From 9a7d223ed9036cb7de4b4893f873bb57d7b5339a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Thomas Ba Date: Wed, 5 Oct 2011 08:26:15 +0200 Subject: [PATCH] new file: Datenbanksysteme/Datenbanksysteme.tex new file: Grundlagen_der_Mathematik/Grundlagen_der_Mathematik.tex new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/2.6_koordinatensystem_zylinder.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-1.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-2.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_adjezenzmatrix.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_bsp.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_hasse-diagramm.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_transitive_huelle.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_transitive_huelle_2.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_unterteile.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_zahlenstrahl.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/4-0_ver1.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/4-0_ver2.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/4-1_permut.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_beweis.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_beweis.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_bsp_2.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_bsp_2.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_k3.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_k3.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_k5.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_k5.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_monotone_gitterwege.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_monotone_gitterwege.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_graphen.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_graphen.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar.png new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar.svg new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar_bsp.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar_bsp.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_tiefe.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_tiefe.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/6-0_ung_ohne_zur.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/6-0_ung_ohne_zur.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/abschl_eig_reg_spr.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/grafik.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/kreis_2ele.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/kreis_5ele.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/nfa-dfa.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.tex new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.svg new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.tex new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.tex.aux new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_zylinder.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_zylinder.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_zylinder.svg new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-1.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-1.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-1.svg new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-2.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-2.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-2.svg new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_adjezenzmatrix.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_adjezenzmatrix.svg new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_bsp.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_bsp.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_hasse-diagramm.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_hasse-diagramm.svg new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle.svg new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle_2.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle_2.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle_2.svg new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_unterteile.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_unterteile.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_unterteile.svg new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_zahlenstrahl.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_zahlenstrahl.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_zahlenstrahl.svg new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-0_ver1.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-0_ver1.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-0_ver2.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-0_ver2.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-1_permut.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-1_permut.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/kreis_2ele.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/kreis_2ele.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/kreis_2ele.svg new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/kreis_5ele.dia new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/kreis_5ele.pdf new file: Objektorientierte_Modellierung/Objektorientierte_Modellierung.tex new file: Sichere_Hardware/Sichere_Hardware.tex --- Datenbanksysteme/Datenbanksysteme.tex | 63 + .../Grundlagen_der_Mathematik.tex | 2683 +++++++++++++++++ .../bilder/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf | Bin 0 -> 5660 bytes .../bilder/2.6_koordinatensystem_zylinder.pdf | Bin 0 -> 2675 bytes Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-1.pdf | Bin 0 -> 6791 bytes Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-2.pdf | Bin 0 -> 7944 bytes .../bilder/3-3_adjezenzmatrix.pdf | Bin 0 -> 6731 bytes Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_bsp.pdf | Bin 0 -> 7507 bytes .../bilder/3-3_hasse-diagramm.pdf | Bin 0 -> 6532 bytes .../bilder/3-3_transitive_huelle.pdf | Bin 0 -> 7286 bytes .../bilder/3-3_transitive_huelle_2.pdf | Bin 0 -> 8482 bytes .../bilder/3-3_unterteile.pdf | Bin 0 -> 6905 bytes .../bilder/3-3_zahlenstrahl.pdf | Bin 0 -> 7400 bytes Grundlagen_der_Mathematik/bilder/4-0_ver1.pdf | Bin 0 -> 6841 bytes Grundlagen_der_Mathematik/bilder/4-0_ver2.pdf | Bin 0 -> 7317 bytes .../bilder/4-1_permut.pdf | Bin 0 -> 7216 bytes .../bilder/5-3-1_beweis.dia | Bin 0 -> 1426 bytes .../bilder/5-3-1_beweis.pdf | Bin 0 -> 6089 bytes .../bilder/5-3-1_bsp_2.dia | Bin 0 -> 1163 bytes .../bilder/5-3-1_bsp_2.pdf | 68 + Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_k3.dia | Bin 0 -> 1115 bytes Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_k3.pdf | Bin 0 -> 1423 bytes Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_k5.dia | Bin 0 -> 1288 bytes Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_k5.pdf | Bin 0 -> 1505 bytes .../bilder/5-3-1_monotone_gitterwege.dia | Bin 0 -> 1360 bytes .../bilder/5-3-1_monotone_gitterwege.pdf | Bin 0 -> 5447 bytes .../bilder/5-3_graphen.dia | Bin 0 -> 1348 bytes .../bilder/5-3_graphen.pdf | Bin 0 -> 4947 bytes .../bilder/5-3_planar.dia | Bin 0 -> 927 bytes .../bilder/5-3_planar.pdf | Bin 0 -> 1235 bytes .../bilder/5-3_planar.png | Bin 0 -> 3897 bytes .../bilder/5-3_planar.svg | 22 + .../bilder/5-3_planar_bsp.dia | Bin 0 -> 1478 bytes .../bilder/5-3_planar_bsp.pdf | Bin 0 -> 4729 bytes .../bilder/5-3_tiefe.dia | Bin 0 -> 1066 bytes .../bilder/5-3_tiefe.pdf | Bin 0 -> 7576 bytes .../bilder/6-0_ung_ohne_zur.dia | Bin 0 -> 1606 bytes .../bilder/6-0_ung_ohne_zur.pdf | Bin 0 -> 8136 bytes .../bilder/abschl_eig_reg_spr.pdf | Bin 0 -> 5799 bytes Grundlagen_der_Mathematik/bilder/grafik.pdf | Bin 0 -> 9451 bytes .../bilder/kreis_2ele.pdf | Bin 0 -> 2752 bytes .../bilder/kreis_5ele.pdf | Bin 0 -> 3026 bytes Grundlagen_der_Mathematik/bilder/nfa-dfa.pdf | Bin 0 -> 6814 bytes .../org/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf | Bin 0 -> 4405 bytes .../org/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.tex | 175 ++ .../org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.dia | Bin 0 -> 936 bytes .../org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.svg | 122 + .../org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.tex | 175 ++ .../2.6_koordinatensystem_3d_punkt.tex.aux | 24 + .../org/2.6_koordinatensystem_zylinder.dia | Bin 0 -> 912 bytes .../org/2.6_koordinatensystem_zylinder.pdf | 67 + .../org/2.6_koordinatensystem_zylinder.svg | 20 + Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-1.dia | Bin 0 -> 1515 bytes Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-1.pdf | Bin 0 -> 5519 bytes Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-1.svg | 304 ++ Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-2.dia | Bin 0 -> 2346 bytes Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-2.pdf | Bin 0 -> 6610 bytes Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-2.svg | 587 ++++ .../bilder/org/3-3_adjezenzmatrix.pdf | Bin 0 -> 5437 bytes .../bilder/org/3-3_adjezenzmatrix.svg | 52 + .../bilder/org/3-3_bsp.dia | Bin 0 -> 1703 bytes .../bilder/org/3-3_bsp.pdf | Bin 0 -> 6167 bytes .../bilder/org/3-3_hasse-diagramm.pdf | Bin 0 -> 5279 bytes .../bilder/org/3-3_hasse-diagramm.svg | 43 + .../bilder/org/3-3_transitive_huelle.dia | Bin 0 -> 1518 bytes .../bilder/org/3-3_transitive_huelle.pdf | Bin 0 -> 6029 bytes .../bilder/org/3-3_transitive_huelle.svg | 69 + .../bilder/org/3-3_transitive_huelle_2.dia | Bin 0 -> 2313 bytes .../bilder/org/3-3_transitive_huelle_2.pdf | Bin 0 -> 7219 bytes .../bilder/org/3-3_transitive_huelle_2.svg | 121 + .../bilder/org/3-3_unterteile.dia | Bin 0 -> 1449 bytes .../bilder/org/3-3_unterteile.pdf | Bin 0 -> 5646 bytes .../bilder/org/3-3_unterteile.svg | 45 + .../bilder/org/3-3_zahlenstrahl.dia | Bin 0 -> 1641 bytes .../bilder/org/3-3_zahlenstrahl.pdf | Bin 0 -> 6079 bytes .../bilder/org/3-3_zahlenstrahl.svg | 90 + .../bilder/org/4-0_ver1.dia | Bin 0 -> 1163 bytes .../bilder/org/4-0_ver1.pdf | Bin 0 -> 5552 bytes .../bilder/org/4-0_ver2.dia | Bin 0 -> 1363 bytes .../bilder/org/4-0_ver2.pdf | Bin 0 -> 6034 bytes .../bilder/org/4-1_permut.dia | Bin 0 -> 1591 bytes .../bilder/org/4-1_permut.pdf | Bin 0 -> 5951 bytes .../bilder/org/kreis_2ele.dia | Bin 0 -> 834 bytes .../bilder/org/kreis_2ele.pdf | 69 + .../bilder/org/kreis_2ele.svg | 115 + .../bilder/org/kreis_5ele.dia | Bin 0 -> 1096 bytes .../bilder/org/kreis_5ele.pdf | Bin 0 -> 1584 bytes .../Objektorientierte_Modellierung.tex | 68 + Sichere_Hardware/Sichere_Hardware.tex | 120 + 89 files changed, 5102 insertions(+) create mode 100644 Datenbanksysteme/Datenbanksysteme.tex create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/Grundlagen_der_Mathematik.tex create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/2.6_koordinatensystem_zylinder.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-1.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-2.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_adjezenzmatrix.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_bsp.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_hasse-diagramm.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_transitive_huelle.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_transitive_huelle_2.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_unterteile.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_zahlenstrahl.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/4-0_ver1.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/4-0_ver2.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/4-1_permut.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_beweis.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_beweis.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_bsp_2.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_bsp_2.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_k3.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_k3.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_k5.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_k5.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_monotone_gitterwege.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_monotone_gitterwege.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_graphen.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_graphen.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar.png create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar.svg create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar_bsp.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar_bsp.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_tiefe.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_tiefe.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/6-0_ung_ohne_zur.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/6-0_ung_ohne_zur.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/abschl_eig_reg_spr.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/grafik.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/kreis_2ele.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/kreis_5ele.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/nfa-dfa.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.tex create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.svg create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.tex create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.tex.aux create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_zylinder.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_zylinder.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_zylinder.svg create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-1.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-1.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-1.svg create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-2.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-2.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-2.svg create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_adjezenzmatrix.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_adjezenzmatrix.svg create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_bsp.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_bsp.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_hasse-diagramm.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_hasse-diagramm.svg create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle.svg create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle_2.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle_2.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle_2.svg create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_unterteile.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_unterteile.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_unterteile.svg create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_zahlenstrahl.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_zahlenstrahl.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_zahlenstrahl.svg create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-0_ver1.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-0_ver1.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-0_ver2.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-0_ver2.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-1_permut.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-1_permut.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/kreis_2ele.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/kreis_2ele.pdf create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/kreis_2ele.svg create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/kreis_5ele.dia create mode 100644 Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/kreis_5ele.pdf create mode 100644 Objektorientierte_Modellierung/Objektorientierte_Modellierung.tex create mode 100644 Sichere_Hardware/Sichere_Hardware.tex diff --git a/Datenbanksysteme/Datenbanksysteme.tex b/Datenbanksysteme/Datenbanksysteme.tex new file mode 100644 index 0000000..6fe9100 --- /dev/null +++ b/Datenbanksysteme/Datenbanksysteme.tex @@ -0,0 +1,63 @@ +\documentclass[11pt]{scrartcl} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[ngerman]{babel} +%\usepackage{amsmath} +%\usepackage{amssymb} +\usepackage{multicol} +\usepackage{booktabs} +\usepackage{pstricks} +\usepackage{pst-node} +\usepackage[paper=a4paper,left=30mm,right=20mm,top=20mm,bottom =25mm]{geometry} +\usepackage[ + pdftitle={Datenbanksysteme}, + pdfsubject={Mitschrift der Vorlesung "Datenbanksysteme" an der HTW-Aalen, bei Herrn Dietrich.}, + pdfauthor={Thomas Battermann}, + pdfkeywords={Datenbanksysteme}, + pdfborder={0 0 0} +]{hyperref} +\usepackage{tabularx} +%\usepackage{graphicx} +\usepackage{color} +\usepackage{lastpage} +\usepackage{fancyhdr} +\setlength{\parindent}{0ex} +\setlength{\parskip}{2ex} +\setcounter{secnumdepth}{4} +\setcounter{tocdepth}{4} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0} +\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5} + +\pagestyle{fancy} %eigener Seitenstil +\fancyhf{} %alle Kopf- und Fußzeilenfelder bereinigen +\fancyhead[L]{Datenbanksysteme} %Kopfzeile links +\fancyhead[C]{Semester 3} %zentrierte Kopfzeile +\fancyhead[R]{WS 2011/2012} %Kopfzeile rechts +\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} %obere Trennlinie +\fancyfoot[C]{Seite \thepage\ von \pageref{LastPage}} +\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} %untere Trennlinie + +\newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}} +\newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}} +\newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor} +\newcommand{\llfloor}{\left\lfloor} + + +\title{Datenbanksysteme} +\author{Mitschrift von Thomas Battermann} +\date{3. Semester} + +\begin{document} + \pagestyle{empty} + + \maketitle\thispagestyle{empty} + \tableofcontents\thispagestyle{empty} + + \newpage + \pagestyle{fancy} + \setcounter{page}{1} + + \section{Datenbanksysteme} + + + +\end{document} diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/Grundlagen_der_Mathematik.tex b/Grundlagen_der_Mathematik/Grundlagen_der_Mathematik.tex new file mode 100644 index 0000000..805a6c8 --- /dev/null +++ b/Grundlagen_der_Mathematik/Grundlagen_der_Mathematik.tex @@ -0,0 +1,2683 @@ +\documentclass[11pt]{scrartcl} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{multicol} +\usepackage{booktabs} +\usepackage{pstricks} +\usepackage{pst-node} +\usepackage[paper=a4paper,left=30mm,right=20mm,top=20mm,bottom =25mm]{geometry} +\usepackage[ + pdftitle={Grundlagen der Mathematik}, + pdfsubject={Mitschrift der Vorlesung "Grundlagen der Mathematik" an der HTW-Aalen, bei Herrn Arnold.}, + pdfauthor={Thomas Battermann}, + pdfkeywords={Grundlagen der Mathematik,Logik,Mengen,Relationen,Funktion,Vollstaendige Induktion}, + pdfborder={0 0 0} +]{hyperref} +\usepackage{tabularx} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{color} +\usepackage{lastpage} +\usepackage{fancyhdr} +\setlength{\parindent}{0ex} +\setlength{\parskip}{2ex} +\setcounter{secnumdepth}{4} +\setcounter{tocdepth}{4} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0} +\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5} + +\pagestyle{fancy} %eigener Seitenstil +\fancyhf{} %alle Kopf- und Fußzeilenfelder bereinigen +\fancyhead[L]{Grundlagen der Mathematik} %Kopfzeile links +\fancyhead[C]{Semester 1} %zentrierte Kopfzeile +\fancyhead[R]{WS 2010/2011} %Kopfzeile rechts +\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} %obere Trennlinie +\fancyfoot[C]{Seite \thepage\ von \pageref{LastPage}} +\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} %untere Trennlinie + +\newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}} +\newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}} +\newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor} +\newcommand{\llfloor}{\left\lfloor} + + +\title{Grundlagen der Mathematik} +\author{Mitschrift von Thomas Battermann} +\date{1. Semester} +\begin{document} +\pagestyle{empty} + +\maketitle\thispagestyle{empty} +\tableofcontents\thispagestyle{empty} + +\newpage +\pagestyle{fancy} +\setcounter{page}{1} + +\section{Logik} + +\begin{itemize} + \item Grundlage (Mathematischer und anderer Beweise) + \item interessante Problemstellungen in der Informatik:\\ + Besitzt eine logische Formel eine Lösung? + \item Kontrollstrukturen in Computerprogrammen arbeiten nach den Gesetzen der Logik +\end{itemize} + +\subsection{Formeln} + +\underline{Aussagen} sind Sätze, die wahr oder falsch sind.\\ + Beispiele: + \begin{itemize} + \item „3 ist eine Primzahl“ ist eine (wahre) Aussage + \item „4 ist eine Primzahl“ ist eine (falsche) Aussage + \item „Wieviel Uhr ist es?“ ist keine Aussage, sondern eine Frage + \item „Sagen sie mir bitte wieviel Uhr es ist.“ ist eine Aufforderung, keine Aussage + \end{itemize} + +\underline{Formeln} entstehen durch Verknüpfung einzelner Aussagen (oder Formeln).\\ + Beispiele: Seien A und B Aussagen.\\ + Dann sind + \begin{itemize} + \item nicht $A$ + \item $A$ oder $B$ + \item entweder $A$ oder $B$ + \item wenn $A$, dann $B$ + \end{itemize} + Formeln. + +Die Verknüpfungen nicht, oder usw. heißen Junktoren. + +Formeln nehmen (wie die Aussage) einen der Wahrheitswerte wahr oder falsch an; dieser hängt ab von den Wahrheitswerten enthaltenen Aussagen.\\ +Diese Abhängigkeiten stellen wir in einer Wahrheitstabelle dar, die für jede Kombination der Aussagen den zugehörigen Wahrheitswert der Formel enthält. + +\begin{tabular}{ll} + Abkürzungen: & \( 0 \widehat{=} \) falsch \\ + & \( 1 \widehat{=} \) wahr +\end{tabular} + +\underline{Negation} (nicht \(A =: \neg A =: \overline{A}\) + +\begin{tabular}{c|c} + \(A\) & \(\overline{A}\) \\ + \hline + 0 & 1\\ + 1 & 0 +\end{tabular} + +\underline{Konjunktion} ( \(A \text{ und } B =: A \land B =: A \cdot B \)) + +\begin{tabular}{cc|c} + \(A\) & \(B\) & \(A \land B\)\\ + \hline + 0&0&0\\ + 0&1&0\\ + 1&0&0\\ + 1&1&1 +\end{tabular} + +\underline{Disjunktion} (\( A \text{ oder } B =: A \lor B =: A + B\)) + +\begin{tabular}{cc|c} + \(A\) & \(B\) & \( A \lor B \)\\ + \hline + 0&0&0\\ + 0&1&1\\ + 1&0&1\\ + 1&1&1 +\end{tabular} + +\underline{Exklusive Disjunktion} (entweder \(A\) oder \(B =: A \oplus B\)) + +\begin{tabular}{cc|c} + \(A\) & \(B\) & \(A \oplus B\)\\ + \hline + 0&0&0\\ + 0&1&1\\ + 1&0&1\\ + 1&1&0 +\end{tabular} + +\underline{Implikation} (wenn \(A\), dann \(B =: A \leftarrow B \)) +\begin{multicols}{2} + \begin{tabular}{cc|c} + \(A\) & \(B\) & \(A \rightarrow B\)\\ + \hline + 0&0&1\\ + 0&1&1\\ + 1&0&0\\ + 1&1&1 + \end{tabular} +\columnbreak\\ + A: Voraussetzung\\ + B: Folgerung +\end{multicols} + +\underline{Äquivalenz} (\(A\) genau dann, wenn \( B =: A \leftrightarrow B\)) + +\begin{tabular}{cc|c} + \(A\) & \(B\) & \(A \leftrightarrow B\)\\ + \hline + 0&0&1\\ + 0&1&0\\ + 1&0&0\\ + 1&1&1 +\end{tabular} + +Formeln können zu komplexeren Formeln verknüpft werden.\\ +Beispiel: \( ( A \oplus B ) \rightarrow ( C \lor B ) \) + +Eine Formel heißt \underline{erfüllbar}, wenn es eine Belegung der enthaltenen Aussagen gibt, so dass eine Formel wahr wird.\\ +Eine Formel, die nicht erfüllbar ist, heißt \underline{unerfüllbar}.\\ +Eine Formel, die bei jeder Belegung wahr wird, heißt \underline{gültig} oder \underline{tautologisch}. + +Beispiel: +\begin{itemize} + \item \( A \lor B\) ist erfüllbar. + \item \( A \land \overline{A} \) ist unerfüllbar. + \item \( A \lor \overline{A}\) ist tautologisch. + \item + Sei \(F\) eine Formel.\\ + \(F\) ist genau dann tautologisch, wenn \(\overline{F}\) unerfüllbar ist. +\end{itemize} + +\subsection{Äquivalenz von Formeln} + +Zwei Formeln \(F\) und \(G\) heißen \underline{äquivalent}, wenn \(F\) und \(G\) bei jeder Variablenbelegung denselben Wahrheitswert annehmen (d.\,h. die Wahrheitstabellen sind identisch).\\ +\hspace*{4mm} \( F \equiv G, \quad F \Leftrightarrow G\)\\ +(\(F\),\(G\) heißen gleich, wenn ihre Definitionen Zeichen für Zeichen übereinstimmen, \(F = G\)) + +Beispiel:\\ + \(\quad F := A \land B, \quad G := B \land A\)\\ + \(\Rightarrow F \equiv G, \quad F \ne G \) + +in Analogie zu \(\Leftrightarrow\):\\ + \( \quad F \Rightarrow G \) + +(G wird bei jeder wahr, bei der auch \(F\) wahr ist.)\\ +Beispiel:\\ + \(A \land B \Rightarrow A \) + +\subsubsection{Rechengesetze:} + +\begin{itemize} +\item\underline{Kommutativgesetze}\\ +Vertauschungsgesetze + +\begin{align*} + A \lor B &\equiv B \lor A\\ + A \land B &\equiv B \land A\\ + A \oplus B &\equiv B \oplus\\ + A \leftrightarrow B &\equiv B \leftrightarrow A +\end{align*} + +\item\underline{Assoziativgesetze}\\ +(Klammergesetze) + +\begin{align*} + A \lor (B \lor C) &\equiv (A \lor B) \lor C\\ + A \land ( B \land C) &\equiv (A \land B) \land C\\ + A \oplus ( B \oplus C) & \equiv (A \oplus B) \land C\\ + A \leftrightarrow (B \leftrightarrow C) &\equiv (A \leftrightarrow B) \leftrightarrow C +\end{align*} + +\item\underline{Distributivgesetze}\\ +(Ausklammern) + +Vgl. mit Arithmetik:\\ + \(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\)\\ +i.\,a. \( a + (b \cdot c) \ne (a +b)(a+c) \) + +In der Logik:\\ +\begin{align*} + A \land ( B \lor C) &\equiv (A \land B) \lor (A\land C)\\ + A \lor ( B \land C) &\equiv (A \lor B) \land (A \lor C)\\ + A \land ( B \oplus C ) &\equiv (A \land B) \oplus (A \land C) +\end{align*} + +\item\underline{doppelte Negation} + +\( \overline{\overline{A}} = A \) + +\item\underline{deMorgansche Gesetze}\\ +\( \neg ( A \land B) \equiv \overline{A} \lor \overline{B} \)\\ +\( \neg ( A \lor B) \equiv \overline{A}\land \overline{B} \) + +\item\underline{weitere Negation-Gesetze}\\ + \( \overline{A \oplus B} \equiv A \leftrightarrow B \equiv \overline{A} \leftrightarrow \overline{B} \)\\ + \( \overline{A \leftrightarrow B} \equiv A \oplus B \equiv \overline{A} \oplus \overline{B} \) + +\begin{tabular}{cc|ccc} + A & B & \( A \oplus B \) & \( \overline{a \oplus }\) & \(A \leftrightarrow B\)\\ + \hline + 0&0&0&1&1\\ + 0&1&1&0&0\\ + 1&0&1&0&0\\ + 1&1&0&1&1 +\end{tabular} + +\item\underline{Absorptionsgesetze}\\ + +\begin{align*} + (A \land B) \lor A &\equiv A\\ + (A \lor B) \land A &\equiv A +\end{align*} + +\item\underline{Idempotenzgesetze}\\ +\( A \land A \equiv A \equiv A \lor A \) + +\item\underline{ausgeschlossenes Drittes}\\ +\begin{align*} + A \land \overline{A} \equiv 0 \\ + A \lor \overline{A} \equiv 1 +\end{align*} + +\item\underline{Gesetze für 0 und 1}\\ +\begin{align*} + A \land 1 &\equiv A & A \lor 1 &\equiv 1\\ + A \land 0 &\equiv 0 & A \lor 0 &\equiv A\\ + A \oplus 0 &\equiv A & A \oplus 1 &\equiv \overline{A} +\end{align*} + +\item\underline{Kontraposition}\\ +\( A \rightarrow B \equiv \overline{B} \rightarrow \overline{A}\)\\ +(verwendet man z.\,B. beim Widerspruchsbeweis) + +\item\underline{auch noch wichtig}\\ +\begin{multicols}{2} +\( A \rightarrow B \equiv \overline{A} \lor B \)\\ +\( \overline{C} \lor D \equiv C \rightarrow D\) +\columnbreak\\ +\begin{tabular}{cc|cc} + A & B & \(A \rightarrow B \) & \( \overline{A} \lor B \)\\ + \hline + 0 & 0 & 1\\ + 0&1&1\\ + 1&0&0\\ + 1&1&1 +\end{tabular} +\end{multicols} +\end{itemize} + +Beispiel:\\ +Beweis der Kontrapositionsgesetzes +\begin{multicols}{2} +\begin{align*} + A \rightarrow B \underset{12}{\equiv} \overline{A} \lor B + \underset{1}{\equiv} B \lor \overline{A} + \underset{4}{\equiv} \overline{\overline{B}} \lor \overline{A} + \underset{12}{\equiv} \overline{B} \rightarrow \overline{A} +\end{align*} +\columnbreak\\ + \begin{tabular}{cc|ccc} + A & B & \(\overline{A}\) & \(\overline{B}\) & \( \overline{B} \rightarrow \overline{A} \)\\ + \hline + 0&0&1&1&1\\ + 0&1&1&0&1\\ + 1&0&0&1&0\\ + 1&1&0&0&1 + \end{tabular} +\end{multicols} + +\subsection{Normalformen} +Konstruktion einer zu F Äquivalenten Formel: + +Idee: Suche eine Formel , die genau bei den 1-Zeilen wahr wird. + +\begin{tabular}{ccc|ccl} + A&B&C& F & \hspace*{5mm}\\ + \hline + 0&0&0& 0\\ + 0&0&1& 1 && \( \overline{A} \land \overline{B} \land C\)\\ + 0&1&0& 1 && \( \overline{A} \land B \land \overline{C}\)\\ + 0&1&1& 0\\ + 1&0&0& 1 && \( A \land \overline{B} \land \overline{C}\)\\ + 1&0&1& 0\\ + 1&1&0& 1 && \( A \land B \land \overline{C}\)\\ + 1&1&1& 0\\ +\end{tabular} + +\( F' := \overline{A B} C \lor \overline{A} B \overline{C} \lor A \overline{BC} \lor A B \overline{C} \) + +\begin{multicols}{2} +Die entstandene Formel ist also eine Disjunktion von Konjunktionen von Variablen der negierten Variablen.\\ +(Variablen und negierte Variablen bezeichnet man als \underline{Literale}, Konjunktionen von Literalen als (Und-)\underline{Klauseln})\\ +Solche Formeln heißen \underline{disjunktive Normalformen} (DNF). +\columnbreak\\ +\begin{tabular}{ccc|ccl} + A&B&C& F\\ + \hline + 0&0&0& 0\\ + 0&0&1& 1\\ + 0&1&0& 1\\ + 0&1&1& 0\\ + 1&0&0& 1\\ + 1&0&1& 0\\ + 1&1&0& 1\\ + 1&1&1& 0\\ +\end{tabular} +\end{multicols} + + +2. Idee: Suche eine Formel für \(F''\), die genau bei den 0-Zeilen in der Wahrheitstabelle falsch wird. + +\begin{align*} +F'' &= \neg ( \overline{A}\overline{B}\overline{C} ) \land + \neg ( \overline{A} B C ) \land + \neg ( A \overline{B} C ) \land + \neg ( A B C ) & (*)\\ + &= \left(A \lor B \lor C\right) \land + \left(A \lor \overline{B} \lor \overline{C}\right) \land + \left(\overline{A} \lor B \lor \overline{C}\right) \land + \left(\overline{A} \lor \overline{B} \lor \overline{C}\right) +\end{align*} + +Eine solche Konjunktion von (Oder-)Klauseln heißt \underline{Konjunktive Normalform} (KNF).\\ +An der Formel \((*)\) sieht man, daß es zu jeder Formel eine äquivalente Formel gibt, die nur die Junktoren \( \land, \neg \) enthält.\\ +Junktorenmenge mit dieser Eigenschaft nennt man Basen. + +Beispiel: Auch \( \{ \lor, \neg \} \) ist eine Basis.\\ + Es gibt zwei Basen aus nur einem Junktor: + \begin{itemize} + \item NAND ( \( A \text{ NAND } B = \neg ( A \land B ) \) ) + \item NOR (weder-noch),\\ + \( A \text{ NOR } B = \overline{A} \land \overline{B} \) + + Beweisidee:\\ + \( \{\lor, \neg\} \) ist eine Basis;\\ + \( A \lor B \equiv \overline{\overline{A\lor B}} \equiv \overline{\overline{A} \land \overline{B}} \equiv \neg (A \text{ NOR } B ) \)\\ + \( \neg A \equiv \overline{A} \land \overline{A} \equiv A \text{ NOR } A \equiv (A \text{ NOR } B ) \text{ NOR } ( A \text{ NOR } B )\) + \end{itemize} + +Beispiel: Logik-Rätsel Banküberfall +\begin{itemize} + \item[a)] + Es kommen nur drei Personen, Herbert, Klaus und Fritz, in Frage.\\ + \(G_a = H \lor K \lor F\) + \item[b)] + Wenn Herbert schuldig und Klaus unschuldig ist, dann ist Fritz schuldig.\\ + \( G_b = (H \land \overline{K}) \rightarrow F \) + \item[c)] + Fritz „arbeitet“ niemals alleine.\\ + \( G_c = F \rightarrow (H \lor K ) \) + \item[d)] + Herbert arbeitet nie mit Fritz zusammen.\\ + \( G_d = H \rightarrow \overline{F} ( = F \rightarrow \overline{H}) \) +\end{itemize} + +\begin{tabular}{ccc|ccccc} + H&K&F&\(G_a\)&\(G_b\)&\(G_c\)&\(G_d\) & \(G_a \land G_b \land G_c \land G_d\)\\ + \hline + 0&0&0& 0& 1& 1& 1& 0\\ + 0&0&1& 1& 1& 0& 1& 0\\ + 0&1&0& 1& 1& 1& 1& 1\\ + 0&1&1& 1& 1& 1& 1& 1\\ + 1&0&0& 1& 0& 1& 1& 0\\ + 1&0&1& 1& 1& 1& 0& 0\\ + 1&1&0& 1& 1& 1& 1& 1\\ + 1&1&1& 1& 1& 1& 0& 0 +\end{tabular} + +Antwort: Klaus war auf jeden Fall beteiligt. + +DNF: \( \overline{H} F \overline{K} \lor \overline{H} K F \lor H K \overline{F} \)\\ +KNF: \( (H \lor K \lor F) \land + (H \lor K \lor \overline{F}) \land + (\overline{H} \lor K \lor F) \land + (\overline{H} \lor K \lor \overline{F}) \land + (\overline{H} \lor \overline{K} \lor \overline{F}) \) + +\subsection{Die Länge der Normalformen} +Mit dem Verfahren aus 1.3 erhält man Normalformen, bei denen alle Klauseln jede Variable (negiert oder nicht negiert) enthalten.\\ +Solche Normalformen bezeichnet man als \underline{vollständige} oder \underline{kanonische} DNF, bzw. KNF. + +Wahrheitstabelle, kanonische DNF und kanonische KNF sind eineindeutige Dartsellung äquivalenter Formeln.\\ +Diese Darstellungen besitzen i.\,a. unterschiedliche Länge. Bei \(n\) Variablen und \(k\) erfüllende Belegungen enthält +\begin{itemize} + \item[-] die Wahrheitstabelle \(2^n\) Zeilen + \item[-] die kanonische DNF \(k\) Klauseln + \item[-] die kanonische KNF \(2^n - k\) Klauseln. +\end{itemize} + +Häufig kann man die Normalformen verkürzen. + +Beispiel von vorhin: + +\begin{align*} +\text{DNF: }&\quad \overline{H} F \overline{K} \lor \overline{H} K F \lor H K \overline{F}\\ +&\equiv \overline{H} F \overline{K} \lor \overline{H} K F \lor \overline{H} K F \lor H K \overline{F}\\ +&\equiv \overline{H} K \underbrace{( \overline{F} \lor F)}_{\equiv1} \lor \underbrace{( \overline{H} \lor H )}_{\equiv1} K \overline{F}\\ +&\equiv \overline{H} K \lor K \overline{F} &\text{(verkürzte DNF)}\\ +&\equiv K ( \overline{H} \lor \overline{F} ) &\text{(verkürzte KNF)} +\end{align*} + +Bem.: In manchen Fällen kann die kanonische DNF (oder KNF) nicht mehr verkürzt werden.\\ +Beispiel:\\ +\( F_n := (A_1 \oplus A_2) \land (A_3 \oplus A_4 ) \land ... \land (A_{n-1} plus A_n) \)\\ +\(n\) gerade.\\ +Kann nicht gekürzt werden.\\ +Beweis durch Widerspruch:\\ +Sei \(\hat F_n\) die kanonische DNF von \(F_n\), \(\tilde F_n\) eine verkürzte DNF von \(F_n\)\\ +\( \Rightarrow \) \(\tilde F_n\) enthält eine Klausel K, die nicht alle Variablen enthält. Sei \(A_j\) in K nicht enthalten. + +Wähle \(A_1, ..., A_n\) so, dass K den Wert 1 annimmt.\\ +( \( \Rightarrow \hat F_n, F_n, \tilde F_n\) sind wahr.) + +Ändere den Wert von \(A_j\)\\ +Der Wert von K (und \(\tilde F_n\)) ändert sich nicht, aber der Wert von \(F_n\) wird 0.\\ +\( \rightarrow \) Widerspruch!\\ +\( \rightarrow \) \(\tilde F_n\) gibt es nicht. + +\newpage +\section{Mengen} +\subsection{Definition von Mengen} + +Wir definieren hier eine \underline{Menge} als Zusammenfassung wohldefinierter, unterscheidbarer Objekte.\\ +Ein Objekt \(x\) heißt \underline{Element} der Menge \(M\) (\(x \in M \)), wenn \(x\) in \(M\) enthalten ist.. (anderfalls \(x \not\in M\)) + +Anmerkung: Diese „naive“ Definition von Mengen kann zu Widersprüchen führen. Keine Widersprüche treten auf, wenn man nur Teilmengen einer zuvor Definierten Grundmenge betrachtet. + +Zwei Mengen \(M,N\) sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten:\\ +\hspace*{5mm}\(M=N \Leftrightarrow \) Für alle Objekte \(x\) gilt: \( x \in M\) genau dann, wenn \(x \in N\) + +Bem.: Insbesondere sind keine Konzepte wie die Häufigkeit der Elemente in einer Menge oder die Reihenfolge der Elemente in einer Menge definiert.\\ +z.\,B.: +\begin{align*} +\{1,2,3\} &= \{ 3,2,1\}\\ + &= \{1,2,2,3,3,3\}\\ + |\{1,2,3\}| &= 3 +\end{align*} + +Die Anzahl der verschiedenen Elemente einer Menge \(M\) heißt die \underline{Mächtigkeit} von M (Abk.: \( |M|\)) + +\subsection{Notation von Mengen} + +\begin{itemize} + \item + Aufzählung (bei endlich vielen Elementen).\\ + \( T_{10} = \{1,2,5,10\} \) (Menge der Teiler von 10) + \item + Aufzählung mit Auslassungszeichen:\\ + \( \{ 1,2,...,n\} =: [n]\) (alle natürlichen Zahlen von 1 bis n) + \item + Bei unendlichen Mengen: + \begin{align*} + \mathbb N := &\{ 0,1,2,...\} &\text{(Menge der natürlichen Zahlen)}\\ + &\{ 1,3,5,7,...\} &\text{(ungerade natürliche Zahlen)}\\ + Q = &\{ 0,2,4,9,16 \} &\text{(Quadratzahlen)} + \end{align*} + \item + ganz allgemein: Angabe einer Eigenschaft: + \begin{align*} + Q &= \{ x \in \mathbb N \mid x \text{ ist Quadratzahl} \}\\ + &= \{ x \in \mathbb N \mid \text{ es gibt } y\in \mathbb N: y^2 = x\}\\ + &= \{ x \in \mathbb N \mid \sqrt(x) \in \mathbb N \}\\ + \mathbb Q &= \left\{ \frac{a}{b} \mid a,b \in \mathbb Z \text{ und } b \ne 0 \right\} &\text{(Menge der Natürlichen Zahlen)} + \end{align*} +\end{itemize} + +\subsection{Teilmengen} + +Enthält \(M\) alle Elemte der Menge \(N\), dann heißt, dann heißt \(N\) \underline{Teilmenge} von \(M\) (\(N \subseteq N\))\\ +\( N \subseteq M \)\\ +und \(M\) \underline{Obermenge} von \(N\).\\ +Wenn \(M\) ein Element enthält, das nicht in \(N\) vorkommt \(N \subseteq, aber N \ne M \), dann heißt \(N\) \underline{echte Teilmenge} von \(M\) ( \( N \subset M, N \subsetneq M \)). + +Jede Menge hat zwei triviale Teilmengen: +\begin{align*} + M &\subseteq M \\ + \emptyset &\subseteq M +\end{align*} +Die Teilmengenbeziehung nennt man auch \underline{Inklusion}.\\ +Die Inklusion hat folgende Eigenschaften: +\begin{enumerate} + \item + Reflexivität:\\ + \(M \subseteq M \) für jede Menge \(M\) + \item + Transivität:\\ + \( A \subseteq B \text{ und } B \subseteq C \)\\ + \( \Rightarrow A \subseteq C \) + \item + Antisymmetrie:\\ + \(A \subseteq B\quad\land\quad B \subseteq A \Leftrightarrow A = B \) +\end{enumerate} +Beispiel:\\ +\begin{align*} + A &:= \{ 2\cdot x \mid x \in \mathbb Z \} \\ + B &:= \{ y+z \mid y+z \in\mathbb Z, y \text{ und } z \text{ ungerade } \}\\ + A &\overset{?}{=} B\\ + A &\overset{!}{=} B\\ + \text{Sei } &2x \in A, x \in \mathbb Z\\ + &\Rightarrow 2x = \underbrace{(2x +1)}_{=y}\underbrace{-1}_{=z} \in B\\ + &\Rightarrow A \subseteq B\\ + B \subseteq A:\\ + \text{Sei } &y+z \in B \text{ y,z ungerade}\\ + y &= 2n +1 \text{ für ein } n \in \mathbb Z\\ + z &= 2n + 1\\ + &\Rightarrow y + 2 = 2 (n+m+1) \text{ ist gerade}\\ + &\Rightarrow y + z \in A, B \subseteq A +\end{align*} +Antisymmetrie:\\ +\( \Rightarrow A = B \) + +Die \underline{Potenzmenge} \(\mathcal P(M)\) einer Menge \(M\) ist die Menge aller Teilmegen von \(M\). + +Bsp.:\\ + \(\mathcal P(T_q) = \mathcal P(\{1,3,9\})\)\\ + \( = \{ \emptyset, \{1\},\{3\},\{9\},\{1,3\},\{1,9\},\{3,9\},\{1,3,9\} \} \)\\ + \( |\mathcal P(M)| = 2^{|M|} \) + +\subsection{Operationen auf Mengen} + +Es seien \(A,B\) zwei beliebige Mengen. +%TODO% Venn-Diagramme… +\begin{itemize} + \item + Vereinigungsmenge:\\ + \( A \cup B := \{ x \mid x \in A \text{ oder } x \in B \}\) + \item + Schnittmenge:\\ + \( A \cap B := \{ x \mid x \in A \text{ und } c \in B \}\) + \item + Differenzmenge:\\ + \(A -B := A \backslash B := \{ x \mid x \in A \text{ und } x \not\in B \}\) + \item + Symmetrische Differenz:\\ + \(A \triangle B := (A \backslash B) \lor (B \backslash A) \)\\ + \( = \{ x \mid \text{entweder } x \in A \text{ oder } x \in B \} \) +\end{itemize} + +\subsection{Rechenregeln} +(Folgen direkt aus den Regeln für logische Formeln.) + +\( A \cup B = \{ x \mid x\in A \text{ oder } x \in B \} \underset{(1)}{=} \{ x \mid x\in B \text{ oder } x \in A \} = B \cup A \)\\ +{\small \((1)\) Kummutativgesetz für\( \land \)} + +\begin{enumerate} + \item + \underline{Kommutativgesetz} \((*)\)\\ + \( A \cup B = B \cup A \)\\ + \( A \cap B = B \cup A \)\\ + \( A \triangle B = B \triangle A \) + \item + \underline{Assoziotivgesetze} \((*)\)\\ + \(A \cup ( B \cup C ) = ( A \cup B ) \cup C\)\\ + \( A\cap ( B \cap C ) = ( A \cap C ) \cap C \)\\ + \( A\triangle ( B \triangle C ) = ( A \triangle C ) \triangle C \)\\ + \item + \underline{Distributivgesetze} \((*)\)\\ + \( A \cup ( B \cap C ) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)\\ + \( A \cap ( B \cup C ) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)\\ + \( A \cap ( B \triangle C ) = (A \cap B) \triangle (A \cap C)\) + \item + \underline{Doppeltes Komplement}\\ + \( \overline{\overline{A}} = A \) + \item + \underline{de Morgansche Gesetze}\\ + \( \overline{ A \cup B } = \overline{A} \cap \overline{B} \)\\ + \( \overline{ A \cap B } = \overline{A} \cup \overline{B} \)\\ + \item + \underline{weiteres Gesetz mit Komplement}\\ + \( A \triangle B = \overline{A} \triangle \overline{b} \) + \item + \underline{Verschmelzungsgesetze} \((*)\)\\ + \(A \cap ( A \cup B ) = A \)\\ + \( A \cup ( A \cap B ) = A \) + \item + \underline{Idempotenzgesetze}\\ + \( A \cup A = A \)\\ + \( A \cap A = A \) + \item + \underline{Existenz des komplementären Elements} \((*)\)\\ + \( A \cup \overline{A} = M\)\\ + \( A \cap \overline{A} = \emptyset\) + \item + \underline{Gesetze für \(M, \emptyset\)} + \begin{align*} + A \cup M &= M & A \cup \overbrace{\emptyset}^{1} &= A \\ + A \cap \underbrace{M}_{2} &= A & A \cap \emptyset &= \emptyset + \end{align*} + {\small \((1)\) neutrales Element bzgl. \(\cup\)}\\ + {\small \((2)\) neutrales Element bzgl. \(\cap\)} + \item + \underline{Kontraposition}\\ + \( A \backslash B = \overline{B} \backslash \overline{A} \) + \item + \underline{weitere}\\ + \( A \backslash B = A \cap \overline{B} = \overline{\overline{A} \cup B} \) +\end{enumerate} + +\textcolor{darkgreen}{\underline{Def.:}} Sei \(M\) eine beliebige Menge, \( A \subseteq M \).\\ +Dann heißt\\ +\hspace*{4mm} \(\overline{A} = M \backslash A = \{ x \mid x \in M \text{ und }x \not\in A \}\)\\ +das \underline{Komplement} von A bzgl. M. + +\subsection{Kreuzprodukte} +Bei vielen Anwendungen hat man mit geordneten Paaren von Objekten zu tun. + +\underline{Beispiel:} kartesische Koordinaten in der Ebene. +%TODO% koordinatensystem; punkte: P(sqrt(3),1); Q(1,sqrt(3)) + +Mengen sind ungeeignet zur Darstellung geordneter Paare.\\ +\( \left( \left\{ 1,\sqrt{3} \right\} = \left\{ \sqrt{3},1 \right\} \right) \) + +\textcolor{darkgreen}{\underline{Definition:}}\\ +Seien A und B beliebige Mengen.\\ +Die Menge:\\ +\vspace*{4mm}\( A \times B := \{(a,b) \mid a \in A \text{ und } b \in B \} \)\\ +der geordneten Paare mit erster Komponente in A und zweiter Komponente in B heißt das \underline{Kreuzprodukt} (oder \underline{kartesische Produkt}) von A und B. + +Abkürzung: \( A \times A =: A^2\) + +\underline{Beispiel:}\\ +\begin{itemize} + \item + Koordinatenmenge der Eben:\\ + \( \mathbb R \times \mathbb R = \mathbb R^2\) + \item + Seien \( [x_{min}; x_{max}] \subset \mathbb R, [y_{min}; y_{max}] \subset \mathbb R \) (mit + \( x_{min} < x_{max}, y_{min} < y_{max} \)) zwei Intervalle.\\ + \( [x_{min},x_{max}] \times [y_{min}, y_{max}] \) + \item + \underline{Polarkoordinaten (in der Ebene)}\\ + \( (r,\phi) \in \mathbb R_{0}^+ \times {[0,2\pi)} \)\\ + \( = \{r', \phi' \mid 0 \le r', 0 \le \phi' <2\pi \} \) +\end{itemize} + +Allgemeiner:\\ +Für beliebige Mengen \( A_1, ... A_n \) bezeichnet das n-fache Kreuzprodukt\\ +\hspace*{4mm} \( A_1\times ... \times A_n:= \{ (a_1, a_2, ..., a_n) \mid a_i \in A_i \text{ für } i=1, ... , n \} \)\\ +die Menge aller n-Tupel mit i-ter Komponente in \(A_i \). + +\underline{Beispiel:} kartesische Koordinaten in 3D:\\ +Koordinaten von P:\\ +\includegraphics{bilder/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf}\\ +\( (x_P,Y_P,Z_P) \in \mathbb R \times \mathbb R \times \mathbb R \) \\ +\( (1, \sqrt{3}, 5) \) + +\underline{Beispiel:} Zylinderkoordinaten\\ +%TODO% Koordinatensystem +\( (r_P, \phi_P, Z_P) \in \mathbb R_{0}^+ \times {[0,2\pi)} \times \mathbb R \) + +\( (r, \phi, Z) \in {[0,R]} \times {[0,2\pi)} \times {[0,Z]} ,\quad R,Z \in \mathbb R^+ \) +%TODO% Zylinder [=,R] x [0,2pi) x [0,Z] + +\underline{Beispiel:} +\begin{align*} + \mathbb B := \{0,1\} &\widehat= 1 \text{ Bit}\\ + \mathbb B^8 = \underbrace{\mathbb B \times ... \times \mathbb B}_{\text{8-mal}} &\widehat= 1\text{ Byte} = 8 \text{ Bit} +\end{align*} +\(\mathbb B^n \widehat= \) Menge aller Bitstrings von Länge \(n\). + + \( \underbrace{\{ \}}_{\text{Leeres Wort}} \cup \mathbb B \cup \mathbb B^2 \cup \mathbb B^3 \cup ... + =: \bigcup^{\infty}_{i=0} \mathbb B^i \)\\ + \( = B^* \)\\ + ( \(B^*\) enthält alle Bitstrings von endlicher Länge) + +Mit einem Bit lassen sich zwei Zahlen darstellen, mit einem Byte \( \left| \mathbb B^8 \right | = 2^8 = 256 \). + +Allgemein gilt:\\ + Wenn \(A_1, ... A_n \) endliche Mengen sind, ist \( \left| A_1 \times ... \times A_n \right| = \left| A_1 \right| \cdot ... \cdot \left| A_n \right| \) + +\newpage +\section{Relationen} +\subsection{Relationen} +Das Kreuzprodukt \( A \times B \) enthält alle Kombinationen von Elementen aus \(A\) mit Elementen aus der Menge \(B\). Häufig ist man nur an einer Teilmenge dieser Kombinationen interessiert. + +\underline{Beispiel:} Kategorisierung von Objekten, etwa:\\ +\begin{itemize} + \item Bücher: Autor, Vertrag, Genre, Themengebiet + \item Online-Shop:\\ + Artikel nach Produkttyp, Hersteller, Preisklasse, Sonderangebote\\[3mm] + \begin{tabular}{r|cccl} + Artikel: && Produkttyp: &\\ + \textbf{T} & Bügeleisen & Fernseher & DVD-Player & ...\\ + \hline + 1023 & X\\ + 0815 & & X & X\\ + 923 & X + \end{tabular} +\end{itemize} + +\textbf{T} \( \subseteq \) Menge aller Artikel \(\times\) Menge aller Produkttypen + +\textcolor{darkgreen}{\underline{Definition:}} Seien \(A, B\) zwei Mengen, \( R \subseteq A \times B \)\\ + Dann heißt \(R\) eine \underline{Relation zwischen \(A\) und \(B\)}. Falls \(A=B\), d.\,h. \(R \subseteq A^2\), dann heißt \(R\) auch \underline{Relation} auf \(A\)\\ +\((A^2 = A \times A )\) + +\underline{Beispiel:}\\ +\( T = \{ (1023, \text{ Bügeleisen}), (0815, \text{ Fernseher}), (0815, \text{ DVD-Player}), ... \}\)\\ +Schreibweise: statt \((a,b) \in \mathbb R \) schreibt man häufig \( a\mathbb R b \) + +Allgemeiner:\\ +Jede Teilmenge \(\mathbb R \le A_1 \times ... \times A_n \) eines n-fachen Kreuzprodukts heißt \underline{n-stellige Relation}. + +\underline{Beispiel:} Vater-Mutter-Kind-Relation:\\ + \((x,y,z) \in B \Leftrightarrow \) x ist Vater von z und y ist Mutter von z. + +\underline{Beispiel Online-Shop:}\\ +\( T' \subseteq \) Menge der Artikel \(\times\) Menge der Produkttypen \(\times\) Menge der Preisklassen \(\times\) Menge der Hersteller. + +Besodners häufig hat man es mit binären Relationen R auf eine endliche Menge A zu tun; solche Relationen ann man auch durch einen \underline{Graphen} darstellen:\\ +\includegraphics{bilder/3-1.pdf}\\ +Graph \(G = (V,E)\)\\ +\(V\): Menge der Knoten („Punkte“, vertices)\\ +\(E\): Menge der Kanten („Pfeile“, edges)\\ +\( R = E \subseteq V \times V = A \times A \) + +alternative Darstellung von Graphen:\\ +(z.\,B. Algorithmen) + +\underline{Adjazenzmatrix:}\\ +\( M = \begin{pmatrix} + 1&1&0&0\\ + 1&0&1&0\\ + 0&0&0&0\\ + 0&1&1&0 + \end{pmatrix}\)\\ +Der Eintrag \(M_{ij}\) in Zeile i, Spalte j von M ist 1, wenn es im Graphen eine Kante vom Knoten i zum Knoten j gibt, sonst 0. + +Die Adjazenzmatrix läßt sich also mit \( |V| ^2\) vielen Bits abspeichern. + +\textcolor{darkgreen}{\underline{Definition:}}\\ +Sei \( R \subseteq A \times B \) eine binäre Relation.\\ +\(D(R) := \{ a \in A \mid \text{ es gibt ein } b \in B \text{ mit } a R b \} \)\\ +\hspace*{4mm}(\underline{Definitionsbereich} von R)\\ +\( W(R) := \{ b \in B \mid \text{ es gibt ein } a \in A \text{ mit } a R b \} \)\\ +\hspace*{4mm}(\underline{Definitionsbereich} von R) + +\underline{Obiges Beispiel:}\\ +\(D(R) = \{1,2,5\} \)\\ +\hspace*{4mm}(Zeile 3 ist eine Nullzeile in M)\\ +\(W(R) = \{1,2,3\} \)\\ +\hspace*{4mm}(Spalte 4 in M ist eine Nullspalte) + +\underline{Einschub: Quantoren}\\ +Sei \(F(x)\) eine Formel, die von einer Variablen \(x\) abhängt.\\ +Wir führen zwei Quantoren, den \underline{Allquantor} \(\forall\) und den \underline{Existenzquantor} \(\exists\) ein:\\ +\( \forall x: F(x)) \) bedeutet „für alle x gilt F(x)“\\ +\( \exists x: F(x) \) bedeutet „es gibt ein x, so dass F(x) gilt“ + +Für eine Formel \( G(x_1,..., x_n) \) definiert man analog:\\ + \(Q_1 x_1 : Q_2 x_2 : ... : Q_n x_n : G(x_1 , ... x_n) \)\\ +wobei die \(Q_i\) jeweils ein Allquantor oder ein Existenzquantor sind.\\ +\underline{Beispiel:} „Es gibt jemanden, der alles versteht.“\\ +entspricht: \( \exists x : \forall y : x \text{ versteht } y\).\\ +Die Reihenfolge der Quantoren ist wichtig:\\ +\( \forall y : \exists x : x \text{ versteht } y \)\\ +„Jede Sache wird von jemandem verstanden.“ + +Negation quantisierter Formeln:\\ +\( \neg \forall x : F(x) \) („nicht für alle \(x\) gilt \(F(x)\))\\ +\( \equiv \exists x : \neg F(x) \) („es gibt ein \(x\), so dass \(F(x)\) nicht gilt.“)\\ +\( \neg \exists x : F(x) \) („es gibt kein \(x\), so dass \(F(x)\) gilt“)\\ +\( \equiv \forall x : \neg F(x) \) („für alle \(x\) gilt \(F(x)\) nicht“) + +\underline{Beispiel:}\\ +„Niemand versteht alles“\\ +\( \neg \exists x : \forall y : x \text{ versteht } y \)\\ +\( \equiv \forall x : \neg ( \forall y : x \text{ versteht } y) \) („Jeder versteht nicht alles.“)\\ +\( \equiv \forall x : \exists y : \neg ( x \text{ versteht } y )\) („Für jedes x gibt es etwas, was x nicht versteht“) + +\subsection{Zusammengesetzte Relationen} +Seien \(R,S\) zwei Relationen \((R \subseteq A \times B, S \subseteq B \times C )\) +\begin{itemize} + \item + Die \underline{Umkehrrelation} \(R^{-1} \subseteq B \times A \) ist definiert als\\ + \(R^{-1} = \{ (a,b) \mid (a,b) \in R \} \) + \begin{itemize} + \item Rollen der Zeilen und Spalten vertauscht + \item für die Matrixeinträge gilt:\\ + \((A_{R^{-1}})_{ij} = (A_R)_{ji} \) für \(i,j = a,...,e\) + \item \(A_{R^{-1}}\) ist also die Transponierte von \((A_R)^T\) von \(A_R\) + \item \(A_{R^{-1}}\) geht durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen aus \(A_R\) hervor + \item \( (A_{(R^{-1})^{-1}})_{ij} = (A_{R^{-1}})_{ji}\)\\ + \( \Rightarrow ( A_{(R^{-1})^{-1}} ) = (A_R)_{ij} \) + \end{itemize} + \item + Die \underline{Verkettungsrelation} \( S \circ R \subseteq A \times C \) (S nach R)\\ + ist \( S \circ R := \{ (a,c) \in A \times C \mid \exists v \in B : a R b \land b S c \} \) +\end{itemize} +\underline{Beispiel:} Online-Shop:\\ +„Heute 20\% Rabatt auf Tiernahrung und Fernseher.“\\ +\begin{tabular}{c|ccc} + S & „-20\%“ & „-10\%“ & „\(\pm\)0\% \\ + \hline + Tiernahrung & X\\ + Fernseher & X\\ + Bügeleisen & & & X +\end{tabular}\\ +Frage: „Wieviel Rabatt gibt es auf Artikel 0815?“\\ +Lösung:\\ +Betrachte \(S \circ T \)\\ +wir finden: (0815, Fernseher) \( \in T \),\\ +(0815, DVD-Player) \( \in T \),\\ +(Fernseher,„-20\%) \( \in S\)\\ +\( \Rightarrow\) (0815, „-20\%“) \( \in S \circ T \)\\ +(wähle b=Fernseher in der Definition von \(S \circ T\) + +Beispiel für die Umkehrrelation:\\ +\begin{itemize} + \item + Kleiner-gleich-Relation auf \(\mathbb R \):\\ + \( y \leqslant^{-1} x \Leftrightarrow x \leqslant y \Leftrightarrow y \geqslant x\)\\ + \( (y,x) \in \leqslant^{-1} \quad (x,y) \in \leqslant \quad (y,x) \in \geqslant\)\\ + \( \Rightarrow \) Die Umkehrrelation von \( \leqslant \) ist \( \geqslant \). +\end{itemize} + +\underline{am Beispiel von Graphen:}\\ +\begin{itemize} + \item + \underline{Umkehrrelation:}\\ + Es ändert sich lediglich die Richtung der Pfeile. + \item + \underline{Verkettungsrelation:}\\ + \( G^2 = G \circ G := (V, E \circ E) \)\\ + wenn \( G = (V, E )\) +\end{itemize} +\includegraphics{bilder/3-2.pdf} + +\underline{\underline{\textbf{Eigenschaften von Umkehr- und Verkettungsrelationen}}} + +\textbf{Einschub: Umkehrrelation} + +\( R \subseteq A \times B , C \subseteq B \times C , R \subseteq B \times A \)\\ +\( b(R^{-1})a \Leftrightarrow aRb\)\\ +\(b \in B, a \in A\) + +Bsp.:\\ +\( x \le y \Leftrightarrow y \ge x \)\\ +\( \le^{-1} \Leftrightarrow \ge \) + +Adjezenzmatrix von \(\mathbb R \): + +\includegraphics[width=6cm]{bilder/3-3_adjezenzmatrix.pdf} + +\textbf{Einschub Verkettungsrelation:} + +\( S \circ R \subseteq A \times C, \quad a \in A \quad c \in C \)\\ +\(a(A \circ R)c \Leftrightarrow \exists b \in B: aRb \land bSc\) + +Eigenschaften:\\ +\begin{itemize} + \item + \textcolor{yellow}{\underline{\textcolor{black}{\( (R^{-1})^{-1} = R \subseteq A \times B\)}}} \( : a \in A, b \in B \) beliebig gewählt.\\ + \( a(R^{-1})^{-1}b \Leftrightarrow b(R^{-1})a \Leftrightarrow aRb \) + \item + \textcolor{yellow}{\underline{\textcolor{black}{\( (S \circ R)^{-1} = R^{-1} \circ S^{-1} \)}}}\\ + Beweis: siehe Übungsaufgabe +\end{itemize} + +\subsection{Die Klassifikation von Relationen} + +Eine Relation \( R \subseteq A \times A \) kann folgende Eigenschaften besitzen:\\ +\begin{itemize} + \item Reflexivität: \( \forall a \in A : aRa\,(R) \) + \item Symmetrie: \( \forall a,b \in A : aRb \leftrightarrow bRa\,(S) \) + \item Antisymmetrie: \( \forall a,b \in A : aRb \land bRa \rightarrow a=b\,(AS) \) + \item Transitivität: \( \forall a,b,c \in A : aRb \land bRc \rightarrow aRc\,(TR) \) + \item Totalität: \( \forall a,b \in A : aRb \lor bRa\,(TO) \) +\end{itemize} + +Von besonderer Bedeutung sind folgende Kombinationen dieser Eigenschaften: +\begin{enumerate} + \item \(R\) ist eine Äquivalenzrelation, wenn \(R\) die Eigenschaften \((R),(S),(TR)\) besitzt. + \item \(R\) ist eine Halbordnung, wenn \(R\) die Eigenschaften der \((R),(AS),(TR)\) besitzt. + \item Eine Halbordnung, für die zusätzlich \((TO)\) gilt, heißt totale Ordnung. +\end{enumerate} + +Bsp.: +\begin{itemize} + \item + Die Äquivalenz aussagen logischer Formeln (\(\equiv\)) ist ein Bsp für eine Äquivalenzrelation + \item + Definiere \(\cong\) als Relation auf \(\mathbb Z\) als:\\ + \( a \cong b : \Leftrightarrow a,b\) sind beide gerade oder beide Ungerade\\ + \( a \cong a \) (R)\\ + \( a \cong b \land b \cong c \rightarrow a \cong c\,(TR)\)\\ + \( \Rightarrow \cong \) ist eine Äquivalenzrelation + \item + Die Kleiner-Gleich-Relation \(\le\) auf \(\mathbb R\) ist eine totale Ordnung:\\ + \begin{align*} + x &\le x &(R)\\ + x &\le y \land y \le x \rightarrow x = y & (AS)\\ + x &\le y \land y \le z \rightarrow y \le z & (TR)\\ + \text{Es gilt auch immer:}\\ + x &\le y \lor y \le x & (TO) + \end{align*} + \item + Eine Halbordnung, die keine totale Ordnung ist:\\ + Die Inklusion als Relation auf \(\mathcal P(M) \) für eine Menge.\\ + Seien \( A,B,C \in \mathcal P(M) \) (d.\,h. \( A \subseteq M, B \subseteq M, C \subseteq M\))\\ + \begin{align*} + &\Rightarrow A \subseteq A & (R)\\ + &\Rightarrow A \subseteq B \land B \subseteq A \rightarrow A = B & (AS) \\ + &\Rightarrow A \subseteq B \land B \subseteq C \rightarrow A \subseteq C & (TR)\\ + \end{align*} + Wenn \( |M| \ge 2 \), dann gibt es \( x \in M, y\in M \text{ mit } x \ne y \)\\ + \( \Rightarrow \{x\} \not\subseteq \{y\} \quad \{y\} \not\subseteq \{x\}\) \\ + \(\Rightarrow \) Die Inklusion ist nicht total, wenn \(M\) als 2 Elemente. +\end{itemize} + +Darstellung einer Halbordnung auf einer endlichen Menge Hasse-Diagramm (am Bsp. einer Inklusion auf \(\{1,2,3\}\)) + +\includegraphics[height=5cm]{bilder/3-3_hasse-diagramm.pdf} + +neue Klasse\\ +\begin{itemize} + \item zum Hinzufügen in eine Menge: Äquivalenzrelation! + \item zum Hinzufügen in eine sortierte Datenstruktur Totale Ordnung +\end{itemize} + +%% 2010-11-05 %% + +\subsubsection{Transitive Hülle} + +Transitivität: \( aRb \land bRc \rightarrow aRc \)\\ +Veranschaulichung an deinem Graphen\\ +\( G:= (V,E):\) + +\includegraphics[height=4cm]{bilder/3-3_transitive_huelle.pdf} + +Fragestellung:\\ +Welche Knoten sind von eine gegebenen Knoten aus erreichbar?\\ +\( G^+ := \bigcup\limits^{\infty}_{i=1} G^i = G^1 \cup G^2 \cup G^3 \cup ... \) + +\underline{transitive Hülle} von G:\\ +Relation R:\\ +\( R^+ := \bigcup\limits^{\infty}_{i=1} R^i = R^1 \cup R^2 \cup R^3 \cup ... \) \\ +\(R^+\) ist die kleinste transitive Relation die \(R\) enthält. + +reflexiv-transitive Hülle einer Relation R:\\ +\( R^* := R^0 \cup R^+ = \bigcup\limits_{i \in \mathbb N} R^i\)\\ +(Falls R Relation auf der Menge M ist:\\ +\hspace*{4mm}\(R^0 := \{ (x,x) \mid x \in M \} \))\\ +\(R^*\) ist die kleinste Relation, die \(R\) enthält und (R) sowie (TR) erfüllt. + +\includegraphics[height=4cm]{bilder/3-3_transitive_huelle_2.pdf} + +Falls R bereits transitiv ist:\\ +\hspace*{4mm}\( R^+ = R \)\\ +(Falls R bereits reflexiv und Transitiv ist:\\ +\hspace*{4mm}\( R^* = R \) + +\subsubsection{Äquivalenzrelationen, Partitionen, Äquivalenzklassen} + +Gegeben sei eine beliebige Menge A.\\ +\includegraphics[height=3cm]{bilder/3-3_unterteile.pdf}\\ +Unterteile A in dijunkte Teilmengen \(A_i\) (für alle \(i \ne j: A_i \cap A_j = \emptyset\))\\ +\( \bigcup\limits_i A_i = A\)\\ +Die Teilmengen \(A_i\) bilden also eine \underline{Partition} von A. + +Dann ist die Relation R:\\ +\hspace*{4mm}\(aRb \Leftrightarrow \exists i: a \in A_i \land b \in A_i\)\\ +eine Äquivalenzrelation auf A. + +\underline{Beispiele:}\\ +\begin{itemize} + \item + Unterteile \(\mathbb Z\) in Teilmengen\\ + \(A_i = \{ x \in \mathbb Z \mid x \text{ hat Rest } i \text{ bei Division durch } n\}\) + mit \( n \in \mathbb N, n > 0 \).\\ + \includegraphics[height=15mm]{bilder/3-3_zahlenstrahl.pdf}\\ + Äquivalenzrelation:\\ + \(x \equiv y (mod n) \)\\ + (Sprechweise: „x ist kongruent zu y modulo n“) + \(x \equiv y (mod n) \) genau dann, wenn \( \underbrace{x \text{ mod } n}_{=\text{ Divisionsrest}} = y \text{ mod } n \) + + \item + Rundung reeller Zahlen \((A = \mathbb R)\):\\ + \( A_i := \{ x \in \mathbb R \mid x \in {(i-\frac{1}{2} , i+\frac{1}{2} ]} \} \)\\ + %% Zahlenstrahl + x und y sind also äquivalent genau dann, wenn x und y auf dieselbe ganze Zahl gerundet werden. +\end{itemize} + +umgekehrt:\\ +Es sei R eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M. Für \(x \in M\) ist\\ +\hspace*{4mm}\([x]_R := \{y \in M \mid xRy \} \)\\ +die \underline{Äquivalenzklasse} von x bzgl. R. + +Der „Quotient“\\ +\hspace*{4mm}\( M / R := \{ [x]_R \mid x \in M \} \) + +Behauptung:\\ +Die Äquivalenzklassen von R bilder eine Partition von M.\\ +Beweis:\\ +\begin{itemize} + \item + Die Äquivalenzklassen überdecken M:\\ + Sei \( x \in M \) beliebig.\\ + Dann ist \( x \in [x]_R\), denn:\\ + \( xRx \) (folgt aus (R))\\ + \(\Rightarrow \bigcup\limits_{x \in M} [x]_R = M \) + \item + Verschiedene Äquivalenzklassen sind disjunkt:\\ + Sei \([x]_R \ne [y]_R \),\\ + Annahme: \( [x]_R \cap [y]_R \ne \emptyset \)\\ + Dann gibt es ein \( c \in [x]_R \cap [y]_R\).\\ + Wähle \( z \in [x]_R\), zeige: \( z \in [y]_R\):\\ + \( xRz \land xRc \underset{(S)}{\Rightarrow} cRx \land xRz \underset{(TR)}{\Rightarrow} cRz, yRc \underset{(TR)}{\Rightarrow} yRz \Leftrightarrow z \in [y]_R\)\\ + also: \( [x]_R \subseteq [y]_R, [y]_R \subseteq [x]_R \rightarrow [x]_R = [y]_R \) Widerspruch!! +\end{itemize} + +Sei G der Graph einer reflexiv-transitiven Relation R.\\ +R ist eine Halbordnung \( \leftrightarrow \) G enthält keine Kreise. + +\includegraphics[height=2cm]{bilder/kreis_5ele.pdf}\\ +(G enthält einen Kreis \( \Leftrightarrow \) R ist keine Halbordnung. + +\(\overset{\text{Beweis}}{\Leftarrow}\) (R),(TR) gelten laut Voraussetzung.\\ +\( \rightarrow \) (AS) ist Verletzt. + +\( \Rightarrow \exists x,y : xRy \land yRx\) + +in G: \includegraphics[height=1cm]{bilder/kreis_2ele.pdf}\\ + +\( \Rightarrow \) Sei %%TODO x1,x2,...,xn +ein Kreis in G. + +\( \Rightarrow x_{1}Rx_{2}, x_{2}Rx_{3}, ..., x_{n-1}Rx_{n}, x_{n}Rx_{1} \)\\ +\( \Rightarrow x_{1}Rx_{n}, x_{n}Rx_{1} \)\\ +\( \quad x_1 \ne x_n \rightarrow \) (AS) ist verletzt. + +Einbettung einer Halbordnung in eine totale Ordnung. + +Algorithmus: +\begin{enumerate} + \item Wähle ein minimales x (d.\,h. \(\neg \exists y : y \le x \))\\ + (im zugehörigen Graphen führt also keine Kante zu x.) + \item Setze \( x_1 := x \), entferne x aus dem Graphen, ebenso alle Kanten von x. + \item Fahre bei 1. fort und wähle nacheinander \( x_1,x_2,...,x_n \) bis der Graph leer ist. +\end{enumerate} +\( \Rightarrow \) Definiere:\\ +\hspace*{4mm} \( x_1 \le x_2 \le ... \le x_n \) + +Beispiel:\\ +\(\subseteq \) auf der Menge \( \mathcal P(\{1,2\}) \)\\ +\begin{multicols}{2} +\( x_1 := \{\} \)\\ +\( x_2 := \{2\} \)\\ +\( x_3 := \{1\} \)\\ +\( x_4 := \{1,2\} \)\\ +\columnbreak\\ +\includegraphics[height=4cm]{bilder/3-3_bsp.pdf} +\end{multicols} + +\( \Rightarrow \)Gefundene totale Ordnung.\\ +\( \{\} \le \{2\} \le \{1\} \le \{1,2\} \) + +\newpage +\section{Funktionen} + +Sei R eine Relation zwischen A und B. R heißt \underline{eindeutig}, wenn es zu jedem \( a \in A \) höchstens ein \(b \in B\) gibt, so dass \(aRb\). Eine eindeutige Relation \( R \subseteq A \times B \) heißt \underline{Funktion} oder \underline{Abbildung}, wenn \(D(R) = A\) + +Veranschaulichung:\\ +\includegraphics[height=3cm]{bilder/4-0_ver1.pdf}\\ +eindeutige Relation\\ +\includegraphics[height=3cm]{bilder/4-0_ver2.pdf}\\ +Funktion\\ + +Schreibweise:\\ +\( f\colon A \to B \) „d ist eine Funktion von A nach B“\\ +\( f\colon a \to b \) oder \( f(a) = b \)\\ +„f bildet a auf b ab.“\\ +„Der Funktionswert von f an der Stelle a ist b.“\\ +(„a und b stehen in Relation bzgl. f.“) + +\underline{Frage:} „Wann ist die Umkehrrelation von f wieder eine Funktion?“ +\begin{itemize} + \item \(f^{-1} \) muss eindeutig sein, d.\,h.\\ + \( \forall b \in B: \exists \) höchstens ein \(a \in A : f(a) = b\) + oder gleichbedeutend:\\ + \(\forall a_1,a_2 \in A \text{ mit } a_1 \ne a_2 \)\\ + \( \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2) \)\\ + Funktionen mit dieser Eigenschaft heißen \underline{injektiv}. + \item Es muss gelten:\\ + \(D(f^{-1}) = B\).\\ + \(D(f^{-1}) = W(F)\)\\ + \(f\colon Y \to X \)\\ + \(\forall y \in Y \exists x \in X : f(x)=y\)\\ + Funktionen mit dieser Eigenschaft heißen \underline{surjektiv}. +\end{itemize} +Also \(f^{-1}\) ist eine Funktion (von B nach A), wenn \(f\) injektiv und surjektiv ist. (Dann heißt \(f\) \underline{bijektiv}.) + +Beispiele:\\ +\begin{itemize} + \item[a)] \(f(x) := 2x \) ist surjektiv auf \( \mathbb Q\), aber nicht auf \(\mathbb Z \) und injektiv auf \(\mathbb Q \) und auf \(\mathbb Z\). + \item[b)] \(f(x) := x^2\) ist nicht surjektiv auf \(\mathbb N\), ist injektiv auf \(\mathbb N \) +\end{itemize} + +\textcolor{darkgreen}{\underline{Definition:}} Zwei Mengen A,B heißen \underline{gleichmächtig}, wenn es eine bijektion zwischen A und B gibt.\\ +\underline{Bem.:} Eine Menge A ist endlich, wenn es ein \( n \in \mathbb N \) gibt mit\\ +\hspace*{4mm}\( A \sim [n] \).\\ +(Dann hat A die Mächtigkeit n.) + +A ist unendlich, wenn A nicht endlich ist.\\ +\textcolor{darkgreen}{\underline{Definition:}}\\ + A heißt \underline{abzählbar unendlich}, wenn \( A \sim \mathbb N\).\\ + A heißt \underline{überabzählbar unendlich}, wenn A unendlich, aber nicht abzählbar unendlich ist. + +Beispiele: +\begin{itemize} + \item \(\mathbb N \backslash \{0\} \)\\ + Bijektion\(f\colon \mathbb N \to \mathbb N \backslash \{0\} , f(x) := x+1 \)\\ + \(f\) ist injektiv: seien \(x,y \in \mathbb N, x \ne y \)\\ + \( f(x) = x+1 , f(y) = y+1\)\\ + \( x \ne y \)\\ + \(x+1 \ne y+1\)\\ + also: \( f(x) \ne f(y) \)\\ + f ist surjektiv:\\ + Sei \( z \in \mathbb N \backslash \{0\} \) beliebig:\\ + Wähle \( x := z-1 \in \mathbb N \)\\ + \( \rightarrow f(x) = z \)\\ + d.\,h. \(W(f) = \mathbb N \backslash \{0\} \). + \item \(\mathbb Z \) ist auch abzählbar unendlich:\\ + Nummerierung:\\ + \( 5 3 1 0 2 4 6 \)\\ + Bijetkion: \( f\colon \mathbb N \to \mathbb Z, f(x) := (-1)^x \lceil \frac{x}{2} \rceil \) + \item \(\mathbb Q\) ist abzählbar:\\ + \(\mathbb Q \sim \mathbb Z^2 \sim \mathbb N^2 \) + \item allgemeiner:\\ + Es seien \(A_n, n\in \mathbb N\), abzählbar unendliche Mengen. Dann ist auch\\ + \( \bigcup\limits_{n \in \mathbb N} A_n\) abzählbar. + + Konstruiere eine Bijektion\\ + \( f\colon \mathbb N \to \bigcup\limits_{n \in \mathbb N} A_n\)\\ + \hspace*{4mm}\(a_n\) ist abzählbar unendlich\\ + \(\rightarrow\) es gibt eine Bijektion\\ + \hspace*{4mm}\(g_{n}\colon \mathbb N \to A_N \) + + Definiere \(f\): + \begin{align*} + f(0) &:= g_{0}(0) & f(4) &:= g_{1}(1)\\ + f(1) &:= g_{0}(1) & f(5) &:= g_{2}(0)\\ + f(2) &:= g_{1}(0) & f(6) &:= g_{0}(3)\\ + f(3) &:= g_{0}(2) + \end{align*} + + Falls einer der \(g_{i}(j)\) schon vorher in dieser Liste auftaucht, wird es übersprungen. + \item \(\mathbb R\) ist überabzählbar unendlich\\ + Widerspruchsbeweis mit Diagonalargument:\\ + Annahme: \(\mathbb R\) ist abzählbar unendlich (offensichtlich: \(\mathbb R\) ist nicht endlich)\\ + \(\rightarrow\) es gibt eine Bijektion\\ + \hspace*{4mm} \(r\colon \mathbb N \to \mathbb R\)\\ + Wir zeigen: \( \exists c \in \mathbb R : c \not\in W(r)\)\\ + Konstruiere c:\\ + Es sei \(R_{i}(n)\) die i-te Nachkommastelle von \(r(n)\);\\ + setze \(c := c_0,c_1 c_2 c_3 c_4 ...\) (c = Dezimalziffer)\\ + wobei \(c_0 \ne r_{0}(0), c_1 \ne r_{1}(1), c_2 \ne r_{2}(2) \)\\ + allgemein: \(c_n \ne r_{n}(n) \)\\ + \(\Rightarrow c \ne r(0), c \ne r(1), c \ne r(2) \)\\ + \(\forall n \in \mathbb N : c \ne r(n) \)\\ + weil c und \(r(n)\) sich in der n-ten Nachkommastelle underscheiden.\\ + \(\Rightarrow c \not\in W(r) \text{ aber } c \in \mathbb R \)\\ + \hspace*{2mm}\(\Rightarrow \) r ist keine Bijektion\\ + \hspace*{4mm}\( \rightarrow \mathbb R \not\sim \mathbb N\) + \item ähnlich:\\ + \(\mathcal P(\mathbb N) \not\sim \mathbb N \) (s. Übungsaufgabe) +\end{itemize} + +\subsection{Permutation} + +Zufallsexperiment:\\ +n Kugeln mit Nummern \(1,...,n\);\\ +ziehe Kugeln ohne zurücklegen, beachte die Reihenfolge:\\ +\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} + n & 1 & 2 & 3 &4 & 5\\ \hline + \(f(n)\) & 2 & 3 & 5 & 4 & 1 +\end{tabular}\\ +(mögliches Ergebnis für \(n=5\)) + +\(\rightarrow\) \(f\) ist eine Bijektion.\\ +Eine Bijektion auf einer endlichen Menge heißt \underline{Permutation}.\\ +Die Menge aller Permutationen auf \([n] =: S_n\) + +Algorithmus zum Erzeugen aller Permutationen auf \([n]\): +\begin{itemize} + \item Interpretiere die Permutationen als Zahlen + \item generiere alle Permutationen „der Größe nach“ geordnet + \begin{enumerate} + \item 12345 (id = „Identität“) + \end{enumerate} + nächst größere Zahl (von 23541 aus):\\ + \hspace*{3mm} \(a := 2 \underbrace{3}_{j} 5 4 1\)\\ + \hspace*{3mm} \(b := 2 4 1 3 5\)\\ +\end{itemize} + +\underline{Graphen zu Permutationen} +\begin{align*} + n & 1\,2\,3\,4\,5 & n 1\,2\,3\,4\,5\\ + \sigma(n) & 2\,3\,5\,4\,1 & id(n) & 1\,2\,3\,4\,5 +\end{align*} + +\includegraphics[height=3cm]{bilder/4-1_permut.pdf} + +Allgemein gilt: Jeder Knoten besitzt genau einen Nachfolger und genau einen Vorgänger.\\ +\(\rightarrow\) Der Graph besteht aus unzusammenhängenden Kreisen, d.\,h. jeder Knoten ist in genau einem Kreis enthalten. + +Zyklenschreibweise:\\ +\((1\,2\,3\,5) (4) \)\\ +Letzteres wird oft weggelassen. + +\( \sigma := (1\,2\,3\,5) (4) \)\\ +\( \tau := (1\,2\,4) (3\,5)\)\\[2mm] +\( \sigma \circ \sigma = (1 \, 3) (2\,5) (5)\) \\ +\( \sigma \circ \tau = (1\,3) (2\,4) (5) \)\\[2mm] +\(\sigma^{-1} = (5\,3\,2\,1) (4) = (1 \, 5 \, 3 \,2 ) (4)\)\\[2mm] +\(\sigma^{-1} \circ \sigma = (1) (2) (3) (4) (5) = \) id + +\newpage +\section{Vollständige Induktion} + +\subsection{Einführung des Beweisverfahrens} + +\( 1+2+...+100 = ? \)\\ +\begin{tabular}{ccccc} + 1&2&...&50 &\\ + +100&99&...&51&\\\hline + 101+ & 101+ &...+& 101 &= \(50 \cdot 101 = \frac{100 \cdot (100+1)}{2}\) +\end{tabular} + +allgemeiner Beweis mit vollständiger Induktion: \( \sum\limits_{k=1}^{n} k \overset{!}{=} \frac{n \cdot ( n+1)}{2} \)\\ +Induktionsanfang: \(n=1\)\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{1} k = 1 = \frac{1 \cdot 2}{2} \quad \checkmark\)\\ +Induktionsschritt:\\ +Zeige die Behauptung „für n+1“, unter der Vorraussetzung, dass sie „für n“ gilt.\\ +\( \sum\limits_{k=1}^{n+1} k = \sum\limits_{k=1}^{n} k + (n+1)\)\\ +\( \sum\limits_{k=1}^{n+1} k \overset{!}{=} \frac{(n+1)(n+2)}{2} \)\\ +\( \underset{\text{Induktionsvorraussetung}}{=} \frac{n\cdot (n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}\) + +Allgemeine Struktur eines Beweises mit \underline{vollständiger} Induktion:\\ +Wir möchten alle Aussagen \(A_i, i \in \mathbb N\), beweisen. Das funktioniert (u.\,U.) mit diesen zwei Schritten: +\begin{enumerate} + \item + Induktionsanfang:\\ + Beweise \(A_0\) + \item + Induktionsschritt:\\ + Beweise \(A_{n+1}\) (für beliebiges \(N \in \mathbb N\)\\ + unter der sog. Induktionsvorraussetzung, dass \(A_n\) gilt. + + \(A_0 \land (A_0 \rightarrow A_1) \land (A_1 \rightarrow A_2) \land (A_2 \rightarrow A_3) \)\\ + \( \Rightarrow A_0 \land A_1\) +\end{enumerate} + +\underline{Geometrische Reihe} + +wenn der Summationsindex im Exponenten steht:\\ +\( \sum\limits_{i=0}^{n} q^i , \text{ mit } q \in \mathbb R \)\\ +\( q \sum\limits_{i=0}^{n} q^i = \sum\limits_{i=0}^{n} q^{i+1} = \sum\limits_{j=1}^{n+1} q^j = \sum\limits_{i=0}^{n} + q^{n+1} - 1\) +\begin{align*} + (q-1) \sum\limits_{i=0}^{n} q^i &= q^{n+1} - 1 &\mid :(q-1) \text{ falls } q\ne 1\\ + \sum\limits_{i=0}^{n} q^i &= \frac{q^{n+1} - 1}{1-q} \\ + \sum\limits_{i=0}^{n} q^i &= \frac{1-q^{n+1}}{1-q} +\end{align*} +\underline{Bemerkung:} + +Für \(q \in \mathbb Z\) ist also \(1-q^{n+1}\) teilbar duch \(1-q\). + +Beispiel: +\begin{itemize} + \item \( 12^{17} -1 \) ist teilbar duch 11. + \item \( 2^{24} - 1 = (2^3)^8 -1 = 8^8 - 1 \) ist durch 7 teilbar. +\end{itemize} + +\(q = 1\):\\ +\( \sum\limits_{i=0}{n} q^i = \sum\limits_{i=0}^{n} = n+1\). + +alternativ: Beweis mit vollständiger Induktion (für \(q\ne 0\))\\ +IA: \(n=0\),\\ +\(\sum\limits_{i=0}^{0} q^i = 1 = \frac{1-q^{0+1}}{1-q}\) + +IS: \( \sum\limits_{i=0}{n+1} q^i = \sum\limits_{i=0}^{n} q^i + q^{n+1} \)\\ +\( \underset{\text{I.V.}}{=} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} + \frac{q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}\) + +\(\sum\limits_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)\\ +kleine Verallgemeinerung:\\ +\( \sum\limits_{k=0}^{n} p^{n-k} \cdot q^k = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{p^n}{p^k} \cdot q^k\)\\ +%TODO% \( = p^n \frac{(1-(\frac{p}{q})^{n+1}) \cdot p\)\\ +\( = \frac{ p{n+1} - q^{n+1} }{ p-q} \) + +Folgerung falls \(p,q \in \mathbb Z\), ist \\ +\( p^{n+1} - q^{n+1} \) teilbar durch p-q.\\ +z.B. \(12^100 - 5^100 \) ist teilbar duch 7. + +\underline{Einschub: Summen und Produkte} + +\begin{enumerate} + \item Definition (rekursiv):\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{0} a_k := 0\) „leere Summe“ \\ + \( \prod\limits_{k=1}{0} a_k := 1\) „leeres Produkt“ + + \( \sum\limits_{k=1}{n+1} a_k := \sum\limits_{k=1}{n} a_k + a_{n+1}\)\\ + \( \prod\limits_{k=1}{n+1} a_k :=a_{n+1} \prod\limits_{k=1}{n} a_k \) + + \item \underline{Präzendent der Operatoren}\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k = \left( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \right) + b \)\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \cdot b = \sum\limits_{k=1}^{n}\left( a_k \cdot b \right)\)\\ + \( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k + b = \left( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k \right) +b \)\\ + \( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k \cdot b = \left( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k \right) \cdot b \) + + \( \sum \) bindet geringfügig stärker als „+“ und „-“\\ + \( \prod \) bindet geringfügig stärker als „\(\cdot\)“ + + \item \underline{konstante Faktoren}\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \cdot c = c \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \)\\ + \( a_1 \cdot c + a_2 \cdot c + ... = c \cdot ( a_1 + a_2 + ...) \)\\ + \( \prod\limits_{k=1}^{n} \left( a_k \cdot c \right) = c^n \cdot \prod\limits_{k=1}^{n} a_k \) + + \item \underline{Aufspaltung}\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k = \sum\limits_{k=1}^{l} a_k + \sum\limits_{k=l+1}^{n} a_k \)\\ + mit \( l \in \{ 1 , ..., n \} \)\\ + \( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k = \prod\limits_{k=1}^{l} a_k \cdot \prod\limits_{k=l+1}^{n} a_k \)\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{n} ( a_k + b_k ) = \sum\limits_{k=1}^{n} a_k + \sum\limits_{k=1}^{n} b_k \)\\ + \( \prod\limits_{k=1}^{n} ( a_k + b_k ) = \prod\limits_{k=1}^{n} a_k \cdot \prod\limits_{k=1}^{n} b_k \) + + \item \underline{Umnummerierung}\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k = \sum\limits_{k=1}^{n} a_{\sigma(k)} \)\\ + \( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k = \prod\limits_{k=1}^{n} a_{\sigma(k)} \)\\ + mit einer Permutation \( \sigma \in S_n\) + + \item \underline{Mehrfachsummen/-produkte}\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{m}\sum\limits_{l=1}^{n} a_{k l} = \sum\limits_{l=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} a_{k l} \)\\ + \( \prod\limits_{k=1}^{m}\prod\limits_{l=1}^{n} a_{k l} = \prod\limits_{l=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m} a_{k l} \)\\ + +\end{enumerate} + +\subsubsection{Die Türme von Hanoi} + +Aufgabe: Bringe $n$ Scheiben von A nach C, so dass jederzeit keine Scheibe auf einer kleineren Scheibe liegt. + +Lösung: Bringe $n-1$ Scheiben von A nach B; lege anschließend Scheibe $n$ von A nach B. Bringe zuletzt die $n-1$ Scheiben von B nach C. + +Die minimale Anzahl an Operationen um das Problem zu lösen, sei $T_n$ + +\( T_n = T_{n - 1} + 1 + T_{n -1} = 2 T_{n-1} + 1 \)\\ +\( T_1 = 1 \) + +\begin{tabular}{l|ccccc} + n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ + \hline + $T_n$ & 1 & 3 & 7 & 15 & 31 +\end{tabular}\\ +\( T_n \overset{\text{?}}{=} 2^n - 1 \) Beweis + +Beweis von $2^n - 1$ + +\textbf{IA:} n = 1\\ +\( T_1 = 1 = 2^1 - 1\) + +\textbf{IS}\\ +\begin{align*} + T_{n+1} &= 2 \cdot T_n + 1\\ + &\underset{\text{IV}}{=} 2 \cdot (2^n - 1) +1\\ + &=2^{n+1} - 1 & \text{q.e.d.} +\end{align*} + +Wenn sie für $n$ gilt, sollte sie auch für $n+1$ gelten, ziel der Vollständigen Induktion. + +\subsection{Anwendung: Analyse von Algorithmen} + +Dec2Bin(n) +\begin{enumerate} + \item k = 0 + \item while \(n > 0\) do + \item \hspace*{3mm}b[k] = n mod 2 + \item \hspace*{3mm}n = \(\lfloor n/n \rfloor\) + \item \hspace*{3mm}k = k + 1 + \item return b +\end{enumerate} + +Bei erreichen von Zeile 2 gilt jedesmal die Invariante\\ +\( m = 2^k \cdot n + \sum_{j=0}^{k-1} b[j] \cdot 2^j \quad (*)\) + +Bei verlassen der Schleife (n=0) ist \( m = \sum_{j=0}^{k-1} b[j] \cdot 2^j\).\\ +Also enthält b die Binärziffern von m. + +Beweis von \((*)\) mit vollständiger Induktion: + +\textbf{IA:} (vor dem ersten Schleifendurchlauf)\\ +\(m=nm k=0 \Rightarrow 2^k \cdot n + \sum_{j=0}^{k-1} b[j] \cdot 2^j = n+0 = m \) + +\textbf{IS:} \((*)\) gelte vor einem Schleifendurchlauf (I.V.)\\ +Nach dem Durchlauf:\\ +\( k' = k+1, n' = \lfloor n/2 \rfloor\)\\ +\(2^{k+1} \lfloor n/2 \rfloor + \sum_{j=0}^{k} b[j] \cdot 2^j \)\\ +\( \underset{\text{i.V.}}{=} 2^{k+1} \cdot \lfloor n/2 \rfloor + (m - 2^k \cdot n) + \underbrace{b[k]}_{n \mod 2} \cdot 2^k \)\\ +\( = m + 2^k ( 2\cdot \lfloor n/2 \rfloor + n \mod 2 - n) \) + +Der Wert der Klammer is 0:\\ +\( n = c \cdot \lfloor n/c \rfloor + n \mod c \) für beliebiges \( c \in \mathbb N, c > 0\) + +denn der Devisionsrest ist definiert als \( n \mod c := n -c \cdot \lfloor n/c \rfloor\)\\ +\( \rightarrow 2^{k'} \cdot n' + \sum_{j=0}^{k'-1} b[j] \cdot 2^j = m \) q.e.d + +\underline{Laufzeitabschätzung:}\\ +Es sei T(n) die Anzahl der Schleifendurchläufe bei Eingabe n.\\ +\( T(1) = 1\)\\ +\( T(n) = 1 + T( \lfloor n/2 \rfloor ) \)\\ +Das ist eine Rekursionsgleichung ähnlich wie bei Aufgabe 5.4\\ +\( \Rightarrow T(n) = \lfloor \log_2 n \rfloor + 1 \) + +\underline{Schnelle Exponentation} + +berechne \( a^n = \underbrace{a \cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}} \) -> Aufwand O(n). + +mit einem Aufwand von O(log n) + +In Zeile 3 gilt die Invariante:\\ +\( d = a^{(b_{k-1} ... b_{i+1})_2} \)\\ +am Ende: \( i=-1, d=a^{b_{k-1} ...b_0} = a^n \) + +\textbf{IA:} (vor dem ersten Durchlauf)\\ + \( 1 = d, i = k-1\)\\ + \( \Rightarrow a ^{(b_{k-1} ... b_{i+1})_2} \)\\ + \( = a^{()_z} = a^0 = ^ = d\) q.e.d + +\textbf{IS:} Werte nach dem schleifen Durchlauf:\\ +\(i' = i-1 \)\\ +Fall 1: \(b_i = 0\)\\ + \(d' = d \cdot d = [a ^{(b_{k-1} ... b_{i+1})_2}] ^ 2 \)\\ + \( = a^{(b_{k-1} ... b_{i+1})_2 + (b_{k-1} ... b_{i+1})_2 } \) + \( = a ^ {(b_{k-1} ... b_{i+1} 0)_2} \)\\ + \( = a^{(b_{k-1} ... b_{i})_2}\)\\ + \( = a ^ {(b_{k-1} ... b_{i'+1})_2} \) + +\(a^n\)\\ +Invariante in Zeile 3:\\ +\( d = a^{(b_{m-1} ... b_{i+1})_2}\)\\ +Fall 2: \( b_i = 1 \)\\ +nach der Ausführung des Schleifendurchlaufs:\\ +\( i' = i-1\)\\ +\( d' = d^2 \cdot a \underset{\text{i.V.}}{=} a^{2 \cdot (b_{k-1} ... b_{i+1})_2 + 1} \)\\ +\( = a ^ {(b_{k-1} ... b_{i+1} 1)_2}\)\\ +\( = a ^ {(b_{k-1} ... b_{i'+1})_2}\) \\ +q.e.d. + +\subsection{Anwendungen in der Graphentheorie} + +In diesem Abschnitt ist stets \( G = (V,E) \) ein ungerichteter Graph ohne Schleifen, über der Knotenmenge \( V := [n] \text{ mit } |E| =: e \) vielen Kanten. Bei Ungerichteten Graphen:\\ +\( E \subseteq \{\{u,v\} \mid u,v \in V, u \ne v \} \) + +\defin Der \underline{Grad} (degree, engl.) deg(v) eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die bei v beginnen. + +\defin Ein \underline{Baum} ist ein zusammenhängender, azyklischer Graph. (G heißt zusammenhängend, wenn man von einem jedem Knoten in G zu jedem anderen Knoten gelangen kann. Zusammenhangskomponenten: größte zusammenhängende Teilgraphen.) + +Ein \underline{Wald} ist ein azyklischer Graph. (d.\,h. die Zusammenhangskomponenten eines solchen Graphen sind Bäume) + +Die Knoten vom Grad 1 (oder 0) eines Baumes heißen \underline{Blätter}, alle anderen Knoten sind \underline{innere Knoten}. + +\includegraphics[height=4cm]{bilder/5-3_graphen.pdf} + +\begin{enumerate} + \item nicht azyklisch, nicht zusammenhängend + \item azyklisch, nicht zusammenhängend, ein Wald aus zwei Bäumen. + \item enthält einen Kreis, weder Baum noch Wald. + \item Ein Baum: azyklisch und zusammenhängend. +\end{enumerate} + +\underline{Beh.:} Jeder Baum hat Blätter.\\ +\underline{Beweis:} Starte bei einem beliebigen Knoten, gehe entlang beliebiger Kanten, ohne bereits besuchte Knoten nochmals zu besuchen. Da \(|V|\) endlich ist, endet dieser Vorgang nach spätestens n Schritten.\checkmark + +\textcolor{darkblue}{\underline{Satz:}} Jeder Baum hat \(e = n-1\) viele Kanten. + +Beweis mit Vollständiger Induktion übder n:\\ +\textbf{IA:} \( n = 1 \rightarrow e = 0 \) \checkmark \\ +\textbf{IS:} \(G'\) habe $n+1$ Knoten. Sei v ein Blatt von \(G'\). es sei \(G\) der Teilgraph von \(G'\), den man durch Entfernen von v (und der Kante v) erhält.\\ +\( \Rightarrow \) $G$ hat $n$ Knoten\\ +\( \overset{\text{i.V.}}{\Rightarrow} \) $G$ hat $n-1$ Kanten\\ +\( \Rightarrow \) $G'$ hat \((n-1)+1 = n\) Kanten \checkmark + +Folgerung: Hat G n oder mehr Kanten, dann enthält G einen Kreis. + +\defin Ein \underline{Wurzelbaum} ist ein Baum mit einem ausgezeichneten Knoten, der sog. \underline{Wurzel}. + +\defin Die \underline{Tiefe} eines Knotens in einem Wurzelbaum ist sein Abstand zur Wurzel.\\ +Die \underline{Tiefe} eines Wurzelbaumes ist die größte Tiefe eines Knotens in diesem Baum. + +\underline{Bsp.:}\\ +\includegraphics[height=2cm]{bilder/5-3_tiefe.pdf} + +\defin Ein \underline{Binärbaum} ist ein Wurzelbaum, in dem jeder Knoten Grad \(\le 3\) hat, die Wurzel hat Grad 2. + +\textcolor{darkblue}{\underline{Satz:}} Ein Binärbaum der Tiefe t hat höchstens \(2^t\) viele Blätter. + +\includegraphics[height=2cm]{bilder/5-3_planar.png} + +\defin Ein Graph ist \underline{planar}, wenn man ihn so in der Ebene zeichnen kann, dass sich keine Kanten überschneiden. + +\includegraphics[height=3cm]{bilder/5-3_planar_bsp.pdf} + +Bem.: Jeder planare Graph unterteilt die Ebene in disjunkte Gebiete. + + +\underline{Eulersche Polyederformel:} + +\(n + \underbrace{g}_{\text{anzahl der Gebiete}} = e +2\)\\ +Gilt für zusammenhängende planare Graphen. + +Beweis mit vollständiger Induktion über g: + +\textbf{IA:} Es sei G ein zusammenhängender planarer Graph mit nur einem Gebiet.\\ +Jeder planare Graph mit min. einem Kreis hat min. ein inneres Gebiet.\\ +\(\rightarrow\) G kann keinen Kreis enthalten, G ist also ein Baum. +\(\Rightarrow e = n-1\),\\ +\( \quad n +g = n+1 = e+2 \) \checkmark + +\textbf{IS:} Es sei \(G'\) ein zusammenhängender, planarer Graph mit $g+1$ Gebieten, $n'$ Knoten und $e'$ Kanten.\\ +z.z. \( n' + (g+1) \overset{!}{=} e' + 2 \)\\ +$G'$ enthält min ein inneres Gebiet, also auch einen Kreis. Wähle eine Kante auf dem Kreis, entferne diese.\\ +\(\Rightarrow\) Es entsteht der zusammenhängende, planare Graph $G$ mit $g$ Gebieten. +\(\underset{\text{I.V.}}{\Rightarrow}\) für $G$ gilt:\\ +\( n + g = e+2\),\\ +\( n' = n, e' = e+1\)\\ +\(\Rightarrow\) für $G'$ gilt: +\( n' + (g+1) = (n+g) +1 = e+ 3 = e' +2 \) q.e.d. + +gesucht: Zusammenhang zwischen e und n (oder Schranke für e) +\begin{itemize} + \item edes innere Gebiet ist von mindestens drei Kanten umgeben. + \item Jede Kante trennt höchstens zwei Gebiete. +\end{itemize} +Zähle paare von Gebieten und Kanten: +\( M := \{ (\gamma, \kappa \mid \gamma \text{ ein inneres Gebiet, }\kappa\text{ eine Kante, die J begrenzt} \} \)\\ +\begin{align*} +g \cdot 3 \le |M| \le 2 \cdot e +\Rightarrow g &\le \frac{2}{3} e \Leftrightarrow g+n \le \frac{2}{3} e + n\\ +n + \frac{2}{3} \cdot e &\ge n + g \underset{\text{Euler}}{=} e + 3 &| -\frac{2}{3} \cdot e\\ +n &\ge \frac{1}{3} e + 2 &| -2\\ +n-2 &\ge \frac{1}{3} e &| \cdot 3\\ +3n - 6 &\ge e +\end{align*} +gilt für alle zusammenhängenden planaren Graphen. + +\subsubsection{Färbung von Graphen} + +Eine \underline{Färbung} von G ist eine Zuordnung von Knoten auf Farben, sodass benachbarte Kanten unterschiedliche Farben besitzen. + +Bem.: Als „Farben“ können können die Elemente beliebiger endlicher Mengen dienen. + +Bsp.: \\ +\begin{multicols}{2} + \includegraphics[height=2cm]{bilder/5-3-1_bsp_2.pdf} +\columnbreak\\ + 3-färbbar (d.\,h. es gibt eine Färbung mit 3 Farben) +\end{multicols} + +K3,3\\ +\begin{multicols}{2} + \includegraphics[height=2cm]{bilder/5-3-1_k3.pdf} +\columnbreak\\ + 2-Färbbar\\ + \( \chi(K_{3,3}) = 2 \) +\end{multicols} + +K5\\ +\begin{multicols}{2} + \includegraphics[height=2cm]{bilder/5-3-1_k5.pdf} +\columnbreak\\ + 5-Färbbar\\ + \( \chi(K_{5}) = 5 \) +\end{multicols} + +Die minimale Anzahl an Farben einer Färbung von G heißt \underline{chromatische Zahl} \( \chi(G) \) von G. + +\textbf{Vier-Farben-Satz} + +Jede politische Landkarte kann mit vier Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Länder verschiedene Farbe besitzen. + +Beweis des Vier-Farben-Satzes 1971 von Appel und Haken. (Reduktion auf ca. 2000 einzelne Graphen, Untersuchung derselben in ca. 1200 Rechnerstunden). + +\textbf{Fünf-Farben-Satz (Heowood)} + +Jeder planare Graph ist 5-färbbar + +Beweis: Induktion über n:\\ +\textbf{IA:} n = 1,2,3,4,5 \checkmark\\ +\textbf{IS:} n > 5\\ +(Graph $G'$ mit n+1 Kanten)\\ +\( \Rightarrow \) Es gibt einen Knoten mit \(deg(v) \le 5\)\\ +$G'$ ist planarer Graph. + +Konstruiere Teilgraph G um $G'$ durch entfernen von V.\\ +\( \Rightarrow \) G hat n Knoten und ist planar\\ +\( \Rightarrow \) G ist 5-färbbar + +\textbf{I.V.} Falls die Nachbarn von V weniger als 5 verschiedene Farben besitzen, kann V mit der fünften Farbe gefüllt werden. Sonst (d.\,h. die Nachbarn haben fünf versch. Farben)\\ +Beweisidee:\\ +\includegraphics[height=3cm]{bilder/5-3-1_beweis.pdf} +Farben \( = \{A,B,C,D,E\} \)\\ +\underline{Fall 1:} Es gibt keinen „A-C, weg $V_1$ nach $V_3 \Rightarrow $ Vertausche die Farben A und C inder Umgebung von $V_3 \rightarrow$ Färbe V mit C. + +\underline{Fall 2}(sonst): Es gibt keinen „B-D“ Weg von $V_2$ nach $V_4$ Verfahre analog zu Fall 1. + +%TODO - Farben% +\newpage +\section{Kombinatorik} + +Zufallsexperiment: +\begin{itemize} + \item Gegeben ist eine Urne mit n Kugeln, die von 1 bis n durchnummeriert sind. + \item Ziehe k Kugeln, wieviele mögliche Ergebnisse gibt es? +\end{itemize} + +mögliche Modi: +\begin{itemize} + \item mit zurücklegen oder ohne zurücklegen + \item die Reihenfolge der gezogenen Kugeln wird beachtet, oder nicht. +\end{itemize} + +\underline{Bsp.:} Ziehe zwei Zahlen aus \( \{ 1,2,3 \} \). + +%TODO% + +%\begin{tabular}{l|ll} +% & mit zurücklegen & ohne zurücklegen\\ +% \hline +% geordnet & \( (1,1), (1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3) \) & \( (1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) \)\\ +% & \( \rightarrow 9 \) & \( \rightarrow 6 \) +% ungeordnet & \begin{tabular}{l|l} & \( \{1,2\},\{1,3\},\{2,3\} \\ +% &\( \rightarrow 9 \) & \( \rightarrow 3 \) +%\end{tabular} + +\begin{enumerate} + \item \underline{geordnet, mit zurücklegen}\\ + ziehe k Zahlen aus \( [n] \)\\ + Menge möglicher Ergebnisse: \( [n]^k \)\\ + Anzahl: \(\left| [n]^k \right| = \left| [n] \right|^k = n^k \)\\ + \underline{Bsp.:} Mögliche Zustände eines Bytes:\\ + \( \left| \{0,1\} \right|^8 = 2^8 = 256 \) + \underline{Bsp.:} Anzahl der Wörter mit fünf Buchstaben über dem Alphabet \( C := \{ a, ..., z \} \):\\ + \( | \{a,...,z\}^5| = |C|^5 = 26^5 \) + \item \underline{geordnet, ohne zurücklegen} + Anzahl insgesamt:\\ + \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-k+1) \) + \( = \prod\limits_{j=0}{k-1} ( n-j ) \)\\ + \( n^{\underline{k}} = \underbrace{n\cdot (n-1) ... ( n-k+1)}_{\text{k Faktoren}} \)\\ + „fallende Faktorielle“ + Zusammenhang mit der Fakultät:\\ + \( n^{\underline{k}} = n! \)\\ + \( n^{\underline{n}} = \frac{n(n-1) ... 1}{(n-k)(n-k-1) ... 1} \)\\ + \( = \frac{n!}{(n-k)!}\)\\ + Bsp.: \( 5^{\underline{3}} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5!}{3!} = 60 \) + \item \underline{ungeordnet, ohne zurücklegen}\\ + \includegraphics[width=10cm]{bilder/6-0_ung_ohne_zur.pdf}\\ + Jedes Ergebnis im Fall (1) entspricht $k!$ Ergebnissen im Fall (2), nämlich allen $k!$ Permutationen dieser k Objekte.\\ + Anzahl möglicher Ergebnisse im Fall (1)\\ + = Anzahl möglicher Ergebnisse im Fall (2) \( \cdot \frac{1}{k!}\)\\ + \( = \frac{n^{\underline{k}}}{k!} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot n!} =: \binom{n}{k} \)\\ + Binomialkoeffizient, „k aus n“ + \underline{Bsp.: von oben:} „Zwei aus Drei“ + \( \binom{2}{3} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \) \checkmark\\ + \underline{Bsp. Lotto:}\\ + \( \binom{49}{6} = \frac{49!}{43! \cdot 6!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13.983.816\) mögliche Ergebnisse\\ + \(\Rightarrow\) Warhscheinlichkeit für sechs richtige \(\approx \frac{1}{14.000.000}\) + + Wahrscheinlichkeit für drei Richtige:\\ + Anzahl günstiger Ergebnisse:\\ + \( \binom{6}{3} \cdot \binom{43}{3} \) + + Wahrscheinlichkeit für genau drei Richtige:\\ + \( \frac{\binom 6 3 \cdot \binom{43}{3}}{\binom{49}{6}} = \frac{6!^2 \cdot 43!^2}{3!^3 \cdot 40! \cdot 49!} = \frac{8815}{499422} \) + + \underline{Bem.:} \(\binom n k\) ist die Anzahl der Möglichkeiten, eine k-elementige Teilmenge aus einer n-elementigen Menge zu wählen. + + \underline{Bsp.:} Wieviele Bitstrings der Länge 8 mit fünf Einsen (und drei Nullen) gibt es?\\ + Menge der Indizes = \( \{0,1,...,7\} \)\\ + Ergebnis = Anzahl fünfelementiger Teilmengen von \(\{ 0,1,...,7\}\)\\ + = \(\binom 8 5 = \binom{8}{8-5} = \binom{8}{3} = 56\)\\ + \( \binom 8 5 = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot (n-(n-)k)!} = \binom{n}{n-k} \) + \item \underline{ungeordnet, mit zurücklegen}\\ + mit \( x_i \in \mathbb N, \sum\limits_{i=1}^{n} = k\) (Gesamtzahl gezogener Objekte)\\ + Bsp.: 5 Objekte, ziehe 8\\ + \begin{tabular}{c|c} + Objekt & Anzahl\\ + 1 & 3\\ + 2 & 0\\ + 3 & 1\\ + 4 & 2\\ + 5 & 2 + \end{tabular} + \( \Rightarrow \) \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline1&1&1&3&4&4&5&5\\\hline\end{tabular}\\ + Anzahl der Ergebnisse = \( \binom{k+n-1}{n-1} = \binom{k+n-1}{n} \) +\end{enumerate} + +\underline{Zusatz:} Ziehen aus einer Menge von Objekten, die nicht alle verschieden sind, am Beispiel des Algorithmus Permutations.\\ +Eingabe: l Ziffern mit Häufigkeiten \( n_9,...,n_l \) mit \( \sum\limits_{i=1}^{l} n_i = n \).\\ +Gesucht: Anzahl der der Zahlen, die sich aus diesen Ziffern bilden lassen.\\ +Das entspricht dem Fall „geordnet, ohne zurücklegen“.\\ +Nehme zunächst an, dass alle Ziffern unterscheidbar sind. Zähle diese Möglichkeiten und vergesse anschließend die Idendität gleicher Ziffern.\\ +Anzahl der Möglichkeiten im Zwischenschritt:\\ +\( n ^ {\underline{n}} = n! \)\\ +\underline{Bsp.:} alle Ziffern \( 1,1,2,...,n-1\) (nur die 1 kommt doppelt vor)\\ +Zwischenschritt: +\begin{itemize} + \item ersetze \( 1,1 \) durch \( 1a,1b\) + \item zu jeder Kombination \(X\) der Ziffern gibt es genau eine Kombination \(X'\), bei der lediglich $1a$ und $1b$ vertauscht sind. + \item Vergisst man die Identität von \(1a,1b\) dann führen $X$ und $X'$ auf dieselbe Kombination des ursprünglichen Problems + \item[\(\Rightarrow\)] Anzahl der möglichkeiten im Ursprünglichen Problem \( = \frac{1}{2} \cdot n! \) +\end{itemize} +Im allgemeinen Fall:\\ +Ziffern i mit Häufigkeit $n_i$ können beliebig untereinander ausgetauscht werden \(\rightarrow n_i!\) Permutationen\\ +\(\Rightarrow \) Endergebnis: \( \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_l!} = \frac{n!}{\prod\limits_{i=1}^{l} n_i! } \) + +\underline{Bsp.:} Aufgabe 7.1\\ +\(1,1,3,3,3\)\\ +\( \Rightarrow \frac{5!}{2! 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \) \checkmark + +\underline{Bsp.:} John hat 4 Büchsen Gulaschsuppe, 2 Dosen Ravioli und eine Fertigpizza. Wieviele Wochenspeisepläne sind möglich?\\ +\( \rightarrow \) Ziehen ohne zurücklegen, geordnet, mit ununterscheidbaren Objekten. + +Bei Unterscheidbaren Mahlzeiten:\\ +\spa Anzahl Speisepläne \( = 7^{\underline{7}} = 7! \)\\ +bei Unterscheidbaren Mahlzeiten:\\ +\spa Anzahl der Speisepläne \( = \frac{7!}{4! 2! 1!} = 7 \cdot 3 \cdot 5\)\\ +\spa \( = 105\) + +\underline{einige Eigenschaften der Binomialkoeffizienten}\\ +fall \( n,j \in \mathbb N, n \ge k\): +\spa \( \binom n k := \frac{n!}{k! (n-k)!} \)\\ +allgemeiner:\\ +\spa \( \alpha \in \mathbb R , k \in \mathbb N \)\\ +\spa \( \binom \alpha k := \prod\limits_{j=1}^{k} \frac{\alpha + 1 - j}{j} = \frac{\alpha \cdot (\alpha -1) \cdot ... \cdot (\alpha +1 - k) }{k \cdot (k-1) \cdot ... \cdot 1} \) + +im Folgenden ist jeweils \( \alpha \in \mathbb R; k,n \in \mathbb N\) + +\begin{enumerate} + \item \( \binom n k = 0 \quad \text{ falls } 0 \le n < k \)\\ + z.\,B. \( \binom 3 5 = \frac{3\cdot 2 \cdot 1 \cdot 0 \cdot (-1)}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 0 \) + \item \( \binom n k = \binom n {n-k} \) \spa (Symmetrie) + \item \( \binom \alpha k = \frac{\alpha \cdot ... \cdot ( \alpha +1-k)}{k ... 1} \)\\ + \( = \frac{\alpha + 1 - k }{k} \frac{\alpha ... (\alpha+2-k)}{(k-1) ... 1} \)\\ + \( = \frac{\alpha + 1 -k}{k} \cdot \binom \alpha {k-1} \) + \item \( \binom \alpha k = \frac{\alpha}{k} \cdot \frac{(\alpha-1) ... ( \alpha +1-k)}{(k-1) ... 1} \)\\ + \( = \frac{\alpha}{k} \binom{\alpha-1}{k-1} \) + \item Summenformel:\\ + \( \binom \alpha k + \binom \alpha {k-1} \underset{3.}{=} \frac{\alpha + 1-k}{k} \binom{\alpha}{k-1} + \binom{\alpha}{k-1} \)\\ + \( = \frac{\alpha + 1}{k} \binom \alpha {k-1} \underbrace{-\frac{k}{k} \binom \alpha {k-1} + \binom \alpha {k-1}}_{=0} \)\\ + \( \underset{4.}{=} \binom {\alpha+1} k \) + + \( \rightarrow \) Pascalsches Dreieck + %% TODO pascalsches dreieck %% +\end{enumerate} + +\underline{Binomealtheorem}\\ +\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)\\ +\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)\\ +\((a+b)^n = (a+b)(a+b) ... (a+b) \) + +Ausmultiplizieren von \( (a+b)^n\) liefert eine Summe von Termen der Form\\ +\spa \( x_1 x_2 ... x_n \text{ mit } x_i = a \text{ oder } x_i = b \);\\ +jede Kombination kommt einmal vor.\\ +\(\Rightarrow\) Der Wert von \( x_1 x_2 ... x_n \) hängt nur von der \underline{Anzahl} der enthaltenen a's und b's ab.\\ +\( (a + b )^n = \sum\limits_{k=0}^{n} a^{n-k} b^k \) + +Folgerung:\\ +\( (1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} 1^{n-k} x ^ k \) \\ +\( = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom n k \cdot x^k \)\\ +\( \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{n} \binom n k = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom n k 1^k = (1+1)^n = 2^n \)\\ +\spa \( \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k \binom n k = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom n k \cdot (-1)^k = (1+(-1))^n = 0\) + +\underline{Monotone Gitterwege} + +Gegeben sein ein Rechtwinkliges Gitter.\\ +\includegraphics[height=3cm]{bilder/5-3-1_monotone_gitterwege.pdf}\\ +Gesucht: Anzahl der kürzesten Wege von (0,0) nach (b,a); die Länge der kürzesten Wege ist \( l = a + b \).\\ +Die Anzahl kürzester Wege sei\( w(a,l) \) + +falls \( a = 0 : w(0,l) = 1 \)\\ +falls \( b = 0 : w(a,a) = 1 \)\\ +falls \( a >0, b>0 \) + +\( w(a,l) = w(a,l-1) + w(a-1,l-1) \)\\ +Beh.:\\ +\( w(a,l) \overset{!}{=} \binom l a \underset{\text{symmetrie}}{=} \binom l b\) + +Beweis mit vollständiger Induktion, Induktionsschritt:\\ +\( w(a,l-1) + w(a-1,l-1) \)\\ +\( \underset{\text{I.V.}}{=} \binom {l-1} a + \binom {l-1}{a-1} \)\\ +\( = \binom l a \) \checkmark + +\newpage + +\section{Zahlentheorie} + +\subsection{Teilbarkeit} + +\defin Es seien \( m,n \in \mathbb Z \).\\ +\begin{enumerate} + \item \(m|n : \Leftrightarrow m\) ist Teiler $n$.\\ + :\( \Leftrightarrow \exists t \in \mathbb Z: m\cdot t = n\). + \item \(T_m := \{ k \mid k \in \mathbb Z, k >0 , k|m \} \)\\ + ist die Menge aller positiven Teiler von $m$ + \item \( T_{m,n} := T_m \cap T_n\)\\ + ist die Menge der gemeinsamen (positiven) Teiler von $m$ und $n$.\\ + \underline{Bsp.:} + \begin{itemize} + \item \( 3|12, \text{ denn } 3 \cdot 4 = 12 \) + \item \( 5 \not| 12 \) + \item \( T_{12} = \{1,2,3,4,6,12 \} \)\\ + \( T_{18} = \{1,2,3,6,9,18\} \) + \item \( \forall m \in \mathbb Z : 1|m, \text{ denn } 1 \cdot m = m\)\\ + \( m | m \) + \item \( \forall m \in Z : m|0, \text{ denn } 0 \cdot m = 0 \)\\ + \( \rightarrow T_0 = \{ t \in \mathbb Z \mid t > 0 \} \)\\ + \( T_{0,n} = T_0 \cap T_n = T_n \) + \end{itemize} +\end{enumerate} + +\defin Divisionsrest\\ +Es seien \( m,n \in \mathbb Z, m>0 \).\\ +Der \underline{Rest} bei Division $n$ durch $m$ ist \( n \mod m := n-\lfloor \frac{n}{m} \rfloor m\).\\ +(\( \lfloor x \rfloor \) bedeutet Abrunden, also:\\ +\( \lfloor x \rfloor\) ist die größte ganze Zahl $y$ mit \( y \le x \);\\ +\(\lceil x \rceil \) ist die kleinste Zahl \( z \in \mathbb Z \text{ mit } z \ge x \)) + +\underline{Bez.:} \( n \mod m\) „n modulo m“\\ +\underline{Bsp.:} +\begin{itemize} + \item \( 7 \mod 3 = 7 - \lfloor \frac{7}{3} \rfloor \cdot 3 = 7 - \lfloor 2+\frac{1}{3} \rfloor \cdot 3 = 7 - 2 \cdot 3 = 1 \) + \item \(-7 \mod 3 = -7 - \lfloor -2-\frac{1}{3} \rfloor \cdot 3 \)\\ + \( = -7 - (-3) \cdot 3 = -7 + 9 = 2 \) +\end{itemize} + +\underline{Folgerung:} +\begin{itemize} + \item falls \( m|n, t \cdot m = n \)\\ + \( n \mod m = n - \lfloor \frac{n}{m} \rfloor \cdot m \)\\ + \( = n -m \lfloor t \rfloor m = n - t \cdot m = 0 \) + \item \( r := n \mod m \in \{ 0, ... m-1 \} \):\\ + \begin{enumerate} + \item \( r \ge 0 \): + \( \lfloor \frac{n}{m} \rfloor \le \frac n m \rightarrow r = \lfloor \frac n m \rfloor m \overset{m>0}{\ge} n - \frac n m \cdot m = 0 \) + \item \( r 0, m|k und n|k \} \) ist das \underline{kleinste gemeinsame Vielfache} von m und n.\\ +\underline{Bsp.:}\\ +ggT(12,18) = max( \( T_{12} \cap T_{18} \) ) = max(\(\{1,2,3,5\}\)) = 6\\ +kgV(12,18) = \( 36 ( 12 \cdot 3 = 35, 18 \cdot 2 = 36) \) + +\textbf{Beh.:} Für alle \( a \in \mathbb Z \) ist \(T_{min} = T_{m,n-a\cdot m} \) +\begin{enumerate} + \item \( T_{m,n} \le T_{m,n-m\cdot a} \)\\ + Es sei \(x \in T_{m,n} \);\\ + \( t,s \in \mathbb Z \text{ mit } t\cdot x = m, s\cdot x = n. \)\\ + \( x|m \) \checkmark \\ + \( x|n-a\cdot m \):\\ + \( (s - a \cdot t) \cdot x = n -a \cdot m \)\\ + \( \Rightarrow x \in T_{m,n-a\cdot m}\) ,\\ + d.\,h. \( T_{m,n} \le T_{m,n - a\cdot m} \) + \item \( T_{m,n} \ge T_{m,n-a\cdot m} \)\\ + Es sei \( x \in T_{m,n-a\cdot m}\),\\ + \( t,s \in \mathbb Z \text{ mit } x \cdot t = , x \cdot s = n-a\cdot m \)\\ + \( x \in T_{m,n}\):\\ + \( x|m \) \checkmark\\ + \( x|n: ( s +a \cdot t ) \cdot x = n \)\\ + \( \rightarrow T_{m,n} \supseteq T_{m,n-a\cdot m}\),\\ + \( T_{m,n} = T_{m,n-a\cdot m} \) + + Folgerung: \( T_{m,n} = T_{m,n- \lfloor \frac n m \rfloor \cdot m} \)\\ + \( = T_{m,n \mod m} \),\\ + \(ggT(m,n) =max T_{m,n} \)\\ + \( = max T_{m,n \mod m} \)\\ + \( = max T_{n \mod m,m} \)\\ + \( ggT(n \mod m , m )\) +\end{enumerate} + +\underline{Anwendung:} Euklidscher Algorithmus zur Bestimmung des ggT. + +\begin{itemize} + \item rekursive Formulierung:\\ + Eingabe: \( m,n \in \mathbb Z, m,n \ge 0, (m,n) \ne (0,0) \)\\ + E{\tiny UKLID}(m,n)\\ + \spa if \( m = 0\) then return n\\ + \spa else return E{\tiny UKLID}(\( n \mod m, m \))\\ + \underline{Bsp.:} ggT(18,12)\\ + \( = ggt( \underbrace{12 \mod 18}_{=12}, 18) \)\\ + \( = ggt( \underbrace{18 \mod 12}_{=6}, 12) \)\\ + \( = ggt( \underbrace{12 \mod 6}_{=0}, 6) \)\\ + \( = 6 \) + \item iterative Formulierung:\\ + E{\tiny UKLID1}(m,n)\\ + \spa while $m \ne 0$ \\ + \spa\spa tmp := m\\ + \spa\spa m := n mod m\\ + \spa\spa n := tmp\\ + \spa return n +\end{itemize} + +\textbf{Beh.:} Für alle Zahlen \( m,n \in \mathbb Z, (m,n) \ne (0,0), 0 \le m \le n \le 2^c\) (für ein \( c \in \mathbb N \)) sei \( R(m,n)\) die Anzahl rekursiver Aufrufe bei der Berechnung E{\tiny UKLID}(n mod m,m)\\ +Dann ist \( R(m,n) \le 2\cdot c + 1\).\\ +Beweis mit vollständiger Induktion über $c$:\\ +\textbf{IA}: \( c = 0 \) +\begin{itemize} + \item[\(\Rightarrow\)] \( n = 1, m \in 0,1 \). + \item[1.] \( ggT(0,1) = 1 \)\\ + \(\rightarrow R(0,1) = 0\) + \item[2.] \( ggt(1,1) = ggT(0,1) = 1\) \\ + \( \rightarrow R(1,1) = 1 \le 2 \cdot 0 + 1 \) \checkmark +\end{itemize} +\textbf{IS}: \( 0 \le m \le n \le 2^{c+1}\)\\ + z.z. \( R(m,n) \le (2(c+1) +1) \)\ + \( ggT(m,n) = ggT(n \mod m, m)\)\\ + \( = ggT(\underbrace{m \mod (n \mod m)}_{=:m'}, \underbrace{n \mod m}_{=: n'}) \)\\ + \( \Rightarrow m' < m \);\\ + \( \quad n' \le \frac n 2 \le 2^c\)\\ + \underline{Fall 1:} \( 2m > n \):\\ + \spa \( n < 2m \rightarrow n \mod m = n-m < n - \frac n 2 = \frac n 2\)\\ + \underline{Fall 2:} \( 2m < n \):\\ + \spa \( \Rightarrow n \mod m \le m-1 < m \le \frac n 2\) + +Also: Nach den ersten zwei rekursiven Aufrufen gilt: \( 0 \le m' \le n' \le \frac n 2 \le 2^c\).\\ +Wegen Induktionsvorraussetzung gilt also +\begin{align*} +R(m',n') &\le 2\cdot c +1\\ +\Rightarrow R(m,n) &\le 2 + R(m',n')\\ + &\le 2 \cdot (c + 1) +1. \quad \checkmark +\end{align*} + +Die Laufzeit von E{\tiny UKLID}(m,n) ist also \( \le 2 \cdot \lceil \log_2 max\{m,n\} \rceil + 2\) + +\underline{Der erweiterte Euklidsche Algorithmus}\\ +\underline{Beh.:} \( \exists x,y \in \mathbb Z : ggT(m,n) = x \cdot m + y \cdot n \)\\ +Beweis:\\ +\underline{Fall 1:} \( m = 0 \Rightarrow ggT(m,n) = ggT(0,n) = n = 0 \cdot m + 1 \cdot n\), d.\,h. wähle \( x:= 0, y:= 1\).\\ +\underline{Fall 2:} \( m > 0 \Rightarrow ggT(m,n) = ggT(n \mod m, m) \) + +Beweis mit volständiger Induktion:\\ +\textbf{IA:} \( m = 0\) \checkmark (s.\,o.)\\ +\textbf{IS:} IV: \( \forall m' < m : \exists x,y \in \mathbb Z : ggT(m',n) = x \cdot m' + y \cdot n \).\\ +z.\,z.: Dann gilt:\\ +\spa \(\exists x', y' \in \mathbb Z: x' \cdot m + y' \cdot n = ggT(m,n) \)\\ +\(ggT(m,n) = ggT(\underbrace{n \mod m}_{=: m', m' p_1 \).\\ +\spa \( \curvearrowright p_1 | q_1 - p_1 \curvearrowright p_1 | q_1\), aber \( p_1 < q_i \Rightarrow \) Widerspruch. + +3. Fall: \( p_1 > q_1 \): analofg zu Fall 2. + +\( \Rightarrow \) PFZ von \(n+1\) ist eindeutig. \(\square\) + +Häufig faßt man gleiche Primfaktoren zu Potenzen zusammen:\\ +\( n = \sum\limits_{i=1}^{n} p_{i}^{e_i} \quad \text{ mit } p_1 < p_2 < \dots < p_k \)\\ +Ist \( p_i \not | n\), muss natürlich \(e_i = 0\) sein. + +Es ist nützlich, \underline{alle} Primzahlen in das Produkt aufzunehmen:\\ +\( n = \prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i^{e_i} \)\\ +Wir können jede Zahl \( n \in \mathbb N, n > 0 \) durch die unendliche folge \( e_1,e_2,e_3, \dots\) von Exponenten in der PFZ darstellen. + +Definiere die Hilfsfunktion\\ +\( P(n) := (e_1,e_2,e_3,\dots \)\\ +(„P liefert die PFZ einer beliebigen Zahl“) + +P ist eine Bijektion, da die PFZ eineindeutig ist.\\ +\underline{Rechenregeln für P:}\\ +(Es seien \(P(m) = ( m_1,m_2,m_3,\dots) \)\\ +\spa und \( P(n) = ( n_1,n_2,n_3,\dots) \)) +\begin{itemize} + \item \(P(m \cdot n) = ? \) \\ + \(m \cdot n = (\prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i ^{m_i})(\prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i ^{n_i})\) \\ + \( = \prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i ^{m_i + n_i} \)\\ + \( \Rightarrow P(m \cdot n) = (m_1 + n_1, m_2+n_2, m_3+n_3, \dots) \) + \item falls \( n | m: P(\frac{m}{n}) = (m_1-n_1,m_2-n_2,m_3-n_3)\) (analog) + \item \( P( ggT(m,n) ) = ? \)\\ + \( ggT(m,n) = ggT(\prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i^{m_i},\prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i^{n_i}) \)\\ + \( = \prod\limits_{i=1}{\infty} p_i^{min(m_i,n_i)} \) + \( \curvearrowright P(ggT(m,n)) = (min(m_1,n_1),min(m_2,n_2),min(m_3,n_3),\dots )\) + \item \( P(kgV(m,n)) = (max(m_1,n_1),max(m_2,n_2),max(m_3,n_3),\dots )\) + \item \(P(ggT(m,n) \cdot kgV(m,n)) = (min(m_1,n_1) + max(m_1,n_1),min(m_2,n_2) + max(m_2,n_2),min(m_3,n_3) + max(m_3,n_3),\dots )\)\\ + \( = (m_1 + n_1, m_2+n_2, \dots) \)\\ + \( = P(m,n)\) +\end{itemize} +P ist injektiv \( \Rightarrow ggT(m,n) \cdot kgV(m,n) = m \cdot n \)\\ +\( kgV(m,n) = \frac{m \cdot n}{ggT(m,n)} \)\\ +(Kann mit E{\tiny UKLID} berechnet werden.) + +Anwendung der PFZ:\\ +\( \sqrt{2} \) ist irrational (d.\,h. nicht rational, d.\,h. kein Bruch)\\ +Annahme: \( \exists \frac{a}{b} \in \mathbb Q: \left( \frac{a}{b} \right) ^2 = 2 \)\\ +\( \Rightarrow \underbrace{a^2}_{\text{gerade..}} = \underbrace{2 b^2}_{\text{ungerade..}} \)\\ +.. Anzahl an Zweiern in der PFZ\\ +aber PFZ ist eindeutig\\ +\( \Rightarrow a^2 \ne 2b^2\)\\ +\( \rightarrow\) Widerspruch, \( \sqrt{2} \not\in \mathbb Q \) + +\defin Zwei Zahlen \(m,n \in \mathbb N; m,n > 0\) mit \(ggT(m,n) = 1\) heißen \underline{teilerfremd}. (Abk.: \( m \perp n \) ) + +\underline{Bsp.:} Ein Bruch \( \frac{a}{b} \) ist vollständig gekürtzt, wenn \( a \perp b\).\\ +\( \frac{16}{9} \) ist vollständig gekürzt, \( 16 \perp 9 \). + +Frage: Warum gibt es unendlich viele Primzahlen?\\ +Annahme: Es gibt nur k verschiedene Primzahlen \(p_1, \dots, p_k \)\\ +Konstruiere eine weitere Prizahl \( P := p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k + 1 \)\\ +\begin{itemize} + \item p ist nicht teilbar durch \( p_1,p_2, \dots, p_k \) + \item also: Die PFZ von p enthält keine der Primzahlen \( p_1, \cdot , p_k\), also muss sie aus „neuen“ Primzahlen bestehen. +\end{itemize} +\(\Rightarrow \) Widerspruch. \(\square\) + +\underline{Primzahlsatz:}\\ +\( \pi(n) := \left| \{ p \le n \mid p \text{ ist Primzahl } \} \right| \)\\ +(Anzahl Primzahlen \( \le n \))\\ +\( \pi(n) \underset{\text{asymptotisch äquivalent}}{\sim} \frac{n}{\log n} \left( \pi(n) \cdot \frac{\log n}{n} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 1 \right)\) + +\subsection{Kongruenzen} + +Es seien \( a,b,m \in \mathbb Z, m > 0 \).\\ +\( a \equiv b (\mod m) : \Leftrightarrow a \mod m = b \mod m \Leftrightarrow m | (a-b) \)\\ +„a ist kongruent zu b modulo m“ + +Wir haben bereits gesehen (Aufgabe 3.5 zur Vorlesung) dass \(\equiv\) (mod m) eine Äquivalenzrelation ist. Diese hat m verschiedene Äquivalenzklassen:\\ +\( [0]_{\equiv \mod m} = \{ t \cdot m + 0 \mid t \in \mathbb Z \} \)\\ +\( [1]_{\equiv \mod m} = \{ t \cdot m + 1 \mid t \in \mathbb Z \} \)\\ +...\\ +\( [m-1]_{\equiv \mod m} = \{ t \cdot m + (m-1) \mid t \in \mathbb Z \} \) + +\underline{zum Rechnen mit Resten:}\\ +\((a+b) \mod m = (a + (b \mod m) ) \mod m\):\\ +\(a + (b \mod m) = a + b - \lfloor \frac{b}{m} \rfloor m \)\\ +\( \curvearrowright (a + (b \mod m)) \mod m \)\\ +\( = (a + b - \lfloor \frac{b}{m} \rfloor m) - \lfloor \frac{a + b - \lfloor \frac{b}{m} \rfloor m}{m} \rfloor m \)\\ +\( = a+b-\lfloor \frac{b}{m} \rfloor m - (-\lfloor\frac{b}{m} + \lfloor\frac{a+b}{m}\rfloor)m \)\\ +\( = a+b- (\lfloor\frac{a+b}{m}\rfloor)m \)\\ +\( = (a+b) \mod m \) + +\( \Rightarrow (a+b) \mod m = (a + (b \mod m))\mod m \)\\ +\( = ((a \mod m) + (b \mod m) ) \mod m\)\\ +vertausche Rollen von a und b\\ +\begin{itemize} + \item analog: \( (a-b) \mod m = ( (a\mod m) - (b\mod m) ) \mod m \) + \item \((a \cdot b) \mod m = ( \underbrace{a + \dots + a}_{\text{b-mal}} ) \mod m \)\\ + \( = ( \underbrace{(a\mod m) + \dots + (a\mod m)}_{\text{b-mal}} ) \mod m\)\\ + \( = ( (a\mod m) \cdot b ) \mod m\)\\ + \( = ( (a\mod m) \cdot(b\mod m)) \mod m\) +\end{itemize} + +\underline{Bsp.:} +\( (3.8 \dot 10^9 + 378956743) \mod 5 \) \\ +\( = ((3.8 \dot 10^9 \mod 5) + (378956743 \mod 5)) \mod 5 \)\\ +\( = (0+3) \mod 5 = 3 \) + +\underline{Rechenregeln für Kongruenzen}\\ +Es seien \( a \equiv b (\mod m), c \equiv d (\mod m)\)\\ +\( \Rightarrow (a+c) \equiv b+d (\mod m)\)\\ +\spa\( (a-c) \equiv b-d (\mod m)\)\\ +\spa\( (a\cdot c) \equiv b\cdot d (\mod m)\)\\ +Beweis:\\ +\spa\( a \pm c \equiv a \pm d (\mod m)\)\\ +\(\Leftrightarrow m | \underbrace{(a \pm b) - (c \pm d)}_{= (a-b) \pm (c-d)} \)\\ +\( m | (a-b), m | (c-d) \)\\ +\( \Rightarrow m | \left[ (a-b) \pm (c-d) \right] \) \checkmark + +\( a\cdot c \equiv b \cdot d (\mod m)\)\\ +\( \Leftrightarrow m | \underbrace{a\cdot c - b \cdot d}{} \)\\ +\( = a\cdot c - b \cdot c + b \cdot c - b\cdot d \)\\ +\( = \underbrace{(a-b)}{}\cdot c + b \cdot \underbrace{(c-d)}{} \quad \Box \)\\ +\spa\spa Vielfache von m + +\underline{Inverse modulo m}\\ +Wann gibt es \( x \in \mathbb Z \) mit\\ +\spa \( a\cdot x \equiv 1 (\mod m)\) ? +\begin{itemize} + \item falls ggT(a,m) = 1:\\ + erweiterter Euklidischer Algorithmus liefert \(x,y \in \mathbb Z\) mit\\ + \spa \( a\cdot x + m \cdot y = ggT(a,m) = 1\)\\ + \( \Rightarrow \underbrace{a\cdot x = m\cdot y}_{\equiv 1} = a\cdot x (\mod m) \)\\ + \( \Rightarrow x\) aus dem erw. Eukl. Alg. ist genau das Inverse von a.\\ + Bez.: \( x = a^{-1} \) oder \( x = a^{-1}_{\mod m} \) + \item falls \( d := ggt(a,m) > 1 \):\\ + \( (a\cdot x) \mod m = \underbrace{a\cdot x - \llfloor \frac{a\cdot x}{m} \rrfloor m}_{\text{teilbar durch d}} \)\\ + \( \Rightarrow d | (a\cdot x) \mod m\),\\ + aber \( d \not| 1\)\\ + \( \Rightarrow (a\cdot x) \mod m \ne 1 \mod m \)\\ + \( \Leftrightarrow a \cdot x \not\equiv 1 (\mod m) \)\\ + Also hat a kein Inverses modulo m. +\end{itemize} +Man kann zeigen:\\ +Falls \(a \perp m\), dann gibt es ein eindeutiges Inverses \(a^{-1}_{\mod m} \in \mathbb Z_m := \{0,1,\dots,m-1\} \) + +Menge der Zahlen mit Inversen modulo m:\\ +\( \mathbb Z^x_m := \{ a \in \mathbb Z_m \mid a \perp m \} \) + +\underline{Bsp.:}\\ +\( \mathbb Z^x_2 =\{ 1 \}, Z^x_3 = \{ 1,2 \} \)\\ +\( ( 1^{-1} = 1, 2^{-1} = 2 : 2 \cdot 2 \mod 3 = 1 ) \)\\ +\( \mathbb Z^x_4 = \{1,3\}, \mathbb Z^x_5 = \{1,2,3,4\} \) \\ +\( \mathbb Z^x_6 = \{1,4,5\} \) + +Damit lassen sich lineare Kongruenzen lösen:\\ +\spa \( a\cdot x \equiv b (\mod m) \)\\ +mit \( a \in \mathbb Z^x_m, b \in \mathbb Z_m \)\\ +\spa \( x:= a^{-1} \cdot b \mod m \)\\ +\(\rightarrow a\cdot x = a(a^{-1} \cdot b) \mod m\)\\ +\spa \(\equiv \underbrace{(a\cdot a^{-1})}_{\equiv 1} \cdot b \equiv b (\mod m) \)\\ +Diese Lösung für \(x\) ist eindeutig in \(\mathbb Z_m\). + +„Wie groß ist \(\mathbb Z^x_m\)?“\\ +\defin \( \phi(m) := | \mathbb Z^x_m | \) + +\underline{Eulersche Phi-Funktion}\\ +Wir wissen: +\begin{itemize} + \item falls p Primzahl ist: \( \phi(p) = | \{1,...,p-1\} | = p-1 \). + \item für Primzahlpotenzen gilt:\\ + \( \phi(p^k) = | \mathbb Z_{p^k} \backslash \{0,p,2\cdot p, 3 \cdot p,... , p^k-p\} | \)\\ + größtes Vielfaches von \( p \le p^k \) ist \(p^k\); ... \(p < p^k\) ist \( p^k - p\)\\ + \( \curvearrowright \phi(p^k) = | \mathbb Z_{p^k} | - | \{ 0,p,2p, ... , p^k - p \}| \)\\ + \spa \( = p^k - \frac{p^k}{p} = p^k - p^{k-1} = p^k(1-\frac{1}{p}) \)\\ + \underline{Bsp.:}\\ + \(|\mathbb Z^x_{125}| = \phi(125) \)\\ + \( = \phi(5^3) = 5^3(1-\frac{1}{5}) = 100 \) + \item allgemeiner Fall: \( m = \prod\limits_{i=1}^{k} p_i^{m_i} \leftarrow \) Primfaktorzerlegung\\ + \(\phi(m) = \phi\left( \prod\limits_{i=1}^{k} p_i^{m_i}\right) = ? \)\\ + Zusammenhang zwischen\\ + \( \mathbb Z_{p_1^{m_k} ... p_k^{m_k} }^x \) und \( \mathbb Z_{p_1^{m_k} }, ...,\mathbb Z _{p_k^{m_k} }^x \) ? +\end{itemize} + +\underline{Chinesischer Restsatz}\\ +Gibt es eine Lösung \(x\) des Systems von Kongruenzen?\\ +\( c_1 \cdot x \equiv d_1 (\mod m) \)\\ +\( c_2 \cdot x \equiv d_2 (\mod n ) \)\\ +(Hierbei seien \(c_1 \in \mathbb Z^x_m, c_2 \in \mathbb Z^x_n, d_1,d_2 \in\mathbb Z\) )\\ +Multipliziere mit \( c_1^{-1} , c_2^{-1} \)\\ +\spa \(x \equiv c_1^{-1} d_1 (\mod m) \)\\ +\spa \(x \equiv c_2^{-1} d_2 (\mod m) \)\\ +setze:\\ +\spa \( a := c_1^{-1} \cdot d_1 \in \mathbb Z_m,\)\\ +\spa \( b := c_2^{-1} \cdot d_2 \)\\ +Ansatz: \(x = y \cdot m + z \cdot n \) mit \( y,z \in \mathbb Z\)\\ +\(\rightarrow x \mod m = z \cdot n \mod m \overset{!}{\equiv} a \)\\ +\spa \( x \mod n = y \cdot m \mod n \overset{!}{\equiv} b \)\\ +löse also \( z \cdot n \equiv a (\mod m) \) nach z\\ +auf, \( y \cdot m \equiv b (\mod n) \) nach y.\\ + +Falls \(m \perp n\):\\ +\spa \(z = a \cdot n^{-1}_{\mod m}, y = b \cdot m^{-1}_{\mod n} \)\\ +\( \Rightarrow x = b \cdot m^{-1}_{\mod n} \cdot m + a \cdot n^{-1}_{\mod m} \cdot n \)\\ +Man kann zeigen: x ist eindeutig bis auf Vielfache von \( m \cdot n \).\\ +Zu jedem Paar \((a,b) \in \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n \) gibt es eine eindeutige Lösung \( x \in \mathbb Z_{m\cdot n}\).\\ +Definiere die Funktion \( \psi: \mathbb Z_{m\cdot n} \to \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n \);\\ +\( \psi(x) := ( x \mod m, x \mod n) \).\\ +\(\psi\) ist also bijektiv.\\ +\( \curvearrowright | \mathbb Z_{m \cdot n} | = | \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n | = |\mathbb Z_m| \cdot |\mathbb Z_n| \) + +Eigenschaften vo \(\psi\): +\begin{itemize} + \item \(\psi\) ist bijektiv + \item \(\psi(1) = (1,1)\) \\ + \(\psi(0) = (0,0)\) + \item \(\psi((x+y) \mod (m\cdot n)) = \psi(x) +\psi(y) \),\\ + wobei \( (a,b) + (c,d) := (a+c \mod m, b+d \mod n) \) + \item \(\psi(x \cdot y) \mod (m\cdot n) = \psi(x)\cdot \psi(y) \), + mit \((a,b)(c,d) = ( (a\cdot c) \mod m, (b\cdot d) \mod n) \) +\end{itemize} +\spa \( (x \cdot y ) \mod (m\mod n) = x \cdot y - \llfloor \frac{x\cdot y}{m \cdot n} \rrfloor \cdot m \cdot n \)\\ +\( \curvearrowright (x \cdot y ) \mod (m\mod n) \equiv x \dot y (\mod m) \)\\ +\spa \( (x \cdot y ) \mod (m\mod n) \equiv x \cdot y (\mod n) \)\\ +\( \Rightarrow \psi( (x\cdot y) \mod (m\cdot n) ) = ( (x\cdot y) \mod m, (x\cdot y) \mod n ) \)\\ +\spa\spa\( = ( (x \mod m)(y\mod m) \mod m, (x \mod n)(y\mod n) \mod n) \)\\ +\spa\spa\( = \psi(x) \cdot \psi(x) \)\\ +\begin{tabular}{ccc} + Eingaben \( \in \mathbb Z_{m\cdot n} \) & \spa \( \underset{\psi}{\longrightarrow} \)\spa & Eingabe \( \in \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n \)\\[5mm] + Richtung in \( \mathbb Z_{m\cdot n} \downarrow\) & & \(\downarrow\)Richtung in \( \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n\)\\[5mm] + Ergebnis in \( \mathbb Z_{m\cdot n } \) & \spa\( \underset{\psi^{-1}}{\longleftarrow} \)\spa & Ergebnis in \(\mathbb Z_m \times \mathbb Z_n\) +\end{tabular} + +\( (x\cdot y ) \mod (m \cdot n) = 1\)\\ +\( \Leftrightarrow \psi(x) \cdot \psi(y) = \psi( (x\cdot y) \mod (m\cdot n) ) = (1,1) \)\\ +Also: \( (x_1,x_2) := \psi(x), (y_1,y_2) := \psi(y)\)\\ +\( \Rightarrow x_1 \dot y_1 \mod m = 1 \),\\ +\spa \( x_2 \dot y_2 \mod m = 1 \)\\ +also: \( x_1 \in \mathbb Z^x_m\)\\ +\spa \(x_x \in \mathbb Z^x_n\). + +\(\psi\) ist also auch eine Bijektion zwischen \(\mathbb Z^x_{m\cdot n} \) und \( \mathbb Z^x_m \times \mathbb Z^x_n \).\\ +\( \Rightarrow | \mathbb Z^x_{m\cdot n} | = | \mathbb Z^x_m \times \mathbb Z^x_n | = |\mathbb Z^x_m| \cdot |\mathbb Z^x_n| \)\\ +Konsequenz für \( \phi\left( \prod\limits_{i=1}^{k} p_i^{m_i} \right) \):\\ +\spa \( p_i^{m_i} \perp p_j^{m_j} \quad \text{ für } i \ne j \)\\ +\( \curvearrowright | \mathbb Z^x_{p_1^{m_1} ... p_k^{m_k}} | = | \mathbb Z^x_{p_1^{m_1}} | ... | \mathbb Z^x_{p_k^{m_k}} | \)\\ +\( = p_1^{m_1} \left( 1-\frac{1}{p_1} \right) ... p_k^{m_k} \left( 1-\frac{1}{p_k} \right) \)\\ +\( m \prod\limits_{p | m} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \) + +\underline{Bsp.:} \( \phi(100) = | \mathbb Z_{100}^x | \)\\ +\( = \phi(2^2 \cdot 5^2) = 100 \cdot \underbrace{(1 - \frac{1}{2})}_{=\frac{1}{2}} \cdot \underbrace{(1 - \frac{1}{5})}_{=\frac{4}{5}} \)\\ +\( = 40 \) + +\( \phi(2) = 2\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right) = 1 \)\\ +\( \phi(3) = 3\cdot \left(1-\frac{1}{3}\right) = 2 \)\\ +\( \phi(4) = 4\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right) = 2 \)\\ +\( \phi(5) = 5\cdot \left(1-\frac{1}{5}\right) = 4 \)\\ +\( \phi(6) = 6 \cdot \left(1-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(1-\frac{1}{3}\right) = 2 \) + +\newpage +\section{Algebra} + +algebraische Strukturen, Beispiele:\\ +\begin{tabular}{l|l} + Gruppe: & \( (S_n, \circ), (\mathbb Z^x_m, \cdot ), (\mathbb Z, +) \)\\ + \hline + Ring: & \( (\mathbb Z,+, \cdot) , \mathbb Z, + , \cdot ) \)\\ + \hline + Körper & \( \mathbb R, \mathbb Q, \mathbb Z_p \) (p Primzahl)\\ + \hline + Vektorräume & \( \mathbb R^3 \)\\ +\end{tabular} + +\subsection{Gruppen} + +\defin Gegeben seien eine Menge G und eine binäre Operation \(*\): \( G \times G \mapsto G \).\\ +(G,\(*\)) heißt \underline{Gruppe}, falls folgende Axiome gelten:\\ +\begin{tabular}{lll} + (G1) & \( \forall a,b,c \in G: (a * b) * c = a * ( b * c ) \) & (assoziativgesetz)\\ + (G2) & \( \exists e\in G: \forall a \in G: a * e = a \) & (neutrales Element)\\ + (G3) & \( \forall a \in G: \exists a^{-1} \in G: a \cdot a^{-1} = e \) & (Inverses)\\ + \multicolumn{3}{l}{(G,\(*\)) heißt \underline{Abelsche} oder \underline{kommutative Gruppe}, wenn zusätzlich gilt:}\\ + (G4) & \( \forall a,b \in G: a * b = b * a \). & +\end{tabular} + +\underline{Bem.:} Wenn die Verknüpfung \(*\) aus dem Kontext hervorgeht, bezeichnet man auch G als Gruppe. + +\underline{Beispiele:} +\begin{enumerate} + \item \((\mathbb Z,+)\) ist eine Kommutative Gruppe:\\ + \begin{tabular}{lll} + (G1) & \( (a+b) + c = a + (b+c) \) & \checkmark\\ + (G2) & \( a + 0 = a \) & \checkmark\\ + (G3) & \( a^{-1} := -a; a + (-a) = 0 \) & \checkmark\\ + (G4) & \( a + b = b + a \) & \checkmark + \end{tabular} + \item \( (\mathbb Z^x_m, \cdot) \)\\ + \begin{tabular}{lll} + (G1) & \( ( (a\cdot b) \mod m \cdot c ) \mod m = (a \cdot ((b\cdot c )\mod m)) \mod m \) & \checkmark\\ + (G2) & \( a \cdot 1 \mod m = a \) & \checkmark\\ + (G3) & \( \exists a^{-1} \in \mathbb Z^x_m: a\cdot a^{-1} \mod m = 1 \) & \checkmark\\ + (G4) & \( (a\cdot b) \mod m = (b\cdot a)\mod m \) & \checkmark\\ + \( \rightsquigarrow \) & \( (\mathbb Z^x_m, \cdot) \) ist eine kommutative Gruppe + \end{tabular} + \item aber: \((\mathbb Z_m,\cdot)\) ist keine Gruppe, weil z.\,B. \( 0 \in \mathbb Z_m \) kein Inverses besitzt. + \item \( (S_n, \circ)\) ist eine Gruppe, aber nicht Kommutativ:\\ + \begin{tabular}{lll} + (G1) & & \checkmark\\ + (G2) & \(id: x \mapsto x, \sigma \circ id = \sigma \) & \checkmark\\ + (G3) & \( \exists \sigma^{-1} \in S_n: \sigma \circ \sigma^{-1} = id \) & \checkmark\\ + (G4) & \( (12) \circ (23) = (123) \ne (23) \circ (12) = (132) \) & + \end{tabular} +\end{enumerate} + +Es gilt stets:\\ +\begin{enumerate} + \item \( a^{-1} * a = e \) + \item \( e * a = a^{-1} \) + \item \( ( a^{-1})^{-1} = a \) + \item \( (a*b )^{-1} = b^{-1} * a^{-1} \) +\end{enumerate} + +%TODO +%\begin{enumerate} +% \item \( a^{-1} * a = a^{-1} * \underbrace{a * +%\end{enumerate} + +Eindeutigkeit des Inversen\\ +\( \curvearrowright (a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} \Box\)\\ + +Die Gleichungen\\ +\( a * x = b, \quad y * a = b\)\\ +besitzen die eindeutigen Lösungen:\\ +\( x = a^{-1} * b, \quad y = b * a^{-1} \).\\ +(Es sei \( a * x= b = a * x' \) )\\ +\( \Rightarrow x = a^{-1} * (a * x) = a^{-1} * (a * x') = x' \)\\ +Die Eindeutigkeit von y folgt analog.\\ +Folgerung: Das neutrale Element und die inversen Elemente sind Eindeutig + +\underline{Untergruppen} + +\defin \((G,*), (U,*)\) seien Gruppen, \( U \subseteq G\) +Dann heißt U \underline{Untergruppe} von G\\ +(Schreibweise: \(U \le G\)) + +\underline{Bsp.:}\\ +\( (\mathbb Z,+) \le (\mathbb Q,+) \le (\mathbb R,+) \) +\begin{itemize} + \item Es sei G eine endliche Gruppe, \( a \in G \).\\ + \( := \{a^0,a,a^2,a^3,... \} \)\\ + ( \( a^n = \underbrace{a * ... * a}_{\text{n-mal a}} \) )\\ + \( a^0 = e \) + \( \) heißt die von a \underline{erzeugte Gruppe}.\\ + \( \) ist die kleinste Untergruppe von G, die a enthält.\\ + Beispiel: \( G = \mathbb Z_7^* = \{1,2,3,4,5,6\} \)\\ + \( \curvearrowright <2> = \{1,2,2^2=4,2^3\equiv 1 (\mod 7)\} = \{1,2,4\} \),\\ + \( <2> \le \mathbb Z_7^* \)\\ + Bem.: Jede Gruppe G hat zwei triviale Untergruppen, \( G \le G \) und \( \{e\} \le G \). Alle anderen Untergruppen von G sind nichttrivial. + +\end{itemize} + +\underline{Satz von Lagrange}\\ +Es seien \(U \le G\) Gruppen , \(G\) endlich. Dann ist \( |U|\, \big|\, |G| \) , + +\defin Für \( x \in G \) definiert man die \underline{Nebenklasse} von U in G,\\ +\( x * U := \{ x * a \mid a \in U \} \)\\ +\underline{Bsp.:} \((Z_6,+) \ge <3> = \{0,3\} \)\\ +Nebenklassen von \(<3>\) in \(\mathbb Z_6 \):\\ +\( 0 + <3> = \{0+0,0+3\} = \{0,3\} = 3 + <3> \)\\ +\( 1 + <3> = \{1+0,1+3\} = \{1,4\} = 4 + <3> \)\\ +\( 2 + <3> = \{2+0,2+3\} = \{2,5\} = 5 + <3> \) + +Die Nebenklassen von \( U \text{ in } G\)bilden eine Partition von \(G\):\\ +\begin{enumerate} + \item Überdeckung: \( \underset{x \in G}{\cup} (x*U) \overset{!}{=}G \)\\ + Es sei \( x\in G\) beliebig gewählt.\\ + \( \Rightarrow x \in x * U\), denn \( x = x * e \in x * U\)\\ + \( \curvearrowright G \subseteq \underset{c \in G}{\cup} (x * U) \) \checkmark + \item Disjunktheit:\\ + Es sei \( z \in (x * U ) \land (y * U) \ne \emptyset \)\\ + zu zeigen: \( x * U = y * U\)\\ + (wir zeigen: \(x * U \subseteq y * U; x * U \supseteq y * U \) folgt analog )\\ + Es sei \( a \in x * U, a = x * a_x\) mit \( a_x \in U \).\\ + \( z = x * z_x = y * z_y, \text{ wobei } x_z,z_y \in U. \)\\ + \( a = x * a_x = ( x * z_x) * z_x^{-1} * a_x \)\\ + \( = (x* \underbrace{z_y) * z_x^{-1} * a_x}_{\in U } \)\\ + \( \Rightarrow a \in y + U. \quad \Box\) + \item Alle Nebenklassen \( x * I \) sind gleichmächtig.\\ + (Beweisidee: Finde eine Bijektion zwischen \(x * U \) und \(e*U, |e*U| = |U|\)) +\end{enumerate} + +\underline{Beweis des Satzes von Lagrange} + +Wähle \( M \subseteq G\), so dass:\\ +\spa \( G = \underset{x\in M}{\uplus} (x*U) \) d.\,h. \( x_1 * U \ne x_2 * U, \text{ für } x_1 \ne x_2\)\\ +\( |G| = \sum\limits_{x\in M} |x*U| = \sum\limits_{x \in M} |U| = |M| \cdot |U|\)\\ +\( \rightarrow |U| \cdot |G| \quad \Box \) + +Es sei G eine endliche Gruppe, \( a \in G \).\\ +Betrachte \( := \{a^0,a^1,a^2,...\} \)\\ +G ist endlich. \( \Rightarrow \exists s,t \in \mathbb N: a^s = a^t , s < t \).\\ +\(\Rightarrow a^{t-s} = e \)\\ +D.\,h. \( \exists n>0: a^n = e \quad (n=t-s) \) + +\defin Die \underline{Ordnung} von \(a\), \(ord(a)\) ist die kleinste Zahl \( n>0 \), so dass \(a^n = e\).\\ +\(\Rightarrow = \{ a^1,a^2,a^3,...,a^{ord(a)} = e \}\)\\ +also: \(|| = ord(a) \) + +\underline{Folgerung:}\\ +\( \le G \overset{\text{Lagrange}}{\Rightarrow} |G| = m \cdot ||, \)\\ +\( a^{|G|} = \left(a^{||}\right)^m = \underbrace{\left( a^{ord(a)} \right)^m}_{=e} = e. \) + +\underline{Beispiele:} +\begin{itemize} + \item \underline{Satz von Fermat}\\ + Es sei p eine Primzahl, \( a \in \{ 1,...,p-1\} \).\\ + \( \Rightarrow a^{p-1} = a^{|\mathbb Z_p^x|} \equiv 1 (\mod p)\). + \item \underline{Satz von Euler}:\\ + Es sei \( n>1; |\mathbb Z_n^x| = \phi(n), a \in \mathbb Z_n^x \)\\ + \(\rightarrow a^{\phi(n)} = a^{|\mathbb Z_n^x|} \equiv 1 (\mod n)\) +\end{itemize} + +\underline{Beispiel:}\\ +\( 7^{243} \mod 300 = ? \)\\ +\( |\mathbb Z_{300}^x| = \phi(300) = \phi(2^2 \cdot 3 \cdot 5^2) \)\\ +\( = 300 \cdot (1-\frac 1 2) \cdot (1-\frac 1 3) \cdot (1-\frac 1 5) \)\\ +\( = 300 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = 10 \cdot 2 \cdot 4 = 80 \)\\ +\( \underset{7 \perp 300}{\overset{\text{Euler}}{\rightarrow}} 7^{80} \equiv 1 ( \mod 300),\)\\ +\( 7^{243} = \underbrace{(7^{80})^3}_{\equiv 1} \cdot 7^3 \equiv 7^3\equiv 343 (\mod 300) \equiv 43 (\mod 300) \) + +n zusammengesetz, keine Camichael-Zahl:\\ +\( U:= \{ a\in \mathbb Z_n^x \mid a^{n-1} \equiv 1 (\mod n) \} \ne \mathbb Z_n^x\)\\ +Falls \( U\le \mathbb Z_n^x \):\\ +\( |u| \big| | \mathbb Z_n^x| \rightarrow | \mathbb Z_n^x | = m \cdot |U| \)\\ +\( \rightarrow |U| \le \frac 1 2 | \mathbb Z_n^x| \) + +Ist \( U \le \mathbb Z_n^x \)?\\ +\( \mathbb Z_n^x\) ist endlich \(\Rightarrow\) Prüfe (G0) !\\ +Wähle \(a,b \in U\) beliebig.\\ +\( \Rightarrow (ab)^{n-1} = \underbrace{a^{n-1}}_{\equiv 1} \cdot \underbrace{b^{n-1}}_{\equiv 1} \equiv 1 (\mod n) \)\\ +\(\Rightarrow ab \in I\), also: \( U \le G = \mathbb Z_n^x\) + +\underline{RSA-Public-Key-Kryptosystem} + +geheime Nachricht: \(m \in \mathbb Z_n\)\\ +verschlüsselte Nachricht: \( c \in \mathbb Z_n \) + +Schlüsselkonstruktion:\\ +\begin{enumerate} + \item Primzahlen \(p\ne q, n := p\cdot q\)\\ + \( \phi(n) = n(1-\frac 1 p)(1- \frac 1 q) = (p-1)(q-1)\) + \item geheimer Schlüssel:\\ + Zufallszahl \(d\) (für „decryption“)\\ + \(\in \mathbb Z_{\phi(n)}^x\) + \item öffentlicher Schlüssel:\\ + \( (\underbrace{d^{-1}_{\mod \phi(n)}}_{mit Euklid} , n) \)\\ + „encryption“ := e +\end{enumerate} +Protokoll:\\ +\begin{tabular}{ccc} + A & & B\\ + && \(m\)\\ + && \( \rightarrow c := m^e (\mod n)\)\\ + & \(\swarrow\) & \\ + berechtet && \\ + \(c^d \mod n = m\) && +\end{tabular} + +\underline{1. Fall:}\\ +\begin{align*} + m \perp n, m \in \mathbb Z_n^x\\ + \Rightarrow c^d \equiv (m^e)^d &\equiv m^{e\cdot d} (\mod n)\\ + m^{\mathbb Z_n^x} = m^{\phi(n)} &\equiv 1 (\mod n)\\ + \rightarrow c^d \equiv m^{e\cdot d} &\equiv m^{(e\cdot d) \mod \phi(n)} \equiv m^1 (\mod n) +\end{align*} + +\underline{2. Fall:}\\ +\(ggT(m,n) > 1, \text{ entweder } ggT(m,n) = p \text{ oder } ggT(m,n) = q\)\\ +hier: \( ggT(m,n) = p \) + +Chinesischer Restsatz:\\ +Der Lösung von \(x \equiv m^{e\cdot d} (\mod n) \) (t) \\ +entspricht genau einer Lösung von\\ +\( x \equiv m^{e\cdot d} (\mod p) (*)\)\\ +\( x \equiv m^{e\cdot d} (\mod q) (*)\)\\ +Wir zeigen, dass \( x = m \) die von \((*)\) ist, und deshalb auch von (t) + +\( p | m \Rightarrow m \equiv0 (\mod p) \)\\ +\( \curvearrowright m^{e\cdot d} \equiv 0^{e\cdot d} = 0 (\mod p)\)\\ +\(\Rightarrow m \equiv m^{e\cdot d} (\mod p) \);\\ +\( m \perp q; ed = 1(\mod (p-1)(q-1) )\)\\ +\(\rightarrow \exists k \in \mathbb Z: ed = 1 + k \cdot (p-1)(q-1) \)\\ +modulo \( |\mathbb Z_q^x| = \phi(q) = q-1\): +\( ed = 1 + [ k(p-1) ] \cdot (q-1) \)\\ +\( \Rightarrow ed \equiv 1 (\mod (q-1))\)\\ +\( m^{ed} \equiv m^{ed \mod q-1} \equiv m^1 (\mod q) \)\\ +also: m ist die eindeutige Lösung \( \in \mathbb Z_n\) von \((*)\). + +\( \rightarrow \) Entschlüsselung liefert tatsächlich m. + + +Entschlüsselung ist möglich, wenn \(\phi(n)\) bekannt ist. Warum ist \(\phi(n)\) schwierig zu bestimmen?\\ +Primfaktor \( \overset{\text{leicht}}{\rightarrow} \phi(n)\) \\ +Primfaktor \( \underset{\text{leicht?}}{\leftarrow} \phi(n)\) \\ +\(\phi(n) = (p-1)(q-1) \)\\ +\(\Rightarrow\) betrachte:\\ +\(f(x) = x^2 - (n-\phi(n)+1) x + n = x^2 - (pq- [ pq - p - q +1] +1 ) x + n \)\\ +\( = x^2 - (n-\phi(n)+1) x + n = x^2 - (p + q) x + pq \)\\ +\( = (x-p)(x-q) \)\\ +f(x) hat genau die Nullstellen p und q, \( \phi(n) \) zu berechnen ist also ebenso schwierig wie die PFZ zu bestimmen. + +\section{Exkurs: Polynome} + +Polynom: \( p(x) := \sum\limits_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i \) mit \( a_0, ... , a_n \in \mathbb R \)\\ +Der \underline{Grad} von \(p\) ist \(n\), falls \(a_n \ne 0 \).\\ +Abkürzung: \( n = grad(p) \) + +Aufwand zur Berechnung von \(p(x_0)\):\\ +\( p(x_0) = a_n \cdot x_0^n + a_{n-1} \cdot x_0^{n-1} + ... + a_1 \cdot x_0^1 + a_0 \)\\ +\( \Rightarrow\) Aufwand: \(n\) Additionen, \(2n-1\) Multiplikationen.\\ +effizienter: Horner-Schema\\ +\begin{align*} + p(x_0) &= \underbrace{a_n \cdot x_0^n + a_{n-1} \cdot x_0^{n-1}} + a_{n-2} \cdot x_0^{n-2} + ... + a_0\\ + &= \underbrace{ (a_n \cdot x_0 + a_{n-1} ) \cdot x_0^{n-1} + a_{n-2} \cdot x_0^{n-2} } + ... + a_0\\ + &= \underbrace{ ((a_n \cdot x_0 + a_{n-1} ) \cdot x_0 + a_{n-2} ) x_0^{n-2} + ... + a_0}\\ + &= (( ... (a_n\cdot x_0 + a_{n-1})x_0 + ... ) +a_1) x_0 + a_0 +\end{align*} +\( \Rightarrow \) Aufwand: n Additionen, n Multiplikationen + +Rechnen mit Polynomen:\\ +es seien \(a(x) := \sum\limits_{i=0}^m a_i \cdot x^i, b(x) = \sum\limits_{i=0}^n n_i \cdot x^i \)\\ +zwei Polynome, \( a_m \ne 0 \ne b_n (m \ge n) \) +\begin{itemize} + \item Summe: \(a(x) + b(x) = \sum\limits_{i=0}^m (a_i + b_i) x^i \)\\ + \((b_{n+1}, ... b_m := 0\) + \item DIfferenz: analog + \item Produkt: \(a(x) \cdot b(x) = ( \sum\limits_{i=0}^m a_i \cdot x^i)( \sum\limits_{i=0}^n b_i \cdot x^i) \)\\ + \( = \sum\limits_{i=0}^{m+n} c_i \cdot x^i \) mit \( c_i = \sum\limits_{j=0}^m a_j b_i-j\) \\ + \( b_i := 0 \text{ für } i < 0 \) + \item Division?\\ + \underline{Satz:} Es seien \(a(x), b(x)\) Polynome, \(b\ne 0\). Dann existieren Polynome \(q(x) \text{ und } r(x) \), so dass gilt:\\ + \(a(x) = q(x) \cdot b(x) + r(x) \)\\ + wobei \( r = 0\) oder \( grad(r) < grad(b) \).\\ + Beweis: ohne.\\ +\end{itemize} +\underline{Bsp.:} \( p(x) := 3x^3 + 4x^2 -5x + 1\)\\ +\( \Rightarrow ((3x+4)x-5)x+1 \)\\ +\( p(2) = \left(\left(3 \cdot 2 + 4 \right) \cdot 2 -5 \right) \cdot 2 + 1 \)\\ +\spa \( = (10 \cdot 2 - 5) \cdot 2 +1 = 15 \cdot 2 +1 = 31 \) + +\( \frac{(3x^3 + 4x^2 - 5x +1) }{x^2 - x + 1} = 3x+7 (=q(x)) \quad \text{ Rest } -x-6 (=r(x)) \) + +Häufig interessiert man sich für die Nullstellen eines Polynoms.\\ +\underline{Bsp.:}\\ +\begin{align*} + p(x) := 2x^2 - 4x +1 &\overset{!}{=} 0\\ + \Leftrightarrow x^2 - 2x + \frac 1 2 &\overset{!}{=} 0\\ + \curvearrowright x_{1/2} &= +1 \pm \sqrt{1^2 - \frac 1 2}\\ + &= 1 \pm \sqrt{\frac 1 2} +\end{align*} + +Wieviele Nullstellen kann ein Polynom \(p \ne 0\) vom Grad n besitzen?\\ +Höchstens \(n\) Nullstellen! + +Beweis: mit vollständiger Induktion nach n\\ +\textbf{I.A.} \(n=0: p(x) = a_0 \ne 0\)\\ +\( \curvearrowright \) Keine Nullstellen \checkmark + +\textbf{I.S.} Es sei \(grad(p) = n+1\): +\begin{labeling}[:]{x. Fall} + \item[1. Fall] p hat keine Nullstelle \( \rightarrow \) \checkmark + \item[2. Fall] p besitzt eine Nullstelle \(x_0\).\\ + Es sei \(p(x) = q(x)(x-x_0) +r(x) \) mit \( r\ne 0 \lor grad(r) < grad(x-x_0) = 0\)\\ + \( \curvearrowright grad(r) = 0\)\\ + \(x_0\) ist Nullstelle von \(p \rightsquigarrow\)\\ + \(p(x_0) = q(x_0)\underbrace{(x_0-x_0)}_{=0} + r(x_0) \overset{!}{=} 0 \)\\ + \( \Rightarrow r(x_0) = 0 \lor grad(r)=0 \Rightarrow r = a_0 \ne 0 \)\\ + \( \Rightarrow r = 0\),\\ + \( p(x) = q(x)(x-x_0) \), wobei \(grad(q) = grad(p) - 1 = n \)\\ + Alle weiteren Nullstellen von \(p\) sind Nullstellen von \(q\); Induktionsvorraussetzung:\\ + \spa q hat höchstens n Nullstellen.\\ + \(\Rightarrow p\) hat höchstens \(n+1\) Nullstellen \(\Box\) +\end{labeling} + +\end{document} diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..177ff9fe9d3e98178459d4405021a81a25351100 GIT binary patch literal 5660 zcmb_gdmvP48@Icu3?=D8*F($bGIQq4eI~TbAmtLK$fX=JXT~sQ#>|mPE!7f*q>CcH z64!72C2d#NcQ%y2d0$a;Sd{8d|_9)0>?BE?5aRkQ4L3hngMC03qU^IYZP>|ql8X7FaNQBCu@l~>NX$KAjGWIexdPR#R8 z**$Ge$BNY!o=38{e?I*+^|yDcci)OO4NKC5?(wmZg>Fd-D0^l&`K0p&ZpGvg%Y!z= z?%TFu$mQUI5j8tJ>VI=KD%qiS&9g9CT@b@+bL|vb2bK%lat=~18C=+qbz!SwrLcGx zd*jduldx63cS2?x83#2rzEJxH7B!oiUfEP%+vI$qA+GbDC?sQ-XyFvEiN*Eh)8B@s zUoJECsnhtcO`=><@A!FCkd*Xu9(dh;)!D}T{JuG~bp>vB_aJ*u?+Q3$RCd$cGSwl^ z#s4(=W2mL~&2q|8Ng)u}A%@s;fGE;0+AAqQ zaa5s_^=;8>y(fmF60iaxoR4%9-@Os7N2vc8B-neNC(s3p=0dn82E=o(wcLIQ0u`AY zIAN)s6Yu~w7075Lm`1LY+08-Ks1gAbzZkVzfkhEe(gqq%fYhtlmqXH<^&SyDYJICb z5|1!?z$)Rl-c@H*ixEJ>o&qQEOc!Di=zkBmIrF+j?&Da+o<_a#0^&3{InHvn_3fq{XO zfzzjF)5l2f;q>Y7VGQZx#tV%CHRQ9=<_xMz5Cx&pX%L0M0=0$B1%D7WJA{Y>nHFNR zSZpo{b|TIP5*e(3FhkX|F}W<-ddE_PDN6rd)7Yy#o90HU)%UV;z= zMF{91z#-{P1EzMATi6Skl3n>ahXWPsL!7|VmxNpB7VlXQQKbpk$0jXksowB=Ey`!9-}VdaozFpNjDQ41al2j z?%TV`naHzQr?k69#Ye z-$Sn5Q8gmsC+U5a&o@zw2bH9Ii@!ZLTswJwjd;}rBqu#aS{B-gZw{=~QdosfnMfwx z&?av2HvGC>{@YWTm@a+K&}3`Y!pHt~qQckn4ql|q-y0|@oyMV;`px?3;ho=4A$0%@%HJN}YdAUgom(dhpJ*>4VD()=rTcb(QY7K7Zs!uI<`6t^0%jJs~T6 z94bQdMB^rT7G$NYnI^cEWL4lRGT)32{d41CQrzYjKK!pm(>?OyCZ6sXwx)6Ch19!& zg;mF#DCY`~iwYb!9I=IcRpv%QqFW2Wj!e1Rtd19C=yj`Y#?h(E_GTP$R7U>de zTasP+oT;vg)J6HTtw*bD&-t-(N;G^W;=HK)bk#k_Mw6SaGaSXivgHvi8v}xkZ|+Xd zC^_4jVL93GX_vt@!ONhb30Uy?s>PaitCniV;NzS2!9&#U6W}{7w~|c0M-q)Kxz#Vt zTXIbkI&S@7@b^jX!-}@)?eXUEXSq|J$fngSiOW@%oVgzz{{6nAO6=H`i6^k`)$P=l zD`{BE6(8TvctEZ0VUMP#!C- zs#np*nX>P@R#klC@;cOf_+H;3iw<|LEXW-`;hfLDzZ$AvE;M*!u@705R-Wen_N9Er zqO0PE{@o3AH*1zDn7XG2M!nSxJ!&}%y~K!rR6(tpJ5$^_*YQzWWkz>{6?Nv#rf(#HCXc z)5qs@xK^#cW?jDBX#9fWYcfShP~x=-ooVUgs$LfjY3)oa8j>Fd$R2C1+!Z3L;XUF}>D-;kVaQD^hKBY4!ADL3}x@f?rmVGqtw zy+cO-<2;d2>ylhqaC< zniPSinE$ZMy3X(hRP+KF%tL6Wi-(l0Z$7i4!_MKPbKI!cZ`RjW*URHO9zLvjtLW&= zuP#6IgfY15T5HtIm^N;MSL5l~SmVUxQ8n4OoDNJbcW#|JGVXQeZD-T$ib-ittQt3` z3XzeP*SlM%F)nY;gq)1lq{wuZAr_OOpVAr&F6SASjEs&yLk~ubu2rU(wQU{5wX7La zV3B!i%=wh3r<#*DIN6+7p&Lrd+FV^L<(n9vp^Y1sFh4!>#k-5G2_YvFqTCNW%Tj;0 zxiv)dU`_r}P1q%hrjc&lImgeZs;2Jo59j#Tz*8jwUG6T z=iXyxz9yY@Uw9-E-?pbQ#BOHMw$jQ1ijTK$PwQ;7X3gFjn57up0+W-)1$u& zWFYTb68l*?H7bq-Kj&efqgFbQ+m4>!LJm*2UN~MUD;}D(7qaqZ9F$0onK)VyG(nLZCl}!d)Y9vy=FPM9JHUwV| z2Eyf05CjXO(7;3CpmcT^Cgss+ z3|gNi^#BV$Pz4r%E(U-Ayz#+ICy5bb8V9o5JP*h%T&2Z(CI^U1M7)BlGG=v6@Nujev2#e2R@fq~#G=xv1*~1@k0+$0(0l0Sn z_YnVw=m5?EqAHCD1cKvyWu#ISt8@YboLr3JzzIG2^g_Kn_Aud>0kC{Qpis4^=YNMP zDvF3;f{!m$iDQT<(_Q#~#>W?QsYKjwraDHW(5HYz3}ZcWuNHU}0d`8ne5pzkg@OP^ z-$M$6=p#GYgGDfXDlkWVf;lPho)?9jNEp5XRmvR5I*J67qA?1b3|ynl;37gF zwIGIxw6GKMiJU?ZIvZiJSo(A#(`aPC2GZ`oa`fMW=rov=1jaiqiKsn24>8~|SdbLz zqp>-_LgImxeKZ!04hFIhX*4!*lU_Ne6cmAJI6BPh~mWPiP38 z2gdo2WO>9T(T6mIg?!4#Wqra&<9V+K;Vgv7A=%itc)ODR1C$vtg8%>k literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/2.6_koordinatensystem_zylinder.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/2.6_koordinatensystem_zylinder.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d5c2362db605deee9cd5e441938fa912f48b3cde GIT binary patch literal 2675 zcmb_eZEO=|90yU9Qvp$NfW{}7d7x{byI!wvYj2Kq-4@nS+5t=E2-oY=?%4IN-d$}s z0s%3~L_`U}C6y;u0efk%<4hwR?jgANG9d)Bp4P zzrS5&EF5vLPB&HAe_``3ibo96k}IiT5H}MwV|F4BP~tcuD<;tqjwqr@!bH+iL=Y&$ z)QOm-iaS;(YFmylcO5);fA_lHj_RkEAAarE!;>Csn|h$}z=M~B7EjaXb7Or=cQzm8 zT6%h?Fz;OcbD(GHwA(lJpUh3!7XSLi$(1|Tzd3#P)L-74*!RTzGmWQDo(~;7vU%-3 z;X7&fsrdPsy+@;`FVFtzmRVIhD%bFl7oP85>*qE^7N?J$J@J`){n_3f9~6$4HUn9Q{To3c=46$7?^S0&dk zIeAh2?OZPNzP|IyRo~@*=KQs2|7oJ8N+E}vl_o1W)-UH_sS?ROoWa)a9KkU$LvWO& zWO0F3MC}Yb^M2mx@*$s_b^81r6hL&MnuxP9P2o5(w7f1618N|qYf^%k?HH;Afb~VQ zAz?xVAfJte62NtuY67=`tkQ{7Kq?txi5n~>ge^;uZHj^LLOEricFHm|PIVxVkO%GT z2v&B8wZvH`nxdj*$|6dZMu{n=;05`|sP>NLAGVvqi(*kwgdcT_aGz8WFNf97QqbNZXBPAYw?Nxpnd8$Xp9h z3>34uEVz$~Sw%Gh#Sm??1mJFwF^z19*%hMOqA_G@n$jhk$mR4qSqIBip|mb$NkP-Q z5bN~NAW~1I1MzUABoO|E=uXqj1u!lY3eE!O)btEy{eC}YT-fDu0K#E(tEO0VsKz6p z&o)GE8)8!pr)`r{(y~}?!>p6RWkq3dN0)P^tf|OSEGD(Q8KNb(kEHmd-@&myzk_8- z(!s!SuwvTdmbkQ^@q5dfaw9Apr3xNE7Y8ALTL3CJm6wPfq8nn(sG(Cc%t6)2=k&5P zE_pr<20=!y?>nTi})7@d{BEiM5;2i64d0JUM!1Do)dz@hd3=_m-kdSg< zt%Gq3`Y04w5Df8C}43o zq!_A?7J~3-%BDgDyTNJ|bMT_bR>K4oQO$(tq9aApVqP(6NR5q74TfKlg~5x>hlgcd zCpk6=8W{3~hsJ|Ip>aCnCun#k!t4#v1#9BLZS-Pu4UgP%2hY1+1J8#AWHklUu+LX3yY39uUT(G%C|P9@tUVL28-i zg5fxp#&{U;WHgR(dtg(yL>!b=jB{3 a;r|gG);>2(Q8(>?x`2zStgK%Yq5cDdhBU1J literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-1.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..850be2b9e0704cb7c2af1db771ea3390142b8e90 GIT binary patch literal 6791 zcmb_hc_38n_it5=Xs4ta#3aVdoiSs^`pOu|KGs4SGZ$l-VHSoKC5lQ?*+L6KXhD`N zDMDmvL2nx+s#l9tmgv>*nW0j>-|zSL$9w-6_nzmR=bZC7%e~K`Y)zq}Aq`E0a{Zf_ zGz0;OMRMG|5xTkZK7z;R!gN1`Fy)DZ zUd&p;!r6y!R#ht`EY(Ob$f2zb52svfW=3W!$3Ime%^ex5;6AGK3ZYy&;ZDv#(l7##T!^z>C|Xk~a~H0`iMw6=2vdVjIyU9=3eUcMa8xniOk zvGg6xQMgZWzo=F!DJW99Uf>vkR$q{HLba$AhkZ#Mxgd9|v)b34>~TeXQByrMg=wFvE@5(JFCxS>bi1>#M>W;)mzGng6=k zLCL=0u{+0FHEISKU0L6ulbN4~wu?+O8{xO9 z_w;(c$9ZzqyH>5RIqT$d$3j)$+K^QgVZUA5!&7bK!pBsFeniW>CTG_4;3e?FJi}T! zt1Uaq?}e>gbGfuig=2`7?2o^)Vf5OU@MA|^*Arq*n^yJaJgPgs%0s61?Ax@PZI`A^ z-_^3b&t;apLH7V7(x)NAXh#60B9Lml!u=qHbZ}Zv*?!F7BUW|G@~_3#oi!*nX|A&N zoS*nH5uc^mt#wFh=B0R-XoWYp3rUseLSm=Xsb>o}2_maXHxFm+qnGTSyE^MW??XzV zi+`=%U^zwdM2CW(aV;GY?si$}L$`O^JlTX-7gS;#4Aa&t*Q({te^|PIpab%v)n#g^ zx84%8@X5S{S~rLB_!^boc_szX=Qr#quFrLvwSWGM17(&LLPSqKdr(Mfr}6am-8k7W+oi^tsDh(h7%()qz`3S%T&x$8S6*R9JE4V@kqP_hQ-G z{OzHksV;7(M} zqAC{sB}1BsNs{J|Qnw5ChcVW4PZ(nXGgi;U?x&*Cl84+V=;M1XN1TL8p0I`b`XfR zoFWQ+7oC(eqVws#9M5lCOj>UN^XW{m0=)f2x9EAY8Hy45?gj#5Wo-d;VeHJ1e69er z!bxjM-z7w-c(Oncg4Y>>2*9d9hRcMxEVk#mO>}=c8v+ztfxo{m>?eW}JJoOzNRx_b zS_rXOKM)b4_HC7nAd8HivMP$(1-ZGM5e$z2AAc} z=Wvmb2rHTxCh-yoh$+R6V`56Np!*{+rc7WWiyw@@P#lp&JW;%C8_eUwex_^>4pQVc z4S3_u7bOx96>Tqq3^&EFDX*4^x5?C($+x!+M8xase}ApG#^^{_W9RQ1PN~+K`z+ty zwXu5IhHJBF_2+PHQFr-Iht{$r7sr1w+qL5Z=YeaBY~Z{ey^tNW8L$7OocJOidphfS zzV&vj^t~fJ@r3_X;qS5^~!Yog(Z_g9n^Tj(LFs7iO zSqwwAr!VMApq@ZNIv{ZbP?;bJK^p=(MBpIArUCC^91;?Dj4Aj`>4X0n9~_=Um;zC| z<94B4?J|SHs-!1t%ab2VC2zZ_@?at6;=`=v5k`1@>Q!$k_`H&tiZ`z*4~8(4McLcrZZwQ+jY#lK73Jcl}UUTS%^ zq;w^1_iQeC^Gy)b_H+fv5!p4+JZ~w+ux-WWrU?EXGYJh z#b;Vc?HIIZ)mAjweSJE9xxeNX6wht?EyvbGz0d)x(ZlXnYgg$-ngsczPeER(A!xA^tPTvl5)pp z?(#>*Zg*F7xR_<#Mw%|AX{1y7*GU#dxj(EYN=TM0_buFXl+mkCHY7I2z)Pf#+ZUL| z-&!Ag5Y@&kI(YHAu=eOilkoc({ptpLTux z)HY`e-Cb(-rZlwT;mgX&`8#6?XLQnrHG8t-z5YHLKhRWr`QAe>!J`6U{KgxBQH-?q zvZTJh=Cf;ED%2cqsb6uHv3_f{=nryx!Q1n(PzNGE{ECUU;6@o7t1c_`DN4QM$@OBl zC~P-*c(V#N9id%)UorQ3%Dw~bPW30LA@{Ny9M+9}5EgICrFT$xM@;Zn>@8aFZf!I? z;{AYj{G#A=S(8#p1Fz|dgYRXROqD|!C+!prUOF91Ubm5d&BK1NjA3OZ^``q_>F_Vl z%_=U&dA#^Eu64)f&k6-OS+2$aF_3>qE%scFW`?dpBBa3bNFB3EeaQ`xjaD1jw@aSz z;Xu1huhNQSr|Ra&8`$URRO*=Gv3%ZFC*>fxiz2t2dXIoC{i*{ zNLOqL{nIgZ!SkA{q^yCU=mk4Ql2`W688}&29yQ`4)k!{7LTD)%eIR#Pv+ML0@7p_O zwp7IBw0Kp-9nd0l-X1wvcZzT#jI?vTYib86?(qGcq;ms(-U%V?dmWDkxI9m+yCsKV z$+wRjt2-zc+D1wXaC&}3a?bt4zSGp_dunoQo?jcs37%r5)f2|tuYpd+WrnEi){~0zj)~ew(QURgSXIZ4&e9BI=_W;{%ITbp zbkx})R9qc1$GUa>py3xw#u!7o$n`lir&#YqTJh}nuN;i@PK2G8SRGYUBe!67YM(;% z=_Ss>+wsWNkL53}ezT`}V8m~^AXz$BJKCZM_P$5=-J;>M25axP!u#(J)0eCy5FdA$ z_}wn8TF`-S9#p#YPQQH1%etL`dGI#BX+9*Hk9l6;v#rtgYOdaKb(>@zywvYIWj^aK z&B~-cNw=}xTRt;e!;;pn67Q{k$4NfMSX%v1&5Y>Jbh`)$bLa})&b#T(NOWDE`Ijw> zOf|RWl*n>TkG7|lGV3)neP(H9vL2s-1ali}N}KoKqE+QeypG4;ICmGjsoS5&Jy7;w ze}mjH;S1Bx>ny7&^z0}{df3Y6k~-%G>v_3Lc?!Gg(ZIIrxrY=%(gmB^B@?Cyua_{PjY8JN@MJ*?`o!j?W zXEC-dNLl5q4KfG zJX~w{A?)3x4I$H5mO@h4>gYCXS&vdg#M0>88LygR`|@I&_8zr8lJTtLRYvShM3kJy zi@wJFHhaUTbrVt!Gke?oFBL1T2#hAp%$I}mWYX!p8oAv)mJOUg7B7!@k=kkl}s%r-C(k?punXOM$ zsp*>z&n>^>vUJlr4f4&#al^Cc>mNPv?{aW+zM**vI_p|{b=KOAW)H5JCp6-Du1Tgz zTbA~j-1v0gm_F7bvDyB%(?T}u^v%!Js5JGSC0$0&e?PG;%jjMoV`j=#RsI-V@47(y z^%KESyb`WkU9sifgWZH?FAPF?nQX+-gIP->9@pCbDa)5%W!ESlvs$1meYM-lxou7I z8U4a@tuCo^3O#pqttD@^C`QMbwO6+lsS;a~XiQmsUA>R2GXleeoVL#=<1VYfa6;TU zHNA3HP)_clM)S-gTDv8rWrOeYZ}oW>^-9TJ(NF3rewcS7>Y>?NM$V18$LF;4i(U-j z4<-;3To%8xv8C~yjf`p(ZM2v}M(MJ%KVCF=(iQYquk)!q^LwYLS2(XpnB2te3vxaU zpUJQc@Nvg?2zA;~XT8DB=FNf*DN~&gmF?P#9;=>YZ>^abM9nMmTsy0w)}SyZ zy1;YP?|jp-&nwT%KGe7@w`M1sqE?@A>V3V$-7F9DK?$64TogaHCqBuwT+nLfxqfD% zWAV+ga|4oLr5D)ycNw{ry}i-Yecz)>*!}ca>$|Rko%J=*>)9t=Q=4?s=sR0mpa+*$X9a(DGy~w>CM&M!7h$Y4K{e;*#d%7SB!1 za^7M&E=M5hdcGSjndSq?sQjbV$#%sYb&Hp9|jO~||3 zZ|BuqJ$oqe)o#a_rEOooe0ldK=1NO&{xQW+ja`6pB{rG^@H4ysK89w0S&mEk=*m|h`@+uUP#neMN5-hM5{zkADYhwr(whghg zV}$rH$V`-hK0?=kE;^>6g>-+khj`eGr$N?$&=6i7>A?jb$3Yyf4-(QKqQI71 zriV5SoRcRu1W$S>FFxO28-oc73epI|YjC)p7>G@1eN#}I|kG2IkMtKBN!0Z2NARh1Z_NC z4GU>wvAURFI6=sPs1X=(f|2L{Lv#w~6j2V>4kUuUJ==%P31S<913!yF=Yt?j=o1S~ z^5|kjahU?kzX%lF-@@X*L*?fu%3u+nHig3wh^7*zl>cXb{EH!FGQOMXFW~x$OMuD1 zz!P&49*8Og>|`>uJvdxHI!Ivp4@fZ}`%wD2U=d6!d|`cYff@SpCvJRMqJq)(rL#Tt zP(m~l_Mi)V`6v(?F*kDpeqWaU#En=E^JA}n2#%Np3K+x*^SwRjBar{n_3v%;qbGvN zfgUPI)bV~BT}+ueeXHPg|5U(Wa3#)Kki(*~SVz$o)f5Ebh!BB55SJ4Qi$wu8P7 zHC`hhmkK@bTX>3`+}=7Aa2 z&onGnG;sNa272wUGzgFVO%}p~vFI|HNjX7P)9>{+?`A*gkYcu zD3jz1(bk4rP#NAFA1D^2*usrzbPkmTg&Wg}94diIW>ToSx)3&pMJ4(}LUW%xwF$N6l-_sm6s2j$WU)VkzDF(0F90iv%jf&q5)4Q9r+)dh4a?n)m}Z1jeQors^#d zBuX1U*BQ+Y_ZNB&M(?lsy7jrHV18iBH1=&n%C<4@*{LL4FaP}E{q6bZx91=3h*jYA-dimnAtTR$CwB#0keVs)uRB7W zknlY|u(iiHpXjN4xoyb)4m4|rXS(6-u$*HjitY>J>MOkXLUu}_#Vy1}6KF#j7uh6* z?i*KwIg?K!MP^KQ4{SPgKi&9dWLxA6rdVjie6Cq@pqTM`e2CyCv8Zg6m$WJ?q8gC7 zC+**3bbIVYt z=iT)cwTc41a^!Rm`;%Q?cledZx0&Xjyt4V~CRmfQlO4$`FH<=4LJv7w_H|f{)5JJQ z>2t|9@`6JA;w*Oa`dHz5-*=s>gWY@h!v;&{8=YE`rXpq|YMvF?nPgwMFH&-ZFRsvK zuC^v}P)kJB1z*D~=yFvOc`UStb^ig6$o4~oV#2v{3FnR~pO^S*Ba>&6DWa#`eP{Gf z*lWM-XYDw<9bTcPT2Sn??>D*agmgjPM@rTO63@4$rC8gD`p^aG6XUcHmG(Y|HGM`Z zSi*~U>5FtSN%s7Pwb)#&{y>yx8lPNQ$3_pmtfeDOJm;)_YY9lb8GrWU2+c5?=q}`B zt$+CxM-0!u6Cn&-+-UP&B)-`t+u(BYoFbnaby7<<)GbqZaoxrY`{JdHK+fqtA6Dwd zeqh0%!s_<%oO_zPHKU**v7Q^;1ts9MA29oawJ(r1#Txg$s#B^gkM%2@OUpf?dm5>7 zdU_S(>obdfn;x2q?W#lDRkVmMhF8fXIkjf_YQF{VyTi(lfFp~PgUSWnnUZP;PI&sg z*+SV6Jmc*=#zr}tn3bxn8ri+Z+_c9-U3R0mchcEAM`K5YQuZCmFT!~^?20sarz9&2 zD~V{664J&Gy4OrR$-5g>8bj?;+Wecm?UmhlC2fBRjdK#}g$R?k#ll9Ix3?IxUkCSq z8oliyiD7vUpDOe{BXis?bfnr+Wl0~g8KX{VEPMSl%wp+S)6)xs6yEqyXwcYKGb_OX z1a63B{%$)@oiXi2FM^iQ&1j-n2#kHbA#|f_u)^D<;e!9=140Q5Piq21dH56gMY~tT z!5LLuo&?Mpi4und{?aowUI7Xj{Xk94+M4D}-y(HssQr`52;_lUCGxFVwr1Me^>g%=i_>MJ@r;~5G3l8gKtf{ouJq-2MBQ2UMIr-S} zZm=!Jyzfji?PwXDP|^1$UGwafYuglg8Xe`e@0zMlQK<*-hVb&2ho9kB9dzWY5b&I` z5Y37+W9N=zD0GZasNzZtBhBzRkBU*PVwk z79Cw%c{Xo8a`SOxwXiv$UPe++N!}nnmR5fK+D1&a{KgV2bXQ>dlYr4;Av(`*hj|~2 z6~JdiT8RC21|fQ$F3p!V$!HhXwAx5(Twgpm%}^XydUJ_N@>3+pOuE3>M|fSLUR%HL zzO*4gRJ#!(Lf^j2cUP&QfXDBpYGd=l&VfP4_dKk67WypsNlu?J|FNk^xw%{@4rZUb zfu-|O)h#D!i=s?hT!YlNN8&6QGk$!j&})p#<>3wY8~6?*j0a^?Do8SRIxUef%Ytnw zv`AZ@1F|3FV175TlzQXx<<#+qGb5@dt2J+X3k`-YeMoO{bTdgoTNJYTi)*vlp zT8Fme+XRxXRb74eb&4XpBk${2e)L6|D-3PEs*6fjQ-}p!wrxvIT%8xq|eB<7$+}o7jke@^j3drK;Z zNC8KnfW}|e=6?SuN|p`uYa0-_m9-_f7Tn$(%3%e8CCLwMala(ER`I5RP6$)d2R%UD z3Cgf2R2Gflt+bmMKx66ajubmENrU*Syt;0i!591=O`Y6=PJEo zl8RMNaKV--~>k~7KMet9bGZ58X6b~3Z(%-0XTQi$)JQ?7@I@&H)D7) zpPhH-$OKO9_L8yB8rw?W5w+fN>K6k|A`{t@2ci8F};=L%QowZwlKj*P5 zzxM4yw49)1!Y5`{tD~0<#^Yqv4YilnJjgMP%La2$cU#kUuZ(YbZRWrGakWpG;RF4+ zGwUubUSqHys_ySQYyXkUQ&q>MCPFdkD1HH7z0QOyyVzLJLrWXGbSm`}8 z&KYz@*Tt3=^(`Bhc;4bYY20Z3b3$_6_CMXE_S5icrf_@aUIvX@|3ZP~99iisBL+AC zM%Evm0tLA41(zi)-n*t-An3D+5j70&p1M1V>BpPhkU;fe}=9-ad{2mZdd zfQJwk2mS%DSa)uCc(b8c33*mmZ!vbKg1UB zg=L!TPBiLu(idpvw@yuHE-a8s5N|VVY%|~Gk(EHur&M@050NM$EOyk+3xwBf{@AAY%2^ps5>nMYW{TH$sZOWuh z2f2cZa%L_*qV@A;0^h?+6D_Wcs=`onoS{OzRX!H;ajrgU{OII%FUdXL#;n@n+;uxF z@=;Nv&z?r7)u+5nT*z|Pu+T9V8cJl3_C75i(Qc<_HSECd)A4qh`@O&Fcae!By&Rie z_cty@{5O$fqIETA%9bR;jzWj`jlnuXGc~T<>55kKKrH zP%XuV^Ykbc_!lMx$`()4@NLJMkKtdGk-qICx~pA}7U(mz^_M$(sXHYsf{ZVi7=EPs z`rPGEJ1c@{#dc(BQP=l<5nW|(D?2eL z>PkK*T92A{+9&>yp_-amcvLq#vwy;Q!5kpa*;PQY$lh-KtpciwWX*k*w|wW(*c>CZ z{%#hu%3HAC#n=)puofMYFWJp_Vi>m0PS!7BxNgJV7qe~WKk$+-h)pC-pIa+mCbajS z-4;KVNbJ#hSGC3lUeiR$n)$4q{UT^7DD5o-N&#~E@Ea5SQGsl*?IlC2OES_|@ zr8DI7rfVKMiB2w=$&WYbeOUw!Y-?K7UHgKT+r8MI!nA!KBvtxl(f5AyxJr^8F>edUlMd+~w z%piNHsxEYaXRsUBIds>ryFdJ-Z-vnW6*nJTqFFK%tT@;cYB$^^&Gfl+cxI`aK6kaH zn|@vLmPk^zBd)i7>-CJ}+tTr9kKR!I;jkneNWRG>4o^I@#v(BvN@sMC5U%VPZYkJNJ`rIn?}NtAiw>Mmbj~s zx>r0{)wH06#l7xp#}9qjs@LyV>8iEs{6i-#9zUtkQ;F3}j2xG#rsvp7QcJn81M95A zQgze8Yv?REyKF?deT!3hHGy1hd~u@liAzwavA^28bwrz!u4*611uaw3^~Ik0$Wa*a zbjvd(-@+4O&67&y7%$qh^1wtP4Zn^6@rupEfyY}ux;$$oWVWD_Qdo>7fjIp&{=TWQYy72Bv&;BSw3-vX@hr{FRYY(9I5lh^_2tblVVeD=e4!cl zD8(Z>XFL&ETv8-+|B6s2u8N+D4YX$9RnhZ$SW zF{IyKSJGL-5X?3{6?c4XuJp#1aiuut#9m=r^yIy_Z5PrydhWfwNK-gz+H2}r%_~?T zkR_~OwR>Daky4w@qFald_ zk4o|_Qh@M1Z}v$wj&boVj=OVsOCo=UJl)HWrcg)kL8)%huDU)P08`mIAc7OKyYFog zW>u{rajvIKYMfoRdjHMaWAik?g(>;aL##+E1by#R`e?e3t5|dACS8#cAKe+9OFKdt z#wiw@1zd(gylu@uDL%5rw4tmp4eyL zR(9h7zQnk)D?j{qvPzX!@YAM#v;6gsTJLRMvaqvzxY|aKKKi9d@^B(NEGpn-?WU@z zOPc2UMeg3Ln>brZoV;;P6L;Vl%}hm%?GXM@`q_Nkog_)Cm=H4K1~o4tBA;U=-I)36 z?FdFEU_`-X>5f6F$GpnY9b9e;++zs=+sDqNacvi$Nm!_h0_hUV-Q$J1e)g`1X7FY6(` zUcqBb+Vn*3E!@gyhu-FYvG^sPkH0A>#NXG=+P(Hou1Ca;!TR}U)rsctAx)QeFLkJ? zd0Bk5hh>9TPd4-B)akERwG_W+_PSc3^|koym!2a@2OkgLN+;iPiQo2a9ggJe&y*b$ z@l>6;)Fz+%M85j$e4Wicq)m4Qz1ECed(p@6&Fbg9}K#l5h~c5Lggl-%q!?|}|_ZEaEQjakIq2A#`aES`tA+1R67yMiM( zCU(rF-&WYSE0`@L+#nkJA$8CjH}=*_`lEdKX(yGEXDXGo0)z9 zdho4!`gBQD^LY~cUh)1b7i=2}Ui2_0G(L+b&d`GAQ#+CxKArYVpkAS$9pU45v|Zq> zJw7ZMp|Y4MC2iO_{1ITdw7bbx4Ttw&J|;`apE``KNuqa3J!&qO$$Kd>TAgXqnr?;p zylv!CHFm4aWv$V0>#(@L=I7v7A->=0}i+>iUpz8SS==x}IW=;bd0H^n*! z|DksNYt#9&J>_*%?nlN`V0yX`Z9O8lKUE7Q2B>*0qwQ=c*g5FP8QNMH%W)Y( zHADRa{J}068tPAHur)(P(h59Khr8a0C*L zM5=)tYV0ruhZw5HV9SH+Eh|EE`X$C-t1s)MPG|gO}06-I=L%6K%N`5_ z-MtJy1~Y`A4zm_D8J{e@2BCX6PX$ne&Ig{o1gUc?|e2L`%knVa(6{B)Y`_m^ck_#boq zgL9TiU;=}Fg8w=mbRp1x>G}62`r}Llp%5Kd2=~PM8y2$yZu^Ca3;KhG z1km86zMpEL~=0z}yUOhY1Yf1?3-BnWfBB1nIx0eHmU_>f30TKi`{Bog~~ z8jg#e{DlvN{~I3)f%*qN)Zh4!sK2j)LZU&$>@RCzuplP$7aAT5LYaT2Vel*W!C?_W ze1`@8(hP;$(ZWGE4F?5*Z6=5Taq%$_LgT`hpi*39+l&Bp)y5)?04#t+;Q?a}97-Rl sfkEgSVX+2yv>{$Y-w>($zd78w=q{T>WO0@qu7O4YkR3aWtc)T52lZ!;`2YX_ literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_adjezenzmatrix.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_adjezenzmatrix.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..517ae9328ae599c6d512403bd02e7fb794e51a17 GIT binary patch literal 6731 zcmb_hc|4Ts7q1jGr4Vl6)=Rc%%)B#Z7+Ev+C2RIFX2BRUV`gM5aVwG}YofTM5=pWo zSz6JixKr~0fTG|Me z>jTLJ2poilSblVbzCOy9%Jk<2KzJZ=LYW6LcvKFAGG~x@R3eqkqEHPD5nLXJN(x5s zb4pzdSkkaW!*Ehe+-;lGD`T%i5@S9teok^D}? ztN5YU`0~g;g9RTIVm%i(Vmw^~kgUy;N^xDIWybGfrp^*}5T&6(wqpGK17U*rIqX(~Pqgjjv_U(*1Jnzs3iDs@Uq| zEz54EjfPHU7%qFwm0rBHfjS~#Q|q~BnSJzr-Z^^vEpfG?t(8_p36nbu&b4gxZAYNH z)bD?+$+X=pyQDL#G9;jf=kofIy^6*uAC(OYZhWKSmLw)MeBzyd9hO8p$QrDf{iarG%k09 zR^4q{7CJf3idk~%Yu~oA&$Y5cSr;BgJX(b^|Si0y(xk%V8xW{&kY!+J|Yy z_rBWY453b(w_QVJQf5#A?gU5@;79O{!)POBMB0CX%q5&nMLCfCsVF-tC6Kg<#fQAm zU>FCZwJ_Qctb^7<>-r#2PAnb(9)t$E94eCsVFjoJVk(yv${|y^0Iv=l7TKA~^Fjec zLns$2p9k#B_&f_|p(%`+HZf-bb9mYwKp15Tp23V?k;)}=0@*wk2Z9B$auS9~I0O=6MRZ|VSP|_=YzSpV0WJpe z!VxH<8-&r(MWEcguwHmwZ3LEpM&JoJ;Wrl6MPTtT0*}S}fTV*NoWr?1YOocP#)1Tq zaRM9m;|Z_^#snS+qKcX0`<%Wv-RkCcy4hBULF*bCe(QNYDJILWLK0>ZIlJUte%o?H zyRtQDX_6z#m_&ECTvEN1#k$=Nhe&O`O5SrBHGcgXJZU0(sJ&Z$dBxZjm8cKo3U#lj zNhl-pZa3)>wd-U;L1&(A{iSucisx_a%Db~Nu|%WNQJWkYUly=Ib>$lM!yPWa@tk*F ze)9D|kQ}{k+xZ1FDx@jia!U1_=u7j|u6fQwmIp6yz!f91A}$0iwQW#3CsMfmINkS* z>(|>89b@NT?!TC7xv?;obi?Fj{>xvYjPL4=hy0q>Cbf1Ei+fOj`o9*gAie)Hoyge) zAuUlZELUcr;LQNR!djY}R5KjeuCrdW zacBs}>w-Tp9`7Rnjz1T|<8XL@RujPvL302j0GA}TB{k4LVD@=>|2*Lg2$U6Q5rJeA zrauGpIZ&Yhzgr*-4%E5;&s1O}d=(>vu7UkiF%T^5L31KBr?dWZgfMt4c20~s+#>ld zO)^H@7;IQy-2@Y#keVVEBDqX4MFRSzhG@Llke`r%$6c0Eijy+lS}2JYy?Xn}y4$A5 ziwj+@(DN5d_KPf%R@|}pX`6LofYOOGlbfoRX7jc?UMl-?al9|Op>m>^;D0yg`cTVb zg3bQDjH(>t=J#e3CtG*)jLG&S4cLif2tiNOrS1k40YwNX`tQ9HT)2%cWZMNHq>g-w$t~V zM=ND=x4<#xO%AsYok|QP7UaBe#QyC34tkeg%BU+S7=N|ies}c|dce{C`kM#JJ3KS{ zgHNJxcTocXh4)GON4}K-PSR}a=M~#$U zsIo0-SJk-dRdBGn2=A73z9M)ac9dyUQi$(bcqZv+@M*iI(EVDDIMtxrE-e>4vq%3x zo+xp>)3<4Uk zwzd+Ln~Zlfb1_H0*?L-Dqwwfy(UOBFTU!U)>Fb|AqF=o4TkPbx@{ZY>J5CMO5j(d# z%WiTxsom7yA(mi6f4L=kOOyBY2SJC5WY!hy92{AS2pW})+dJ;TyK)qMlTOnP{91mc z@N#TH)%nD>%1=}B*);e2hXbP0g91IdZVxAwdhMij5}vD0mfAhe3mG>O|MkurEHlc{ z)A?0VYG2ULu6j-*sxrmQ3@1j@S{w#1i|bOJdZSZawLUl^yi1O3*PMcD-mmCEuPdr~ zbz_ho9P|EN@r{KKr_^6<(~8_rzD~JyoWn^o7Y$Y|>9QK}+!ZlK3l7hJTS07$kC`0t zS$ z8W0~oG}XCoq)uYH%|Kc}8sD)$4vK!;Jht&m|3_&1;PAfO=z-yW!i)D@Nqx-``Gj{; zm&OYm`?F8>^k*yRziTer72u#Gt~ll7*X?XyZr8tFt=ceKxmtAOxvZ&vb}Uj9-(7Cy zN4}wgw~qBLa!Y?>%I^<3&oB6CP1v*Y#cO)l#`+rNN6!!$y1$6u4)0kP?dZ0vc3wARhBHLZD z+}kgknE&?5DUFeQqN_}_B=N;_zT@lbB2qRgnKk8|31-_jWYie#S|r($?7MZLj1*TT zS_|Izvr&2$Rd%mOIy;XTE<@8Ou=U$RbnvTf)J`Zib&$KVIafWk#-g8@(63adejxwG zfjX(QMjt|!Qpm}QDF6AY*U3`Y#^XWg*7zlHA%43W`C@}9HDBPdvoL|Zckue3o{GIw@qQ{|!aXDX?r><-5+Zp|6 zdF#D6hS(?CBjPp@5B&R^CNIUKQ&%^NH#GE%8bw65zKyu_J8r?l&#i4k5(Wmt8`-(U zJ;W6&?z`r^-g3b(4^Wz`v)<3#-{t*%CwyhVlx}RF$=xQKai+}R`kkzG@(|*~_ z>p%Z?lO2Px-?Mqo=ceq}g+@KLsAoLt{92#aDT;}o>&jlfZLoU#$=IG`6S|gg!*rd< z&Es%{+7ji@w*AbWgW)s>SBm=f1EYE*8~LKiK}(>m>6*WUib4-a-wr zeUA=&%3IBTTQ=&`Ua*ArLc2?@@E9JpD3O!Bz4K=K;(XKL+mP<=)_^?cqah2v8>iWK_ zdP&_i-EeisMMn%yf1z|9>D&Bsk*sMH&GFLOtq)3kp3yJWTp!d{BdhFOuwpD=P2%-8 zN0mH@GF1l{va}9fCx3y>{lc?K!S!5K&4-z1&AL$NJXH0D@-u$tx;U>?gRz_R%VVt> z8**P%EIYo=G${2a?MtTzejDv8eOG_J+OB3}`tT;@bY!}wdIVGFW?7YWkByd`^ziRT z0*-Z475Sn2D(jNko*nL2{i(rr{LDkKpOS+{8$U^}@_zj5O8nTdk1i0_CvhTtB{qT{ zE>gd{>ej&(t`D_i-{f@`MH;1EyO*18y3vqoVW@v?d7R8u3z-M$G7myBZ0i<;BXl}L zS1Me6uCVBoZjxAX+4+xed^8oje@6#rn8#;S_wNLS&H*#%BS&VIvRp)U22LIce+VtEKtDT2R`^tJ+!%428p?2D0 zNg85YGQm=uzoAvZeHEcz|E{%$m`2Uo@&mW+hMPZY+cX=qdgqloUh!T_FDgFspn*gf zXo=_CIQjFy@CEKbk~?$v!2W96k}aPbAKQ50&Saho`NU^LP9)kSZ(c#~(c4({rnzXq z!!@C&bhO~U{9cr?$V0hC#8O=6>EZ~C`oUt?FJBP8tuhjZJhL6@71s!kzaPv0X~H*B zf0$iLaj0ECI(4D20`fTexP?}K4N;~&_+)9bc5*`1yS*K|4T>`8*?0G7=4(|X9`@06 zSW_hDb$dv!^hKLVdB(EiPU%I*j=kwADs}bxKt}8%z6h$yY-bu=EP37ZWg=qF4%6ZX zS@+i=$#T*Bn8;Juhq%7&{_j_GuQ2=FXnuiGP2=DE#Qy#iJA2+096zT|WA1jgvxh4f z3lqNmD%CgQvq|J2@T1ocoMo8?YD0CG)Sy6$ftnl64sFLar3M6AMsTRk5%w&^ICp4!lS{iH)QQ2`erHju-|?rcSozN&*GG9zU2J436CpKbXPf>hTTKgeH36 zULZ!PK|&Q?kb#=Jodd*Uu^2&tJP4yj(1MXLb^}D?fI~qTixULFT6i@uC5J-Oa{`RR z^n~EaKrMjBW9y+%VPRofVOT8|#~%d~2m}-wgTi2tKm*AQXYxpVB$K-itS59N(EXbk zldC24NsG)1Mg_W~U@bIicA?pWb0CWe2^J>#u|jzUYGiF)Dh209K!SrX0SUuYKO`Dl zNIV`xqmf_&mO_SSS7Oic@Gnb&0k9SpgaF*>0XBsaN~UrQ)GQoqA&USOmp6T8hjg`c zU^Udt&i@66Kt}$4?;wpco7V?AdUoIdNed?e8psfXhS6Y~NDSTu#_8d3dRVL`8rDOj z^-TSkc8>=ghn$u`Y1tO z=7i;63>1lNXZPPj6&x%;us~0b$RdXd_#G?a|A~)(F{KppH#ga#9EPw2C}b3MnsMTS ztir%g3R#cF;slcbfJuLb6a~VFU^aMvp;a`WvY6krXP8 z6w2VKfz$}KDbwL+1R74?2<=dR&hs#{Q^>{+l%j1n^?~ZViksAa}l# z>7akm)5a6#?2X4E0UC${{#gT|oC6~O@1_d@rkn++A_0*GxHbX*Im3Hf5g{*qGc+D} zWTInYO2nZ}acJ0F*9=F%VeuxW+Ga4u-0**E_z37?E|0|F2@{UTfP|~4m~A#k{0EV+ BKurJu literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_bsp.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_bsp.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3d2e9ce57fd5fa3bca1bd09c6f6dd863b9ff07a4 GIT binary patch literal 7507 zcmb_hc|6qX_g7I&X(da=pt6qH%qF9Zv1Mj#W63^d#+Zy5%?yU5b<}NB$Q~DIC0mpw zx=OYrSyGA=(LzY2sD7W3y6)|Mzu(^<_w#z;^EuBs&pFRop7T6!8|;ae5V)ZcXhYqb zm@E(q3DD}5J;4k zmuSn|fLbnIuq5@XqPPDEKTe|h0AwYBP~aQ8&QH;Z2H&>CU~($5ZWk{;6Sde~=Ln_3 zD-=&T?evju4L^9My6N3m_|%6dvUa-wLr7O+wM+(Nr$%UZhguVQ>E$%Sr>raWF%+T9iPu<>YF*s|R`)HG?IV@!^?RggwMz;YQs)NGFSg!bJGZMjb>Tng#Hjz6M0 zav=SBn^+HWPhDXSs}u$f#0-C7H)XH$?st54<(}Kto)DLkm4R~J2I#1KzN;q>y*>}2Eds=zx- zy1F_}CH`@lOJCP+ZCiCM{O(AAg^fp0Ym@$FLEhO_qRyl`@5zLEf?LPv1#)Mg0qE>U zx1fA)2e-1K67Qy{#t~of0+-e3@mo0F>ob+wB1#Hno_%5u!RA=0^q35l>V5iF`>5=# zUCX0%a2^KAek=A;8^ma^KKoG4#P#5*?350A$m*402OqjVv3>Qlvu1rVx!cti^P%Mq z+4Dq6@xf$kdTZdbk^>Fw{XG+%&tM<)^++W6Al2%Ti#01BRx$4G*u^Hf+jO zUulfD`K$3w#8j-IKa$?Aa|;i?JSM_ zV65`Rm#SVCyIMw{KH#@rCc!-OAY=5<-r6gB7QnC}?Z<09{T@Uggs(9*yDAEppRm7g zNJ>Oa>r;_b0COc;EAIER!&uVxW)dzn{lc*PtB_%-YX?@zrlw4$yMJcvJr$92 ziUy^UQe=M~7(28vJp4p*MY+Ilqprp!uDtH}1G z;#WxDZTQ7D>s{-^Zw$BZ>G3JcbT?Vt-f;j?mUNhJQFwU&op>d?qK->GKEr z#eB$4uAQn{^T@aEiP~HHqsQeQpXm93

e(i%-5xj5Mq);_V!gid0d*m}sd!SbFjH{PFk=+jOA z@D%0rPR_H!>m(K=CR7AxM+t40y*Fmz>?yVx<0I$SlP?FNy|3ct8yRJ^s@ZD!xZJuN z8q^UNy$IP)ikZZ9yF3u&W*b+t%q>czIQvd3T?YpwSbRU+;z+kA2TC$T|e)&ffh zRUJ1m;%tvbLvAP9JikHrdKIw*2roZJp&z2wl7sb(_aUecM{D36<3;!*N}U+L%FGauv-k<^s9 zlhg;XD$$t~Jr(m&C2$<+&Wh8WFE&iXMOz_v?Do()u-A2DfEB>y$cMbGDSi_&O#)#a+(o^Bfg7R@&Ix8cX^;$ zLCt}0U`7F0(&QXL0BP1r3Cs7U2h0YT37)Z20EXJK83M2eNU{n?kQW%3Aw)9e98vgB z(OF4znvllfv3^W3Ydx7Mq%nXIFdXwY-IDLwhCAb-pUVJ2?d-{bE-2L&EaZm(?RM5$ z>`w`aS6FNy3gJ3tKnR$+fDE6(XfovpNB8W#>woI-+wIm{r5D`9gDmpExwu_FdF zW7eM@nep0>Q5*;-F?!CZByO{#1e$;;aWvG~!VGxyiOlUZmk=i!R{)ieiA({V&kh#y z_+YriSB^7oni&EDVnd|ztZay6S}+)D!vIWV3&TNBqAM7UM1!EN9!L))91D_s06$(p zkO2v&aDk8+WW)96fhC@B1QzHgl;jpLCebMIB4UoMb51nh4>5DkFh34Ca4g2u^yg{D z>jZge4S2cuW7@to)bnJFd}{ei0=<2)y|U_R8N$n&?xvX9TQ-xi;dh!w18%=WsH_VX zd~`9<@Xa|kQSk7|;u}bVM_@u>yJlnssgQp#WvubZ>tU(7dG6Y(d%beB=LaFiN}v^0;uEv z91q-_Xk3~nCACXx*RN}vNvPSy&D73c6K*ESD6}Bve@IONumyQQ;4lOX3_+q`U^p5J z{DPy=UXl!93BYI+3XKIp%_QpssvZ~t5|9>b&1ACzetdsly>Mm*5Yz^!eKy^U%i;hV z7*KjZqPl<)D4>WXiOU3pW=_+f8PkB(GZA3;%;qx3KXbOs|Lh-xkr8^1i#l9)Mk;hD znub-ERoH}LlD$G#p;NaIlod2g(Cal!YF2L1aA?xnBIOiruwuoM<^2z33G>Wi#q*D7 z-a9Y5-pxygAidpTRPLqu$|!eR2*^25fl73HPHwTh664dod+PO_yQgAC+(Snk!1YUmVL>@jS1{teDUf;hwc>uv2348+c{~| zZ$+;yHM`jh1^zJKOPH9!!ajqrbokD%S#KwT7M0ngIhzJG%7-gq#){7wq+~lM4HkVh zNN9U;C)M;^^?+c+4}UUEqv%39W$e?+j@Hn^)SRKu0+kE!b-z1LNNH)`(k<+aZ|LHd zlUQy7`O}2cmRTo?ls80Jr3@X`IlG^uWp|C3UYmO|^jxU@n!Juc_3iTUmz)FSA2IR> zj6NG2W#onavizj9iG?9&BF5C5@2!YDYOuB~di&UfnyS5(Qn=!=;fyTsa8}NnBewBv zh&IQz088&U`76g-_-ef6n`%`)j2v>aAy4QSwFN)YO-Xv7TfSA_f#ZHVt(e4o^DU5b zY40E}8+42jcSwu*>UP&3L+SV0OVNtSMHhxENll^wzemi=m#-e_LVy};-s4%DAbe(bTe<^H@z;-P(< z3&-+tuHFO5-6ikt;B+pMTrbQszo37Lov|ag!9qdPm;<+!-)Q!vZK9w-d4=qh)u}Vr zO*QbvQ`Lvq`GcWV!0t&MIC)5$e=vHO?7$=9G8X;vV3H`%geGl+lP9m>c4({ zz|zWo^De7?^SUB=cy>~G>yo0AzX>Cb`W-U5s(bRS`*n6%_4_sALyI5Cd%o*?z5Md+ z=lWuOkdNx5rdr0q;Da~3Xk1_}4!_T+(9yX5}4qvcH zF-oOop7;xhCLUBsmw&1>Ci2hF$dL2(Iqfupv>zlwHhHc2!&{68RVb#1`X$yl+1+kB z7b!xh*-6{q)I(`Zd(sA%rarzu|+9l}st+X#%`2Gm7RfO-l zHcyOlpn7RziJ=LnR&`;gbU}(%$)g*3i=r+T@WtkrscwBY%t1|x3A&RW>bbe`%k-!& z&$Qj01*IQbkm6UCNIk>teSNQlGtjz(;I{wFX z5K?c)vc*hLo8o*>o5EQ=(#wMlE2g`m9mO`FRf-$qZ#BrRh`&XP%(6QEk(O5D<{i$N zcle32mJoLqZ&?AmSa5o64($G6b=}9|2Mym+ubI~kgDgxO&)8!LiQ-|HW{08GkTSO} z2y`_XW^f=AWKK%vTT9DW!LP|iiOoQt7Mw=(iuW#9*}p}5;l$OZd0#uFC$45^5Yh>~ zo{4YPm~oFA3cTtYN*mX%d+0Lpa*x5L$m@Cc&)w@j?2XSWN?eD}8#<|?zjLVms7081 z`4hi-?!3qMJ9K&QdmX=}@(}&a`*+0cHH>x+wb?_nV2PKADRS1V^p}(~GWX#7mXb2f zr7nb?36^$Js9dpL>Bh}{R++n`Y}Q^_FD9nP5AF5%Bj+CFj|LD$W|1I7VM{)dAT~h4R;F|B!Ezix4A#ccAW==Mrvvt~dV5#Hs_nHM4w+g3r zV~2JR-`I_J{M77mmf)WJxYjvF9Qy@5yausb%da01XNk8%qd#uEURYLG=DNwM{HAr- znM8KG<2+uIg<{bypDDleGJQF-S9=l|p$;tfp|{U%f<2loIYlFslEy2-6D8<`?X_cW zVL=sNq9JHXC}qNadm4wucSvDbd+sxuxSdsycdcLMD`Ikrq8wbrykX1eW(xQX);JeiP` zvths||Fknc*mtz*(d$p8j5q zz2Bmm?!I$nXK}Ky<5N#$&bN|K;~I-QZrv6do!es!3T*#$;QTwySCQ`;RxfpL@$Wqq z&^0-Q%Z$S&?U8P#rlgLXcxaiR_2l$rVrB%1wA)Fc^v%UKz32zaVvIT*gx62!QFiQ8 zu&Q}}m8P9%^sen`<_CWu9xqF=6OGM$t?VZQ$O<*pymW^;amL_|Q@<j4?hPN?F}w1XzJ*QO4mE+12MJ#wZlndrGScB$ZEkE24Ul9G7U5p6}WS8ZI<0{57Y zr*BL}O=GP-E{xF+GBGHhZr9u#vVH)rRn5yqQ;ruKv?kQc^q|xhKRBrdNnU(7{?nBk z(_8rBu&73m`|!4tl{FQbOz7}?ub^E@$>p2At8%vZ$}khJ?^Hgr_3+E`Zhc9ZA1j+;^+0M z#k=dPQD4)JM`KzOmOn2k$IGRV7KCrVPEFnMIMx1j7w?QH_K6%JJBbk%?Udbrd_==| zTS@7Xqer+|tL3*iV5{=Jd7(dJ*YVart8T7Ck6KcqGGZ{Xu&W0rHS||y+f07UeRDgi zw>;|2t?}{S=ns00hd!ro>-hAkqxgfT`oyzqPfLb7yzSl}5A1lpKlQFxkK>B8>i74{ znp+=TSQYg9gO~e~^m<;b8#JbFl#8_y_DskQ_wPKP*L4_uw%hLQvdv-rBM0XBIMgMT z*1YbZ-wdp(-o5KXx4~3pS7GaBc(0QG?gcM=jy?Z}bL!vkct37~lFQlmyNer{^z$l$ zg#UT^HQ6i*rqKg|lcOJS)8pc`-&Ry>gV_wcwkwJZBL|x^1K8FPe5O+bg-VYIq~jRc zn@vF`n`x5kAVfq9hWO6_w*oM5O2=!OJCZClB@7~CQBZIYa47|gf;e1(u?Vj{BVr7^ zOUO`d@C=JE5U=eF-gFa#8VfB+m2K{!`P6G6BFEkNIlA#Asw zVqAgYj7^4gUJ#V+28A2Kpg$D-xK^@xT(Cqj&5su%#B0-yuuKNZ4+jCRjW`G#&h&%8 zfCu7Fr(v)(IunP)B7bNKo@3!(Q~?8kE+pUr;LRAo8WAa7 z)(`{NhR&}1UoZ%W$Umg%N)1-i;kiNlgafB}GPCToElmXw7K(O6Pba5w@DN1;$N<)jURX#;FP z+5K0JpZJ`J&-4cYNCFll*?Yb}5-b6U0{eq!X>cqGKvyIWnEQi<#$o`3?5{L91_vMp zf1{z10L1cF8Vn{uYyL`uqa{$x-)J}h?f8X;`Gtl+A%Ld!S6Kucu=ejXjM1-rFr#1j zVE>>4hyIlhfdL}-H@)azX(%Jiob?L%GyqHC1OK!HL!HHEwx&QzG literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_hasse-diagramm.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_hasse-diagramm.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8870cd87ccf9727a976a1fcd5828cdc1c503d58f GIT binary patch literal 6532 zcmb_hdpuOz7cX+lsFXw=ajr)rj5EhP%*^#RUNOika;Y&7jmHc#BjZ_t|-;bO_JQ-K7&%-`}_U=xW|V%XYIB2UVDAlT66Z7p%>i=hnNvD zhP5v@@5PWHJR}GW$5>jz?i_xYcm+fT5^vav7b)flA=oLBDdx~QECHKiZH*C$g&bxS zMzXUY+sacOnZB;US>vsVrH%vRC1rh;-j4cgVudR-s@$v=^(Zf4U$s zd;#`X9jat;#Daq#KZz2%xm|>H+O`cUmUbV#m6|qX1a2_W>e3s?ce+a0OwA7rU(jv1 z=iUxiLf$JC)o|1Gdo?dM>S^X}Tz=5msyL_TX!n&B7f%1_mH3AP!3F=rnzyvHRGnkk z_}x)UlogsHdZEQ_4xERs4a3cZt1ZGIZe69uFRf9()kOAGDh41&G)F>L4sAB(FMaQ& z^Q?5ZdeZEYdmIj*Jr;Lxhhl{ygnkmpWXza|_ytDa_-GF7#SG)X3=W&ev=>OAAUqg0 zrx47DBRtR!M<*gSQrb^e9T+QXA3kcVLSjrypbJ1fU^+T2-zGVj~`~Vh#Ae~BS7L48yy|V zi9$n(pXfLmq_Ks)Eif{-zC=V8wee9ZhKf2pVHCw}Y}B49;-G@F71KE)mXH@M76>5(jg_}7OtK*Wh%4P!;Ot6gFry*Zl?`0viQ_RaeF;P+kTLL* zAYu>!p4`z!YY<}Qzk$Xe~3o9URt=3}>1`hPuj{6LSh*otXRjPk(Kx->P;7vT?|Q5#P45O9Kfxm*E`znOU>SQ8dj(jixvg-?4zyO69EX(AJ(eR6c5HvfygFoYf0)n3a z$atFoh5XNeP$$4~M1InwRg+eIzc*P%jcra=JYQ#=EXzEYQJjCsO?%LTf^Z1l91r0L zBs_$WDc}!6CI_P_5+;JkBodi|f$h-!fwBi9AOo4vE*xIiit*>s-HT;2U|?5J{5+N& zKP(b-Fi?9SQ~e=x5~yM{b2-3B_BDo)xdwL6F^3RYcbO2M2|e?l<6}-HfS7*H*tTDj zfA;m$tldqhPUNm;cFt^EeR(=QU7d9GS3BFJi?h$D9(|`UgSbd!K$xNWmgIlCl{h&# zmgunkmhXvUEkG+4hcn@ns|>f6@gsQmoWdOs%$YyXxWA9T`_ZR3o5Y(BE4n`vly`r8 zC<@!G54Q7*O(i8p|f`6K+WLUK*QSyI!fE?;n;yzg`!0j zDVtu}xZQ8MRdL&Gs^*1kzq*yysYO2e1>2wbg%@g;`7D*b>vk#fDBtYg%<`sQ^f=X4 z>08{lKSJz3@U!E=mcm&LMZ{v2F;^*(hXe> z=9QM^hU`tw!N7hEd27xOxu*ngI=a}*<@a#^;&UF1c^;3711j`b3^hHt#V&Q1Ni)*h z zma(q-b*rE&4OO51i0d9^F+}q9)!IXap|;lV3N=(cXx=>7Q>X4$ zOzOQ^pR+_lc=g0q8zYH!i)cPTH` z?i!x(=}a?vIqU97(v-)qF7?lrG^Nt+6*XlnQ)=Zab)S)YaA|S>(T(krH!uCS*+g9S zpL=sHGoyxEvRCl_IkSOzTAKjVEFL)fJnaG|mB zS0z)zQ$=Z!oZFO#^Q(^@>a12hbg1U3j%ic*+pC&til(Xov!oxMIj7uEa(2s@!b_OS#)qbX0R`lYEBH+GsnX!%(WQ#QXNuIi@=!~k4}%`_!YC^MOBqk(E{ltka&@WBc%m|2`lH;v)P0gN zh198zZ!a#MM{K?_wc;l|qEBo2McDM|A|>{aP*XWZr_aLz)$C zg(b6-6SU%W=Ok#gn2>VbdvDR)u*>Yvvkp(KEYI#sRIPS!cyAeOt(;6+tBd@!DH4IPn$b!%Om?K)773^d9nBD z#jT#}ot9OdWZYh~rWl%hr_R#EIB@e{zod?|&m3;o4;gu@rc~nH7*}_+);8u<^s~fU zt8Us4sub8)d6LTq49`@6AJ5a&>qiaqwr-dk4yRUq%6_A%$4|0a^0;80{z=dEZ9#{W zZp6Jm<+yZX0*>f$=9*RoL6Ln_xhP?!W$RMiswGOwGoA*AMyl#w+ZU@QyuU8ZQOJmD z>QC!d*VglRHIkO|+)y-4Hsatx@b^$5b^3?MgitZtyw{q^j-0|+z;UAQbr|ci$4!o&fzf~8PM?CrV zZso@A624i9*#mLk@VeeL^;!=OM-Cj$*V<;D{4uP|?^P!KhRz%vjZllFQCl!^Ya-vR zJnU)B-+a{Kb(?k>CBneR$e<}-yU6S3y|KBAoD5ym)e3!Ro8H5X{f<*!*ko54^y2DP zHE5~|{^;OVDdgVE_(a#9Gii8gjB?NWf(Wd;@xnYJv#-E`|0>^aTR|`>qW#8?wF~?o zA1W?=aJcNzp~~`v%O4_k)E{oJSY}m?ys1vM8%#-j@ra|Bgv3xHsZLH?G{7 zxxE8+>`-?|AiIec`d8?3Mouk#AO7*Vxqlw{-K$^|UCO!Ti$xbXTn*&jg8Q19n!lfV zC(jk=kRI@Iw*}0EI4K+hmR|FB;c1nZW6HfMp9vSMH zOA1({)il4?H8-Eq*5m4ZDBTc$#L=~P=Pi49lcnKzMadKmYsF0PdV8C zD0%a1#jf-M-u&CABFXEkO0;l~-8aOW?$hgoWlWC<0;dZrJqK@hCp}a_LX$*AM}gBcB#DaTi)a!ntjvT4 z?oly}g=8w?2rFy=!wV7%1d$OuF=TE=HA8R+!4%>O!HFPFAdG+zGcp!TDP(hL-hfCL zoe(@(VONO7(KHy2i;FXhBbW(Mf9$Ywt z8%jl3OvHj}5jwt7^aKyTS_%w+wFn>t;Eo1J5_T+$BecRgd$~i-D+D6(=usS^m{}lL zcx>nYf1~U@8#$f<&Z*R1x4O zn?>Uagi%b8z|1cpg+caVtu4VIpmQQQ*0KV#ixiLEMDoyrp+z$JVOCfPj?LjRVFm#%+rqAxuW&?Q#bIJDz^$Jb1t z<;E-6=G))a!6lMxb$Br7K@9*+fTpzQvu#%E$tBIIx}fB~Uk z(B3n8p&ST-1aYBp8JP-LA@qXy<1!M33RsP=Wq3f?eJ3MY0BYzPJv_=XeIp~109E*n z%!2&AEd`~TzSctsWWWl3EyGiZ-|LYm-|JBT|MQ*g->gBwf9D?pBLA%|LPBZOuYDns zK;%Bl#6l+EfP~<`91!foO8}G`1p)-P0PsX8hX!ail;#|xvt8*>kR{QaN_VnD?C5rM wM@R6jK(MDc**Q7UsT2zm-rj<0{l7JWQ5IMvW(vhJz{z-oiZL{F^mM}f2i_LbxBvhE literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_transitive_huelle.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_transitive_huelle.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4f5b0fb7e714e206472ac2efde5018876ef41eec GIT binary patch literal 7286 zcmb_hc_5T)+wUaQq^J-HgBY^RJTqp-SjHh?vhT{$88btZVVD{FQjtUsiELR8$(AL_ zq!LB8B&DpaND3)R*77|wspFi^`@Y{F=lO%@x$f(_ul>5+Kk}9ahN^&?Iz+x@A|Vfg zh9aPJx5E%^ZMZ4L+kAMMPWeUhBP9JVn89$$rL;u!elWhL@!8S<}-)( z@?B^F-V@Qu6|HCVc5Hh>$fP9-ZFLj9_f9gyPEPIA+ooF)FGg#26J~}552*S%IJd+n zyt^~m32bS3l`|DmcU)T6G4u=8=ToO{MQ*++Znp38)?QJ#iCa|hYtbruR@&YZb|Yh zq^sz*{}TMw9G;eYQaU{7a96@p*R_Ss$-5Y@%~NEYw(dRIcZo-t5U=91R?F|L#Hnle z=oIA(b?e-J|MVcIz4A8BRF9}&;Bh$Be!Y9@d?h}5W?k?jqW+nThuJj{yd-=PS(l?v)%nExm z=g4=Ys4~$y+ntSDJ>9#?oC^(O|a`SBW2e_ zr(T=zz??i`=i(0Q2u0qzjOZmLM3&p1x4-4-=qQ5wTvO6N*rYE2PmR)&LM3*#PbNMw zIW0Ssu5*1PxfGvmQV`rd+RbK$p*I+RY~hiqsU8PR?#*=XLhSO~DkkcllM}Kt>DDJV znG>n)4U!4KS8d>ikvCjsxWVFtnsfW<{USp*Z)}`AYq2IhuXC~c7UDFpq20o8)mt(x^J(?u?$5uxf!z?qxr>_ZxPASRV5T2e+JEqj{&r5zW^ZB?PS3 z?0c}Rni+oU2^LG=lKiyxeBd=wW}j;4O;Y~jj^oAA4U^3agT zAeif!CZEk)BqY<`KVP^dS2C8CV=)+DFd_0{nTKbxYMJ6qUTI43jnl}S_T~J>A+V4Y zlKP)LZX4u7fm;$iC~z|hnM%~B2SS|?;4%`8Rs)bw0E&4hC8WJ2L4R5BCl1mSpL4RL{jJNR+7TqO$p z5M7bnLu3(YbdT>_tXOYGVG+sT3h3tFbaTE}rXV*$Kiq)8EiBDIU2t0yD2w3-&cGFG zHGW8NqT)dXlMtk+2WEhx1j;bT6b9AXLvbI`hv*G}6dOMu9~#Ar6H3Ht!#P1(QEZKc zaLxKNBHXBbU&TRi9HUpQa`Lvas!wE6IDv*c?$rYyWdq7#qP?FD(VGe9kPRqI5`*f) zqBEcXCsx+nFmac_gb)mD=|%(tGolX^P9TFOQdvO|xPb!{gTg@I4o+AnEEeqoCKu$i z31YG+UIcGuAX;gZySHQc{m|x%DZi5*< zXf8QgX0zx}7(bbGAYOZab{b%U*AA0W6|FlL88G zG6||Bdb2puW;y|!BCvM(kp@ou5v$_=eHwuM`k&*ETNV9_{A<=6U32tj-?)Xd;vBa} z{#sbvVlpRsQT{^->Vu=kNfkgK5l~eW8UY0`8sHBAgK^_?>Zx3W-_iZ?S>Q@`Jl-6#cL@Q|1;DH?_S=Nw5%Tv5?pufeBW}Q47zU!Y@w>Lpt%yo&nE_o6lz^nV<2yPAVqaZ*8qPGNmu5leYg( zhJtKviKkSW*78CV^Q3yp+m}3o@UntH!W)@07WcE!sJXWX`7m4Mr9DPk`%5pe({`V< zY?waU&)kk@G~scW=N~`RE_%40?VWA{0$$6Z7i1rWvX5x=9IX1yzC-L|Vd$yfCyuZc z^F8lKMKWXuVv+M;KRYyT;6Z6pnlW#w{6f~_ zBBSJo#Lrf{GV@w#U4(iU-O?AuSKl1zc|uKgy?AxpF1SqbmN(92a@78KsycsG0qyXX z_m--Xjr@wYe8V!cP2c|^+3`uLGp}kHbNG*&S29Vyu|Ze#oywoJWjK(vyhb$>7N0bk z`=*@NQjoe}9=zkay}s67*zn==@HbY;RAn*dG5e0G`i8oJpe6s3Zi0X8F6)8cdL-k0 z^=F$Z(pyurrWQ7oy-aUER8idYN_})%r84f_cG%vl)QwSZRq7(==OP`?kB;$w+IqO= z%rCZ9Jd4kzBuFKqCgLHbY6(HTDR1oZ((w;2-kYs_pXzop@P6Y!R$Ng=Jk!YyDfURL zl5bq2%aN{7eGWF(7^oeB=miev1u5p^La%0KpWl<5AcVeDsNwoZah^AU*3}8T=Bp$u zMhpP)eAdo!e^ZRxf@#NXIoVHqBKv@ajGv&)EH9WA3RsIbiwc70V^`zNPJ0Z4z|E$&G^>pK-EmU8VT zZRc`D%(S{FHbPo#35Jm-TcR)Jc%eu(r2mx-L`H%={YROM_BHwa_#jF4uHhKP9oVaP z4Wl|Xon{DO&sU@s0|B`Q`o z5k;e>-HVr+uv}TlrvSIp0n<$w=*GR3bG$deW zZk0y6EeW~$!oBs0h&KvB$W0E}C!%1Ecy-6twDn5c2EKi?8oR+KGI4^$%m&p1b+z)b zL-tRdV~;jm752XVP=?MJYOYk8Hso)PuWYM4Rwo=+NxY(;*s$q*=JW|g!{60kDZ&gz z54h!loTW@Qcvvs? zRwZBAd7FXmeOuiqb*bc(&8ZPKGIqCb^KItUB2{m1EZVbAs11Vg%($ZD*gufLcS`@v zF@vae7!yl`77?O9YM$kAbYp4M5H?4qI&?ixKJZk36Qm7e0$C--OPiKu!E30Rn$QpYirDtdqU^M%|_D1jI$AO#OnlnAJ=Vx_9kg(;M zD&B%)OKQ3;^vN3(n7kGAF5`Xs=ReYR*5u|b+QPM@ zdfvT{x%OJ8K-Ordxn69!UHtR_CAZ?%q+ih4v?6xQevdnMp5N>U_9B=Nu2iMFEpB{& za>3yF)Uzu(K3>7g0?xy1ldK8rv8HCV#U%EnDyz|?E#ia>W5z7%x4Y`WCUWJMyNnO? z>s;94(XX>}B3if{SM2TK^unAij`+5;&e?#!WF@X?yy9F`*LE{~MNs6_2IJSkX zR!b0`^Gkh1#%z&(>^hNUtBeu3SNqOrW;Q#Fyx(Yku>toro7Mg3>C;*R_4w??$H(P! zhn!p`29GTFzUX&ID#pi>=wn(Hy~xkwMGA;y=VHQ4O#e*w<4f(L=1<)i(K=2H2{Q?o z5Wa$IHXH7<025?GQ83JJ8?zX4~)^@o)?5FnP%^z`?@ds_$UlmWs@zLD|z{ z_cGFT9&P(HW~+4hczbaObGlsho|~eac<*mkfg`Ua)=ZT(>x^N?zKB=cQws5$+*qMq z|NfesQ@~_U@Yu$Uhba;4lH`_hPe{|A)#n%Z&mXOAlzZVOrqrxK6_7=Mg-+RZ7g8aRY5Td2ydj zGq$vLFP?ihW9Ytosb3t^(|-j~cG*k)eaG0SD8a|(4Dl{9xJegDy0gYP%r&m>W5X`- zLN(+b7Z)Ahh{wgsOZn3~s#-3atHHt|)5N6da$gvM#`C9(#QxBHd_f%M@gi&}*P}Bt z$p3CRvcJDH+n8XrU3bYgY;x+#?_%Nk#cx}WYR8V$9UB&$+EMjj&2B*fV{~HK^L>Nr zHho#_&h<{cBkI?&3#GW2$xo%W*xG(^{Q0Zrwp%->G-sDTFRzE^9!;uuGPuzb?|;*b zoh~+?t5Rld8@n^9J>6gaz~GME45oVMCi&hy{*kp`)xF*icx3NyH``@C0KDz4QX*~E zVVN7xwA~oHd|grDR2)GI@w#u)rL63Rzx1ONwm_>*PO(XVU5Sabi=}j|nOkv<#YB6a z2E00KbcC<@EMf02f^7noBH~WlcHWriyvA0*D$wqAwR+XN!fOuJB?mYE4>e4`&Xv`+J=4}ny6$Js2*NgC? z#SK#rj+sBKS)Pt9esl)|ID|UTl;=M$KXOe2Tc8}N1&1*zY7QBch1by9jwG|NuJ=} z_io_5+gk_r{zg3vN+s*S9MEP6GoL+_Lsa8n2E``W+?EvVNy3p~x_F4TE|GINR}Cck zsJe5pO(qn)OXG@p1pK?A@0WZk-5bhLOmw6Bv2V1wKm(@=02DV>1o)_u)BzjaAP*9Lhs&A^+odyoMLS>cfg00FwGip1CgXiYR)6Q!<<05lN@ZTR0f!IXod zdq6}RM7aMSqN_MpiP9OiU?Je`ygj|?0p5Bb%tIv+Szr>r>EjBm@Myz1d07>fe=$%* zA2YN69x5*{P6c!LG!5t^KMoc}F!+Dg$G@0TGUL4SO90@{e(`f z!WzGKu;M>8FbG$2s}`(bPFpA%XmWZA0FW2}jYf0Z35GzxKsK=L{wv21v^0=Gafg6- zj|PM@d%is!#0Q0jxF$6(H4u-pe(Gv`yPTGJ5 z3P9=u2sFZQuOSL;h(ql`BJ>Rbls*QD)5B@t|2KyV2ij(`hzu4t;TS9y1(BEEYheia EKegz7VgLXD literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_transitive_huelle_2.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_transitive_huelle_2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c9e0b901dc4eb31726b353a6d13cb7cc9b89862f GIT binary patch literal 8482 zcmb_ic_38l`%fkAsBB}B#1M_8F}oSdjBSvVeJfGJ48}4u&0@`R6WNtqTjWM4vUH2IM#FxUQk!kKsDvd+}aky+6#Savi{ldvS zSr#X@kvV+ear0W$rn0I0!^Va?g*Q@%q6r%mg=wO{t_jZ_SMMfX!c-4j+pE0A(Xr!t zo!a~-VsxeHQp?Ms=CSK|zwl4vY5q%#)Bfsvj@+)Bw=sk~mlut*|3$T^mb{^KwAEWB zFT?_}OD}0?kA0-Sj*1QEk$+HlPI~n8WffHq5x)bgZ6qFvZg>~iTPPS`u|B)}WiYFE zscWg{tdViqr*P-q@aMY1pH9i=p1(ftO7vB2mj>_E*etrCGBSlDDm4`hT21W2J~}P! z^ZV%_64S*ENy-GPt4eR(ygI4Bjn%txSG$bO3sC`h!7K3$wZV@yTTON((fU(a?{4pW zKRr9vd&zuz)#XRT>+y>4V{utJ*jYJ6@2Lvf>GGbO)Hkgu6%WjtZ@=8Hpgq#Z{B^RB zJ?u0TUoX^L$u_$>+fUcX%@3HbBl=2kR!>`(N{0nhVtSO3jWw`KkQqXQ zM0`Y+dh|LnMfcgKce=P&iN@zQyY{szQ|t%r4ynGNHz>(M9?UaCGmd}SO}suIzZaZp z(Ayq7Z2Y3bELL;BvC9qQ-HK#SJLln9!qb_J5B&Qw%6166BjENQZrzX~vfu_HsIiN$ z7C)yq=Iz*$e$*M^AeURhoIkB_(q34`@e;>6Db_Xa9cg>mx(l7{yP&C#2%SikM`!n! zuAM$yC9(Tn_FMBCG9PVk(UhIG%dUUgIJ=Z6ib;Ohb}6J@PE$U8^l^;#`Rr4L$||aH z(UzC%*Q5)yh33Vu??j$IIPX?X7s6-COyuLltg5R&I;X!8C@gIH1*eJ=*w6MaE0a(& zJg@52u3qS-MUC_Cw&KO#rs1JmPZvwI$h*aNH_7;I40>=j!(nTywOdTt0XLBht%2AR z3pZ`9I=k^wHI4g4vv+)OY*EI?s0vrf*rXOM=}y?P6&NY^w+Ls5OkeMIxy>n@u!=T5 za;L%dX!jF=*$vMRD)~K!55K;_;w-h3B9ub3piG5LtecV>qy*AILeX#Botxhb5Zwls zbL$@@f0~Ewr^LL|AMc%$gv8vuh$)DwqMuQJR`RreuKWI`+?qH8Y+7fy-shuegSxc_ z29=UFK?{+(xuiY;B9#!f5Tp|tUzAG>0=>N>mZ!jyJtHqc3RhDY@a}wdKt3<~ZG2JT zjmVxiO{s_+Sb^I>5Pa2@gg|?6O%pb=ZnbSPb=ysPg?;pEax|No8Rf9Y?BsD!}8SJ0yBf?wF3*iAPhG=OITF4`9Sm zWxY#TXY8*+URx_3jIdgLMnBZx&}r9U0X0K#)5bzxw?5SA&E2aEyQu-|`QBiy-yyYv zwI#7WH;z$_wj>CiW%bD$dbDw@ z$Us8*RK>{Lkx;EuFDVH(4`!S{cf)Mx;jU~UBaKDTgK@2`BjcISGcK~1CHBcmN-=Mg zgH%r#w$^%HP`|zoj7>x<#70jLlV)|@Lfcdx$ppVs>(d!&POI1iBdgGMF0mB0xjxgV zQ5i@_)CKVtLQ=yS<}lhkD&>v|8OgxxS)fb3Zm>esIgt zH3$}M9G7(X%;7_O8>)o*(5@G62p=^$tJUbFvdUelGvcWrUV8b)L1`upbVEdHwc3R% zqt~w|Ig}!$JUGjF=dv0%dr92=?SPJikXA};Q>1X^+7W@OD1ZI-iy@MmstKp@}NDHaPCcDEe|}+S=N;rIWlfqGIaeH{d-a zX-ILJ(_s!6T;qwz3O{STwdr+B0|&P6w-dFEuU3T4;s~7`V^5_xXpy6 zdPw_~c0vOLM79)b){zV9e#-I)amw7U#1mQ!m!l3R0Iu`_AmMq%o*pU#!3#|7Fa71@r%+2zV6eD-HYSi`p)TMMGFo zJZXqMG%B59$P9!!BY|Nw0i%J{grc+v8d!`A2w}tI0xxeU65wUi7+fd@;IRS7G!B!; zcBgTGcfJ*y>26EoIwOEx0Tf|J3*-WF#(`W@+Z9n1`iqDO6A(vzkq5Q`2qWMbn2`hJ zZy#(x0O_lhe3mcU31BwBOz4W894Nw^PUS$IL3}T4KrT>V1|EOPA4E~#MZZcKQMeRe zrsuaQzFNPB#-&h!5hx1(H{JZ_uUnaw2z_@0gs`;Q1L#87nM1j39z9CYLIYYQ0TYve}}{e!JP>=nOk4}aVpe%n5x2v`#7`##a- zxcSBgs95xT_K_`i-c?yx-;qL*L~DdT#mfmSTp+?kh{ngBoKT*|h=vu1U0uH~X#b0x zKFbLwHMr~!51#CV@X04JZB8oh>-Q?=W*Xav)8=L`M;Hm*$$r_nzCBVl#gHwEUk$lW zAQZy%UudiyqYB6A$Jf8xj!&F&+~YNXVq1Ep?AzB_xmWvfLvYKJOvtkx@b0Fj+Q*G^ z9xaYT`kw}{TCp2bqo+1M>+FoWWg!3g+QD=DYW{0S^3(P|(**w(c=%3)9n+pc=kJ=K zsFfc1F-b(BIwcb{0%!1-a`wx|A2&_QPa1;`agu*d6Bow7d0De%K znlAhT@#H`?aX3u^2w}kY5NLW}1gJj>YbTBF>GkdTi~rn}89)d#p!MnQ1`JPMVEqC* z52#ZIC>jU!Fu!hTfY8b@1+-!s;6DuwMXjtYKSbz<74ttw2!q6H{t%;f$DqS)?Nxg7 z^PgX2?)KRJ@$+^}tinmEq4ZpZ(z^BWTesP1iYpyFzHV=HgbMAKczs)lAQeNVf_ENr zGB+x)m5UN4$;<4AHaYHjU1INZVyBDZxx}udz9*P9hkK_(N#)CP)9-V1>O&q7=X<7! zLuE=acT7rtp|sjpcxeb;!+X15F_Er~{?zy84cPLRF>+e-U`v+V z;z&8MI5y>7hStH27+GGLDp~p_H(hHQqQ`b21#Ma8g$FLRyu}Yo>+yPLOd-SfcZlp= zq7;UTKw9@9I~SxJFGlTrARc9Bx*_{O-o9e-V;OOY^~bd+W74Jh$}Q(NZE(v^YpyYx zQN~>ySm&)@YT*W!LZ%P9oVUKNa;E=6{?4n$C))E)k{tBPUY2yc4S&3a{=4fL{K(T8 zkaa{TJ4Ls#K)BpXL)-MZ9gK7qq#b2x9kFSK5-brKW777dSvT&%!j^M!8z1eud>cOa zRL!rzAHi`wnOGS=eVD-nhma+m19s`|g3qky`mG%khbNT$T329domcACBDhbhds*h4 z_rTKibB3_ziV|k@+Kd2Qh-8-d@R3ZEtQ2zINV2WllZ;)yb5IFc*EYW} zkX_Te96z(!;lR-*)m_K+KHEE6bSSr5=%G$Ns3A-u&j@78D(iiC#a$ z`%p<~Ic0UPUHZ1~pr|~A8NWg1MA%YdHe|9jyT6<2dv9yy-3**ca=J+W=^}J&wtVQk z1-FJ{oiH7lDm|o>cQp91Ec>|0y0Nos6<_2ROgWZ6br32GEf?eUkB2S7AzQ~GawapU*WL0p))wwbTYG{D00FKwUozFm6yL_aa{h`qkBh6 zC0UdCbyIF&`PtioQF`i!Gm`bHCk=$h)oX?tUnLk)0`5~~Yi|0MZ+CXI~PpJ_pSBF5ezJ!Kw zm6~%C;~<1ewgZ9o`r~Za#~Q;Icc1=Y(Kir_4w}MRls&Ute1Nb_6)fu`>o4cXH%l$S zkGg~E?PF9HP5QjV9xC^Bm@ZCr7|5RI-Q5<}c5OmkbHUMC*5N}zgF;lKhOAX*J;Ln$ z!{$1r(G7|%ihW|I?K`JMj`ieEhzNQ67v0Z-`j4Xr-g8IM6&Ue{D!NyKTR1Vi&z4kN@vKoMsvT4UUfmJqx>q&4 z%xZ6JuHeN#8n-zvTr{LqH*7O=8ocp@yu;c_*4P*vpXVffdv(-Dke+=YK}b}!1sDIO z=a)b$iiNTV#<~n?u5b=%ONnlnG01@2wiCJsE>!6$M^I_3+LjZ`jdDJ+)7`Q_^(?!njT;E=0jYvCAS~64g!UcL*0BT7 z6mWKu-CH|WMddar|0wbr&8W2ybE}GLlwS;oOmaLUgj%9r=R7>VPwuFIjTleyDx+k0 zc3I(ZeOE+y7CLAM?x;|^U+$H2@^9LLvJ3OnkFH90?6WLFA8KBih2>Y5R+k=#%XDAh zv}Ch$wAGG3p1cU!dva-RR?%Fv_da6cL1?{iUno&*0=(^l52dYTbJ8ox?PtDtRkD zKIL&Eh0aY#3fyI4YGYoQkaX3&umXP7fAI3%gvpl8Pwlz4PS0H>Iv9mfemjssH}>5N z4bLN)S^QD<$nj3W<}FW34}0$F(3$Le>$2M%Zmw-l-7!~IF#Fa=r?l1S9dY+DObc3V z8gsNk06XDt9q7~1^8n)0HDNM22W)znV$ZFj zvn6v~U0t-i;72t@rWztrFF%?rFIu`T-MuN8IWkR{%ktSY3u@}kfvjCP4pTl<3lFJ9 zD32bB_UnfCRxm>tRkV1|@MJqC=w{CQu@OuS%d>k2(M@9~ygIfQV)}5RyIUI8kMG*o z?cAMUo}L)!kvk(P;EePMp5q=sniio?DC;taMVt;s)ZX>9RsAE%pmN8sRbqO@z2#x$ zq|Ak`o|KNE+7DgRLdmB)FM2LxBwhF09b!x=_XVzA8oks_`p`9AKAtOI9PHbCh9;us z;QuzbXDH-d=fk9l_V^>R{cCiKu2d_jI+>klNQcCGa`CTU^Vcyhq zbbZTap}`mdA364A_{#+2s;Z!!&LsEPWA=K@XNa3bye)NR&x&I+<<8P7V=tV~+r*Qq zMd~L=%@f`qvXFS=7VGpYui@^^%2-)&hT!S_n2r|JqsDYYsp7OWj$_fT@MdGIKUmg* zf+{7+wVf4+CPn(84t)S93-cgfu}>Iy5(PMc@$~b z$qc8sDGUV*McKkB%n^faqn(}AUDt1q5Bp9RdKLtpIGNLj*X{~btZMT0WsZ4$9#;jk zrmq`gy%W9KwooIZPRQSXa*v!j>^phYw%l1=H$DgAp#iDZ^f>@~2%r#6X;dv}N0 zI1M3&J1=OIAjoknBKNAXo&2?H-VNl7wk?u+QaYxKAL`{Y3VZFC=dZM%TDqDuK6PrG z*!yTSbqn(DcJB+vvrLOB$?>q8l$w{Qv+g^6*Z2*NKMzy9ytiqHmK2-6ueZJMmgA`p zJ#FQh?M-S`i`&6iyDd?{O^hd<`pjE&*bB;~k*w1ZIZwEwyTNAdWou0peIb&oWvWl| zuD6a=UQHNODE&CjF;hpo&@YDO5ijQj1{Fx5URV;M+8^G!&j@n+9V@b1??6aE-1A5~ z>WR4Z5|`Q^7`XK)qAZpt-Yjh1;2r7Ii_BkolexjIy6cfxxG1;q(_2xugmdi@RRvu^ zrCV>;EPPBQ5bKs^}<` z&9rYaIm!&H4;k|Qm2<++ZS-c?wD^>0`f~E~e>ffe9a#7VLGTfQF9&9)J-ff3e=#Vn z?*|H9y+9Vl-3K_YxB>72g9sbHUJrxPsYI9~ZVz$~%ZTPh-xY5*3YXcAF^j83MHf{aAhg5&{kM^JQ?f1BtK|5pCd} zPe#C?D=b_eBFt%z6_m?l`ufnhP_%}Y1`3YC?0|Z(f%9AdlkEdVX=uWLDcMvHZ5sdt z`Z6K#M1*;9xh!o2A|N0@BLJhpWP2h|T3T8NBpQK6!vPLBCy2qN1i~4dZGgTNL+DQ5 z#TXoo6`M5NnSKbm69T1yM0`{94a=Z28Bo4riW`&1CBodX1R53RrUl2K2wHFyislAK z0v8;Q@jxT-I5dHRcKfD@^@D|fQ3VVDx-dWpfIDpf;G*)}X>20Q)M_`>)QidCet}V- z1Pwe2hWP6FzhDrMk$?6bNaI)MbpamjJ;2%DBZv$jb0jnpg#_G$qc!bNIBgtG8-r0t zqO_4nUBurwfs_NHM!?rM;A`CfL-YsEA4HjKJD?Cq_6#2eGk{?LpjmWx3KvMi7kw*2 zUwL#9{Ji`SmVYr&6xNaOjKQUp+aFp@4X2taYZG}20g8TfL)-1yS@4WsQ# zVR#Z@fp99#gTnLW!hqDQa8tj8-bDM7`KJa3P}!BL1!|bz7Ajb&;XpRc0|ek#1Q37i`Ev0QEDR3n0sTrt16rUfLr}&y8lC`P?|-AAQCPqe z{`DsxN(=uJ9}>w&3IEQA`-u;Y*8G`<;bUQcl|>Wq0DSm28un-VFi5SR>_cM+KhKB# zSqBD#{K;k@>;RJdSG|~j@J$m7z=YrVxNHi5;IV=KL4YD`>A?VGN`L|%FPH$z$Hzbc zn3NAu^GgEwdSOO}I_n})T4XI_j20ScWMYCgHpCecka!bgJO+o=G%+G*k^VP_3m?Jf Wa4Br=O2YA4npz-bWn)Vd(EkClvX;dF literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_unterteile.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_unterteile.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5c4f816aa2fed144964b69a5b8d967bba74af0f6 GIT binary patch literal 6905 zcmb_hdpy(a`>!Nfr4l-+MloWx&t_xGA@TG8RBpQ|FPSetYaky+6g#qJbL|JLF zqzxC7pKYp{f~D>7Urgv?siP8TE(vu-_#M3c?;2EWsfUD^(vRL zHyGO)PmXgdLe-~kEV=&ut@+S{&M$g$d+!@#MY?nLQ~NU(5Uc#=c@#YpU%Zlb$ z#~U^)uP=yvlVrL2fueC%4e`)+nR;r@5IXJT5vMmvsJjDH36$C?*8W!QyYeQb5fvvT zv`?$Pjv#Qh1hn5=g95d&D|U&v~_Szvr0f= z^E^G<)N#>@-nriOr*kztu6}Q>$qsx7Q*FP!E}(ieY{Id&DQ+He*ZY%$`}DIUxt4CU!ZyBtzG9?!_oRGzvtw1WvM;ZEsJ61B2hrAD9cWHv7_Om+ z4Lp)CT?oI|X_F{)^zKVl1NOQ045^7K_MN6aLWu}@kqMPSJ5p7nqUpw+_}2R3&7R(@ zBLCe8Tlm!Y!1Ll*leE#5V#cEqdE>Xn`jStCS1!M@+O0?{>$}zh_cCfAw!}ePFbuv!b=<`>7WXhZm`*qm7+iY~^ZrNJmv(V;cYq2+WAb4}!>^NQN!rCs# zz-qkcULj(DR_El4-2FRkR5$g-8($PT?y9bGKy77A@CYVG_lN|ZXBp8kF)UgCMR=~Z z*^wi0+Izyw=Q;V3di{KlS3);kD7~4<5z7ZPD{l&U(}ma5nC?H)60G>C%uis!UmO

~Wx?Wt%!i`^FPp~X z!m<3a0Aw166~Ly_IG|w6*(|Chjq88{B?U)W(Rf@Sr_bXWS_(uV%(RFB3y4G0@}P!L zdf*+L$bs`~&jJQWKdj`lOxGef4VVcR*vWyTOzG|%xC4xT3k#SN9GnoqKXR5R^i%YQ zq#lJ!@nw0=9Pz_?GL1`d2Rm>`?Kj>0_aA*g;Gv(_fT7IH$v_v%$`sCJ2Y@c{!&>#9 z5`3?C(m@b{6?8xZXo^6F?M`FUnVt$J6h8_R0u;*tKR;g@gYQc8Y{U6Z`k~lD4JI(_ zmq!F%o7pA62z;Yw?egRHV^^2Lq46D!venlCj}nRIO|c2Eq%b)sKAA-0P}y`pE{hF^ z_`b3bxJj@D0%A}jf_d^j=9x_L?OJ`Is;3e-*Ou_D z9dAquI?^l_SA2F*i_b5;=~IB$Fw(cuYb$u>eDMC}{3Kj&di1Rf@yTu4=6BNX2lw5^~1vNF$UL%bH2&f8f9&L50i?l|B<}fV}z@Cm_HN zE>KHha{12YI6(ZouyFbr1-|=%FK5aOnrRTAg#WYq3A3DEC^TnI#GHsf?9FPzigN7rqI5Zr>tAk$<9`D3Y2u}_ikHg{BVJIE`{XoHk z9guGnKO-95(`)8^`u1GG2{4o~D0@0phw14HdKaiVke4=a3=Y&UKTl~uNbva%6PN~W zPs6|=L0_5WpIP1VKl=xxh5;%4Ge6sHLwT0g;wLx}6Pw8CSJdQ?X}Js&zUDuzKet8=n`e0YaF|23fSC2OtTaL_MzSB!)Pr}$`kFvq4evOw_D@3jB zwfyU^9QP#4wj9mPT!DCiJX5>8ecPtQV$tVeN5Wr~B`M?zVM7l=w`_bi%T{mA?LJIC z1`VW#C8V+%>n!gkmv0{q!{#O&x4iHGO{RXX+g9F?XQuF$T6x>)oX0ns>=Ez5O{Hr2 z(PwJ{bE}8VsN1)8lTGRJoTQjkw=-!qH%8vC%k-#w!4=05W2+9`a?DwJ#^8R=fsdDx zH2NfhJyN$%F58u?<#@6EX47zfo^y8RAoT+*C32u&;acWJjT>ibn*B}A*pDe%H_Z); zm6mS#G7P;}95UA%2tJHXO10AO_R{KpCSgh6gLhfmm_aR0!gG$-KM!z=SHIt}ZkcKR z9=vYnf)=Ufzsk0^(Cqi>GUienn@t{0QO^}74X|=yneLI74z^&9l_I29guvNm25G)A zSKfNfz36Dvy{$w(kC16A8tPlFE}On>SaEBf|AySYjYU>wok6dJ3Wm}}&}nDwCSHz8 zTNWH`=(@!Sw=2gxY*6xkWxDI!=eZrM{3Yu1x< ziQ}#nN)J4jyfiT&t4dx|jSU^AuN=u${!|c$(;rO_sc+D@Y_HvLwD9(t5lnlwcED+i zZ?a#~KLw1f7{MMtEk-u?EM4BF5gDfQ_LA(xmKyrb%V+(*fVF{dZri`kLQ#ZZuNl$=#<1H#`X*9XT8R&LJv3 zJnXrl?$>X@+IBy4RXx6#`)q@x=5(R)T_J9C|k+Bu!{<>-}Sv%b>m9w zMwfRKPjW`jpblBu+5MEuV#@yNMX+wktmIqxsPhkMYR^C9sVsOfxy&_X_l5}bu6GG! z<__MS=%Kt7w34M}EPQ`!Y?rTVs^nV9tasfnEMehW@S~@fglk;WGSGTBcbGa#S~%RX z{?M>Qht1*I5|N_7Z08SUhBk*!))#8Osag}&o*a-;D7k)kuk~V%we~s3y-nZ?ue3$U&oHEb`z0ORJO7^`Ltrvh;}B7lwB;o^b7hX+PQJUHLKb& ziU1vD+)`HZ*nDqcw(Pz^nQe=*9Vut4-%85o^~ppTCxsE{^VeG`6y7Gun@Gwle3H1M zq;V2`LG4a7`cAZXR5NU1v&71sH2;PAHa)2a6yDa|QHV;p@vb&Z;tq8mx7DW~tv*n`m_X`N5enKYF>17@`l(K|bPp`@;0XJ`o;`s**`r&u7kp}V=?g@f z_O92R(s{46+qMrM<-m$fEhYM!KCufnm7e@q)KJ-5SoDf&$coa4a@Nc&wq2+hx~e#D zg(mwHZK=?;<}!jXA<#W2Iqf0r@u}wXK386Q7xyet78EPL%1FGoef_aPy}Ts< z;#84!&zrI<37|G3_rmqRm9)@b(1J8+>1FGWwlBE^^+EcA>h3l+6Cb@#a~y)JQ3 z*DE!dBrh(>e3y+2JzJtX&&GjRd-sh z&L=6^EwPixu~RmwdcChsBvT|HTxI-aVDhsx({y_dfer!)@klr-`t zT>Sd-=!u&rm_w@`R$MbkS<-X4<#=y+|FYAjP8_3xMf)Xf*k1GP?u!*1uih3f)R8~B zRjcZTj%$j(eNLH_XhffK%Nj=821aIQ=Jk(^bF8?A;X4~-F3a46#)F?P4><4RIJ~m- z@yJ!t9nbD3OBUImBj7iu#d%2`ZuKrcs(;91ufEx`*hdOGPA@4TOVA!kL#CmtT0cB| zN!Za)17l<}PF)oZuLux5Y)4A3T|Q`}cRkR^sZGOsDj50po22aFlHICBp)#67qBC?U&^13>zIeT@(4^~y zK*uW&yS0kQ;!JjtgW~Isu;)APrheSb$!xTiS#3kMb2`7|=)uIay{=&t9dx!ISEp&G zdOD-3{Z>UBp>qGyEzjOv=x*(KuVlN$exQif`#NP(fl#kub^_rkhcr{=R2O!)UBaSKYE2HZuU3b1Ry=qAYG6s_P*cY~>u+r7LOkBr`OI|n5n|(rX=?%L zbPO*qs{?;(7Zav8SXGA6e^b)Pn)B>xfJ1xvQ1wx2D(uOzcaufm9=v^2PHE^!+~|D5 z+5g5T4kc7NtL>DJ_UGQ`gci+imk+O^M=m!gy)13$dLDSQ^h;l+W8lGL>J8*Uvq1ZP zvQ%IfA>wrgviari#RKt|cGl72S{TrsyTVmo3p|qNT#nk)KB4*O(8xl=lA=nM<;TRu zEy*0O+Nn4cKvajBH$&$Ml6H>C$IQc$x53}dFy-qPoxayY><{OGh9LpVM+)JVvu#fM4 zxEgKqsALYZ_#&QVN*@uoDXaB9YLOr{He9=kGN*IAX5qjhkvjE|l#Oj&UDBclh#^R= z^Pkpn_El^j+dfHltseU{Kh}0$W;}5}X^Zv6%5|L6uX}GTtq6N|yWv(A^3W38P;8f7 zz*wQ_kYVW;_X%cbVd2EphM2Zo#%Gs4A;=`7iRh*DDLLP&QBLpbON|MR{@YW?lt7TXMD`3yWFkKxAvGdi5d z@MUs{JWYf^gb3DrG713~uyB1e5q4yAIG4rp^`Ud&7!`sFgoLola1S<^HiB4eA2_6f zM}Q;Q?jA%708dOG2;MXiURk8a1P6X3D0sm~g&giW@6{tBIiEFlu-zmVm@U z>I5VN(cF+|@E~afoCg}h(Fl07>Wn78Sr-0H71#i}u)qaiMFh}`djOTj)rd%Ya%gtD+ou# z;fPpOB{W1tqcu>!ae|NoQ9S^v0+99pAv%k5mMDvD1rkBan(4!21u=C1&O)bBxF87A z`UFBhcr;M_xXg0Pzvw86ADR5$UBzJVGnmguB(bOgd@#tE^#9C{e=(%))SqVh1+aYu zCE!j)(Wc=k4u~oQ>~yCRJy>i81tc)#mrGF~`w&_hU=x5uzBDaCf$8{irx(6-e!&oZ zDNIjI1P|#>^PmLyauFaj0&e$d_xsYdrWXP^)UUJtAvgjOC}0pL)X(;y1%v-f&%bxj zubv2?7)?YFzvKOZ1ObVVJ;?>*BGA78=Z;2!W98bKXc$baC>85$mg2ME^RX=nll0II*y z)NtSfFv>PE%D^o8=cSn*#79Hu%>P9A!xl0dSr=9Kh-N5GTxAp%y%0K%x@^w4@ZJl=qyruDx$ocP!>hf85|1p&un O2^g51oW7X>?Ee7SwWLP? literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_zahlenstrahl.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_zahlenstrahl.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e9928608cd18bd1fe211f59007b683a5b1f0a1a2 GIT binary patch literal 7400 zcmb_hdpwi<`|n9f6QR&SOb2tC?cQu`m}Ji9k@IP07_+Ty7$r}nl1k1b$|*VJkV*+f zI*`svLP;oEA=_?! zh|7Usphzgw%O9exjWDM&e7Sy5EGQu%3~6*Ol?_E0(#c#ZkxF5DQwanJhs&mt10lSV zU5+|T8KYIn6fL0NfvzO!b>QSMcDopKJH+ML@^kmfNyO;Hh6vqGmxRU_wh)yTFRtSQXusS)W|-J2dRJAef3I>+{s(^ zk3Y7Cgs5bv8P4*iF`Z=^@)dE_GKA6x&qAi|W_z|YmLDBEJU1iO&4DJ>u*0V9_bTo9 zxJPdK%EaUl{Yy9NWV_PE*RS7Zez6)Dah179nc8={|HRB;+SSYRPs=~7Bh5&MCgE$} z%FJw|?QdPt9PLr{D0rWH;7s#GC1;OWC zy{B@0j03BisZw>*TT-c8y?6NSY*9W?5|^DSlxwwQAi>s0ln$5YMLBM8ID2I?c7^k} zdgQq{J=|FXTv1f*VaoKDJy{NYVFvEXy$LVS><||AypYp}c#li|UL{*Ioas+aKGC9Zg%8beZ8m z-QejjE$D9@Ip~SFUb!2K^C)~^=5(?*L2E?1{C%?jLx@wg%&U^ZPl1FCs^#)ZBjVC$ zs#KiH2cL3#*o)FNrc0iwL`TZ+&k1dhIbPykTxCYqUO6HSi(t;W7fKbYM4iqp)*6$G zb4rsKTfR%kzd*}JmaC(Z=vab^S@C|qMB}6>nJh%6$p+)SC91uGQahfSyo#S4)IBKn zUVzH*{$AYR9ls&)+W`L)r-6ff7pec%E9^p9RD?Czmx{2Udeg`|m^`Qp5*$WpqSe%~ zP)&>)Qr!)LAThaM`+y=rRW_Bug`)Yr1r$>`%pf*}$^pBMHJeGXrE*;mU|)hF?5I30 zXlKCV8rd$G0;q2$hD^{L_+}3_B7{Ep49>`b@*5Zl0*byn$yfQ-(7@S1FQE%=a-aw^ znl}gP0^x6h1aX6cGX(LcTx1ITH2rR=Pv(;8Oy3_18jH(hLjiuQNDEM4e{LY)ptWr%hf57KVfZki{HTz?&3bY9X$Fq* zSLa6*waD*9Z?11ItHtlCA1^aN6GI^Ud~3N`Yl${OS9Rf*Ye0_^2gNG#%nsV`d?74` z6xUxOj+*$?_c)IPAKj`u`&>J5lwIez2DrQec1o-QYrovFOKR(@l|B@4s^j|g^-g-1 zh2n1WB31E&xAGNNztt;iG|EgvO6{0ao;XK?Ah-2}Ut<$&x?*{A0=QyIV-E@7r6bqhFJ6 zA>k~^fzam%sC)kB2%$7J7AI_*LnzO#O;UGit~>J%JzXQwWXJ8T>04I`$*Zmr5VScc zBzZ{KI4=e(guh{&zbvxk41Jqw z8g8~D6n#kj3~fqaHM}JMP4Xj)t*f6|oRXUPz?{>N$j_qmm*agjU#NzxA*((PAN0BB z#xfvG!uR$O)Zfq3JRZ(Y_hsM$^=b+CQ5k)5UU+L=->|vKr}wL4gG%ZxlSmsk4SZ6* zK#Fa@lXQ8W-hZR2wkko^=brd3*OG^a(=R0w@)K1rA3m1569#0NrkPE+6xv)mn-^Y^ zYd%d(Z_7#CTT^FMZ_9lAHSf}6R;?cMS;3%4&a(T>ci1ppD$i~F5zw5A9sL9Ipk;d9 zHqE@ar?&3|s&bR>jVa^b>sq!}MM<596M)zhzt{^}>EmbU1@KOvQC>~Ef@Nh8B3AN= ziPes0Hy>di-l;zJIJIhNa)-oC*POP>IcDX#;H>)S4cvsx21`>FuWkZbf$K4r8Rhjn zoqp<(g!|=$V8;$sLV$dkR~WrObMqC|3`IlODE#it;U?2s>zDa)`TZ)g*X;a#x?Jw! zQk*M}S7ZcM6uM=USxJ^oR1n(2$k26 zx=KhJI4>BmC0F4@H0i|k+NP?5pGZK?le;Gpc<{!)RPFNyx=m>rO<^C+{BQXUT3z@Y z`Ux|0D2KSBM5<7KjXKiv#)Vha#@gBy$|Lqcdq=NDY!Nts5i3}^>siD07kw>jiYDkz zn^NaBBb9dPIPwN{MY5D-9f53Rv3hl%2?ys}=9^ltn(XYvDEXix?!JAKcG=HWa7I=G zBU@dsR{qq{MboPk2qywxUDr*SC+olYJkn4T6LSuyFc6Ts?M_8@!r`;WPUgkyS=m71 zv(8aR9GH(&4j?@2jHgH9p!2c~(Ta8EP12AqNQCg~al1WIO$B;;Dua{05PSBljX0X4 zvaf#Yh;MY9(JNQneBOwSkner-1m9fE#zYq47tIbo3%DR+$C&Tmk75~zM6Q{L*xy`tYOu;_FCL*pS2x71{X`t`Qg(0Ol!PFb z*R-jGtav!sG)|uwU-^MFo!wv=J#e)>yL|4s-DREqzP6+0%K)hugHeI#K$lE*MuR=f zIqO~mTwJ@h>A00IId)&c2Og;>=BybZTP%o-w(5{+>dhea^*-~oRjxaA?WV|zKEr5{ zRt&pQkM3Bcp(~Ztit!VDAGf^1o!pfh^#&hpw1Nz8bk%|c*lWGnAZM>tet3QHWv$n4hchirda5MHv*l39@ys;e zTa6IT8b4!C%cbYnoOMXcAK4UraBMU%dVLlfN0E@VI~#CA!2F4_xx*pF&N9}ihAQ#2 z6W7+l{MQcIRJ&wfX;v#cI2&@L zK!{@J-VAxBLv`!5Qi!BBDI2->r2MS{vgnGUuKp}px#q3gF;#`i zwP6Ow?_@RG-F{`V-pSZuL@7^+=X9<36}cpfz3wQ>=y=g9wvTaYWMY2idX{3lNc&on zqpHF6!KiIZGgk!N`;&{5J{&^O_iqvtG}fz%x!pXO^Y&{`&escne4T9W$-HE5FzI|b zs#sQKQdDa)*88#|>5YU%!F408D+dxDK5To4+1i>oyt04ySU}JqZF}&2C&>$E=I6$7 zDf1TyV0P*N(5`SD>&smo0FmC2m)LSbn{k#K_o>}+sQtd32tXvXI#?Z*1)6Hp8Lik`=@esbF zQBY(E5|lAAeX>|hY_^m2-nn&TPn@bq3UBQ3c=EckEQ!Z2rFwSYMRAxZLA2~;4_*s(esVI-`}T5BtS0c4_=kBi@onp9WJTk z4i8$Uhbal~mN4*&aZZ_7xN@pxF!QMU-UB8IciFw`@AsZdW9Hu5sk%Pc zqJ1u1P!(rrWuRSKxjD-w)XJdKA$0YvRjI2z99n01)8)5ZKJDzhQZv8&3hexmE$c+P z@~u)5OJgSt*zTW-R8^i`atdRraldeAS$#d-BF{Np$@C|lGoE@kvpjq@xgV88K2mI)+jJ&uz`4KwQ^Lya`9eho$Py!{kAzSOpA4Ls9O z9eNz%0Udc?8}|V_uGIi^$KPd2!-WTgq+L(mSG(ta5TnrgMbc7h2Cj4k-Nq~1Jml$l zZY#22WeMfY!*j=P9T`kN7Vnl_yuMVf_kk=r3V%&cz)yAO<0$o0PZKcuYi&Gi_LE-+ z?>aax`pnx#MOG@doK$@-4`!;p?Ok-%4y(ONs-|m-?1F-2Yt#({cU$Jx7I>!~jwv)s z06K00hs!_W)VH~wow^uy;>gKvpcvs(vWo^d_dEM`#b>;e4xYZlaAY5q9W9Fo%$In4 zR5@_DjCK4-?m%nlz0UWV+Xvq!Pp4%>-kQMY&%O=V2lS2-D%F|SDm!UJ-J00g<_e^I@xY^7^Ijr|Vdwbh( zbO<83y1#u0_4SoIyyNRiJp#)59}X3NKb-$K#`90r-wv9N7Un{-jKkPe+b~NzN>~5|=MB>(K(uwq{Bt~< zM`po&7T8n{6g*VvY}O~48*b(+@bJ7qRv^eGKzV_51_#g6fi0Ne!F#?K0fR26a07H; zjuzHXE|W-h$D09c=_3mqlUu7Xw9R zSy=q{Pz46^GnlW3Co(BPeA>!{`2Wn0e-Tn|%1<|0L2UX$33yWw)Ne!@2SgPB{q&~b zeVFV(GMK>Rze0)tvkykl1_wbpi%umh6qp{J`|XBK;};B`PG3>=hD5?ZHL&ddtHw`amB*&~KtS3@ z6T_!pG%Lx$DBf<(=)G61CxGLnCjAvHld_*WSc$tTx- zl>x|qm=CQ1M&@sN>ZspkI8Bh~`)@l z>wG8x{hJ;Jja?KME}IMzUu^J~L@2_R76vknno#fu047L|@u@?QUF1`{pi?0IjxZrY zU9=4}a2P`j8V9JO3@|t}7Nv*MR|g4VqQ0KGzJaD8;eTtm@mX*Vm(1oa0FKqv)PQW; JW?*Fq`9F~+k!k<{ literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/4-0_ver1.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/4-0_ver1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f7df0bf0ff021674f84e45291568dbbe1f867be5 GIT binary patch literal 6841 zcmb_hc_5T)7r&pnmC+uREKOX=GTvFtm>G;@5VB-nLStqy%w}d>L(y_g3(`WCNGl>s ziz3T)>1vat5=u!TTcIMQ@;&dM+`8ZL$9@0co%5XYob#OXJ7+vU8V*zo6h==Up>e%` z|49TMiAM7Lf)GYV&;}+qKop210Er`H!D5S;0wiR?riqwTCY{G%QYZ+aNWi3V5aRSF z&W1dB)4B8O{h}nb4u3Xh?7og#yl&k|WU)8((i+Pug&jL9>kY!n(z*+FVm(;_{hvRL zerle**!9qm?#r#~2Y5$EDiiLBqh2LM=&<)W$MW^b>?5AP#Tv4H?Xa%6Xsr_P>@4R^ zdW>`Y?^^N?AB~;*tX83rSGk7R1MBo#bGJQW_0G9%4`;kB`8{G^88hd#W@YN4E%JFq?$3C$ z${X+XD}M>G_D#SSRqvC*>5_Lf$B2GSbdFFtY`G$E>2eRWtA+8-pXX-MaDI7qhp&;G zsLUAwlG%A0p`ory@hkK`GUom|CssE&YkphO*qpwSos8>_p?&X`tdK7`o**+GbXR#B zcAOQ?Djq9-NbcUER5^3*@y^Uk_GLpO7s}UdDIb?{iAG&#av76l2X8P`V1U5C^+`Cy zq)7i8ik!pwOvr&2z=Uj>3>Ix2PmJ_JgJm3nsE0>lu>?H>18)T6$P)ozA<;lpz~qXM zI2d(6%oOrM1$3qm;L$NlP=D zh{omxOl>h4y)9EjV}KPT#^5{O@aM@klP2ivF%XcwgDvm{Iolvbf>6+8lhG2tTEJNe zV1XKhuQ3G$U}^yy0fQ-EaRb&^)A%$l21uMj`Fu8$1E&%_J#aWlla3t?5Yn)|Wki~_ zsZ|n!1P48B6)xN4>N=W`2`3tIGdBf~4wV^1a}9N(afJ{prZR#M%-H-$v0Rg#rVY~=LeFT9>KoBrE1S}-r@bGVM zP;g-F6fP7oIaXYM9um%qBRH&|2!9d!TG@?PSFf*jbbW4R*dM64-elA4V8RB~ zsDn`RIf84rd-4;TKh!r|Q@eEzD=;jjlH_);-?rrS=aB7Jf9h^+tC{=4D(&>${)4eQ z8)apEnq?irWNQpnV${#|4wT-^+Blx2wV!bi-)WUArfpe|hw|p8EW!ZTsu3@qHuUL521%71mpo;^Fzn6(Q-_BecSFj#lmG!5UqFh@sY;ft#&i}_|hHEgd&?%~GF zS)M;nS2ELanF5P*BWnHgis^#( z;mh*4^JYIrCD-G8NtbKivep{c%av4lC&SQ?Eoq*tLgF9Jx5fosMS+%Q4yp#+DLZMy zeuzj3+g@;&l*B%%SJeAUm%}3AUdo{r!?6PLErNBleWE*x-1ENMayUGqEXryi%PJ!O zX}(*}rIT~UUdV)RA6Q(T9o`d(a4Z{53F?_iv0OwRRxC}USQvQrsBLLziCTugAC=qT zzSU1L|9)>#`0Wo@`m>B%lZM2_VvqEWZo56%XOexk7u20hHitTTPZoA-B?k8`7anx2 z8yZjNgkJojn%ihKf|#wv(R~}A)fKI}BFg{N+L8IiIz{ou$@imd%4!1Y=ul3a%EEyd zO6}VR>s}5T>s~K3Kb4Wa@?OBkx0mJ~k2%sZl93pn>6ypu&v8w@P>}!dELA76z|CW& z-{XPIh3D%}Jug>1RAEZ(mvMqbhr{!!`E73E5H-qlk5| zW$1Eqg~AD6-MPzJKegRBK$~}IqeogW=S*banY?xNhvXhJj?Y`raNJ~G22>Kx z^)Nrf;djOH^6%swsVe`V&}zH!w*QygidX4c*&J+jWs3{v#O~zi%gepqWU(+Wvex5`ff`pZ@Q#b^8rc@O`)5U_GM}$TC7kkN@G(aN|UO172d&n=6SoU|2R0X zXzP-iCfTi>*H$WgRQNsa*#hp?gMS>J6IID9{ZvuiIWsDGt?%MW+vjcalw&*VtwXHZ zeNUB$X}_1J{PFYBa`eh$QCOd-BY$dkg!r`k%2VQ>AB!Bdl^H)h7z{C!Kz?E?y5?Amz>rAvs953AQ}i#nerZ!9n5XEh`S z$cUjC*$Pix#Fp(Gi4$VmsllY`dU>*fopw69;XFpoQ2x>WV~MX2*Y~^J>d*`+H#Hf# zzsJZ`QK|ZT%9s0d;+J*D2EaL~XAlM)hA)Dzto|6jJ`Q_i&-*-QJpD<#)kW z%8tY{{I%^a(1=d?g?g0lUcX~XCNZZZ=AMg3btK8Y)(MbKdE%}L=ws(oqE9RR#BGv~hoa&C~+(T0yT0+doZtB)eutTy}0;N)N5MZ8e4O3e84-IYCBtp(^;gu?W$ zs~jieHv}l_Y40H?x|wQgZ?(K+vE*jLR)Jt~!s-=*LkpI~9u=J2;it*HX?jquLDo*u zCFL2lU7W2eqLnY{K=cdJcgPrW1lGcR1%jm9=8j zX`NAdi#1}8KhAE(x?YsGFg6M)QP{*%yq9_4+C7#cUz<3$S%IzV?{x0t=DlVwO^>>* zC8x;M_)^S*eqK0hy=hUbxC7_cKfXKmOW}-B-$M46H?C)+eNgX(jr7co=k-5pdlVqj zHf8tde-YWY&BR80jQEJKOrhZx6RtLr=RHshes_Rb`-khB_Yh~*LohQFVm8UA}Jj@x+c@x*Cc5iHX*}e^k29@(hCa*-zVG&KS zN8?w{w#~LxYF}V2n2kMcg1%$-uR>MAtdA#Wq`TlQp8iF0v9PeRzGRc5_|JseHPMRk zcDlbaMNhZ=s@5K8QCja;x2T6=4C!Vp!})~wWV$(LFE68yji}tp=}A5`&;IpR7w;?N z(bSPI&v-{No<2I`a+X!=s#{3n_YQVN{_fBuS2?Os@9^YqcErD$4Cco;1n9P{6!|}T z^3F3W^D1W-VV3<&@|#C>`KheLy$AKm>J+2v421fYTQ6rrEAYEJj3ZBM+pbO#wv@1w zQZ$Ur&##pCU)Ci*OU_KvUfufmExqM@x;uJljD&uL*}^0-t1dWrl;{@gR<5qZlxbya zHOmJf47#|ryqlGWjtRYoOYenBa?^7+yPVP9l;E@^Pqr~yNw8w)yc4?yZ&=$o6=*z3 z-Y9=moR-4qQYbU`dENcoYxPozlVa^9_t@;cCj)nlJiN}!^SxYls^as=9b2Ago{z$# zDsPwTx0Y3gjwibno$M{$9b`f#cNJ6(=QqYaefs{Q)6-D<{Yp(oj+q?DrQdnm`m|oy zcidgKLLOE6P_4-;r-m!%DRcbzv%}=#Iwzlos_OGM<;Lt5yvxkOJv#OXTh3nA6>~~e zEXo%+HYe5`RKumKy86XGLMyAX{}A5M~O~{ z_p7MiFOGP0@z)PG`znNtBQ=Cx!|5Wt zeS=v?>x=A{spci(!7DH4XT7cp$W|^ev@tUa=$mif(|z|^n0M)enqmU<`})vaUP-84 z%*yA1)LfaymwbuJapQ773nq=Ry%?K$S&%cNF5G>#rr7&s!W_lRowp~@|6c#{S3Qq2<9J^i69Ol~%!^lL;r_qDKU*~?{X3aI$94M>QM6wvhnr?Vov@PF^8OT~6Az(U1 z*g4Z9g6SlNrU?aMWI}_l-zYJSkMft&V?rdj2^p)IIc~5}gB8SNF^A6qBmh#(VRMCK zv9YGqgbdzcF{Fu6eQ4Z$a4%|MZePllkdurR$aoE}dQ0AWZZ5`@M=SS$)?poHOE5lxKZ3e|x> zX&@~3uV!4Ko-`&sI*$Xf+#!q}8k%x6b&Y57xJcMB&5suj)cNth$IvS z!}LR;!Gl5@FiHM?OoAT~OPun=pBCX?T!97P3kOmF-pGL4VT96|0%J`}hYd)}K%P)E z!5|=sdIlIxX!7L$KtP}(e}8sR#>vAQ0Ufd}xaazZQvoSO!J;u}a7+}I;EchO@pv*$ zUk8mLqtQmtcbcH&z|;(oqJSj*KTM}-PBY~RoBnKx=c&UKbR;Q-`4iOr;5XY5e(~*sXTfp%r;q3|4)4UgC%9qzlO;V6|ki(z@S6S z3I0n6s)_+|GU#M~o`6FG0H%FQDFo1`NihP8fQ4c+DbfZrWs4?W*etkV$ZQ%nz*tj^ zVle$_p=^;RD2-H`F_C^Yi!$*dwS&Ix^*6w& zVerKJfm@o!CQfzmn!jscKuAha3os0~#TqIZ?kNlgOTggqcxgLnqS2Z_4Yb{V)%ePX ziUmx61Ym232zd5PJTPB_!z2BXQ!*kJu#fPAkli^9=3*|c* z8fL`4li>{j3HhCjNCYg;cQO+02N?$cV=Ndn;YU3K><@l1X!MVI=)dtn!u=2*1`Eip z@8ZJ{ew67G(SSXiI)_L=1ALVL{A&maIk6%DJxD|X-kt|IEtu~ElpxH=PO|V;RHT;? z9z(>UN#p-WA!n(br^y^0Z;kg8s0E@EfmoNB5A=1I4lvNpuFoGm21_TM3gn?>3b^%c0f21OmvQjtnM)xbl`*%ZlmFZmjF`UcReER8jl>3ny4 zQorB%1yCaOETv*7+sz!yMjE@;dLo?TwIE>2-N-mG%^& zzO`-#QQqH(^N9?YWt~_rabXlU%y1|DrVk(w{PX3^VGt-rK`(EnOVkUS&NT+tCr| z`{86TB7YmCaQ6CxkL2zQc$16<6xq6S#`&q0ulUjPZJA3IwFlmjzn0$m_>Po?JsJ=zjTD#KIVV{=$sdcmPLZA2GSK!oETgBSBWPd#;q2`NzS2bkiD6*&_^v2f4`YpW z+P76EIdQL+*HE9f=ELMQWR~YvLkx3e>NeY3MqgHxdzEx^?@9gspll0va;LS%9*u_%BrA*$ealMv$&i?xOBjQ;!6iebQ+Ul%n62i!ogt_7O#VW zA~6^p1kwuvkU0Xd-k@+$l}Bd_peSK6f?_(K6Ud{|`Cyqk@HkW_y1)|v3mFPH(}M+| zomsHJ!bxO`Kz=hZ=YZyjZ}wp20w&-yI3ph_tavg66wNs)RQc8cz}Y}Ap&~c=P{4*s z<3l|m!cCANUQlp`K;e}0Oc6g!=PXSq0t$=c`+bTz?@4q4g$9m55xBptEqtEqKB55q z*aif!cOZdl0nRp10WT2jJ#*gTe^>~k;>!dv2-#o+0zlUQZFn>~kIDAkU`^pt*a%SK z6v*YW=mEk|!sk0K4AR`fWE@1~*3XEDqV|2103isSo;NClZEn<|0aG=7-kiiZ62!yEy zjtM;wMin{F_j&F9TZf8Hq8|p`)U%1Lw$5QpvrGQa4O#^~k#mqyPW=q^9! z^GYuMYxU44>cYr{ab*?bi)#|GM;;GKG4?&-EsS};${`3+rMoIh<#9`QU?M5&Gs#J= zB+A1nAMJmMde`2To9SvLd~X|IW&dYH=HrpSWWj>H3-H*EjlrJesf~am;ZSW91`b7F@!%f>7V9O<5nnzOi@{*=5Wq;dKd=vgBVYV(cz;3{#8nJy@U`qpw5lq$1V6OwqT9~?Y&`9*p21Mi1Ha4UKnlRbW9rB%xvSjHAdyZy&=kJoso;jU{L>W)qjK1oJpd@Cxw%n??hGcHx8rssOPtBy5C>C z#V>og`_>#rd+n5!_37~VUbIGJZc0W%I?jEGXAaG(i+IDlKbxi;c*b1~yPv0e{B2l) z1F-SjdfqYpHw(vlWz1}Hc0)q?^$^%l9Q`b7gjU`b zlKW!ElvZF1_Cg)Hz3PTq!Sb1e470PB$vzJq>$1Oc>Wg*hv&zo7(jyEx={n0=z06Ms z)+p`HQ8^m4BE|nI`QaAJP>D;w$0AG~W_q&Lh9*ubV4Y-6JqRimub`Ir9on_&l=&o1 zYcDzPICbRlCxyD_kRx7z%goz4WJwaHCC4xKPXuAgQ+FMqUy7b$>TEYO=FWJmdS1_6 z`>7Ra@+o=%{m{Xp{wr@0wZxQkRk94d?P=ayjIOQwVW(TGnUaN+)wATO&fKkWsqdeU z*Bx&?qJiF5_awjhX|GC@j512G6mqa>$mo*UQv28v)3sWV+fJ+NZhV=IGip>|o!uw* zDa!kOh1TBRfXK`h>!Hv2aJgY=4a`Sakh!RrT@4Q8R_pdZX^E zpWU7AnW_C8E9TlWZL->6>1SfZtkkqXtf05&awSY^%MJX=ZBad$D{tbJ)`p|g!qY1) zvUV7~tXNDu_Oe2M8X7aZa{81~#ii;`u+g<*BUXQY$ZL8L2#ge%Kf8sWWosG&qioGR z>qq?~!sVxN5fAYX1E)U{B9{QUq?%R(ZVIXrUNv@g9xG zI$YzIrON{R@7^SxnQU9yrO6%KzSMB1*aN@TtP1h*EVZVEtE2NO#Cr}`KI*}1aV^i7 zz4R3;tQvJ%veiK0O<^^+=y~IcLrsI#8_DlnrSZ_BZQiFV>)C^{ZC5((d@wEQh&X-! zv8q|x>*?akg5#{+$182HgS(sRgQ`bgFORNxTeV!GL%U7A2*d98T>N?`y3Q_o2kZIZ zOHXzcW64&_GnAI4UC^T3+Xpzh5hRS?muh$+U=-&3LZNzGOesUD3Ma0QgS=O3m`p5Y zUrH_<_r4?>nBXXXPm!66p|su@T_54=T0VV6EZ@sb&0&2J8LB&aZ@}-XNyLDkzKn?r zMY<5u!;Fv>t5D_Mppf3c5P>@t0I2kgS^rMn*;l8&%gv_@`&&gIe9i=woq?Jge=hwUSXt*AY*w$6eg z%|JyzS`+2IMjuZV4|h0I8O2$q&#kClD_OejUYHn)UT+(*ss%%&il5JU{!t*&GFa;R z(sPGxG&QQyz*?>X7V%joRbR$2qI|LXi@rCB`lbGviQRqG_w|N$`v@wJ=nbVp<6!VT z>5;Ma-komIvE$yXg5=mIasE}xdwScXR#E$;A`qKtvDd~}dgh)8&H4rlW(~4uO5D6l z?#+5?X~2P#-E!69ICkS75!Bt2>){#BuQ zaMWtq%p$UkLduFl)th1_RLl4jYbnc=Qwg^$rANj8kmA}byuR1QC$P^X{}Af;$h|L8 z8ivHM8UZ$kTq-l~Xn802s4vV~a!A4X`Gq>!xJ9)G z48JNC{=qs?k5hIyzi)S8!>(g!EkCEi#8bTkNG9lh+t0}5$XjDIO^ldmEb=|F`phY8ux_#pQQ7?nxo2-vANWaf3%tN|Ar?Q<( zlqO$K+%r<5sx|F~@ipzTT6)i|^RSk^8qr|RApZf+uWiV0pqN=l3@ydlyFX0PeB@nx zqoK6Z`N307%(Z~Jo%f$4NoyjmNY+zUiL00}! zf4$kn<+ru@?#PN_ht&406J2{TRfA_-$$tbacjb~^mKJJfJt!=1diFje0v z(kA**;H2rg0;4edZG%IJil@u+yaM~m#?BqhG_0|!pYmODdH?gXgA?VbET&^PT2jK? zq-kOwm;y#;pl*_ymO#zLnv10T@n?$%_6448pCFweop^@)f-CPD6kIXMtw1{{YDu_E zZxoZg6Xg(Hq3$4aajArMJi{8N8j`?YM;-C$*|Mr^c}hG{|3geMLFI+dyWgq9swpy7 zo9*^Y59A%}=57XE7Uiez4nP*H!LtZDd91`Q9W~gUuhm#!G#eEcDX>Lc=}) z_GPX_oS!qF!8o1qU`yQXFt?ef#!cJF#5CvZBZWwE;`5d8=}imOT?ZQEd?}76SH{Eu z!-N;lvdU4-`H{!AT&sFFcv!~HMPrpb@6S$d%*LdZ(yT*m58r%^YJA(#adESq|EZL> z>=b{ivpvnYP>D5{6Jo0^Zf(CpXbdn(#Ns`juJ5WHx*c?((OYrq5<2Wl4PhczXDZ{V za(vj;)@?nUF_U(>13rn^!VVHk|vzb-B(^_^X3oW?CwC+&!DeN5i=V1CI|} z!_oy0`s$U(92r%0rsdNfDN~o*7UoK{pd11ZH57$iH7Q7?!W*;tj~l*l5gZITPkb$VtFf`M z-tFFj#hy99(f)2e+qSn(sXMG}9qDt%1g6Mo<{a6lB3UytYXkEzJ(^IYjz6bS+ePbQ zjbaw#e9;P6)uC1KgG$Du!D09Ir>)4?`y6hJGvd7>O}sIhklr)m-B};)qC4UfJ9XsP zx?7efX;&@~-T=#z7E@J{t=qhBMxJ}m`yw56TlN^O45u0Xn`97fP^v=C_4bFU&v%35 z(s!2+^*xKh4!2(kn5wNx_C0DyxfU(H#Evuba-2Keh=>pV607(@JO9GP8}#XT?@?Uj zX~Kp6-gjfiCNLc}4>z#sGQCW@jNj`&LYjjyr(6IhS^KlgI!zw*;fTRg&HUiL+x$q6 zJv%=;_TM*jtVE}Fo@SnYDj5ItB=iems_IST1Z$QtHtW07(V_Mqjxv8I2EJ1W!V~?s z1Fjp%_Q!b@h4^_u(l-p|QmFpm;lc-`2iOL%k@5-{lu0vyxnf9g64!*jooTs?M|av~ z=Sn8^GL14p0Gy!}4bephz8p4niA&(t1gfo-cqP5C{Mq2_TW$poTU-ge{;1YqR<5 z!SzIrFx`HbvH3b8pLD340D$QRAavls_l3T55ljvnDqNW2!wD1^z^E7`4ogK5v{B%x zUmJm-`)I?#OB;))V5oEo15QCvzOTfc=iy(L0tdjgP+$naJ6({Vq6JdvJOh}8gDuoz zJBKg$MuR}{IyeLjnA`ck;1Gz&Kkprcac=YappGsHJf<^3OhIOih=e2H;5N09SZ4%A z7lYA7p*O-2x^TEY@Hb5ma?sQSB)mZa{QqG(Pjj9rhvy6?0?~!-&*lWNjX*YvNu>xt z5WcM^GMdxT2ZXrH3(LP4C<>QE`tP9%2oPqlP*2yCLk$#CW>%*E&;0loA*E4&xXBIV zu|y?6qXP7ABpx3`6#@E5qv|p^yZ{QAz?7dM1;Ffs5%s}AkV<3GiJ}5CVhO(8u$aPv z(PdHCz6P*hZ5o|H31kUiAT%Ov+PCntn8a^4B0J#cT>k)$NCXxzh!gOmJrE(#f9d-7 zCi>YEL1xMT79{L=zffcIDADf~yy2e;7-UsNSqtW{uq-y1>I!QLfk0vr7z{>KPB1te z2C9K&_g^)Bkh;MXE_d9Gjd5XfI`5jesx{vlB4Uu=cJ`eh9y{uez2 z>en@pNF+$9|II%P>Q@;7jNIS!Fn?J?z@vb48xQ>K2L+s%yFhjm4+TFya6n2#}L?nNYO6cc7Un~jZ4m@Va&OOaM)Hs-R;Ho1jLLToKzHl_)S%tS?v_>PwM)#*WGBZYoLXOx~S)9^HTS!RrgY&Tz$C7h%1a`YeCnLItbKAyp?_AK# zb#}PCXn~e=j_!z{oLnQvm1$-6y0tU?bhq*Mn5d|x-M?Qv`ic9+|9XUckc^S4x?8~B zMJr@Y4{ht0D_K9WXWKgU^D^hO*X6Y-45+5AUQc&C+b`yJ7dsbAxv}h%(ztYh`#l#l zUV_kgdQT#%biT4OAu#R0Dz)k{DZ)`ndupai1CO36AU@g9%cXGwh%wjiWhG`7NMEit zx^s0y!s7XNb-KOdoJ%#mhK{YX-?+I@i5z{szN&ZpZJ(?ET=yqs)X~VQ&?h77td$hG zPftj6E$?nuihcTM-b>VmfXDMYvbs%lNTOa z=I-gDmp=>Y#&`v*K5#Nz{Fn9${O#U7QTu`Qr)poAx-GCIaQ!?I>5_&1TW#I<&b?clJsulu7NY?PAhr=c>OXLDj8TwY!jD}c-K@Q)WW{H# zsg=>%Zd1tNzYLA;B$KrFA^pDFW!43r4?CB;T>Xn{ z&6b>cxq7-!yz7}^PKo!Olg1-QYX;k_-Fmd7x=dp)F=?vbOa}<#0~=M`$h=yOfpe^i?*>Z|FO;_p9!x!U*kg%x-Hlzj+s7tOIrM{q6DZB%wvB z+JWmj->yT|hsznnXYQZCF21olbOX${I>CG1n_8SyLzG*zJ2_ZtKG7|1l)kj9Xf#td zBQ30LvA)-6)u$5+=9PsYB0C2Ydc~8c4P`HwZnerdpID z@KVcPGtKw$-kB}(&3|1`)4s2~sB>3Mtws55=ykvSZRHN+Ti(@|Mp7X<)y*5{AC~fz z=9uJ{>V@va-cC}V@ISlP2&RVUcWrVHs!ChCPK-k~Pu%w0zoT&D+To>oud%1&dUpp) z4rQsz`b~rn8As|3eK0E=?A6hWUbXF(-5NMwD$&L1zRJRK`5bB7RM;&|?1sv$uWG%j zWBUT96oaNsc4Dk#8ElW4c?I4HXPj`d3I78C4hfl|>HnI4j=@|8!j9(2Kv*+8STr+E z5Y!b3E~9Z+Jwpr>FhJ@d4XF@>Jx2h}L?{yE%=78eBcX@ESBFw>Oa7R8=IF;=oAZf-*A{u(+vp1*3KH#g>c*m74QPU_rr{}hCd~QQSoGfSqRoL1yjIS3(D|3 z7(5o+Q)>f_OJf5d#UX&p^=0@8Ly4SixG+dFitP;`BC~!)L=?3jt2hWwX!NXAVcup| z&1igvFwh7m3sdmYAu+sZn*$tZY(7FrCNcPQ9*ZmB@SuP&R`#MWiI%{GSdtt$6ibpd zjSEFsdVnUf1i=slX$usK#)_65g82f5pCy~gfePKW2fc9@2nz`m6>cvK8ETecv);Gg zU$L{_us>eG02WOo{(RR`lL*q)NXe+_W7P(W<_6?fq@EUAG*@xG>Y4kym!2M}dS&@& z*&5xCmft=Ocy`DP?V-*Kj$64ZwF-|-X5J*NQDX6QTjkvZl*Tp4O==fk1x9()L|>8 z2P`?`U9PN6R%w|&(`%jsJ@a9XX{X~;VU_;gX~J~;&+x;41Qfm=;mC1fvxFZRP(W1s zvy))K1{c7J`IP}sK$tdAEsZS@Mw#yl2s3U^{TY5?+>x{5{-gK7=KRlb$IXg*{@gip z!sdki-8WH{%s3}%h~KM7R5>;@KgNHkH#2aqxWWM>3JHayF-RzYH3a_vSS(do37&i? z7K6bWLJ+1x|G-uTSHMD}ao00go?btmzk4qb?Epbof(^~0o3cH9!KnoH6IhU&p(qU4 znP3ruV+hnC3=TwO8t6R(1qDPCV^(}-&B6a19~1^XyD;0fggU1>DMvJYsYHuOiuF|O zo+l>xym!HC)V^uoHQllguAkVmpO#3<(>V~hniI=XK7vb2HaeY2J6wmUsV_@UUt8?D zm{{6YrkSqbvdqP(FDH;3n(cSobGj$&z0n)$v+3(Ygo%l-VM9g}2cajqTTP*1pQ=Af zSHOa0eY|7$Y3G-RzVBMGtZ@yh$SQO^yYy7N8O3=;GE?U`(7^xrdF9bq-ENnTo5vKA z-`(wuJ$R4zc&g)#;*OFlg26bVPvcwG;}^(EQbTrGxmmt`BjdA+u95a&!&xQwiU&zg z)~%_xkZyAjyYl#4qIZp6`rbE9jD)75!|e~}wW}ca_p}A zOn9^Sqji2K55B*YWLmAcFf(46MZX;OG^k+v=WRZx=59URem2cJO?^dEttC(Kc;sZB z+I|~*?Y21EvxlVnBs}_Kux4>5Z6C(qE2>Jo#%}KM_JYCtoqgS<;Rd?sc+ZB#9qT*G z8~VPHFHw*64NJ$iwOS>aqX(LIHa{p=9)=W#ha=$M$HE>ESVnES(vj>pC0 z>B{QuZmJaJG3z|CLuGsPy%KQ;g(Z0m23E8S(a!rgn(vaRWn2@RxCai^MB&EyW>Uj}AYymNrRv z=bCOfYJ|VLjAdE;1o0}|@b;G@=&xN7qsE8Z^4)xsZ$|_S#Jt>2Nl$d^-lrZex#0ry zYpq;PW$&r*k%6AG_BZJvSLrt@iD8o=VRw6Vx9i1+mTede{M@ptY2jU$!3CI`I7zhx zxu{gj7xHz*Hny^b^WlxMO@Rf^imJO`mzY)UkHEi9kuVAI*MOL4U0%Cu;!fbE^0AsL zHoHo~%fFEO4k_*kZC0+@GI!Ux$r`t94{C-W$FFj87<;exT1c!Yv#R=N`?>bb++9z_ zhvdKIOvXw?Tle9>eNB+UwO=gzVybCT z=9^V6?7SZdc_%Ji9}*?@dE>yI+lEDEoqwHo7)SUAy4`dQZHoJb-n1`+8vW_w$%8peiBtOd+5Y*8MiCde8@HV?1Wo3QL0U(I#oU6rBP=Hlb2$f z;!L!BBed<=TY|Kgl-g?6Zk5UI%BzPhEwaA1R4!;+A5dsP%?WzmS!8*1}pmcPz7e>a2VZGS9>*;M9U&kktcATrGeL2sZn~;xX?p264 z@Uo<2j$BGt@FAQXv~n`KboYR`{N}>q`)!c?3(n_?%xG8lUhDsMUOV`vnUli!8#fo) zv2BBQ?4vXwak)iWOC(kot)qp{Nt^pX!i_yg0m7FLFGT7{O=~~6Ja|8IDL2V1SYe!* zV@2D)mqM$krb1d4=IZZ0m#noZ<0R50r(DZynYf+&p3eTI1F!U~>@#Z7wht_5Dw>O^ zHpB6+vGMguY5nqdkN6+0&TtLDk^45Q<|;tS&#Y66NY#5o2edoXDI>Kdz00C{f`LbI zau9EwpZFok5^&dPB71XkpL*+@2E#t7@Y*}?7anvlwT-aRJUiY zp#B@4_n=&DLC3Q4PnoAT<{V!h_Bn&GL*i3LvyslW_wC6FiQDx&-V5$q z$%MR*NhV|s%SDcNA1nUM74X$>v(lG0bB{DTsZnz_>OWHQ+$yQE^3=kE)w1@+>&vPd zmtWRdv*2Jx-27!rGaJp9?US~beOFz=%&q+rVK^M2 zS`|S!^s(MG@A}rvt~#fr*d^V`Pn$fxxa_NYu`uD23dj2uCB(tU!KcUB=SW*7(^{wH z?2RRsuM|@s%fD+0d=pRj;2NHIvnz#xwm8_SdRXE(bFwZ?b1EwOwDPMHjU$$S$)p)})5}9ope)B=x+u>tgKF zHMqLVj;`8@ng!NK|Ay2P8dHO;>4ZZQ0cx6$0XIx zm`EvU^4PWOC*1X4NG|QrgEunum&Zz!KJKJ!IgrrN!VbImsSzD_7^^^)FH3e<;^<1H zcB@|so*cVJhEEMX+f{M=|&b1{v?>JVY zSXtvWjVn9F!LnmIn^!+uxv@y&30kE>wXBs(PjZ7imx!=fwbHCJ*QZ;z zzH8DO$+?Rg(dp{TPGy~IQOVX%*g!fEQ^I0VQ57#vAydD_>o^Q-3;iIquIqAebO?od zEX1AJ*IBZ|$bYiq@Ow^oW&i8Ng$?<}E?+WZb}2Qs_8%pFYaB6dZ+cM>?Dq1ag+f|= z1#^sV_^dm$C)+KmmzEefWyF9=6bN7v61wx9d5f7TwvY>wipg>w2K!mbn?6w%grmhu z_U*P?68b zVi}sUGLev(SJ6^RN-5oHYx6eKml&2+)0>-?E|r(HHfv0M-p&IL6V`@Y`>=)i7P|Z8 zOADEcikg-t;jzoTSu6>;Q;9qJVd*`95AvnFXKs(|(t&>Znr-jiX^$$%Qk_yhF-I>= z)lnwGUbmi8yhosF9evrly19Au(c!~wGSU?Do0Xq^e5L~%7PWa&y-+t0y&6n@x26nMUUxJnD7t3O<@I=FJjgh}>|BYv5RMBsz?$m5d} ziZ@&<3;*Hs_s{d-kCUVDAou;~<7{p9^CW`?etlFMn*?!bbRY18)Ezt(vI($>Yd2v~ zmInd01!Il0=9)9SSnET042KXKM|y}49p?cvAwrBzXu_i-Jc!1HGexK*9}0f_6V%P^ zt;p&^h9G>9AJ-2&z(RxkeA#?_5CJ9zP$m!jU=QT*e4v0H76xv~^I+ob!L$4K4Z$Y@%u68P;t`0zz(Bn~v>u1&i2!go z90G|#pipp-1I`a-3ur-bHh(p!Ph<$o`KK70uP3rekIwN!u$&Qq9uo0G(T^i2i^GNr z71P`~0RjSyjzJk<>1Z4r4H)9!0KjmEBf$%I;4v6HT3-hV;E_mU#2=hs%0W?c5Q_$}>Hml5EY4Y?9G)Xs z2t+5g51SLnHU&Wl7M&&llki=iNN9$~7$MBdtg!rxfueD(t^a$d{QQI!EabzJIP?G^ zQesK^f7Zvpm{Je=PcyjzJYP`@c+e4y@7N6=%qjrd=|RUcIXpiaSirPjAw_`I2O}DT ziy(sH%OHvx%+y!#{l=FiY#6*RjqOQ*1;ITSOj>}i00yQ;#O?7t{Jt#W_ZyKM;@4jP zkQ@;SY+x`?h@azu2!Z}f*T1*XubBv<83b6MaN_+9PML*-{pet=e`;V5OcPZtSi{1$ z&?4c5Jp}+LEP%maMC}AaB4HpK*mnPw<0qCE#A7faAV6UV5ze0Pmk^>rW1vjv3=JGb zAo?P_pzI$sECz%%{-6Q+SP)_Roex0aK)~mB8WJf4fqtg}D1*P#Fd!`ZCm$BH><=0W z&<6pjKlU@g{+$nv{Rcke-}nH7f6#$31he#q4jcetg1^&HC>#j2{7%CFhO=k_9u0(O zc;GK`P=o_31VqFPp&;hW0bv{=iUXoxLa=cLLAE48U5(Kg6b6F>gJy;@Gbdxo`T)rs njWZ+z7?Po>xju>bzd5Kv;FT|+@dToTV-1jKh=zuREgABE6JSBB literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_beweis.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_beweis.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..40f76bf085c8dc49d8f6f2cab6a1342dfb47e6de GIT binary patch literal 1426 zcmV;D1#S8tiwFP!000021MQnxZ{s!)$KUfQ1m`s?^VG4~WYJ@bJ{0Ifw|xz0i*eMI zB|~Bkzx1>3kW%79k{w&7TcHw=AXX+bJpTG|NKHO{ewioElgx`aOK(QlMI%S1(=3Y9 z+0E$BufKcU@&+Xgve(;ejSs;!%fZ`E;(Lw>tFVK2|E*)Bbyr6z}OkdHd~Y zJM_t&<#Dw8!QHTE@$wu;>f!Fi(r}gDmzKOg#YH?xWK-+oRGrNI@-*(ZXUEWc_2(Vc zP6~AI`Nci?B)EUy|elpqio-qeOyZp#_ zGLiGUX_lw;G~rZTG9e62>fL%J339zo?jK}4dr-UlbDyKtg^_<;v`LmnGT+}F{2GXb z2xAYEJ>klmrCQ%1->>pTt!Wom+Qlc(u0`GQE9x?&Ma!tKHHG=Hv##_2?4k6QO-LcU^s9PY&P-p2}HqWC>ALrE=zB5YW3VGP0@MM~_ z{V=SWLeGL8(iJ_P3+tFg_-Oyk;Ky@A21{l?;Pc}EAKUQRQr>`{9^!{~#?KYVz$Six zIH7?LW03oJuGb6v{50UlI({~lH{hp-_+ee~!z|;6RrrAn2sZM)!OzbFer)514fyFj zet1{>P|KSy`nLI^8biI=eSI1DW1By8*nRbfKflFk(>oKd^SQH2F|q&Rgu4XN9|CcZ z&j`7OupT9Wj_Y$jI4<%uOVc}6j)>&~1{8SMgH;X!Vh=QksLy<}EwGNk z)^0YLVpC`_Q1D#}#NBIWbR7uH48fN3K+Xe`2l@epJWwCXV?WS={gBvaU{fcX-blygM||Ls{W6*c g2@W{=S8-H+HvhtWd$I99&bJre0oYg;D+fgY0NP;3IsgCw literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_beweis.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_beweis.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..319c96f43eb8a9e68c0244c41a66c482feb14b98 GIT binary patch literal 6089 zcma)A2{@E()FzT-9a*!yGNddsgBhbN#n|^3@gn>#P62uK&Ged+ujB&pGElb6w|_FvV!gBIFcVB&z4`t+6NoaDd?K z$)chHzzp%eZX|a=5roWH004k#dw7%ZMDW`iOTuIDID!kFMNN$*fJDS&eOQ8XFIpIx zygthMsHg0c==ln_Rwwi7T}34jbB_BD#n?$)mbb#_*f-WbpDn7tb|Ftt@-5RPDaTR1@SZAiarr3vMz4H1gDtQ-M!IkMd$GZy-A*=_ z7ez|lm3m4=D`(y-`IwvyXUulTMkn%Z>%_>+&Ow;4c~hXj!LygLzj}MAGJI zBl%zS*dl~hFiFRP1d;(zQK13g1H;0>0RYoH1|R?!4hw#Q6ago;KVjMgU(#=@U1j02 zZ~*y}V&Ee1^}`tImoWfl8RCZrV5V3%{FY%;ED;Z$gZQ}*W`uX~z-kbJ0ecXF0|Sj0MNL;O>7+^A<*x)TWwq0LVvnt0p5X#^$qZ&S;mF@gf&4N zgAek+;mvh4Xy6Yw&G7+*Kq3ww0MJ5a{+m}y;P{UUL;t$S|5jnNpl+8U0#HQBEB>eC zUfDzhr)#B_MV78z{Wy8mMG~8;C$Gs5KYKKj6F85?*zP#a1Feh~REy)cRo*eSPuvNj zhGEzvz{wQ@bTVP9WcHY$IV4yR)4qI={8x@Wnn(RkVMyYkn$HJ94~)*gS$e$@*3*4N zb=Ydy(TZGhFEs2l{b>PfhG@6G1_7Q+QAE}%YAV2 zY3f5d-s@wZ(oAGwUhR2ne1c@-u+WU2Jg!-ER2tN-o15USjJR{r^Wf!@1~vdr$7qgg#Y_i!-Xm3__Io%A4VPOWU%zO|qVl6Iu5QSn)HbT8|rSIjruyZv8dSjy259O-NS6P`sw>( zFQ+sm!YN0a?0U6b3*3S|`MvX;Zh;fUoerFX|jPL)NeC8Pb3%=LnH6tG@8+2gh zi4d}Xa6k>+;l=%6-~m*?0rfP6$Yol_WPP1d?c>7Sh$2Iwvao6e_~PASM^z8zOg>Pd-A zxaW9xN?-O4qHj^$waJi)#PHy~oQId^H?b1~ZO^@nRNs6kYMAlpqCU$g%Kgw`(fCnF zV(`OM^80$Zex0e2E-oHprf>fBraK3DEI%iScS#4e0;0-m5;O618t|5373Q_?ml=Bt zM*`O0QB4%zw?#^xj1p>Vi*GAu=`T38GsbyR@>RQ#KEwpFQ2_f;>hg(o%tEzw>{1Ic zJte$||0eHaTa>jxPg{b&=Wau@&UEGQBwKm|Db>qMQ_dB2gSC5tN(9n*)Avet?7?gF zhw%;Q%ueiae2ZC|!)$6n(`Lz-&9KBzSz?@i(>P(9_Y^^fmsyD(CHurKnpyLqD7-x6 zV+jl`2F*rS$E5DFKWgBtOMNpNEYnK7LCWlxBSt9KX-eb(PA*j=Zrq1CUM_V+w?^xR zC95Cw4Bv4Tr!>pH93UZqgDGY3J?k`Rtm$cNv3^T!El9eMb{y+^>iRj)3w_6_qcVrQ zb)`ZZ%A3rV(F4)LZs)F;UOf`fDstsiTVB$qkqn^@vr3uKsB{x93s&h>mI`P{Oy}b> z^}!Gm-g&KZjAO24R>RXryd{oaX?>Dqfuhlx?Low>WMGm#7F(E^*ZRmxb6)E5#M@B0 z(#NQSgj1WfsjB%36HWOxCiS)6TJ{Tp)BJ0-20<_T`(gMY?SF=pBR!=Sr%uB5)ZN;M*5V{@r|LC&XJA}7Cl|Eht)sc4InfGEo0{1Y}8AVtII1N zP6oI}&_{R}*{gqTeS72xRkS3eW@YsGg^rAfZz5lUBTvn~YY8=CHc#Zhj7XzwxplFq z`@LZlZ30_Df$_{oHdkbfJ(B2^xYE|lw1>V*>&)@MlRn}(&5`vYucUp%TQ=(nkT-?} zK7BERBRe(<==4vr%fxn_)IFJ%elQE2u1XQ9QS;7e?w~r??C4jp@A0A!m{sm3h1Ct` zB$QZY{*y5`*X3vtTec)$6ErQ98tDCPz&&xrJTclOjKz?xXbBqg$j(5oL;?N&z7gsM zdmpuipS?)3E-TA3;kboGweiZAlwK0usYR_9OR>>K$l+(w@)<6wM=Nh1Q0x6x7$%&{ zz8d#&R;4`jcsGC3X=c7}w3~$|R42@9FS#*42Do>| zvo8L9bS(AZGiKT42DZ=Tal+7&L~9see3i)B*Wx^$imW#gmn7MTUh>t5cGfbb`gnt@c>{vdO#Qhs#`)S4%SYvzvFeoXS9# zEO|V8surss%uRkQq|(*)iGOvkeTB%qR9@pn`)f?>kM%2`G)=c0!rxeA_V13jrW*Bx zXA|&Y16q~yMm6k%SU%znx|PbH=2tr&oD}9gSUN+zRG6N!@mAMbdTxX*WAajvE7NTk zNb;QnjtYh3gP9V8g*`^LTG;43Bi5|bs^ffyv z%18t?UYQ3h=)ChIzF=Kaea3`0N7Sqj7vP(iMy6XuXCjj6%nXPwT$g__iLKAAws{Ac=?7P2Wl8^NDDT>Oz|ZQRE)+JnDV9UCVys_#2{ z1-f~KVzRNC&%O>l8>Jvj8u!_Mb&vcvJ}wpL!dnQ3ez+_zEYKVE>(z+rDw2eVw_Xf(66ZZ2%W392^rBws(*tA{V( zz=Tlzl+`Mf3lDKKVAao+@V`kB5cdmZEViq#9G`%QrrDZ%^Ga~Zpe9Tp4&w(RbN4Tp zJzsZM<5l*Te?gf%v3j22fYEurG^p|Y(H4kks3|vxUbtzCsDVsTmPR~xtCzEeN|H%M z{DL4a)i0MK8tdoH+@>3Tv>n2Mfq&ndBu6<-S(8YrgBd3hMPa^!$izjmU1!j_- zg!!N~obxDSEke%0jB#wQDDYkEUDf9c1gGu%bPr8apQ%&#uS0g(!^19VxeWPT+PTX$ zi*l5$$`JiHIcpg)js4Hbmbt8N{ub0{r7ZJhRtHc|@J1dTGbpB|&3^67M zg+^!cHd#hr5~S?iSJxin8{f`l*rCJ6B^UoFI#V}KKRxqk4#Z(5edZEB43Wf3(ff8F zMPl~rEi0@yCk{GzXLqw?uYT#>-R>#web1o1x}Av-Hg?OHWfM*AT;tQ+@d>FVm6GW) zE`rgRzNgV2^4+q&vx=^MM~!}8FIwkGWSWHi-5=9>wjcemf}(=r&z@EJ@9qvkYe@fp z0*Yfwm**3JGxm$x6Bz;@-%{9+26Ot55${HUhv?%OD373ctIXmGGU>I(&e)!;0RH6l zLDf^*VWS^?Q&dCwtIgQ^@c|I*W4(Qs`L5kxjvqhhh85r#k91P)zAC`ir}$W1!~e5y z+>10jrUo3{9xU*1Du-!>8FYcX+cAcP-yoOJXaMFe`utEu5Wj&-}nQHWs=JM zrlFpJCn6=aQS_{>30MA(`Bo%<1YKT9{%6b)G#TJ$OTFE?(^LiwJ^)Ab@FNk3TWvoL zGRFFVDgp-YiM0;20Gs*k32&@h0HFA5k;b-+Ad7&@!vR@E1QI}?&@@Q_g#xw}1U(Yg z+XHvZ*UcLbz_<1t3&7Fz2xWQn){thJHkOrFKyCq=SU+97hnqVnS%AlEK^7#uk2Qea z-cK9o{v6P53JL*ud4Q%B{H`4!{?%W8N+Pty+vf#3leR<>O+5?^qy<8LYeoYbfTtmU zc@D0$2nhg9>-oA8XiI6rjXB=U1C)Y70I6f30rdP=9oPW&a8Rj1!QlW3tq8tR01A|9l$5}+0%99e z0I@&bj*h?SC^XIJ@1*}X6toy@2l)StftD{QW76D${d7xKck7Vt9J*k^T!4NAfY;rM zzWFu3(!_#{C%A3JWy_l%%GPYewQQ}o~SkZ^^+>>`o!V7>ma4u$;fJQ5KL);V!YZMX0U#na+Pt2J{10p!HL g!aJ=#fh}HaF)e_EC6cxxj#Ppxut-Q~nP{{853YUj)c^nh literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_bsp_2.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_bsp_2.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4d5bfca8bf1f8f9a8191098967642e113e45cfb6 GIT binary patch literal 1163 zcmV;61a$i!iwFP!000021MOPNa^g4?-RCP@&XzWkELl>gNmnmsY8F#9i|JXX1Qtf! z#-?PGbT;$tbN$Ezu=79|CY4Zyt1$9?Navh;CHV67*E034wJl7ZO?(_6-_zMFk4=_L z{C~dx{z>>>FVDWjMtz2NV%5@vC$ggYH1QW@x%xaF-`v~;>20CP+y<#x2ZbL0tI|}B zVbIvWJoCKA24YpJ>Rx+Sm8CV)b*a5fE%n5os@c!P=Ibo>n^En!S)S(ByH@GMKcCkx zf83fGZ`gUl_DUssYPI^=ZyLc%%6&|)wB0tlT;+viTF*JF0*|S#o*) zjh;6lwKpDYbp_h%q+BYSm~7V%%uU)%1PKHo1SW$?ArYq>-_6PE-A#|{E zxLW15w91sbE~j~(YLzu!OS{(l`zdBB1&BSBmO~bEQ3|H8 zp_yi{FAvGu#JYF}W}9PrEG^n$(&M)2OAgYf=S`=2c{R&zw%a5e zDxum%ttGojb?C^eO)s=b7UjWhPjee<`&{5Cz^Hj)DiOvJCi}TF87#rorVw;?it{-_ z&$wuAHo$jc0(NCW1i-#dSjaq}jQvpri^jL{x_Rg_W(Bv($hcd6vOT33~K@WB^?RXZq&*I)^?@o@k0y+$YBUcFXW^J8T?1f^!31N9u2=}Gg zxf`e;?8NEQK^Qwgn4AW}++Br<2$6t&BIQ^Ns=@?QT024^xnSUzF*1VoTt;GW4em~| zqmhRwBUy(<1bI&y9G(Wi!u@a&QChFqkjE;}NXy0xWfvkqhyk3Uz0X!&jNH!bx)fTn zHlnwN+0X&A^fZ{2&O5(=*LvilGB1KHIC?C)68s)bbo-L*>Kb@0x-K>7bO5GruWP{0 zKW>5^3WQ;8Nf;6_tngxjF<=8r!9##B6I@8}93o8kz!>gJv$ONXQbL#{ia2>sB77> +stream +xTˎA W0^8,4H{X8gNv#% IyrO)A_k߆;`̔0{H@ ߒx3Y#=&8CXZGp<> TPFqp U}P$Y7MQ+{Zc,T39ܢcnB'k\pkt*40bD( WEZ AЬGHQ> + >> +>> +endobj +5 0 obj +<< /Type /Page + /Parent 1 0 R + /MediaBox [ 0 0 227.199997 170.399994 ] + /Contents 3 0 R + /Group << + /Type /Group + /S /Transparency + /CS /DeviceRGB + >> + /Resources 2 0 R +>> +endobj +1 0 obj +<< /Type /Pages + /Kids [ 5 0 R ] + /Count 1 +>> +endobj +6 0 obj +<< /Creator (cairo 1.8.10 (http://cairographics.org)) + /Producer (cairo 1.8.10 (http://cairographics.org)) +>> +endobj +7 0 obj +<< /Type /Catalog + /Pages 1 0 R +>> +endobj +xref +0 8 +0000000000 65535 f +0000000995 00000 n +0000000709 00000 n +0000000015 00000 n +0000000687 00000 n +0000000781 00000 n +0000001060 00000 n +0000001187 00000 n +trailer +<< /Size 8 + /Root 7 0 R + /Info 6 0 R +>> +startxref +1239 +%%EOF diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_k3.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_k3.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a24083ba12ba7b615b828f56664173a88f923b4e GIT binary patch literal 1115 zcmV-h1f=^PiwFP!000021MON%lcP2ezR$0qnCmP?fRNZ-dn<>ea!6GUNzN`|G+0?I zC?U_RFZt~ekFm!*#t$BjV^cMzz^!g|^L?KhjlX{Tv5K@8DpD5nsSXTN*C=1a0psCR z|Lf0RK4Jaa?BQ#`$Y=Ez3bNAF2%ctFQ++9A@_90OeSI~eO-f`ejEJp`lurI3QA8%n zXrj*^H0`~EfJlH5A?#Sv|GecEVLIAP4&m;{Lm+* zo5`M^4}2#iq`si!d%J5>9iDfN>x7D`+f@>$Oqs|{QZs4slYPFkDXmgv#KYO+PtId8 zrSitkSJOmWgUA&TA>;Kpsy0zk2+P2hWvOC74|^tZ5O}M}>EZlw!$sqU6XS+s={$*r z6okooNI#AvN_Y`fiZwkyPP!nGg4joCb;#nGNf{rQ|1*iwV-hHCZ`pP#b3?&`kBPfy z(cQ%dA3sc;xEY^95h-|1R-T$f{9TlO-)@iML!lmSBWFgth z+ts_G#QxuOA_b9I5ct70A_Ij$1?$NfpuOu##Q;}`vTC|d=hAy2SOA#3&3|` z0O-yDI5Y#CEd$)a836ALxG@G;-5G#}W`Mh803MtH=+1x}V}RY20eH|Z2yMF{Z;UPo z-@Bmy00T_Zb9Y;CLo>kX&Hy+x1Dq`b+`$=e?}BcP0kAs*(9jHUw+z68GvM9@{XZG- z8{z>UW37Y#yb+EX?AK0@!M5jlKT$LDlR4ReOJ|JrY!LU-F7ZkyrFy zUeS2+ijI?4bbXk$I$#!FMqa(n`+|l7la)yfavb0ci(3m=Dv*ni>1N19SiQs7tLGIp6tz6t8;VXn)^)zyT}q3czO)#P)lghii_!57 h1-#CN!n)+kU2&cN{B`!Q_xsq{!@n657*9hp001SLAN&9S literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_k3.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_k3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..19b3cdd1a7328313085d726f3e1b7368df64d116 GIT binary patch literal 1423 zcmY!laBvoz#%-xUX*JjIjK6%RBmo7<4XM573zLng3+Le7z&ATo5gj$%dn7=N;lfF$G%?S z{Jk9>_0i9gfB%`YuP&Rz*?yVB{1?4%sy^N=x{-6^`Zq3<`)c!V>~`8#w6Qa<<%Z}w zyAy_SP9~Fc=VYm@+*q)IE0S3ujnkZ=@8PK}uAe)mA7kJ#NvpEmSik7`P<4w_P#u_ik(eHx@>d9VxvPG?VTk%O&L8?j)boF zJbl=dy|Pt%gYs9`X_rmU8y@?_y3=E#`MPBO%>;NhIsy2r2qY6cjT4k#o2lfoA2852~0Tim#c8?1EcBN zR!KK6b;#>{w&!=n@s)qo*WKsdwdrJ0Om1J?UdtOXN5k)j+&P&0A!e4b-X!+u)cvXJ z&8DaA{p*%~*xvs?L!j(FSFY5&6lfX&vOuW|l%zm3Fj1KrTY%(2JR^A81E)6EiW2wW z5@1SGu(1IN0D*p@0g$7h@9d~xsGy&m2qb~&4=4d7fe31jDcl?d{gBFnR0aKj#Pn3K znE{DKsd*(pZLlQmo0^iD=#*cf5DgSEP%tz%&@;9K0uy9rELg8|eqISsbFl&_k3cen zdr^LA0h03|wt+=qE)E8|p(ru0xBz5xawSaI87S_OT9%od8szQ-5`_3eKPa_0zqBYh zwO9cZ8bL_D0=XHMGZDTj20P6=Go={l1CYmq6kx6`1$h+705c>5oPjyEB)>>OBRMg% zC||))&qB}8KtUs;q@=(~9~iJe!StfUf{e`MV!iyLbWKgLH33EWDW%E45`cJZh*&X4 zvL51o=fsl4ocwf%(ZCoghQ&?@Izs~kU~Hg?86xW~DN4-DNi6~wo57h?sX!-# sl50?Yeu)CehHz{0Pbzvp z#~s&h#yfuA@Vyq1oM|b(wYvu9!}&R`*HZ7hU9Hnh8I$~JePGh!r}+QMrnbtAQ4&pW zf5Erakm?&RzM2Nw8YEu{9jW9nj+vXdnh4}EgpipG!Wjnv4&Zi9-XCr@Y`A#XaC+Eq zD!X5&I@dzwhaqQa8cUH>QFFbK=f}zBA~q0vD=mvG7AnuvBjaC)I6EbQ>h?3+-pkxb ztMF~&?pU;Vc~oJ(y#LFi%Q&+Bae%0&_i9Xg+!U*lM<4b@+Sh>;;GoVb62-5J}@(Ks~4 z@La2SZ*WWA_OLP*dt_Q0-hO7#&UH(PjzxA z61qyL3{lpS!=xJO$h%!HrHYn$=e}pD4y8UeaNt2ueIVulLJHA&;Z$Ol;C{CdG>T9` z05}q&x>*6=iV4t`2?m`b(kl~i!30t;ffP)jJu|^7p${f>%7n#YI3^%lCIr1RA$Vp2 z8-fYJ2NQl6CKR!TVuEkW1lGGcV$bS`5223OhdTN}m=Met!Ej8#woITS&?^s!$B7AH zco2Aij9||^ut?{F1s$>g08U>T)!ne*50x}gfY=`pFa(gA`bh)GSg!{K-{*`O79bKZ zaz{N#0YoNpfDt?sxAQbf?qw2|8J(491C2buIKyV3K4RxWCE2Xz>;3UGHNM_*T4ZM? z(X4oO0JrTo&eC9{=)xFCUwvV(opl(o1?NJN^pO;Dl zLDuha7eWw>ivACy@D6*7alg>v82Y?-47X(2WXcc)<#8ln=aTC>F$^z*;lNsqc)YAo zR%PcT3{#KoRAT1Q0V{E9o{hr3ti)EE)8$Z%El})V2F1)4#YH8=9F1tNvKsRuMj@|_ zvL=84HZr?*-^gvqt*I@8NjaWtLo2jEE4mC?xqU07+EJ~x$rD>5JGy}lsT*3eY%;BM zgO!lF9EQ>LRa^)K3nR_X? zcJN9P`;M22xtY~h$8-0yLXa34T(U^2?mM+U|m7+ja)0aMm9j9c?;I@wV|P*C)_VL;f= zBpxo*ID@`@*TFBB*J{m9Jhg!x7*h`q2;Gc{y)Ux*>k+s~r^7=47S{VrWnPz=(CcmDGfb%j_rYblz}8A#iU2TidS42+8WTaq6PkiSE2&d1cF6-HvOmKbiO8 zvFP9O4@>fvW?ugEyss|(;+2QX7_{H5Sfi4pc=UCXZmI^S>iomJ5m%Qj5{o$YBI0XT z*_+&>rVG0^-cspl)n;MeUJ*S#`q0d?ud?qQ?uu5u-1TFJXx&983-vO~l_5*cc-K8@ zoAcvP-vkf;V`X+ulEvEGiLJ+~RF`S!+XsKto~GH|GXF!q^Nwo*ZHDVhc+=-?1~tZ+?9KntS%A zPq(t~?Ka&WRF-{Z@}(%Xx2F%!Q#lxNtuMe|=b`kH#O0<8+YHjSIQq|6w65WG;=HM1 z67RM>+UdNeXq|X7uko#GOFz%|D-gT);qKlYQw{d)*lxKw>TCd~rkd?NmeqDo?`$k? zjQ{Ynu2Rl-;oOq5OTOwz96!;am14){;W;&P`rAW>>q57Rrk8Li$QCc@E?nNxdqns+ z3)kxVrG{ZGQ3hQ)f$ahzTkEG!R*8(hW>XmBAK}$_?)Neop@`jUXRWehty;j{$!U3N z-NN^3M>cgUy=~jql692bTcTu7ZsXNB{`*6AgeI1$}2n z1w#e>I@AmfGHMLouLu3-jbrk%$(FBa6ufLS(OTOGAOwQ<>!|ufIJRKE}nU5 d`3j(D0LN=_Nn%k6*oTHjX2x8qs;>TSTmTNE4@&?5 literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_monotone_gitterwege.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_monotone_gitterwege.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a7b4b6c401bdc2fae8dfae3b721b8d9ad8a929b7 GIT binary patch literal 1360 zcmV-W1+V%aiwFP!000021MQs8kE1pe$M5r3Am-9aS;7w+!_H<_y;MC^>S4F%krO<` zT>=p}na!ntdre?SAV6k9%*2%=B~pmGBY zdH>R9CW39+fFeWxP-v zKHmQZ?u#mw2M)H{D%$CUt#BIB_|y;Yo2cjr+wg4L=A8k3&o>c3)@z@<-`#v%chR`+ z(sA9<>}j2(EX9G2c{YPw&Iu2S!6- zt@HE{cmxvo{?kLap#jOxgju~zhoxm%YUM{vZRBR|zY*2{}M-m(Miw$KK+a4;mD^zS) ziS3Rgw%aeZE3??nP_dCvvE52+G?Lh;Uu-0^*kGvGo=~w-CAK$`*j~Tbp3GuHSte+H zF1GXG6Ey$Q=H7zX?r^bzXtAA2Y%qq{pkHhtuh?j)*!~2H78_JzL-AtQ+S3*b@FT>o z5(#n4JBTZoo#aYhf6qM3}93!si$bwa5xnp3& z?Z=2KFGl>~7(t@Nb}O;b7#KnS-wcj9Ty2rlL9ad?97XLj(?J>3{!V_fBektpwFf8c z9I<1Y4{Tt<2Zw*6Tx|>57wXOO9yqfI(J0fkrnXsPMKF#z#1Npkj~g>_NltRu;(~w`7ki7kg~Q9?|S^6?n#*H-||2cqM&2xn@3d#U9b@@f3SxVNcf<(JSo!9_QX+ zceLH#=mz(Qc0GfItNPR&L@m$psShBL@nj9ZibtaN96RIgIX)9lK*du}JY8WAI~XON z&`A5?-2VM=NX1icJY8X%JQ#1AJQ!n}{F!)iR6O;>6OiSx3uA50MmM=R`{v@QBNt%9 z+uq&f^I&p3*RdWf(}1>R^N_MU-$S>b5BOz1!N01Ufash+V>h1434CBqp!mLjp4{VI S?SXTTcmDxARfR;9RsaBJN4}H* literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_monotone_gitterwege.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3-1_monotone_gitterwege.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..af854d696e8203924262df7ad8296487d3de8402 GIT binary patch literal 5447 zcma)A2{@E%``4-T5z(}v=q*OVFvA#w!NFL|zGaKS%oy7+Gs;rw$dSpGP+>yIHc_@v zmN1rNNw)0KN+cx|@_&bP>h%4u>wB)5dEe*v+|P1v^S-|uYJ$~)A!Lx;(9-FGC2n~D z4v?MQxiJ_(_Bh^~NOJ>_AY{f30D!Cx$&-esfLBi(4UfgUkX`ZIYHHk68U>H@;`V1G zn76st!+ENgj?VpIinqJ!C85gGn08mIY{-Dm<<{RtBKL*ozf#XJGHv>Ywzy0btJ(B+ zXzxU>KHeog@}FqO7AKk-mUnc*?MAP@*Xcj??ppJ7_-q=M%OiB9JZYRmRHi2MxIKdM zt8Ql;dS`W+^>ABdoz6<_zB>M?=8nLl>X4$hv8kWUs!xb7T6aC> z;(%^9f{+&9A(GFv>m1+mYRJgQcAcc%g?$k(j%e(_oc%Lqx9(;0Q^5z@C@A_^i&o#4 zR9*j^gdGB1!mf6n-N?Wf*A-6ac&Ogm-Ayb-TUbElbNJl#v4NJUS5%^mA}<7vhP>YE z_UXP~Gw(C41gFz?r)6@|W7|EhoDr?q^zMLFVE?q{%~;n`X5S>D3TEuD(I3VbRZ)>& zs?{KkIwZ$rSPzx;&Byh_4lqXRgFQZ83e19rJqvG7LyI1G?bUU)M-guzHP`T>#93xg zXN5!RG+@My_jdhmdhm|zG`6SMSI}4TC?)ndyC?ULW`md}G*_-y0Gyw*O!2yMhumFX?&-cwxKQ;qoEdqS-fUF6Q zh+o^-1V_Px>mWAf$r|EaNjOciKVSz!a6nE@Q3jy|HbnrT2$zv(-y#8rwYgg03Bbuz zfE}Of!Kh0i`}zEIs`cI0&<(ZB!81^B-c%p<&MpBPuoj48@ux^Gcr#s1HuzmlGdz{- zM{&VZ0k+A^e$q-2?Efn(&_53H-?D;j)b;d10P<)g@|QH}u{uk$=-HXNaBimBu&Dp# zG~tu>l@-1FTSEUFf`)EkDQIp@M`@O598YeBbY9vL0N>KQGCCQ?fcgH(a$)oft%Xtw<%lS2GKj2%F@3 zX+5aJGBvpvO~TLlX*{xWW!er zE7C7)D|6)Fi@h8kk(Zi{Pqs!rJ9T!GX-VT;*C@gUP|(Aw6E7%k$q$MuoXwM$xP|4SgMhtL+ayR!$02?@nsqNIaTYw9FM4 z5oPOK){n}@W;dx^PPu;7nddW~4(*2Elw$iU$;7;#yI(3%%$tOuNA4z81Xl~i>7mky z;0LE1OwwO{*}m^(0Ms_V*}K1?%5K&-Idjq0HEIY*c8x01w#mP3de28<0vUUXiLQ-Z zSlSiwBs~}Ae1mSAp1}xIZqB_PH8O5;hGesiJa3#h8hj>vli}3D4xJ&X6l;{axe|Yj zzagySw4HWJ6VdO;{abRnYPr&1OXY|;rH0JJ9yO^mA;xi*jF)5DR}Lt?JLGPXU}4Z1 z86ipibe3*&Bq%WR<+E;zC#A%;@zu?YZ&Mc8N=nMnDaO4jw% z?mk9~@25*FwRYalWtNS;E8V;MZsQ9g=S8#+IYqwRX8Y}}_d@JfRVxH5qV0(VQhhg) z1N`o(*Ux-VS&^w3OtraUIxgXRwcKC`nh5Rh>5mdLj20)xF&_ue!ha9ZQ{ZBiDR=dtphXrXnpTsLc9+w8LCWz9Uagb>6_B z$A~I?{wuk+)Y7v0YimbLf3J5E{3c8#NCMIYq>deE&!7#|#tJ2b#nYHink7T6Trpl} zTc0|QW|>A9=tSnRGLP(kA|H8k+{BsWE0Ign@NGVM|9r>3`lhVbH$$qYTHU3}X^j^| ziJo#SqWEm0LdALG!I>(X2iilz;{ zr<-qVms%Y&f6L}^?od4`Rx$Bow$$om`Bk?*L*=7=kuI8OC78O)z3}edy^;sGMiy6Df}8k>Y29Jnm{(BUW$IU z_%=G8)iyg#8Z>`Icpw9{iV^zkHGi$k*+;CSokt`_O#6K;w{BHN!zQ(io!EUb`t*n6 zd1hZ2MZ1b`t1*U`nni;|SCTJocg&kk9~&zexW=ub+)cl6_Uw(Jo{GN=0xZt8O}pWp z4rZ82h^bq9`0clm7(IALU1RWtw0MYNcIb8Vi>h%G&CGP?!#is%91yXS$}gr5>O1Hp zGvB(W4_{>{*tR9RKDPEyyiIoVl6|tDFu4H{)DfqXjFD9R4U2l<{drNV~JOCF9iO%X!Jt zP9r>@`I+D@xz{B*vgV@0j~RUlMn<;|yq?CrQmrheD|a@EzquS!ft}$_;7l-6eyGg7 z`+=F$Q^BWE1Dm`GdJ8_2hU4$_xDDI>ZI!Y3A+lV1YV72BMT`9_ml)jzjC3L8NaN@A zre0xtb+eyDp_Ct69bSdq=suor@%Y44i74O-9`xttOo3Hd8*9bKGigFQ8o8ihnaa@tkttroYH|cXmmxsf zTyhn5&5SuxFlcDw3567@w!AZ_`6f|n!slHt$FLA8mG(+SMI_1UaO~-By?+|(Iwy%& zSP~(X?wp>K%-1Ak7?*H&P2XOM3fJ}gbYA(IYF>KAko5%T64H{y(uzbDC20(2DGgw+ z5_z+f=abxyetau)j(Ka}1inS%a*|C~cuipS;w9*5_w4>R1boETJ$^2nQMV+g4>Tp2 zOHk^Cj%`v)%_E4#|!uqLZz7w)AjXG{2BQ+KKdL# z#`I8IoZnY8O#POUDPywH?>#d?oa} zvjj`vw^2i{8ZC-H{&;LTSPj9rX?Zv?sXWz6u~R=k#{G+`#1tdJh#Nsx?8v`1-w}S@ zrNO-18lKa}u;Zf$Qef_O6*YUloD?dATrd;TjW~MMqa*EzXif=MflkbK$Y0=dy!@ZR z+0%U0^W$gu9UI1u(KYC@m_^Kv;O)*2FVuKf>MUE1+w-Sx?L63+ja$|pkJCJ3AF4)= zsYC}6QqcQZf+PL}5w&Hf^hJ0ipZItQYYCEFxmYY5%ssA3k3%gN?wAp&Jt#IZHa*il zhMn;n#|j7D(drl^rR$DQBbQH(pN7;VEJk5Z^E=$w(FyIGczCC3F@cpFWi?As9?`4w zrT0Nk#`#;0UuVgRos3lU3Zoq7$q9#djEQds1g-8?qS7dhbx^T*fLmF?B}La*F49u5g&Yfw9(o?bHh>|&fes(P32>LRaY^xsjP zs@+R(OBN4rgCvVPi9V>96~fG=*~w&mV1c2k3V65QRRBhl@nq+FQ1U`eSpOulB`=iDcu6yt2ZQxsFBub<;#%f z95po9Gx~XaFFm>cW1F^wAq&&M|H%yA7oGfCEIe7vpmi~t6{RRJu0!9?V=rskD%Aj? z681YA{Xrm}V0msXmM%9MAJk~&aSmgZx<{9zBGX07vjoo3nb0gp{I0I)a(COx@|G}? zIm|gJ7%gHBlZcnNeEkY}pLtz#s%Q8a74bKT4X&F52*)W8iGM8^6n`+VC+WP$7B`nV zr3>z&q&IBYtkfwm(@-vjakl5Mjx421VFWztuY1M_PXt6((>ejmPz!N0sM#NSul1nE#0pK!Bq7i#2p0r3;uLqc z=uYop0l#oQz^D$AEG7*ptW-g95$FP&J0Yf(FoQbRiz3fuxwPCEo9Iq5Vxx6oCe$@-ncCbPqCAb0=Zoz^G~fCnuO{qq%NRHMVi7kNd4yWlzB9XbN3;U(hZwPT#BCq{ zrv*(aoE*zAH=f35pT+y9Xg#oz)#sro&Dv0oD6PQv+Fz}e4t?-cyQe%MUeM&a#9Xvj z)l8_!)N3Izsw@ODg<}=8ZU0C*1gm{A860R>aL!~@?&YMM<-Ueo{zS?2D{td-HPe@l zzi|jkYq|9H_<&K&%Ln`p;k!)@E#AQL8R5J@UWmoJG`yD;fL@=^?&xiF*e3<49bOJ# zv%jC&AmSfJy+Lx>!t3k#In&l?ua-WR4YCa(w>F}QqvF}fZ<>RW<^fc2YkhA5nJvnu z;%0av2_*LcfP@A};_*k>IM`&3DXw@5$(smB=(~ctk!S%whRpqZd_3`9Y>n5{`H8&$ z;{;Ii9|>R$*ug>Wje^4glsszfE00hFP@sP6eIy{S1P9m{`|9BE6C-A`|KFYcs|nb; zuN(IN)m_^gEF!Vhk=;-Srnk1py6;?ZpbtQsQNd%bS>0^C9AH7V^d_;(PXIf`fAP(4 z=VI3%)`PpY~4y1+h`YVMoDw8foFcNGB85 z?6RiK_ZrGSll&=o0ymf(3f%A?4L~U<$SVK@;5&vygE_P|3V3f|a3mUxWp?`sga0=< z6!^dSs~i%A0!{TR23Jr5!|Pud8vfh9@`~u+qHB z1&Id#F8(E_0EdH*ijBE63J%O~%37_{oD_&>+mD@NW@IuL6Kp@MKPcFF39QA%TBK2F UI0|je;tFsSf*T6eHrC<(KQ&tAzW@LL literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_graphen.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_graphen.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cb5b0fbcb79e2f5bdfbcf066bf6d3fc8f33435d6 GIT binary patch literal 1348 zcmV-K1-tqmiwFP!000021MOQ)bK*Dmh9IOtQ&1HMw&<4hx}TaS^yTZ@G`AMGtVltJw&%FEh3U9R3C)J~ z_iulGitVpYcVAM1KJ&k!mrp*>-2_IWUPeSLNEWrbK#Iysp;6(0PD@*E9# zqk;W&XIbwJq==#VT6+~SR+7=2VT+>n_*puGH&} zRL`@bWF;bO*X5`va*Sx>m6daRzMpE0avoxR!;%=q3t_A{(*GBfSEmf1xxC4?k7jOG zlC(c@J1q`ac_k^EJijTLuEzROk@W?s$SBAAdQT|3nEB;p%!}x(*n9hN$!KV-9b6vL z7y}GGzC2`elH%$}n04D6urz6#4UWya*zVMcX)Xzi^~yz#mbh%q|HYxhWmeYfwACWq zQjUejj4amg-c3p|`hmx+9qqpi(G-=b^~w61Q2wb+6~b!}k`C>E-0pOV1LW2?6Yk8{ ztk?$CLm&=+mpl%c9*soHCGR|YwD%cU zT@B;p!R_AmAHwrGKs5$a{t$?+M5U*MYomF7m!C^5MCoKMDCZ z)i=P0T7mD3ZTEI?ZqQ!?@PRDwfzp&;1MdsK>*4yKKjTA_xjvN7_)sD6fdD+v3Vdg5 zySIVK84s?T>H~r5!8K96(ZENtz(b|L0|9ub6?oVWd}K24P!{+|=^76Ns)t&sKI&iN zp~-7}ET8czfsX{>W39l$e&A!1flp+CkChg8&`Che^Pq+t)OZ8MV8{IhU2O7qch8ka z+gFQrXJJpYF6?pt!k(DCuzME}>>?e4T_^~4ktV?|>KE*Q!O%-9c4rU&B0Z{Mh zalBd4WV*GzU0>hXS`@5aD9%E8hJkA14Df}77m;=SScex-&MNTtWt9uaf>47j2n1OW zYLW$EzbqITjJ&ii2$ZfTflx^Rtu-X*Ur$1#Ysd=-gOLVdFcgHrNRu!a^$UY0BYy#9 z5Nc2cfuIaRP0Aqb7mFfOYDjNgLngndhD_w+3}}e6P>`l{#Tn?ArVOqpeQ8lLQOYo} zz%ZV>f?N~wNk7AQuE_xBCd? zoOa{xXzZQiqI-&==ct?O$~i(g$>Y3EH|{Z=dqVlzN9mRO54drU+1vx<>mH>-TgyF>S=bUvSUFSUd)7}53_lY*M GMgRcb7Pbrk literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_graphen.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_graphen.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c1a067d3e9adbff6c254893cd8023346a4d297fd GIT binary patch literal 4947 zcma)A2{@E%8%}j7m0j6}FH32`toEF&k$sC|FlIhu#xl$djW{|*D251!P(t=4YYL@g zi;`@m6@?U1p*Zw^-$?PtuQ!1S8h}I^3FOt$;bk!CAi;;1m7bJn z>2-U*K=btCuF*}T^d+r2K$`cm)%Yz{wHd43yq7f|NiWQ5S)WUpywwey9-V)F10fxZ zUB5KDus-_e$)-4e$BM2CLk=$cI_7)4YxWyo!Em{}+%T8pxsV3xxxNy9nT-)gpw=7l z@oByn-^FrkX%oNka!dcHZ#B60m2Xk>xVQLwJ|W`$&?|MjE{-6a-&H*xWAXI2+wPrs z{r1!RgpUVP$64GUdEhV&IoAAgI6tGYF^=1!Lg4L|-J$3Qs+q&hfc#$7e6pW%=4?fL zN|}Ul%&pylRx`xY#fj1DyOZA^Ut6Nv{NiHfaGoq*s_%TJkePTDQL0c~BWCiD)8>=@ zGDMBu#r*#Ci5zJUC4o&AZPqeb!)55s9sWAEZ}Pu?AmKzR5$SnTHgmvrQtVt3;}${D zMA=iT@{wBa2JXq{-pK|ehb>MPOW967PnJK^*5>ZrKKM+0Mp($Ajp)@s%CC1_e={%W zOZw(==s!4EaD?DrC`K4n6g&@)(BDJJ37#Q~dBBzl1rE^Gh5_hNAt0dvprWq}pa2yj z0s4l*2~Dhgs~FLInLkK-C?S=Q0B$uMAR*}UO_}O=Pc5PR70y60GyC3*>`|W3-J5lI4f#6 z=&C)oka9Y~m*EGiBnGX*`Veja22zNi%>g|a{AQmG$e;z#i68@jeP#25Icm`OUuB^F z{UHCX3}A1r)C&s0U@+*P>Y~p+n3>otdb9Fo>NEMev=B+v6KBmUwujd1vAj3X{7zeK zw|3c>64h;x9A$S9s7Jk402H}-i#Hf&1MXLtrh+FOqff4Np9l-LE$Wxebj;3Tdk(0- zc_wOU8Emmgv%LBEi^tUB^3+pW@_NDMZu;7wynBWDS-nM)QSul{XVq^X>zTAcx7=2N zjrhX>UBwzp+dAbd(B_NN*J%FW?0Yp{*4Mp)XUJw{8>%kcxGP;!(kY1y6OZM7D-c;j);?kM*fB*N`_Pw^Q;dwOXAU(Y;dvgEv012uor^!Z?* zP=Pq<(m_OG5|y9qm3==n^6%K<7pKLlJ7o*H+H;dbN!V&^^{2^~cbTcFrJV;&eEN)i z>Waf^KGSZV_nOo_sf@hv#2%A9w|MS@^-iS#>M8bwI}u$hZ544v()`q=@Zp5);&(E3 zgY*hEVxBTnZREUdYf@sMV5HDlKnYxj!SC+s3;=h4RO?I`;T~7v-+Y26z}b`t)X?ZL z3%u3Y5z+jjSC=N2eRpNpcDIk%Bsd>z4;k4wu$7z6DV<|eHoJuCN7a+?BG zcVbW^O+HmttHbVf>VZwgAGI9v?td)K!R^|kRc3~N^Z3A`4IZ@fK!?|JVg16}-oC&U zMfWAE>AhMYB|M>4CODFV3MP}O<=d|g_vZ~f4e;$w$W7RDd*3nY8Q+q!GFL^_Evd8P zk51kCJI!T!tnR}Hgr)uEHeptL%FI3*{O)>X?nFuOwnO$R4VT_-FPkq3 zo1fk}Wjf`0Ei(A7p2d+NOJNK3jeeuT?`kv^uE-uzA8sSE<6~JP4Y$u`oY2T_loE6^ zZ?dTQ>>O{~(2Ff@ZgtFR-QD%R`@(4{s-@O!4$AJ}{6oDXmNle!bG)G{ca*<-J+Yo~ zCST-ZvrzF?3!P5K_|wh~zBb8wI+9X(ifT4w$EGj0DFAZmMHLMhFM6N*J_y*d=dF>n=)RGt29coN{p6r}gV`$EcVJ<{ zWk!lES;M%9qQkI=s(gA-qw`4zUsw6)5zXjhe75_qbt)V?a5&#yq-Xma%CWZDEiI`> zY$t!aNri6cUP(%3aWcEY`B1d8c0q1_gEr5IsHtqmrOi|U87thrILouq+g>S(Tgqe# z&N5T84V0@Z?M#C`ca05it)!%a1)vbaqQGeIK2fzpvRTe zG#&61J)_j|xwNC&j=r4t$U*K2Esttac=%3y4G9xhIp%ouzza&7^}TNYq-6hB?t?_1 zE7yGvODWitHw=e+miy*vYDQ`yd8W_wp-rboB(Kgz@@A$}AJ5N4v8!$Ndc2D-#|}TM zuu6_TwqTI_WXj`3nSp?Rr+%_YOn!pP%WDs)$lOcrxPJd!L5c)!ke4J=L*}oMFfzwV z24T+~HGQ)Nkt4OfAbFqR%n_bKFYjx%E^eLG?qRPbaPA_rnFqgU3}`;&4QWD@A5IE4 zv{ES(tVkiQ+y3>A(Da*!o#`%LjgD%ntc`#hbpG zu(szp4228P#uvM@OM?-3oijm(3iWKOPLJhrYwN@Ep2n$vOFBt^ut*!i(~7$!DxRn4 z$d5%T*TmeEs~(6=s1u6#!(1HI9jNoHWbDcBr7zNHS})TjwNl%~7Rsl;_@rI#iAt9V zW$0*kYs_nYy%;ylS7L{Fv$hN9%Ftdn0A|bXY_iak3UPY%6-_N+-OCk!^>Vr`vsJd6 zl%SC6@YwC}6z!{p+`E<+<{@vJ)O4MrTL&acB#vWd?6q%f9xgns(jRB%>KP(^hpbx_ zK0^^Z-uIcbq4d=VksTLO8&Y75=NlH<&o=CG*31e1DuI0#!=U9AG9+ku!%A#5-17&Y!;FXmWf#pI%DmFe zTfKDByIBF%rVSIf_Oz=P`0I^;?7y(FUVpoc7_whb>NEY#MuN7*mZJKs*%5NBc3~~? zP2fZuO6ssO|L^3&CU7}WYOZ6}GU9-&`AmEXV?Uw&9H9c;iX+&ViI| zMgd}srW9eLq!w@XMat8^PG6*UGG7;^8rC`xjkZh?vTTUgjrJ4Iw>*;&)whyv$>2+* znDy1-v#aDSk|L~yBA+DK_WJ0Ub*FU3?;Oik-)MN-$}j`j&OZGcqSt`EF)(I8>}b)Y z7RpoV%dKp^WD%-J49-rMC&rvnSkB#|?qAtrc~T5WOs6Pan3|Ez!aLzG(N&MN|8@cXysUzC&77V%h96-O5@aJ~NxjQNuHH}8#*0k%j zBhIcL)%!R}RW#)b=XxlxMfS?Eu(svntnuR+jmQ6ZxXcx@KT`46&KYj%zID!MEEcoc z&1(GG{-NMj_5Y(m__JNqJAgpTv`(|sQU2&JM>p#|cAA_&I=uNM|?x-c}?iC-xRQG@)j*LHK@u`E@QI`w*)eeX{FDOth!G?tp$R zl{a{nQ_p+lAS_e{Em@CXLSN`(em}-~;go1CUBM6krQ=^D7hH1Tq7_eizbP zArML^BpL}QVNo~$rK*kuP$*T^Zxq6WN${o+b$!X+Ab{ko(`680CZd5>=L})h@K_0r z!Epe6f}b%+A$vk(1=@xK*)l<&LxB3qdU#;GI)G0KF#!+_z+~Y^@__n>d99KmSa@Z> z0Cy&b9_gDHz#!}hG-pPSzyM+77t0|@+aLy{+Qip`28+U!%?2b>AQBh^DC$CF58MUg z(4%5WCxLW|FBwoYAwjlLm_gsCYyVvadKki36_09pP$&m90KB*f8Fkw`!l zqx#by9{&Sbf*Ikjf&JNB*v=Iv{!cp%eW42l_~X#h%DT^Y)BMNcNvPg4aV&k#ta6Z||WM20erPTs}wyNVT^MhYN8mnQ%JvVTZ5 zYL(c-5nm}8eFBu#G&0989BaPu>VFoo=%5ELR0ud;aApDD zRSbz$gVe##4;b>l$>E^<{#g!-QiWXgGls;e|B9(;K(EoCaCN!fFu33+6mIF#i`wvSR{}!%MZDs@$02XuohbEOwyGaKv9n?-xp! zM4w*>eTp+25VURfnDP&UpMMN|m7St{uO4q$4H9kV@(_6lAaMHf5KnM~vIAwdX|n_A zwKOviWxZ;5Y+~e4Ww9+m-_QFWbHF)XvWSpy+c0l{a{{ z{SmBRbdOiiUYy`_iM7Z3{*7HBccqzc{83$_6dXmp@UW14d)(K;`hvawPL;jh;#9X- z?Atlj9c=sRtKU^;wU^QdpJ26DM)%Jw+(tT3VX@!T{heW3j@K2L?}^`^W7$8q4kv7i zMiI_Lz#*z9V)3;Q*Kk~?=UP3lZ`;1(x!#GzA+L*n{SP}E-whac{sUxCNTok000950 B%Ps%_ literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2bed5a2507042951e8a7bb004e9a6761a60b22d9 GIT binary patch literal 1235 zcmY!laBvv!KF7mJ}l>vzkeyAMoRxk_c~90!4z9=(_j zZpnIwoWx_T*S8y;lh;+gVQjK+_vG*U_B1V;me`lNLNIJbmh&Z_q_)VFf9G$kIwot! zwAg-ic#MtPp1QV-u}QO++Eu2fFSsnarPS+xf9l?3rn4X|MbfcYwJa$~ z(eI7c`zcduA5D|*;MjUacBRXyq`Jh?<<>o#>22zsOOD1&Sn1iAvEO;u*ms z5FBN$6(#P$CBW!Xu(1IN0D*p@0g$7h@9d~xsGy&m2qb}#2$TSlKm;|%6mE`!en@3O zs)Bw%VtOjr%z(tA)Vva)HdwmwO-;#6bjq(#hz1H7D41HB>KU1vnpzqvSeO{^{QMFHkjEj(#WOE0UjY;i;CL-ANh~S>`_R%7Sca*(`nz!f E04I%#-2eap literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar.png b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar.png new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f311a6e76398a21b479cb95aabf21e53b4683062 GIT binary patch literal 3897 zcmX9>4LFl+8{W(|o7skFYR3FUp)Ie!te8!!{H8)7kLgDxMkyqX&3=-7<5q)|~N$MNfo8G)diAYI(_xg?<$9C^Juk$>w>wcc&zMe-K;K$LyF2llLFr7^s z*?}+^91YfuS}5>sVpy^l{Ghnr95(Ey`cu(*xc~;kf7rxkZc8eiEZbjayvJBY~^9#iAnut9{= zOt`MfAlY>D1inR!p~1k${M)#;Lx0-iEYI^#zJZqweVRp)=v8Mn85QMVsPt)1@GmN} zC@kico-|*bNAlMaD|!$>!pB0$;?`s{h?Xe^9aQ=gHb`B>s`5ztsRXu^naSID`nNoE zl|ts}VzEKlgV<8Fl1kPy_Zv&M-qJwCOLdn5xms@^CsE4{*a11ATCP|R$aSdYe6@jG zB#^^Is6|LXq@xi~RZ9UuXa)%LOpsQI0cj7-fNOx-buVybkE;o-fM8|_T&pR-Rks9C zx7Yz!$#&pcivl7Fdmw@n1J^)Z;EGar|A$&`QQgEgwcLnW?wwlh7!b+N0wVoJfI4Oc zsAu!h(-rLN02NUQV@#R>AZ!=7q3zB&O#PD`&9YmoNk3{bgZ_ zJoIpHmq6Eo9ajVL$Fm32NuN1axIKa&8=nC{0o7QE7^Kq!3;^IbD*>R|_>1AF0E}AE zkead0yAA*cq-q9xodPgw#Y1YwfVV9GQl!5a4nn|)7Clxoe)Fycz+Q}+AvE#SXHn*< zzY#X%5z{bUxa86E0Sp*q3>_SehqjKojs`&uk2ddlAd-_Ihfxf)6xuFWIFF8`y%b#L z`@FI&4f%w{h-j%*wLB9k4J{-?rlOv^eMmg$I-`cYEPRo zcA@Z^_J~WcV8rFYJDv3^m|iu;6OR%zv~nBMZ@_0{ky__9-VQX}@>4^8TrD+JU;>Zm zD6ZHSwa)vT!!8%TqE=9p(M~0F?1u9+rwn<^c#+TC#treN^eYzK5U)o-`)bEqVo03f z&s<5Jk#@i>HW(<#ID9hEstu9T^%o}NI>xPoC4mZ_SIMZ z>!^-sTe&$a%BL4(^ik4tkIV-|(+vjsz12V-O0`buV(1Md{-oBw;G zZX4b&9BMhOgE~>oRGT{|{AwfjnS80tkvRvqH~O57(g9j!JvJmV*p)&AM0OBx~*O=9wS_9(#x?4 zW^Es`9F4Ddw4-!;CSuG+lo5F-;j`)PLih?UqUIjK=i_YVb`fIC5&)?Q)267{&SFvt zch!km_A?bMSyBlV6_FVdX|jBk{4HOQlFT$#!S-iWLgQs;*GaO^*Yjba1nv{|>e^Lg zQ(yWL++sl$y8b3CwBo4q1cM#?4u{_8jYD>h){HUx{*)bzfR$>;C?|Up#fTaz@JtGv zGDUvqFqB^C)(kK46(SUNqKwM5+&NRrdpdRPh38Awj1&}O(UPq=Bx_bN&OE?CDYaUb zhgw`R_Z1-&pzg}`+-cM8f31GtK)U?4>R%q;MG-(7@W)YV`XczD{KFkOc~Qmt13At%Dx7?Y3QlyHm-pEwt!> zcdNmr01OE`>vo@lhq$Q*A(?h(zpmwBu_9%F$F@!fuRABODw!J(F$oo&vMW{3J2;*3 zh#TBpOgZjy`q1Wy3`LJIQo(CM+9C&YUCC?9qLL_5>Jnn-%_V;?*L*X6bb1R{D-Yc% zBma#P?@F<>5W$jZ);By;Rge9T{jMOI5>V8;=3-_yeIpJ&T@exF$xzYyU@N3l56Wj> zoGPHJhx2RgHLePHlNbGK?K!o=;(gI7DqXWjAT7eGM69xcTD9`yY^bwR`r@1(i_akC zW>Z^u(Frdb)GljvmHC3)S<)~6LOat^-qf9dEH$#h!MH<9Obp_kA!&@kzrUn3KWD$GOgx ztZ_{lwIhSGj+4WcH1s}1tX2`X(p(bsSx2l^5az5Oh>NjelAt}mfW%Ern1VPH$5Ql? z{*dw{t|YRnglc7#NSL#KfUfw#46xA@m?zS~%$sQEWKFNHbtVU5QJe={$;hT>0)N9d z#sLv7HK2}dUBt!wV)TDu4tz^_b%4K14H=g+pdbqJ&!EwUZ?46%o~iO!G?zd<7S3-a zrO*C>S1jwCDi72ZsLR4}CMZ5|JnDzG?UChIv0}2IUALK3wTwFlIo*4si`w+q`2aF&boS9V~X)qMW9xfI>=!6vSC#0s21I z_taIRXEprxPG&o8JzYwDXKqOFvw3ha`vjE73!wS<*m5N)m|;O{`nq&+I{NV7GJT$=Y)RA2r}`;6XmCCWtwqu0j~On; zp?gx+JI(L6OTmEfl+a2v#j>WfEOjw@UsmKkQecHeBUy<;Gtrc{7Nt}t1{Q|>zOQ9P zqBaQ63Qa{*x&DNs2tU{^r2WL4;!_8+J-`I31^>ZlA~uf=6Vmq#mk-&1mS?N^#K$dY zapbMl7t!|R5WFf5>Z_$}Res9f4k@{Q^oM6@|E=`|GdVzQAe^Iq=Ay85|kFgriuRZ7( z z_&CB*$IEvj6EmoB@68?iDrY=ADDrJK{u4-bx&NealHImlS6}8nNppW1x1DX@*ChzcO;JJHd{cI=X-SP9YgRmMb4()BFboW`z8!+Y+O zzj`Mrjc3KbLgjo4JFk3UlBBc1NE6&G^@61m^b>TJCBMz;4;>Vh zu&G5z7;1d{99lNE!=$-!W`tk&M5y!)Ql<%O$3zsG2#8qGUQzKXY*bBi5$ljx}x^Ov0d zrx@LAb>BF|!Qyt@pv_QS@73stledu!TxmvT6|u^HFV{h5*kh%$*7(twlzICfR|d}= zk~uovsBG=_1dqb5JCQpj4~kCDE<~`74`=lI=0-r`_YPBskDf%=?Nf1Ini~yI`o`4G z#Iw`RY#FvPJL06VK08sIW>_-rSo~bJisK%rG(t7|NUrYZ2Z`SyD|8B$= zXmVA$9Xu9k82S8C7+sMjV5&^HQNfUV%-#94kmt~fogukBfpyJ1S10b_?VsjvRw+r^ z6~27mdi~6&^$_XCmob|dkLMR`(3nUVa15H9b@f7`s-7`zL^HhKAh*Ci<9f49t+h5!Hn literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar.svg b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar.svg new file mode 100644 index 0000000..c86d55e --- /dev/null +++ b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar.svg @@ -0,0 +1,22 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \ No newline at end of file diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar_bsp.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar_bsp.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aa49e2f08a860f959e50b5ee8eae2b9430b037d2 GIT binary patch literal 1478 zcmV;%1v&a3iwFP!000021KnKRZ=*O6fA3#`=xdjNu^rfMy1JLsNq5pc-0pMb1ef}j zKm<g#D!FzF6rfRvKfhli=9%dhZZl4^Q2|{FC@ykC{WzqM%%fO8>TEc z9k>;WBV68Cz+a!=2QpW|eLWEO70cK(qD`x3F~1u7^>x_S(aE#-?&m$dq2PA3JOmy^ z6rEol!X*o6*5YPWnj@TEOR`a$)$4R!4O85z73*9?MAkGd+5aJ+qiLARI&G8)mnp{} zGtO3CA4G>ow%T540ZXTfW z`tdbD`+gALekuSt`g>j=L@M-x4!J=4esHYE)-bOI68^D7Wc=|P0qr{hPYdAlHX!c- za$)EefY-eG`&#t=+lWVsBHsTzZQl?2&i8g?IW4RDJ zzOcFD`JQ)~ST0S`GWM>~96QCy&j~AZwIjtp(UBv?6La`uhdN2jn?%X`#tWIVXf0Mm z;>wztM=+@&vr)CnY@c{(52JU!R)bok+11d()q6XRd_Hg*H z?|?eETvcrSJcX$^<6br5a*!1mTMg6z}5iq{E4wm2ful2P)!Hlj=tWN z9XS2*#|qHj3~e^(s~OsWmI|+Xz6V!%ViXShl*oQ3ub|4;H2RFF_a4>3fl-HB)S)8O zVH@gDd(@#msN-T%V}Cg6SnJx3u7UWlyEs_v+hK{hqDXJq$6?JQz4vqu4~#n6&gWF2 zj@vQUInsO2=b(TC4f^1JjyRMRUCq9|rco1t&ii&xAH=cj;amloy$x}(kjs_63Do`m zsN8|o`K~H!81CytP1yN7{0M>Ep-~a#s literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar_bsp.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_planar_bsp.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2d5d8a5b0ad44b77596e7985072f95874b7a90e7 GIT binary patch literal 4729 zcma)A2{=@1A8(;|6G5EiuNKF~n#Vd)y+*Qm!o7k|Il4y0*%t z8k(*sEku$+M6y*bSK>Qoq}%d+&-0yG-{1Rx-}k?s=l4GfwnirEXbl`fp?0F;BLWMc z0J^syLRS|+T7iL7mM?&VAbSJ=07w(sK^Dk>eh-pZpb`+x|2eFT%m07(Ie(A*-& zeU|Hqf{h)Of64gjv_@`di2;tjEV!;U16T+QN_WOYzj#{LP+QuQ6&w#{S@pNIeSx`cu;jKty=7nePnzHUFRrwBdgn^Wv%xdr0=FX1eD{m3*E}$8THHP#P&T(EVWbk{?N7}OT(sf5O zMmVmP!^3Tp_uNAo!j?_@vbENrFEFo^NUcYw-`&P7Ta?y5mnfB$Hh5@V`VG0NO?t!O z{0;(C(b(VQG5lq2Jz}|(>R)g943?bxTWpKfj%}U&NBypO+*(V#w6V-9LZHlR&)O?q zsUH$a3Ax1Ib>oD$Q;1!Q#&+cfYpv~w(o7LyF6w3dvxOH&IaFePAH{8R|2@v}%F4<$ z#TF8?mm>6vj*a|kAM&J+Gw}1`*dS+d&8_zjPawcRpU)A2{=uQwJ6lS3p-62A~T`LO}xnX-EXn0Fq3CzM*JC6D!|H6M7))D`|>4N*x8@ zSF;5Yg5IAG)BJK6fOHHC0s*8gi3;)#wk0t@Xdm?II^;gkhek4>hXQU8gaXh6f(G;< z5VQca7D@vP|HT0wytRgq2GC+A0H^Irj+!#)?4Yl-S~-n}uA1cl>A)ZbGK1ig$ziLo zA%q)&!89^xZ)yO8pUt!fnRGUT3^D=OW%gfLr3H<@D;Di9iu|`?ft|WiRcHW#=#GE#rgGO(UJ7oJV9a;ako*X;4sj7vpM zJpsFsYU$%*!6XmEgy4E7_4J-zzWVXHi%xZgPqLrLBO49>e)}GJEj4tUrQiRj>BUq8 z{l?UvOf$LjX0FD-RPM2AKjozlezKo-k`hPM8gE-_DToX2I$<_cmK`SGZ>pYWQ^@!D zWSBsPbCLG5yFQxLKo-rzO-&}Ae@bFygndsLbbW0Kyh*yW15IfZMI zd%x#ifzz7};KamRY4c!e2sI>lZ%Em*%s1BMn9)TM`LlcP6IB;-D#daP%`dDM@o#z~ z(p9`Twxu4EKCHQqzrH~5d3l=MsIAT~9j0e2uvYOIMkZ;8oAwklD;vDz!Q`p?W1cA< z?)H?YT=9%@jXtjU@cIy)bF^(s8+ET!Mz@{})$=IYV>14aUm7_z>e%%@v_pO|vMaN+ zYvFlW|4d5L)0t9fs;q(WnGlV32!&;v*UJ#_x zO=`2L>JIq(n|sbpV#mwFUn?HO*So5R-s+7%{KWH6&w`**Qb*_O5klmJCOmexU+MWe z&k8rohw~fN^W%G!n>uC^ zosGW9sH{D`5$Af=BqGm}Ubx47&gGf?f)efbM>~J7%ks|ePRJRuOw7?M>dtI53!YLX z-%ZRRTQvK>JEf92N1oDCsT}ROf_?tCl2Smwe?IGun9rPLvL)NIYrH{O2Z7U|SX zSzs@{^JUGEi?h2#!nb4ZVhnnL$yW|qlci0Q={fm&q0>*tPGy!=C`JK_aW+v)3egj@ zb*I_`pZ-w{a4;w6sv92l; zsS^Czrm9s|Dg(R8ndoL;ygpvXx8_RAC~9}If~&?^+wPJHhPYS0v}$8Gy4FwTp-A{9 zrIf_XWLddveS?kJqgQ><@=<%b9&5Vpstv6%uCezl=nx)ZcM)@Z)KWifDJSlc?`kY8 zzo-%ZbDVzG_8N_cUDi|@-eNXgR>!$Ab-^>!W#{0H6B!bP*K5qY4_^(kZ+w;ge9p?` z;+r>8#k3+HjiLa`rLilIii>W0^bw;3JtHWtqt{bBNs~ANS-cTiWmJwq092^ zK9Wqeg_}liGuc@CdQ*EzXZC2U9qnF5&qq#z{A-QFamr=qGlvgQde75x>o$xRKAH~1 zuw5LI)n+n(a>^@FbdA-`Mqb+XVaG(F6<_HA+1W9?>80wyYqzy!v&U;AW~)1o$ZogT z&ow9b(gI)qGJv`d#CxhhSJTT`_rdtFmiV3 zT9*nb^E>XvAt(Nd?$u4rvePYZf7XY+GHTFyBHfsip4N&}i+Lak;S&7m^=7Ri4jHTF%x8{!sgFX;*Xq(jonj`9)^M?X6gT zozXjIGmC3ePM>g>$=|ahd(t)X$Z|LT*n{0{$(^>JN(a_C%byhByjaxtKbIEgfF}&^ zr9LJPjGE+1BdZ^lRlb{xy7N=mbh*%rS1;X#sTXGOLxMy3`jOj`kulm6&84%VohsZ` zpy{Xcdt#$wrwKzXE|E^hZ6xzwy_~-y!qz=b_71(wXS(;ky{X~6wt%TbG&M3U=0?~w zNmvHef9iGwJG6fD6lzQ2KLa`}wza(ndo(xJkgil_m{c!1BhGb8(vpm(u=r+7A`-%5 z9-ciKL(sk%8j$SPm=Sw;rl+l^d0upAKUXzrFJ|fHyxtIKA~mF-b-;bx0f})9sV{Zn zPG%r#8#XsMOR6L19W9UD5Lb^H;+F|VM~SysbLo=zl3q)8@J}Daoqams(7{)ALB(le zxnqjWAewytC@#7;s@}_yuiL&F1KA;r|0?)I2Q*}JG%zN*Irgmc2JF+Cy)t4b-rp$Z<>4{ z*eAkC6&8!Pl`_~&-a150;xE0Lg?`~tGLrdH(S*HoWK)TEJIE)&l&F@h=AOsIO68S! zxp!PWX?H-Z^sb?DVoUAJrZ>Gi+?&s+WKqS=P9o6SOAJr7*)?ePUy%wz@~#zavq@wb|k z@!A`jlm)#D(HpqHe%3`UN9yM7U4_SE)7GSVn5BwZdCSM4&IxZ?Cn6!v|G?9_Y_Hsb z+(A*{JJYBIwD)ZwV?eBY(x8WZd=rp8z~HKiH>*6kA8Le_4KPCO@E-AUkv_9l;t!hH z#ulPWRph>aBC0_(QLuc!z~yVsQcKH050|h1wj8byEp%~SG3ZA=33Hs!d=i5}eIb;D zAK4HZCUE~>@8FSg%dZ(F7&jG#*x6usC^fj=OX9ggeEEf^(l@URw^#L;9NH50kzg_A zwN5H(e7S|*YB|@-pHGak#pzLk^j$av4IkkRI}Qu8*FVXLbdJn1SK1}eSIOj-3TPzM z@rSA2BRodLi%V^c6j=jQ`urX#F)+;@n=6hoAKR!TD7m}fXBQUOmt#E@Zjd4N%hHZMNw;4Y^QoI2>=!iRCfYDQSW))=oD2T4 zbw_)@$FsDFwo}I`yLOL-B6s);yjrjCl8s@{R z+;WA(!gSjRWRe-QAQqj$a$-9`tafGMAc@KZa9@NBR`|3!8ihdt z>NqqWKx=A4+#0Q^`I$xfJ;Ow0)wZQc+*8Xl`-uy`I|ND49o zX;fc`yF=UXAO{v0-~?!|tcM3?s{>e5h!KMr04B{}lW6q6jmTAx8l72X`gW*)ON!vBUe>cH{)%x5+5HD;#m_BpQPb zpf$8LpbS^`WwC;EkWdc^fm8-5$d^WDYS0-}6`sG5whX!tn+!c#`2Uyv+gqYn`&&5D zE2Uycg0h)T<@tqY&FA*=-$kJekb-~;0FOX@x!|~A@c;$*jNwpF&&itw0#`8<9t8yw zzP`dxP(6K*;j|&Qd@F|~;C__Tgw_964yBEOZn58DSTyFx{m?ilGT+JJ@c#wVf`a~? zoE99mZ!sKN6RO4UFbn~@hp%ER1_`QR2Jh*R11%hc{Rh{PJ)I8a1RRHzn>}260530i XnZ{(17%ZO0aabG{p`c)FV}ke(v;l2J literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_tiefe.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/5-3_tiefe.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3307197beb98778ea3a49c370bbb79498da9bce7 GIT binary patch literal 1066 zcmV+_1l9W=iwFP!000021MON{kDE9YexF}~n3t|Zx!PPhO{zZZYNf5T4?C-U92szk zTgODk$xQa4zr7|flR!dlloX^OB?#y69s7JfpUoj3KfTPTvcx6|V}d@&Pr}hmk$12xzZ$7iA?6hK!lY0YfR2}7hcyLy{+s4M@|{%s3YHy4|UPDVl1F_1XnRE6hvyKP7dTCp=%Lm6G97augH^vV6VT z3Q8J&#gQmS`;R~@Mm$#DD_;nccfIXGhhIM2vJC9gGae)r>z_9~cvx@VBr<<;4`kGUmFY_Fwj6Go%uSaq6*mi%0nsZqP z*kTsV>wfp8>HfKIY?lZbcpK=K`Ec5!}yy6KsorGetyG4YkL?fwijFkIq6zljIAyxY0F!(84$_ws&( zY&c}HVS9P+l5AMZa__2H?j0uH9WwE5`z!}nkawph@9;|U4i3vZ94_%*zljGm;@v(G z?+%%GzxTxF4{NXMI=sfZ4i2yDLm>MRzlbfet&;4ZE!mdY>B27IZQb!*$9k~xMc$Wd zt#0{&?_K6p*EbRA8pWm@AJ2Pq1P&y!AOyDs8H}r%dc~ zowq9!G$V8+dx%)3Dw$a2B|VwlWyKHEB^D$?+jIK-9!xPwrhEIasb!nGZ&nY`&S`Zj z9-oev_^4Kn54>J9&329uB?+71{X}9Z4rLHe^s=`ud|q-a*IlZo$EGXJRV2ykdBNDz ztWuEz-8LOJf9e>BBK^1E|6_Vnp{`Y^R`0us(C|d4^~(#t(_L_0xh}UwK=&NEEdoOk zp?AL%rW8sPBFU=UAKetGYen)ka8smVE0Wz_kzl8a1YQ-%(p|^#?(?!%?4s4NH)f{=36u9qE=f&oAP%EpmY zQW7AniEy>YIshOzNRJc%00=81ov{cE?%f%VMJOU{QFaJYX=ze7ECvC0A@zEap|7RW z4kUkhWc-b?21M?(&n7 zS+FVo`t8z#1ov0O#|guFUx?N&I}SEn4Ab#a79vSvspgvPPC}0E4KQtT#D(?waFqyA{kbe6;)bNgq9m;GrL))E{yj|W3!7_8^ZD2J>4*^Z!41dHw8*8q zu}VJHYuefQA>V7k4DWP|5u8KVE@Y(8Ly9*=8Ihw37x}+kc=m2;ixlB%_jj~$pYS~4 z$-%$l=mA4v_<8(DRQ10k| z-0J6PXXr1t^l^8*nDf58ekToK`cv_QvJErwE zoG1upQ&VW8s=e=NFFQTmztMU$AufI}N*?pHq zLw&@vZ`2pC#7=prq%K`2Oe3$Pv^;f@F2=`Bn%%=W@ueG^iQfE+)*l3ZGb-VGy)VR< zUv21HHsmatetDM>#*!Qtwa8*$A>}X=OexjmAm2+fzVX^)D~P!I-6iqJ{yv8B%meGg z+@wK1Z}vL#iuFPZNCBo~n@jrUsXR%R3Vk8fo*waR#2}wtplf^?&EZW$@5_m*ch(yF z%p=w1`_ADmN+juT^DL=Mj%~djEO-`5xVOs*yfK**GFK z*m8lo+D+(c(G!9=V@RsLnh{bYzPD~h`?S%>_oS55&7wd?TBg|RyJjc1f7$rAXg+_d zn_JnWkCIpW8|af#^1CY8{le4UU=DfQMbbMqbvF@i6CBQ<+pmmvZtj`x-}i}VM0{xA zz9Ea zFOB;I3u`T3>b-nt8S5HQ>YK#-9)~cEm9{rvg zdM&69hM^7X$ykBK)_Y8{kZ8HJ{isVH5Si+dc0_-dortEK*!T+h$aaHRLF2LOBpn6a z$^85xsw%@@#`a?!N}{g1+=%o`7R@nXzZd+JcojZ1rn#UNzwxM@g1Rn*d5s35@@0As zt)tl{6)ot(GM!OZZ0h49X9F!vc6!8Et6U5kNhubDf}o>mBl8Q=24@Zc9XFWSCcTbVu*cMJ%IdrXd)XoUXnd|6ga@o17b|FhR1GwRK#t*XxxKMTB8LFg$*%~obtlsbtXBCHA& zvL>4%OQ@*|<*EIc9{D*X{d3(QHa6&XT^0`qZ)Vl?kzLlBCsLB9OC=MV$9h-}I|W~v zJoWG&u6xN9Nz?acD-&~-*IN-{ELvLO%Pb4!rRnJhsOG{U|Eh=Ms#QTNfxyb9*A|wj z%LDJJV!f(*Ji@$f)D^F^&IS%;ron94v?hH(_(4a zTSj~J#wYc~_k8$LQO~j_5#CXr^1ks^@d;~9BmYV|tzC=Zo%C*7>Jj$T6^q)8wUza@ z4Bb-!vnjhY(2ijaHA|?X-1pl|F8xfFMG_Io%Fe@GgS6@SPDzsv5WZ{RG#fw6zwdrY8O?>77dcRIj^oVjg;1dHAI=#k{k#u5{E=~ zIUiW9zESv=NI1r1H+HpMNaXH-Q$uFrqrZBllm-7{O&v{mZ`9b?@r3jiq^zqWZBub5 z{5h2}|Cq|-Yoewc{m+$=9d>3cSJGFv4st?|D&v(XS2w6VgPGov`^M`#81UAlJ-O95 z@x^TDOS411m*~`R&8gwUo?p+43HO(&TdvbJxxTl`bg0ITu1nt@n-2W|sJw8JBF_kc zYH43cP<~(M)~QwbfNGfPd3EjB7V?2pJNkZ03l`uK6KWEXwCueu`R1{UNqM%?g7?kO zf@Z_b)whb$sM7|AX6V0C(vaNpm=CySR;sgn-mWYaf(%p(Cg84)xSZYV4D0bwG89v0 zF*HnJNg-DGc&U;$4S3v5f3LTw(|OP!RiljuBi!Y&p?MrlvTI2qA|LCMyS=$Npc19p z;i&km+>YDrj{FZTiXkfL?j=yP{o)~ye)6ie2c0lvHD3>w^&_DlN~}3j@<4DI>epD9 z>9W8}I*>xDm>@o{m>(J9rw_?d<4z1Uxfp1UDUP_7KEmPMsIt$)3bkai+fJ1-igjmZ zIxnsV>(_Iu^>Yj2dUrEIGe=2)y5H-m#dF%CrXnXAO;1y7v1>+8KuNNhddXF1p+_3k zUa}NC1kmTiT5>x!+a#rTVqe>=vbQK&

z@kEjSjlNs0ejL3@fpniFEqZanl0xtC} zHb0OIa>yOZ}>ESLU3eb2o9wy3)C#VI-D81G0||=)V?IlkLN9 zf7cn9-kZ-iRnnD415jhh_vvknE5DQKUQ`{C;=YnneN3c2l9hfQ(#8ioAlWi?jP`Ck zyy}(^R59j4Z$q&s6msbAS@mfKQPPNtp&g$-8t9sy17i$6?1=pKf)*+u@5#=VeUjQIZo!F!-1r_RCDs*=TvWoGo3Kpug7h_W1 z^P#zYmSKR&vnNNyt(p1jYOrY^j|ywC)!w(rq|1BhnbQIi(lm?0mejVwCmAh=U%e+M z8Qx#cb9bn}BckW|E}gUed~y1-*>tfH+THd9t~8Q5#z9Zz!PsCV$N{e1&NBVH;AtW1 zoW#WA{<6Io6?=Ye=)R>x6nc#W<8;FY9@8aGVs2B5zVGYr%!72hepih9hKZef8z)EK zVJ^}T()aQ(Yrz6i7>Rz!_>{OEsDME<4BTi}igFfas@*IET`cO4J2?T5TGk(b7WWIKa9C7Oj=rCP;%!#>6oQ*i@v14;2dZhyU36TLyC zcOFTg(`KG(mTI(GxGSV%nOQegJ(aGzA1ts5OYWSXUU38cP>>H@jV_N8BbUulI+7SiuwBbN^mfk zd=k@4;%LmC7sT3+W+%uc1;fZ4+qMhjK409U9Mp{sf3m@L=fkOB66?*cwQp{VU$fdp zPnT`wbn0x7hLNQuANvTGn11h;k%3aL&ALLVo$6fPklpj)O|b6IsD-2{1gM@r<`};c zan$2OKJj*`G$Aref^(YWsPtsBDEkkaxwKWb!hI7OSJ;so1W0S@`TA`H@R! zfBlBGuV062{4PsIU4NPK_ONQ2y1QVCS*Fp(B_A$5W&OgBT;B29;_=S3l%DkO4~51a zW>zhE^yqHwYAmqaJv>R=v47&THQuwexz9FPv!3@kpUvFBy=fQh=uPT}EM+?Rp45NP zReJKh=>}}w%)-=A$^l*dW@qD7p6_KT&m2lKs;_cLpAwsIfKcjc1xyi<|A&T+P5)@H zMBlszh)ZfL9vr!@C|X_E0$+~2T9vCGC2?9wzjN?#w(3!yv)i_XPUroR!FR2+0n(_h+2b{-W-Rt#)zYnA74Qhc# zhpc$(DaEv1?S60#dEbuf^Sl5g;bFtWkhS{wn^lPhxdK8>fx{J!9+dk}mh5}336O35 zFl~x%i5+Bl%C9QnO~DBZb3RfRxEp{vtVX__vD&hsBEo1%@t?* z{inMPVDR8M}|Rz$PSY14(*KHRfsZ zf8~(K1`f|pnn#Iah%N6oG38B~WC$h`*2G)H6TTI&I0|`sWn-duLoS+6m29-L>ashd zhVg60N5fv}@_l?tdfa_)u0BFMhq99a!g}8nI96pbb8=*74$rG!@n4oaf%Z-D`QN`e zHgIENY)L>9pr96ty;`YE8s{TV!9M^=AU_ySOF=nSsI~g$e>N!e?ASUT+#RRYq2WbF znl4=0J9ymtD8UO!qvJ}LHOYB6D07%)6(C~cb+<=TM}M~ClBiJzeM+GJko`jLz-!kp zSz_$led9F|M_VYz>>jXhrhTc4%lDMpI&oWN#fiRv-Rh_uK`EJ7mIIxHd}W7we2d8k zt~0HN*`D`$udiD<7cJ%c&l!5_KBJ=ESruj5onon8Q9eCrRkU*;4)~P$i2|e8q+QGP;OGEV4y~z3rv~&FF1^y4 zcn%DBQdx2$a?@jGoUD~#<-Cc6Zt6(4+LGw8xLKZh3EN@}mkHB{3KiSV4xP(3FEztQ zqpnup(m%K66p{jBtC0-y(R$UCNwucXb^7u8B-d+lk*HpUclHi@{Y(z3uGhjmc{`HV zevA?CHq4o`S?sin?rqgxJ>ktZZ%x8*H`-EW)qokJ0p zMFqVJMXR;h2Q-X>GH#cIQ815#ScLr2dW3h|3R1Ts0%M7v9JIGK&z0|O(GjqT&&?*k z3R9WyCzNiRXA=nCcT4m>5)l(+n7Jn$(JDOmlGDq$O@eUd+Lkb3-)MVkok4)ItU2F{ z<**^b84KiR6nA@sn8Ver2Z3Y6%ye66fijoGxaSNB1PNnE#caa1_}D1PNLZxbDiBhz z@hyhMzMfwmd@A$(+f$L3Y!s`5Z2lhv<|y~jx@`mmT7*_tDr87n>tDCLlx`6w@nvH1 zE2m^+skj(AGjzV0_=SM=w>_?9wvtx0psw{*$Ynz!XU%#9t0n)YPMVmt!mmv z>8KA!0WT^#yKbw72*SK(i25&$Td=i@l0AiO`7D@}fIJw?ISZa88Y2Z7h0ejktvAlGCmCwe{_3BX?T5h>PFrK4htt zGYM5K-F~GmA<1stx#-a%-?r%CrP+odfD-PW%nF!y-Q%#H5HVp4`HR8TYCZTinaTCJ zTl@lbZ5-TQCT$8*x+CWw`dGs$4M0WH@yr{qehnF})>VPeSm||1BF0r|`=u`}buxQH#z*x=d6A5XE5rtY_^f zGRNJgwdYRPgqLN`aiy%~{i$o>wYI-?O^BGd*e|V7{7+R5gclP3fBLj#f|hGAkSg@x z$?JF6D?yjpBSPYeuF-xtl4-(=4{?NlN#9V<@9vS%Fa3h+1Gj3Y6i=DE0+ef>k_ zITk93z_+s3&$C>4n0jM{XoY!&%9c9SUiTuO9G`BV9AgtlxGp$zCfE*;`81O7RhC%L zTzO!O%Do1LuvY5NUsrU3=Y(U4?s-$(m$^%EIW}Y3to3E$8;g-?ahbubl-C0Fyc7>u zH{WY}=!b67X>nBq{mIuE3%`VDu*fgIKzQl*myG&TuEi_MiU>Db3=)k+Va}vpJfsbG z!70az2uHY)yFO09{W;+bw|4_TejCaEl#T^KKoKB75CVb%Krk^NPCJId{#K3EuyALj zt(>d9GXelSTPNpci`SsVMa0gA_@nV-K@l+Y3{ZfhRS`&g2b@fe+vW_?$0A&e0AfGa z;|Hq02Kbxe#9xF60Iv`KQ!fVnM|1xrgX4{V?&ofUJrl+i)D-a`J`f^jGxBgZ1RnXr zbDX8Vw;S$gHP<^RyeVF+*F)GNaq_=6fJY7|^CNiiIPMYF!Pp@%NLPCRkD49MHzd~k z_msXn8tsg5!Fzn>&OhY+|B!(5{C5o*1I&Rqbsh!;0$@-m00ssFV7O_pxCrhY3IKyd zaTo*u!C^2Q=^~<{xW)r+4h#d}WqiCnR0Q%97su@Z#@XTQVYv8+i$VZmVElR*Za*Nv z(()gAJHEH@XQKQ&eE7KiB<25%o02Q8D}@h*@UKt^s-A7~lXp8fjz3(y-Ec0RF{byk z*kQkm3ppN(%h_;PU|t1>6Drjlskr zxUKOI!1WgfgurkC{4WfM%bWkkAP`&u{o4*Eip#P8!hldw+%Lhu?STJ_9nK6F=6~Bk z#eg_w{*A#z{=5rJ1pLPtFo@_McM$~w|L{!|gv;mOXJ9dK+;;=!ta+-B^g-a`hp$gP o6bhFUcpiTKPT^}BaF!QmndXLtW3Xot7X^s}Nx8U`bd*W|2Xf=(>;M1& literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/6-0_ung_ohne_zur.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/6-0_ung_ohne_zur.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..04180551205f44556553d203e690d08769a88622 GIT binary patch literal 1606 zcmV-M2D$kkiwFP!000021MOVRZsRr(zUL_f?WF~>vM7lXx!GjV9u_?m*aF?24ccO4 zHZo;Ube!y=PqUBF+rC&S*|9D8UlN_Tpn$}%K+lNe$8WwN$Nu=~X`EV*ROBqEHG z+oF7!#f&Gn_FrE=zeo0`yQ_~eBOlaXBFNZMpWu1%?$#bjIr-4*&1N$vea?x@gp;zV zlhfWmBuz8(8=!-qsns^YukhFbRx$@B#dwRQDc+N2f}lZ=Xq){AV%1Yf(X2f$?5I} z=XIB!*PS@8JC^q+nUI1ox#@C{Who_m?p2B@ZSE%@l2k!#U$mgv;pyQanX;JX2Vhohv%}J8(X4l9)a&hz9hmv8TCgr%q~w{3h56sq z)KQU$B2HV28D3D1MTU|+zPwu-lx*-f9m+*-Kd0GjI3hw?@2#&?j2S1Xy(UF$i^aG0 z7q>cQ^B zE^Ov-OeL`ofIVhI*~~gk>9{}41mDykU5r*~zND$m5qqI1=m4OG$X#Bbg|881$w=;Y z<~OsgVjexz57z;1^#U!N74$L{n-gEvq^{e{#XU>YBV1G!^=U5hQ8w#uk?n^y$;o4t z%jcBV9Z)_UFD7P#6}QI6Q`}BS99LzKE-*;?Bo8hBTAN)HQYHtLcC|c$TVE6xKS;VG zo!AqDci}AKa+}BEzI9K=EPYlFMtE*pG`bZ@klJ(g;{RuV*Ve4d}+GGXo zoK|DcHbxB`2w~`7LnmtIs;W$mq>3hvlrvD}gF{xeH$VkIZd(CY2`ZJG zG*wl{=^m_eTS=$P0dFE^cLGVjEhN!(s1cHd%vU&6ki-QdBh83x+!=$&&JY>2MI>;w zLJ}__S*D%ZG1Km5uvjP}vzO!}h@&>ki&% z8N5qTsW*CK1Ibs0WYj*z!Mal%v`TTbV-g!ozB(pR2Z|EwR+MO^D7AyKd4CKlJ3}Sz zKvH7uk`k>XrG8if1It&3C1_n+2RyyF1S?$n=fS0CaQXVUY+aQAe7(5zR=5n#gG=Aw z^7V1q`cMZ1dU5Hma0$qdt&es3qfSmOn|T^e7D(w!{@j_uEwklv+%)UxnV=z|;2cM$ZWVs9T|6utd2rw8kg^v8Gk zjav6V{uNgV{gx$^Q&aqOuHvUEHvbP*Pwx4uo*v6bYR zim80x#rl&Ayf?WBn|9nJ7jHkgXnh3kL9NM!2Up1jbg&nCD!BlckzD))em22bcW|!a z&jja7OdwDPB!u;n5UP<7E=dSo010`9gw8=iCPTPz62k54QvuLf4OpCo6(n?{as&^B zxcDZyA|d?tIS4q0f^<_*6@7++E|7w}_SH;KF9(70K)%>YEj>BlA~sSD`DouEg@%1D zo_#Cs;}#5U5uaU5*5LFeId%gaSiCZ-<2D@5|p?y}PRXAnV=Le?E`2hqPS) E06+K(*Z=?k literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/6-0_ung_ohne_zur.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/6-0_ung_ohne_zur.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e427234f4a5ffbf8b109f4e9ec08ae21e3d7bffd GIT binary patch literal 8136 zcma)B1yqz&QsTq;NY?-80qCc>FE2dqT~-r10#`4kdp3j`6}6`?uu5AMw*xX->kCj2~xHaTKH?-h7Uw ziIE=Z-c*~BujG~|TiK8nYY;8O=6_Kjx_4NlO%RPY0J|TZ)ibvIdG7${f_v@wc;`Sy zOqBS&zU{lGhfiXY$;=$0QeM2l(sNSUzJ((y8sAq`-B|M|cQW7lLm|6a4g(^xB+fRg;Jqe1Br-4i{Q_7KgH6^Y# zq0T@Q?e4XczbI$X&Gkk#eo<(%W5SS6X0U7Ek?0#=P%d)iNr`>jahp$bp%{Ux@aeTI zBv!@j6u|hcLMZ!(668jhc(3CwAVkRNLkAAlX59>dGmt7n9I-k`V!sKXALUZ^^tnjNzd&OFvo$MLs zOOZi^&6h*AkY)^s56AKMvxiQh7E-`(B2Hm%To#+!Z#^VL*dF0=>nmzr>zTGn4OmG# zh!HSQ%}fCwXK##7mlHAAe`P2CzCl6%xw0q`Bl(%?>!SuQgI7g6A5;rc2%~+rdU+Uf z4`o>t#@obBI}nGg7iSlS=JfeFmjfB%f-QOLch`6NY5*F^JHGn}lc!p)TVU^Q_HMc{ z7!PgsC!y=fQz_}V0N`u7Ig#EVs`+#I{qw$if%9@{Eu7xJnahot(Fez4sMn%?r`+U){lR~vM5{* z@(^kb(N>f}gTK_&hPcC!Zq^WY0NP~Qe`qC$n*XCF3;lhO|E(sYjry~Ag8%|xL4p4& z(i4WBrh0mU^9^1d@b}6Ht;njhYG35?N(AsspoK4;ndSwg7zZqt(Xdq3;bj&q7%@&cT{qcFj_ya<=8(MQ3-&58k&OVbx!+X4n zFQYbZi0cY8-CkIrF0RvQIa^#}?OP@96MG8G@wGa+>)sdgvNi8RWfz7Qx02>PhgEHJ zjj?3Fj9pxXpIc;6vq~&O%c|PP!OS$M==+45`K%lBOyWhl!Q}+cHX1n{?nlwLdCG0z z5&ebL%k0J+_=d#dRx&1?TG7MLm?qUh%Jr|50j*G*0&OiPpH-)I{j9m{WGbOR@! zr5}lra#%fiB~cG^qwkXCF-kWv(zmTQB{i&vpYJ??cREJXd8!ugwkpmvL%zlQ*m0O{ zvr~U3$mA(Mync3f{xAK|r#2QzujX;LoQE6q<&$$#jc%`wGC~KrWkXcyoM$G8Ch-u& zuXrOpRkB?*2JtcYzp(_SK%@=qyon%9plv&gsi}N z-#SK|K9&?w8|=IWPh894FLU%TS<5pu;HE0&vH{J-r=%=aJ2YzWjGsSg7&6i_OxV%C zR_R0vO7V*K;{3Y5l>_s6AOirLR+Nc6Lg?&8sB9)Oqzv3m(bY1oXSmkqE$A2WGO>iC z-i~rvnnv^%6$00(#L8MMc2g@$%1v0YEB3L-jPb#9BBr;@+xN`qf&o;mJ}0iLu1MG2 zo|>LLuU@+o?N(OF;2V5-B^zsg3A}8mG=5pY*=@=f?X;mB&Pw>#yFDR8wY^jGZWQ;mvZjZQG^eC__}Wk68vtM{1_l%6f!h&hsc{IRI~WL-IK>go2{mg_6F` z$$qAqs=Vh1%c}z1Wbbp`G>+L^4gy89wO6_B+|im1fm1{@0|a)jvU$lBOo%Hoprh`Q zpJ7dMF&02bqjFrE0QBrhOk4V>U52f7Y44*9PNQ)+yZmMkUg7&(?G2wAndIR_C61Ho zP2-{jn5IR7sjZ7X6Nj-{Q4(XpK4u?A+^_)Ud2M{Xn)y2e4*vYe`ZwcGMUQ>nr{ufm z(^t~@KL5D-Is5Sgj~K{HBVNe-o6ME-V$bM8`o&7^lrmIi7VdX3s$zDY8*# zQLy~k{KALuiLfRqyFrJVuHs~TCf&hRpqr-$;W=cDnz|NA1cUaEvm*{$HZ2t%vObPQ zJURxhWf=}l##KZ2PD-^oISPfmj=xN9IqF1?~e#jBHwC?=syMqsf zuCe$q<-1A8%K5Vws?~+Bfzhwlw@4flWZTCk@)d78KDzy2wOT|RKizBCJKaEh*6>rP zo(dOCJO7JoKeiIIR=;$<-nHg-pSmgd)kU&LNWr7FBd_oK>vg_97t6zqk79RvdKVRT z00+VtG)x_FuO`X+=7=)PmL<%4&zn>0+?iicz97WxI*%6UQ!C7!($L{Eun1*B7yul2 z7h!RtToVq|3*U6}67neW=Mpzno51{cxg^QQQi~F@Q=o$z7#`+_0aQM_5&B4c=JET* z(7;B*WLHXq7{7sA5f8I6M@4EfM+J~;2LLv4#gHL3d!iJF<^b5|X9;QqwdNMDzjqtM zQU^bGc-^hP#r-|LTWMKswpgSr=623snq+0NK!d@`A4wY2K@!tFFazHp@c3z|&sw6& zD9`B$XH8$@)Q@8R{7@{mcOAWD)11&d5>w*R4x7eI{K(;$bJ3=uin%cJy9Q(L!X#tQ z-#!TDNpKv<-_bVYcY?DGQm_x;uz(G=)wgi=A4unPk<2?>w;1_+y@f_4=xuQq`PeGy zW22^I=mXM^yWeg-*%ULh>3l(I7b-I@9TP9^p_Fi7z5GSgu<;l$HC4Y}x#Uv?-}#bU zjyTJ-UCJ`(74+;Cd@tJ?w)6cyvy@HTEix#>rzvmHBL&;e6-Ak6U~T-9K({+RWKkQ> z7u`AZ$v*3sKExRqWQoZ37n#XJYPHjll0HlmhCbEPv7AZ(229I5{YGdU(Y}Yje9dL% zCea$5DTM$VMT+T@t(YBeIfuMz;oYwLp!=;Ulhrc!o*gkOPA?6VuUaljvtB!8!P8D2 zlwM!_T;HmdIn&L?ZLn166O2J8$H^qypJ#4$)6R3zv#srN=>mCv8Dz%D#~$XvEQ%9T z2lVfih%Ij*!mO@_Z`FR^s&zK0^D&VM9a@@;V{uMDd!n<`8npWm+0q2JaFJ?U?F=Gh zjk2i!8h@)B^nXPWa+n>VUw0P}8l49(x|G{+~f9~ruSl1+*QsYKe zsmQ7PPcx3E6H_(H3w4Xt^c>a|*IP+z&_9=Rl1r0wcQ z=jNrpimO81gg=remDFX)5I9S z$Ya!4TK@37kvM#-Vri1YptG{yqN+}!q1SlEzC{DyahIhu59*bE(~wmadB#pQ{&E6` znS#O3s0RGOz^YrtnX5%AiAu)Q|F(Yu3#$mEh>cZweR`e~`#UZTkGYNeyybG!Ce2EC zm0wkw9Xp?W_>-{;&Rh%sVJPnb7*yG~0wh;zTcnfRx|u+}vtQ4wvrl4h_@F3V*U-YG z&S^utYl0=%;!JME8~L*3@hXAmT|OAs1}Ob7u&Q!2k(8V+Af`$rk)d;7hW-F~D01Y^ zJFc8*#AF*5IieW`Ug(j1KrMl^mCg|jEVMUFIBZjl4nAaL5ckE*J9EsY!BzwB#un^B z^I2C}PnJOwS}as6Y{JG-i&fEYm;0;y4CQV>U6q$duJEO@{*ol4wT^Q{3u#4RN&i&l3y$CW2R&Moh z&L6m>vv1wXSsz#gV8r@BC*d2tU2_`oEw_nq_EQYLxNNs}=hD%fofZrUyB&R+$txY} zGa{$w|DG~(t}6@Ot11hLZY)lx;wxle&g*Xv@m|4L>L+D$v!(YL?Tl zAvDXn8(ZZ%gb~m|K)roSG6dScbT@=VSd(@`Sk?|0P%KMN{4mEv4px_*(=x}FSN_Od zyRPu^;a?dpnpGL6@oxIu@!#C!xvW<7dB`{BC-ti`YxG9vAFtEN?vV5Z4cWNdUW+(C z(XH)!n>>d}b28zarc_WpdIx*P>eSdrd>Jns-=h*`7jSWRlQU($dtTwnr%W97Iy@ zy=&d0UU@Vn4fTAqm%ydCnb+rtY*MwWTOOLHqouwP`!py$Kss3NiFWL5uIk z`Px}((;V{n-itXD#T~xk^>}7{F<{KzHCE^>%H@;%L|>Le;JMN=LxeG=#1bi@vS>uk zeT7tKCHWTVw-1MpcPOSV3$AOoe-sD%}U zK>u9`o@uAf6hI@O}?%CDpx!9QfLqv-VF;R;GHzG#bhAP6o^fqOeSyav80xy zX`IOl*H0(-PT;I}|K00w%c|`!!=?9)2$68=-8YXt(z)W|R@3$k3pZ*oeq;r&&D%fI zQkljYo2$PUIh}X%Ducg0@zp23h&7-0BcYQ{u`F>4c_V5N3CIY$z%#Cnc&4H~{=d{; zcK2`arP~6z7|SsGfHZe<>r|$&PXWY^S;4jh8zn1WccCjRCpu#d!DR`pAv!{&KctJi z;+^hWJ^)-|#=V8SxJ{%sPR+bqAFJ>wcO#6|mMM?;EYTs`R>djst-`5)r<8`qB0}a1 zRis$$%@&88FZVAFe19B6XWISWZiGe7P&)i9wn;=pyXJ1^v9o1-#rb`uyfM zGhMw!g{YCagUV3sO5ekdh9Tuc#qzq#vxuzgT&vtdY~r%){FwLZQ|8@0hx(m?8uKbK zFV${(QO_s1Ehc&4-dp8N;`YYa;Iq9E6%sJ+o9;!mMx~+lRN)S0##nWFdJW(D$;fSh zQ|`rw546g84Rw`Ox)KblJ6X2}GZ7kmLjxFM2?S}dW9r!OR(87FclUKCW1i>=zK4G! z#Gn|P*vE-K!YpMi(v%b(w7iVildO7P3lbu~)@~|;&FJPaS{d~v=IsVMUT&9!$dF|L z&E;YjJ$Ns~_-x+KmvV~XE6n_C$nVpnRTE{~;~xSSk?kcl$4IVPU}t|~{@4B*k1!GQWd97`gdxe@&f&2=9lwn0%}HUGi`~(Vd;aa;xX+H{k4G8K zBHG=@&u1CMJZ*_2o30N(d-I;Y`|Eow$!BkF;I#6575CdE5YvlbHCaAU_AA>vR%dDD z`dS7N@#UcSMASp!=Sy)M+-{8(O>h?1ei!Qop%aCN(tXg3xuFOc4Hbe%KCvq%hgq&xOvm8e@I@l{_)PG)Rf zBPloH{2;cq$}exY9GCHZ$-%EAovPCS-^-Rn;=Y4~H%+;zP1xTcwZ|2yse zmU^|GPxz*da_g$N+@pK!ei69(_y;J)ZgHm+xtI0=mY;?Yyp@=~ zZowLhe!DYV-7A-D9ck6j&g<89^H`Jg!gwLz$MuVaTV7HNv+^F2dMda>Hw_u#we3b& z5#L5Wg&oaQDlMq_Jt9m6&AqilEFlOl?umt8-Xkl(Z;sG!b;MEszHlplk3B|cIx?<1 zWKS83u*{>NJ?xRaS9ZH7Un-#TY3r@)w36z}%N=mj)U@dL@KU;->$GMOIS#J5?H}{_ zd^}mBgaYfxGc_Kxwwu6Q_e|zI`r)i?T|pfo(NlTnJ8Hj9>}nE#}Vu?-?r;9eD$ET zJxTr99X~DIFw)yb{x@xkuKO+Wv566gW6fc8;4~HnsAj4+Zr;^22^=CtTz~!XZG%~6 z_A=?urFPZ!ln` z1oDx}6ps;xTok^(@!$(GT=yBI*RQT(&#*{W72xd={QZka+w0*nI*Nq0Q)T39AlPsl zn(ktLb8ACn>KS1^UJX+?j9(>j_04SAHyLZk!50(!{gQ9jnvdhR(+|eq%XZ)H|J2MP zImPkO+f2l3(`D#taBbZl(k&bDlqs-iW3?AlxQ)SSl=T537%iZB_PKlo$Cu_zGDx zV1+~Y`bj5Mpckb0sh7W1gbq)gElhA(LK*o@f(T@uA=KjR5|DRF>>l^gbngV0@=1Bn zzkPM(fnUx7^9ud;6$s7I{^mP>@~UVGSPtTD?FNM-U~X5OEE-a`bVgCUau5egeWVVG zY5n=Z$ji*70s_D2U1fx&6VzJT#m)%=0A8(= zcDF{8#lomdp}AD_(daoBFPQ%dkhO#>L7;Z_C_Wjr%@w4BfH>;|gnq6^Pn3R7&^JY~ zv=CkZn#lc=*aiKE9RJN%qlJI&hqOXmG1#)oa%d232;QqNGM4TTH1aRaQIa~3-BCv? zyV%0eqG(oK8)64V5%rG&Y|R{sQ4f!Xn+?Pb>S70AQ?^0r21Pvn`;!h54tIh$ zqcy%#=MNtKKTbet{&)Tu08D@=8eIU0qS3)%02m|)5EK$bz4HNh1yLi)=KO-f0I)DG zN(TH3;|1{Z@&Um7C=9iR549ayUf|aV7Dn$SfLilwMD1y2_6I4BZUFo{NdDV&Xq)|X z$p2|Gc^6a{6Kw{b-)7)ay4vKY&uuJGzC+pC9i`rtx3qtD1ax6~E>Lv;6M(KP|K-zv z-3#4<_!*k2P#g3{=q`o!->n5C%FLiY6a)R)f|W&eR#6cTV6(P_y1@V-ZXs?|*09+l z5O5J5RIdaD+PPW6?V;B0+%Pvg_A4LqXu82{kk+V9?f-w-e|jjO-;Eq}^!!XeSxZ!g z!0fK|gCZ#;TI_3NO(ByI z$&x)n)+{YbO88eSW|9GxN@z?>Wyo=XuU^p7VTmL~zsgN!Y0-Xzu;4 zuOQ={zoYZf)2h{$=PqunbZK`6kA0ngWZ8DO@9XYS;-|0GUsrPu880o%RLd_R;s*;j z*0{1i3z$h&uT_-ANSt^qe4o2cq6*p85Vjez&mqb#yP$ECJ*%eBPP)!r(&24ZN0NrX zL-*FoPr~iWRx8hvMZASDHrkO67(wR}Mfs1PLid-94s#vQT>OBWe8qEHzifd$uQWk8 zH^$Wdk?_7hWsQdmK61Pd;UAs;y2ir=51yWBfBfc3`^D(Xq03=ba)E~P4r{`@I_@y+ z-+PlM@DFIL-{o=50^{_YfpnHr(ySBvpeAeLkG;=E?QD?IGTA+^Oik~7buYRh)_vd0 z=_dr?Afu6{vy-t}>yNV=`*trfCmtEhhVPa7bmPXc=j7sj(1$A8!Rr0u@_TI#?q9Gh z3Gryds~zzlaEWB{$iGtpC~UM%m~tO#7wBLi$+e-V_&YJG^TBy}uVA6|X(Vq{_X z1M|?&=kz)6HtK}(+ztr2Fw`q~K<@m+pMupVZ5gW7suTqCn#dRKrWOo|vueat`dd4kkyb@s?BhV!LEBUXY=cU_Mu zU3k$k%etl>6>_W7r7enzX?YfXTpSgUj|HbIfIoiIT-nhR%A$2kzp%Y6dH7Y?n1C`z zl(c0)n8!#U-+_ih>T%k-PhN8~iAy?a7#K=k=L|NOyCjW?>>r=vKI3bRA&-lY?oBNV zK2hzfHZt~lSarKpB;>ltsE;w*l{f20=B}jUg#KYBr>is z1AeA+$DqWb=lSO7d~p>AhtL?vhVYc|d6X}U&<%?crUM&=T!n$fA+P{#oxJx?f*_EO z4z?N$?T36Yp%>eAyXO28Id=R}_WAjwn523*!$*G1PWwR{fsW^5lr8{!;55&$c|?m~ zkpxdTgQ-R5%xeDY^y;{^J4RH7H5MNkheJ2#)e2 zskh9QqRbyk>c-SDsCqdwz3v^jHmA`s7<&64d(~Avh1G?=cJfM~`;&5J&$7gB%>Lh@dy17v+8i!>#bAY`>w}L=Va@tx|nP*aS<$f&IXL$UzNpPI#<3(GRczAsB!}A!JcV1OkTq^{?%gtOhs( zP?!wRBl~t3*C7$TJ%5?i_Gnw^54B9eIgqd(WKa6Yj{ZMj4G`DF`QROK7#(#w_+3p5 zj!g6>IpW9w-DH?ww2}wQ|2j_;eoo~7J5T6F-9C8W0H_h{9|ugIxj!YjkN3gy#(nt> zv6pN~$8S$SMDJ9tq?P{IbE*o zXZ^eQ1$(r(jYjh&&5F3X%LnxQ<}z-qrC;ya9Pat}I%s+H>*iA3OL?)VRy7pk+pg;xCM+Pi#A}F{vM~D65;&CyG-ulS;?uaAlI!@SY>>c-g^;kQVM>}V72F~ct zrCU!NHzvfF)?f8+*1tO8TG|1W*QPcUQ#ONQ>x|_C5Gqmlm-lgZow){?VHuApRqJ>8 zuCzni8SX4Q4V|`w=bTOca9s7|74AHYT&|{$Q}j^#;K{teR`KE1=YJAhuO5(kr%7J0 zmrJurvtjmLWmIkqkuW)!cb_}&%?#zywUrN+yeYwAQ9%WE`QeKdQpu2nzB85nYyvg+ zlupJg;dVx!(&LLTWpb)X_cAXkCmE~8U=_M_IITf+@}n*ebeSTDC}DCZ~mO|GbkT@ogRPChIOgz zvLZjW%>C*+xHAdP>&q$@eGFrt%VO46yLPs|AI;RgR+Enlv>DudLqc3>0uXk)J710m z21+4QltXV_iqMggQf60Zb>ti`4M?tdbk&DL_+B+|#lDEg%EQtpt?wX~rCd6)hoIVx zipRend~HGO^ertuurNZ%JhvMeEIS|6y3C!ekenvTP1SVEmbnPQAGqAZRBjXgwDh5D zl2!~{W3S+PaZPrw)e%0y<0lUATk{WF#G8mqjCK3I`r;=e3i73KsqUzjBkgRc3m<1Ev%mE}O{;RvIdC+-??_SLsnafXpQF9r&IcB}AX?#* zXNB4i^Cd3_PF$_53)-Z)mpphXUr{@G$htr_F{u_4kQb_x9Vkz^n>iT0#rOn*qFeXyQ_OWpVVf-ih|;&j)8&!5rQ7nVaq?|HG7>$Q3h z8VjO#r^-Y`E!x&%N}d;Z-yV=miDG7a(6$<{cJ|Qz=*}P(y*}>YBY&b7i41?lsZ&NVa8LQ`!Cg-i>8?3E_|^K1BZ>9B>b26$POrUBHihz1)-b#?uXu139l3IMd)wLZde@*S9 zosvciUddzi?@iF3@-OzT=lv8L-0ONG<8<7PV1z59M8wT3sqoDgu?+imZc^W;S)5CL zdvi&AGa^3zi~804nC!zcF*jrmUzl^=OjaZAaq|5#Z~K>~0B^o$cI-k~FD9NvM>PvR zh#60$Ap}oQPrC}UP0leYdjq-GA(Ib-OO!Yt1w*e--O7xcV5OdRS?uu}iM=lv=p&J< zVm*)%k{MYRYwn}9l1l3gxH6P?V!0_^$Fw&dCOYbouVY#|`sfflp~p|*l?8{J=18vN z&03aw9(pD=8xF@Ag87@s(UyK2160?@7mtD`3F&#aDe zE(pA?Ewiel<@J9qrA7C3Sc%XM7x(4^76B`!R9=pNUI>+0#j5zk%`$^Sy{k#{t{-@) z^R7qs+{_2`%y+GZ(735BtX5M^>dZ?os-Y2W0*4)}I5ldtuhJ4wOMAw31m7vwxQ-!5 zZk{+vtuaV;>F8#0>*%kxaqQRah?|I%-Rm}zwYrmrHy#q(pH5Z3a zp-EH&e`7VvTcihCuJ?Rp7yroyi|m!ja$L=oQ2n6l&Bb!KEfq+@t$qHY4hfNjAR;j+>TjD*M#C zU;)(^X}ktKy40*dSxl;K_bi{bWwDth)d{U{q;@I7_-1Ux72bM5QQG{IaBJ!#7&mgH z*lD`ov+SPqKBGO6taTC8K7ydd{v%jjKK-Q-F&O`~2gP^ftf3tDk25X;nBq!T*sgZztt+{-B8?JCg986e4LW zp{GMeSa*;g7-Eb}bx%lZ;#{#7-lkx-{y9V*1CrZS0KHCXyOMx)CIiTy4b`_v zgbW-e2Loh~a1;PXE5JY!ghm6~{6UX`CEy*^Je&zQ0JbHkMs}pL5k)zLts;GT^sbB<{$2-wGq7zxnckj_4dV>~% z|DqrK*BeF+@Zu2kYe3Qwizg8QxGWqd3j-uwC=^d6C`hM4(3ynwbiq54Wr-wbsck1V zArYOt9l?vp|6S~FnhpQK_2~=0y~#ANppO%sx9qZ|&3C5#w~!wRcLoA(3ls$Q^8wH( z6aodD0ls4>I2v?e`U80Uz~BfN7(xGu!C>Gn`xge616|@@7z*~gEF1~{eGD`L^s;}B zfrQI}tMG3O2`=WpFeLi7`5}>tzxOAP{tZLPA;2B_&;C#dGf7*n zp7)9OyRP?K+`D&v=YP(*|GACdp?xVP!2)500%$+)6rBUufncDOo+*Hz9|)3zTN>FJ z1EEMr5dZ`NK@ukBc5nppZVt19i^27+4B!AkL4d6t0uHkPI3?7nys#qY!maBs9(bZA zk&y#R85i|Rd+tR!xXaSnL^*|h=lsL*K*L-%sSJDV>?6$-mhC3oYAW%AgYaL1&SO^| z=WTVhN4wq0O2Gb)iVmI&*#u7YFOmiM6lMkFHa+a;C_u#i#{gzakJxdgADi4NGV0So z5gJmalyOEUwddU0>_ktCh;R;6-kH$h!;HpBGUOIpG?Qe~mf;0%HcjlA8Lmd|Ar>e4 zR^*W)ENap`Tt?dW-BM!a%H-rYxVtiPcX8FF+}}PmOM8np^`49Wr(b05vJAAC6#zX{+WxFZFn^uED{ykQtubdueb94X z+3fiXsxg}TveO$dj+z$RFeA=%O#Uz?JB6&8YomJ_c(TMYlaHo|XdlShF;YbXY9t;+ z$_KFau~r<>aoOXMJX3tkJF%|E+NrJ@}$BgqJNhDXgn>5Cvi#p0Hq+si$xyPE{y_TYO zp1m1_ugxW`wc3%_c)D-Qtr!laA#j6P@PO74sX@SZdJfX!suk!eKW3)IY=sEWW4bbN zZM_5TbJ$bsyt{ zMDCkK^w|g-Tz>IUXu*JK;kt^1vb^Mo&V%zPCcgImc+2hSF+Wx2RWh|;o}tP1ZngpN z!rs`yjr(MIF?el5~6Z8;ZfO-I`{xN!~Ezx-@V*s=bclK`HNo>ZuO5qfmw%rR4( zF`H-d*o*QJdk$gK%n`8Oo}A`dh_^N7@rCvBSK@@=n8GD<;Yn!q6Y}(AOf?mRm;5Qq;gdyO_bs&Gv1HFJ7n7~A=oPe502n=M0u-#nRH`1cWJ(1$J zKvYruT>&K#R`%9^dye1h-=KdgqJ-QP0kgEVM(w5V{3k4m#KqtaCi-wiNf8wIhhmCw zTPu5nKHL_FGLquo^x#7F|5b{)|9X)BtrVlo_`7C9fZS{xZ2zduBkIm>gyQwruP^gl zTtejx>DYNX-R1D_(2!x>D+*S(bbut_Fgyl|8N9xO6>$6Eig3VNm^Y0Vv!VKPv{o-> zIbcdrxaf0j^trMi1(N16LF#sQCv&N1dt(t|KN3Cb`{U*99bc=C?Ok1YjNHb!Ma*#5 zw~8mM@0npy@hk?`j$}I1DziI3K4oZMst3g_CGj=_ftr%J!LwTn!~T~90%c!~nLPLd zcL{DejrPU!R~T~)JI;8H z{Vf4p7kF5oOPX525V7Jl*3YH)B)u$@=D*%sx@z6|aO5Q#o<}T>Ah9ufODPy%b$5~? zt6Py3n0}ymq|j)Sd!}e>7{ETe5#rcRf^DoB9B#p-{JHCDW{$+fq;a0yOX^c}6RwG1 zvHClQcoOtB&zwj-Mwo-=WDg59Y^P2$Tw)pha za1h&{1Q<}+FDTloM6uKRuXAwDSW#}Jw*xj8&mD% z7F+Su*RKG&yU4jr;<{kh&7@KKfP`#%@^^%6nS0+EWIu6y8||3x9_*g%<{alAXB+1o zHw^LNj%rn6$sJ94O1g`y&_6I7Gdx~VRdJf}i6e?*l%tYEm=z(>UTyfjz_Bpf+^nn>N7(uBTfLen9^s!kR^JtQlLBgH{rSd?G@(Ek^hHg& z`;MJ|x8UH8G1;J$r~2(NvwDGy(h2L9o|a-4DM{w}t=)m99{urT^3>u87JXXNpH*%2 z3OcjuI;@U4bE=hND#3Hdi#w}jAA8Kq--A|)X_Gl3d&Gyx?QV8hemUkY-|Qo9fku^drbbmI6|%NB#P)0xuafEKl(w2; zF%&eQIAZBdv8jAl+A|5s<+wlnf7R6Z&~u!OUO3x6n_}B1h+IjS{R zqais`cv+1|`3MYF&{XwI->@%Yc`f2YVl-~p{BYU!9r!Fam z$=&;nt!LD(wshjV6Vs8gu$;P_1@7ahttq0)gi~O$-pob#pmp|~(E7mpBZ>hVkG9lf zc96w%mE&G}2x#HeRijYc32~oZORRjyzWO)YtJU74;ecYF)-mXyHdYm^1O({ya>$CD zO59>DXxjO5KdHKKsT!YJ0K<%@7sKqu3-#9cA*@zv9DXY&ZWu%9Xjjh(KV7-c6%kXO z&cV5-i*Z-H(S++Z_uP=+RvU@J&LXX&DFI=xNmJcB-8$*)l?*apU;URYr1u|+^$ZAS zfjXbMv*{9d>P=8_P>FRnY@C?wdP2$eq8?uJ!EqLPm9(8&^lNVU&!LlJB+XTE`K$7X z6PX`hZL-eNh)ImQ##2pW=Z5Bo^jZit$I~4~T3PbQ^LYkyg<3XZ%csBLeHfIx9aG>WduC$GmFgsG7r}LgP9ho>7OOl78I=D|y^b^0)_pEPW z)0BeA$@sFyj-xlXFe!8?2I&D|RS9bfpPvw;V+O5Ckv5j6Dl>h0e`jDm6oj5A0@yXs zdQ7tX*tiEfWyQvKER!yrow0GbY8c&O0NY}>YiW}|VvijI*UbzU2WY7h-O&k>!>`Nl z0%g&I=Z@0P+;o~{&mQZvd$u{+%m57}*x}*?Tiya+)@Uc)G!({ zAN^J-9*v_7CD^n0&>``99W?Q6n420u&6)}NuLn*Ek#7RksFH_OT1-{EiPA)hzUQUJ zjqF=giJOOWOzNC{RLO2g^-ObIZ(;EE`@vCO&up`Niy`j5!i9;Q7`(cUimhzQkmcVJdXy3Dy95tA$B`? zk07qD_WK{Uf--pD6qXcYYnVYcy})^QU1GF^!IJ`M{^^B``DCRd7SuZr{pO`44b+$4 zbxulkdEB#}NqY2r&FNbOSI0H)_2;2%-R|q3r^$Os6Gei0b+MfA>`uWCNgkJrZCe`~ z=N~_ggAI*XIT`NPxG4}~AT)(^TeS&)OqntV4_JMDHAd?EnWtNdhEz1J_V&KDu#x-= zJB*jy^KbjSaNdjDy}}A82;!69F$IlH@9?b>dz=Z(+`2lxhRnRX zjWz+jnNE{&AzNEIr3+AJLYxL`}8UWuSD3^3*zEC+pLX=Y}I zpYo#po*v&zpGU#xB5Vea4ufaF(U z(i7VB&q6}$FT2p!*Q;J4j96F*Ao0pPZC}O$}6;;mB)}W&DWgoK$EDQA7_AU7|li*Dr16k&boG&6@ zstPhHW4b)k3wGh#>$*oL%+|#LMF;ovisq&qyp48tX3H|}$}$j`ASW40{<%gyAtk85 z`qWp0xJ*UUY%>| ziSU8SygCt!g1pI2G7&ER%+=Dt&50eN!$V0=Ezg9xDUW=&k-U+2bG*Usv>ReR`t^hh z(C5=#uh?1dZ1AKC`0x{MzaBtCe5jDM)B2?gys)mf>=Ym?p$~nKzKp9Cm_Lx=9k|t8 zKzev`PryJyeELMiO|8U7UjYKA!f=bg=WRd zPau-+l?R1#b9Xp29&gYlp*O~cSqNP|t!=*gA$(5id?p`r8XPPySeW%*n=o491y2vj zgtpSJovm?c^MEWDgmOyRg|{kSTwG1JOmg*5u~5i;^Q@C|hAqU#lj>i3-_qt>p-;wl z)?B9uOrzX|_DznR9bu%6!?~XX%NZLc$Jgp1i1&28#N{!1kR`&Pk>+f$<>!xKadr>S za)#|A!W}H2@q(8%{Jda{`f$I?=*r8hNoO;IE&MJ~=N!2b1I_k*2qL4+s5)$pK3naO zCG4QXARNx)y^c_S)_tZ@FK$^0-N!g%74q5ZGVbcl!OpK(S7FySr=;{wT_z28$(XSC zIUbB9z0CLs^p#Cm7VP|!(DozkY@Bg-(^XnSl74qZ*mAl}#(p6G#*iCbvfwoTG~4uM z`T4d49yoF>2pf^c`TbL|0-HjmTxs7^t>o^tB`t_<-`HwAC3}CFpn>Ka-8-`5i24V~ z_n2}y8Ag(zk#R`_(ebjqv{9L(k(G#g6_rV|ly?@Z@z%9Y!jHqNU!TC0r*tazyamij z=KRjvJkH9F%S;;TyN~lO9WU-B5z=SOUDVWtH~5jX@*$j4k^&6cpU75}wdP(m%vK$a zk$L=FW75661iU65;hr;gG%c;M@KC*)l9w{}#?XzkY|ZJKAWfAZmH4cdBp>R9_fmh9 z=3$)WHhw{3vQ0wbvH2!v_GubfYOpKdwSO@GX^XP`xbji58OGu+}2 z{af))p9{Wwc554&j8+k`WGTzt&t=n=l&d+_XQT#ft5*A|eq@E@$ZkE&C z;1{vxzUFr-mmV!+tR1KbNBI1flfa3`tj7oB_lrxpx>ZZp7;USD84oY|N>4e+RETr} z%~jnVycK=@o08;n`@q`6cED<%-Msum_rU?I?0Avc3;zSIrU+hO+C?aRiB)q-hX4p z%k)~oan~EW*bwb_Bez09A-F_5UfWDWWXq>ikmq~y;F}@>!3k0t?&dfeNSwQpb&r`(+g|oR z(KVZ!`WbS>lV;^7D5x;TC0{4=RWH1U{IthpD>$stv9E|Au~b;-VnBL_eDw3lywRlX zsiQ?paB(8_$!Fa;%*2rg7)289dKbUEy|`-tyv7-{S?NA~pYX^BI7EHEdz+cxIte+E zz7I8}qKNGpDtzMuED;5tH9XYvF2^O#ww9Rhw>b08`ns1S?xgD6 zFRc0?VR{Br!;>{$W^qV*y*~@B^p83HU>McnJS|xe;#Us^Sc@a7dg)s3Yf$@FtK+xf z1RN{|#4ubeW>sO`ZPl}RMHtW)oFF0}>6)`LKQ%306M`;ujz-*KbAfxV=kthldmme; z)!o`B2TS9cU%8o;;i=BF`Rz}G4wh6Q3E?C#G76maGx16vcd2O#qx^X`bKxe*7JP@; zWnO~0#%BpVvL?k-(Ioe;jf@L}eq3>?$;s6AFsC^2hTK09Gjo_H52;&OY5aaCQ_Pud zd+;J|>XVc*ZpaSIs?^Zp;c&CRlMrjGQ27Yet8Jq6)H0>JYPTXQjyabo3IkZ^CqmL& z)e=Du(aoQ@(E;SjO?JNE1qQ6%7YwI)_7=mm8;aQljVWvgEDk$8#v^&5FOE^Cz!anM zarhPvm~3@O8=Ks>Wq>R{^`i=)Gav86+(7(Po37NVOl6YiT@oAa4B_x9@ftcuFHg5qpQEF(dOK7Df_e+=7d zQTM9W-*aQeOzWzms^<89ORWmUD{w+P-HUY1bjcQ|pq|rwtZ;?A%Z8Plu=aFkaQf6bY1~ucK?eb%oh^kLyjUosw;naME3?LHBCo zcYfT&p+OjrOoIc{8jqGFmc~*C?2>k8>^y}MA|i*Qd|KAc`kRzXBa-ZoN!}A|#LhHE zHCl0hW@$C2J~MgnSp#tGJzS)C<&rSzNciJY>Z49#+D6;0)!yN_Tg(+JWz!fXf+8WK zB{K>kzl23^ZJ*t0iXEQCv>uEJTJ?96IiACrm*%+YCmfJqmVaj#Bbfs;=qbd&URX%A zBl6H$rB-WI;ks%Gnu9NV895E1Xi#y|Txf7U*mJnZd#w5Obfx^H6GSwd*AB`nttJw( zYV&-3Isv@Uq?}bg9b^9b9V$JW(@qyR4#h6k?fx*Pd7y!DCBBdi5bA37v{~vHaeBRw ztbLjt>9m4&^=d&9dYK;SbT-J~>`bfk*zbwQJw_qrQ(>Ab;e~U+oYHAgbI^#>f?M#{ zlzlhc`Ut-@!X%xYPuc1FJ1@#RHzf zn@oNkp?#k^mv%o(SL9?`-SHZD-rKUtdV@9Zg2_vdgejO6eHLUg2w%Dw{&0 zZj+R+_r^YCjXK$Uet0dtkY|*Dh-@}WIIU=A^UDOdQz#T_F(xZkA!v&jT0eGCsxP+D z6S1nE`cgzsSm&ZgGq`;vBKfkIrlK|ez70Ua;3l^~eQ+x4ca-RixT0}WTlgAzde8nn zVc%=D9P7~L34jq^^IH|S#&_&Qv)R_~nm2}+5iU&fSa)wbzU>0n6nI}{P8@^ z>W7GCn=~@|V7%~$gsYkdI(|!@yC0T_uBN?(l(<8af|a-(f<;5|njqhW5y5vQF&7y8 zsPk>aIPg_Zm1Z@sDu|Bc=LMDqvcakgC8?}DJt3n0Xx*u-hY%?f+O^2C2_FfwBkcbXVpTCQAuenMj*rM&x zgQr>d(tW`1p^q}bWkjyaFf@BA!gnNkk4&D)!5HcYAA3{!S^7N%XhWMajk#tud5;E4 zANb&WF9LTGKl34+G_GVJECjINLz#w6;)({AB?><{Y~eF@-sP7{&tcHyrr8VW@lN@0 zroOQGllk(xh2W}~^z@16_iOxhXsO|U=@t|p@CV((3FhYflL6uRFLMAv(Hs9a7FYXY zucpYMtP-`>hw2St21%d2#0IA@p*oxBdEEx z;|tQgcLivIOMmn-BGRkNTE;S4vUd%42woVdMA5!zAv9^2k+sr24^(^H)1h+qtIAT+ z>RidqGD?jyW=RU6QZcUcajQ4-Bkxf@?DKKHbZ3s|PbG}0loiLlw+XJ!QABCjpD-Vg z+X0jlpQGp8ihL=Ne9Pn|`ulH^r!oVi9N3$8BTHMnG?Zmd5g+cfd7!P3W(be_8Kp?x zJH)>8RJZ7PCq32E)NiIQp%T?4dR3{MU&$uKB}@>>TWW zIuU|mss7}De)CKy5=;zktB)|TwzERqa8xKr9%g|gxy0b6Fco_xB=hupz#L{|3xxh9 zB=Vc(Vu66!z(5u#gaZiS;iZ%pL>I032o zUx}p()C41mL{2c0ndIUCaw7HOKpLB!2T3Y&up#>pASXK%d9ef8xVV15NBRMZ#5s5% zHy8($=Vlxw!_El?@^GQ#p+Ghsn?-)dg8>ZbSEL_ok*eQ#Qt@{BQ8a)?2#^j{7o^)-%qKCA`hP+vjNDU4>Lhn z0U@m1tjLUFFt)R^<^>^{WF%;WfLR-x=-aYdA&eMr{0n-CurjdMM;>PRzfb!gh8glF z&5eqz->E4ILuQYa(T!bhwE2T%{+~%s2)H2tnQ$Bc@Lvtc$-%+S0W<{ufpK#~kj6qa zpyi(!1j2@N--a81%mw7bnWh|D4Ok$&U2Q zKQV4FvV!~vL;ha=H^$EPpY^!8k@5R4IUX=7ick$@13Lr^Su+qf=aH05T;M4Cq4HMI o$_g11C_nuEP($T9@Fp&9BF)wghOoP_I1iYU13*hFt{?&Ue|F8&8UO$Q literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/kreis_2ele.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/kreis_2ele.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..34ba2ac60bf43a5d6a2c30d188768f9f99eebf5a GIT binary patch literal 2752 zcmb_eZEO=|90w+W94JAI0o3>ijGIFH++BNZ?`%u9wFANmqZ=|ABwp{HZpYeQxx2D% zgBTQ)_ZI;L0TU1*hNu$*0fwRk0jJ15AR_NCi3-6GBVaTr{;zAdu@L0Lo-cj+e}4b> zx63aJl-O9ilgdAGeZ>}vM-0*;GbyhZmy$%aS%X|a3F8tqW)dCYl9*(Y0FgC?`2Cb& z>O_iD>5b3_YR+Sp^{7b7OEd?C1hY-{6BPt0Dm_2@0fiN({-oY{M`eDjfk z%;5fg|Jl}3l=2^GY_v@}zU<>ym$c6LclwgxFN3#Ux_R8s4Hia-zT2)Z0K=g zS>vzu=UbS^hRj+~GrelpYH8EdMIVhmwBP8r{p*WEy%%;I7B%u=<Qd1d+1it;aAFLm7EQ{_sES6dyd`SG5a=1TF38R z91o^0umi4~pMUz5t8XuS@}$4ut>&uj+YZj#(fap@^+gSR{hR4aLkr)R_@~zhy^F_% z&fJ(N{wc1VzI^Ui1Bym0cyr}Tt+(nw4fLwt6zkt4e*WdVr%w%P9^Pl?fUB$5uc+VC zlA8JY-ms9`$23vfP7ICoIaxkG?k2l?tu9=5>-OB+``4};={)t?p&pmtNIjFcs^y2K z2vZp>*!RcL4gId|!%?y2=QUgWx2U}<&h2<7l9zYzyPd{bZ^K>XvV3~upN4P_hYxo0W7c)z+`mAy8S8v!fm=>XQVQN!0|0h@whGS{hX`@XR_{yW4?0yq$5* zpa7whgozwh*-$u43@xS0#DIb-(>1xAm{k}`4uHY5Ikwz{azdUA7U~HXYY7v$4P@0} zm;zGP4oh5HT_S85f-;sE2v1NI165I$ondMQ0tqS5&URvD+gY=m#gZw-wCbFQtfe7h zN(#Inp^Iwwz5E?^Q+QHY2vp&U3CPq_&=6T;Eq}626n0Y%#tvY^mo{FHZ$1j!|~w3M_(GhJ*TV#vN>#o^MDVHO}QrsK&txR28DSi%s~K03o9 z!rdZc8f746t&gq@l_68pVzsJ?IJ;nHZLDK7it19F)M7!+ybGu}RU~{k@!N#&AVq@UgB94f_L^;W+Fj7ua zvXh1PsDcO3<$w^tO@snS1>%12* zVn|ceXng>>$j>n>18&+lR|U(9JTE$&qZn3X7%%REgp>noG0bk52GJLp0)_szbAwdH}o^bnk@KdOp zPWK7wn29iZeRQ2Q@!)pvUgJ7OZmxq1?$^N2!veCJ0&3W5i-Le?^%To;E|%x{OgqsG zLjw%j?tzH*Rgl(6l!6_}P}b~eJIDpXcoaoBn%e;z!#XIDqj501y3!bz8;^qoP!hm|Bskq?Q_GFbTboB O&LId?etvLL3H2W=8ETXO literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/kreis_5ele.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/kreis_5ele.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..12cc2abe653670b673c5966620c1f63132d15f2f GIT binary patch literal 3026 zcmb_edvp_38kc8b5X2&!Lr+&Ok2-)&?o8ejlCW*k7j2-VMZgL=otdQ5Bs1B`qzR>E z7qmWBcG*_Y_8h@&^;j2*rB(s8JPtyOi$E7n*Sg9>_W-MOOYyL9JUrYxY5J6-{?YqS zZod1yzwh^bla%X7SCMKRmekg@r4G{r0*Hmhn8gBfIKd+q0Ry7AU^?%UISIgYA1!kZ zjuBbTX2XKA#L<2%^7^?a7F8wAe()qU4*$!;qvtKXSTyEZV(qS$DJ5gR+}L=nUifRc zzIkH(+i!n#W62x0emh}9nCtO&oKX`X?;@w+UR4*?4-FKC*Bs8^dskpH= zv**~Xl0RFG@jQ8D$?8`>9H-8yYneK|O5l>JZzeZYR0K|J?fK12Q+8dx=OtdCrRw8_ z*7&b>bslN#nYMg~zU}w5M_=0m9c6d#9j$8oyRdO}!t_UW&UtHcXX=t~+3s_j4`*)v zGuF%PWrg$KzGGIPc3ElCKfz#rlYbU?fAhPzFpf(7g>uv-~BI#=xVN=p;=$TR;wuQ z>&``)$uE3b`q=(F^5%8^gEiaEojT%NkQM%53_1J#iTmBP-A{jWzS%hUa(JzwI@7=P z>bI3A=fAe?nd;`zqsLcy>vptU*fRD=N#~nK-!ES`CH@2xcxq;M{^spvPx@DK``VK$ zFD+|-V0=ewO~a0V74JQLW?$}-BwcIjk4+RU+@JKO)j zJoLu$j)v>7E*&bnug_5$(mAw>IT2zH^`wYnj{-Ika$W z(Ejzgh5vaZgLn?yDS!G@+!#o2sATSSZupR%QZwsa*S0c83N@pB;=fmKJo~_k{X+b; zxc04OpDnl@S^q+u3v*2>DSEGLepmc+-|xmRG@L3w^qBSGz0-Uz|4`GM65lwxrM&q2 z=@(%4nU2sO8?(+|{bAhS60)D&%f5Vtsr=lu=lGNFT(5tZ@Rc=f z_ii5J_djEs7p7jc%?Q8rQAOS4vy+y&S|0L-Ufp!NZBHw9<+HexRa0j#KRK)Ne8Lxj zbn~O{Ogz5B`sRrTvoCJHbT`~nM)bsA&bXwyGvUWk>Gz8N!3k`vqtQ)4fztcRuaVSX zF_LZoAo=S89L%LX9CUIlPp66zP(Yw(k}|1vT0j~JHDOwVAr^@fWS~`mgh3Y<6hjij z1rfw@C6USFtv00vA^UW71c7X=wf2Z4f27lueNM-+9vNCi;w1Vmj4 z0+`LSK~R7xj=Hcl0BHyz>*OF&vR^bNX{Tk{Cwlr+#5{F!GR>kFKn*i(94bHHHwKsG zI*}=upABRwghoWnStXv>SaBIKMcy?KiK0IC7)@!PT@2=h3S}k9tDHG~!W28Eo57p(ZTj}PI1XRY{3y_0YT>|7C_St@aPrAzafQZGZX_+lGoSxlqq za;gX&P`RUXEeNHFK zUKD_0m@X7UvK43a8l!>HQYtNJqEsZw6{-kyRFpwuB1lR{xOJL7OMyWi4l#uukS#4r z0lJw{2eToDldO0~ZVt#O5`%KDX<$+tNgT!^9|4C@MeZLvDq}2o3*s?5MV5E3b08Gi zGz3YYFjX2uKB+hB^=7T^ae_1xgar=cL?uU}cC^jVcKa2ggE$9?ic&sm1ltP1D~Mqs zB@poO46PKQ*Ira8#$$m>T?VCP1QSIEoX($5mEW&)u)=3{h)l?j227UYSN6vUmXu}s z-3){zUlal?134e3coalcC6S*jV|I&@pGFN#52O^L?!#>s^eFSPkF!Mqmg19pFFsxY zjM+yE9xEPEv7DO@`D7fGCd$qBrr*cgdM{BqIH2o3#fg#-fKi=b|9G%rV1&-dDH@oG zX!ct1url$`ZRldt42;}91kb-8fESw>aT5Aw1~88=%bK_O0QUQx<*Zb`mgCjLu*g zrbVKyhnp<%O3>& zFmhVXm38r(YgXe?((_GD!k-$uayMPbp5*|xev>_B{&<|;D~WDu-+;JM+9K0tCI9=+ zYWg3Sz&?DFik-7$j{T-5+`LIQu(D~aKe4^{V58&PONCSK^fsylPPT_)tqU7Y=2)kD zrRHo36}i-Jszk@W=xbh`?z5|ImJQmjsNE5XQrTSI;}{BR6d12puCtF&USLYk!}5I3 zX-rjlqOI3-g$)RtaqoUjb3?-Ujr}za<{!3!tk1t(+qHW1@dWpemcEw69kw~M+}WD~ zGK*sLI)&nyv(s|nv$0c7^${nI(S*y=&JEA|J7-$ClMN=<_M7n8b=FTOZ3ndqY%G=Y z4VFH|CN;0qOL5BI;sb5&r`-?$?BqP)FgTreoAt0s11#P!KFO7X`szGGb8tIHlWAwHv5doBuF z_Hb4XJ9~At+A~6{sb1FapZvjaMbTB%+=0!H=Rr+{T!Zti_Y4~kjwKiilnRhIZQvT6 zKlV55c4@pt>z6VQGuCqk-Vzs%af>=Onnwx@XAF{g%Ee!Y2YZgZI=$KNNSB;^@60Es zN2g{xUC*7)J%OWQ4P!`QQ~FF#KGz~=p#NOCZ1K$a>HM*%?+W&rB^d13-fa5UFJND) zJk=H9+PSAJr3UKVm5^Ik*|&rj4ru9Vgg?yOY`n@B-|tv#KkND;N;5Gd%Uq}0Q`AMx z`h#{MAL-?m)4W5{=WN_p%jvF%Iro-%w%kIrjWJa zVLy%zRyeunrVu&Epxu(u=24KSV%TFxHL^{FkQ-zhV~3UgPUbr@+0 z4yFQ;Ud}&r3E_#Dg@~z#cqb$u2pB3$Y(OlE|4veeX-Oj(qh*RAq$H4n0udlwVsJ2_ z01|_#f*>F<1f1|oNK}N1qhB#iZ!gRrtzAUGB4CizuS7>^MELtTne^|;Kw@TCA0$Z3 z7>+_7PHYVKLlVY;{OTuWfOJN~)x3j2HUx+;psbXrxQvvPj3h`x5-bWKJjg&mc87go z1PchA{XxWxdz481(N-#fq$f%FFvDKq)QD;YxhKk_{Ew;}&qo+pxe^g@7uB&8*x|4RJtEwNT+mbaBR z?gcq4EEg35;)Jq*g7GI~qqC|lj6X)|*uK3?ZiCS2cYWYwI}#YjB9mB%%yE4q6{&L- zT6L-mn$PD+CEhot_VVjjDEh1pirY<`KmC^NcCCqg-(FW|{hC2t&_vyr(N7-r{^REz zNgSi3E>GT(z0?YLT^~TMazO7Z&|_ORc-;TiDhXBiu{1%u<@w#{@YGH+Fgv^{k{;s=n3+?HO?wZRri1*y-2MjBID2C?ItYnh38oGN*q5IRw<22u@=oGKbKEfg; zP$bTM)@uqmJKdR2J#e+Q7qu~Iu04?&<)^9o!(p&BEQt~uuOJim^JFf5&wxZ0aL0zq z^S1S{N?zDf>+K&(SydI!Dp0R3)>&i@d=p8@e!ylR7B*xefnGLK1r~}D=3ar>S%Hb3^jgacZvU`RGF7G zZfmtJ?Q>#XjI)0bQrMfBimF5hRopzov5@d=Q_#l;8fo+>~8!dcTUtSSRM6EloWxk6#7Xt~pzI5om=w1*u^ZXfCPoWOqn zy!gueQ;nD1*ah>7g~gY;1;u5b7pr)H^a=(Mx>JuGFE1QpwhjonH!hT&TrxrC?#n!I zwls{D@xk^5)w=A`tZ^%7%Dk~$&xV+n2fEy?Xv3?1?7lhpsdm9?Nu@=`8^AG9)&M)q zST2>_r7=Ntu2=GSLvJpHsRI8ub5n0qn$KTj(lw`9_LA~-tR9KIlHC^XGqKHg@C&Ob;!$DsndW9E!MWp7LV5u}ICj=tpu@|NMy7#>?=H zG}Y1PK}Mr+awS8_xQ_nxi_&)C7Xz)5DJd>duy~?T}wDgHFH+Gyge~(nk7F{=LSzpA-DPm1sh{72961> zxXj5_62Suz`?%1=%)xKr`{X|{5$bcx^V z#5dTIJ@ESIOi_(giYV&S%bFA;^M&dVcT4R1=`op-#r|cr=R$byOEqw#tYV4YXuDAh z(JLwbvJQ%lV`$2eV&n0NpLqZu$21!}E*omFS0i_g^T8&j*L%2CL)TC|?Gr(o(1xISk) zH`+Ft)}i})1zp-69Rag4oS-VROqGa2?jR{X#R5E%*1g)SfQ~=n+Z>8Fhf|I_@v_>cO^}MK@M1?avk9g|$yP;9Pe04cTf)BFhF@!5<^6O0qgL z-fCn!R@mNXj((k%ne+H6(p=5>^eS#RO^+ejnU zkCkruk#oL*_7-kK8YB+eKym@)P{OmVVcKEybG6Q|RrgqkP?80_l-z^ASP+nhc@sE2W z#&oH*Gi6o}JsR=dCUZ%R>r&yjXgjS`Q9*}0_kG`e+#0*?z&_xn!!*Pi`{5Qw5SZI` z&ha4_2DPWG`G_xsujTi-MxNS1fwYb*DZ4avf#5Re67W zmmh<-iC~k!t-MnfO(skfOml@~oxO2+dAgfmXEf(yM(p0oyD4Ue@b4OKo#4Qw!Htp@ z8ikcnsn%DIjau;2ht62@2W_#n8z~Rx}nCa&^;UG^|K{boZOY3bF#K*nEQ* zCK)jxh$^7lkEc5UU4;ni!CzWXz^^E2_@2!LCs{<~Y&xBJIm{+M%r)bzCn<1_!Kl^g zk#NfTnl<)@*odwQgGYRDbl3Lfgs)IrfmFO33lsWr+=m%ZyS)A?Z)wA@%Bk`!GCGm1 z%lvj}61MJ+E@!Km>O5}rj-TfTT;l`Mm6IplR!vxlD7Ii4wkEIKX}{B326D)G=c98T zIA-vcLsJ#fiOVZx#jHG{V5;Lx>$vY|l%83k?~*rXmpPECW-1 zZtHcspyQJ;8|`ZQu3)7?m{D0HpEi#C2PC+!hx-3KhA}a_|RCutC7EUHw#G9 zto!a&_Z!E`3X^n|jJR6XA8*Yy*Sb8EYt)AC!RNA>>@_c*A=|lle&{{vM01F6vc+-7 zDl^?}hurdX^Z}=!Kum@B*%J>bRWCT;Z6H6#HhuPLD45!3(sX{{fL)vBJ zthiVlX0Y{xcZb%NwDCo2{ms=O9ezeI)R$_WkUpjX{~*Qf_3ve33&RJJSdns6V>OS_ z9{%iAWoSUl`c%tZD|J``kMxQb6}}s-HuoIA*xNU!D1i!vw;A)taf&y+4xn2X#U7ISSVB4ZW6T-{c#Jhjl6w zPb3T0dE28L#+(+EHOz`wPi9ke=4a&6(g$nwnFMOD^mkCdOIP`#h@+R^pKPv)sAXtc zLM+SUo{{Yr(AFn3daDI@#K_1fzwrjv(l?dB200r`csBDI#K z=&E{~s;&p`C5`WfkSc#o7$Du(nQV*LrIoj*p3(vwxHeyMh`t1kJK$f2S?^B?d3dt6 z+gQRov};#Gnd^C$H$->uHB10^EpZ1trLs|}cW-SWaR%+1I4&{D-7fO;2MKHwac!D7 zX3~A@$r?b<$z2rg3+aARLlEhGrr_3CZ_CZi5dfQE<|k@^QKryTLC^G8snv%LTbmDW zsR-N$zOG-L(!m|DG%)}sPFaa9bCJGeZIN+W{{B&EKZFiHFtq8*^8a3@n1q}Eq*XqYc76rN%un1+$vN>*NvWi+V_NRag@F}NGVd@X*utNg|~7?F_~A1(9}rJ^baXN^E|v|ile#8 zll3WSoXxZKX&W-HuhDngJG=1H`OF4kNgNK6Q<_d5R8C~rqNW(ON1Kri-{&5M)infI z*q--EXm}4eey`rPGWNh^vdDZh4)jDAvz(%2%kA^L0ST$@kJpRetZjHjFN~keIUyQ9 z3BVx%mqdN;GiNeD2hw}K7`Dg)P$f;M>w-*BJxAk7eO%9p3@Zd;Poj7%EYU~~I`LAu9W8t-0bTvWcD~n3=F3nmmwl~k>oh-RrHuV+G zo(|{NXHMe>OP#KBE*Q9aAC#{SzN4>A<8+H`Y)18&iX|z-TCYx&sbeaLKe6BxX=`78 zuz(!tFj*^QMK9p4%K0I;F0BBjR&t1D)+_cN5kObPFguJ4QK^TWwP)F8XY>rm<@(U`@>F2g2MXPRE2pyCF0kEZ&Z?l2&oeb_f^c?? z$x&ojOITS9G$`jlDe9Z1bcQ&&SV)#-O5VClG)>KY=rw-^-MGS#PQvPb#u(c2#Xc&O zi2-2r8Bv_`q&XzMsy?>oJvZZZe>WZL=yHZrb>OpQa&g7DkZZ+o*M4Qi3C}%HeYDXh ztZ+}6-UP4EDf7reeKQwzfg&??CNx>E>;>-YqPgbkcy+$slv#b=YkoQRXOpcbLPwRJ z@~Gc&x%^4HxQxUv)*(cV;MaNk=v+^f zAk>lm2tTwB#@p{u6Cgr{a8H87Z~fS^bHi3ROn1)?_uB>^c8 zB8m-viVu)~1e{-*3bFCgcmYnBLzM-lqfP{gWQiZvsKNb_MCAWshtRrb#i$IHc= z*n=nlnIKVUf~G_uOqC!VArGk{N*P9e&PYGB7YZb(<4kZ7jluq|G7a$Y@j!YK9Y6Hy z56S4C^&$}Pd(&8gY`_G?M;Z(UNlQqBq@hwrcj7bQUjicYukv9V0&ZvbhaN-Jp8k%H ze=|a);)v(}j|vShf;La|PVAR=BHD*z9j&M{oUk$kCjALkAFhSTktSv4ZSI98s`?;e zmiX6-{be3e1UrgKJ+w1%AfirY@>|>rAg~Ad!#~KM9~NMQ?*)XI2MHqJXg_ZdL=*xR z1%m`#F&G~?F@jo008xH$A6GQOU)0+Vb?zv@js3ix0}zDo5C46)e^flkFDa226h|8n z1}DV7H|mg=LvMZxdH-|@_CvY=30p=A2>yM6q@|=Jq(Cm9pO`cRN{D9S1@iiZLBzp? z>Hdv@!Gs<79~cAzB}CD`+ew4P2~_GLnB`(&CbT%_}V-^T&7?KR996`yGBlGDU|ViTn|_oQbzLAts3HaP+Pr eZd1@W~l8}G+_%w_(f&T*{o?9va literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..600dd58286995df3c5c0ee382b45e34915e310de GIT binary patch literal 4405 zcma)A2|QG58*g)UEpaJEy4`crFj;3Yi)>+xJ&duh$2i8=Mq^YeeYusTMwT{lD{BZ{ zLL#|Mmh9b%$dw9ROG%1UsPCMSuCDLzw~HXgexR1E)z8LsyJn znH3`dSb*ajD5j?eXjwy{EM5Sh4MTJ>006XT>|h?mg+GHq9z=zh96w0Rz(6dV$A!QU zvAw?*r`TAn#!1IaeAw_-bo=?{wxQMaCPr%nCJ~$gBPTb^c;>#>6X`EQ9n`isL9S=W zKiOV5*WUj_=P)GsR^^xJ7pEq!MB5*w;%iQqroRd8t5cGe(bGNZ-m_ZDiZxx=f@+ve z%6y_Tov*W_V+1W&=Ym�s4rGyHrcfaqQH8*+%twliK6#a!zHPSr2GIlE@sIUBz*X za_rFgE0rPo`P6{xz%O2PPcN;G$6h6V(AYXvbqf7Gan#V=_EENk*}R9_YWfjMc^OE1 ztFgYTjh!~1UV^e5R}(qa_8cRQ3evq4eeXl%lx+!Z=7`+w&$rYH-!;j&i8)9dk&!&W zu5qO?5TSw7^%NzsBz$) zjwZ1%QO{|=wGmda;IwzW+pbLno-WzDJ-|uMxRNVRtv~y?(K8}+w11_m-Xmo(DAezZ ztKn}*kdVkApKxplL_9K&jPPGWC=8nEUY?l)4-Ochr-uOWr3GT)0ib1K1mFNICJ5i* zFv1fHcP$zxl(%HHzXnzV3lJC60A2*Yz8psSdKjR^hzx@OEjy3}2@kddxe&Y$Zc$Fl z2J&Nr#+LZf1;tU(BRK;hYFA6AA|qm(iD4MTW=!r~=AYMgCJ2 zAWmH<7aV{mX;Z!_i!MeGgVDXAf9Bv!+lsnd=fUsL$JU{{^W#RIig(7Xd7)OS8c?Dk zIYyBw6lr*mL8rNBr%3Y~*~-GUOTAD*UX*^u4-f*I#Cu zpZYwSGd&)w?!IGdtKtCOWUs<5V)^- z;(0Y-^w`Kg4U^YD3+%o>|OEPA#sriJ!@4`#UBOFF>df+PEW1G?8&@mXnHJiOH9$=oK~|4$jVXO66ouz{WlO zPb(c8i}#SOxZfy!Ha9BO@wgY=JR%d76KVb;EjG!h);#6@(W;_|-7P1#>)KQ^!R+f- zT=O((ik9u2s`C+nIU#O`GcsPP%U$w%V&ym$hmEap3b}bf)8la5dFj@O&SSJ)xOn_g z^gi!Vo}*euR913sWV!kc8{<^pmxN1-?TxWCMM-i?0x7!((~U1RX=g~{uZA)9SV``8 zDBB&=G74z^EE~($Q##R+A(_CluR&!!v8*URsk&7z(aExKN-U}x%gHBQKIx@88`8Ub z{0McAox90+xk!vb^tGVz6lXQhY$E0l=Vs5=&ciaF6|=gOhhOA-e9GOe5#wSjyE9AP zJG}Zrv$^xQ=RCex=B`NjgNMOydmI|9a(pFw!Q#4W@nfTFYU3Ly#f}OEjhf6=UHw;9 z94l}tf3bxXY!s3^w0U&H4-rvS_C>_|=GWerbi7Oltq`w6}fsj<1AY%SBYAY)p`22kn7dTDwPT>^srko?RQ#8 zQ})62+6F0Zt*0}k@2$LHqwoiD<5NO9FUU7z8_O+oqTO}d=;}|BAFXfv7JrGPkDopLDfXfi4$Yj2lSr35r-6vjKvK#e+$wY zD7SEZlkUZJYJ&ucT4_`kvrs6O~VA_zu1YFUyRp+$nr#`Rk@c*@6xhHpf z@}bulCA&ht|J|TQW2x%d?GI(mWOp6el{y*J_=4|^JJ|eQWN?^o!k23_lJ{~CD(FVF zi@GrggSS3yiO3KUbyA%5uIT)f_3O@;cX3`7C5e+|((mvGTLOG*ZtvAObg>@18)`NF zz0aO(_wj3gj5J!wOj&_1edki|-Fly_sH>p$D$YUcW2w?QLx~J8>oJq}E19$6rGdJG zM_q#dOv||@Qc}^ua6f6s8u)+;2KD5*mxob5tB_hV+ke)(v2CaRpYrJgB{)8dRG!a5 zDFzc<62{9N!2Tuc*841J@23H!=J2@(O2fH-!j#nwvmA z*r(fD{A$`~Dt|ArH^E-%d>~^dOOLiaxxLAkk9uXVbQ@*R#;DUrkvcPD&Y{L`C3!XR zZX5Pw&hZ87BwE7qjduD`uvmRJN$up#2`dlgOjk18R?N>ic8*T2ZA&s? zKhatKB*!7-r+1G{nUx-t9(8dS|8GuUGR!o z8$PQtk=fUx9yz8Qn51vKwMI)Vuf}0|ZWWOl=C|C7Lf?FGBOXs&^db%+af^g#fp{St zkqU(~x$H0=hbts)2(%LnfjJSS$hu119dL8k}@n2~**r-32t;79Rig7NPzeL;_*xbcn@S9m zp^xbcfo5jLhTHYeb|4VkwU4NY+&#ONjb$fN40Ae?Nci zJMz=G_ZVRKAU+|3ktD95X*L?kGtQF-O4 z0?1)DSIk1r8TRHJNfbtCBzw?*30XX+ft*_vc79A^CM_Tt$#>KBA!`MUR>C=eoxl)z z48fOXXdn*PZ3CSkR)vj{IK{$*uacTc15Wn6V^dhA!ia|ByDx*g+@)gT4QrpHjU+sR zEX1_VBXUFXL>Q`L7=}oODYDYa5_n1#u>!CPU*!lL6GLG zoXt^tp45j#l-QxLIz%zWoX1D}pF)zJ5j@Gz51P-#0b^h`Y&T)X!BV|^$X+WA4 zX4dvtk)C-t`IBWzlmFiSje(UT(x})5zinv7|B0CIbGEN1)AuDwR|PZk3tq0@QfCsp2kGCc=WEF@^M z?qT(uZu%Ecbx=N9l8Nk1AY<{e%7sL1ox<26PY9yn;b5$;6i3r_j3J-QHP>E*`X?8m zsRG*t_n8iX4Qw6Q!|gw%IQg+s?3;>t)8b8w-L+_Z`UNpx`jmdY77n))*;4tjDg?r* zn+k6#?5;wys|tlqETwfmPL-mSaSW`Xo;{^z!wc)L9#!2&Zy)x5q{8*ev8N%UguMfL5>r^B@=tf$uyi=;L z4NG}j^uW6_0J;%Df + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + + + + + + + + + + P + diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.tex b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.tex new file mode 100644 index 0000000..4910654 --- /dev/null +++ b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.tex @@ -0,0 +1,175 @@ +%LaTeX with PSTricks extensions +%%Creator: inkscape 0.48.0 +%%Please note this file requires PSTricks extensions +\psset{xunit=.5pt,yunit=.5pt,runit=.5pt} +\begin{pspicture}(212.59841919,212.59841919) +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(63.74305147,63.74290543) +\lineto(209.12270573,63.74290543) +} +} +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linewidth=2.14550849,linecolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(63.74305147,63.74290543) +\lineto(209.12270573,63.74290543) +} +} +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linewidth=2.14550842,linecolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(200.79813107,58.37928446) +\lineto(211.525673,63.74305543) +\lineto(200.79813107,69.10682639) +} +} +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(63.74305147,63.74290543) +\lineto(2.76769721,2.76728485) +} +} +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linewidth=2.14550849,linecolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(63.74305147,63.74290543) +\lineto(2.76769721,2.76728485) +} +} +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linewidth=2.14550842,linecolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(4.87030534,12.44394994) +\lineto(1.07275549,1.07275549) +\lineto(12.44394994,4.87030534) +} +} +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(63.74305147,63.74290543) +\lineto(63.74305147,209.1221239) +} +} +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linewidth=2.14550849,linecolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(63.74305147,63.74290543) +\lineto(63.74305147,209.1221239) +} +} +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linewidth=2.14550842,linecolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(69.10682639,200.79813107) +\lineto(63.74305543,211.525673) +\lineto(58.37928446,200.79813107) +} +} +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(53.01550791,53.01513187) +\lineto(85.19813254,53.01513187) +} +} +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linewidth=2.14550849,linecolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(53.01550791,53.01513187) +\lineto(85.19813254,53.01513187) +} +} +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(85.19813254,53.01513187) +\lineto(85.19813254,181.74606618) +} +} +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linewidth=2.14550849,linecolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(85.19813254,53.01513187) +\lineto(85.19813254,181.74606618) +} +} +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(85.19813522,181.74587496) +\curveto(87.87997132,181.74587496)(90.56190897,179.06505431)(90.56190897,176.38220275) +\curveto(90.56190897,173.70138211)(87.88007287,171.01802281)(85.19813522,171.01802281) +\curveto(82.51629911,171.01802281)(79.83436654,173.69884345)(79.83436654,176.38220275) +\curveto(79.83436654,179.06302339)(82.51620264,181.74587496)(85.19813522,181.74587496) +} +} +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linewidth=2.14550849,linecolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(85.19813522,181.74587496) +\curveto(87.87997132,181.74587496)(90.56190897,179.06505431)(90.56190897,176.38220275) +\curveto(90.56190897,173.70138211)(87.88007287,171.01802281)(85.19813522,171.01802281) +\curveto(82.51629911,171.01802281)(79.83436654,173.69884345)(79.83436654,176.38220275) +\curveto(79.83436654,179.06302339)(82.51620264,181.74587496)(85.19813522,181.74587496) +} +} +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(99.30318154,182.13973601) +\lineto(99.30318154,177.43805572) +\lineto(101.43192805,177.43805572) +\curveto(102.21972558,177.4380493)(102.82873644,177.64198413)(103.25896246,178.04986082) +\curveto(103.68917381,178.45772345)(103.90428315,179.03879803)(103.90429113,179.79308631) +\curveto(103.90428315,180.54176979)(103.68917381,181.12005074)(103.25896246,181.52793091) +\curveto(102.82873644,181.93579006)(102.21972558,182.13972489)(101.43192805,182.13973601) +\lineto(99.30318154,182.13973601) +\moveto(97.6102414,183.53096405) +\lineto(101.43192805,183.53096405) +\curveto(102.8343237,183.53095153)(103.89310864,183.21247796)(104.60828603,182.57554238) +\curveto(105.32903332,181.94417094)(105.68941131,181.01668651)(105.68942107,179.79308631) +\curveto(105.68941131,178.55829405)(105.32903332,177.62522236)(104.60828603,176.99386846) +\curveto(103.89310864,176.3625026)(102.8343237,176.04682266)(101.43192805,176.04682769) +\lineto(99.30318154,176.04682769) +\lineto(99.30318154,171.01829262) +\lineto(97.6102414,171.01829262) +\lineto(97.6102414,183.53096405) +} +} +\end{pspicture} diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.tex.aux b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.tex.aux new file mode 100644 index 0000000..ba32a3a --- /dev/null +++ b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.tex.aux @@ -0,0 +1,24 @@ +\relax +\@setckpt{2.6_koordinatensystem_3d_punkt.tex}{ +\setcounter{page}{13} +\setcounter{equation}{0} +\setcounter{enumi}{12} +\setcounter{enumii}{0} +\setcounter{enumiii}{0} +\setcounter{enumiv}{0} +\setcounter{footnote}{0} +\setcounter{mpfootnote}{0} +\setcounter{part}{0} +\setcounter{section}{2} +\setcounter{subsection}{6} +\setcounter{subsubsection}{0} +\setcounter{paragraph}{0} +\setcounter{subparagraph}{0} +\setcounter{figure}{0} +\setcounter{table}{0} +\setcounter{parentequation}{0} +\setcounter{Item}{15} +\setcounter{Hfootnote}{0} +\setcounter{bookmark@seq@number}{13} +\setcounter{section@level}{2} +} diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_zylinder.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_zylinder.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..77fa0301bf3969dac6dbfda2597b6506c39919f3 GIT binary patch literal 912 zcmV;B18@8viwFP!000021MQg4lbSFT$M60X40{y_0xIk3P7m$$(3u|Eo}B<$OgAP> zh`L_-w>SLIT|xW-;_kFEBO~GE`|=+7aU+) zw4wSq={y7&-pgOe;arhDXq-Ha)tL~{yYlXUg$A0{y;*YA&m@m(ovMR z0s#~-Y0F!o5FC38ffNeoXsmkBe-1fY&_K0@e2u`;f>fb||a{Q9NNG*pcx+K@y)5K-Rpa?Obw0j)TMC?pRc)tZ*P^)0dXg zm8q{=QeWa2dj#zpJ*MJf^6SgU7r#!rdcSsWI2$sx%JL8lk%OG`%R{)p0g8`Ivt64C zrCDxf9Lsvq?$pF&O@(5ex*%|kcrO1{emcZMp44e2|HAo_qd;Ha<>u*4QkeG}`67?@ zhk!JIJWw>{8>X_?b{8V|AUGJS-@$IWiUCSBxe}K06|wE40$orHzr1)0<6jMZfznJx5d) z5;RTMuyRf}>le^XuzS^XCbKt%oU>KY7m~3x3S+B0C5VQHgK?U=IGV0w9A z9~?qU2Ll)M6Ar-u3`{T>ZU1%im+y93<^IJf}?mJh*nb&Wlhk`mdm2to0{@IO8=U*0Yn7Nr#|Dfe0Fu2fKmrX zzHPsO^bFx}CaSe-?$kZT1H?~f*tA_>ntijTyLcuE*mE{|!of+qEZCP|!D*ibXUl@t z)7{o#aBeXCvoKU_&zz@5aY*ppd@_hb?i`+wP!B{`GdLr$2ube_3+ zqs-(KOODaxj1nx}XDF|4$EsaQ=AOQ0-q)_|yEzCf4Cpct^e<2jK>O7o#UL#N*Wf_2 mjvf)*NH~WCs{skt*(7Ao>FM{RvvWK?>HGz!*t?TL9{>P#FTGCy literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_zylinder.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_zylinder.pdf new file mode 100644 index 0000000..50c7e6d --- /dev/null +++ b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_zylinder.pdf @@ -0,0 +1,67 @@ +%PDF-1.5 +% +3 0 obj +<< /Length 4 0 R + /Filter /FlateDecode +>> +stream +xj@ zhP"Em%tׯƝ  #Y|F~LNPd-(yGtoJRsT{{5 -> + >> +>> +endobj +5 0 obj +<< /Type /Page + /Parent 1 0 R + /MediaBox [ 0 0 595.275591 841.889764 ] + /Contents 3 0 R + /Group << + /Type /Group + /S /Transparency + /CS /DeviceRGB + >> + /Resources 2 0 R +>> +endobj +1 0 obj +<< /Type /Pages + /Kids [ 5 0 R ] + /Count 1 +>> +endobj +6 0 obj +<< /Creator (cairo 1.10.0 (http://cairographics.org)) + /Producer (cairo 1.10.0 (http://cairographics.org)) +>> +endobj +7 0 obj +<< /Type /Catalog + /Pages 1 0 R +>> +endobj +xref +0 8 +0000000000 65535 f +0000000798 00000 n +0000000512 00000 n +0000000015 00000 n +0000000490 00000 n +0000000584 00000 n +0000000863 00000 n +0000000990 00000 n +trailer +<< /Size 8 + /Root 7 0 R + /Info 6 0 R +>> +startxref +1042 +%%EOF diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_zylinder.svg b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_zylinder.svg new file mode 100644 index 0000000..588752c --- /dev/null +++ b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_zylinder.svg @@ -0,0 +1,20 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-1.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-1.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9dec3bef60a9ac43f2011c3c6f61bc919c13f515 GIT binary patch literal 1515 zcmV6OycZKc_C7qX zUcJG_&0x>Z3Ey)wv14b=k80NlURu|2J-6=A?QEWA5t!t!^COcAKgHi2n~hZlM#<#q z!&mlUJ*3Trt*^3yR)XX+<0esZj03re*NGs$B7{IPxKeVi;XF-);jVKs>2Im+|&%=n*8oLv&Y`tq;UcJ0cY zxF|fmaQ7@Kyey+IpN@XEl&-b+*Ot7$L|HVBZQ1CfB)^&a*W0*1d^#)k-rnADHmto> z%0s9uxBPl}m@J~uW@o0^zDBekuF6)POmnLR?=|HSk5V3i+ZsY!Ucy!iHT%pt6 z<_T{o$1_15y}Z5KNlH5Y#|HT(+HY~X45r5A-be4ZIF9D9*0+@i)FDy$*!vUhr|d9D z@Ca;pl(TvIYhqC!Ng&-m^BGmUyjw*kRWRf6A&P@wOfre>FC?-?q6(0P+$VkEbBu|u zhiYRx8wIILj;n@S2e^V-k<4+BTM5R)olD? z^C&R8^m_dWj%Ii1LsAEmjx___=fN_nU_Qo7vp)9)psRl;jGo3>?Sc@reqp(2@M$)Oh^h8 z*{+fyP%*@?pagM3S*K+0T*+vsWNj-M(2)R+=mTfaPRi~nWwfc3aiDit$w2dnDAA^r z0TL^al&>Wq4JCB)2#Z3?Fu|-%ExSpOmv&`BDaGMOON3P0T^W(k0Yd*LG}+w_>7?vk zN*U{OYMjJJ`pzd!~;<3dofuP!K2G1gSY-gbrCKOrN2v85>b)YpPw zJp^RM1uvR-g6bj%X_Aa=60Rbu6=(IC8u#l8L$Gi!b`(Y##2?rbqF2v-93}Q{ssqU# z8RydFA=Y+v5Yo`~D7MMubTqsv#MyjZh)~QpnAorivm@<#`;Rw;WxJvNJY5}Rd)xoQ zWIURFCHLa;d)4uo{=tB*B$hv5HkB|7Z^|rCGEz=-zt9DOX^YGPb+O=_15&Xsp@vWw zQ_hMF7%B+YEi+4HoTc3!QB1(Vh{U4if`nxk%n!#?_EDOSQrNzNMpqRlzRTx^FAuj4^UchoHXv>6B5oGm7b5U`3T+(q#Z7!kv zbbuOA$-T-G*_29z&lJ_GQyL_wY>`X=33F&YM9~*ZF;qTMa#aOj$tZ7`O)BFoJ61(l z>Y|RKwa3*lO2;V2j6$zrl*7sf--%Mx4Ne4jgI$9Q&jOHA1Op88IzkPl&w)(@yq8kc zJ#4<1OiCiG{v;RJ{a-mG%Z-VcKhCDs& ReRJgL;Xkt9X9-<8008eh>frzY literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-1.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9a2fa38cf46ac6399e1253cbce3c166678cc98be GIT binary patch literal 5519 zcma)A2|SeD_ixiOsZ?Vt%Tpoi?3l5JEJI{hG1W8%!^URle%Mk+{{Dnzz?vTz=P z1`q)Km^(yE3xMw<(_GnZ00tCULjVAP8&RliG86oz64~UvWD?z(4AIenu-Hs8(G%jE zcG2EE!Vxc6JNMUpX|Y_{+1;llRwr_~+Rj6cZ98gX1$XE;v)Tp+t#8q~TGYh5jz(JD za&Wif;3uc`+H}7MW;#gk3iz~n=ckbjU3`^ucjD{akH0m{dH8-0-f8?9y5+0+;PQ74 z(_f5jtI7|v@+QSlMOJvU4~3m0?&xyI^iI|8%p9ld=VUDk3fx$hWfnx32{}JN&lR(k zu9Vmyz_oC59SwN3!N074Fvk$Vc-=~@dC({j?0;O78*Dij3dFG@Hc$g5ktm{k+_CIJ zC!3y!uNi`W=?pe&)*6R)@i>uI0}^#-bT`KIXYBnRbtNlKWz$UYZfLnk+Ev*tNQ>N> zbI6^M;q#;_EBKJth4lrjLeF4V3=3SnUG=hnry$aP0FgCWHu;T_i1Bijttk;zrX|>C zF{YkFI`3PiapFAs$0EuKfLx8X+((3GqgL!*;OX$CiH&cC#dHtf~`_hy3)bEoV5E&X?>ODC%u&w z;Ovl3Db`QoyWAWdyL=z3#<`Mf65tn}Dbn#&bL(yIE{l#jM5X0bSB7bXKG%5`?R-Xr zZhOFeN5u7_Y%i|PA>4{nJd9TU>dic%!a{{ZHaxxdP|WJ-jY`!u3FSma!$#}`P9H)0 zO2yji-rA8qr{|3C*nE(Ezh%#D-`KG|L3cEpzF-Ew9w~MVJ0>)%Kh^>p$Spl4Ne+1T zdTqOebys+Vtvt={y$ zQ?ge<uW^k(_Zb54?Sfy?8jOx^`8@B5r^T6<$R z(CPo|%elFTo@3I`PPA72rM+c0t5hVp>t0uF9xobwSF>}Yx|{U#6EcI#JTH}0E_XRv z^48TwqM@;Qey;0z(TnNen7HT&*(1c0BZ0NI!?ufb7Gy6II|gM$&#f3Z^L?4==B)(~ zGR^r%(1HK>;mVIu{x2A%Sal4)pWj0L4CaOKHS}d0+pxjV1+=vI0`P$o5nuy=8|VQ@ z08S!;Z!n<2j>R|Jh)!ewGTKE2p@INZml6Uv2>kq5Ozr1l0NmD(K?dNKL|5{{!j?oP z8Jq{Xqz5-AJ5z}IbYH*`6d?elIu@piMX9Ny03-?t!(wsjs;U5CLDvA>0jSIZ_?c-j z4H+}(9L6uZT3l^Gx@49OxCbVY#$xbSCiyLi4M6!`vNwf9wl>!13xAktO=i(KOcI#| z@FBDQ#VU2M{jYq8{kf6+ieT#`cj8p*)Dh@WaU{w zgh|HPuq3@Vv|XcTEb~sS78k&syHT9wt3D%=l9+ilUi^klig?B3b&s>76^V(-C4^NO z{qBx7_tX@XO1!fg>(G6rT~qHSzSVREx_0_>`UeF~``tpzgvp<=7i!bat}Z!q4o(Li zUcd{WMLK=D2?~wLFks8IYr~ymHw;8N=soI$H>cuwCbU#@4 z9AdICS-sRH=atgHp>5$Wl~Gm+GahzKQCE-5^uwtiRwf4tSutDK@Kt3~;P+WAmfSjxR$p42XJr4ld7JSbw7^T#^#WPh58Gju zDMe!ihV@nF9vWPqkhFgsSQ{_7i8{wVO%N4MN}Sy?KO}TH`EF>QrgLH3kjZ`%hb&8N zMVC4lMAJu=QZCRTkXa#TL5R&5625!yW!B_?4qiL{LF22~ZMd9AGqbxT94D5K$VIJ? zdq~>1v!#a+iZh&6hRB_V3T!pY6BW29+l>=tOG?_eh{Z^8nl{}^*>5Z(9Rbs=Z0nMI z9?Eh#+-2*TlIC*ono7d@_+Gh#n1|=e(hrreJ1%pF1++clM{4XJq~zFXJIMaUoXpg| z6U|gq7t^OnZIIl>41M4Enq2WRdNWQ+rJho80e>BR^O2uH!IM}UzoBjqnr^8t#bZ>K zC!wp2=U`M-RkoxW+3KQ*ak}5DyF;{-4%f|IO@YoHT;)&d^(#m$p3B`fz0CBrNU5BL zXH<Vk_IY;I0i)XzB5dRSe)Q0Pb}ByguH}rFLt@)k$~*Wn zugScNW9FREimjz)hw}s9Hf3H;*DT_+c6v6$JM*;vIS>9DI-03=S}8^QfpnsOQ`Aykq5_1 zWX>v&sg%U-mOGnDRqwkTu2{TB+3;r3JEBnp`z4mS1tlRK{od(90{)6q&tvbI)~7iS z{G?Pa;{0v**h;Jq8csv+%#YveEZLB8E43l%q{y(-2G$!dv__k(R-n9c7Nx0?RI@c}>wBzI~yp+gjy1J%TV~WQpGzGhF$16nAYXT)} zqm}-AUn_$LZB%iwAZ1k?NzGFA$Z%7^*yi^fDuWc*zx*4IGoKp9N&I!;#i&fKRq4lA z_fdfpXC)*av`~uQ?>KaSuPDy+qqU~thO&r6FPH@~G%+M$Bh2%zCZSBy5bqqg89gqHCrS|2~?ev|#9R{z2E2xh;k;AKt>)G5xh-lPR z)A>^#k~D!j-o``i)**Pyph_u>_|_A8(=V;(JjkPcU%yAO$3=W%G7NSV_Nct?xbKC6;zXxRU$XO}>5M(=dzw+o~UQSF2~ z@}F-^fAYL)udw$+Or7TT6l#V~!uKv?W~lw0DR%Vb4A))z2krW*-rOmQ2i6RVe7hBS z!0d3Tn@HbB&4;587#NlM^KJQ$sfT!zpY?XUY#Q8fV!GZZ&?&sR5+Vs16#J+la^#a& z-|eLF*1K@wx;H~C-F}0Q%BOEBoX}X2H1jsRp;gMM)>0Y%*(+EW4juYpyzu$NM3-uy2EdCK`21qP1evn2%^3wnpzpWc~?Ya#yVn5LpP*GIQ?uZjC*l^%iW7oTH+DAPpmC6y&ZEz zX~OrJoR7Q~&0vUxFL@B!S}{ITEJN*m>n2#Cp!K5io-y=`HHlP^x_2JbXY) zq9HFT^pzYpYQrn$5RvMXsjB7Nc7}=ZEe{o>TKc{TUOuD8U9>w zdh;Qd>$AiS4(?IG$Jb2R9JqORhlA2}=F!{+2=^6apwNGO?Bz`ehf~!WN|s&6Ob*V4 zm_bEakHu|RPb%6&3|w2jqkTP*wpJCwf(GU?d^7^DBA&*?%*b4)TBr(o-Ai27#<7Wb`=w$4Isy&=^~4?zpj2w2wOEkF1Jh0Z_9UJ#3yw)kd zy*tjMIo9^&6P`FVL5f>%FSyMuA!I_#t@-4H8*Y!WH|Dc{Y)@D0L7n&aB9p!fI=5ug zr42qvM(C_QzTLi0bK@D|UU_Hv_h$_>hW5pTJ`F7svKH6Bwn@Res_GPs`%>um@UHN1 z8LpHLd&HFEVB(zJBqJk_6|PojD%Gz&6;iA*li9nYGxUH!jfz#jF!j2p*=f5SM#g3O z(0oIM18Io)OU0H$8%>t6GCz9voiOFY>N2gBdFhZnCVuDnOrF* zS*o9nLWb4`M8OgAqxCoJoF zcCH-4YfX7Hkr^$eb!)yQr+DN@TEP4F`?@TbCsp@Kx95P%9=733UhSn!2Z zQ~SX)@N6QLLeitTQpo^fK~IlG;EiI4U?q?-x`oEkWm1iQT)mCE~;%yf`1{7<++A8Q}Nwg?zA33qATo z7MU;kPw0ROHhwH{2Y8wbov*=XdDdiC3dkEl!1O?VNM3-7&sX*{oyklJ%@vTxJA)=t z*nU5|Y&Z-CmF&qke8H+;c;P?i1p@FhBpd)o1W4=D5C}jGt@hiOK=_4N@k!*LKJdHM zd~+AE{BPzO(!k3oz6J0l3sg)N=2|>8XCjC`h!zXn*#h3yi{#RlZbzf=udx7rod0$z ze{7G>W*0rrjN;6nh);N}f3j2#h!FA@`;fohq#1x0WT0OI@+2aKNe7THBm#y28h~k#Fk9DGlv9Txc%>H|Il&d(v<-J;1`3;fC&0H-E{$% z1#5mV@_&?knPe9T7#6A!#Lov%Q&mN)0xrN083v05U6}s>v?Un=hXwQJzhnp`c*g&d z;lOzNmkgth`a>6q!2PiX63zFr-{(VPF@NZyvFd+}!yy0M9|ra3d>9P&PhFfU7@@zf ztBL@V$4?oXNdzOCxo~G{Lpe_7 + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + + + 1 + + + + + + + 2 + + + + + + + 3 + + + + + + + 4 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-2.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-2.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..17d9eba5f855b100684c062f7848165673b0f7d5 GIT binary patch literal 2346 zcmV+_3Dx!=iwFP!000021MOW)bK5u)zUNn{l&eCc0W==b*i&4XFtcYDB{4F0 zXi`Pdc6{02z70x_^&n-56qFhVPQ_J{A$)8Q_`Ys*gZk;`ulL#DF)5d6kzWrXV#7g_ zPm5Wa&##C7`Rlh&X87~Xho5F?{F(mG%lLjkpU9W))%EbMsurKGuAZKrqU?DYS4A0R z=|i+kuKpKiS$su}u7)=s27}EGW^om}_tx*mRaK^whbkH5@qKbVoW#?==VkGb&xWg3 z>vq#3E6TxRoLvt;eyM+kSL<%Bw)#2H_adGrlQN0_Ztt4WkF{O8UL@sixA%);nNpML zd9l}|r62cuqs_Y2k{adnn~%T9kE=^szwz2v(}lKzRQGW?PxE~o8k=l25Ii!Ra~ce^ z#xgB6yo|}|aFffzWtW93FAJA0Zx=;bm2q0_Lr#h!OX7TmT9pq;cbw%k&S;7qGOLFb zU(%{7-njlRakf0hfYsaIR@8!fD{pxABR=q!a>iscYrjsmb zy81M)&er|&dAi@dJ2iX1e!S;wSoPK_4>OZsf~U*F{2`qs%QvRkcAJ)-?$*t&-Wv7Y zcE=9P>a88It|7AcIVsoO|3SAdDd(lr>B0IAuPJ8`PpkCt<<-WZ6qElZ(`s$)Z&~p) zy^G6g@M-XCmZb|?>#v>&`621-diZa)J!HE^Qjf%jdtU;{yBA(5*m3hw|fdWwoOAd$NTIh~5uu8t}-J@OB+G*1^GPS?D)o#bNg%;2DfE={> z7DZk)A-VSlU*h{Td!`GD^W|``tezch5!qT3A;w(gfzCqB}O|XlbT!bsbps{@)#w9$SBZK38oEzLNtDr zOd`Qpt)%5j8Wp7Mol6-HQs!IAjN=I7qzrA4vI|NX?<-}%B4vdb*$6BG_b6o!Nv@D2 zA&r4Y3hf9W;wZhwWM{GQI3=@yngTMRq|$;Y(yx*+QZXh$3C@rU8IXMDMhciRKwM%BPeOl5|KWvYL>_nj(1y%4r#JkUq8SEJhw1 zl__Hk(m$&iGrprTt||IKk3{vJ>$`p~2(zTTFu)%m9Df^RTU>27% zQnFvlX@iQ%zAE;zE9^f*#v{%Q!;y$kqA+7ZHmHz-c+F+k6wkEC^V=k!)fRQKvpuJV zQCDG@K9rBi?JQlA{nO--=pi6dn93CesgeY+8(x;?$;D)dM*B7{%i?Jl>vg$s-m~l5 zEXn7Gt--z!Z;scI2yP0}Os8eJ+!M2xzYOkZ9j~>ZD(cMk;PtOGJNM>e!)KxSvt~cZ zzjHw+GR?neHZ@QU_N5x~Aq8?fazepDc%&L~locWplG~^-V{()QO1C2;6i4fsYFh1V z4F9;1iY|<6P#qT}ExYMr_j;OYYXYUbXG(!>T7Z){g>QctFT^RTe`=JeIuvHK)V(G~ zDI^6+3)KL{JY#SUHab`o%D3;*Vr2Wyvva`%mjo{9%q3!*4p*QulU+GbXo)36vvH zL=(NrNZ-uEp251~PI&-ul*(8@V}<0Nv#<;`at5djm(aDoIHY02F^`aj-K^NqT#o=L zy4;)-ArI^QphxfXipJHfx|=86)&O`-k<_f=kX)6j+t5_ZIw=#(Z+YxlY&@YnmV|`@ zBui3l{g=m*dZIy)*cB{@Svcqs#OyVdsu%z|F_WRD=%QK%{nPz?r7$J}p_E50BP6*- zVn!*K?w2^?M3Nx9R>z*j#3SP}rpT)^pcoTEqtBBbq?=r6BrTItYNo?Uk8si>NLlZb z9yBqeQX_Dr5v1&rQpWo~M#jDf44~JC$e3?>GFFjv8b-j}?-OKt+jg9S$!!JWUV|}C zqb8Bamvc?h90V+!?+60cdt;IGOF99Q3Lq%hMGknt8O|wE3@uH))5n$YDqlnzE?Vc2 zk=%|6Su<%}^bX#OBwNiqkW8y9)`w%mJYYvSOY?YlBXXd6K{KzJlXG4L)KJIMc>CM^;J-8Bt0w4wkb^RIfJ~d7!Au zoha^F=@|$m5K04~$R2Uw{tD?!C@s5Cx_>o*^BcH})&vK?)d0pCWk(<)EiJFB0i>#H zNHn1Lv;Qq-HYNlSZJ(&{*e$3};2ymK0E$^@nNdszviU*ChV?mj*M64dJY@5i%l>S9 z0oe=N^geh85v}*g`gB}Y5JD&cV;*ttD2GQNY}a_>lIgPFKZkso_kxeTIrttDWz0jO ztnE9D>PzarTX-fivi-@(ZAEyeqZNoFB;q6CzH`7O;)sy`0qOhS2Z4|-KuG)ZFi_Gz zkdk=sb4EO3^;AHw&wE@wAjvW$LXxO!M1@_Wop7|{U9nNa6bxkaUCC(my8fESn-5#x Q19|h||EOutuq%2102(=cc>n+a literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-2.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c77e61b37f8f4a8556cfabfedb2a98e04f0d8fad GIT binary patch literal 6610 zcma)B2|SeD+YV`wrLtv7kFB!K!i;?#`_3S18DlW^Wt6={b|L#tLYAx{5!t3hA^V;! zDP$```evx!`oI70_kGWA=6U8^XT7g;pXWZ;8Ezc~B>{*ajDov*xpbF82mk}lmUa}9 zk^o2p<79)g1%wHZ9t8jZASJ8=4&z36I-qbE1q|BR3PT|+P2rAn!=M}~JkuW;b%vXX zoSv8}>!FD(d24D>2@aA4PF<=xWgKL`)QkhA^RMrU6>v>Rd=ITJIN92RWG>YA(2qub zcRbUY)zp}LU_ySKkT-P;dw9ZbM^{?4aJx`Z`94nz1z4Orvy=kv7%CfA5)m#Ope0*EQ-3m~`eAojNV1 z1^bc>i_>ZB9(f3(*H9;3%$4QA(lH2bn9AIYWZjtJGP_FQ{fqs~6^&eX2_ zqUW7b@(o|JNk4x#?P1$Y8PMkp_x09|q4^gJ=eMX%ArWRx{qGpdYi+bWki6%SEGVrwlD?sM*vs2iq;U6!}hm zjkiK;rA1oAr8_*rOx-J@2i1r3M5_<_k%QO6;8eF&y1bgKUVd`Ik3(LkGrwWg?E_z1hRA7epTM?FciZ3#Y2l@nSSR@@P)IP`Aa zh$J!WW#lZ9_2ZCZGbibp;@KxBN>!~>KGr{Rs=eWr3V)NCq7?&bsAELSr{CTPdNMLs zm4u_36$LjQAB}^0T8ZPsXW|F8Pdk#CUCzye&+0C*&YZY2blh+#^aQ2C!21WEc+PkT zq?~mq?IM4FK~6pu0rFcrmT;tY_jYkWV^q)6Y}QI~GG7B41Sz;|kUeTmD^h9BBP=F7 z;pM&cG5hhASLS9k6BR82O0jrv1&W!OK=J(7xfb0dS7u?z=Q8XK=~?q>exEN2v!MFc zUykBAVs*nYHMJ{B$_-wA6~?= zZ`Q`o2|mJXNFn{6b3eT>`|bUY0pt*A^pZvg)urt4j`q-H zgV;v~mWUEs;LB?UcExX;(8~Y;F3_UMT8#NS3cM^Qku=;DjUi?`dQr(hD6M5x= zCzV=|sl>Y5FEPdE3PObA%aHguq2w3FJX)Vdq4C;Y8A;uDu%n{>*5am}cSN>o7$hy$ zA-80OEz%I!EA?CG$8=1e?2)8r)q5mA^G$jQ6p?amFScW8ExtHF9HC5cIR8e+faQ@q z^Y)kp?oW++6*C*9@@lNOCsWXQk1F&SL|{rkz3zVcV#~97G1}y0Wf_N*!ib9J*Blq3 zd;25pbqpmXbOx?M7{YDO241&|`jUsebMM4P*teK4uO8mIy#|@{5V2fIR??zET&%=bSeQF&tRpC{+^(GQi$+PN-A-9!b&EhCv zumT*oooU41-RfUlNoY$z4BYpKA7J6WYn78-N2kx;W`XVvntmkJ!Y5~MoJAh7M54TI zw$Gl;Bv={!ZF0~kIl${uTFWRh4X*RG@|1wc=uP&Ut3|gX6Vh9&Kx(t;t13T2@T|AB z?p_UgefoSDw!^<=|5Tgk99m*9*Tm2D{cE~+{YzRIsgvP}sp24Wf+u)pH}bWVVm}k5I)wA|nW>Rl zIV?zjVs*jeRbR%5JFNI{$(fGgKIMGe=4JQ^6T=8HY>X9kuqH$@CbnYBRe2#3RKV;M zrEY~&++3C)G}3w)IQq;dXO{ZzLp^hv=3(zQoLn8-Bc-yICQi?MYNgq2Q$tDvs^pfh zy@(l*hRU>D{_cH@t59E8$o+>PRS;;=^rO&GDg!r>yI_mGvpz-2Ol3Yfi%qYJ)8nsn z&B-=+!5Jc_WaoCS968yPLjN`FTI79Gn*ao5^Nh>(x4xR(3-!wrpb2Z)sE{b7{|A^jh_4AI{M`ER=nBB_Vl z5eOgz6NCS??HDlh!Ns@JH&r#IOmL-XHd56G#AsHs^M76)J`LP@s-Ode%aUHS1iw6c zMv-(niU&mE#dO-3Bvwhb&0;Z;<7f^8xnht`LeOAQwTf&BiSC(Y=8Mnjv!#~BmYbx$ zTQ8*5-B=ml-JPi0$l#V!fIPk>yRsJdB0;x+FD-0Nagdrt#{Fp;n^p(Ao?mE?pn#9< zdVi+Sr8CAx`Q|iI;suXi6eg*A?NfYSlyPkl{V_Ck-8XfJ#c0T$gU`~wOHn~rFmX&P zUDEIRSk&7W&>LA4jZ~o?&&Wbv(`x+Oz#W%WzJj$rNMJbvgYkGl^ks-X*(41 z!~ykz>q_=HgN;VtI8$!Y>Do1_>ec3YL`l7TXkTK#G})5rwDn-DPn{c$lg)?;IZ<9x8aaW=kuv zGWg*c^Yx6RYexM_OHs-V!t`5OwZ#tFiBc0OrR_S;bTvG$P&$rY73e%ZL`gkxMF=NH za#uv(oSo5ey;|EYBhpZ?{+`tpwfD@R;j9V+u|c&WXzUsESx9N(u`V7Zcqw=E+C9dUrWadZ1gTf5 z+*7Tr)-Wtx6z-GE_3&E94RM&HK7RP+{+wcI#$%z8s~YWW`7sj_-c!7lJ~f@T=o%}+ zuZFjaVAC$H#I#A+W!SKN;}K*Suqd!y1bl)w>bFTkwe2J7dIP{%TUiV8g4r zN9g;-iKOilIJrq9mIFglK6GG%Y4f(*1W zS?k|fL-nmpn@{E{POeRwTzj+^mgPIU#=1C7r7vCK|DvRF-OF)o*`t1HYGYe)=IQ1J zlk-9Jf@3*P9BUN)Kwc9-}(?l}wMXPx>H;&awJ300j>C@INNns3&xr$@$gkf-)@cH>Yk)Y1*9*?ADF|i3L z)=LvkiA+wFEb%J|0vYD*+VUVTh0j9VT|JCNn}$+|5;}AiLn04GlkW@0PxbNXlhI2h zjP^Iova)2<9O&ZO(U!CCB=)yu!=&@3hAwI$m>Liz$B}o>!ML)j#ggqj^fG z`fj9dtmK_7b-j}6@?=dI?)DgqzGhlGbz;j@b74s#bUBAxI1r}XcCt}CrDUx6u6ETt zR6M|rS|q;GNPRO0+H0UI>ocN!*CmuSB4wH~&Szf5m{TUHy5BUh)5MsgQ<0&jsMqfJ z7Hb1WEqgXz2{wb|Ef`uQuXItNj(6SUvD4LD5DT~Zap~c`nm$SV%xR=;BQ_JuWq-HO zWVFqZqHHK!U`9CCN0UF_d-MpFS;JI8YC~LZ$QDAOu@M%7;l=E|7``I#c}ihEJ=FUQ zVzfWSBQg^$bW6fK@Iw)BeeYofPqgKVWLL38!Q+x!wo zEVRD2o#nTAFg-w5R85&M;VI)&t`D}q&+{^0RWePv9!rDakWET)M z#$%XPsw;3zPnkC%No>eWdK$FjA7QMTeAL60MJ~=JROSPV?g#&Z%TiUHO<_*0Gt_Ta zvmNi&=hu08vfm7gxc!Pg=o0T`DJGjAeKR9nf?lnsCYnD59-G`0e`p1KT0iB*oM`lV zM~;lsemYxjetIhAUbfGk!WIQuQE7@EAJmv4QZ#}a>M-yL7Vridf82;?py&BiOG8z< zgWcQj`ocf<_=B#@6^RK?(~FoYt|S3SfFjEHz_iCYrI0Tl2*6-+F1Y1 zjd$VL`R?mvtp#n=fs|HcLr9XX{MDPmDl|S(mgY98Diyxnl%waA*fa7K*f3GpfUNz5p+AweL-b{d}1&lSR$ zWpB1R|@wa5IylV~Ij>9v- zWsm_oPbCce$Um;MEz;Z@z(&#BTWiGoFyHJE&C_Lh-a%XV@c}+ezu{B6YgBF0@W7a0 zLqcdSv$F7Hzb9h09RC@1b!a;S&mI-XTsGorQK)>r=i$grodMgWsVgO4FSPBGyG<3d zRhJD9Mfyp9D?082^JjU^7Byvi6z2b^Vl4Vv`*eai+n4YQ^+mM(f;2_6tI$Ayv7iiQ z5O%4@6GAcut8t7%jx`K3hcNCvw2Uh{;$K)X|IMgcarT>$gTJ7v zGlyg=88oV{EH=rjsN^#QzosWE-%~9%S$Q63$d7J^$|SnwCwiB+-Mu8t0IDo*XO37h zdRQTgZVWE_#z;^9k&&66-g7+Ki(CuV9azWgE^Pe*Wyo)hw+O~>o_>W$W@za@{Yp6B zRx*FhR-COj*{a(hZhfsB-$o(XCSQm@O4Wq-j5-d(e^FFDfkx|=K$K>sqwcqyGoX`4 zQLboe=xupJOwe@7YzYyhm)7s(tec`9kZ}gr=x_=Lo4Q8h%j>CN8naGhH?VVSYMJ;R z_F(2wQiPs^U1&fve7w+A`A8t?xreUxJje+)`4u_Jmx0=|@F-JfRh?RK7xf>W9_pk! zTUCYojqg1-t8&Ve?kZ(XQV(1TntVn%Fcxri#BiWfwuW8`8H)+54KeV7c^maUOEd7O z%}Jv-7s@rbLYC6|VMcL5i)~;eTI)Qm{v{gmi`fXD=#Std%Tl%r6-C$AR*iZMIT5*< zl5bONyh+FXAKZy~MW^>&rJ}i=35Vqh=@DmC<>$gaUeD#WDaupga8}c}jcm>7mFEng zIxD=?HIR8Kmvqg)4LfW}o1n>=_y|pl8VH4)esreYT9=vOc$dG*)p#=!t#XFcrl-MB zjQlx(N|$p_-7wNgqcp&~2P#y6Jj1u$vy!Q5)koh>@7#9W zuD-eQDD3%EAd*ZeIdXvHN-g;v@QedLA777BJIlPez+0iruGU5+Gj9p8L67G$_nzR( zTNm$7gwjwR**5Jt7nw1=>2dyp?Qp}7W^%`%+b2nw3vd$=n`Lft??!xAJl<-KcXxbE zTC4L3;&oT$<|%OfqKAsPt~5x`a}CD(CaGd(+((5 z=^{3h3$bCDDsc*q`9&}3$0x<@#E#u?)^}uoz_x*NcULyW&wM9q*a+b(yEX>774dJ5 z519K!G7R>MV+c{{{89~v>Vzny6fo{+H>?ZJ+3i5t5Fss;BS9!>s41zbAo&z9b|^y+ zBtf?P&R0S?VjaAI%ZFJ2F^}gk(*b4U4ha7)D1WG?1R!827!VMG5kwVSlyHN<;Xj3x zDh}m-*wglxyXyyPy;xLYe zfaqa;VnXFtf@lpv4`HAHQ8N80p&O5J4hY(1RR#lskrq z{BP_KDj>bw2_sN-vUVocAj()hj188cj0uFv5d<*ifGVOO({{7MxM7`afXk{@1QW41 zuisfn4;L2)j3d$T1FQZJzW>Y@fq>sjm9)OI zffJT^5)KgG0e{WVzlKMY?uTBej4veUAS@9W1^D*`z+o^U7+?+j#9(3~g!d@% z0-Szf5K&=*NB@n1!4Se6|BXRJAq1lT#$f*igNVTh-t~7mC3?G|D4eha{}U4r ovopabi1Tn5Nr=l5IPi-DPjkni+;9hs!=X@N3T|#iZ6%8T0gFx&{Qv*} literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-2.svg b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-2.svg new file mode 100644 index 0000000..5bbe445 --- /dev/null +++ b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-2.svg @@ -0,0 +1,587 @@ + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + + + + 1 + + + + + + + 2 + + + + + + + 3 + + + + + + + 4 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + + + + + + + 2 + + + + + + + 3 + + + + + + + 4 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + G: + + + G : + + + 2 + + diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_adjezenzmatrix.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_adjezenzmatrix.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ac4b3e287998fe8e5a4c2304200752a4be23563d GIT binary patch literal 5437 zcma)A2|QHY`)|=Uk`&4m-7ML{?2C|n$-b5)HD(55nPFz^OWN$iYt539HL|}UMJ1ZD zW*a1FQ3@$i=_UHzA-%nCzyIg|yC3d#zUMsWoacL<$GzW2%1m2V0j`LKNL5djEkKX} z44^r=K~z)#B_lG`h3N{QK*$0D0DzJ%#e+$vgHI0vldMf9(nw^8ni_<`q>~Ar5dVw$ zR>m>Iu&oUXN8j>myHBg$JLmm|nvO*7Jz*or>W!OAx z&4Or{WPhGI0e&Q(x>$c)$}TH^Yj;8Z8IhY&JgnB(168MQ_|9w{z<6nvZQ?`KAQJb? zDM3}UT$ zkOT*TKR*`3{9FuBvI_7b14?ED7xMDLW&}DJoCm&Yr({efQ3#qef50AuzzN|nMFbLq zKw<$n7N!Wp;;=|GaD3TT3)}%{%mBE#v62XSbefOXFS}Y671NZikj{I`tclDd+*Z~%$H z;r@}L9Gf72tNTKS8K;nb&u-08F;NMUl58E=Id#puYbJIG?Ek8+&NtKt7{=NhSrZ^4 zaWYng=WKjQn5(66QBHNExOU^FXj7wonqRLEi9^JFbgY_vPa8Z^biGslY+&h0x!?QY zbjDbFz_-ry$5I;FR6FhL`l8;#KFh}meA;dRL)s`S$X)DdvSsI|=!x0B`^Py68r8}N+^r7< zO=cq{90M-4kKQX1h9*Y)y^G@)clQhS3qF~VMT?l7`etV!?VLLhwO)B_`uk$0t@B|- zpjzM2m<`U6DuUVO2_Eq;fbWKm4|aSO_nf6(znF?BpWaeSZHZr0oA>X&p5<*cWHNtZ_e`cz3+sA^**#gxbtKtyyU>Tj0;U;WIu4`9(Pe=H zvO6~vTKN@RuSvh6We{SsV;83biEV(27}Nkoc?5Z>^HbrO9%t9oHrezTA&z5)J6~yT zXzZ4&7|eGtiI631rpwko7;2D6I;$X7dCE`an3~scvs^^}ZRYes({mMcwMmEc<!|a@hDki%Y9`c?A84nc7~usy;DFE~i5!iQBi7I9n!B{`Vz8dT4Lcd_eu@Hy zES(V!8`?~AMqA&~zAYoP;i2B?O5=T)dpBQ%nJBn>D{*(@d5`X4Zt5uUgoo1eXH zk=1>2V~d`a#99Vg_0=4Hvqn#2WBl$PRVgmyD9kTS1SBp~Kw^Y(i zH`=D@2Fj$_c0G{Uvv;o>YB7*i z>jNeCvh_tqH`Y?LG#^{!+)Ga0mOe58sh$@O%0m!t$sB4bAGWpaxea^O`K5JljUC-d zZ@BZIi?oIMK9+QXNzK0QvCef{JteUlraUQ{2|J=2nGcyqcI}r~pN=ph2w>))@BK4A zH~!Cfc_qKd-A=K>xh!S0UZ?qNPilst=(P?`+{o6_heGL;4Z8uzh6@&rLY`mh?_Xefid=i&<>N$n7oOB+HFs(5=&sh3B5sukfho?u6B{ zhcYrV+D|&f4=z-SeYwAOX1?+4OO6#a*Qva+%k?G0iB{kf{;H}*EfDKdzp3DL;Tt`c zqcs0+<0*s3A;EJFZ2>Pn>GsHX9bjRq2Q@quU1-QXefD0~m&?{9l!Sea+Zk*w_`oo+ zOIqV{aO$9-x;m7jHS1|DtXTc{jBrXIEA30%Rh91B8l7Uj_ygS?SmK1B1Ug(lkKHIK z8?V>G!s|Jxs(#DABo@xh1`w zg1nUPoY8b~pxLCdUB+o7(B^iG)P*h+kCRC$R;>;>{K*=6_a%p#m0NZ6lV|G=1k?>n zNv>W47Q@@`sAZB`()C0%{`4y6^h zt|n32qru;}xnt8+mhTJcv?zX^KM($4`Vihnhpg>0bsX=F_WRifsfRgydO=oZ$2`*+lL_dIoB>At#WKf&hBpEh$0KD*LRg` zO`GFczS?CatwHYeQ1kDnBxVolIc{Qom{xc=`EFd~gj7&bi>TbK^#qrQt-IbWn8qwb z&&TgMkuu=@@uhiTwW9+vI$-BD|BSq}j&Ct~`TdEyhpf_`RiZ@$EGIvv+PCqBE7TV7 z$tzoTv-3ZQJ-+dFadN%H?c9-0E6SZpPopRNqjNzfsq@ZtWllW?hcB*OQZAU>EB;LS z*#`rM@l2nL@8u6VgzVgt=Yn06dwr|J4t^@w#?hqB4pN7koDb(;Z8f?y*N2Q=kS|G# zPk-?`^w2=R-22OyClJZsOcSeKvL)s6ls^`P!UrT9632Bn##i+o6CB5vC2W4NkMOO5 z=h*|V_V^E|IJe+EY;0(-Xj200ww;}!fmSPGffIH{$BRr=IW#S+X>y}$~* z_+?&V68nRbzYQ^0H-b$=Uy6E(4OLmRI;JXm-*V5Hi6R(=XGZeSB59qe>o+@M1H1f; z>wy0^_?^Idp7_6J+GK`~jV?qy0S2(lGhc>0A2T+q=Hju@(OM zn$GU1M>ap+Rhg^+`@!Dix#4dT-be=_&TcCfThlcSKbm zTIz<~s9a63^@aoa#GH!0W+ZI?IeGcsz7*)F>J81&k8KBi>eysqMb7RA@}nrZ2X@5> zJ|ZL7t>iph%^?S_93Dg5o$sAso~L*u+euzGPD^`Klf~P~U(BnCJEg6jwXZqyg&JDC zXXjn7ec_a3_lsCmUZ>&7x7!W*_z3#xdVG~;V~x)plIP734|9*8HU_{d26H#go4soc z6TbjGdFA2xB`FydYzZV6S9`)NYme?7VE)ohn-IO17h&_~REtg55coU$Wx85lL7J8JmvJT~vx^S{dn?kDXJ`GCOSF{_{S_}@Q%;oR@_|4ok`PiS*% zhHcfETY@MQ#_W#|V6NM5R*-pcKAUp*Ze>be*C5+l_^$=!9@u%P2k!RGu_K*jQw(?G zbMI7f9KyNAW1?QZhGv^pdC#_M*CpLl)lkA#3{6M308-X~3!zhr#g zEalypklc$4DuU@B%DFmw9eOq5I`p*7_g;D5&u8aTPZ!5nWxa8EygkK8sQ2{SV=&RE zR^HyIw^oQO+gpE$rPB*|lbnkqw{6J3^?Hy_)oS3^P}rZhMEThFwZE#;|NGt#-^Owl zd3SCPKkz%<%Ow8f`zPISu0UE98!MuQtG~3#3?iN4#iY@f1rZlAA$WrN%1Bc~*Tz;} zo9srg@v#Ke&d+{bf+xiz0FYVf0=Rv$E1ez$7Y2a(IZ$&&gekyb2pFJ%M8g0$1_$2Y z7|aj-WxynOP>32-7Y{N3Tej0+5V>j&kH9TAx!dEm6%a`DGN489(kD|~TtUGHPO}VI zGRdAc0B*&e+t6QaaJ>O#6d3_f;$Z*=zw$)F zv7lrG+enc7y^@~R|@*ebFG{ti2$Am$RGpU z?eZB|tO#){nl+WeEjj_*e+&OOso%E8RsJi{Xh;%O1UxTm=+^Rn#CkLtzWM*eiNGXzW(Gz9kZ0x)PaSh;WpeqbmZ z3_LsT1yENp7zPHi@h=Pp|9u=943B?}Lt#+A+hYHVEgk_L(m&TgV&VSd-1ZW literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_adjezenzmatrix.svg b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_adjezenzmatrix.svg new file mode 100644 index 0000000..f3ee661 --- /dev/null +++ b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_adjezenzmatrix.svg @@ -0,0 +1,52 @@ + + + + + + + + + + + + j + + + + + + + + i + + + A(R) + + + + + + + + + + + + + i + + + j + + + A(R ) + + + -1 + + + + + + + diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_bsp.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_bsp.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..104ef91da502230ed2b6ff4909217f8f037159d3 GIT binary patch literal 1703 zcmV;Y23YwYiwFP!000021MOT(Z{kQ0zUNmU=E^kveoQ7A&1JQRmG-c^XJnv5ykl%+ z3>mcA{q0+AJQFZ>2$+t9(u^h%R;8+|-QQOa7kvKmeV+8zHebeBdeC(Ns>pvF7;?r>W^z?+1%`z&o93}AzE$#5X zC`qCr2o3x9H@)7jf@xGl?pk#$#Y0>a*^%`>M9K0s z4s0*~MBAyzo#pZLW#H~fv}k#Xr^VywyQl5iYTtO$zK)miII&HukJI8}>Nl5BU%xvg zdq4kq$J4OY)*2qB+6pU94-d0dJhjUs$82AwMbl#?HaxcLb-CAW%=S_(SeGV}Xk+tA z{jYHAY(C3fobFY3xT2h1G%4csk9Rwpl8yhilcMtWk0MH^Q9kW`?EPuK7yX?qq~D9D zcm3b-{&v+J1Z}{C2m7_iejX|{kahPD$)ip6cwE<#uTYNQzz1Br;B z;yinW+khj-ye8Ae+GSp_Cs#`${viYUZ%Y>O0`%H=JWGovYwmjQA)3d@1{M{i%YJWJ zY}^rn46`~xHd)&uo+|f~l)XeggY=XP>>37s%%d$%l0% zALEsLOhrDB^IRAEgu=@|`}6*}R})9KOS}mjMOQd#0EQM`@n|UggFJvyZ1}A~ zf*K4cf$LcL#$(;RhLD7~OHz2iW58o~Jj(8UNpp5^cwKVwA8YP46sX7qJO(^o2#>0Brw%D7XsK5~$}&I-7Z4#pN@SD^kYH8$50D4`9g4t$ z&V5!J;27Yz3rF3#cjdA*zj)M0F|3)J8NiZCm#`8;N|Z?W?HP}U4mKpUNW!1~U>N;*&75sa9NFU%uc-IE`#TmnmoX6%*_#JNyV z)ER*p^$ges51WNt1?(BJ1Zr#81EDcw_!2`t5fJ;%5ZifBO(Indka>ixgdA6}(hfGn zjmt@@H zc0F4nxK!R-L^b!CM3`&Z251IoUUtm8^RN>UP@KuLqsHqJUQrf+N{CwmK-qraMBwm& zlQ8$xehS0%(=~qVr1SU_VUWf`CG3-qwkDVx!W0O*Axt;?6h^=U8MPe2z(v={MV)8A zAXyQjY|Hs%qsj<#*^x#{m2^aKm zJZyxe8_kiz`$K##G&NFSAq>Ne1<1ZL$abEQBgS{jPrE)J2P@h=ufHV*Nu$m7p}H`> z@oMVrqyq`<##)W{896s_Vz@NH85Br8c+GfB8g}tB z;MY7}66xqUh5x{cc_*Kz;He97u1oZ5qDYUEwtzu%~B_=Xo_LfnkI z^dNpoN1Sx7L4moEe`jl}VIt`44sCp7a&^Jj$fSoBzViqIx&u}XRcME~n0baYr~xkOcV z>dP%oMaVwo+tI6eYtMaz)!NgEd55)T9>6w8*^Hs5=bw*k|g4Q_0+dc--mM|+vHagJMlbl}R zLy8g2n)+<1%T-&(_DY2tdEcIvpHvW@GMd8JY@?nG(j(Fd(erpPd}i<9pt%x3Z_vbb z7JjsdyU8qc9@si=&-diY^NLQfGD57KefHr6+V)ZNbO;|Ox_w}fHW3pVz{Jv>inW;a zprK_r2HZJ7%t-JE8oDmeZb_WvQF{_b2lzXlJy}&EEQQeToTxf~?6&biK4Wv`DlyIg zvx6zw#fMoopyigzatvLs4XeH6T_T>|XQoNJZA~wc#0b}le486tot?Ez&)f5^DPdpZ zIv{amO>{POgU=FD{LCsBb3C^{A7CCY<{oW4>qCe6EHR@C(z4~tv>^JHtM#n{`$hOu z@`RyQCJdW#F78AZBuaRNg%LGzjqmQ?pr&jhB>d*t5>i4oyqu5E!EY{+eO!%0jI2R2 zj2GiY-W2XJk`Glm&vJfq+(=HfWT+Olrnr$SEd^Sy&cH)c!G&j44Qb&;>pb0}NY%Isrpo$hqbV%8?8uZOokn8+5n zCxpEgkn1gtNE^t@>HIRh-p1OQ12c*j(Uqh%SiGBFog$zT;qIPDS#MCFspKrr*aRsp zp%6BFh3?fs)kpC+tDh6XM%2moxa38qufj(33&k<*58sDmG+nF%@8gDf^9O`C8? z?)o$H_z#Iy2SF@^q+^50L3X!ZTe9@CGWr%jHgoVtJ$VWrs&4x@r`vM8b&cyn_I6@m z;Tm5MCSAmy@k@*Ki`t-|x5Mqs9&mkO-SCUGTXJ~!qt`bWniSaW8@}>AJoG$Ua$%;+DQfKf=wn-UQy6?<>62F`={TWco?hy(LGUMO0lBJaYBcRItn#lhaP^m`Ui@Z=kN?JRPs zSz1;QqfJ(EWw~moWISf9{A`6nMQf+uk(iV=A5Bi?}Su~ znt4FMD(iw0ed#FH@Zw4pGqtF-=d#uFnTjuWUR4GVmgJX~>SwpNUInOVzuLv~4oDd?8f|_cdL)pwE{tkG+%EF&oA?*!5O2Zdk2z$M>TfELg(fEi6nUNMA-~ zUAUp5uA&Zi(&koAnv>3Ha#1zy;&99<#|yPzHW4Vc!=&f?Bs%A^J*xUAC(&NFu1$ysknUKCO5`-+VNyq7@`z;+5G(we@ydAn+Q1Z#P`3V z!wepR6QE|?p#o+)&ioYGUd zpiF|I?s)R(+0nB_r&=3Ntc_U>sYcK*l{I8q7{Y@;(aj{aTO4~?zBxW~Z#9h5#=6%X zlx%AE(&!`J0@rA6)+~{`I$olEKU!gaU18NIkJt5Wi|C!`Ywulk_jz%?b6FmCSr+08 zTwLMw4UioNM^Bvv`gh4Ej~@1kf}+&5O0ez1?U9dw2XqCxt{;|Qft|v0s$WzH}}2(6WdPxl72DK z(NvEYVs#~ioBB@oGD0s8h`J8Ya)cilo1Lr}=pZftQ;jnyg^?$nOPeFg&FK?UOy;5* z+8e^B1MuTDr2?|W^?`%6Yc&)2puW5F_4V^s0i~08Y~b?P7uT8+|BmW;mM40%)(=eS zXK@XI9#SW}4bJ4!$!k@`Z_8g`iy!|>Y*6Us*oMBl`&lm+9`OoPtkA$VUuBFM*AQ7; z=~BVjF-h-A({?@rZ!z>}w%KPu_++cNhYlm^(dZoSu&rvLVMi%QJjp26=XPjml*8Gl zGWc-Sx3^-Cc4dqyyT_WB1r@;!(PZXzIAD3w)L*%)5 z*K;;5yaAF0cJ2OoEr0i3%;kJ3p&#WmEqW(Ms&+qNrPMM%-z}h;onxz%_NI#Rg9eF* z9hRb8gv9{@=J`Wpj*R;AfsQc_vLg1|kc-B`YButKv#EyWrnSp+`9fs}&SCuRfgw{@ z2&Ze1?>QTY8Gcx8=4oy!!sbHXz`m~YQ6y}!;w4mEeV0Ow+pPR-b`i`rpOM3m?G#z^ z^1alv12t{PBqLV{^Zd*}3**w$^CRaTwyw6fR>fZYF62*4I;or2oZOcA^}z!pk*&WC z4s`zwsfQwa(t>x+No4lTnMvPiJ+kBEs~kD>#stK}Z_`XJYK2U<>>qoPtKTx%-FV%k zITIs=`0&~5J>84{g(bQSV1DV)uH_id%5a?;WIU0YmC z@c3N7;_54DoBYF86W`~tj#cQ3Ogqy^$B5+46UwmYUjF0x8Hk8ne1}n!#>VF1t%KZK zdhqnv;FOp5c#L!vF^p}iQu*W~MrF6i2~YFPah8j?Z`OiSOf#RC?`0!jcIB9 zx`5hput2)SMp|=#($-KYL2yg`jh(`dZM09^YXgw8)ize-79TE2?}khLLFWnYZYdD% z(TZmHIkByaZ+t)p1=E#=)HBWHh8S?0%LUDDCD>2Z9QC)Nl0YXpE*kk-y{T=+amI;n zX}l?FW)Dxn`d+TKcwA%{vJrLHLN2h#^tckKrMp@c>^qZV9Kz4KSwYskG+%~BXOzJ63q>>8Zo(ra<(kNv=1T7cW8Zi0={IB93{Ji- zrg62*7rk;xY+;-o>~m@%s^iN^JA43*fd_deNfJw5Q9F9vVubJh(|aJn{STH4Bm}V& ze*?0USM*qX&ycS1$349U;wR71nu( z4J$b$yB+gwjfEe$%VH0=aINMp!EV$wcX7(p86(3FvYkF-VOj7R7f^KHSn0N*Rdg0Z zdDVz`ihqR~vZ6Vc{!DBKNe)p2IY+w6{7xMrOOgl8fY`*IU1-?`Nx5(0-&u|qLh=r; z-#09P*a>Ds^xhl~FQ$Wvkh0qIOp*7SPlQK{T*f=li(I~$Fqe2Fkf#h1rx@R@S#bmv zF4^JT&cmd^?VXs%sgb&JBwS&seFg1Ee{Bzx;?sf%RLhW5Q=@_1+90 ziikAKhCE9Uj8snup;wK0ZBeT(h>Nm&Cl7HfH)E|pEdwz}7jTsh2@G_ccuvN*a&P}) z#^3i!oj&iKY~}RfDJ(C9+tK><2j^s^@L;FUA5qCc5_2exrC7^R8%>Qf{+s=)PGt+c zO+AVWpPaz{BbUk7F8YxT$LG|2%B;L=n%y*H!-?ViceSPw*SQ`{wFFwFfNK(y7B4uzcfMj}ylGz##57QjxII|Kxn0u&i zY$Y0Uy7hgOSroFGhariso#s1=oZo)HlVl_o+&w>-urDW!L#=`N?w!Mm-vwB|USe9l z6#pEz@0(kiz@OJ|>W%Qn^&19@{mE2;NOO0<3f7t!9Vq`~1sU`}DdO4QJ%9v6lEjn}3(at39 zN^i0-um7sSIg1xAYc&@*UM0^J`0vdWIliP5C%7p2urcXTK-!5jqr0b+Yq0JTnhuM&%NCIHgE z8mjE^6$vN=1_30b;1B>RBS(2bWn_L(6>TCCi$N)SIAhTOWLHj^fT9u~d6?X8kvctU zSpp^n-vv~Wo?2*(vkQeAQM%cMOo(WAb3krSo?6iQS)gh|VH{`}KqV!=lN9JbMDHi} zqBh>^&&z?h%f?i-)u%pSjCRIQxF^M6 z$`p!;-Zd4K@)+P9(Rhr9Ga#nzNKp|(^!rt1;^payMY~fK-_`0jYWdH4Q4H{FXIKC> z5DGJtfj|HmDVg1`6jb)te>=P1_!*Up{^IeMWeiQoTT>>pMS{h3;zF8!2u`W2ew<l%BmX`Zt3`!d1&vtTBe~e2J{X-TGh5d<9-T6Pph0DTz8-s{PQg%0fH+OG> w@kdkbN8MV+I2^?%sOzv7IH=nZ*!7EDPa_bKc;c?b;j(g2kcf!7fd=S*01F%@lK=n! literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_hasse-diagramm.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_hasse-diagramm.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a13419d13eb6644aaf6b31a2774c63e887738250 GIT binary patch literal 5279 zcma)A2|Sct`>vFtk|ZX{`;cucvoJG=7g@6mA^TEej4fs~GZ={$p~+sznrvgI5waAo z*F>eVE1@i<&Dvs({?Cx!-ui#P?|Xhc^PKCP`y|jGqbHAqp}8e0CrX#N z6#)c5a`xm_Qv=|}1fm<&9YBGQIX3_Ra6Jz%DuE1sdf})99Ri-@Lf}?c=cZ7}1e`ZF zEv+QJ(Q`m^N7&RS{?i*}ujqBU-x$y2-E>~Kb5VdSy_4(WV(eJ^)3Q4cYVE@(h+WQ{ zG3bWipo1~X$F_}q=-QGNBub;fE(}}Rh5u1QO&(!tP88*T*0D*3ybWj5&C(Z|%z#b4kSPHJ zN0+oM7kVrtg%vFx5(NfbhXP7f#(iO_{WIm8%OOS~a^jXf&+8i|zV1!0_2kfdaAQ2; z%=zgFXOX$f&10ux8_(i>a-6i~zrh(I0akOL#!oo)T72~Edr)lk#zds=lYPu5ro*+2 zD-jzbxd}v<@3ezY?0~VO#Qp^1q=-SW``ImpAK_dLpe~K7Z$Slv2dJsB0q}z35MTp< zYaa%X03444?_fy5jnQ;a0{^}*hWW7=06!MsLjd4Mac+dw zg^%LM1aKbYx*Z%#aPh!tk!XND2q6FkWknbYgF<6eetvXZwbcf902)&Oc5bdEqCT1A z>+{pD)>d0Z*WI!J_dv!GDL(9#@d4|wHi+vG{5mv4k_CSz07neoq^`i_Wy zv{m)$948C@nHJyrQASKRF!gbmECW-$KUYl@?ku3GDU8$Xj&q=#6XU)<{;xjKevntfs7ez)=g zNW7677B=C%m{Nz6A8+DUI7Fbc|8L_)C>AYnV0m z#ps^GJUa`cW3^^sto?#HZT!9yskY70Inv^Dg)@5lE3;Lui$uHE_2q|4xzCE<^2xpM zsB-vNk?_vjPn+wr^uzQo`JLi1yv)nw++QQiaWE^i6fH1+aC-#L6~MHO85I5UEoC4* z^<)&+idMp4b;p@Ixwduudoo(zXK>a*1EG#kf!T_xcR>jv@6zLojr}om<$@l5@r!K<$u@D&hlk_PfWMd)V1R(u3xhio1+TU$~`CgT0gWFwe~uy)G=!FKR!>C z(Rc0{JDDInc9vj2_Q0fL&!|{-6W?P${R$ZeK;K)ehj9QKSz1}2rFwvC)?GLE=H@`V zNJB2@?0KQ&9$rVCSQGC*pHsZfYshpr7`%7wwvYXmh|allFEI6szzGw<*HRY{!kI}Le?ry%n(OqrtW$oK(#;TppWoa)~x{uW8i&(1NdD0Thv)B5*L8{us z0WP}xXa#pdu~vS-^XZm{QgGRwMm-a+zXwSEzv1?d`nKkDo^q7ZH%(UU2ePygH2q1a_P${3+SQ>LY@|rxyj8kzrggz};+BzJ{zbkgdnU2hlN35$V=W7846Md6=t}R? zOT{jF51!Np4Fq#tS}D5yVD8nuB~xShGl7e7d$t}w9q_HTq#qM`NTFyvotXiRvuwAB zE<3aoRr<$=$yrN{yTq2X&hmwc&bbnDZu8VLr3@>%E+$!666Z=t~xm79eQ3oexl%_+anij6b>$**dHOY8Cj0617KKwbkFB%c;!!uEVbd^~ehq`3iuAEt za14P{9`Q&i(&aH%hh}Q^qoEm2LJ>LTZXnjy7+bNi5Qp%#OiB76?wET|8YKs4F)}YM zYcy5~(Uv7;MgbIbxA@LTjE_u zg$gsfs&^^Q#Fgt{E&K~Y3Km^ABhDB0%`%3B@N|Wkz7Rrido3>d(BXn?csCbgYu{|@ zVX+sK44n9$gmzphB~nQ7i&f$Yl|Uh3Y!+wN(Ms7ex9tpWhGfclxs-=@7d|UY7# z-{4v(-fzhoyutG9-Su!+)E1>L+tbf#OU^r9WmH?a%XXeFX_uUPSe^VJ440SnNhwi- zckqp>A=mcY&-US4pAHZkG(O=O1grVCLmA40PlD=G8Li@Ctx_*DxFT;ps?Ghjpl~WI z@e(bRXm!YqmRLppFj~9NE4-p-HXpf9tVX>tp+R(LS8({n;^d=8(%rdrKlXLH<9+;l zh?hpKN|fY2SF8ZLZw}W+pCq1{YU+_bBh?``QxZ+eny%bsO?7ZWYC0rVziP5pM{S)Z zZ1@&CpCt$z8>Z0P2C996%>>e$_`=1VZjB6?I||3=Yxo@LHWGez zT#iTh@AIMWSFC-R4bQqRFN=J!Jg_7l{HDo?ZY}zb%f?hSGFTY4)lKJ^?8|kMn8Sw+S|h|Oiq*fC?;%HziS8f`|Nk^pny?PTz{We z`Tflo$$nY?-^8F}Y#Xr&*wH+t78)~=DR#DMl1~&nC=pKVD*toC#;c<8=eDW5n$S1y zF}St4Go~#g>M?xTXv%BTipX6d#CfKPzQb3cy?RU|Iv`--F+)g2!P)iN>Hc*~> zLhJSYOQXCxr@C?2c4>Fajt%qn-H?*hp=sZJ54&!LO@}DfZr;0R6Dq}FQl_aWZMSl= z>D?!_*nVjLih}y>bM3rOUmHC<>2To~BsVqI*OF&r`U6qOp=DDI!Kd!swEnrlp4=yXqpI z!0*2b*882`Ro2!CMkCkxMY844y0lo6Fl@D@L!jWv9zIkOc~$xcm)8`Yh3`l54zUrg>$0-s2>Bh)+Coa5}|+q2?G97$Z0)9^puE~-Z;#!US5QQ+0@^sABLojOcTnDe z)2u=kRD!n^puA?!ZX8)}u)P6A6F~uB>#Co17V;mhx-K8tgV*Nsb*8QgN^JujHpnJR zVYNpKM6?KMvSo7=iXusFl^1itQx{E^kU)}rTv1ET=4Mge!Y%Deem@Q;x! zi5~2-4!}P9|BB9U+hc3{wG1@!aA8lxmjCA8vq+od3o?cL$v@=Jl_hPkUT?JV79l{;jg0eg_rOzNB(fWHEt!v!NiM#4umJVHoBdOqK&}@^ z*a@(9*tBtAu9MtWd0F-5dwt>`BO00D$_*Y5G&kbM1z^x z0Ymg}45gs>JEp|Wm|w;z|2!X+i~~ + + + + + + + + + + + + + + + + {} + + + {1} + + + {1,2} + + + {2} + + + {3} + + + {1,3} + + + {2,3} + + + {1,2,3} + + + + + diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cad8323507d52e70692783d3854d75217f51eb30 GIT binary patch literal 1518 zcmVL^qzkFZC)}zewC{3;>*hUjeCd)L4 zlJI)+&)45R`jam=SD%AOe1e}a6Dtd@NOFC2J-JtE{b@FPdU~?sO)gZL*>Ut>=W_O+ zh+{E>MzhJym1XT32!s;)Ty<6`l|_pOC9OoPQg!0RR$E6qov4+_!YFC_fw76pfgrX|2!X+1+~>%n9^Q`0>FyS9>n?s< zciG#zi}KrbnyE}gs_Al(rm+-B=~ZP9vcI2vDPoY=p|A!-aTh6-9_jy`i1XJ3P@aCC zZKuxMFpGl26L+sghn1%&Q1`dr4GmXmePhV_W0XgWShn>(O4QlRZ_Z=Bes>Cbzg#|0 z4W+ft$3x&tCfVtahwvc^WPU_u`)xWb-B-{Sx%#MYIY>f6l_=vmm zWU1Cc^2I~tOQ+bNd>t)cq~*&%zQnA2dxtX0_r2sxhRc_kmM`7P*EKC)Hp=(1?d(dnx-^MZt4+q1Bx;Q#quk@f*24aSJmp3Z5+rL=%FjIA*5GJNdivpkZ@>igE zLv$_I;_6!5dF{5;S?kbwSmF&{72AyHXB7e1nq&z~Qcm^C0tinzpu}g4PnnHe>=45w z>4>qbA>@^mvymhtNqUn64URn8FqZvC`&ld0~TdA!Hna%XM@-& zfn&&5nCZNvGtOpHz#I1*s++oqc_UFqqVy#Sy*#4u;kk+LQ+Oc5H1a)!jS|Jj6ecQ$ zw8V2=APRArqlto<%gyH}9dWi)q9Bc8kVnB{hk7m_i82zUFHy(L?3WQdWuEqkvOu4vDT(*OK!30d#_z>e>m>g z9)4g?W!DDXG*NAy^m*$}tfF`W9TG`Cv2wMkR9S5el<}if(NgT{@$?=v-dwcKFTaK( zI?U<5_FkvIK7RJMnI8CG1cZh;5^)qJE7^WCUs(HEFRhzMPn!>qMVGp<@0|CIP#1`X zZ*H=6u3@%-t35b?A!>WbW5p(sOTZ8rF=QG;4fTx_x&=b#WXP9e5SA@@Qk2r(+sK ztawXRkVsdD*oBaYjU;*l64eDbqUaJ)8mKn_q*+McQTS8f)QW7O4OGHFM ziR?Q`AtC!3zGtZ3di(yr|2Mz!jB}lHp6A@xx$iS`U4kY^ZAq9E0wh>G{cr;Whd?0& zCwGvtGDO+{gU6EHAhH020zn`UX>FV*8AAjB_x*p$~0F#>TK(jwHq-?(CiC~;$NQzoE|2vK}$tqUEji<>afhszJG#l zNKdUaJ=wXxKfFKz4<#*--j-aKSVX_FtvH9O-S9i-U7WZ`|JQYzTj3(>7U$o`4d|t@ zH6~<7)4;_?G8&~ZUUsCjo`!ey@Jm>IzduavBE_Xa`Z)9qGQDS}c z`gQI=U$#w!kUOLeHLXo0X%ipr(YuXqvzb()x8%rMSRQY>WB*y5oOZ1l%>Yy4>i6#xR;{-jsGQgV)&fO zyGKuhA12$hbI|yFepZR&{!67lPST-Rb81;>G>mOl2<`|;;rJF~FPRyh9~j5>)wjp^ z={cJoX)^(n@{dG=<7Zc0B$D+<&s_$&)?FD_J$2#cg+N6+{usHG6Je?KWJE-Z72Qh0 zr0~>{F0)ymlkaMI*&YQ<=$Y!jfgevYLfl$|r#Y1FwCztW^P)P}+X4dFo3XwE&D`Fq7UZO{Ibwyy+uRG?zI!1W55`F~8(s0- z()`5QCxhcxtna^Of~T4KL{PqQ95|=NN7J?PB!&XP7Vmc|yjmBAy|>b7TKPQ7#Hjbx z7xFurHkZn?qE#Qpo_2QHK2`gWHF$n-}s<k_Fa4ALvBL+LwhXO)46MIL_4tbT2XHcyn*GzMr}k4@GC!+$r*5_U$U0_Zpk^V;%2WV&Nu!}a10t=d4uL_WozcJ* zsAQmH_bRPTz>|L&?J5bCghCKMP6A*M@c#ZVxt|Y%NSph6V<6HdXe?&u!6s-T2DlIG z$2@66j0+B}LGXjv0uU4;gFr~ZU<$w+0+WYILFE2|}d| z^-EOpK>J?@p~BCF{I`RUO6u;334_2DWud>FjGdN&LFS#s4jVz(mgA|Z9}Q%V7|7@e zg-2D?IBQhz>4Rx79AMV1Msm{2Ad#ZyXPMky*Rp)VL^g_itex zxOw~gH?c?|-oTt@`{x~ojCYPcs*KgWmp8d_REnoKXs;=KKl$TUgr#N1=5z->IQXir zs$$3x*LJcRV?daQukwa=3pS#-*SvWdRYKe3_;hhZJ$=!p=%QHop z=ibe=o$E5~P9?+9F;>#4Rw~Uw6kg{*#jT*Wd-?|##r#8C(?mP5omG78^8DHlTge>3 zcPl-PvrpSk+Y4Novi3E;s&ZdHXNcp@Qt+L9W2;p`k6+409>@@G`+AkTsc)Rb#(&R4 zy{y^bMNf)BB3+WGgm&N=ky}Mm2Q#Ohcp8@@ ze5u~Eq2=v7DX?mv_Siym2e#3A%wk=vOnJH${KP2WQf6L`UN_1HZ*$cqv81Coa}w2+ z^U&D#tCB%P`xLAB2pY6@8`mVsA7XCg8ievbl}u>CL%q(-@Fq>^^DCh26!EnObzC3dOpYIH%pNX` zk1fQmtJpUsu5sFDsASl`s>2Hekc_ksIX+NxHX7q9RXdpjO5nSGSml05bL<+s0Y-L# zgMYq2<=cMspd577dhEL2vIm{MqvL9uhcs8v)@q!}#tkWdoZj2s`RJN;1?5z1N#!=B zo)mCL-emhWcZ8*R_XD2Gq^9ZMjS0p$rta(;2-Rvtc0z2|S{sEyZl5RRK(wOB!LB-x z2UnQ^tQ;}qSD@g6b}A8pd4!+ZScTg=1R^_|m*?yq##oXq)ZVmZ#zrdjXk5sReEoT^ zje2^+b%~26amT`1o${Wx2jqBNy~pzArI;s^92?xyg|8)Zyr~4+|70GGN;6r@yFEJ9 z+1u70xYw)FKf=PqJTuO{C;~ALUnZwbzv(i2yR0Ojf^hRa5F0Besr$v#wux3|y$s1^ z2gatz#5l}VCByg+JiKvKfaq}Q_^5%rct>yV5mw!dvb)AC-6<+pe27XDyx~z3bE>F^ zG!a)B7^3&)+1sa`3)mXW;R%|FmCsCnUTW?un=8!1V!o1N)o~4f_DchEJtt>8W5X@o znJ?@ip&m^d`|mZ$LmH7KO5z6-4b`pY)dk!Jd#YX(*Evt~e$j8#CGv^G-#Rb)p5gP+ zhAxwreYYyZgW@dRS-osH`xY&G-JQmC;6)%)zV-C$aUVV0D5R8znSv2pv0i*3XVNFb zuEWa9P4M_LM;@E`8vAeB)jYk;n0XXszhz=?G3b=0n_kE{YBbZ|-&S~bSkDWy5X!Yg zDJNS|$`^aJmU4Tg zsumk~vOT%MG^W*AnQl?KZg)KDB`xFG$cvg*-APU06LlJM=N>Wviy3l zRGInagFRW57m!7~T1sVQ<428Ol6nWa>xVnKvG11Hh4f>WVWyc0OGeC`#H!)L+k~V9}NpGHOa;EPZWp#S+; zy$I7`)6;UW>$&T&a~FpmZ0iwj!vbQ5?pjSE_!&1oO87_G?saHo`7D7!Jy{KPpE$0n z&g0M_JTbSpx9=U2cTP&Fo{$}&^!I)CXibSMM4!7CO`t=fS5fp=E#)Dhf^Y0g1f9x zAi(i1qJkvK4Mn7Ljd>0UUU{tfp=d(JD+iKMyYlE*2ovX`=jI~^O*quy8oD+bcws8DW}joNM74B z#cn&*1jpA$ToXHP{lzgUr;&!eqV_S}VJx^(S^Vt8Hf-=>FLxG>uV4Qx$#J+yW{V=u zsAqL3Gv)G3qw4lHLuL!NjdFeyce&D;nx%V3#DyOf+=<~8V0+f9c1D9NQHawGScT`x ze9SyCT-n%@q~e*T|Y?ch3Zie+OkIny@ORzO~@RApe&&_5watKcu@WQEg_ z=VwF2lI9){1fKLtXdY zAl7(k)&TI<)Qh8YPg$xlj8b0Z77nP1!|xaNl-I0E#2B-xvPZ|$%?VSY9fCTn`PD!- z6NP=RzORX>{X~JPa>XrxLd;jIqqlwEZ|)f~Th-*>y3bZcc<~iH^y%~0uB_XezP+Z= z%l&6&GGzUYMlxh8@@F|Ij^Y*B@7Su-^V#PODP8mxBX!mkEBT&J_oXVX#K1v0tijo{ zg*Bp-ZF4`p5jC)bxtpm1uAa_^XDv))A&RZ{f%gYLigIh%5s#(Os>Oy;*5|5RE1#1|_?^DQ|B~dQdw16{LM$7z^178ZUVX2p38rC2~J# zW2NrRro&Wpy@Ohqvf#05I4CgKGdU0(?5Q<61MZ!upRvC=8XF1%^!zz* zSJ!J^v5u|}w80Ogd|r3*JV2ewo%L3>JoQ-l@Eh>ei>60jU4gPinC3sy9oYaeVn);{ z2bVR2r z^aGRj8rc+>JiIpWa(ziQvxFRa>NGEr!Q&1;=$qunJx{DdMQcx z#6)^v-?wyRUe@A7uosS9-~M;Ek347`6@C%BxP09olmb9Zb&}@3%+g`x3VO7 z`Z|L%D+r9|7`-e{fw>m()hj@ihWT|k8%j@`)69F$#ue!n)acS_)0Z|d%h8vfK81h4 zmuDnL7QiBqLv?v#tsK4ms~lLpI)8=(?osmX^* zc~j9YPzt?To0s<)8ha29eTR*o5(}nqew(OIoy@u16n(|)y}7r@ana-R;mCt0NX18M z?rDYb&Vl4S3X4Qf`IjKr*(eJ8AA?}ZlG-n(LK_(~Xnh{;5$>U@BiL)Ymod@ks>{-C zU(9!EsH)Z4cHgtTsK3pb&|#bMr&OZ;eE%+$WE9~tKje$zpFi|rRBiIVSswNYZ}7Dc zCasmAI*CNBaK|Y5tJxyGeytIc%ln}*_IEg#UeRrzgB{66>FoOqC81}k34@hzr9B}l zmdnRZcWC?DO-%~cgeJ;KNdJvv=SlKaq^tJ>uk^Ec&osGNx9{1GY!qB&IBbQXRhHTF zp5Sn++cm7VJ3r@ku+I!FR(7vUSIJH9nC{9$D`Kt(GGFEx)m0qs7k#}YrYav{a=bZL z5XUNIq`O#S(2ypfP51WLZH!w-RghsGI%&8jXHwY`Yn@se1V= z$v$!tX_2AiS5drD$T)*De>kKQk1KB+z@Ov{3J!gOx5{3kdz&BX`X|Rb%>5u4f%w5O zjH&>CsHt7mMirPy49S^@^ClCBJBp7A8KJ!Z0eQ;Wz(UB~WKjzI!($;LdM-eSII{oGE;Ao*Z%>RD zHSnFNelZ08*)M>ApCw`iv4sM9UJeR{$ie0Q>z};5EX3aa7j;c_68_AG-x;8WzRT}KIfoD20vRM!Lb)2i?R*n<5MAM95jRTHpBfgFd3IHPey0t6-n1FQ~+h#Q>t1V2 zF93)oqP^X4&Lk-U5i7cz&?ZEJi;pv4xBl zGXG5SBVt@ZK#3qg(4Q}e90CDYGOm#C7y_;cq%-ve!T-RZiV8qB{0oD^fIa>fricKD z{vAWez=3o5cMJwq1Pt<8 literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle.svg b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle.svg new file mode 100644 index 0000000..b65a3ea --- /dev/null +++ b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle.svg @@ -0,0 +1,69 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + + + 2 + + + 3 + + + 4 + + + 5 + + + 6 + + + G + + diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle_2.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_transitive_huelle_2.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5b418ae6c7f77b375fb21d1107ebb543754fcf0d GIT binary patch literal 2313 zcmV+k3HJ6MiwFP!000021MQtlbK^D=$M5qgRGM3&q49o1u~RuDn?tJhu-UVVl4zM5 zigZ!5J-+N`PXm-6qDadk1lgQ{s%)2J2u(nL{McwTpr3#Fy2?g(Nx4po{CtcfG#(}S zyjZ09@_hW?zkdIs#=l&A`gxJYKf%wkj8`LgN4_@C&d1kPb@S8N+5P=}ls&BDswkr@ zy^Yq%+5h7#i_f6Y+4$nqX!NpzMO?+^wau$>Rh8-Nwn|2Myh_f;vv~gZvMg@%#kelD zDK{^&q8#1D+4=bMm3@rQHr1SM)$>Z-H}Nu=l}Y?}chv|UTKB2?CMlcMu5OBT3Pq}i zo1G#Z^_br;%4|xlp-{fO`1~vTTwl`Wh3C53F0|7~wTjDSn(x|yzRBv2Adw=3Kxc5R zG?Gl>$38jS-0ZaGveTL?Pirn+U)~gDRmN$xYjRc;SrX^9)vCNr`rBF0;|wJBTC*Hl zag|n8vFG});%xnv2GlP=QeyMS@wkERpAt^W2{{bIeQZ7q#pB`;K;SF*|@w`g!9-qDFlw$V3WL|Ar`=2V# z7jd~5eHs0hW$6tJ^=C%}+>mr}KK?h_?y+VYp+bP+PM6&jPr4!#+U$W{esonmn>A}L z;rioznI#+5Mw(9u{F>4TPgq3y*-ElxbvZA}eAhiVMpJC{mLR*$d7?*zIC}Yz4z{k7 zba`F9W(;o|WBrWHigJ;Z`MCF9mA>MMzRJ=Uai98?-wuAiQModAxpLof zWwl%p2i*GBt54nrc^)iJ?kZ31btO`s44W>we#-{|?jK=B>XwY(Q^-itfm`xxqMT+ne?BAsW&5hvze zMF6%wSptJpGc&UQ!ZQshQJm`ukC4EWcqU0l8@mdEU&%BNBnc$xO%m)t67oJIQLZF0 zb25Y#jA@Rk5?)!NfgUg^iwNc#Ph|vRX9S*uzrua{C7tcuEed$kk}^|NAT9$@0#W)B zg$<7=+TAx%iop#ThLMs8dnJm(3gieGFonY@CN>?M> zaH26&HgOz1o0^`-idjlIq4~u z%JjsZ9L7eOu9RGx^u1NCksppb(!*cLsq9M7E%K_(l6ie}6|d6l0WK)c*W=N;df2FP zlNy+0cS)7b?H}ed zYu{?6HHq}F@o;A^sT=$BxGO?kAaYM`ij1$}H-Kv_P{0t2B$C`Fi3|ZlBw)xlhIZ5! zC^SS0(PL1Ed#4b8Ng**13eiBJQ&5Np3Jsk??x~0NZX~(a=#DXgIiJcJLneSS1Prl& zA>SCK?u}rWkh@mZn!pcGckw|(Z2$Q zd}C-wd;vm3gphKFklBi$yh6wxVqqb~H@g7?gaU-x#ODn{a(*QPggik=yF-W@E^xoT z5Vyf;ZnB4vvdi{z5RCXh(nnMIRYO9cj@79c@Q>|1H!9?I;IB1pYqlDCZHO z@b^?Z%C}qDxucvrY_Rv26x|$ddxu&`yAFHSKhnN1;+%GE_f;x8mFH6U+{OWxn6Mke zu&TG3VvOy2zhaX4-pJ9}&ekKf`YJh~Dxm74Z;Eg15TU0+6>(1j;D|D64=V$5cufVs zN)m%AO(mj$D#bK1DRE|Zyz-2y&UUsIC74T-K+cq+0a^iC-{!u1-`m=LE$3~_qVBUn za|{lRxYyJr5>X|Dm>9Ver6d501Fwu>!Qij=$zV$(+hN7~`&Mx|_Y0KyZF!emF48r0 z?L6roC10SsIainoNwH9xDi#P9W{4kiV=iGw$TBdgZ+=(!tciMwPcfT$8J74$WW8N} z-U91al3azrx}P;Z!reKfj1WAp@u~VSY_rCP&9P|1SmFC2aL7N0cH|d8^pQc-F{L{~ z0(gD0DfXKI&N!p?+#v-BGKZf_CQM97O6L8P*S03Mj0j}DFu-AM`=%LPb1e9n(S?JR zzRQD^#3A#y#(UX`B2e-O-<0P$`UD<2p^O)F~` z5PL9?!dwp>RuNKyNlG|Z3JFC5yuQb?x~W5!r#ub3C^~{~Wmew(dRLrLJV6m-Tw?|9 zm86O(lii7s;QrmK?FP0uSSDD72k&EjK_(aN<%0&d>-!*ABZB}tWFMT!?V{M-?ZV#O zE!i0&6n3{0XGYx1Gv7&Y<24J jWsvw_aMjPV_#r7TKGjd)XIaLpi%Fm8iMxl)CnNcE?jF6d-t+PkS z$p4OSeZSvdzyIU^zsLEU_wzkp&-eTNdA*;nH>bA3Edj6~1i)FdT6zc&0fK-?D+hp- z6i`SV?qcU*4-~~hx&R;$D0B zBMs)0pW7|3e(=4dJaK8+Tu0uN{C;CN>BS+XfAiO={MFc-78@N!96oTAI(Tz+ z;IURZB&^ZA&ioZLi~?g8xrP}IDKNV9C^!~kJr-Ef&$%hE7wGE-K1lsi3$5O#8Ncf< zkiXOQd8vOfV{twua2-?2<1Z+*{H;FAujlc{!PhTig#>(;Cs_o?1HVTIDMV1}n5$Y^ zp&!=7=W3nPB$=ZdGqXl32eu>jK}J=Tbk_&=FvG-DP!91N zc6H_cnMgS&$17;CQD4Kkq+4F&2bMZS<&G9vT|7sX$R~#BYjt*9PI?FNJhQ9ymJ!j7 zA9tRMS*C8W^lINWeeg+=cRT|uruu!XNvFw}?kkV%P<4c#;2|S|ttQuI+07=sDbjd( zvtzz9WS=Cz`%tO0SS-fe#I!q8-Z^ojJHmN?Aq_sY_L$(#g#)65-Ar_>1f?Q53Iluw&MWvmIX}nnwW|${5-4jjBgfs$ z0xv|ruYJOq!_kI;6vln&bNd%LY{lbV2WqyXy^US7R%b8fuKW^>fz^Rjm44 z1=$E>CA$c2D0K@{ybiHvBT4Qfv%5&hL$Tx+TSX*hq9T*za-(7<-rOAK{rasDzr!%E zDqZRPafE911|}-9hFb5rG<^Lv9pUbPCKu%7&4=eRP_gTE zSLH~yW@qy$l0V6_>gS3x+4s&)?dtrv94C+nv24n+#Kr9n-RB zfEVgwY3};sJ(zP7IMAK%-21S8^M;&@gJQ+Un4Xi&hOhWVUycf`GGDTuSH-&<*nZVB zHAw22pz@39)Iv3X#YZF4-Z?SKyKw<;F8Ip``epG@8xc)Z7_Vu5jn^mNlWq)Gr)t0a zj%A2wLvfhP$D9Ge!Fxa6Lp9}$A@D?nm0LF=$ zVunb_KA-PP+L<$#3Dr~eplvGZT~4HZtIa)#2doi)(_!HwpJb#>ALM)G$^d>|)qFnj zioxLh3eKH|blKdJiYGl}-zXR2@iK|!?U0}P@gixZ8hn8UMR&p#pat0pgqYnyiENt! zQp32GRA_5GONh5}qkHvprpN8g9{X7aT2c<3X78k{DDT2X@Ig#|Ef5mUL&1$?QsCf= zM9V{cBfQv*^9s+nzg1tvhw;$8v6`b*v#mX zUY4l=2U6@N20RGrT0)OT?>-TXI$&KXLB$b`&|hFE*FG?2Iw!ltIy1N)p$i|!kl%=dGOFdzGdY`c-+QMGHmuQ zYdy(twF38dBx01Qe7vF<`(jldycrYX3$hSRbi9&m@?}w_H41)FxD$O&bX-G~Bw9c| znNYq;O!-r9=kjW*zvpE`z;-ElI3mRJQ99XeZfPCe;lBQQ3b*GNBLhjxo*yfoe zo~CCT1)#%)BPmz4AEpP1lE1S;&zrdsNC_u9vcMaFLKh-R`25YQ%Z++n@fzCjiNh|Y z3JnduPUUW}Wv5m`UX;Nz5l-QcUZmbh;|;qREyFULBA{riMn8Thq@aa>k@oSx50Fkt zlA9W}34l#x>+1ZIyn6O8A#q{hij6(f6cR0WkW%Dra$)b;fV_C;FiYriksbvrx24o{ zuEfkDbF8>utZM~}3ya_i;F7|>UGS;XRrK*t((}MN zT%eQ`4#0kdU?6M)C?qcn1OtVvVb~|u4P!ITovAIV{Mo_9NP}~S3MyOxD5g(hx7rOVIdGuSX@L<6etvv))e8UuNlH$KVcgLAm03w)Xu6 z%VTi`xEI12uB#-61OGBp7mh-Dx?96hKpbVd|FB97oBoeejQH!WXwa&zx^vPAV+QG!u&QCpm~bNf(L0MTL|g+3W9hi4+h7 zuuDs#kpz_tY`P!V=o~-ErZI+ukVFL&(?_|PCW_A%ShL69iVk9|$tM>>6$O>$FCNo@lHBp1JIUm<0S$cGSZ^;&|eGPaO|7t;`7zT-#xtYvAkvJ;QqET>;*)_+V@JA z#e#tG)_%~m`}r<2leM3ttz#nLmD%tg99^&IvEIo1wu@=oR<`kOicprGblZ`@P1E{L z-#nc(00zEwF&CnDty$wFP5ox1c)jVT!gciX;h#35HPD(}HFq0{0F#(v;mpr`al=2+ zfOP7gTN74#lvEz!%J-C^B96^d7GZIv=s8mnG{0LK7bUlzarE;XS1Y$pKB=*LdxOJd zt4=SGjxJ_{9{qUl?=5!jF}m1}q(~nz7c-_cWb&GhJ~B2!QK#8cZ`v2pH514G!|t4+YapiTU}K zZ%le0E?Nd28-;d#8X5tw`AZ5e({{g-Og=n}ljOM@%!vvX~|$k&jYjV$SKPWj9D48 z^j(L=*TEmP{5;*-+Y5~zt|In@g`7@yB(uv(@41v?Iy0409vKy52EONw9R3WSVrK8{ z!h5%WaS?keHC@)C_ZlTFr>81jh@&xfyj1J6l{({L_Fz**XY@nc3fQWayW;s%dQ%ij ze?hG%g>w&Fu%aA8FHudOE4zw#mL(eTe1N?=1DYsdvXfJqLr)yxHiJJ-xXY8H&QHr% zVL2+1N*9loQp%DXk6(TNAyfq+H~(T`AyO<~?e-yDw0e=nfEAo8NS7PPoQr3zmH+Lh z)2qa>iWcQ{8sSE{4z5PJoSNN|1$hRZE0-uK+nJt|=UN<%yuYkNQ1>zN(hVVIj@ed7 zjJBGZ8NUpswPc^eEk+{8@>*TwPcBfuPe8=rzp7{9AqHHJek>zO#}SW7D1 ziGA}4{gF1Gc&Ha;NQOlD$;#OA`CfZIhei*BslsK-l%nO^w{>oZJ6oYsIWO30^9$0l zJesFlNY*@eSEy68f*K(?n{mkUZbFi}XtvhYe$I`&Z+lI(hLJgGcsFI2417zyM_Xfr z`P{kV0Ok|^P?csv9j$PyW&!fS4ubCO0z^wR;b9@%GyhHnvWiZ+7;{#9%2Z;X939Ge-Lh85j77_A$(Vp@ihh|JkHy5g-er@d5eb;b;s&LlmPg)r2@21Be{Rk-r_;!c`Lo8XhTxB%l zm0r?*rRY(i=Sg&Ex6_xk+u+=C)x7%jTA!W03`Jl|^Yj%>0a7ljGKJ?t?#T} zWtChVQqma`pu9tDP_a7E4|y(J@t|I*%s^-PvwL7j!Be5{3=1Yshtb^ZliPXFc!uPD z370MnViY6Wur)P%bj)+TVBe_8MR zmy?Zq4&vFZtot?I4!k?*7ipaw+irRs-7^*}#)KkX{PMxxd8Lu^%DTw$blcOL+P3EW zHB(YzydL={-`+m<-EB|lY+5$Kqfp9wo$Xq(N2x(qX+G1u-kWYD3SerZxLS&Q ztz>ERlCDimw))nFC(&)50Ex>+WSe$qzWV(fc)}4|7+uz=FzKV4>wH2=8@{*Ab@vln z?dtcv>7^-VsL`>R`*o@T9&{%~8?0I<+Owx2IzPC&e3C za`G3~hwa{b(_%z6GzA5Do9ZW7r*^(Z+n8&cw{0}EIsz7Hf2vFypzrC6=ertCM-i4e zZFCyZIA~=j*8uXhl0SU1bMuS7i=mYEEgGD*A1BmQmK)Iq@!15!tx(J@X>)y zkwNRVrq40$uBjyZ6OLAm$NB44jK3-Mkt*9T?-R_{Bl%pBNWV%xGsZ%?HMTYyA7sZ? zFnQO|kk6@%H+lS{)gj|63?jRjS26kaz0aY}0JFNCcr)7Cofg~Y^*^pS`F-FOtKUeX zWiqJ%2T`mPQb-qje^o(W85;-q*l;5i#MOOvy)U z$Ssu>G!NyEe5Z@%yri#CF8)CAQW77({(eoXwTX{D>~*eoZ}vkangs(ZK{7Z1MMD6n zqP6AeW{zUGq+a(_AC}%K571ManI9xko!PwOUK9YL*Q4Ru?oA}qS?S<_y;t#u<&aT# zaCDLaW=nizU|)_ynDbqm?^gg6rF8Q^w$-ffIA9(P7BNuJhnPc}y9{mbfw#E7bd?SJ zvvW&D`bT^<+DEr;z%(VkpkeaV^Pp=X7b?1*{)|x|udptcyWctyY`(QdLQEk#2c#!n zFq@Yl{9#D`UM7pB{CsN;-thNUStgo3gzuw(!8|rZaW0{uHY6AUyyOd_+0~Db6Bbg{M4Podi_7~uN2+=5Jj#=%wLrlNj}+i#R$0wA>QgJgV2Ji1 zq(h5m(dFOqYM}}04Zdy{#8ix);dN3LINyrL6J~nJxLIT8;AA8B#1ZdgS?KsCzM*Fp z>`x7dlO=y?KoPL0_%B%|@uz?R<22X*FAi(b-{bHWM2`2hFTh^cZS09)=cjt=2jPtp9M2e?Xz_%1Db1vO8W8lL+dKv;srxL%sSBvUGihDf%)RA zcDWk)b*YGVSi9Br;^z;OrwliUz75+ec8c{U#ygte+xZ+-e)!sJr_d~;arz;b zOh-B~&4tYdqv^@Ehi~*YpBjKm-};5Y?=jqdAI9_S~i>M9l~D-FbZuw^PQ=3&(RRC)ad&>Xtnd(ySi zb?H#wIGm)6Br{F8;1i2=kw0pHlc2+rm)MUu1)E68D!}Jd>q3 z1+4%_S-T@#J&^9Fk`@PP!kn=RS=Urq#lVzL0qy`Z^wh)Z)!+HIV9p39Um*8c77&-m zbC&4@vqJ$ze;1THlhFcTkT3`+AOZma!BBDR0}O@!rJz+jU`_~YSrfvxY#0b zHE{6@UAP?r8xp}1CX0=Hz)z{dDRC`#8@M~d#SX}=VuLji;oOe{kRS-i zZSUdXdR+(`WWs`W?l4z-gf&VK>2Ak!wy?F`kv5*z*h``Rf3?4ZPvBn>Fx+A|+j#OY z?7BzVo$_*O&0q1SzbpB;!)*cBtpWjnet&>a2t)(|v<3c!K_TMUWsUm)U4CI;2@&ke z_TLx?1jf$szcH}HpBPkB_>a26Akjbi5Eh1FSKhzdgFrx7n*S3M#?H)tVB*j}`hbW_ z{Lvm1{AV9fC + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + + + 2 + + + 3 + + + 4 + + + 5 + + + 6 + + + G + + + G + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + G + + + * + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_unterteile.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_unterteile.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f173730a799351267152b5b459ede5ea5bbc8881 GIT binary patch literal 1449 zcmV;a1y=eWiwFP!000021MOQ)bE7yAz2{d@~G%|kg?5&zX;i7ORjP#lXgF~^z_tf;m==QSD~?$NgBk_qe&1p4H?a2KZq8O z=AYkwecCs$f+4|FX{POaG!d)t|I6+~sL8%=7Ey7TY z!Dwtg-5JKA17Bo9-7D{kEK7pfCX+@aR`SuDiTU?M5^o~kEUZeqc^t-xu@&K?dHveB|eZ@3mOSSt7;vcGnnQo_CAuwM?pRSL-+pz$DwPYbGsz)ZYV}(kca`Xz_Ia zmEIRkDsSw4H8r#qBwLAO5kz$y=$o+U2n%t`vY<1V$35&)m%R1K^>DL~g$q9xF8Nrv zAf2w`Buhk))gfnb97+)ts9Ca+x8tO95dy_dh1DU7=OD}CGwpvCVR}gb#qFQ7?b?~U zNCN-##67ZT@$wS**>d{YQ+E~KcRhLE25B%0WmD^eD0?^eyZ3Ql9i3dg_h0YGhQeFx z^5ApHB)fijSZo4cre|n&Y}4XtS(=T{^?KFr(vB%^RTk?UA{0BBlJ|i#Y~-CbQ9ee5Aorx1i-?NIK4pUuW+RUHNkv>{nO zp9wUp)_6ZdFPO4llX=5rC0!>gkZ{C%oT~&mHnkieprx)88#yj>IdB#`%%!(-GK!`$ z^3P7!N_2Gt8`)}Z+}MmwvXxUmNFm_4Y-b?(FOmCQXlHe$osAe9Ik$HFMa;7i<(}(| z7$WLA0mcz*Q9$LKSUnT39$%Bbdkk7UjdyYtt?4!ta9ikRl&^|J85LT=0$OBTs zwP*I#<7=`}t>IewTFLiKzGesPBPIJ-_k_=3utQ<}=6q~q!7}UEWMV-_Im81_L0+F+)Xi062e-I{Z29r~Z?kXzfO zX&oAz4!PZ{5vm~7Yt33gxQH<}QI#-PCCE0`GNfgwk$zf+1}HDG1o2F;&IRvm*yNgD4*ntwen*QJsEThlZ#_R`=9MiGUEWWT8M@yMDOsNt$N0k_L>f|Fls%5DEbg05UtwKXoA=do}O|3?5 zujgm^dqOlc099iW)t%`9sDUN|1ONb41F{#BLZqMJ;Q8tzKc7H*9!m~+&`q6}JnMAL3f=70KH zszE*QF}Upd?dJW*2h`6u^@lTgF|-fbm}Eu;GQ3zUl9xJpKhWJMDwtkm^rD@szvY41 zqH)YK%lJi=ybGH>rrX|E!Al=DJ$Sg>Pm|J0y4!LQHX)%I zR-QlWn}VLTw-fKz$Qb(cM(;$CusRiKM##hQ#hw*J4Q@XsZ4fw~^gc^2?7FO`k&mv_ zM8FDnqFGbSh1!9Q+9npo2I85-tgF*41uDwZf@d6LD~nD~@R*TxQ)SM{<)Y;{9JVpl zE~YK*Eu>`sHx3Pp7_GFlCh1(xWpZ!M&mD&WMVn-^Lh4v9aZ2uz_=z~ zns`^vMG!qnQ0>QUvh5wg-R`PE)TF`ZtQCCqc|3Q71sX(Z-z!DVL|YDX^>>EC#KfQG z7z24}klbsixNO~do9-jwTXgFR-eU7bS>HN2&JXt#;~gKo*UCzsg>XE7C^<1RNGvPu zCq38S^NOmfr{^d+t3GXj@p>+Kux_xvXO#C*Z$|$K1>dQ*cX3<=DC*x$@Mr+S9)s$dOJt>28zM)}4qXq-;!=u(s zJnoXiFZYs4;(F`ef4XZ=)8c5^CHNRZqPl*kBKRMh#BAoWzd`O|)ZpxXb_@A~;;W?A z_haHMnING74Gp#dyi|#BumPy*>Hr8p)rAP&L7IadYj;%x8kPCeXg3%f1_#jVX#x%c zKi?O_{8$W7wet5N0jlOichc&@=0rLPoCmS)r)olSB@_44`~W-91P4$EgbEgcfTPd= z5{Xe!S4UvbNWgy8R~Os?=*$4v`MQ>zcskA3=ciq*t+r}i56cqV1D!}^_^?-Y@n1LV zf_6O;i|j%o;P4@)lzFwhE}U_6Fb6<|l!L=#*%kL|MIa{F@il z7Lv1_w4FHPm_mBI2ObJaZ!T6)STMYuyxf^vY&b8reOqfjv8{+Fs58WIg;xH$rvx?L zkjiM9%fJ;~{A2rJvh>MU0@5;FpF`Bio6OsP&Tl{a_~}LeCv~aB+bAJae*-gW;TCG#b?0Bh zdcxu4F5PxHQy_-oRLavndrM%GPQ`yZpcf$Q?t!2G#UU`O^l4ZyfW2!r? zv7?F79xBsrCUZcgg*nN(f3<{LY)j*o#{NERo5Uq1J|NW;cHWSR%l?{U_Y6rd%zx>cQ;uV`j;omuwT&a$j-Y4ks^@IWAPhfcenAAFmGG_ zIGly<^}wd341||{q`s7Qk_}_^pY_Kf)uFNS^W|WzM)O>8E^0df71?n;eI=hzAW!kj%K@W z5Mm8QN@O;@t!>$Q>wOx&Q7e12{Nd1Ku(CL*p>x;tR?=xs&+SnbEn+fXBx|U$1?o>X zaM<(I>bpS>U28K|F;8<+i+t97ZD`Z(=^4wmp!<>Gy?1cqbZj2)ovbI_J7N#nE6-%k zCi-7GiVp}X<=5?WL%fX;?Y;NJreNn$b!^9>9fjlWfx4rd^j2Zo^DNd2kEx-%1Z*B> zP0^VxizgVFrW~d*)&e%R*ElR=S_z_Ys!F_ag7GlkJ+U?SR6R6bWkik25MVK9r{~bz5Vt7DcnyM&EJ&c%UXkz}l~j z5VT_od9W9GJYD;-rqf{>o%7Wc>Se0UbK2CoH=epaawW+AQ#?&-v9~O-fBdPh-eM;+ zA@+6Dt>(pY{MgNUlg1kN@p!}G6sCwntg7$+-aj6y+Gi7zl!h_`0#+K%_}}8aAu?RY z@82a?z9HJK%iD4;N3}*Go$z6?qw9=>U&zwac)N$*;$M2>>V{=6|Jf%npCw_x@=i8k z+%REh=tq|w#~bo1$|#;FX36+ZIcohk2MKqtRo{P+gaTuA=5`;tz##6yJGJi zenE<9^G4L*BcFM2xg~5Uiad$_pw*i(yxG0@*40o(Q#_LOD|97QOny!#Z6Bd(6#uP>!d@Y_79 z^-Lke3%`5cAWGcOHC4U2i%0$iHsBJfql1Y{27Esp3F(~|V?XgJVzod6N2U|Gk9*kvcP^*50o^>e$w`29u{nMc$uV{A#-`o zs4Z$L@S{aQ=GPJjvnL-9JaLdJu#GvYA^*Hq;??_iH-+)f72_wXyXK`4|80C5j!}w*pFty$9iG!C=c2AjYHNR(;NlWpw z`_^j6{Ikr+3s(&7v?Gq*iTk2eQ#$GYO*nT1P=hEd!eafWHTz1n7EE;>c*Wi4xqkvC z(#o>Td_itW5DR?N z$VcgNn;O=K1>Z_gA80Ne;DtJ;2Nqkz<-~10cG(*#YN=HysNB;&?+NKlkDBcF)1ts_ z5uVq`wbvCj(#^`qe56XV&OF7it`0kg!A$fgv6`c>mman`lACS`oPRrxdl|&6c=#ct z$jIPpYw4r-D`R3qJOOy&vH=yN=Gg^WRv)}9TusK~@>D*>Tf(B@A;rkNG;Cgv)7Pvf z_1k?vxw3(Tl$_@%{gC2s0-sHWS#t0cOL7&58JXNgfTI6M6GV`+o7&B&;vtNd~q_l`%e3?j-y zWqKPFuI*Nmw;MU=!ssrQERdbg=_2zyxuc~Rk+B@btu^+BTPwfnO<-g_WWe7?kxS&u zqc_hU-sY;M2{o;}iF|J_;@W^(=5Vmo!gYx8AR zrC4OSa!_)3IqqGdl$2tSXjHk)V0id)Y{km%uOUL>JE#}qtvwz|WDgv?kS+B3U`-ih zPT}+6K{Lq5kc>U4N@j`~#?_~H?zHuz+|qqIT9N)IHrGdQa7$#D&{pNo7K7+WErp!~ zY|eb{ChiOVBOH;XU${w`6<>pI(7)+SJLb#4a3dMfayT6RNde&8f8Pv##-cW;Db|yHU5ZQ;|@*;H8DWQA`o#HDdpO@8jLK2QwE1fFw++dR* zeL*?%(DwMzhC{QJ$TJ;Cz6*QiQ!0|Hx0dJ;3pd3I3M=h4pMS9Lh_$Sgbxv*tbYFvN z%*FSbDcNvaqA9OiAG|&$O33Y$xmZQqwwqDrSK%guT@bz-!#a_QXEx$UYLey(1r@Gx zb%Jt=%Yt%BuL|H-RcoT)O{WNvg^(qMbAomxqs`SeuQC&N%{4s}jV$Y4u;)~WdG0~1 zZS_Xfoles2t4)GHuN}*-nBU8bJ36>^Q>7rp|AsknVw>((?{H~F7Ov_qr@d6$%Msp%QLg2x^`_1X?<0XJp3&SXfoBJo%8YNf|xFZ9n$2*>C52={bqKj5^dCwBHg zi-IOzDVnktuUPJ+PEI7LZ_&o{AvIf(DB(*UO!HcE52;vYO{ygKLq4)}7Ba$0iZJbS z><@d$3+emH+WZ1W5bt2a5kpy}UGq01c2y~3g?bgL3bixB!VC96oUEi@Mu~Ek!E}0s zymosZ)V?3qc|u=0ruv#-gK0`oi@(LVz&5_I{qMXfhOiwK8x*7W4BC|%xPH;n_)yMz zQ@&5}+aG;K-`ai`ChV8x@4^JBj>W8t1>Eni)d;o{_}|pGePTVe3gFdW3W~hgULF0| z&Bh|Dm3dZQ%Cnaba3W-JZIh1u9DMrpO#Q$O&(CeyeaLgrZWx^p+cyQ^6yG)6=_2((|hGH&5cm2D$>_vCPYMa7Z*|9)jR20 zxJ~wi=#h`Ap^do~^|b9drN*85t>+{x^sS_<+;frW)Jfxu#wIr@H+dR0O6S^_tTppq zpd&_N7L8aeXw8tz=*ylbN^4!Utf?cmkkcbETST;Q#`I1#bup=DUzHViLW`E;>|qFA@M>_0wUvuw@|*iCt~7 zx5sY7kSO%3L6_)bNFuv?fXWe^X4PcLBzfBa*foE4!*IR9-UO(}NJxM!*?yLAh<{}8 zx-w-CUYpO?nYpS}b&d4cMmAW;)t>!C28nI?zt904Ed3ea4veU7G`0s@MiWTxWKfuc zfa!n&oU{rR8zD2gD~V2~x&sPEu3(5{rvHyFOJ5%!FOoMq@YSe(65juu7YM+Ql>iaolf-eAiFSBXmoeQH8Pvi zX|BF5V7>2ucl)RAfmpA-unDl1Y`R2{>ooUOTvns`Ui$dQ$&XHQgMjIQhQNPZ00xZ) zDwmSWVbQ;j!(u@AejSH^tAi=@s||%i z{}&sW;Qtz@hJyb#P7Q_neH@#<|MEq{)j@Lnx-J^|^L$J?5zKJ_FxmD literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_unterteile.svg b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_unterteile.svg new file mode 100644 index 0000000..e6c1f0a --- /dev/null +++ b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_unterteile.svg @@ -0,0 +1,45 @@ + + + + + + + + + + + + + A + + + A + + + A + + + A + + + A + + + A + + + 1 + + + 2 + + + 3 + + + 4 + + + 5 + + diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_zahlenstrahl.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_zahlenstrahl.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..24ed2fb6d9b5eae9ab319e0e3b67fda1ec6e586e GIT binary patch literal 1641 zcmV-v2A26BiwFP!000021MQt#Z=*OA$KU%YQ2IJUu({bY(~jn0SNpKiKJ4ss0hoxJR4UvtTgTp%$A4V5FcQmAtdHvj(*@G&6r%DZa!?f zXxMb=u<1lLTP10pGLavroF_@dSzKk!(-(ewo@~J)DX~l4Qs~8#$n&IS|DRZtb?HF0 zdF!@oog1bixNO{m7H6Woi6DQT{RA4WD*75I`m4yqJmRPJUc`BC;n)3yZyueJ-n)-0 zs-cQ@_Vf@C?sE6~(?j?o0-m+V?6A$5NY8b%Y1^nb+jSk7YE$E6U8acGnx}R6Kjfj~ zX_yx0X`?>EHF6BL$i?gC-QJ)i^MCmwuY3D<&f2WUheBKP5%DrcC81X8+V^a46H9e1_&&V-7gosRN z+O|b+%eqM7c*f(P>_YdB9sgbK&Fy`UUzUqiGx;f_UK3QFO8Bg#*zurl2xghcI(*%j zOb+3UrD^ik%*AEjl)ABvJd1c7Uha&mnxb{M+A>rdE7#p_L!@d$Uz)@P^r2Vz&~ZQe zrd8ToRfQo7SYmW5F?m=A(pa-oCtGNh zbyk_DtTF_wGI=n!GDCyO47JJ(X_!O|^IZ~H9 zc=XD1v0(eAxqc6xxd@+6?!&%_NkhbrTGB)5b&=mKSq=+l7gkqTmRcefi7;OB(}!|5 z!{0T_$+FmWZg?$s>3p%l9t1*2xn4$~DMWS@A|s;^(iDQG5YZHR2NY5+7kbbX^7gNV zkUb^}ebg8N$B?Hn^bRo8Lrq!60EAEhodQ9g>68e8l_x3iYrm1(ZQ_Lm;ZJf;53HNe_@e%+>q>;*Z0_|@{!}K(xKx_kiHWeIfFd)wcnrwA~k=A ziN?eqr1=A05Yu;Hqop-9ed7bv5ns+0Ng5x2*-n4`DU&EapnWO$5fS=|K2Oqs zr`?y*B8OTCdAFW}>U2#CwB7?GPW!IK zcesaju<*7cwd?2rrX$*OznbR`@3=uc*C9oJo15?r`BRi03+_=+ARhy($auIl5U0VGUq9s!gX&2WmRo>S4ldfb~as nV>^3@^+#CyPW!Hl@2dCZzju7RJNW;Pk9YqAKuYrIBYFS;Wui5v literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_zahlenstrahl.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_zahlenstrahl.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..59fb5066a539d28d1073e7ef43c8b6e265e7d8d4 GIT binary patch literal 6079 zcma)A2|Sct`}WGKnpD)-$}%Y-j2UCbkmU_yCyXV#F@^@S7$ZwUO7;kevXpF*?5U_^ zmn{mBrQ*%Llr>AfXGm|oegEJ8dww&|%(>3F&vWkk-1nKeE@1;TbxAlB2@)=ydaw#Y zKwuDxy)#Hb0V1VKAUn~|LSz8Q2n2yZq|}M7bOH_dbj8sLY6LvRfdEoc0=d&^1RM$E zm6Tzo=W-a%{&Xh)mEf!zV&%$5)!SfZ#qv=BK1tOJ2D9>(kUqax!m1s;8 zVc|V|sUj?b?RKnDpLz_0b}7NXk)GXpH%5YDSc+N=0*vd)^Gv*2V_%qrZtvxu2x6{P zAA-E=iuh}1d>^K$n7!DnsFE~n#dJ^9{5?wA^f8o$AU>eEv|HunC8*a?#oEMd`ipm? z4nu26uQ(~`N8*(pE8%wPoC{q3~U!x^ta zcrziu=|dIU6^oCa&}WO1mcWk{V7b=?TJlQ+CZ0SWxGPwks=@KhF8*SV$~i+dorLV2 zXZD9Y1lO`e{OKF2?Ib#NV%q+4i#D?S&2HWl%GqLF+xda!Gr42rGj7#3^t&%Z+!EUF zgxpJoiYx@;FL<^0rr|K8-mYToTeeQni~AX|ox7n*N$+3O?k2}IW|7*IBs?m*Syjw# z@rG-|bdKDo9603}$j9N#VtzTMzO~Zm^`3C~7Y51feYLwR??-=e4q|JQEiuoO@}W51 z@3f*Q1nR4dtnq^9*}|qyl;)-{eGz~k^Y?)Txxq-OalO^9dvfg>Qsf8ur?1R4wI)QL z!Jlj1X`&pXzw_v49Y}dkqARkSU#qtIWp^Jg3%Wv@D>zUYPIF_Dm^GKRXRa!2=PgPf zz3rtZ=0`D>Rk8LAh2cqc zDmSgrZ;CqLxtj@D=M@haAPL{sVzRYJW zE+&Y$;=BIGL4Chhu&z?u+tVI;(teiwhwD29CD2_U!*TKOF*c8xU7uR2UG=1)$}tha zH;%VgOWj_ z55{|M z!>RzTMmR^r6O1%e7~pp=jR@`(4;r4}4q-&h=qIOSf%d-+N%W6}{I^4r5!0>H6b?bi z$w~imYId5Q_cAt#$#?f(niubHoYEILk{(On)gpdbBbezF{pK!lc0tHBtv7bj$JN#2 z|AJLC&mO8$g+V$_us-BeJDz=uz!Or17X5rNx}R5T?c6!KH49%-Bg8qb=XjECKkGAZ z-@)nUt5b?geeOB>$?^-iIhIQ?5TTuULec)MYdy#~&##<9P59$4W zG5$6D#;0}NeEgG^bU{m)6UtC9zSP#i=ha$|j?27!lM1TAuGhBsEV)IpD_?JiM!`4d zj%;nr{E5dm@=A>cqp{Dm<8!Nyn>owxrA&+-(o)wj)94Oy@Vt65dZ_hY$Gt2rUPW%> znw!g66fSet;;Rc!N9NVN6Ay?+(o`GcvxC!GNhvKCCZDBCEE`F$@F-gMXFizgx30_J zNK5^MQuy;!)Vo)#tc@fCvhv(L#hwxu?!oeN)|}@&{vJ2+z`Xrirt^WmJB9ntKK0PR z>>QK5&QEhVEo-C;tz2sO#ukgL zdxGoYJxdn~PF0r&_8+f^;U)aNUUTQzu`!F<1imr}Ht-{NBU)TSP71fXG8lV)5j9a7 zYbjDMf2&bJNa`_@bLyHe?+=uUPz>% z|FgSIScgLt#Aj}?qRHYtC7r!YGE!< zInhy?n5KK{ldqbwiw-7vk%ena=e`bUqL!6(eNJx5TW!7slv5DSw@(d9i_Yc8-Y5yM za62Wwa<;lO7)5_s<1*%@7%yU))9I#+K|`@}vc4q<8Q4<_>&i0E@kCg7BzJ$?qqG5% zJf=r$pB~zm$SRSjep*XMo2aGZJhnqva-d@;+Hq7->0#2`=ViCDtWov8C*|KjPfq5A z9OVHGWVOX1@|qU@E`s7OJTVbbw4TXz(j2tUDOMOLL*WZ4dy(n+W97&3krd^rHYy^G zY3F^aOypxd@YO@n@7nAoEA+rD3*h`(=OcxN=gUX*^&bZIcs}izeU+Hebn+z>G?Tuw z!^G3weeOUZsc+3GOCl6J=;z}w`|;%dXI8QIzOmO2)XZQc@q%i|JGi)*$+HDcvdgh| z#U5l|D6i#SptSWn_9PWKQFEjc-|H>yojt7NRXi2{B6E+C4kfLuz8$eP4XtZjjs$Xa zq&z|j%KN!aiT8-gBDHIBvgaH1sy?TXPP*4ZlHU$iE=PD=dxZFDuubaP-oMuD-U%#- zd$@J2&S@(rY;>(sD%Ms$@Ru(s$PVRUN=2HUv$tlkH;~`0jLBZC488V3bLjNBNlPPa zdD=#Rs^3QbekHfc<{4PM7e(Q@b%}hOm=)DcsT_U&;C(~lr+lh>gHz#HtJ+X(Ogszg zr?4IFH!J1q$~^w;cQkJEjFzpy?G?3 zxt7o~ZY^Mwk8Xv06PG7^e9|hdqhlsoJx0J)X)<>}CQc)bF2xSFNBDZrgBEkMvlTd^ z+R0Z96G(08=69@~=6CknIV?t6JT=7M)d}x#?sl9QxG$4Rt*pnqi6P8~Jii)&V}4|4 z##a1*8XfUa$MGJ*g@31JsdZG8Ik+#gTdY>c{~!-SAXRAHf_}E=Rl;b#{2Q}ked9s@ zHI4iW%O6}`+e%zdZW$j-KjtyEWScv)_6>VfgOBVi-{&9jHPJ5hsFIIXO}$}yY^sL7 zZ>)Py*Sn_E<5S4dE0==?F>^)rpKq;t#59-2=z)#IlRqw^kl5I_^~Rh!k`DUDCp9NV z-99C;XDwfEa2ilD^}Qn8{aQ?B&JBAn;IZ2CYll3-jpS?O!!DbF-KK=r$?MU6`2#r{ z`jjlVPu{=-v+>e2CaK0mn&6U9MXvYgF#xvBa`b2dk{n^A_Po zBw-Fv$%%&>7rHuIS3Qj+Po`nfnndqr{KVJ$!9#7j!%eMT<+|cuhmCq&h^1b6kA1_& z3NL)TJX++MC7S%=(wUIKFb|&x&umk5BfAv?w4ELLPqrw=pD2tdyhRGSXKk5g7UsBO zlwYFM{A3Wx@i{TLA+EM3*RI>49j>zh|u+TbS`i+Yl{u~yP*mZ|d!}PaBcXHlf)lHslM=2`6q) z-KNgP83~xgBEHGaRuCgo(lWkempSLEJT>FAw^{RK@&|p?W*HRucru6_MA@-?oWoXw zDi@HC(u=kgvkH43#X+x~4d(I7pZyzcB~dp6ezxml)mPpxDl8-BvukWgtGl z>GJie=VEKQD(6|UP7@kmgR+WdaqJ?T1C}H4Ghb)PCwjs9q7`>%A6B^q*`BD#nB5bE z2WfB)(1#+g1o*1nS!giq$)OHYgA{0B4b!n;e}U*=ah0cNz7BtZ$|FIk7^=YsTd)QA zoB4+Yn2kE+r!v4h*lip&6)4M-rs8#T& z$6?Yq)?%xst@R&U;%*$&lS*&OgxS0$HgIZhUMkX*JUvm6*5O2S-;2hP}J3rme6;9b{OVrpK$BA z-Ov@5$L-;Jcb{pCSis2?WF2BYGg5aN-1We%sTAbWcP6hu8<(Myy;Q%j@TDHKu;3*W z!I>dO!!R{*#*0bl)f^BR=kv0{xv`bPCBkqxHY8{d_?zK}LcTRkTuS+w)>{`fICCaG z?>cA#a_6i9xq}5v6BPGdhd0yGR6hI>w95IiiLXfEiu6vugqu)*o*Lbt)#c&UFvFXH zyj9VNmG?GMnWy#QUvp*(zZVE9pOGH!2YK>7!rr-TrVY;2hY!DT&~2nQim@Iqrv_Ik ztHHzqLqTOOU%xE!ghkn_>{bCO8$6majjCt~x2zXwv{dBr57)W6f8qECF77%puvi5D z&~-eX2hkgiui&vxfM^^R)ve5y06${qON3kk9X$xM_X_0uP&LcK)>PJnWBoG4b4YC< zI-q$EzQHbv??9#9e%8Hg4W|ymU;%$zWRZjHzQ{6f)?hMv<1$}e;?PCqh)JFz9u-rb zMCkI{OG-fzJS$vBlSAo2O1SjGtPZe|H`ZC+2wVYb1PO4>iaz4aE$2~JjH%KzrpjS6 zbY3)ev>G21MYFx-bd_+#7Wm+HtBzoj5s*KdgFcSCXi5rJF^Pqka@dq%hS&Wcjc)V? zY%IK7LqN5a3x20fjQ{fAX_K^^404;w$o>AWAI{(@|C=^qeXWgL4PmRBQ3#6azazBq zWPu%X^NG&BsZ7FoCT9Jx5+@Oe!0sh2Xvyip--Rz(C-~;=yQ7(e)#^BrlpH-8#CxsN zJc4!nhAaAo~AhvXhgCTL{!TGaFIy&{?Uc?pi*54B!=UgUj3vH z{Ig#`0Djbo8N?C>5PTF220PwO(cZ?bt$*U&40+-AocJ{g4EMKU`~SI* zAp_zi!y~C}k0doW=i1su2OO{)K=j;!m2Sr0XiIl6rkIe44A~RHI1GN-rQepv&^fj; zQHSWjn1~^T82u11Jb;M7fASChv+}A62&zDyLqzd7B8>upL*Xze3?h1#PN&LC0fGzw zI?-^{vqZc*ltOb7+e&H!8pXi_4+ymXyV*ZN4SZWHVkE*=(W&BqoToT##%0r+?^?}2 zMqV_6BM2xHBnbB7f}oH{1QOy1`HmrFWPp@rToCd$28S_9|5pqKg9Cf~FH8;%9LB$5 zNa^1(I2;aa$gktz2n0|$zhW{7Ss)YtjmZJ7{|l4-FSfGC-`0nON&k)^85#5Id`Ohc zPyW(rIH1yLn;JWo=tE${k5Ohu6bg_NjD6VpNnw;GWHT=|GtHfjqtQ1b4oG4Mkgzc3 Hv^wZNya^Wx literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_zahlenstrahl.svg b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_zahlenstrahl.svg new file mode 100644 index 0000000..95e8fea --- /dev/null +++ b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/3-3_zahlenstrahl.svg @@ -0,0 +1,90 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 + + + 1 + + + -1 + + + A + + + A + + + A + + + 0 + + + 1 + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + 3 + + + 4 + + + 5 + + + -2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-0_ver1.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-0_ver1.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..740ec94cc4a2094bd42e9ce0ab90e720aaaf9e43 GIT binary patch literal 1163 zcmV;61a$i!iwFP!000021MON%kK#BGzW1+)(pTEVNu0+pFq)BOwYNR&>=`+UJ9x)9 z$T84d_P4L|=!PVOR|qpmL;`h8QJ<^w`E!+<&tKl=Oj{9=(u9w72n<~#JWL|WN{`%4n!h zo-}ROL4+mF#>!DFrJ%u55{=_I8S4QKf5swN@<=bNO1m&&iO^PrE*~F zYu`j$LF62ZnDQo$$_*nH-t_D`x2_0Tja@tL@yC8w(m8Ubq#D7B6cW z$=UR+r*swGH$8b@(Ub;^?3+F1@@nok*KuEeI=Ompzuu7zg}2u2A@T?!==|*=Uebu9 zM`%{HY4J2G&4$OaUbj0nF~v}Av(6zH-Vjl`|5H6WB4Uy4(^~n2OUco2DCz3`ZYL>8 z@Gl8v8SUQ^^9YMbd(pl#Mi*+SZwnDshR|rN|7BD&R*z9RRASgj*&_Mil{xSLMD-*z zC8W)J5Y(Lu6$0ilBPDTxk1~vr2h0IPz_|>IFfyNpiQvr&;Y!iu2)T|lBYM{mM|n4P zFS`TQjL>){+reC58`l5}5)lz`EHneaDw+Y0z!if9XFHJ?b|tY7Y&3uduzKXN!pI;@ zG=etp2hak3pG@u;(kWy{!18x5&*_oO7C_aNr1!(>=8+3d<>1PoU_cL=;b zHTeU@v>a=M0J0!dls183`4_TUW(he`h}3M_>gv36tJu|>yp|sCKw;EYWhY$jL(0ar zS3IX|qb7uTs%xp-WE;5Bta5)RY(*pu@ou4U{tO!HW-psPqje{^1hmS*lX-XvRJB|@ zaHe1w-GEdx7V|mT|2zp_&dXe$h_bgBJa0*?@+s99#dazuN_&`au9mOTnY6LK-apZ1 zN|{P}$|SD~we6>4-D_64HK*6nKdY<$DGh=sS0cC9qO^d4z;>WDQg@Ewxf!hK*mod+ z-yQ{Ix>Vh7h?Ijol*(dXBk$2n85a&ybNowd9Pv5gTb4qxWhjM0sdzXWk z3Ff6~2$y0-rV&k5*db{@Kz)J0^ex}8T+4EN+c%914~H4$ z02n}Wbc3j=0nnp(F9OvSPzE702mk<3J)#E{PX?bJI4T~4cOp6CAsQMG3YCnb$Cs+aIc9ro9k35&3Xf(sn_?P>NCfipsE`XiU0r_R_LRN8cepBh;XU4(!8rW++bxGjUk49iVH&!@WK{H3jl z8f>5HvgnvthM;Qq^rw~+;Sy-~L;RDL7v07$y>;o}lOuciE^_3~TU6U*d{z7Ck<>%9 zP|beNr#IP?P)@O;>~rI*Ne;}?6a^~N`g!q(tyaav`6o|)tq9Msy4R;}SwTyW?X22t zNlcP;buHdm8SkL;q|ykDH*k!(@837&(^M6d0IRVLmWrdiG!g2pGJy&A|Ly+Cc2n~8 z#ha>7S&`S{6FiwEp(w{e{}KVMeC0>{Z~E-S21kSnr?XLFQQV6os!dX<+*h?OI+blM z$ZC;3qR>)pJNoJk@9un?&qsM@1JOqe0z8#>T@Mu=`7ZLQs!>z4?x3m+z}TW#L1uSs z%#z0*uJFh#{*#?uv1oqlU3&A{6@UJn34d)IJ9v43f*4z2cPEGsak9U4gOTk7c zzOC7@y2-S7Bp!nIa{h73;D0QAutdRng0fInL9qH+EybVeS<{Pd09D_d3Tg#VQ)2<( z1;xR@1_0I30^k7D2?yRm1%Vywcc>o8i~7rG7kQXG3_xrs5F7-4e!L9%^JM_kg653} zpr$wie(lAkI5Hkw2fi^6dJOMO#A%ZP09z1(0ZK@e0s^LlR#E{J6_E-mDsUu15x}m^ z)d6<^PNo2?R9M%&KAGg}{mZV_-?oNsgk=uyfsFH_c(dN@MB9LMKpcbjBRb*D^tD;w zk1);f6p}C52~Po7l$re!l?vGYR|2AbZsdPUKo+U%nFlL-&hriL{aB}_L5+1Fm zQmo%jwHzfwx^EStZ#}0!+suVVY?jl@e!hb<>m?^cy4Vy0n-=JEz2*|rbyJ7e`IN+-DT1&;huTZp4@>PzMz|b;V6h0;lx~ja)3F|dQ zcuL+qenWXndtmOYD+3d68O^+TGOK{s{a*7OBYSr{f*YUhz2!_oY4zoI#BmER0j(%# z$u3M;Z<+#8>_m{3>^FzD&K280{O3saqUPo+JKV(UIRaA+X5I`O8_V1@xVLqo(~ChX zchBhaTsk*QL=ZF7&KR~1S-krcp%U}r7Q4uW;1Mmoo_NcXH(Kr%k#0Wq$$`z>R%hJh z>2L@j*Ji?BuA(`&)#pfiUFecD8wm6>RTFoq{#M5Y&Etl9z351O5PRYowCRIr|4Qil zhic6Dh3}m+dsF*{Zl1{5BWqcZuMw~uUhsABTnFLo_kBZYuSQJf?W(W&%V0#Jgs%=K zxEN@}t{#+h2JoVY*wcRi-tkgV^H1 zL@e*y5?*^LUj+RGy@IZB&wUYFC~fgY<{SUHP>0f@SN0;exqH99UztC*>=1~qkHs7K zWKV=h4$Ebs?s7%z`t{y8Zx}OofwQ4xd(-(n2Q-s%tCv1Sh089Km6r~77mpiEcH+}S zUYYw;QQsvlo_<+0Zq=hG2 zGd3zy5*6fDUty+UL<8Mk?JLD9s|}p^+H`Nh&r^G{k&!%5x~clGI5X`fhzFcj_oGGXwruiFIUQ936><;j1xG@l$uFtZs*un8pj zJkBI$=grC(ZwWr@U$vwLbBvlDTs~0Q^5ypT+jcQsZ{hDVgP2`` zmzafFh)eoVgSeHA~t6IBg*HRx;u=T-R4-@B{?Ths$g2$!^{@Ej^|Vg6CeVcyCT|IGPkYzuZq z?Atxr%HfIC5 z#5;urJ+c_C;6f`QQHTDSLyC^6&G)t?9q0G;ws-gTHdeX9<}q%-n-~AwGb!7|A-K#T z|4sfC%bS1iAGMaRHrAIGgu6K&5ntMy)lzhFj(O~R`8~UlQmG-Z-80eY-Ms zJ@4p&eo6bYLJ!-@-pi~$+%InB8fRz1ZLL4^K`_TMs|)=uD@LuU@Nv7N&aUYdJN;AB z{Yw?t>tFWoEq1|3hiBkpl|PRctBhbxy3AWDGciPcISvmzsqAyX}i#ot8ixHrx4VcqS+zxl|% z=W~7?`<^d?^s|;<;_9IM_nqFpXSOQPjYZGwYWfP9L7>KiPE{p_DnVwXstRVW)e-5b zGF3UVymW55IYctqbyzrh3gRhg+=`_0Hn)vmF-ILQ5?%E%*blwB{Y?O7)rX^*?+jo4 zak>hh4gZ2xz2lfk0M4dz&wM@(_!v!F^mSP%_$Spx1XjPxiS&@sH^-cnxhTnBrU^ggWfkD4 zR_2q?@8bADAaCG(lYs2r_%5MF7dm z8f~n|enxtkvTpCC+1qu2bl=vKi5C$9YUy`WBN9-Sjm3%)ZghUguz3LL@{Ekym|XNu z`38T!Yds@chjRI@$zb@eNvYj5MepGEIenOO9I_}gka4G?{eWQeahKY1Gxg85I61S5 zMD=0p#cn=1KJH4G2-iS``;Zjvy7m?R)tlavBHXm>IuY)6E2)V%M>>rnLLQQ8e{!$2 zlDoZl#E;(ZctfOKj&56OM{^g}&4%3-+C{hJa~b#;tu#EmDL_+w7Dl#8i#$<#x53tAE#;%LaDcN|X_T1WT; zFT(cK3;F99L@-7#6)VtmIGnH*8j=!4saKMCnl9#(!$ibn3(Z?BTS~-RXlz&x%*fUH zX6Y~KE%$2MI0E?PueV_{^S5@xlpeHywp|^t0`K;iOyKOr6{?ekKd8PIy<+FoH^R&uyu5S!rZ2Xg zLSe}xOy7N`}ERQ+^ldeZr;`RVEXX<~MhQ0Z)+ zc{5z3pI+~YoUK%IncB|xXHO?$-(=R{0pH~3CwvRGr5(yRl);r&=53{Y{rr9WFD-`TZx~$G;Pv%<9jR-USH}>;0$F4!uJvf+D0mj~f3X8jFsD(#9THinD zt`}IXVnqVoh(z9CZLRgwbH;(E0J25_ceuv8*?KX+f^@=*$f|Pztjz!IbpF^LtNO66 zz#~Lw)``)?Mif_D3Hhm>2)!il1a|KPGCjuzn}I``2@aE!eI$uJ=t_{pw>x*HD1=D`B6dn zXHoze?*akS0|9~kyZ|Hup@aZjfFGDL8ce0NUchSugCS5LfvoEn3eb2A(IIl!lk|o>AlAY~LJALazx6h2Q6-QlT zGqNDdOMiRik0gL?zKqgkYG#tbM%-h`=N_GVfzMxlED~$YWiGOGYD3`I7Ei-05@|fO z|N8dZgKvL%y!#vp_DTQ6k}WL#jx;ZhruMT^%TMF+%gYN$HaSz71c_LIoR9xuNy5f@ z(Aa*wv#jj^5mT%OwEtrf&+QiXolT-_VfR7N;i$MZEa6H$8uWNEX-27wVl8=Rx9}6e) z*)o$#GNGD~^DIj^ODj|*SNw9EJY@P*CH45gtuM2NY&NCZ>|%5|L&CP{r>izY^b7jZV!>q z2`A@o5AjMwJU>FS-7y`Jp6g-bW2?SD?$m{;PVH^hB}BqDT-M=#*SC(#SQh)VRo~%S zax4}qv3@<;T9j=5HxE@k+dmacBPJv3!TL2x#8RjFyAjbgL_|~j4`+A9_UEVrYB6jq z*)n_M6&m>flKn+!N=R4q`FuaP)Kg$-obZ~sARq0Nh1$;1Rg$WX0KDB!+!S z8~~S$paZZ$9&3yO0+9)HK`??C1SXl>b4sU>nE)JYKYVJC%ovc}%<*oT%-{GAwZ&vu zGa2<|G69aK?>hv(Nlku3L73tR0R%&+DUE=Gg9}-$iUm1hME1sX`RcNA+ZnfCgknpN-bJXv!kLbh!*&cA|2-n6pWcRF{1 zOF(xycrp(!f!ei;2YL#Q(+@}&V{y9R?e~+Xt3|z*C!(~P!ShmLU0%|DQoLWviP9cs zX{ys#>rCFruh&R$zdbZJhs{i7wI z=OFU)OCN)S_LvP+lt;0w1o<7re* z<;)4Trh{J$y0l3cuH>4}B9ZH9hrGLu`Tzk6aNuAMV;Z;taxQEUCnDw7@7Z?sqtj@{ zq|9D=7apCFX9-W^!;>L>A&xE=`4A7`T_I&h(7p6?zY{aIgm4@(p@0@oJ#rJp3>vJ1 z`A+se{RZQ3d&a@NC_@wwKOm?sT}V;NAn1_dTMy8q$gp#0nPF#J69a76 zI>5mw{LhR+&^JX3QWgY822-@cz&cSWp11%~p9TdczKK=?!-HQi?H5{DI2eW-?0v%C zUyUqeqHIf=?0uFP5O`(lQ|l1M<>%1kHd>!U{bIiL*<|6MN4HnNK-k|N1*ZEb82B#q zP(e3OKbdImQR3qfqyV|dH(bCpC)k<|wCsGEtzLAxp#Zu*!4y;N5s5dHGdEk#RLA9S VGam1De!TH`_b>GDb;{s5007Qip*jEn literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-0_ver2.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-0_ver2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6a67f3ab5efc2a3651da2e5040c4d06fbaefafef GIT binary patch literal 6034 zcma)A2{@GB+qR@dBx|-ZsS%2qF^jQ8*0C>R-_i_Y?1LG*>Q}bLR%FXgA(1Vz7BZBO z$d>G)712Tw-#b+Q`t^O+_n&LLuXCSs-uFEBd7d-ZeS?kEHKkzENLFz5eCZl190UcC z@UEI4UpBY{;(iIq(8A>ce%12Qtr zdR=W`Y-gM7r$jDEb|kyE4y)nVb_TyruBnKO?@R7eqy!HyEZ4UBYsL5*N7>v1}eiu$n zL7W70yBTz{o$MY9`dBs8Sg_bh^M5m?2OD}b7dFCKdVVtg9+#|RN%$>(RbdOgj=I8( zCHMG$I9&}!0v+Y_8S?V6+{&4!SXicpc4LCaD-=p8B5@CQS6^9PigKBcljsUZw!XQS z)+w>kdaa%*jal@cxu6CHIB!vPZ1q*7rNp?gcRP!%S@6h0N^t`_$qVYSnC#zmVzK6O z^zI5?64E2Jl3G_VKR-M)JTZ9+hk*&@cg?&U?O9DiYW56(CLibY4szekS}nJep2FTU z{;0UTlYK2rX6NBt4ks=1j1y`HM{oL-)aW=(VpD^Jrup0)PpLFt+41gL2McDPs9q#) zFzp5+LE7u#bh#S zBoga#_VySFCawxGq+}HFy&O|`DSU_aR?Fr>!Yc;;hq}Wo&Kk!aIXh{nws{~p(hl_| z=9-94gbN2TS6z`378G%`O>$jRu1)XRV^(Cnr&ee(Vt-qbswbnYB12KYF&^K4){-Xj zy=J-)Ko z{P9xU%^XM;dAx;%7W6sPQKtMN78IPbtBs;7r;2xq(|q4L+Z{thuvhVXvTo#gaEQ#v zq6tx+GG_~O29u|;yCxv_F3zXVa$GeII?hV)bo`O|z<>0bp%)7M4wQ;45=QT*w`6`* z)K(2?1W+(06rg@Uii&gq_&{(_paFuYseoW0hyxC|0#yZcY+oUoBu~n3qn)InQcw`` zXH^1&fbWl&p?R34EJy~4l!n33z!zkg@s}UWDuP)>~B%Y0_}etO6Xq;`QHvDI;q>I z7Yu}eB2j;wQUm6}mZn41_OI5TWF27cieW~}bTP|t<%#dh!^a3vQIguy#`wb$?6i1G zq2p0YoT}<3>alwS2_duq>S9hecu-ROa~e(YgbzvR@Pz)0QCsfVxn%2vr$_z6^oLaD zXUB)Lp*N6#g5*3H3BV(slM@8+on_m!u zr}=*B*BjWn80T5Mh>hC~+~H!sOtvB3tCsn$h;Q!175++JKYu?Wd&Sy3W7C*@sj)pc zVNJU85^UiGB!yqbGE#pCTp!?+E30PmsPu{$Vn8~qU|6dBiXFHaU$wV82j1;xsrOCw zP|I-6nQE(4ea+CFW{2;T(}v}H#Af4id#_6S`YHI_StcG3@R(lF+!zzolP$O_^l`fX zx>9joV%YL@QUG$CpA=OnYOTpz72l=Vc0=&YAQx|nJVpY$x8(Bij|04qWj?!{=uH-~ zNPU~=>l*9ZP|wUMRTQSv6=mOH-ZzO!8xbojVzlzL>OOnkZu9!PdUe~Ty=590@#2@R z5uB7bt#?in`i{p$#<+FJ#-VMala{v;mglCcAEx#nmM+Ud`{#MpVXk$|KV83jf8mVC zbyvg3-2>m>FD%U8wd?Gb7tDTqTHNovm+h0`DVOtEJJwrhI|^G~8*^n?r`bQx(;Hh` z?hGcR%i!P5b=wePZrM=>701f$zt}D|-O75md2^vIw%WBWqtUrzI*OTi+P>-G8@Gv# z@iIA8Gv;j9Yu3CN$x|M=loVO94q;50n1J=n`}@`7R~H7W_}1Ew9tY!`OP=%0gm=h! zplw3#-%;SN;us13f+dOAtUp1%Kn9ndOi|+@tB!qQ zw+fY&Dua6C29uK;UJM>|S!^o3xvM7W5G2F@+f-Rl|NG@z4<(fqlfCUX-xe%a%6?g2 zk8v0vU)MzD7p`~*_G!e;w+h?r4OiV0=-l70Suvs&>vVN!a%Uj#lm7L&)dzXzDicEg%90FQ!drEfuGc)sBr5(mqVj{mx&smxRymBaA~5ubo{>t9txK>e+QW z{R~~n%$LLO;b@77QN-bws>R6hQF#Q;Aw+i>bwEydWnZqcSTsS-iMw=y$etqHLH?tHxoD4v5i z;~`AZw=74sQT)U0>vLfb*5_ysFw5zg;g_MB{AhS?>S7|C_&#nl9sSvF(=3pD5{l2A zR2vb7JzP!vl4zN1`)axvOLl3ka-2G?)5&JIuUPN&+tX@pc5V^3wNK9|sYfQv+g3A1 zpoqe;*(K|~OwK`L{90CJ_j~>A^Or;Xo`2spq!ff}Gs)Dj;C)qvv8}8rDsri-44i)8 z0Z+y(FUTp21$^#aoG;UgZ#r^vm!G$udxGIyV`{q%Qi5xH<|3ZCp&VcDKgu`0Jg)fqWW$7lq2 zIkFTn7F^S#bnnKp?GiESGs})fqU_mE1ki`U)H63W9(4QwCV2jy4Mv7QUir{yiZh)Y+c%i_EeF*D(r1+NBbcdMtCwSy2fnRMCWN&W2FKed1_C5EXv~+ zA4cRlvp(gTVedrEys6>Z%_t9V$!O;!>-;D9Ck=U_em*v|cLyJP&NA8fV*``xofQzi z^7H2P!)1Qo(y}yi>!a+Mp1aDu*pz>F^pa4%x$d)lF3*ZKb~1_Q2MyjcNr5FE zKmOeRp4pp`fm!RKKJ{$3{Pu^ID=+FXA#*TazF<=WkI@t%_xH~-b)*LGt`iO4k%oD5&kW$C`ZmOzl?AuC+AXeW35$f zIwutAcA+YIb7;D)EB-5s#{Ibs7ZZ|ern!7l;GO7zTP9sj8&yT2Zr^gdMVp%h^1JWX zeLO4VF4QOHS>BzV8h9jqVC~7G&wcz^#JN6^4mUx)cm5*oQUj_PnN>wMA);cZUwUKPEV#jsJ1i&_n(RqsA0qT25E~j^WGJT zbCI+%;#V!G&$yIRoUfw6-hFX{)r`H8y*|^4&hcpPM)eGII5%=+DVv41l<<@xF0v|{ z#Y=CxkW)A*z%I{f+WzS2y)(zW(LQKUT$p!l$Kidup1y1@cK=jtES!KA_dbPhVqQD? zWr4~a96HP$Y4O1MrBp2E`W@Or%58iNt<(H{PzTsAe5ubMJ)k2z6ZO9QOatw%R>`m! zCsl)aFH*hSS2trgNZ~GRs!be4k_V%7-EToS(+zMYvF4kqr}|TJly2PH-~5qFC|d}O z(ovLU6&mhlHz_}77h}0dtLN{BU6+ojj_Ds^aGhVRpxtqMKW#-t`jsT#jJE`H3I-I^ zTPq$hwu>!ny(y`;-;7ZaT!F=F2q)WAbX`0KPS!LQXiE_1!x$f~(3-|@8Llp=QCYqy zR-8ed1HqaEFT;(cVTPh7U>4IbY9&=Xc6!Y`QA<&Dsa)MVUV{f??AYSZZ8zPZ(iI$r!x?vk@J1=Paw?}E`UI-W! zh^BJYadEdRw1tVcU%o?KGKlG&%Xs1nN?Mm7%GrKzRev`G{dLG2G%eQwyqd>`6q z95Bpc$S+ah1;6M?eJLI>+tL=Mi+ASNjxkM87u^f4zXF;{HC^tRv< zj;2ks=GG_)OY*nj<~)L{XgPtK_7K~1ojU@GINgtC=4!Upy6@|u+8u^x))tr2sr?d2 zplwD*ZuIV4A3HW{=w)J){>xLg14Gu-Zf9fW=zZC|IE{gs;-@`7x$Fmj0*1o71 zetAAu^nCpnE{(K$-F;&PgkT0HgNP~y(U(_hL|`|sI_}6bSsHuF& za2@q{25$l3+?i2@Be3XnUZMKQ?R^-4Sb4$awb12k^^9Tj(lpol&PXC*m!b^ABm{;2B7j?HOrlyq+mBNXPm~<58(+ zNMn88mo;CkzqFhbOe$Wfz@$kdYijb@m6V#TY8srsGj&S+WA``5Tg?3+8IY1cIfl`t z=T8~8Ef?v^R-Hh0@Nw~?kbJhJCLJ=sc>u~)S5r^j$mqB_!4+rjYXa!VU;Uam4;S}9 zkoa~Nh~6i$-RX`al0k@H168->trQF@0|iOJkx&o}g$6D#6zYev)u!OwT^v+AiS7gt zbZedp*@3Q;h!_e&-2Aow#2)dwmKc8lO?m&qlzOF=*a)Y4luzakPNIq z+tZ0epF#H(umqwD;8XyFsQ``yVT&rdLN@eqB>1>^5<%kHjzEYml)ztICca)??gS5d z;9F7s=0yBwzW@S$m52q%1_~GnC@2(!LL-1b6bJ=`h=K!mIMCj@1EkyiChO@I#^3qy zCj<1*w|V{lLf7yF{78BC1gdj}nHz)k?nk%3iiagW`$HcUxoo-TAJ6GT4) z{@9_vmPhwewzE*z#gYCXy4`~P<&pRTY{7nu5B9s6ss?zZK#qgN9dIr_BoIs*29<__ z#GNS=FL?-H`T!u&2j}JN;y{)r`4AvK6WQG3vfKW&z90_s){lJh2D3HDM56JT;21TQQ{rndO zh5e185dbZJjzh})jX~vPf#v@>4ltyE^ZQQ>0S8w07l!aS0;O`J(!zYY_n*pg^>H+Mett&Dwus6sM@hU!g&zGI zB}p^_p^^V^<9WLZ=201$Yt7ZDEc1A}F143NOMUN8quIAbo~_flUrRM|vncDc%m7(~kLswL8+$Nb-sX`~7e zN*52eUxM3uNX>;8U0nn1HBv64d=aN@J1{p%JrNX1N-0bRS5jdS2=Zf2PB%AwUvtU( zn#kMg8PB5Ka6WwmPdZ*ab&lbMA2E`6{}l`~x*vOQi@$U1>@(6UX)DIV48eN8NSC_% zX6kgkY$o!JRyz6SG(2poAsr&(Whm?j%<79Z?VQg;WGD~uy8uaUk%f!_%K4b100RYa zgz+^{5Oow}n}QBQ&k@iS5)d6qKmt)91!a?hY7-1dNTAS=P>9G?kPveuWSfNA;pb@R z3TcQ9ug5sQlXiKiv0;eFq~Ab9>PmL3Zubi660*0Z}emy7vS_vw3tB23otaG$;5%tfpHg%YA6^P3Qa!}w~9wj6*FB1 zL@^F=>U0w=AXe`h=iDfahrQQ#FTL|WMoVTfG{+t zt$|chx-LYw+1!dhx7B=&J&1#w5D7z2)7qpVV*nzpCZYflLqt%@0uc$O* zS|a6I5*-)yM4;oMYviKAJ&6j1=2Xw>)@@}YglGdU!U)&Tt8&+t=(wmS0v#7!Utb~_ z+?YtrEL-uc!~?`DiG^CoEQlbgyvC4 zDTx{riUNWO;FC+nY&S)9c-Sc<&9+rcgwWr}|XP6y6Qf>T{!^|bzjNq|NoD7}Lcl&EH7p3|yrkcalO p+qQ=tLKp;0lchtbLud~|>(ABCGCthw{chvK&40@R3s~D(008;8`qTgb literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-1_permut.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/4-1_permut.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3c144abccf21f80102361311f90e78919c4c29f4 GIT binary patch literal 5951 zcma)A2|SeD_a~voRzfM&gA@ug#xP^w_iTe?ZH&QKW*8%6ON?w;vLs8&RwQI8RF<)1 ztt3kdO;IUZWC?HmpCP@yZ~x!t_j`%z_ug~vx#!;R5i!x!mVikjAR^V%rE3s4 z00oGSZV*L9K*|tDa3Q+_G9Y9I0RTWs8}C8Jk-%>c3>l}1!xEiv5M^bE51E9+ctZTM zvMo;%1?1QtJuQ27*h*_XQIk=PizQ|o^EurI_j4~ghUf2?(#X*G9y0cBpS|DS#a#F1 zeNT1s+aEvH2_CVg&5q@CJy5avw(c2-Byd~U7UCtd$86oAWU@uhdEWETL@9gDDjytX zT-`o z|LPM`VcK@}%Su*vnF{Y6jB-%Q?8*}Sd%Z`)55`POWrBT(n8R+#`-fH%qbdA-=TJ(X z;=Y$GTC_biy3k3c3S+zXn(aN|cl>;QMqrX<0oOyvWE)iKt;mr~^7wmeOJDiVm61BT zwN|`tRZ|?{wrggJ+6aEFYPTKsd1tp*PL?F=a4PoP9V>B!ElUNJtGTBo1B`#wH5b&loaR`xKK`y=x{i1G zqlFV+zH)d#j3B|hEUE3U(i-3EPG$oo9E%qXOwPl0raNYYF{PStb9{`NO>)Q>iOO2r zX2FvI>$@wyqvDwZdNw*xeyyQJU6AQ}V@q6P3WI=0 zo?+>?9Qnyxx>IIDX+5D`N4Q};D)t>8B$L`o^VMbBy9zW9RjtnO*q*EQ7r9Kljtf_u zaw*mLtd?fVGG2zi8_mp<>nEB*>-Sp`@|{dMoR-S*NF-j6;e-2rTG|ez&&LJP!j8uZ z5uJdnkanv8EiNIcTThRy2$+j91-7`RF+ZxPRa46=d^fgm1e%DU9%JsJQ5yp@gYMfU zBn{@uI|ifnyeg05?(NX`twJqDGl(5dB-JyCo+Yo?=|;Ri?LnC27kS*8|8%LufRE#< z?tBs?&DHkh$a#&M&b^wZPO9tM3$ex3sq(kZgb4-L9XlhS30XoG8zU3NpQ+9|ry`Bp z*$VQ_)L|Mz&Pzs|Eu36Ke&X_#OmjF9`yJTn1%5~`N-NjJ0<}2A4LvQPm1Fd*v2H!! z#M{*ij*~(=VK+?e^*fc)?_Z_eorz;KQ8mg+52vB{0`xDl-sE15Snr(T8?S?N?d(a5 z%FBPmWTY+v5B#s-kudGh<5AOBl9{*NZ`9-Fz9hDICs83(E2==pm0NZ8SpA9@{rIhb7$ETe3^{8c4lz)H;f z_kVf3zlMGuz=F~(PsC_|0-x<%)?5ZF*g453^1pcDOFM80Te}iEQ29uGaH=q}#e}%V=fTrb7)&%tDW z4F*V=2YBHCDHDtfZew5*3<(GJ1KX05I*D__W7LWMfDH&i0XRxl5{ZDyK;ZyP4k`(i zL(0JsfZc|y1~>yy*ax7;>dnBcLn8Wm{Wh!3(KgU6wb0-kNEm{T7ky-Gz!t0l;+nX# zcr4CLN1YD-RMQOSL-ZwKaXtXuWM;oBF1dT_p7T6lScICUfvrXXsHnD6LLTHaEiam<$mzBk^zp4<|^)OB|yLY8h^U^g#)XkGidV>Cl_)N>$2 z=$)~UrX<`oC7`6%6PWDr?D1sEy(4Dn5`!qP&5IX5Le4s6k8VjAdxBUJRC9SbsDNY3 zJNp1jdeg_QTuargf0pQ!cQEAyb@6>rs1v4Fjqfa%1VLe-DF*(^c3Q3f8?#ocQcJzA zrd#A?K{3m#)7=$?E%~BJH?MKSjba|gXD?b?5Htwa3$EGi9mfR*%yYlQXFfP(8?>$N z)g3e8+bP!Z-%A#E#y-8LC!7=Z6&k*y(ytF=_(Ea+FBs+9_aSQ0w-6he`4V%sP9z_^ zO<1SIw7GPxZ*(F-?}|g__}~Dcc?f>r{j%(7BUy>ww07p5?r#nEOCVj_e$U;>i`dIVO!DC>gp=Rv2X6QalGBfp4x9OR0k zk4hJ^EL(>H(FG4wS~V~BM;skQ<_5#~96mbdjeHo&s_UpxcGk(U3Y2N$b20Y$cy{Qr z#--p3f>9Fd{K2k!&qa=nwjuc&MhAvRhYLf`n$CU_NM@uS{G=ytAnD_8CL_LEPpGZ1 z;H&QE)a(`$7I-N+DcJK1+xZ%NALn9e9dvr7o9gHMC}jQ3LfO<a8>xw-dum|xr|>iAF*QKWAqp07C@S;q+h$bUU9ZYX_*N+T-r5$fpgL}i5DarYVAGGtkd3w(3C(56dQ0cYB z4xD)*)~4N{YY07jSa_zm%)zwb{Kuk(>73kslCQYs4Ul@9S2NrnWR z4xaUr;S?xuC?$kGm4V1IHLx@}3-=oDVrz7xxHXIm*S0h&TCCkZUyaZdHv9l|(WmqUS1 z@6AlE9u?BKM_x3jij&y;+z1=q>#UDE-V`;>t)rFc4gdC0W`-&dBx>niG)$1V;#Q`` zP+;Cwcc1y`zOGiswnI|};lmtk)n=x~4z2}-fmX{lYMLHCIT#^f@te(xeEWUdWYkOA zte0eJGIdWDDoP|jtzNl!ox7AvlvxtvF?$O@j@_a6}$| z5z+hNVrO-%fV*V&o8!TaPAU7@FRY@-4Na(lcYemAq=)FN%e}K>x)%wg75u}oilN?T zFH!YT4ug&jRckc%FYZrXRQ|v(cxX4Qf6?On(GSZjb3cfd&j?`FddP0p?fgBx*Dg>k zFJy9jY{;wudyaz5u9x&(kq>U0i*rx)sF_Zo^@{oW>BO&JyR1>Czd8+GuyZ~feq!5G z(an*~v(8kIfpID6q~@K97lC1{?a74ewxM}n^UB1uyCiMV1Lj3w_n$G z&R0>_cKRFB>?kT?>!vq4V$qlM=2O(M+(va?>a^*8%WwA%5?kMTW4e;@uez;b7(LV4*Or8H|T%Aj@rE{U}DyNO}7?HrNFAM+ZY1797i{ zMBa5sgQN%jURW&b6p!P?7I1`{N!UaW~g{Be^4mLe9pR@!sYqp zZFJA>`RLIhfw0F+LsefAU+0(Ky{Ab~jJVWQJ^VPU;@c0 zQ~cQUoVu^}MYIScmX}ZK%ng1vD%1gE&tSpW&2h$vAr(@|8&WW*3Yj^Tj_*l=vw7vH zYawQExwe?d3p$uOsuBd(Y`VWu2CmOjDE_+0#Fpo1ER!gtIb{fmYNd2Ql85H=1$f%7 ztA4Dwu5ff1Dkx=bWU}vYyaG?#NNJZh!!GTK<~v@=)Jt-j9S1yXFi!ao1tG#ZR^z&UE=RPjpthKF>N7!E zl+1a-a9>nQWYbF;sXTtli(Owmjkz?8_PhWJ6=0HXo?u{;ZthhPHeVV{+8q-jnZNAY zN#t9yU!eEB@OE)^i9Ur6`l~bZmiE zQ}^@tRuRV|CU;ouz}(%%oXnxkB{TY>W}9Q9t!N0&7vFyVnHnTl&EJx^Yw`!zrSF5B z>w{@4T(!|%OMl+$=~vC4_j+jrN_y+6jr#La3Zvhn|F^t_U1A5J1z?YyRiq^JHAkID zwuvx5DTN}N_9-(kCabwIpvDvLONI5C7mFk+ziN;RIcU$~B0R@6@7A)TP5xxf>Lng( zM5S*DLDhzLHYK#Wz0sdLVQs%Rf7X|h*|5;UH~aAy`zn|AD8m@u%;qPRWYWF{AB=T> zt-jL4Y!?x;lX3q^@n!MmOxs=ld^xPyZ)Imb99ipH8D>&Xu9XxPEA!?s6V#Iv{(ReM z+qq;zD0$W4;ql^*TbcP;b~mSr-Q1Ik#9r{Yu~kzf!M{3nyBSiM-&ckB1uJb&O?*O7 z)5Atso$m^gG)FU;SY|u*HjwpC!)};s%d#>uTZVFrFa8L7y@()Y3SviF3nP`l3O;@vB}N6#=v?P_?gRUqKWzRfBu_(6lMd32CB0Fjj`6|Kk^f{JPyij^1I|E?;7p`T(D|ns&IJ!rTF_u>AaliS zn2OG%j7d&75}x1!i0V0kD&oljzpBu_US1wJPrBk8TK&dY|6VW90KfLdDZmB_5>8nt z6p)3>{_$^T_Z#h_Q`|rO;Gde)Ro=Ace^XhD045LVT1ahaA)&j`*XGJOVZaptE#?Ex zZo}qgo7C5wXhFc!(~bar!~bJt{+J$}Yj1j=0p5w;5uJ{k{o>HRpp{_1=?D8g^Qi$Q zG(q16M6nn=i3q?XVIT(wL|w^bFL^02DFA{lB#f6U9_u4XB)N!fIWN`JWgR3Io^ppBPLU{)a3ACJRQ^f3<_lfnN1541xTkKN;yi+sR0y zK-K>#DRavV+fU2W^ZSBmOT;tG=tQ>-OV<#M8N@W1=zo5HzYp~1 z>EH=s@F0H)2MbNkpqYA_=yM^`2h&`wRt8yTKrn6)oEsT3{{cdPDUD2hI?%LT00;z7 zW7Q}Sg5xL`NTXnZCVB+ow}i8tLcO%A>|#b3*Oq`x^t;#M(#;CS+`~D7oq_~K9D%oX zXiHvUcnx%lcpY|;vJ6WTu}&K%Eja4FV^djW(ugM0yO;4@xuj}fi*;zBtxm)O@C4JQ zADJ6cCc-fS$8lsb+%O0&f9%_voLufM`doM9bKUXJb%(QA%DCVFi>AwnF@gXsy$YVA z>-}UgAd+Io!s-ykD;9#CSpO>^**O7}!ynalY2_vy!{dd!XVHSP!cfd-?>954IV#=Y~VO_W&V2yYM|3hva;t5yhv{vnKB{>?11zv8Rc9O!PzbF<}w7&$P5OAp7 zYu^aLsVwzvBO==n3@7?eYd>T47$u+-!$!(d_Q5M}=+!gO)Q>jkD5@iKxqd(sf=YDP z2;HH&J^F^_4%O{CZ-}79EM}ZG8-zZBDc}nYX$EvaKQ4xzBb>}d@7NLJ5b;wBw+!3b zzfQR;2TL|~qNm-Jp5f5FAw2^{&#|JXZ5dWD^lr@0tD`xKpN2Ks+vG38wh{J)#|Oyj zbkhCc$e9s?`l&l7Uf900MjM5pRu!!TL=nnAPaBZdcSEeA& z`4Y__&Sc0j>YaSDTSxs> +stream +xSj0 +S-Kk/AeAh=%qF[V!}…/F Zn\th>-}T;Wq-*I'Zize(1;8f*Yr:pjiN%9{lX{81Vxp)Tf\" ԓY[2p=[5D1|r(E>r9k`QJ,޶[+ԑnx:zZn !ΎJ_ cӀAB 281 E,R0(N)c/L o>W4o3yt8$?lWW )G F)k> + >> +>> +endobj +5 0 obj +<< /Type /Page + /Parent 1 0 R + /MediaBox [ 0 0 141.732285 85.039368 ] + /Contents 3 0 R + /Group << + /Type /Group + /S /Transparency + /CS /DeviceRGB + >> + /Resources 2 0 R +>> +endobj +1 0 obj +<< /Type /Pages + /Kids [ 5 0 R ] + /Count 1 +>> +endobj +6 0 obj +<< /Creator (cairo 1.10.0 (http://cairographics.org)) + /Producer (cairo 1.10.0 (http://cairographics.org)) +>> +endobj +7 0 obj +<< /Type /Catalog + /Pages 1 0 R +>> +endobj +xref +0 8 +0000000000 65535 f +0000000827 00000 n +0000000542 00000 n +0000000015 00000 n +0000000520 00000 n +0000000614 00000 n +0000000892 00000 n +0000001019 00000 n +trailer +<< /Size 8 + /Root 7 0 R + /Info 6 0 R +>> +startxref +1071 +%%EOF diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/kreis_2ele.svg b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/kreis_2ele.svg new file mode 100644 index 0000000..180f3ad --- /dev/null +++ b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/kreis_2ele.svg @@ -0,0 +1,115 @@ + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/kreis_5ele.dia b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/kreis_5ele.dia new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7e122cc040d6ec6bde0d7317510a88837a741e74 GIT binary patch literal 1096 zcmV-O1h@MiiwFP!000021MON(kE=Em-OsN;%r=kMV1s#i$x|1tx~SAe+jV4uhq#YG zWSq&HO@DiBAejk)d^uz`APo}aa*pri_}ICVZ{L5eQtOq8g6G-Ph7PbTmM!v_XUWw5 z=kMRX5c~V=>08X{SM`?&y0X+0S)s3{_EO6A*YS9}-8$)8L1iwSly97ZjsK%*O2;Z_ zY|ox7>mxu+CDr%pyHrZSqm5)%MptZVM|ANc5&0&I?JBB{TjXgjtXG;&?dO;Bu*Wsb z_yFew_L?Rv5{&-nh6d^g!&{)&Of+Fv>%8D9M82($LOO8t`9n+{Rj8mWnLYo4o~t3% zH{P+@2HHs?S5zcCJLXZfNvlG*4sl&q6$6JP1OW=*t|r&hMUSORA4?}5OUH}(Iu}w< zE{`drJWm~@}FK~p8MQ)wAw@xrCd&y4?tro|-*RJZrD?b?}}2p*rFxCap( zC|e%O<@{$)<*Lx%dP0BY1&>nJHhP}PyTQNR2fq1sO80($+)xb_TIcc*6NVYSetAeX zJZ8linH|P-AT8^#@wuuu<1Q^sb*r&hmlP>|W1@!tUA;Oc5~0^=tA4|^Q#Z<)B7wgwF)>V;jy_?uisXQU*-9{C~&PO49gpr!%G)T1{sd}bT4b@x4y(%@-LdB&}fflOYvrvsP z8g$x^PLZij{oZxz?{ykHLZ<#8)6bIWA3ST*C^pw93LsI7WB~op?N_S6b4O4SA%G{u zfi41pCMFo)NW93iY|gT{%;%OYTQ;^1a7j5#;sJ8ou(Hi+v2Kp0tqpPwXsQHoe-(C3 zs4SjSA@XgLi>cfyF3%8op0X@CoeVamI9sj@8MMxnn$^rJjv7_FPpqYytGYj;rl!ox zzJ~SwsS?(a>RO(K^|P?^*o$Q4Nza`L;6crVF!7=G6GB2y zZ*~cC``(>&rP&$@1EhES0fBh1lfh1IwG-FCPQ1^t6Jp*sLKp)w@_X&WBhQ1bnxeiR z!b#|0P*OUc2g06xq$R)OpuoWhh3>6I7~ErUk5dkC-aXLgxJPK-DN&0wz-Ei@g{>03 z8PWe9K@bOI;_o*j2zp`ft&)y3+d^UBh1hI=HWGdJ{f-fah-J+HNYFsDxc{UokhGhjjcmg9@s zomhoLJ}SOlxc`1+=M-7aj_ku6IYF~-KAdoRkB`&i&%Y<$`_J*^M>>~@UA$e;qY1NI zesy0_|MPd&zS`vn8teRK+Fj-jczm|}vA2|*N$$!EHM4>qt2vn#t(oYTVt8+5q$cY- z4yorc8g6=ql_rx@rd`R{l5&qa?sRl6J9YBVO};G`wn%*1dTHi7 zzFYPe4&PjKcD8w!xaS0Jho@pf5;lU|?S4X9+9@2`E~QUnCb=7z8eH|7tZGu2!xmF7 z{W@o1(WF-zj(5-P_%kna)8lCuTGuR?doJ*|JP592w}s5N=orUj%Y7}srZB}|YQeXe`tyMCjT5~R>d~Cs-)NyTVcJE3Vk;g+!C;tWe8{KejxU8(*>cHq$R}<+p^ni zuf7x1iEKO6q%uED#m&i;MU*hs` z)%VV}M&4!>+1WdE%}R2_-`q1cNuzGYKgQ?{2cL4K=A}RrF^~mH{-87uqJgR2%+dlR z58@fYGY2?3xK@<72bTb|f`W|=NB{`*6AgeI1$}2n1w#e>YC=)|+tb0*@X#tY+Ahv-;VJ;2^x}hjBuebnYb8;n2 z*cmA9l3JFToEqfr1QLY!Lq90BIKQ+gIki{;6dFNDz5=-!R&*eIRSb5TcVp6*MwRN(!v>fdLB?OfO0-$jD4C z*2^zS*VF`C6Ht_&Qko1bqKMaqh!t}r>mlxUPAo~x$xnwE4UC~;XuKfwR1~GAaTzFB za2ddXf|;o)FiO%CpkjswmKF+NS%o~9n1O{MF!VqGNzA|y7(8fV=9a)nM-#KK0H#h< zF+)Q$V4S0g86oQ}DN4-DNi71G>%o~-sX!-#l50?Yeu)CehHz{0E&b)4FCWD literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/Objektorientierte_Modellierung/Objektorientierte_Modellierung.tex b/Objektorientierte_Modellierung/Objektorientierte_Modellierung.tex new file mode 100644 index 0000000..865c2f2 --- /dev/null +++ b/Objektorientierte_Modellierung/Objektorientierte_Modellierung.tex @@ -0,0 +1,68 @@ +\documentclass[11pt]{scrartcl} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[ngerman]{babel} +%\usepackage{amsmath} +%\usepackage{amssymb} +\usepackage{multicol} +\usepackage{booktabs} +\usepackage{pstricks} +\usepackage{pst-node} +\usepackage[paper=a4paper,left=30mm,right=20mm,top=20mm,bottom =25mm]{geometry} +\usepackage[ + pdftitle={Objektorientierte Modellierung}, + pdfsubject={Mitschrift der Vorlesung "Objektorientierte Modellierung" an der HTW-Aalen, bei Herrn Dietrich.}, + pdfauthor={Thomas Battermann}, + pdfkeywords={Objektorientierte Modellierung}, + pdfborder={0 0 0} +]{hyperref} +\usepackage{tabularx} +%\usepackage{graphicx} +\usepackage{color} +\usepackage{lastpage} +\usepackage{fancyhdr} +\setlength{\parindent}{0ex} +\setlength{\parskip}{2ex} +\setcounter{secnumdepth}{4} +\setcounter{tocdepth}{4} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0} +\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5} + +\pagestyle{fancy} %eigener Seitenstil +\fancyhf{} %alle Kopf- und Fußzeilenfelder bereinigen +\fancyhead[L]{Objektorientierte Modellierung} %Kopfzeile links +\fancyhead[C]{Semester 3} %zentrierte Kopfzeile +\fancyhead[R]{WS 2011/2012} %Kopfzeile rechts +\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} %obere Trennlinie +\fancyfoot[C]{Seite \thepage\ von \pageref{LastPage}} +\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} %untere Trennlinie + +\newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}} +\newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}} +\newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor} +\newcommand{\llfloor}{\left\lfloor} + + +\title{Objektorientierte Modellierung} +\author{Mitschrift von Thomas Battermann} +\date{3. Semester} + +\begin{document} + \pagestyle{empty} + + \maketitle\thispagestyle{empty} + \tableofcontents\thispagestyle{empty} + + \newpage + \pagestyle{fancy} + \setcounter{page}{1} + + \underline{Beispiel}: Ausleihe eines Buches in einer Bibliothek als \underline{Datenfluss-Diagramm} + +% \begin{tikzpicture} +% \node[rectangle,inner sep=0pt,minimum height=0.5cm,minimum width=1cm,fill=white] (a) {Benutzer}; +% \node[rectangle,inner sep=0pt,minimum height=0.5cm,minimum width=1cm,fill=white] (b) {Titelkartei}; +% \node[rectangle,inner sep=0pt,minimum height=0.5cm,minimum width=1cm,fill=white] +% \end{tikzpicture} + + +\end{document} diff --git a/Sichere_Hardware/Sichere_Hardware.tex b/Sichere_Hardware/Sichere_Hardware.tex new file mode 100644 index 0000000..2a35b73 --- /dev/null +++ b/Sichere_Hardware/Sichere_Hardware.tex @@ -0,0 +1,120 @@ +\documentclass[11pt]{scrartcl} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[ngerman]{babel} +%\usepackage{amsmath} +%\usepackage{amssymb} +\usepackage{multicol} +\usepackage{booktabs} +\usepackage{pstricks} +\usepackage{pst-node} +\usepackage[paper=a4paper,left=30mm,right=20mm,top=20mm,bottom =25mm]{geometry} +\usepackage[ + pdftitle={Sichere Hardware}, + pdfsubject={Mitschrift der Vorlesung "Sichere Hardware" an der HTW-Aalen, bei Herrn Dietrich.}, + pdfauthor={Thomas Battermann}, + pdfkeywords={Sichere Hardware}, + pdfborder={0 0 0} +]{hyperref} +\usepackage{tabularx} +%\usepackage{graphicx} +\usepackage{color} +\usepackage{lastpage} +\usepackage{fancyhdr} +\setlength{\parindent}{0ex} +\setlength{\parskip}{2ex} +\setcounter{secnumdepth}{4} +\setcounter{tocdepth}{4} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0} +\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5} + +\pagestyle{fancy} %eigener Seitenstil +\fancyhf{} %alle Kopf- und Fußzeilenfelder bereinigen +\fancyhead[L]{Sichere Hardware} %Kopfzeile links +\fancyhead[C]{Semester 3} %zentrierte Kopfzeile +\fancyhead[R]{WS 2011/2012} %Kopfzeile rechts +\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} %obere Trennlinie +\fancyfoot[C]{Seite \thepage\ von \pageref{LastPage}} +\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} %untere Trennlinie + +\newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}} +\newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}} +\newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor} +\newcommand{\llfloor}{\left\lfloor} + + +\title{Sichere Hardware} +\author{Mitschrift von Thomas Battermann} +\date{3. Semester} + +\begin{document} + \pagestyle{empty} + + \maketitle\thispagestyle{empty} + \tableofcontents\thispagestyle{empty} + + \newpage + \pagestyle{fancy} + \setcounter{page}{1} + + \section{Sichere Hardware} + + Passwort für Skripte: Pm21A5fq + + Prüfung: keine schriftliche Prüfung, sondern Projekt. Themen zu Auswahl. Projekt in 2-3er Gruppen.\\ + Themen: + + \begin{tabular}{|l|l|l|} + \hline + Nr. & Kategorie & Thema\\ + \hline + 1 & Authentifizierung & Elektronischer Personalausweis – Chancen und Risiken\\ + \hline + 2 & & RFID und Datenschutz\\ + \hline + 3 & & Trusted Computing\\ + \hline + 4 & & Hardware-Implementierung kryptografischer Algorithmen\\ + \hline + 5 & & Verfahren zur Gesichtserkennung\\ + \hline + 6 & & Handvenenerkennung zur Authentifizierung\\ + \hline + 7 & & Biometrische Authentifizierung mit Fingerabdrucksensoren\\ + \hline + 8 & & Gangerkennung beim Smartphone\\ + \hline + 9 & & Kopierschutz \& DRM \\ + \hline + & & Smartcard als PW-Speicher\\ + \hline + 10 & Verfügbarkeit & Langzeitarchivierung von Daten\\ + \hline + 11 & & Professionelle Backupsysteme\\ + \hline + 12 & & Desaster Recovery\\ + \hline + \end{tabular} + + \section{Einführung} + + \begin{itemize} + \item Vertraulichkeit \(\Rightarrow\) Verschlüsselung + \item Authentizität \(\Rightarrow\) digitale Signatur + \item Integrität \(\Rightarrow\) Hash-Funktion + Verschlüsselung + \item Nicht-Abstreitbarkeit (Verbindlichkeit) \(\Rightarrow\) Zeitstempel + Verschlüsselung + \item Verfügbarkeit \(\Rightarrow\) redundante Hardware + \end{itemize} + + \subsection{Kryptografische Grundbegriffe} + + \begin{itemize} + \item Klartext, Chiffrat C\\ + Verschlüsselung: Klartext \(\Rightarrow\) Chiffrat ; mit Schlüssel \(S_1\)\\ + Entschlüsselung: Chiffrat \(\Rightarrow\) Klartext ; mit Schlüssel \(S_2\) + \item \(S_1 = S_2 \rightarrow\) symmetrische Verschlüsselung, z.\,B. DES, 3DES, AES, Blowfish, Twofish, … + \item \(S_1 \not= S_2 \rightarrow\) assym. Verfahren oder Public Key Kryptosystem, z.\,B. RSA, ECDSA \color{orange}{Elliptic Curve digital Signature alg.}, El Gammal + \item Schlüsselraum\\ + n Bit-Schlüssel \(\Rightarrow 2^n\) Schlüssel gibt es + \end{itemize} + +\end{document}