diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/ds-vc.xml b/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/ds-vc.xml
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Vortex Cover
$G'$
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+++ b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex
@@ -5,7 +5,7 @@
\usepackage{amssymb}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{enumerate}
-%\usepackage{multicol}
+\usepackage{multicol}
%\usepackage{booktabs}
%\usepackage{pstricks}
%\usepackage{pst-node}
@@ -26,7 +26,7 @@
{\end{mdef}\end{leftbar}}
%TEST ENDE
\usepackage{tabularx}
-%\usepackage{graphicx}
+\usepackage{graphicx}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{color}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{fancyhdr}
@@ -1056,4 +1056,172 @@
Zugehörige Verteilungsfunktion \(F(x) = \phi(x) = \phi_{0,1}(x) \rightarrow\) hierfür: \underline{Tabellenwerte}
\end{mydef}
+ \includegraphics{bilder/1-6_dichtefunktion.eps}
+
+ Aus der Tabelle:\\
+ \bsp \(\phi(1.27) = 0.89796 \)\\
+ \( \phi(0) = \phi(0.00) = 0.5 \)\\
+ \( \phi(-1.27) = 1- \phi(1.27) = 1-0.89796 \)
+
+ Berechnung von \(\phi(-x)\):\\
+ \( \phi(-x) = 1 -\phi(x) \)
+
+ Wenn $X$ $N(0,1)$ verteilt ist, dann ist \( P(X\le b) = \phi(b), P(x\ge a) = 1-\phi(a), P(a\le x\le b) = \phi(b)-\phi(a), P(X=a)=0\)
+
+ Wenn $X$ $N(\mu,0)$ verteilt ist, dann ist…\\
+ \includegraphics{bilder/1-6_dichtefunktion_2.eps}\\
+ … \( \frac{X-\mu}{\rho} \) \( N(0,1)\) verteilt. Standardverteilung \(\to\) Tabelle Anwendbar.
+
+ \bsp Bauteile aus der Produktion $\to$ \underline{Länge des Bauteils} ist Normalverteilt. Mit \( \mu = 10cm\) (Normalverteilt), \( \sigma = 0.2cm \) (Streuung $\to$ Maß für die mittlere Abweichung von $\mu$)\\
+ $\to 10cm\pm 0.2cm$
+
+ Ausschuss liegt vor, wenn die Länge unter $9.5cm$ liegt.\\
+ Gesucht: Auschussanteil\\
+ \begin{align*}
+ \to P(X\le 9.5) &= P(\frac{x-\mu}{\sigma} \le \frac{0.9-\mu}{\sigma})\\
+ &= P(\underbrace{\frac{x-\mu}{\sigma}}_{\text{ist }N(0,1)\text{ verteilt}} \le \frac{9.5-10}{0.2})\\
+ &= P(\frac{x-\mu}{\sigma} \le -2.5) = \phi(-2.5)\\
+ &= 1-\phi(2.5) = 1-0.99379\\
+ &= 0.00621
+ \end{align*}
+
+ Wie viel \% der Bauteile nimmt uns ein Kunde ab, wenn er eine Länge zwischen $9.7$ und $10.25$ benötigt?
+ \begin{align*}
+ P(9.7\le X<10.25) &= P\left( \frac{9.7-\mu}{\sigma} \le \frac{x-\mu}{\sigma} < \frac{10.25-\mu}{\sigma}\right)\\
+ &= P\left(\frac{-0.3}{0.2}\le \frac{x-\mu}{\sigma}<\frac{0.25}{0.2}\right)\\
+ &= \phi(\frac{0.25}{0.2}) - \phi(\frac{-0.3}{0.2})\\
+ &= \phi(1.25) - \phi(-1.5) = \phi(1.25) - (1-\phi(1.5)) \\
+ &= 0.89435 - (1-0.93319)\\
+ &= 0.89435 - 0.06681\\
+ &= 0.82754 = \underline{\underline{82.754\%}}
+ \end{align*}
+
+ Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil länger als $10.7cm$ ist.
+ \begin{align*}
+ P(X>10.7) &= 1 - P(X<10.7)\\
+ &= 1-P(\frac{x-\mu}{\sigma} < \frac{10.7-\mu}{\sigma})\\
+ &= 1-P(\frac{x-\mu}{\sigma} < \frac{0.7}{0.2})\\
+ &= 1-P(\frac{x-\mu}{\sigma} < 3.5)\\
+ &= 1 - \phi(3.5) = 1-0.99977\\
+ &= 0.00023 = \underline{\underline{0.023\%}}
+ \end{align*}
+
+ \subsection{Schätzungen und Tests}
+
+ Test z.\,B. Liefert die Maschine im Mittel die geforderten $10cm$ Länge?\\
+ \(\to\) mit einer Stichprobe.
+
+ \subsubsection{Stichproben}
+
+ Stichprobenumfang $n$, Stichprobenwerte \(x_1,x_2,…,x_n\).\\
+ $\to$ arithmetisches Mittel (Durchschnitt)
+
+ \( \overline{x} = \frac1n * (x_1+x_2+…+x_n) = \frac1n \sum\limits_{i=1}^n x_i \)\\
+ \( \to\) Schätzung für $\mu$
+
+ Stichprobenvarianz
+ \begin{align*}
+ s_{\color{Orange}n}^2 &= \frac{1}{\color{Orange}n} * \left( (x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2+ … + (x_n-\overline{x})^2 \right) \\
+ &= \frac1n * \left( x_1^2 + x_2^2 + … + x_n^2 \right) - \overline{x}^2\\
+ s^2 = s_{\color{Orange}n-1}^2 &= \frac{1}{\color{Orange}n-1} + \left( (x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + … + (x_n - \overline{x})^2 \right)\\
+ &= \frac{1}{n-1} * (x_1^2 + … + x_n^2) - \frac{n}{n-1} * \overline{x}^2
+ \end{align*}
+
+ % Datum: 2011-12-21
+
+ \begin{align*}
+ \overline{x} &= \frac1n * \left( x_1+x_2+…+x_n \right) & \textcolor{Orange}{\to \text{ Schätzwert für }\mu}\\
+ s^2 = s_{n-1}^2 &= \frac{1}{n-1} \left( x_1^2 + x_2^2 + … + x_n^2 \right) - \frac{n}{n-1}*\overline{x}^2\\
+ s = s_{n-1} &= \sqrt{s_{n-1}^2} & \textcolor{Orange}{\to \text{ Schätzwert für }\sigma}
+ \end{align*}
+
+ \bsp Stichprobe mit 100 Bauteilen aus der Produktion\\
+ $\to$ gemessene Lösungen: 50 mal 10cm, 20 mal 10.1cm, 10 mal 10.2cm, 20 mal 9.9cm.
+ \begin{align*}
+ \overline{x} &= \frac{1}{100} * (50*10 + 20*10.1 + 10*10.2 + 20*9.9)\\
+ &= 10.02 \\
+ s^2 &= \frac{1}{100} * (50*10^2 + 20*10.1^2 + 10*10.2^2 + 20*9.9^2) - \frac{100}{99} * 10.02^2\\
+ &= \frac{19}{2475} \approx 0.007677\\
+ s &= \sqrt{\frac{19}{2475}} = \frac{\sqrt{209}}{165} \approx 0.08762
+ \end{align*}
+ \textcolor{Green}{Maß für die Streuung: $0.0876cm$\\($\to\ 10.02\pm 0.08762cm$)}
+
+ \subsubsection{Zentraler Grenzwertsatz}\label{sec:zentraler_grenzwertsatz}
+
+ Wenn die Zufallsvariablen $X_i\ , i=1,2,3,…$ unabhängig ($X_1,X_2$ sind unabhängig, wenn $P(X_1=a \land X_2=b) = P(X_1=a)*P(X_2=b)$) und identisch Verteilt (alle $X_i$ besitzen die gleiche Verteilungsfunktion) sind mit Erwartungswert \(\mu=E(X_i)\) und Varianz \(\sigma^2 = Var(X_i) \), dann gilt für die Zufallsvariable \(\overline{X}=\frac1n*\left(X_1+X_2+…+X_n\right)\):\\
+ \( \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma} * \sqrt{n} \) ist für große $n$ näherungsweise $N(0,1)$ verteilt.\\
+ (und: Konvergenz für \(n\to\infty\))
+
+ \includegraphics{bilder/1-6_dichtefunktion_3.eps}
+
+ \subsubsection{Tests (Erwartungswerttests)}
+
+ \underline{Nullhypothese} $\to$ soll getestet werden beim Erwartungswerttest:\\
+ \(H_0: \mu = \mu_0 \) z.\,B. Sollwert der Bauteillängen\\
+ \(\to\) Zweiseitiger Test\\
+ oder \(H_0: \mu\le\mu_0\) oder \(H_0: \mu\ge\mu_0 \)\\
+ \(\to\) Einseitige Tests
+
+ Testgröße \(T=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma} * \sqrt{n} \)\\
+ i\(\to\) ist für große $n$ näherungsweise $N(0,1)$ verteilt (siehe \ref{sec:zentraler_grenzwertsatz}) wenn $H_0$ stimmt.
+
+ \includegraphics{bilder/1-6_dichtefunktion_4.eps}
+
+ Man muss sich eine \underline{Irrtumswahrscheinlichkeit} $\alpha$ vorgeben (z.\,B. \(\alpha = 1\%, 2\% \text{ oder } 5\%\))\\
+ Testentscheidung: $H_0$ wird \( \begin{cases} \text{angenommen}, &\text{wenn } -c\le T\le c\\ \text{abgelehnt}, &\text{wenn } T> c \text{ oder } T< -c \end{cases} \)
+
+ Bestimmung von $c$:
+ \begin{align*}
+ \phi(c) &= 1-\frac{\alpha}{2}\\
+ c &= \phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) & \text{in der Tabelle: rückwärts}
+ \end{align*}
+
+ \underline{Vorgehensweise beim Test}\\
+ \begin{itemize}
+ \item aus den vorgegebenen $\alpha$ wird $c$ bestimmt: \(\phi(c) = 1-\frac{\alpha}{2} \to \)\underline{$c$ aus der Tabelle}
+ \item in der Stichprobe wird $\overline{x}$ (und evtl. $s$) bestimmt\\
+ \(\to\) Testgröße \(T=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma} * \sqrt{n} \) ($\sigma$ kann durch $s$ angenähert werden)
+ \item Testentscheidung: $H_0$ wird \( \begin{cases} \text{angenommen}, &\text{wenn } -c\le T\le c\\ \text{abgelehnt}, &\text{wenn } T> c \text{ oder } T< -c \end{cases} \)
+ \end{itemize}
+
+ \bsp aus \ref{sec:zentraler_grenzwertsatz}:\\
+ zusätzliche Angaben: Sollwert: $10cm$ ($\mu_0$); Irrtumswahrscheinlichkeit: $2\%$ ($\alpha$)
+ \begin{multicols}{2}
+ \begin{align*}
+ c &= \phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\\
+ &= \phi^{-1}\left( 1- \frac{0.02}{2}\right)\\
+ &= \phi^{-1}( 1- 0.01 )\\
+ &= \phi^{-1}( 0.99) \\
+ &= 2.33
+ \end{align*}
+ \begin{align*}
+ T &= \frac{10.02-10}{0.08762} * \sqrt{100}\\
+ &= \frac{0.02}{0.08762} * 10 = \frac{0.2}{0.08762}\\
+ &= 2.28258
+ \end{align*}
+ \end{multicols}
+
+ Testentscheidung: \(\underbrace{-c}_{-2.33}\le \underbrace{T}_{2.283}\le \underbrace{c}_{2.33}\)\\
+ \(\Rightarrow H_0\) annehmen, d.\,h. es spricht nichts dagegen, dass die Maschine im Mittel den Sollwert produziert.\\
+ \textcolor{Orange}{Nullhypothese: $\mu=\mu_0=10$}
+
+ Bisher: zweiseitiger Test: \(H_0: \mu=\mu0\)\\
+ Jetzt: \underline{einseitige} Tests:\\
+ \(H_0: \mu\le\mu_0\) (vorgegebener Maximalwert)
+
+ \includegraphics{bilder/1-6_dichtefunktion_5.eps}
+
+ Testentscheidung:\\
+ $H_0$ wird \(\begin{cases}\text{angenommen},&\text{wenn } T\le c\\\text{abgelehnt},&\text{wenn }T>c\end{cases}\)
+
+ im \bsp wenn die Bauteile \underline{maximal $10cm$} lang sein dürfen.\\
+ \(\to H_0: \mu \le \underbrace{\mu_0}_{=10} \)
+
+ \(T=2.283\) (wie beim zweiseitigen Test)\\
+ für $\alpha = 2\%$:
+ \( \phi(c) = 1-\alpha = 1-0.02 = 0.98 \Rightarrow c=2.06 \)
+
+ Testentscheidung:\\
+ \( \underbrace{T}_{2.283} > \underbrace{c}_{2.06} \to H_0\) ablehnen $\to$ die Maschine liefert zu lange Teile (wahrscheinlich)
+
\end{document}
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+64 708 m
+96 708
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+Verteilungsfunktion
+$\phi(x) = P(X\le x)$
+der $N(0,1)$ Verteilung
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diff --git a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_dichtefunktion_2.xml b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_dichtefunktion_2.xml
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+176 644 l
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new file mode 100644
index 0000000..ad34cbe
--- /dev/null
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diff --git a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_dichtefunktion_5.xml b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_dichtefunktion_5.xml
new file mode 100644
index 0000000..c5d894f
--- /dev/null
+++ b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/bilder/1-6_dichtefunktion_5.xml
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+64 708 m
+96 708
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+120 720
+124 752
+128 756
+128 756 s
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+128 700 m
+128 768 l
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+56 704 m
+200 704 l
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+192 708 m
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+Fl$\ddot a$che $1-\alpha$
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+
+