\\ \text{abgelehnt}, &\text{wenn } T> c \text{ oder } T< -c \end{cases} \) + + Bestimmung von $c$: + \begin{align*} + \phi(c) &= 1-\frac{\alpha}{2}\\ + c &= \phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) & \text{in der Tabelle: rückwärts} + \end{align*} + + \underline{Vorgehensweise beim Test}\\ + \begin{itemize} + \item aus den vorgegebenen $\alpha$ wird $c$ bestimmt: \(\phi(c) = 1-\frac{\alpha}{2} \to \)\underline{$c$ aus der Tabelle} + \item in der Stichprobe wird $\overline{x}$ (und evtl. $s$) bestimmt\\ + \(\to\) Testgröße \(T=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma} * \sqrt{n} \) ($\sigma$ kann durch $s$ angenähert werden) + \item Testentscheidung: $H_0$ wird \( \begin{cases} \text{angenommen}, &\text{wenn } -c\le T\le c\\ \text{abgelehnt}, &\text{wenn } T> c \text{ oder } T< -c \end{cases} \) + \end{itemize} + + \bsp aus \ref{sec:zentraler_grenzwertsatz}:\\ + zusätzliche Angaben: Sollwert: $10cm$ ($\mu_0$); Irrtumswahrscheinlichkeit: $2\%$ ($\alpha$) + \begin{multicols}{2} + \begin{align*} + c &= \phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\\ + &= \phi^{-1}\left( 1- \frac{0.02}{2}\right)\\ + &= \phi^{-1}( 1- 0.01 )\\ + &= \phi^{-1}( 0.99) \\ + &= 2.33 + \end{align*} + \begin{align*} + T &= \frac{10.02-10}{0.08762} * \sqrt{100}\\ + &= \frac{0.02}{0.08762} * 10 = \frac{0.2}{0.08762}\\ + &= 2.28258 + \end{align*} + \end{multicols} + + Testentscheidung: \(\underbrace{-c}_{-2.33}\le \underbrace{T}_{2.283}\le \underbrace{c}_{2.33}\)\\ + \(\Rightarrow H_0\) annehmen, d.\,h. es spricht nichts dagegen, dass die Maschine im Mittel den Sollwert produziert.\\ + \textcolor{Orange}{Nullhypothese: $\mu=\mu_0=10$} + + Bisher: zweiseitiger Test: \(H_0: \mu=\mu0\)\\ + Jetzt: \underline{einseitige} Tests:\\ + \(H_0: \mu\le\mu_0\) (vorgegebener Maximalwert) + + \includegraphics{bilder/1-6_dichtefunktion_5.eps} + + Testentscheidung:\\ + $H_0$ wird \(\begin{cases}\text{angenommen},&\text{wenn } T\le c\\\text{abgelehnt},&\text{wenn }T>c\end{cases}\) + + im \bsp wenn die Bauteile \underline{maximal $10cm$} lang sein dürfen.\\ + \(\to H_0: \mu \le \underbrace{\mu_0}_{=10} \) + + \(T=2.283\) (wie beim zweiseitigen Test)\\ + für $\alpha = 2\%$: + \( \phi(c) = 1-\alpha = 1-0.02 = 0.98 \Rightarrow c=2.06 \) + + Testentscheidung:\\ + \( \underbrace{T}_{2.283} > \underbrace{c}_{2.06} \to H_0\) ablehnen $\to$ die Maschine liefert zu lange Teile (wahrscheinlich) + \end{document} diff --git a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_dichtefunktion.xml b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_dichtefunktion.xml new file mode 100644 index 0000000..8aa6738 --- /dev/null +++ b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_dichtefunktion.xml @@ -0,0 +1,296 @@ + + + + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e +0.4 0 0 0.4 0 0 e + + + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e + + + + + +0.5 0 0 0.5 0 0 e + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e +0.4 0 0 0.4 0 0 e + + + + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h +-0.4 -0.4 m +0.4 -0.4 l +0.4 0.4 l +-0.4 0.4 l +h + + + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h + + + + + +-0.5 -0.5 m +0.5 -0.5 l +0.5 0.5 l +-0.5 0.5 l +h + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h +-0.4 -0.4 m +0.4 -0.4 l +0.4 0.4 l +-0.4 0.4 l +h + + + + + + +-0.43 -0.57 m +0.57 0.43 l +0.43 0.57 l +-0.57 -0.43 l +h + + +-0.43 0.57 m +0.57 -0.43 l +0.43 -0.57 l +-0.57 0.43 l +h + + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-0.8 0 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-0.8 0 l +-1 -0.333 l +h + + + + +-1 0.333 m +0 0 l +-1 -0.333 l + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h +-1 0 m +-2 0.333 l +-2 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h +-1 0 m +-2 0.333 l +-2 -0.333 l +h + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +64 708 m +96 708 +112 712 +120 720 +124 752 +128 756 +128 756 s + + +64 708 m +96 708 +112 712 +120 720 +124 752 +128 756 +128 756 s + + +128 700 m +128 768 l + +$\mu = 0$ + +56 704 m +200 704 l + +$N(0,1)$ Verteilung +Dichtefunktion der + +56 624 m +200 624 l + + +128 620 m +128 688 l + + +128 656 m +192 656 l + + +80 628 m +112 628 +128 640 +144 652 +176 652 +176 652 s + + +$1$ +$\frac 1 2$ +Wendepunkt +Verteilungsfunktion +$\phi(x) = P(X\le x)$ +der $N(0,1)$ Verteilung + +108 640 m +124 636 l + + + diff --git a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_dichtefunktion_2.xml b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_dichtefunktion_2.xml new file mode 100644 index 0000000..e4d072f --- /dev/null +++ b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_dichtefunktion_2.xml @@ -0,0 +1,256 @@ + + + + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0 0 m +-1 0.333 l +-1 -0.333 l +h + + + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e +0.4 0 0 0.4 0 0 e + + + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e + + + + + +0.5 0 0 0.5 0 0 e + + +0.6 0 0 0.6 0 0 e +0.4 0 0 0.4 0 0 e + + + + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h +-0.4 -0.4 m +0.4 -0.4 l +0.4 0.4 l +-0.4 0.4 l +h + + + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h + + + + + +-0.5 -0.5 m +0.5 -0.5 l +0.5 0.5 l +-0.5 0.5 l +h + + +-0.6 -0.6 m +0.6 -0.6 l +0.6 0.6 l +-0.6 0.6 l +h +-0.4 -0.4 m +0.4 -0.4 l +0.4 0.4 l +-0.4 0.4 l +h + + + + + + +-0.43 -0.57 m +0.57 0.43 l +0.43 0.57 l +-0.57 -0.43 l +h + + +-0.43 0.57 m +0.57 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