commit 9a7d223ed9036cb7de4b4893f873bb57d7b5339a Author: Thomas Ba Date: Wed Oct 5 08:26:15 2011 +0200 new file: Datenbanksysteme/Datenbanksysteme.tex new file: Grundlagen_der_Mathematik/Grundlagen_der_Mathematik.tex new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/2.6_koordinatensystem_zylinder.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-1.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-2.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_adjezenzmatrix.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_bsp.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_hasse-diagramm.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_transitive_huelle.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_transitive_huelle_2.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_unterteile.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/3-3_zahlenstrahl.pdf new file: Grundlagen_der_Mathematik/bilder/4-0_ver1.pdf new file: 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--git a/Datenbanksysteme/Datenbanksysteme.tex b/Datenbanksysteme/Datenbanksysteme.tex new file mode 100644 index 0000000..6fe9100 --- /dev/null +++ b/Datenbanksysteme/Datenbanksysteme.tex @@ -0,0 +1,63 @@ +\documentclass[11pt]{scrartcl} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[ngerman]{babel} +%\usepackage{amsmath} +%\usepackage{amssymb} +\usepackage{multicol} +\usepackage{booktabs} +\usepackage{pstricks} +\usepackage{pst-node} +\usepackage[paper=a4paper,left=30mm,right=20mm,top=20mm,bottom =25mm]{geometry} +\usepackage[ + pdftitle={Datenbanksysteme}, + pdfsubject={Mitschrift der Vorlesung "Datenbanksysteme" an der HTW-Aalen, bei Herrn Dietrich.}, + pdfauthor={Thomas Battermann}, + pdfkeywords={Datenbanksysteme}, + pdfborder={0 0 0} +]{hyperref} +\usepackage{tabularx} +%\usepackage{graphicx} +\usepackage{color} +\usepackage{lastpage} +\usepackage{fancyhdr} +\setlength{\parindent}{0ex} +\setlength{\parskip}{2ex} +\setcounter{secnumdepth}{4} +\setcounter{tocdepth}{4} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0} +\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5} + +\pagestyle{fancy} %eigener Seitenstil +\fancyhf{} %alle Kopf- und Fußzeilenfelder bereinigen +\fancyhead[L]{Datenbanksysteme} %Kopfzeile links +\fancyhead[C]{Semester 3} %zentrierte Kopfzeile +\fancyhead[R]{WS 2011/2012} %Kopfzeile rechts +\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} %obere Trennlinie +\fancyfoot[C]{Seite \thepage\ von \pageref{LastPage}} +\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} %untere Trennlinie + +\newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}} +\newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}} +\newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor} +\newcommand{\llfloor}{\left\lfloor} + + +\title{Datenbanksysteme} +\author{Mitschrift von Thomas Battermann} +\date{3. Semester} + +\begin{document} + \pagestyle{empty} + + \maketitle\thispagestyle{empty} + \tableofcontents\thispagestyle{empty} + + \newpage + \pagestyle{fancy} + \setcounter{page}{1} + + \section{Datenbanksysteme} + + + +\end{document} diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/Grundlagen_der_Mathematik.tex b/Grundlagen_der_Mathematik/Grundlagen_der_Mathematik.tex new file mode 100644 index 0000000..805a6c8 --- /dev/null +++ b/Grundlagen_der_Mathematik/Grundlagen_der_Mathematik.tex @@ -0,0 +1,2683 @@ +\documentclass[11pt]{scrartcl} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{multicol} +\usepackage{booktabs} +\usepackage{pstricks} +\usepackage{pst-node} +\usepackage[paper=a4paper,left=30mm,right=20mm,top=20mm,bottom =25mm]{geometry} +\usepackage[ + pdftitle={Grundlagen der Mathematik}, + pdfsubject={Mitschrift der Vorlesung "Grundlagen der Mathematik" an der HTW-Aalen, bei Herrn Arnold.}, + pdfauthor={Thomas Battermann}, + pdfkeywords={Grundlagen der Mathematik,Logik,Mengen,Relationen,Funktion,Vollstaendige Induktion}, + pdfborder={0 0 0} +]{hyperref} +\usepackage{tabularx} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{color} +\usepackage{lastpage} +\usepackage{fancyhdr} +\setlength{\parindent}{0ex} +\setlength{\parskip}{2ex} +\setcounter{secnumdepth}{4} +\setcounter{tocdepth}{4} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0} +\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5} + +\pagestyle{fancy} %eigener Seitenstil +\fancyhf{} %alle Kopf- und Fußzeilenfelder bereinigen +\fancyhead[L]{Grundlagen der Mathematik} %Kopfzeile links +\fancyhead[C]{Semester 1} %zentrierte Kopfzeile +\fancyhead[R]{WS 2010/2011} %Kopfzeile rechts +\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} %obere Trennlinie +\fancyfoot[C]{Seite \thepage\ von \pageref{LastPage}} +\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} %untere Trennlinie + +\newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}} +\newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}} +\newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor} +\newcommand{\llfloor}{\left\lfloor} + + +\title{Grundlagen der Mathematik} +\author{Mitschrift von Thomas Battermann} +\date{1. Semester} +\begin{document} +\pagestyle{empty} + +\maketitle\thispagestyle{empty} +\tableofcontents\thispagestyle{empty} + +\newpage +\pagestyle{fancy} +\setcounter{page}{1} + +\section{Logik} + +\begin{itemize} + \item Grundlage (Mathematischer und anderer Beweise) + \item interessante Problemstellungen in der Informatik:\\ + Besitzt eine logische Formel eine Lösung? + \item Kontrollstrukturen in Computerprogrammen arbeiten nach den Gesetzen der Logik +\end{itemize} + +\subsection{Formeln} + +\underline{Aussagen} sind Sätze, die wahr oder falsch sind.\\ + Beispiele: + \begin{itemize} + \item „3 ist eine Primzahl“ ist eine (wahre) Aussage + \item „4 ist eine Primzahl“ ist eine (falsche) Aussage + \item „Wieviel Uhr ist es?“ ist keine Aussage, sondern eine Frage + \item „Sagen sie mir bitte wieviel Uhr es ist.“ ist eine Aufforderung, keine Aussage + \end{itemize} + +\underline{Formeln} entstehen durch Verknüpfung einzelner Aussagen (oder Formeln).\\ + Beispiele: Seien A und B Aussagen.\\ + Dann sind + \begin{itemize} + \item nicht $A$ + \item $A$ oder $B$ + \item entweder $A$ oder $B$ + \item wenn $A$, dann $B$ + \end{itemize} + Formeln. + +Die Verknüpfungen nicht, oder usw. heißen Junktoren. + +Formeln nehmen (wie die Aussage) einen der Wahrheitswerte wahr oder falsch an; dieser hängt ab von den Wahrheitswerten enthaltenen Aussagen.\\ +Diese Abhängigkeiten stellen wir in einer Wahrheitstabelle dar, die für jede Kombination der Aussagen den zugehörigen Wahrheitswert der Formel enthält. + +\begin{tabular}{ll} + Abkürzungen: & \( 0 \widehat{=} \) falsch \\ + & \( 1 \widehat{=} \) wahr +\end{tabular} + +\underline{Negation} (nicht \(A =: \neg A =: \overline{A}\) + +\begin{tabular}{c|c} + \(A\) & \(\overline{A}\) \\ + \hline + 0 & 1\\ + 1 & 0 +\end{tabular} + +\underline{Konjunktion} ( \(A \text{ und } B =: A \land B =: A \cdot B \)) + +\begin{tabular}{cc|c} + \(A\) & \(B\) & \(A \land B\)\\ + \hline + 0&0&0\\ + 0&1&0\\ + 1&0&0\\ + 1&1&1 +\end{tabular} + +\underline{Disjunktion} (\( A \text{ oder } B =: A \lor B =: A + B\)) + +\begin{tabular}{cc|c} + \(A\) & \(B\) & \( A \lor B \)\\ + \hline + 0&0&0\\ + 0&1&1\\ + 1&0&1\\ + 1&1&1 +\end{tabular} + +\underline{Exklusive Disjunktion} (entweder \(A\) oder \(B =: A \oplus B\)) + +\begin{tabular}{cc|c} + \(A\) & \(B\) & \(A \oplus B\)\\ + \hline + 0&0&0\\ + 0&1&1\\ + 1&0&1\\ + 1&1&0 +\end{tabular} + +\underline{Implikation} (wenn \(A\), dann \(B =: A \leftarrow B \)) +\begin{multicols}{2} + \begin{tabular}{cc|c} + \(A\) & \(B\) & \(A \rightarrow B\)\\ + \hline + 0&0&1\\ + 0&1&1\\ + 1&0&0\\ + 1&1&1 + \end{tabular} +\columnbreak\\ + A: Voraussetzung\\ + B: Folgerung +\end{multicols} + +\underline{Äquivalenz} (\(A\) genau dann, wenn \( B =: A \leftrightarrow B\)) + +\begin{tabular}{cc|c} + \(A\) & \(B\) & \(A \leftrightarrow B\)\\ + \hline + 0&0&1\\ + 0&1&0\\ + 1&0&0\\ + 1&1&1 +\end{tabular} + +Formeln können zu komplexeren Formeln verknüpft werden.\\ +Beispiel: \( ( A \oplus B ) \rightarrow ( C \lor B ) \) + +Eine Formel heißt \underline{erfüllbar}, wenn es eine Belegung der enthaltenen Aussagen gibt, so dass eine Formel wahr wird.\\ +Eine Formel, die nicht erfüllbar ist, heißt \underline{unerfüllbar}.\\ +Eine Formel, die bei jeder Belegung wahr wird, heißt \underline{gültig} oder \underline{tautologisch}. + +Beispiel: +\begin{itemize} + \item \( A \lor B\) ist erfüllbar. + \item \( A \land \overline{A} \) ist unerfüllbar. + \item \( A \lor \overline{A}\) ist tautologisch. + \item + Sei \(F\) eine Formel.\\ + \(F\) ist genau dann tautologisch, wenn \(\overline{F}\) unerfüllbar ist. +\end{itemize} + +\subsection{Äquivalenz von Formeln} + +Zwei Formeln \(F\) und \(G\) heißen \underline{äquivalent}, wenn \(F\) und \(G\) bei jeder Variablenbelegung denselben Wahrheitswert annehmen (d.\,h. die Wahrheitstabellen sind identisch).\\ +\hspace*{4mm} \( F \equiv G, \quad F \Leftrightarrow G\)\\ +(\(F\),\(G\) heißen gleich, wenn ihre Definitionen Zeichen für Zeichen übereinstimmen, \(F = G\)) + +Beispiel:\\ + \(\quad F := A \land B, \quad G := B \land A\)\\ + \(\Rightarrow F \equiv G, \quad F \ne G \) + +in Analogie zu \(\Leftrightarrow\):\\ + \( \quad F \Rightarrow G \) + +(G wird bei jeder wahr, bei der auch \(F\) wahr ist.)\\ +Beispiel:\\ + \(A \land B \Rightarrow A \) + +\subsubsection{Rechengesetze:} + +\begin{itemize} +\item\underline{Kommutativgesetze}\\ +Vertauschungsgesetze + +\begin{align*} + A \lor B &\equiv B \lor A\\ + A \land B &\equiv B \land A\\ + A \oplus B &\equiv B \oplus\\ + A \leftrightarrow B &\equiv B \leftrightarrow A +\end{align*} + +\item\underline{Assoziativgesetze}\\ +(Klammergesetze) + +\begin{align*} + A \lor (B \lor C) &\equiv (A \lor B) \lor C\\ + A \land ( B \land C) &\equiv (A \land B) \land C\\ + A \oplus ( B \oplus C) & \equiv (A \oplus B) \land C\\ + A \leftrightarrow (B \leftrightarrow C) &\equiv (A \leftrightarrow B) \leftrightarrow C +\end{align*} + +\item\underline{Distributivgesetze}\\ +(Ausklammern) + +Vgl. mit Arithmetik:\\ + \(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\)\\ +i.\,a. \( a + (b \cdot c) \ne (a +b)(a+c) \) + +In der Logik:\\ +\begin{align*} + A \land ( B \lor C) &\equiv (A \land B) \lor (A\land C)\\ + A \lor ( B \land C) &\equiv (A \lor B) \land (A \lor C)\\ + A \land ( B \oplus C ) &\equiv (A \land B) \oplus (A \land C) +\end{align*} + +\item\underline{doppelte Negation} + +\( \overline{\overline{A}} = A \) + +\item\underline{deMorgansche Gesetze}\\ +\( \neg ( A \land B) \equiv \overline{A} \lor \overline{B} \)\\ +\( \neg ( A \lor B) \equiv \overline{A}\land \overline{B} \) + +\item\underline{weitere Negation-Gesetze}\\ + \( \overline{A \oplus B} \equiv A \leftrightarrow B \equiv \overline{A} \leftrightarrow \overline{B} \)\\ + \( \overline{A \leftrightarrow B} \equiv A \oplus B \equiv \overline{A} \oplus \overline{B} \) + +\begin{tabular}{cc|ccc} + A & B & \( A \oplus B \) & \( \overline{a \oplus }\) & \(A \leftrightarrow B\)\\ + \hline + 0&0&0&1&1\\ + 0&1&1&0&0\\ + 1&0&1&0&0\\ + 1&1&0&1&1 +\end{tabular} + +\item\underline{Absorptionsgesetze}\\ + +\begin{align*} + (A \land B) \lor A &\equiv A\\ + (A \lor B) \land A &\equiv A +\end{align*} + +\item\underline{Idempotenzgesetze}\\ +\( A \land A \equiv A \equiv A \lor A \) + +\item\underline{ausgeschlossenes Drittes}\\ +\begin{align*} + A \land \overline{A} \equiv 0 \\ + A \lor \overline{A} \equiv 1 +\end{align*} + +\item\underline{Gesetze für 0 und 1}\\ +\begin{align*} + A \land 1 &\equiv A & A \lor 1 &\equiv 1\\ + A \land 0 &\equiv 0 & A \lor 0 &\equiv A\\ + A \oplus 0 &\equiv A & A \oplus 1 &\equiv \overline{A} +\end{align*} + +\item\underline{Kontraposition}\\ +\( A \rightarrow B \equiv \overline{B} \rightarrow \overline{A}\)\\ +(verwendet man z.\,B. beim Widerspruchsbeweis) + +\item\underline{auch noch wichtig}\\ +\begin{multicols}{2} +\( A \rightarrow B \equiv \overline{A} \lor B \)\\ +\( \overline{C} \lor D \equiv C \rightarrow D\) +\columnbreak\\ +\begin{tabular}{cc|cc} + A & B & \(A \rightarrow B \) & \( \overline{A} \lor B \)\\ + \hline + 0 & 0 & 1\\ + 0&1&1\\ + 1&0&0\\ + 1&1&1 +\end{tabular} +\end{multicols} +\end{itemize} + +Beispiel:\\ +Beweis der Kontrapositionsgesetzes +\begin{multicols}{2} +\begin{align*} + A \rightarrow B \underset{12}{\equiv} \overline{A} \lor B + \underset{1}{\equiv} B \lor \overline{A} + \underset{4}{\equiv} \overline{\overline{B}} \lor \overline{A} + \underset{12}{\equiv} \overline{B} \rightarrow \overline{A} +\end{align*} +\columnbreak\\ + \begin{tabular}{cc|ccc} + A & B & \(\overline{A}\) & \(\overline{B}\) & \( \overline{B} \rightarrow \overline{A} \)\\ + \hline + 0&0&1&1&1\\ + 0&1&1&0&1\\ + 1&0&0&1&0\\ + 1&1&0&0&1 + \end{tabular} +\end{multicols} + +\subsection{Normalformen} +Konstruktion einer zu F Äquivalenten Formel: + +Idee: Suche eine Formel , die genau bei den 1-Zeilen wahr wird. + +\begin{tabular}{ccc|ccl} + A&B&C& F & \hspace*{5mm}\\ + \hline + 0&0&0& 0\\ + 0&0&1& 1 && \( \overline{A} \land \overline{B} \land C\)\\ + 0&1&0& 1 && \( \overline{A} \land B \land \overline{C}\)\\ + 0&1&1& 0\\ + 1&0&0& 1 && \( A \land \overline{B} \land \overline{C}\)\\ + 1&0&1& 0\\ + 1&1&0& 1 && \( A \land B \land \overline{C}\)\\ + 1&1&1& 0\\ +\end{tabular} + +\( F' := \overline{A B} C \lor \overline{A} B \overline{C} \lor A \overline{BC} \lor A B \overline{C} \) + +\begin{multicols}{2} +Die entstandene Formel ist also eine Disjunktion von Konjunktionen von Variablen der negierten Variablen.\\ +(Variablen und negierte Variablen bezeichnet man als \underline{Literale}, Konjunktionen von Literalen als (Und-)\underline{Klauseln})\\ +Solche Formeln heißen \underline{disjunktive Normalformen} (DNF). +\columnbreak\\ +\begin{tabular}{ccc|ccl} + A&B&C& F\\ + \hline + 0&0&0& 0\\ + 0&0&1& 1\\ + 0&1&0& 1\\ + 0&1&1& 0\\ + 1&0&0& 1\\ + 1&0&1& 0\\ + 1&1&0& 1\\ + 1&1&1& 0\\ +\end{tabular} +\end{multicols} + + +2. Idee: Suche eine Formel für \(F''\), die genau bei den 0-Zeilen in der Wahrheitstabelle falsch wird. + +\begin{align*} +F'' &= \neg ( \overline{A}\overline{B}\overline{C} ) \land + \neg ( \overline{A} B C ) \land + \neg ( A \overline{B} C ) \land + \neg ( A B C ) & (*)\\ + &= \left(A \lor B \lor C\right) \land + \left(A \lor \overline{B} \lor \overline{C}\right) \land + \left(\overline{A} \lor B \lor \overline{C}\right) \land + \left(\overline{A} \lor \overline{B} \lor \overline{C}\right) +\end{align*} + +Eine solche Konjunktion von (Oder-)Klauseln heißt \underline{Konjunktive Normalform} (KNF).\\ +An der Formel \((*)\) sieht man, daß es zu jeder Formel eine äquivalente Formel gibt, die nur die Junktoren \( \land, \neg \) enthält.\\ +Junktorenmenge mit dieser Eigenschaft nennt man Basen. + +Beispiel: Auch \( \{ \lor, \neg \} \) ist eine Basis.\\ + Es gibt zwei Basen aus nur einem Junktor: + \begin{itemize} + \item NAND ( \( A \text{ NAND } B = \neg ( A \land B ) \) ) + \item NOR (weder-noch),\\ + \( A \text{ NOR } B = \overline{A} \land \overline{B} \) + + Beweisidee:\\ + \( \{\lor, \neg\} \) ist eine Basis;\\ + \( A \lor B \equiv \overline{\overline{A\lor B}} \equiv \overline{\overline{A} \land \overline{B}} \equiv \neg (A \text{ NOR } B ) \)\\ + \( \neg A \equiv \overline{A} \land \overline{A} \equiv A \text{ NOR } A \equiv (A \text{ NOR } B ) \text{ NOR } ( A \text{ NOR } B )\) + \end{itemize} + +Beispiel: Logik-Rätsel Banküberfall +\begin{itemize} + \item[a)] + Es kommen nur drei Personen, Herbert, Klaus und Fritz, in Frage.\\ + \(G_a = H \lor K \lor F\) + \item[b)] + Wenn Herbert schuldig und Klaus unschuldig ist, dann ist Fritz schuldig.\\ + \( G_b = (H \land \overline{K}) \rightarrow F \) + \item[c)] + Fritz „arbeitet“ niemals alleine.\\ + \( G_c = F \rightarrow (H \lor K ) \) + \item[d)] + Herbert arbeitet nie mit Fritz zusammen.\\ + \( G_d = H \rightarrow \overline{F} ( = F \rightarrow \overline{H}) \) +\end{itemize} + +\begin{tabular}{ccc|ccccc} + H&K&F&\(G_a\)&\(G_b\)&\(G_c\)&\(G_d\) & \(G_a \land G_b \land G_c \land G_d\)\\ + \hline + 0&0&0& 0& 1& 1& 1& 0\\ + 0&0&1& 1& 1& 0& 1& 0\\ + 0&1&0& 1& 1& 1& 1& 1\\ + 0&1&1& 1& 1& 1& 1& 1\\ + 1&0&0& 1& 0& 1& 1& 0\\ + 1&0&1& 1& 1& 1& 0& 0\\ + 1&1&0& 1& 1& 1& 1& 1\\ + 1&1&1& 1& 1& 1& 0& 0 +\end{tabular} + +Antwort: Klaus war auf jeden Fall beteiligt. + +DNF: \( \overline{H} F \overline{K} \lor \overline{H} K F \lor H K \overline{F} \)\\ +KNF: \( (H \lor K \lor F) \land + (H \lor K \lor \overline{F}) \land + (\overline{H} \lor K \lor F) \land + (\overline{H} \lor K \lor \overline{F}) \land + (\overline{H} \lor \overline{K} \lor \overline{F}) \) + +\subsection{Die Länge der Normalformen} +Mit dem Verfahren aus 1.3 erhält man Normalformen, bei denen alle Klauseln jede Variable (negiert oder nicht negiert) enthalten.\\ +Solche Normalformen bezeichnet man als \underline{vollständige} oder \underline{kanonische} DNF, bzw. KNF. + +Wahrheitstabelle, kanonische DNF und kanonische KNF sind eineindeutige Dartsellung äquivalenter Formeln.\\ +Diese Darstellungen besitzen i.\,a. unterschiedliche Länge. Bei \(n\) Variablen und \(k\) erfüllende Belegungen enthält +\begin{itemize} + \item[-] die Wahrheitstabelle \(2^n\) Zeilen + \item[-] die kanonische DNF \(k\) Klauseln + \item[-] die kanonische KNF \(2^n - k\) Klauseln. +\end{itemize} + +Häufig kann man die Normalformen verkürzen. + +Beispiel von vorhin: + +\begin{align*} +\text{DNF: }&\quad \overline{H} F \overline{K} \lor \overline{H} K F \lor H K \overline{F}\\ +&\equiv \overline{H} F \overline{K} \lor \overline{H} K F \lor \overline{H} K F \lor H K \overline{F}\\ +&\equiv \overline{H} K \underbrace{( \overline{F} \lor F)}_{\equiv1} \lor \underbrace{( \overline{H} \lor H )}_{\equiv1} K \overline{F}\\ +&\equiv \overline{H} K \lor K \overline{F} &\text{(verkürzte DNF)}\\ +&\equiv K ( \overline{H} \lor \overline{F} ) &\text{(verkürzte KNF)} +\end{align*} + +Bem.: In manchen Fällen kann die kanonische DNF (oder KNF) nicht mehr verkürzt werden.\\ +Beispiel:\\ +\( F_n := (A_1 \oplus A_2) \land (A_3 \oplus A_4 ) \land ... \land (A_{n-1} plus A_n) \)\\ +\(n\) gerade.\\ +Kann nicht gekürzt werden.\\ +Beweis durch Widerspruch:\\ +Sei \(\hat F_n\) die kanonische DNF von \(F_n\), \(\tilde F_n\) eine verkürzte DNF von \(F_n\)\\ +\( \Rightarrow \) \(\tilde F_n\) enthält eine Klausel K, die nicht alle Variablen enthält. Sei \(A_j\) in K nicht enthalten. + +Wähle \(A_1, ..., A_n\) so, dass K den Wert 1 annimmt.\\ +( \( \Rightarrow \hat F_n, F_n, \tilde F_n\) sind wahr.) + +Ändere den Wert von \(A_j\)\\ +Der Wert von K (und \(\tilde F_n\)) ändert sich nicht, aber der Wert von \(F_n\) wird 0.\\ +\( \rightarrow \) Widerspruch!\\ +\( \rightarrow \) \(\tilde F_n\) gibt es nicht. + +\newpage +\section{Mengen} +\subsection{Definition von Mengen} + +Wir definieren hier eine \underline{Menge} als Zusammenfassung wohldefinierter, unterscheidbarer Objekte.\\ +Ein Objekt \(x\) heißt \underline{Element} der Menge \(M\) (\(x \in M \)), wenn \(x\) in \(M\) enthalten ist.. (anderfalls \(x \not\in M\)) + +Anmerkung: Diese „naive“ Definition von Mengen kann zu Widersprüchen führen. Keine Widersprüche treten auf, wenn man nur Teilmengen einer zuvor Definierten Grundmenge betrachtet. + +Zwei Mengen \(M,N\) sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten:\\ +\hspace*{5mm}\(M=N \Leftrightarrow \) Für alle Objekte \(x\) gilt: \( x \in M\) genau dann, wenn \(x \in N\) + +Bem.: Insbesondere sind keine Konzepte wie die Häufigkeit der Elemente in einer Menge oder die Reihenfolge der Elemente in einer Menge definiert.\\ +z.\,B.: +\begin{align*} +\{1,2,3\} &= \{ 3,2,1\}\\ + &= \{1,2,2,3,3,3\}\\ + |\{1,2,3\}| &= 3 +\end{align*} + +Die Anzahl der verschiedenen Elemente einer Menge \(M\) heißt die \underline{Mächtigkeit} von M (Abk.: \( |M|\)) + +\subsection{Notation von Mengen} + +\begin{itemize} + \item + Aufzählung (bei endlich vielen Elementen).\\ + \( T_{10} = \{1,2,5,10\} \) (Menge der Teiler von 10) + \item + Aufzählung mit Auslassungszeichen:\\ + \( \{ 1,2,...,n\} =: [n]\) (alle natürlichen Zahlen von 1 bis n) + \item + Bei unendlichen Mengen: + \begin{align*} + \mathbb N := &\{ 0,1,2,...\} &\text{(Menge der natürlichen Zahlen)}\\ + &\{ 1,3,5,7,...\} &\text{(ungerade natürliche Zahlen)}\\ + Q = &\{ 0,2,4,9,16 \} &\text{(Quadratzahlen)} + \end{align*} + \item + ganz allgemein: Angabe einer Eigenschaft: + \begin{align*} + Q &= \{ x \in \mathbb N \mid x \text{ ist Quadratzahl} \}\\ + &= \{ x \in \mathbb N \mid \text{ es gibt } y\in \mathbb N: y^2 = x\}\\ + &= \{ x \in \mathbb N \mid \sqrt(x) \in \mathbb N \}\\ + \mathbb Q &= \left\{ \frac{a}{b} \mid a,b \in \mathbb Z \text{ und } b \ne 0 \right\} &\text{(Menge der Natürlichen Zahlen)} + \end{align*} +\end{itemize} + +\subsection{Teilmengen} + +Enthält \(M\) alle Elemte der Menge \(N\), dann heißt, dann heißt \(N\) \underline{Teilmenge} von \(M\) (\(N \subseteq N\))\\ +\( N \subseteq M \)\\ +und \(M\) \underline{Obermenge} von \(N\).\\ +Wenn \(M\) ein Element enthält, das nicht in \(N\) vorkommt \(N \subseteq, aber N \ne M \), dann heißt \(N\) \underline{echte Teilmenge} von \(M\) ( \( N \subset M, N \subsetneq M \)). + +Jede Menge hat zwei triviale Teilmengen: +\begin{align*} + M &\subseteq M \\ + \emptyset &\subseteq M +\end{align*} +Die Teilmengenbeziehung nennt man auch \underline{Inklusion}.\\ +Die Inklusion hat folgende Eigenschaften: +\begin{enumerate} + \item + Reflexivität:\\ + \(M \subseteq M \) für jede Menge \(M\) + \item + Transivität:\\ + \( A \subseteq B \text{ und } B \subseteq C \)\\ + \( \Rightarrow A \subseteq C \) + \item + Antisymmetrie:\\ + \(A \subseteq B\quad\land\quad B \subseteq A \Leftrightarrow A = B \) +\end{enumerate} +Beispiel:\\ +\begin{align*} + A &:= \{ 2\cdot x \mid x \in \mathbb Z \} \\ + B &:= \{ y+z \mid y+z \in\mathbb Z, y \text{ und } z \text{ ungerade } \}\\ + A &\overset{?}{=} B\\ + A &\overset{!}{=} B\\ + \text{Sei } &2x \in A, x \in \mathbb Z\\ + &\Rightarrow 2x = \underbrace{(2x +1)}_{=y}\underbrace{-1}_{=z} \in B\\ + &\Rightarrow A \subseteq B\\ + B \subseteq A:\\ + \text{Sei } &y+z \in B \text{ y,z ungerade}\\ + y &= 2n +1 \text{ für ein } n \in \mathbb Z\\ + z &= 2n + 1\\ + &\Rightarrow y + 2 = 2 (n+m+1) \text{ ist gerade}\\ + &\Rightarrow y + z \in A, B \subseteq A +\end{align*} +Antisymmetrie:\\ +\( \Rightarrow A = B \) + +Die \underline{Potenzmenge} \(\mathcal P(M)\) einer Menge \(M\) ist die Menge aller Teilmegen von \(M\). + +Bsp.:\\ + \(\mathcal P(T_q) = \mathcal P(\{1,3,9\})\)\\ + \( = \{ \emptyset, \{1\},\{3\},\{9\},\{1,3\},\{1,9\},\{3,9\},\{1,3,9\} \} \)\\ + \( |\mathcal P(M)| = 2^{|M|} \) + +\subsection{Operationen auf Mengen} + +Es seien \(A,B\) zwei beliebige Mengen. +%TODO% Venn-Diagramme… +\begin{itemize} + \item + Vereinigungsmenge:\\ + \( A \cup B := \{ x \mid x \in A \text{ oder } x \in B \}\) + \item + Schnittmenge:\\ + \( A \cap B := \{ x \mid x \in A \text{ und } c \in B \}\) + \item + Differenzmenge:\\ + \(A -B := A \backslash B := \{ x \mid x \in A \text{ und } x \not\in B \}\) + \item + Symmetrische Differenz:\\ + \(A \triangle B := (A \backslash B) \lor (B \backslash A) \)\\ + \( = \{ x \mid \text{entweder } x \in A \text{ oder } x \in B \} \) +\end{itemize} + +\subsection{Rechenregeln} +(Folgen direkt aus den Regeln für logische Formeln.) + +\( A \cup B = \{ x \mid x\in A \text{ oder } x \in B \} \underset{(1)}{=} \{ x \mid x\in B \text{ oder } x \in A \} = B \cup A \)\\ +{\small \((1)\) Kummutativgesetz für\( \land \)} + +\begin{enumerate} + \item + \underline{Kommutativgesetz} \((*)\)\\ + \( A \cup B = B \cup A \)\\ + \( A \cap B = B \cup A \)\\ + \( A \triangle B = B \triangle A \) + \item + \underline{Assoziotivgesetze} \((*)\)\\ + \(A \cup ( B \cup C ) = ( A \cup B ) \cup C\)\\ + \( A\cap ( B \cap C ) = ( A \cap C ) \cap C \)\\ + \( A\triangle ( B \triangle C ) = ( A \triangle C ) \triangle C \)\\ + \item + \underline{Distributivgesetze} \((*)\)\\ + \( A \cup ( B \cap C ) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)\\ + \( A \cap ( B \cup C ) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)\\ + \( A \cap ( B \triangle C ) = (A \cap B) \triangle (A \cap C)\) + \item + \underline{Doppeltes Komplement}\\ + \( \overline{\overline{A}} = A \) + \item + \underline{de Morgansche Gesetze}\\ + \( \overline{ A \cup B } = \overline{A} \cap \overline{B} \)\\ + \( \overline{ A \cap B } = \overline{A} \cup \overline{B} \)\\ + \item + \underline{weiteres Gesetz mit Komplement}\\ + \( A \triangle B = \overline{A} \triangle \overline{b} \) + \item + \underline{Verschmelzungsgesetze} \((*)\)\\ + \(A \cap ( A \cup B ) = A \)\\ + \( A \cup ( A \cap B ) = A \) + \item + \underline{Idempotenzgesetze}\\ + \( A \cup A = A \)\\ + \( A \cap A = A \) + \item + \underline{Existenz des komplementären Elements} \((*)\)\\ + \( A \cup \overline{A} = M\)\\ + \( A \cap \overline{A} = \emptyset\) + \item + \underline{Gesetze für \(M, \emptyset\)} + \begin{align*} + A \cup M &= M & A \cup \overbrace{\emptyset}^{1} &= A \\ + A \cap \underbrace{M}_{2} &= A & A \cap \emptyset &= \emptyset + \end{align*} + {\small \((1)\) neutrales Element bzgl. \(\cup\)}\\ + {\small \((2)\) neutrales Element bzgl. \(\cap\)} + \item + \underline{Kontraposition}\\ + \( A \backslash B = \overline{B} \backslash \overline{A} \) + \item + \underline{weitere}\\ + \( A \backslash B = A \cap \overline{B} = \overline{\overline{A} \cup B} \) +\end{enumerate} + +\textcolor{darkgreen}{\underline{Def.:}} Sei \(M\) eine beliebige Menge, \( A \subseteq M \).\\ +Dann heißt\\ +\hspace*{4mm} \(\overline{A} = M \backslash A = \{ x \mid x \in M \text{ und }x \not\in A \}\)\\ +das \underline{Komplement} von A bzgl. M. + +\subsection{Kreuzprodukte} +Bei vielen Anwendungen hat man mit geordneten Paaren von Objekten zu tun. + +\underline{Beispiel:} kartesische Koordinaten in der Ebene. +%TODO% koordinatensystem; punkte: P(sqrt(3),1); Q(1,sqrt(3)) + +Mengen sind ungeeignet zur Darstellung geordneter Paare.\\ +\( \left( \left\{ 1,\sqrt{3} \right\} = \left\{ \sqrt{3},1 \right\} \right) \) + +\textcolor{darkgreen}{\underline{Definition:}}\\ +Seien A und B beliebige Mengen.\\ +Die Menge:\\ +\vspace*{4mm}\( A \times B := \{(a,b) \mid a \in A \text{ und } b \in B \} \)\\ +der geordneten Paare mit erster Komponente in A und zweiter Komponente in B heißt das \underline{Kreuzprodukt} (oder \underline{kartesische Produkt}) von A und B. + +Abkürzung: \( A \times A =: A^2\) + +\underline{Beispiel:}\\ +\begin{itemize} + \item + Koordinatenmenge der Eben:\\ + \( \mathbb R \times \mathbb R = \mathbb R^2\) + \item + Seien \( [x_{min}; x_{max}] \subset \mathbb R, [y_{min}; y_{max}] \subset \mathbb R \) (mit + \( x_{min} < x_{max}, y_{min} < y_{max} \)) zwei Intervalle.\\ + \( [x_{min},x_{max}] \times [y_{min}, y_{max}] \) + \item + \underline{Polarkoordinaten (in der Ebene)}\\ + \( (r,\phi) \in \mathbb R_{0}^+ \times {[0,2\pi)} \)\\ + \( = \{r', \phi' \mid 0 \le r', 0 \le \phi' <2\pi \} \) +\end{itemize} + +Allgemeiner:\\ +Für beliebige Mengen \( A_1, ... A_n \) bezeichnet das n-fache Kreuzprodukt\\ +\hspace*{4mm} \( A_1\times ... \times A_n:= \{ (a_1, a_2, ..., a_n) \mid a_i \in A_i \text{ für } i=1, ... , n \} \)\\ +die Menge aller n-Tupel mit i-ter Komponente in \(A_i \). + +\underline{Beispiel:} kartesische Koordinaten in 3D:\\ +Koordinaten von P:\\ +\includegraphics{bilder/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf}\\ +\( (x_P,Y_P,Z_P) \in \mathbb R \times \mathbb R \times \mathbb R \) \\ +\( (1, \sqrt{3}, 5) \) + +\underline{Beispiel:} Zylinderkoordinaten\\ +%TODO% Koordinatensystem +\( (r_P, \phi_P, Z_P) \in \mathbb R_{0}^+ \times {[0,2\pi)} \times \mathbb R \) + +\( (r, \phi, Z) \in {[0,R]} \times {[0,2\pi)} \times {[0,Z]} ,\quad R,Z \in \mathbb R^+ \) +%TODO% Zylinder [=,R] x [0,2pi) x [0,Z] + +\underline{Beispiel:} +\begin{align*} + \mathbb B := \{0,1\} &\widehat= 1 \text{ Bit}\\ + \mathbb B^8 = \underbrace{\mathbb B \times ... \times \mathbb B}_{\text{8-mal}} &\widehat= 1\text{ Byte} = 8 \text{ Bit} +\end{align*} +\(\mathbb B^n \widehat= \) Menge aller Bitstrings von Länge \(n\). + + \( \underbrace{\{ \}}_{\text{Leeres Wort}} \cup \mathbb B \cup \mathbb B^2 \cup \mathbb B^3 \cup ... + =: \bigcup^{\infty}_{i=0} \mathbb B^i \)\\ + \( = B^* \)\\ + ( \(B^*\) enthält alle Bitstrings von endlicher Länge) + +Mit einem Bit lassen sich zwei Zahlen darstellen, mit einem Byte \( \left| \mathbb B^8 \right | = 2^8 = 256 \). + +Allgemein gilt:\\ + Wenn \(A_1, ... A_n \) endliche Mengen sind, ist \( \left| A_1 \times ... \times A_n \right| = \left| A_1 \right| \cdot ... \cdot \left| A_n \right| \) + +\newpage +\section{Relationen} +\subsection{Relationen} +Das Kreuzprodukt \( A \times B \) enthält alle Kombinationen von Elementen aus \(A\) mit Elementen aus der Menge \(B\). Häufig ist man nur an einer Teilmenge dieser Kombinationen interessiert. + +\underline{Beispiel:} Kategorisierung von Objekten, etwa:\\ +\begin{itemize} + \item Bücher: Autor, Vertrag, Genre, Themengebiet + \item Online-Shop:\\ + Artikel nach Produkttyp, Hersteller, Preisklasse, Sonderangebote\\[3mm] + \begin{tabular}{r|cccl} + Artikel: && Produkttyp: &\\ + \textbf{T} & Bügeleisen & Fernseher & DVD-Player & ...\\ + \hline + 1023 & X\\ + 0815 & & X & X\\ + 923 & X + \end{tabular} +\end{itemize} + +\textbf{T} \( \subseteq \) Menge aller Artikel \(\times\) Menge aller Produkttypen + +\textcolor{darkgreen}{\underline{Definition:}} Seien \(A, B\) zwei Mengen, \( R \subseteq A \times B \)\\ + Dann heißt \(R\) eine \underline{Relation zwischen \(A\) und \(B\)}. Falls \(A=B\), d.\,h. \(R \subseteq A^2\), dann heißt \(R\) auch \underline{Relation} auf \(A\)\\ +\((A^2 = A \times A )\) + +\underline{Beispiel:}\\ +\( T = \{ (1023, \text{ Bügeleisen}), (0815, \text{ Fernseher}), (0815, \text{ DVD-Player}), ... \}\)\\ +Schreibweise: statt \((a,b) \in \mathbb R \) schreibt man häufig \( a\mathbb R b \) + +Allgemeiner:\\ +Jede Teilmenge \(\mathbb R \le A_1 \times ... \times A_n \) eines n-fachen Kreuzprodukts heißt \underline{n-stellige Relation}. + +\underline{Beispiel:} Vater-Mutter-Kind-Relation:\\ + \((x,y,z) \in B \Leftrightarrow \) x ist Vater von z und y ist Mutter von z. + +\underline{Beispiel Online-Shop:}\\ +\( T' \subseteq \) Menge der Artikel \(\times\) Menge der Produkttypen \(\times\) Menge der Preisklassen \(\times\) Menge der Hersteller. + +Besodners häufig hat man es mit binären Relationen R auf eine endliche Menge A zu tun; solche Relationen ann man auch durch einen \underline{Graphen} darstellen:\\ +\includegraphics{bilder/3-1.pdf}\\ +Graph \(G = (V,E)\)\\ +\(V\): Menge der Knoten („Punkte“, vertices)\\ +\(E\): Menge der Kanten („Pfeile“, edges)\\ +\( R = E \subseteq V \times V = A \times A \) + +alternative Darstellung von Graphen:\\ +(z.\,B. Algorithmen) + +\underline{Adjazenzmatrix:}\\ +\( M = \begin{pmatrix} + 1&1&0&0\\ + 1&0&1&0\\ + 0&0&0&0\\ + 0&1&1&0 + \end{pmatrix}\)\\ +Der Eintrag \(M_{ij}\) in Zeile i, Spalte j von M ist 1, wenn es im Graphen eine Kante vom Knoten i zum Knoten j gibt, sonst 0. + +Die Adjazenzmatrix läßt sich also mit \( |V| ^2\) vielen Bits abspeichern. + +\textcolor{darkgreen}{\underline{Definition:}}\\ +Sei \( R \subseteq A \times B \) eine binäre Relation.\\ +\(D(R) := \{ a \in A \mid \text{ es gibt ein } b \in B \text{ mit } a R b \} \)\\ +\hspace*{4mm}(\underline{Definitionsbereich} von R)\\ +\( W(R) := \{ b \in B \mid \text{ es gibt ein } a \in A \text{ mit } a R b \} \)\\ +\hspace*{4mm}(\underline{Definitionsbereich} von R) + +\underline{Obiges Beispiel:}\\ +\(D(R) = \{1,2,5\} \)\\ +\hspace*{4mm}(Zeile 3 ist eine Nullzeile in M)\\ +\(W(R) = \{1,2,3\} \)\\ +\hspace*{4mm}(Spalte 4 in M ist eine Nullspalte) + +\underline{Einschub: Quantoren}\\ +Sei \(F(x)\) eine Formel, die von einer Variablen \(x\) abhängt.\\ +Wir führen zwei Quantoren, den \underline{Allquantor} \(\forall\) und den \underline{Existenzquantor} \(\exists\) ein:\\ +\( \forall x: F(x)) \) bedeutet „für alle x gilt F(x)“\\ +\( \exists x: F(x) \) bedeutet „es gibt ein x, so dass F(x) gilt“ + +Für eine Formel \( G(x_1,..., x_n) \) definiert man analog:\\ + \(Q_1 x_1 : Q_2 x_2 : ... : Q_n x_n : G(x_1 , ... x_n) \)\\ +wobei die \(Q_i\) jeweils ein Allquantor oder ein Existenzquantor sind.\\ +\underline{Beispiel:} „Es gibt jemanden, der alles versteht.“\\ +entspricht: \( \exists x : \forall y : x \text{ versteht } y\).\\ +Die Reihenfolge der Quantoren ist wichtig:\\ +\( \forall y : \exists x : x \text{ versteht } y \)\\ +„Jede Sache wird von jemandem verstanden.“ + +Negation quantisierter Formeln:\\ +\( \neg \forall x : F(x) \) („nicht für alle \(x\) gilt \(F(x)\))\\ +\( \equiv \exists x : \neg F(x) \) („es gibt ein \(x\), so dass \(F(x)\) nicht gilt.“)\\ +\( \neg \exists x : F(x) \) („es gibt kein \(x\), so dass \(F(x)\) gilt“)\\ +\( \equiv \forall x : \neg F(x) \) („für alle \(x\) gilt \(F(x)\) nicht“) + +\underline{Beispiel:}\\ +„Niemand versteht alles“\\ +\( \neg \exists x : \forall y : x \text{ versteht } y \)\\ +\( \equiv \forall x : \neg ( \forall y : x \text{ versteht } y) \) („Jeder versteht nicht alles.“)\\ +\( \equiv \forall x : \exists y : \neg ( x \text{ versteht } y )\) („Für jedes x gibt es etwas, was x nicht versteht“) + +\subsection{Zusammengesetzte Relationen} +Seien \(R,S\) zwei Relationen \((R \subseteq A \times B, S \subseteq B \times C )\) +\begin{itemize} + \item + Die \underline{Umkehrrelation} \(R^{-1} \subseteq B \times A \) ist definiert als\\ + \(R^{-1} = \{ (a,b) \mid (a,b) \in R \} \) + \begin{itemize} + \item Rollen der Zeilen und Spalten vertauscht + \item für die Matrixeinträge gilt:\\ + \((A_{R^{-1}})_{ij} = (A_R)_{ji} \) für \(i,j = a,...,e\) + \item \(A_{R^{-1}}\) ist also die Transponierte von \((A_R)^T\) von \(A_R\) + \item \(A_{R^{-1}}\) geht durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen aus \(A_R\) hervor + \item \( (A_{(R^{-1})^{-1}})_{ij} = (A_{R^{-1}})_{ji}\)\\ + \( \Rightarrow ( A_{(R^{-1})^{-1}} ) = (A_R)_{ij} \) + \end{itemize} + \item + Die \underline{Verkettungsrelation} \( S \circ R \subseteq A \times C \) (S nach R)\\ + ist \( S \circ R := \{ (a,c) \in A \times C \mid \exists v \in B : a R b \land b S c \} \) +\end{itemize} +\underline{Beispiel:} Online-Shop:\\ +„Heute 20\% Rabatt auf Tiernahrung und Fernseher.“\\ +\begin{tabular}{c|ccc} + S & „-20\%“ & „-10\%“ & „\(\pm\)0\% \\ + \hline + Tiernahrung & X\\ + Fernseher & X\\ + Bügeleisen & & & X +\end{tabular}\\ +Frage: „Wieviel Rabatt gibt es auf Artikel 0815?“\\ +Lösung:\\ +Betrachte \(S \circ T \)\\ +wir finden: (0815, Fernseher) \( \in T \),\\ +(0815, DVD-Player) \( \in T \),\\ +(Fernseher,„-20\%) \( \in S\)\\ +\( \Rightarrow\) (0815, „-20\%“) \( \in S \circ T \)\\ +(wähle b=Fernseher in der Definition von \(S \circ T\) + +Beispiel für die Umkehrrelation:\\ +\begin{itemize} + \item + Kleiner-gleich-Relation auf \(\mathbb R \):\\ + \( y \leqslant^{-1} x \Leftrightarrow x \leqslant y \Leftrightarrow y \geqslant x\)\\ + \( (y,x) \in \leqslant^{-1} \quad (x,y) \in \leqslant \quad (y,x) \in \geqslant\)\\ + \( \Rightarrow \) Die Umkehrrelation von \( \leqslant \) ist \( \geqslant \). +\end{itemize} + +\underline{am Beispiel von Graphen:}\\ +\begin{itemize} + \item + \underline{Umkehrrelation:}\\ + Es ändert sich lediglich die Richtung der Pfeile. + \item + \underline{Verkettungsrelation:}\\ + \( G^2 = G \circ G := (V, E \circ E) \)\\ + wenn \( G = (V, E )\) +\end{itemize} +\includegraphics{bilder/3-2.pdf} + +\underline{\underline{\textbf{Eigenschaften von Umkehr- und Verkettungsrelationen}}} + +\textbf{Einschub: Umkehrrelation} + +\( R \subseteq A \times B , C \subseteq B \times C , R \subseteq B \times A \)\\ +\( b(R^{-1})a \Leftrightarrow aRb\)\\ +\(b \in B, a \in A\) + +Bsp.:\\ +\( x \le y \Leftrightarrow y \ge x \)\\ +\( \le^{-1} \Leftrightarrow \ge \) + +Adjezenzmatrix von \(\mathbb R \): + +\includegraphics[width=6cm]{bilder/3-3_adjezenzmatrix.pdf} + +\textbf{Einschub Verkettungsrelation:} + +\( S \circ R \subseteq A \times C, \quad a \in A \quad c \in C \)\\ +\(a(A \circ R)c \Leftrightarrow \exists b \in B: aRb \land bSc\) + +Eigenschaften:\\ +\begin{itemize} + \item + \textcolor{yellow}{\underline{\textcolor{black}{\( (R^{-1})^{-1} = R \subseteq A \times B\)}}} \( : a \in A, b \in B \) beliebig gewählt.\\ + \( a(R^{-1})^{-1}b \Leftrightarrow b(R^{-1})a \Leftrightarrow aRb \) + \item + \textcolor{yellow}{\underline{\textcolor{black}{\( (S \circ R)^{-1} = R^{-1} \circ S^{-1} \)}}}\\ + Beweis: siehe Übungsaufgabe +\end{itemize} + +\subsection{Die Klassifikation von Relationen} + +Eine Relation \( R \subseteq A \times A \) kann folgende Eigenschaften besitzen:\\ +\begin{itemize} + \item Reflexivität: \( \forall a \in A : aRa\,(R) \) + \item Symmetrie: \( \forall a,b \in A : aRb \leftrightarrow bRa\,(S) \) + \item Antisymmetrie: \( \forall a,b \in A : aRb \land bRa \rightarrow a=b\,(AS) \) + \item Transitivität: \( \forall a,b,c \in A : aRb \land bRc \rightarrow aRc\,(TR) \) + \item Totalität: \( \forall a,b \in A : aRb \lor bRa\,(TO) \) +\end{itemize} + +Von besonderer Bedeutung sind folgende Kombinationen dieser Eigenschaften: +\begin{enumerate} + \item \(R\) ist eine Äquivalenzrelation, wenn \(R\) die Eigenschaften \((R),(S),(TR)\) besitzt. + \item \(R\) ist eine Halbordnung, wenn \(R\) die Eigenschaften der \((R),(AS),(TR)\) besitzt. + \item Eine Halbordnung, für die zusätzlich \((TO)\) gilt, heißt totale Ordnung. +\end{enumerate} + +Bsp.: +\begin{itemize} + \item + Die Äquivalenz aussagen logischer Formeln (\(\equiv\)) ist ein Bsp für eine Äquivalenzrelation + \item + Definiere \(\cong\) als Relation auf \(\mathbb Z\) als:\\ + \( a \cong b : \Leftrightarrow a,b\) sind beide gerade oder beide Ungerade\\ + \( a \cong a \) (R)\\ + \( a \cong b \land b \cong c \rightarrow a \cong c\,(TR)\)\\ + \( \Rightarrow \cong \) ist eine Äquivalenzrelation + \item + Die Kleiner-Gleich-Relation \(\le\) auf \(\mathbb R\) ist eine totale Ordnung:\\ + \begin{align*} + x &\le x &(R)\\ + x &\le y \land y \le x \rightarrow x = y & (AS)\\ + x &\le y \land y \le z \rightarrow y \le z & (TR)\\ + \text{Es gilt auch immer:}\\ + x &\le y \lor y \le x & (TO) + \end{align*} + \item + Eine Halbordnung, die keine totale Ordnung ist:\\ + Die Inklusion als Relation auf \(\mathcal P(M) \) für eine Menge.\\ + Seien \( A,B,C \in \mathcal P(M) \) (d.\,h. \( A \subseteq M, B \subseteq M, C \subseteq M\))\\ + \begin{align*} + &\Rightarrow A \subseteq A & (R)\\ + &\Rightarrow A \subseteq B \land B \subseteq A \rightarrow A = B & (AS) \\ + &\Rightarrow A \subseteq B \land B \subseteq C \rightarrow A \subseteq C & (TR)\\ + \end{align*} + Wenn \( |M| \ge 2 \), dann gibt es \( x \in M, y\in M \text{ mit } x \ne y \)\\ + \( \Rightarrow \{x\} \not\subseteq \{y\} \quad \{y\} \not\subseteq \{x\}\) \\ + \(\Rightarrow \) Die Inklusion ist nicht total, wenn \(M\) als 2 Elemente. +\end{itemize} + +Darstellung einer Halbordnung auf einer endlichen Menge Hasse-Diagramm (am Bsp. einer Inklusion auf \(\{1,2,3\}\)) + +\includegraphics[height=5cm]{bilder/3-3_hasse-diagramm.pdf} + +neue Klasse\\ +\begin{itemize} + \item zum Hinzufügen in eine Menge: Äquivalenzrelation! + \item zum Hinzufügen in eine sortierte Datenstruktur Totale Ordnung +\end{itemize} + +%% 2010-11-05 %% + +\subsubsection{Transitive Hülle} + +Transitivität: \( aRb \land bRc \rightarrow aRc \)\\ +Veranschaulichung an deinem Graphen\\ +\( G:= (V,E):\) + +\includegraphics[height=4cm]{bilder/3-3_transitive_huelle.pdf} + +Fragestellung:\\ +Welche Knoten sind von eine gegebenen Knoten aus erreichbar?\\ +\( G^+ := \bigcup\limits^{\infty}_{i=1} G^i = G^1 \cup G^2 \cup G^3 \cup ... \) + +\underline{transitive Hülle} von G:\\ +Relation R:\\ +\( R^+ := \bigcup\limits^{\infty}_{i=1} R^i = R^1 \cup R^2 \cup R^3 \cup ... \) \\ +\(R^+\) ist die kleinste transitive Relation die \(R\) enthält. + +reflexiv-transitive Hülle einer Relation R:\\ +\( R^* := R^0 \cup R^+ = \bigcup\limits_{i \in \mathbb N} R^i\)\\ +(Falls R Relation auf der Menge M ist:\\ +\hspace*{4mm}\(R^0 := \{ (x,x) \mid x \in M \} \))\\ +\(R^*\) ist die kleinste Relation, die \(R\) enthält und (R) sowie (TR) erfüllt. + +\includegraphics[height=4cm]{bilder/3-3_transitive_huelle_2.pdf} + +Falls R bereits transitiv ist:\\ +\hspace*{4mm}\( R^+ = R \)\\ +(Falls R bereits reflexiv und Transitiv ist:\\ +\hspace*{4mm}\( R^* = R \) + +\subsubsection{Äquivalenzrelationen, Partitionen, Äquivalenzklassen} + +Gegeben sei eine beliebige Menge A.\\ +\includegraphics[height=3cm]{bilder/3-3_unterteile.pdf}\\ +Unterteile A in dijunkte Teilmengen \(A_i\) (für alle \(i \ne j: A_i \cap A_j = \emptyset\))\\ +\( \bigcup\limits_i A_i = A\)\\ +Die Teilmengen \(A_i\) bilden also eine \underline{Partition} von A. + +Dann ist die Relation R:\\ +\hspace*{4mm}\(aRb \Leftrightarrow \exists i: a \in A_i \land b \in A_i\)\\ +eine Äquivalenzrelation auf A. + +\underline{Beispiele:}\\ +\begin{itemize} + \item + Unterteile \(\mathbb Z\) in Teilmengen\\ + \(A_i = \{ x \in \mathbb Z \mid x \text{ hat Rest } i \text{ bei Division durch } n\}\) + mit \( n \in \mathbb N, n > 0 \).\\ + \includegraphics[height=15mm]{bilder/3-3_zahlenstrahl.pdf}\\ + Äquivalenzrelation:\\ + \(x \equiv y (mod n) \)\\ + (Sprechweise: „x ist kongruent zu y modulo n“) + \(x \equiv y (mod n) \) genau dann, wenn \( \underbrace{x \text{ mod } n}_{=\text{ Divisionsrest}} = y \text{ mod } n \) + + \item + Rundung reeller Zahlen \((A = \mathbb R)\):\\ + \( A_i := \{ x \in \mathbb R \mid x \in {(i-\frac{1}{2} , i+\frac{1}{2} ]} \} \)\\ + %% Zahlenstrahl + x und y sind also äquivalent genau dann, wenn x und y auf dieselbe ganze Zahl gerundet werden. +\end{itemize} + +umgekehrt:\\ +Es sei R eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M. Für \(x \in M\) ist\\ +\hspace*{4mm}\([x]_R := \{y \in M \mid xRy \} \)\\ +die \underline{Äquivalenzklasse} von x bzgl. R. + +Der „Quotient“\\ +\hspace*{4mm}\( M / R := \{ [x]_R \mid x \in M \} \) + +Behauptung:\\ +Die Äquivalenzklassen von R bilder eine Partition von M.\\ +Beweis:\\ +\begin{itemize} + \item + Die Äquivalenzklassen überdecken M:\\ + Sei \( x \in M \) beliebig.\\ + Dann ist \( x \in [x]_R\), denn:\\ + \( xRx \) (folgt aus (R))\\ + \(\Rightarrow \bigcup\limits_{x \in M} [x]_R = M \) + \item + Verschiedene Äquivalenzklassen sind disjunkt:\\ + Sei \([x]_R \ne [y]_R \),\\ + Annahme: \( [x]_R \cap [y]_R \ne \emptyset \)\\ + Dann gibt es ein \( c \in [x]_R \cap [y]_R\).\\ + Wähle \( z \in [x]_R\), zeige: \( z \in [y]_R\):\\ + \( xRz \land xRc \underset{(S)}{\Rightarrow} cRx \land xRz \underset{(TR)}{\Rightarrow} cRz, yRc \underset{(TR)}{\Rightarrow} yRz \Leftrightarrow z \in [y]_R\)\\ + also: \( [x]_R \subseteq [y]_R, [y]_R \subseteq [x]_R \rightarrow [x]_R = [y]_R \) Widerspruch!! +\end{itemize} + +Sei G der Graph einer reflexiv-transitiven Relation R.\\ +R ist eine Halbordnung \( \leftrightarrow \) G enthält keine Kreise. + +\includegraphics[height=2cm]{bilder/kreis_5ele.pdf}\\ +(G enthält einen Kreis \( \Leftrightarrow \) R ist keine Halbordnung. + +\(\overset{\text{Beweis}}{\Leftarrow}\) (R),(TR) gelten laut Voraussetzung.\\ +\( \rightarrow \) (AS) ist Verletzt. + +\( \Rightarrow \exists x,y : xRy \land yRx\) + +in G: \includegraphics[height=1cm]{bilder/kreis_2ele.pdf}\\ + +\( \Rightarrow \) Sei %%TODO x1,x2,...,xn +ein Kreis in G. + +\( \Rightarrow x_{1}Rx_{2}, x_{2}Rx_{3}, ..., x_{n-1}Rx_{n}, x_{n}Rx_{1} \)\\ +\( \Rightarrow x_{1}Rx_{n}, x_{n}Rx_{1} \)\\ +\( \quad x_1 \ne x_n \rightarrow \) (AS) ist verletzt. + +Einbettung einer Halbordnung in eine totale Ordnung. + +Algorithmus: +\begin{enumerate} + \item Wähle ein minimales x (d.\,h. \(\neg \exists y : y \le x \))\\ + (im zugehörigen Graphen führt also keine Kante zu x.) + \item Setze \( x_1 := x \), entferne x aus dem Graphen, ebenso alle Kanten von x. + \item Fahre bei 1. fort und wähle nacheinander \( x_1,x_2,...,x_n \) bis der Graph leer ist. +\end{enumerate} +\( \Rightarrow \) Definiere:\\ +\hspace*{4mm} \( x_1 \le x_2 \le ... \le x_n \) + +Beispiel:\\ +\(\subseteq \) auf der Menge \( \mathcal P(\{1,2\}) \)\\ +\begin{multicols}{2} +\( x_1 := \{\} \)\\ +\( x_2 := \{2\} \)\\ +\( x_3 := \{1\} \)\\ +\( x_4 := \{1,2\} \)\\ +\columnbreak\\ +\includegraphics[height=4cm]{bilder/3-3_bsp.pdf} +\end{multicols} + +\( \Rightarrow \)Gefundene totale Ordnung.\\ +\( \{\} \le \{2\} \le \{1\} \le \{1,2\} \) + +\newpage +\section{Funktionen} + +Sei R eine Relation zwischen A und B. R heißt \underline{eindeutig}, wenn es zu jedem \( a \in A \) höchstens ein \(b \in B\) gibt, so dass \(aRb\). Eine eindeutige Relation \( R \subseteq A \times B \) heißt \underline{Funktion} oder \underline{Abbildung}, wenn \(D(R) = A\) + +Veranschaulichung:\\ +\includegraphics[height=3cm]{bilder/4-0_ver1.pdf}\\ +eindeutige Relation\\ +\includegraphics[height=3cm]{bilder/4-0_ver2.pdf}\\ +Funktion\\ + +Schreibweise:\\ +\( f\colon A \to B \) „d ist eine Funktion von A nach B“\\ +\( f\colon a \to b \) oder \( f(a) = b \)\\ +„f bildet a auf b ab.“\\ +„Der Funktionswert von f an der Stelle a ist b.“\\ +(„a und b stehen in Relation bzgl. f.“) + +\underline{Frage:} „Wann ist die Umkehrrelation von f wieder eine Funktion?“ +\begin{itemize} + \item \(f^{-1} \) muss eindeutig sein, d.\,h.\\ + \( \forall b \in B: \exists \) höchstens ein \(a \in A : f(a) = b\) + oder gleichbedeutend:\\ + \(\forall a_1,a_2 \in A \text{ mit } a_1 \ne a_2 \)\\ + \( \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2) \)\\ + Funktionen mit dieser Eigenschaft heißen \underline{injektiv}. + \item Es muss gelten:\\ + \(D(f^{-1}) = B\).\\ + \(D(f^{-1}) = W(F)\)\\ + \(f\colon Y \to X \)\\ + \(\forall y \in Y \exists x \in X : f(x)=y\)\\ + Funktionen mit dieser Eigenschaft heißen \underline{surjektiv}. +\end{itemize} +Also \(f^{-1}\) ist eine Funktion (von B nach A), wenn \(f\) injektiv und surjektiv ist. (Dann heißt \(f\) \underline{bijektiv}.) + +Beispiele:\\ +\begin{itemize} + \item[a)] \(f(x) := 2x \) ist surjektiv auf \( \mathbb Q\), aber nicht auf \(\mathbb Z \) und injektiv auf \(\mathbb Q \) und auf \(\mathbb Z\). + \item[b)] \(f(x) := x^2\) ist nicht surjektiv auf \(\mathbb N\), ist injektiv auf \(\mathbb N \) +\end{itemize} + +\textcolor{darkgreen}{\underline{Definition:}} Zwei Mengen A,B heißen \underline{gleichmächtig}, wenn es eine bijektion zwischen A und B gibt.\\ +\underline{Bem.:} Eine Menge A ist endlich, wenn es ein \( n \in \mathbb N \) gibt mit\\ +\hspace*{4mm}\( A \sim [n] \).\\ +(Dann hat A die Mächtigkeit n.) + +A ist unendlich, wenn A nicht endlich ist.\\ +\textcolor{darkgreen}{\underline{Definition:}}\\ + A heißt \underline{abzählbar unendlich}, wenn \( A \sim \mathbb N\).\\ + A heißt \underline{überabzählbar unendlich}, wenn A unendlich, aber nicht abzählbar unendlich ist. + +Beispiele: +\begin{itemize} + \item \(\mathbb N \backslash \{0\} \)\\ + Bijektion\(f\colon \mathbb N \to \mathbb N \backslash \{0\} , f(x) := x+1 \)\\ + \(f\) ist injektiv: seien \(x,y \in \mathbb N, x \ne y \)\\ + \( f(x) = x+1 , f(y) = y+1\)\\ + \( x \ne y \)\\ + \(x+1 \ne y+1\)\\ + also: \( f(x) \ne f(y) \)\\ + f ist surjektiv:\\ + Sei \( z \in \mathbb N \backslash \{0\} \) beliebig:\\ + Wähle \( x := z-1 \in \mathbb N \)\\ + \( \rightarrow f(x) = z \)\\ + d.\,h. \(W(f) = \mathbb N \backslash \{0\} \). + \item \(\mathbb Z \) ist auch abzählbar unendlich:\\ + Nummerierung:\\ + \( 5 3 1 0 2 4 6 \)\\ + Bijetkion: \( f\colon \mathbb N \to \mathbb Z, f(x) := (-1)^x \lceil \frac{x}{2} \rceil \) + \item \(\mathbb Q\) ist abzählbar:\\ + \(\mathbb Q \sim \mathbb Z^2 \sim \mathbb N^2 \) + \item allgemeiner:\\ + Es seien \(A_n, n\in \mathbb N\), abzählbar unendliche Mengen. Dann ist auch\\ + \( \bigcup\limits_{n \in \mathbb N} A_n\) abzählbar. + + Konstruiere eine Bijektion\\ + \( f\colon \mathbb N \to \bigcup\limits_{n \in \mathbb N} A_n\)\\ + \hspace*{4mm}\(a_n\) ist abzählbar unendlich\\ + \(\rightarrow\) es gibt eine Bijektion\\ + \hspace*{4mm}\(g_{n}\colon \mathbb N \to A_N \) + + Definiere \(f\): + \begin{align*} + f(0) &:= g_{0}(0) & f(4) &:= g_{1}(1)\\ + f(1) &:= g_{0}(1) & f(5) &:= g_{2}(0)\\ + f(2) &:= g_{1}(0) & f(6) &:= g_{0}(3)\\ + f(3) &:= g_{0}(2) + \end{align*} + + Falls einer der \(g_{i}(j)\) schon vorher in dieser Liste auftaucht, wird es übersprungen. + \item \(\mathbb R\) ist überabzählbar unendlich\\ + Widerspruchsbeweis mit Diagonalargument:\\ + Annahme: \(\mathbb R\) ist abzählbar unendlich (offensichtlich: \(\mathbb R\) ist nicht endlich)\\ + \(\rightarrow\) es gibt eine Bijektion\\ + \hspace*{4mm} \(r\colon \mathbb N \to \mathbb R\)\\ + Wir zeigen: \( \exists c \in \mathbb R : c \not\in W(r)\)\\ + Konstruiere c:\\ + Es sei \(R_{i}(n)\) die i-te Nachkommastelle von \(r(n)\);\\ + setze \(c := c_0,c_1 c_2 c_3 c_4 ...\) (c = Dezimalziffer)\\ + wobei \(c_0 \ne r_{0}(0), c_1 \ne r_{1}(1), c_2 \ne r_{2}(2) \)\\ + allgemein: \(c_n \ne r_{n}(n) \)\\ + \(\Rightarrow c \ne r(0), c \ne r(1), c \ne r(2) \)\\ + \(\forall n \in \mathbb N : c \ne r(n) \)\\ + weil c und \(r(n)\) sich in der n-ten Nachkommastelle underscheiden.\\ + \(\Rightarrow c \not\in W(r) \text{ aber } c \in \mathbb R \)\\ + \hspace*{2mm}\(\Rightarrow \) r ist keine Bijektion\\ + \hspace*{4mm}\( \rightarrow \mathbb R \not\sim \mathbb N\) + \item ähnlich:\\ + \(\mathcal P(\mathbb N) \not\sim \mathbb N \) (s. Übungsaufgabe) +\end{itemize} + +\subsection{Permutation} + +Zufallsexperiment:\\ +n Kugeln mit Nummern \(1,...,n\);\\ +ziehe Kugeln ohne zurücklegen, beachte die Reihenfolge:\\ +\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} + n & 1 & 2 & 3 &4 & 5\\ \hline + \(f(n)\) & 2 & 3 & 5 & 4 & 1 +\end{tabular}\\ +(mögliches Ergebnis für \(n=5\)) + +\(\rightarrow\) \(f\) ist eine Bijektion.\\ +Eine Bijektion auf einer endlichen Menge heißt \underline{Permutation}.\\ +Die Menge aller Permutationen auf \([n] =: S_n\) + +Algorithmus zum Erzeugen aller Permutationen auf \([n]\): +\begin{itemize} + \item Interpretiere die Permutationen als Zahlen + \item generiere alle Permutationen „der Größe nach“ geordnet + \begin{enumerate} + \item 12345 (id = „Identität“) + \end{enumerate} + nächst größere Zahl (von 23541 aus):\\ + \hspace*{3mm} \(a := 2 \underbrace{3}_{j} 5 4 1\)\\ + \hspace*{3mm} \(b := 2 4 1 3 5\)\\ +\end{itemize} + +\underline{Graphen zu Permutationen} +\begin{align*} + n & 1\,2\,3\,4\,5 & n 1\,2\,3\,4\,5\\ + \sigma(n) & 2\,3\,5\,4\,1 & id(n) & 1\,2\,3\,4\,5 +\end{align*} + +\includegraphics[height=3cm]{bilder/4-1_permut.pdf} + +Allgemein gilt: Jeder Knoten besitzt genau einen Nachfolger und genau einen Vorgänger.\\ +\(\rightarrow\) Der Graph besteht aus unzusammenhängenden Kreisen, d.\,h. jeder Knoten ist in genau einem Kreis enthalten. + +Zyklenschreibweise:\\ +\((1\,2\,3\,5) (4) \)\\ +Letzteres wird oft weggelassen. + +\( \sigma := (1\,2\,3\,5) (4) \)\\ +\( \tau := (1\,2\,4) (3\,5)\)\\[2mm] +\( \sigma \circ \sigma = (1 \, 3) (2\,5) (5)\) \\ +\( \sigma \circ \tau = (1\,3) (2\,4) (5) \)\\[2mm] +\(\sigma^{-1} = (5\,3\,2\,1) (4) = (1 \, 5 \, 3 \,2 ) (4)\)\\[2mm] +\(\sigma^{-1} \circ \sigma = (1) (2) (3) (4) (5) = \) id + +\newpage +\section{Vollständige Induktion} + +\subsection{Einführung des Beweisverfahrens} + +\( 1+2+...+100 = ? \)\\ +\begin{tabular}{ccccc} + 1&2&...&50 &\\ + +100&99&...&51&\\\hline + 101+ & 101+ &...+& 101 &= \(50 \cdot 101 = \frac{100 \cdot (100+1)}{2}\) +\end{tabular} + +allgemeiner Beweis mit vollständiger Induktion: \( \sum\limits_{k=1}^{n} k \overset{!}{=} \frac{n \cdot ( n+1)}{2} \)\\ +Induktionsanfang: \(n=1\)\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{1} k = 1 = \frac{1 \cdot 2}{2} \quad \checkmark\)\\ +Induktionsschritt:\\ +Zeige die Behauptung „für n+1“, unter der Vorraussetzung, dass sie „für n“ gilt.\\ +\( \sum\limits_{k=1}^{n+1} k = \sum\limits_{k=1}^{n} k + (n+1)\)\\ +\( \sum\limits_{k=1}^{n+1} k \overset{!}{=} \frac{(n+1)(n+2)}{2} \)\\ +\( \underset{\text{Induktionsvorraussetung}}{=} \frac{n\cdot (n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}\) + +Allgemeine Struktur eines Beweises mit \underline{vollständiger} Induktion:\\ +Wir möchten alle Aussagen \(A_i, i \in \mathbb N\), beweisen. Das funktioniert (u.\,U.) mit diesen zwei Schritten: +\begin{enumerate} + \item + Induktionsanfang:\\ + Beweise \(A_0\) + \item + Induktionsschritt:\\ + Beweise \(A_{n+1}\) (für beliebiges \(N \in \mathbb N\)\\ + unter der sog. Induktionsvorraussetzung, dass \(A_n\) gilt. + + \(A_0 \land (A_0 \rightarrow A_1) \land (A_1 \rightarrow A_2) \land (A_2 \rightarrow A_3) \)\\ + \( \Rightarrow A_0 \land A_1\) +\end{enumerate} + +\underline{Geometrische Reihe} + +wenn der Summationsindex im Exponenten steht:\\ +\( \sum\limits_{i=0}^{n} q^i , \text{ mit } q \in \mathbb R \)\\ +\( q \sum\limits_{i=0}^{n} q^i = \sum\limits_{i=0}^{n} q^{i+1} = \sum\limits_{j=1}^{n+1} q^j = \sum\limits_{i=0}^{n} + q^{n+1} - 1\) +\begin{align*} + (q-1) \sum\limits_{i=0}^{n} q^i &= q^{n+1} - 1 &\mid :(q-1) \text{ falls } q\ne 1\\ + \sum\limits_{i=0}^{n} q^i &= \frac{q^{n+1} - 1}{1-q} \\ + \sum\limits_{i=0}^{n} q^i &= \frac{1-q^{n+1}}{1-q} +\end{align*} +\underline{Bemerkung:} + +Für \(q \in \mathbb Z\) ist also \(1-q^{n+1}\) teilbar duch \(1-q\). + +Beispiel: +\begin{itemize} + \item \( 12^{17} -1 \) ist teilbar duch 11. + \item \( 2^{24} - 1 = (2^3)^8 -1 = 8^8 - 1 \) ist durch 7 teilbar. +\end{itemize} + +\(q = 1\):\\ +\( \sum\limits_{i=0}{n} q^i = \sum\limits_{i=0}^{n} = n+1\). + +alternativ: Beweis mit vollständiger Induktion (für \(q\ne 0\))\\ +IA: \(n=0\),\\ +\(\sum\limits_{i=0}^{0} q^i = 1 = \frac{1-q^{0+1}}{1-q}\) + +IS: \( \sum\limits_{i=0}{n+1} q^i = \sum\limits_{i=0}^{n} q^i + q^{n+1} \)\\ +\( \underset{\text{I.V.}}{=} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} + \frac{q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}\) + +\(\sum\limits_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)\\ +kleine Verallgemeinerung:\\ +\( \sum\limits_{k=0}^{n} p^{n-k} \cdot q^k = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{p^n}{p^k} \cdot q^k\)\\ +%TODO% \( = p^n \frac{(1-(\frac{p}{q})^{n+1}) \cdot p\)\\ +\( = \frac{ p{n+1} - q^{n+1} }{ p-q} \) + +Folgerung falls \(p,q \in \mathbb Z\), ist \\ +\( p^{n+1} - q^{n+1} \) teilbar durch p-q.\\ +z.B. \(12^100 - 5^100 \) ist teilbar duch 7. + +\underline{Einschub: Summen und Produkte} + +\begin{enumerate} + \item Definition (rekursiv):\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{0} a_k := 0\) „leere Summe“ \\ + \( \prod\limits_{k=1}{0} a_k := 1\) „leeres Produkt“ + + \( \sum\limits_{k=1}{n+1} a_k := \sum\limits_{k=1}{n} a_k + a_{n+1}\)\\ + \( \prod\limits_{k=1}{n+1} a_k :=a_{n+1} \prod\limits_{k=1}{n} a_k \) + + \item \underline{Präzendent der Operatoren}\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k = \left( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \right) + b \)\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \cdot b = \sum\limits_{k=1}^{n}\left( a_k \cdot b \right)\)\\ + \( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k + b = \left( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k \right) +b \)\\ + \( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k \cdot b = \left( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k \right) \cdot b \) + + \( \sum \) bindet geringfügig stärker als „+“ und „-“\\ + \( \prod \) bindet geringfügig stärker als „\(\cdot\)“ + + \item \underline{konstante Faktoren}\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \cdot c = c \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \)\\ + \( a_1 \cdot c + a_2 \cdot c + ... = c \cdot ( a_1 + a_2 + ...) \)\\ + \( \prod\limits_{k=1}^{n} \left( a_k \cdot c \right) = c^n \cdot \prod\limits_{k=1}^{n} a_k \) + + \item \underline{Aufspaltung}\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k = \sum\limits_{k=1}^{l} a_k + \sum\limits_{k=l+1}^{n} a_k \)\\ + mit \( l \in \{ 1 , ..., n \} \)\\ + \( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k = \prod\limits_{k=1}^{l} a_k \cdot \prod\limits_{k=l+1}^{n} a_k \)\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{n} ( a_k + b_k ) = \sum\limits_{k=1}^{n} a_k + \sum\limits_{k=1}^{n} b_k \)\\ + \( \prod\limits_{k=1}^{n} ( a_k + b_k ) = \prod\limits_{k=1}^{n} a_k \cdot \prod\limits_{k=1}^{n} b_k \) + + \item \underline{Umnummerierung}\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k = \sum\limits_{k=1}^{n} a_{\sigma(k)} \)\\ + \( \prod\limits_{k=1}^{n} a_k = \prod\limits_{k=1}^{n} a_{\sigma(k)} \)\\ + mit einer Permutation \( \sigma \in S_n\) + + \item \underline{Mehrfachsummen/-produkte}\\ + \( \sum\limits_{k=1}^{m}\sum\limits_{l=1}^{n} a_{k l} = \sum\limits_{l=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} a_{k l} \)\\ + \( \prod\limits_{k=1}^{m}\prod\limits_{l=1}^{n} a_{k l} = \prod\limits_{l=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m} a_{k l} \)\\ + +\end{enumerate} + +\subsubsection{Die Türme von Hanoi} + +Aufgabe: Bringe $n$ Scheiben von A nach C, so dass jederzeit keine Scheibe auf einer kleineren Scheibe liegt. + +Lösung: Bringe $n-1$ Scheiben von A nach B; lege anschließend Scheibe $n$ von A nach B. Bringe zuletzt die $n-1$ Scheiben von B nach C. + +Die minimale Anzahl an Operationen um das Problem zu lösen, sei $T_n$ + +\( T_n = T_{n - 1} + 1 + T_{n -1} = 2 T_{n-1} + 1 \)\\ +\( T_1 = 1 \) + +\begin{tabular}{l|ccccc} + n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ + \hline + $T_n$ & 1 & 3 & 7 & 15 & 31 +\end{tabular}\\ +\( T_n \overset{\text{?}}{=} 2^n - 1 \) Beweis + +Beweis von $2^n - 1$ + +\textbf{IA:} n = 1\\ +\( T_1 = 1 = 2^1 - 1\) + +\textbf{IS}\\ +\begin{align*} + T_{n+1} &= 2 \cdot T_n + 1\\ + &\underset{\text{IV}}{=} 2 \cdot (2^n - 1) +1\\ + &=2^{n+1} - 1 & \text{q.e.d.} +\end{align*} + +Wenn sie für $n$ gilt, sollte sie auch für $n+1$ gelten, ziel der Vollständigen Induktion. + +\subsection{Anwendung: Analyse von Algorithmen} + +Dec2Bin(n) +\begin{enumerate} + \item k = 0 + \item while \(n > 0\) do + \item \hspace*{3mm}b[k] = n mod 2 + \item \hspace*{3mm}n = \(\lfloor n/n \rfloor\) + \item \hspace*{3mm}k = k + 1 + \item return b +\end{enumerate} + +Bei erreichen von Zeile 2 gilt jedesmal die Invariante\\ +\( m = 2^k \cdot n + \sum_{j=0}^{k-1} b[j] \cdot 2^j \quad (*)\) + +Bei verlassen der Schleife (n=0) ist \( m = \sum_{j=0}^{k-1} b[j] \cdot 2^j\).\\ +Also enthält b die Binärziffern von m. + +Beweis von \((*)\) mit vollständiger Induktion: + +\textbf{IA:} (vor dem ersten Schleifendurchlauf)\\ +\(m=nm k=0 \Rightarrow 2^k \cdot n + \sum_{j=0}^{k-1} b[j] \cdot 2^j = n+0 = m \) + +\textbf{IS:} \((*)\) gelte vor einem Schleifendurchlauf (I.V.)\\ +Nach dem Durchlauf:\\ +\( k' = k+1, n' = \lfloor n/2 \rfloor\)\\ +\(2^{k+1} \lfloor n/2 \rfloor + \sum_{j=0}^{k} b[j] \cdot 2^j \)\\ +\( \underset{\text{i.V.}}{=} 2^{k+1} \cdot \lfloor n/2 \rfloor + (m - 2^k \cdot n) + \underbrace{b[k]}_{n \mod 2} \cdot 2^k \)\\ +\( = m + 2^k ( 2\cdot \lfloor n/2 \rfloor + n \mod 2 - n) \) + +Der Wert der Klammer is 0:\\ +\( n = c \cdot \lfloor n/c \rfloor + n \mod c \) für beliebiges \( c \in \mathbb N, c > 0\) + +denn der Devisionsrest ist definiert als \( n \mod c := n -c \cdot \lfloor n/c \rfloor\)\\ +\( \rightarrow 2^{k'} \cdot n' + \sum_{j=0}^{k'-1} b[j] \cdot 2^j = m \) q.e.d + +\underline{Laufzeitabschätzung:}\\ +Es sei T(n) die Anzahl der Schleifendurchläufe bei Eingabe n.\\ +\( T(1) = 1\)\\ +\( T(n) = 1 + T( \lfloor n/2 \rfloor ) \)\\ +Das ist eine Rekursionsgleichung ähnlich wie bei Aufgabe 5.4\\ +\( \Rightarrow T(n) = \lfloor \log_2 n \rfloor + 1 \) + +\underline{Schnelle Exponentation} + +berechne \( a^n = \underbrace{a \cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}} \) -> Aufwand O(n). + +mit einem Aufwand von O(log n) + +In Zeile 3 gilt die Invariante:\\ +\( d = a^{(b_{k-1} ... b_{i+1})_2} \)\\ +am Ende: \( i=-1, d=a^{b_{k-1} ...b_0} = a^n \) + +\textbf{IA:} (vor dem ersten Durchlauf)\\ + \( 1 = d, i = k-1\)\\ + \( \Rightarrow a ^{(b_{k-1} ... b_{i+1})_2} \)\\ + \( = a^{()_z} = a^0 = ^ = d\) q.e.d + +\textbf{IS:} Werte nach dem schleifen Durchlauf:\\ +\(i' = i-1 \)\\ +Fall 1: \(b_i = 0\)\\ + \(d' = d \cdot d = [a ^{(b_{k-1} ... b_{i+1})_2}] ^ 2 \)\\ + \( = a^{(b_{k-1} ... b_{i+1})_2 + (b_{k-1} ... b_{i+1})_2 } \) + \( = a ^ {(b_{k-1} ... b_{i+1} 0)_2} \)\\ + \( = a^{(b_{k-1} ... b_{i})_2}\)\\ + \( = a ^ {(b_{k-1} ... b_{i'+1})_2} \) + +\(a^n\)\\ +Invariante in Zeile 3:\\ +\( d = a^{(b_{m-1} ... b_{i+1})_2}\)\\ +Fall 2: \( b_i = 1 \)\\ +nach der Ausführung des Schleifendurchlaufs:\\ +\( i' = i-1\)\\ +\( d' = d^2 \cdot a \underset{\text{i.V.}}{=} a^{2 \cdot (b_{k-1} ... b_{i+1})_2 + 1} \)\\ +\( = a ^ {(b_{k-1} ... b_{i+1} 1)_2}\)\\ +\( = a ^ {(b_{k-1} ... b_{i'+1})_2}\) \\ +q.e.d. + +\subsection{Anwendungen in der Graphentheorie} + +In diesem Abschnitt ist stets \( G = (V,E) \) ein ungerichteter Graph ohne Schleifen, über der Knotenmenge \( V := [n] \text{ mit } |E| =: e \) vielen Kanten. Bei Ungerichteten Graphen:\\ +\( E \subseteq \{\{u,v\} \mid u,v \in V, u \ne v \} \) + +\defin Der \underline{Grad} (degree, engl.) deg(v) eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die bei v beginnen. + +\defin Ein \underline{Baum} ist ein zusammenhängender, azyklischer Graph. (G heißt zusammenhängend, wenn man von einem jedem Knoten in G zu jedem anderen Knoten gelangen kann. Zusammenhangskomponenten: größte zusammenhängende Teilgraphen.) + +Ein \underline{Wald} ist ein azyklischer Graph. (d.\,h. die Zusammenhangskomponenten eines solchen Graphen sind Bäume) + +Die Knoten vom Grad 1 (oder 0) eines Baumes heißen \underline{Blätter}, alle anderen Knoten sind \underline{innere Knoten}. + +\includegraphics[height=4cm]{bilder/5-3_graphen.pdf} + +\begin{enumerate} + \item nicht azyklisch, nicht zusammenhängend + \item azyklisch, nicht zusammenhängend, ein Wald aus zwei Bäumen. + \item enthält einen Kreis, weder Baum noch Wald. + \item Ein Baum: azyklisch und zusammenhängend. +\end{enumerate} + +\underline{Beh.:} Jeder Baum hat Blätter.\\ +\underline{Beweis:} Starte bei einem beliebigen Knoten, gehe entlang beliebiger Kanten, ohne bereits besuchte Knoten nochmals zu besuchen. Da \(|V|\) endlich ist, endet dieser Vorgang nach spätestens n Schritten.\checkmark + +\textcolor{darkblue}{\underline{Satz:}} Jeder Baum hat \(e = n-1\) viele Kanten. + +Beweis mit Vollständiger Induktion übder n:\\ +\textbf{IA:} \( n = 1 \rightarrow e = 0 \) \checkmark \\ +\textbf{IS:} \(G'\) habe $n+1$ Knoten. Sei v ein Blatt von \(G'\). es sei \(G\) der Teilgraph von \(G'\), den man durch Entfernen von v (und der Kante v) erhält.\\ +\( \Rightarrow \) $G$ hat $n$ Knoten\\ +\( \overset{\text{i.V.}}{\Rightarrow} \) $G$ hat $n-1$ Kanten\\ +\( \Rightarrow \) $G'$ hat \((n-1)+1 = n\) Kanten \checkmark + +Folgerung: Hat G n oder mehr Kanten, dann enthält G einen Kreis. + +\defin Ein \underline{Wurzelbaum} ist ein Baum mit einem ausgezeichneten Knoten, der sog. \underline{Wurzel}. + +\defin Die \underline{Tiefe} eines Knotens in einem Wurzelbaum ist sein Abstand zur Wurzel.\\ +Die \underline{Tiefe} eines Wurzelbaumes ist die größte Tiefe eines Knotens in diesem Baum. + +\underline{Bsp.:}\\ +\includegraphics[height=2cm]{bilder/5-3_tiefe.pdf} + +\defin Ein \underline{Binärbaum} ist ein Wurzelbaum, in dem jeder Knoten Grad \(\le 3\) hat, die Wurzel hat Grad 2. + +\textcolor{darkblue}{\underline{Satz:}} Ein Binärbaum der Tiefe t hat höchstens \(2^t\) viele Blätter. + +\includegraphics[height=2cm]{bilder/5-3_planar.png} + +\defin Ein Graph ist \underline{planar}, wenn man ihn so in der Ebene zeichnen kann, dass sich keine Kanten überschneiden. + +\includegraphics[height=3cm]{bilder/5-3_planar_bsp.pdf} + +Bem.: Jeder planare Graph unterteilt die Ebene in disjunkte Gebiete. + + +\underline{Eulersche Polyederformel:} + +\(n + \underbrace{g}_{\text{anzahl der Gebiete}} = e +2\)\\ +Gilt für zusammenhängende planare Graphen. + +Beweis mit vollständiger Induktion über g: + +\textbf{IA:} Es sei G ein zusammenhängender planarer Graph mit nur einem Gebiet.\\ +Jeder planare Graph mit min. einem Kreis hat min. ein inneres Gebiet.\\ +\(\rightarrow\) G kann keinen Kreis enthalten, G ist also ein Baum. +\(\Rightarrow e = n-1\),\\ +\( \quad n +g = n+1 = e+2 \) \checkmark + +\textbf{IS:} Es sei \(G'\) ein zusammenhängender, planarer Graph mit $g+1$ Gebieten, $n'$ Knoten und $e'$ Kanten.\\ +z.z. \( n' + (g+1) \overset{!}{=} e' + 2 \)\\ +$G'$ enthält min ein inneres Gebiet, also auch einen Kreis. Wähle eine Kante auf dem Kreis, entferne diese.\\ +\(\Rightarrow\) Es entsteht der zusammenhängende, planare Graph $G$ mit $g$ Gebieten. +\(\underset{\text{I.V.}}{\Rightarrow}\) für $G$ gilt:\\ +\( n + g = e+2\),\\ +\( n' = n, e' = e+1\)\\ +\(\Rightarrow\) für $G'$ gilt: +\( n' + (g+1) = (n+g) +1 = e+ 3 = e' +2 \) q.e.d. + +gesucht: Zusammenhang zwischen e und n (oder Schranke für e) +\begin{itemize} + \item edes innere Gebiet ist von mindestens drei Kanten umgeben. + \item Jede Kante trennt höchstens zwei Gebiete. +\end{itemize} +Zähle paare von Gebieten und Kanten: +\( M := \{ (\gamma, \kappa \mid \gamma \text{ ein inneres Gebiet, }\kappa\text{ eine Kante, die J begrenzt} \} \)\\ +\begin{align*} +g \cdot 3 \le |M| \le 2 \cdot e +\Rightarrow g &\le \frac{2}{3} e \Leftrightarrow g+n \le \frac{2}{3} e + n\\ +n + \frac{2}{3} \cdot e &\ge n + g \underset{\text{Euler}}{=} e + 3 &| -\frac{2}{3} \cdot e\\ +n &\ge \frac{1}{3} e + 2 &| -2\\ +n-2 &\ge \frac{1}{3} e &| \cdot 3\\ +3n - 6 &\ge e +\end{align*} +gilt für alle zusammenhängenden planaren Graphen. + +\subsubsection{Färbung von Graphen} + +Eine \underline{Färbung} von G ist eine Zuordnung von Knoten auf Farben, sodass benachbarte Kanten unterschiedliche Farben besitzen. + +Bem.: Als „Farben“ können können die Elemente beliebiger endlicher Mengen dienen. + +Bsp.: \\ +\begin{multicols}{2} + \includegraphics[height=2cm]{bilder/5-3-1_bsp_2.pdf} +\columnbreak\\ + 3-färbbar (d.\,h. es gibt eine Färbung mit 3 Farben) +\end{multicols} + +K3,3\\ +\begin{multicols}{2} + \includegraphics[height=2cm]{bilder/5-3-1_k3.pdf} +\columnbreak\\ + 2-Färbbar\\ + \( \chi(K_{3,3}) = 2 \) +\end{multicols} + +K5\\ +\begin{multicols}{2} + \includegraphics[height=2cm]{bilder/5-3-1_k5.pdf} +\columnbreak\\ + 5-Färbbar\\ + \( \chi(K_{5}) = 5 \) +\end{multicols} + +Die minimale Anzahl an Farben einer Färbung von G heißt \underline{chromatische Zahl} \( \chi(G) \) von G. + +\textbf{Vier-Farben-Satz} + +Jede politische Landkarte kann mit vier Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Länder verschiedene Farbe besitzen. + +Beweis des Vier-Farben-Satzes 1971 von Appel und Haken. (Reduktion auf ca. 2000 einzelne Graphen, Untersuchung derselben in ca. 1200 Rechnerstunden). + +\textbf{Fünf-Farben-Satz (Heowood)} + +Jeder planare Graph ist 5-färbbar + +Beweis: Induktion über n:\\ +\textbf{IA:} n = 1,2,3,4,5 \checkmark\\ +\textbf{IS:} n > 5\\ +(Graph $G'$ mit n+1 Kanten)\\ +\( \Rightarrow \) Es gibt einen Knoten mit \(deg(v) \le 5\)\\ +$G'$ ist planarer Graph. + +Konstruiere Teilgraph G um $G'$ durch entfernen von V.\\ +\( \Rightarrow \) G hat n Knoten und ist planar\\ +\( \Rightarrow \) G ist 5-färbbar + +\textbf{I.V.} Falls die Nachbarn von V weniger als 5 verschiedene Farben besitzen, kann V mit der fünften Farbe gefüllt werden. Sonst (d.\,h. die Nachbarn haben fünf versch. Farben)\\ +Beweisidee:\\ +\includegraphics[height=3cm]{bilder/5-3-1_beweis.pdf} +Farben \( = \{A,B,C,D,E\} \)\\ +\underline{Fall 1:} Es gibt keinen „A-C, weg $V_1$ nach $V_3 \Rightarrow $ Vertausche die Farben A und C inder Umgebung von $V_3 \rightarrow$ Färbe V mit C. + +\underline{Fall 2}(sonst): Es gibt keinen „B-D“ Weg von $V_2$ nach $V_4$ Verfahre analog zu Fall 1. + +%TODO - Farben% +\newpage +\section{Kombinatorik} + +Zufallsexperiment: +\begin{itemize} + \item Gegeben ist eine Urne mit n Kugeln, die von 1 bis n durchnummeriert sind. + \item Ziehe k Kugeln, wieviele mögliche Ergebnisse gibt es? +\end{itemize} + +mögliche Modi: +\begin{itemize} + \item mit zurücklegen oder ohne zurücklegen + \item die Reihenfolge der gezogenen Kugeln wird beachtet, oder nicht. +\end{itemize} + +\underline{Bsp.:} Ziehe zwei Zahlen aus \( \{ 1,2,3 \} \). + +%TODO% + +%\begin{tabular}{l|ll} +% & mit zurücklegen & ohne zurücklegen\\ +% \hline +% geordnet & \( (1,1), (1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3) \) & \( (1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) \)\\ +% & \( \rightarrow 9 \) & \( \rightarrow 6 \) +% ungeordnet & \begin{tabular}{l|l} & \( \{1,2\},\{1,3\},\{2,3\} \\ +% &\( \rightarrow 9 \) & \( \rightarrow 3 \) +%\end{tabular} + +\begin{enumerate} + \item \underline{geordnet, mit zurücklegen}\\ + ziehe k Zahlen aus \( [n] \)\\ + Menge möglicher Ergebnisse: \( [n]^k \)\\ + Anzahl: \(\left| [n]^k \right| = \left| [n] \right|^k = n^k \)\\ + \underline{Bsp.:} Mögliche Zustände eines Bytes:\\ + \( \left| \{0,1\} \right|^8 = 2^8 = 256 \) + \underline{Bsp.:} Anzahl der Wörter mit fünf Buchstaben über dem Alphabet \( C := \{ a, ..., z \} \):\\ + \( | \{a,...,z\}^5| = |C|^5 = 26^5 \) + \item \underline{geordnet, ohne zurücklegen} + Anzahl insgesamt:\\ + \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-k+1) \) + \( = \prod\limits_{j=0}{k-1} ( n-j ) \)\\ + \( n^{\underline{k}} = \underbrace{n\cdot (n-1) ... ( n-k+1)}_{\text{k Faktoren}} \)\\ + „fallende Faktorielle“ + Zusammenhang mit der Fakultät:\\ + \( n^{\underline{k}} = n! \)\\ + \( n^{\underline{n}} = \frac{n(n-1) ... 1}{(n-k)(n-k-1) ... 1} \)\\ + \( = \frac{n!}{(n-k)!}\)\\ + Bsp.: \( 5^{\underline{3}} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5!}{3!} = 60 \) + \item \underline{ungeordnet, ohne zurücklegen}\\ + \includegraphics[width=10cm]{bilder/6-0_ung_ohne_zur.pdf}\\ + Jedes Ergebnis im Fall (1) entspricht $k!$ Ergebnissen im Fall (2), nämlich allen $k!$ Permutationen dieser k Objekte.\\ + Anzahl möglicher Ergebnisse im Fall (1)\\ + = Anzahl möglicher Ergebnisse im Fall (2) \( \cdot \frac{1}{k!}\)\\ + \( = \frac{n^{\underline{k}}}{k!} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot n!} =: \binom{n}{k} \)\\ + Binomialkoeffizient, „k aus n“ + \underline{Bsp.: von oben:} „Zwei aus Drei“ + \( \binom{2}{3} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \) \checkmark\\ + \underline{Bsp. Lotto:}\\ + \( \binom{49}{6} = \frac{49!}{43! \cdot 6!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13.983.816\) mögliche Ergebnisse\\ + \(\Rightarrow\) Warhscheinlichkeit für sechs richtige \(\approx \frac{1}{14.000.000}\) + + Wahrscheinlichkeit für drei Richtige:\\ + Anzahl günstiger Ergebnisse:\\ + \( \binom{6}{3} \cdot \binom{43}{3} \) + + Wahrscheinlichkeit für genau drei Richtige:\\ + \( \frac{\binom 6 3 \cdot \binom{43}{3}}{\binom{49}{6}} = \frac{6!^2 \cdot 43!^2}{3!^3 \cdot 40! \cdot 49!} = \frac{8815}{499422} \) + + \underline{Bem.:} \(\binom n k\) ist die Anzahl der Möglichkeiten, eine k-elementige Teilmenge aus einer n-elementigen Menge zu wählen. + + \underline{Bsp.:} Wieviele Bitstrings der Länge 8 mit fünf Einsen (und drei Nullen) gibt es?\\ + Menge der Indizes = \( \{0,1,...,7\} \)\\ + Ergebnis = Anzahl fünfelementiger Teilmengen von \(\{ 0,1,...,7\}\)\\ + = \(\binom 8 5 = \binom{8}{8-5} = \binom{8}{3} = 56\)\\ + \( \binom 8 5 = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot (n-(n-)k)!} = \binom{n}{n-k} \) + \item \underline{ungeordnet, mit zurücklegen}\\ + mit \( x_i \in \mathbb N, \sum\limits_{i=1}^{n} = k\) (Gesamtzahl gezogener Objekte)\\ + Bsp.: 5 Objekte, ziehe 8\\ + \begin{tabular}{c|c} + Objekt & Anzahl\\ + 1 & 3\\ + 2 & 0\\ + 3 & 1\\ + 4 & 2\\ + 5 & 2 + \end{tabular} + \( \Rightarrow \) \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline1&1&1&3&4&4&5&5\\\hline\end{tabular}\\ + Anzahl der Ergebnisse = \( \binom{k+n-1}{n-1} = \binom{k+n-1}{n} \) +\end{enumerate} + +\underline{Zusatz:} Ziehen aus einer Menge von Objekten, die nicht alle verschieden sind, am Beispiel des Algorithmus Permutations.\\ +Eingabe: l Ziffern mit Häufigkeiten \( n_9,...,n_l \) mit \( \sum\limits_{i=1}^{l} n_i = n \).\\ +Gesucht: Anzahl der der Zahlen, die sich aus diesen Ziffern bilden lassen.\\ +Das entspricht dem Fall „geordnet, ohne zurücklegen“.\\ +Nehme zunächst an, dass alle Ziffern unterscheidbar sind. Zähle diese Möglichkeiten und vergesse anschließend die Idendität gleicher Ziffern.\\ +Anzahl der Möglichkeiten im Zwischenschritt:\\ +\( n ^ {\underline{n}} = n! \)\\ +\underline{Bsp.:} alle Ziffern \( 1,1,2,...,n-1\) (nur die 1 kommt doppelt vor)\\ +Zwischenschritt: +\begin{itemize} + \item ersetze \( 1,1 \) durch \( 1a,1b\) + \item zu jeder Kombination \(X\) der Ziffern gibt es genau eine Kombination \(X'\), bei der lediglich $1a$ und $1b$ vertauscht sind. + \item Vergisst man die Identität von \(1a,1b\) dann führen $X$ und $X'$ auf dieselbe Kombination des ursprünglichen Problems + \item[\(\Rightarrow\)] Anzahl der möglichkeiten im Ursprünglichen Problem \( = \frac{1}{2} \cdot n! \) +\end{itemize} +Im allgemeinen Fall:\\ +Ziffern i mit Häufigkeit $n_i$ können beliebig untereinander ausgetauscht werden \(\rightarrow n_i!\) Permutationen\\ +\(\Rightarrow \) Endergebnis: \( \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_l!} = \frac{n!}{\prod\limits_{i=1}^{l} n_i! } \) + +\underline{Bsp.:} Aufgabe 7.1\\ +\(1,1,3,3,3\)\\ +\( \Rightarrow \frac{5!}{2! 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \) \checkmark + +\underline{Bsp.:} John hat 4 Büchsen Gulaschsuppe, 2 Dosen Ravioli und eine Fertigpizza. Wieviele Wochenspeisepläne sind möglich?\\ +\( \rightarrow \) Ziehen ohne zurücklegen, geordnet, mit ununterscheidbaren Objekten. + +Bei Unterscheidbaren Mahlzeiten:\\ +\spa Anzahl Speisepläne \( = 7^{\underline{7}} = 7! \)\\ +bei Unterscheidbaren Mahlzeiten:\\ +\spa Anzahl der Speisepläne \( = \frac{7!}{4! 2! 1!} = 7 \cdot 3 \cdot 5\)\\ +\spa \( = 105\) + +\underline{einige Eigenschaften der Binomialkoeffizienten}\\ +fall \( n,j \in \mathbb N, n \ge k\): +\spa \( \binom n k := \frac{n!}{k! (n-k)!} \)\\ +allgemeiner:\\ +\spa \( \alpha \in \mathbb R , k \in \mathbb N \)\\ +\spa \( \binom \alpha k := \prod\limits_{j=1}^{k} \frac{\alpha + 1 - j}{j} = \frac{\alpha \cdot (\alpha -1) \cdot ... \cdot (\alpha +1 - k) }{k \cdot (k-1) \cdot ... \cdot 1} \) + +im Folgenden ist jeweils \( \alpha \in \mathbb R; k,n \in \mathbb N\) + +\begin{enumerate} + \item \( \binom n k = 0 \quad \text{ falls } 0 \le n < k \)\\ + z.\,B. \( \binom 3 5 = \frac{3\cdot 2 \cdot 1 \cdot 0 \cdot (-1)}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 0 \) + \item \( \binom n k = \binom n {n-k} \) \spa (Symmetrie) + \item \( \binom \alpha k = \frac{\alpha \cdot ... \cdot ( \alpha +1-k)}{k ... 1} \)\\ + \( = \frac{\alpha + 1 - k }{k} \frac{\alpha ... (\alpha+2-k)}{(k-1) ... 1} \)\\ + \( = \frac{\alpha + 1 -k}{k} \cdot \binom \alpha {k-1} \) + \item \( \binom \alpha k = \frac{\alpha}{k} \cdot \frac{(\alpha-1) ... ( \alpha +1-k)}{(k-1) ... 1} \)\\ + \( = \frac{\alpha}{k} \binom{\alpha-1}{k-1} \) + \item Summenformel:\\ + \( \binom \alpha k + \binom \alpha {k-1} \underset{3.}{=} \frac{\alpha + 1-k}{k} \binom{\alpha}{k-1} + \binom{\alpha}{k-1} \)\\ + \( = \frac{\alpha + 1}{k} \binom \alpha {k-1} \underbrace{-\frac{k}{k} \binom \alpha {k-1} + \binom \alpha {k-1}}_{=0} \)\\ + \( \underset{4.}{=} \binom {\alpha+1} k \) + + \( \rightarrow \) Pascalsches Dreieck + %% TODO pascalsches dreieck %% +\end{enumerate} + +\underline{Binomealtheorem}\\ +\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)\\ +\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)\\ +\((a+b)^n = (a+b)(a+b) ... (a+b) \) + +Ausmultiplizieren von \( (a+b)^n\) liefert eine Summe von Termen der Form\\ +\spa \( x_1 x_2 ... x_n \text{ mit } x_i = a \text{ oder } x_i = b \);\\ +jede Kombination kommt einmal vor.\\ +\(\Rightarrow\) Der Wert von \( x_1 x_2 ... x_n \) hängt nur von der \underline{Anzahl} der enthaltenen a's und b's ab.\\ +\( (a + b )^n = \sum\limits_{k=0}^{n} a^{n-k} b^k \) + +Folgerung:\\ +\( (1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} 1^{n-k} x ^ k \) \\ +\( = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom n k \cdot x^k \)\\ +\( \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{n} \binom n k = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom n k 1^k = (1+1)^n = 2^n \)\\ +\spa \( \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k \binom n k = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom n k \cdot (-1)^k = (1+(-1))^n = 0\) + +\underline{Monotone Gitterwege} + +Gegeben sein ein Rechtwinkliges Gitter.\\ +\includegraphics[height=3cm]{bilder/5-3-1_monotone_gitterwege.pdf}\\ +Gesucht: Anzahl der kürzesten Wege von (0,0) nach (b,a); die Länge der kürzesten Wege ist \( l = a + b \).\\ +Die Anzahl kürzester Wege sei\( w(a,l) \) + +falls \( a = 0 : w(0,l) = 1 \)\\ +falls \( b = 0 : w(a,a) = 1 \)\\ +falls \( a >0, b>0 \) + +\( w(a,l) = w(a,l-1) + w(a-1,l-1) \)\\ +Beh.:\\ +\( w(a,l) \overset{!}{=} \binom l a \underset{\text{symmetrie}}{=} \binom l b\) + +Beweis mit vollständiger Induktion, Induktionsschritt:\\ +\( w(a,l-1) + w(a-1,l-1) \)\\ +\( \underset{\text{I.V.}}{=} \binom {l-1} a + \binom {l-1}{a-1} \)\\ +\( = \binom l a \) \checkmark + +\newpage + +\section{Zahlentheorie} + +\subsection{Teilbarkeit} + +\defin Es seien \( m,n \in \mathbb Z \).\\ +\begin{enumerate} + \item \(m|n : \Leftrightarrow m\) ist Teiler $n$.\\ + :\( \Leftrightarrow \exists t \in \mathbb Z: m\cdot t = n\). + \item \(T_m := \{ k \mid k \in \mathbb Z, k >0 , k|m \} \)\\ + ist die Menge aller positiven Teiler von $m$ + \item \( T_{m,n} := T_m \cap T_n\)\\ + ist die Menge der gemeinsamen (positiven) Teiler von $m$ und $n$.\\ + \underline{Bsp.:} + \begin{itemize} + \item \( 3|12, \text{ denn } 3 \cdot 4 = 12 \) + \item \( 5 \not| 12 \) + \item \( T_{12} = \{1,2,3,4,6,12 \} \)\\ + \( T_{18} = \{1,2,3,6,9,18\} \) + \item \( \forall m \in \mathbb Z : 1|m, \text{ denn } 1 \cdot m = m\)\\ + \( m | m \) + \item \( \forall m \in Z : m|0, \text{ denn } 0 \cdot m = 0 \)\\ + \( \rightarrow T_0 = \{ t \in \mathbb Z \mid t > 0 \} \)\\ + \( T_{0,n} = T_0 \cap T_n = T_n \) + \end{itemize} +\end{enumerate} + +\defin Divisionsrest\\ +Es seien \( m,n \in \mathbb Z, m>0 \).\\ +Der \underline{Rest} bei Division $n$ durch $m$ ist \( n \mod m := n-\lfloor \frac{n}{m} \rfloor m\).\\ +(\( \lfloor x \rfloor \) bedeutet Abrunden, also:\\ +\( \lfloor x \rfloor\) ist die größte ganze Zahl $y$ mit \( y \le x \);\\ +\(\lceil x \rceil \) ist die kleinste Zahl \( z \in \mathbb Z \text{ mit } z \ge x \)) + +\underline{Bez.:} \( n \mod m\) „n modulo m“\\ +\underline{Bsp.:} +\begin{itemize} + \item \( 7 \mod 3 = 7 - \lfloor \frac{7}{3} \rfloor \cdot 3 = 7 - \lfloor 2+\frac{1}{3} \rfloor \cdot 3 = 7 - 2 \cdot 3 = 1 \) + \item \(-7 \mod 3 = -7 - \lfloor -2-\frac{1}{3} \rfloor \cdot 3 \)\\ + \( = -7 - (-3) \cdot 3 = -7 + 9 = 2 \) +\end{itemize} + +\underline{Folgerung:} +\begin{itemize} + \item falls \( m|n, t \cdot m = n \)\\ + \( n \mod m = n - \lfloor \frac{n}{m} \rfloor \cdot m \)\\ + \( = n -m \lfloor t \rfloor m = n - t \cdot m = 0 \) + \item \( r := n \mod m \in \{ 0, ... m-1 \} \):\\ + \begin{enumerate} + \item \( r \ge 0 \): + \( \lfloor \frac{n}{m} \rfloor \le \frac n m \rightarrow r = \lfloor \frac n m \rfloor m \overset{m>0}{\ge} n - \frac n m \cdot m = 0 \) + \item \( r 0, m|k und n|k \} \) ist das \underline{kleinste gemeinsame Vielfache} von m und n.\\ +\underline{Bsp.:}\\ +ggT(12,18) = max( \( T_{12} \cap T_{18} \) ) = max(\(\{1,2,3,5\}\)) = 6\\ +kgV(12,18) = \( 36 ( 12 \cdot 3 = 35, 18 \cdot 2 = 36) \) + +\textbf{Beh.:} Für alle \( a \in \mathbb Z \) ist \(T_{min} = T_{m,n-a\cdot m} \) +\begin{enumerate} + \item \( T_{m,n} \le T_{m,n-m\cdot a} \)\\ + Es sei \(x \in T_{m,n} \);\\ + \( t,s \in \mathbb Z \text{ mit } t\cdot x = m, s\cdot x = n. \)\\ + \( x|m \) \checkmark \\ + \( x|n-a\cdot m \):\\ + \( (s - a \cdot t) \cdot x = n -a \cdot m \)\\ + \( \Rightarrow x \in T_{m,n-a\cdot m}\) ,\\ + d.\,h. \( T_{m,n} \le T_{m,n - a\cdot m} \) + \item \( T_{m,n} \ge T_{m,n-a\cdot m} \)\\ + Es sei \( x \in T_{m,n-a\cdot m}\),\\ + \( t,s \in \mathbb Z \text{ mit } x \cdot t = , x \cdot s = n-a\cdot m \)\\ + \( x \in T_{m,n}\):\\ + \( x|m \) \checkmark\\ + \( x|n: ( s +a \cdot t ) \cdot x = n \)\\ + \( \rightarrow T_{m,n} \supseteq T_{m,n-a\cdot m}\),\\ + \( T_{m,n} = T_{m,n-a\cdot m} \) + + Folgerung: \( T_{m,n} = T_{m,n- \lfloor \frac n m \rfloor \cdot m} \)\\ + \( = T_{m,n \mod m} \),\\ + \(ggT(m,n) =max T_{m,n} \)\\ + \( = max T_{m,n \mod m} \)\\ + \( = max T_{n \mod m,m} \)\\ + \( ggT(n \mod m , m )\) +\end{enumerate} + +\underline{Anwendung:} Euklidscher Algorithmus zur Bestimmung des ggT. + +\begin{itemize} + \item rekursive Formulierung:\\ + Eingabe: \( m,n \in \mathbb Z, m,n \ge 0, (m,n) \ne (0,0) \)\\ + E{\tiny UKLID}(m,n)\\ + \spa if \( m = 0\) then return n\\ + \spa else return E{\tiny UKLID}(\( n \mod m, m \))\\ + \underline{Bsp.:} ggT(18,12)\\ + \( = ggt( \underbrace{12 \mod 18}_{=12}, 18) \)\\ + \( = ggt( \underbrace{18 \mod 12}_{=6}, 12) \)\\ + \( = ggt( \underbrace{12 \mod 6}_{=0}, 6) \)\\ + \( = 6 \) + \item iterative Formulierung:\\ + E{\tiny UKLID1}(m,n)\\ + \spa while $m \ne 0$ \\ + \spa\spa tmp := m\\ + \spa\spa m := n mod m\\ + \spa\spa n := tmp\\ + \spa return n +\end{itemize} + +\textbf{Beh.:} Für alle Zahlen \( m,n \in \mathbb Z, (m,n) \ne (0,0), 0 \le m \le n \le 2^c\) (für ein \( c \in \mathbb N \)) sei \( R(m,n)\) die Anzahl rekursiver Aufrufe bei der Berechnung E{\tiny UKLID}(n mod m,m)\\ +Dann ist \( R(m,n) \le 2\cdot c + 1\).\\ +Beweis mit vollständiger Induktion über $c$:\\ +\textbf{IA}: \( c = 0 \) +\begin{itemize} + \item[\(\Rightarrow\)] \( n = 1, m \in 0,1 \). + \item[1.] \( ggT(0,1) = 1 \)\\ + \(\rightarrow R(0,1) = 0\) + \item[2.] \( ggt(1,1) = ggT(0,1) = 1\) \\ + \( \rightarrow R(1,1) = 1 \le 2 \cdot 0 + 1 \) \checkmark +\end{itemize} +\textbf{IS}: \( 0 \le m \le n \le 2^{c+1}\)\\ + z.z. \( R(m,n) \le (2(c+1) +1) \)\ + \( ggT(m,n) = ggT(n \mod m, m)\)\\ + \( = ggT(\underbrace{m \mod (n \mod m)}_{=:m'}, \underbrace{n \mod m}_{=: n'}) \)\\ + \( \Rightarrow m' < m \);\\ + \( \quad n' \le \frac n 2 \le 2^c\)\\ + \underline{Fall 1:} \( 2m > n \):\\ + \spa \( n < 2m \rightarrow n \mod m = n-m < n - \frac n 2 = \frac n 2\)\\ + \underline{Fall 2:} \( 2m < n \):\\ + \spa \( \Rightarrow n \mod m \le m-1 < m \le \frac n 2\) + +Also: Nach den ersten zwei rekursiven Aufrufen gilt: \( 0 \le m' \le n' \le \frac n 2 \le 2^c\).\\ +Wegen Induktionsvorraussetzung gilt also +\begin{align*} +R(m',n') &\le 2\cdot c +1\\ +\Rightarrow R(m,n) &\le 2 + R(m',n')\\ + &\le 2 \cdot (c + 1) +1. \quad \checkmark +\end{align*} + +Die Laufzeit von E{\tiny UKLID}(m,n) ist also \( \le 2 \cdot \lceil \log_2 max\{m,n\} \rceil + 2\) + +\underline{Der erweiterte Euklidsche Algorithmus}\\ +\underline{Beh.:} \( \exists x,y \in \mathbb Z : ggT(m,n) = x \cdot m + y \cdot n \)\\ +Beweis:\\ +\underline{Fall 1:} \( m = 0 \Rightarrow ggT(m,n) = ggT(0,n) = n = 0 \cdot m + 1 \cdot n\), d.\,h. wähle \( x:= 0, y:= 1\).\\ +\underline{Fall 2:} \( m > 0 \Rightarrow ggT(m,n) = ggT(n \mod m, m) \) + +Beweis mit volständiger Induktion:\\ +\textbf{IA:} \( m = 0\) \checkmark (s.\,o.)\\ +\textbf{IS:} IV: \( \forall m' < m : \exists x,y \in \mathbb Z : ggT(m',n) = x \cdot m' + y \cdot n \).\\ +z.\,z.: Dann gilt:\\ +\spa \(\exists x', y' \in \mathbb Z: x' \cdot m + y' \cdot n = ggT(m,n) \)\\ +\(ggT(m,n) = ggT(\underbrace{n \mod m}_{=: m', m' p_1 \).\\ +\spa \( \curvearrowright p_1 | q_1 - p_1 \curvearrowright p_1 | q_1\), aber \( p_1 < q_i \Rightarrow \) Widerspruch. + +3. Fall: \( p_1 > q_1 \): analofg zu Fall 2. + +\( \Rightarrow \) PFZ von \(n+1\) ist eindeutig. \(\square\) + +Häufig faßt man gleiche Primfaktoren zu Potenzen zusammen:\\ +\( n = \sum\limits_{i=1}^{n} p_{i}^{e_i} \quad \text{ mit } p_1 < p_2 < \dots < p_k \)\\ +Ist \( p_i \not | n\), muss natürlich \(e_i = 0\) sein. + +Es ist nützlich, \underline{alle} Primzahlen in das Produkt aufzunehmen:\\ +\( n = \prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i^{e_i} \)\\ +Wir können jede Zahl \( n \in \mathbb N, n > 0 \) durch die unendliche folge \( e_1,e_2,e_3, \dots\) von Exponenten in der PFZ darstellen. + +Definiere die Hilfsfunktion\\ +\( P(n) := (e_1,e_2,e_3,\dots \)\\ +(„P liefert die PFZ einer beliebigen Zahl“) + +P ist eine Bijektion, da die PFZ eineindeutig ist.\\ +\underline{Rechenregeln für P:}\\ +(Es seien \(P(m) = ( m_1,m_2,m_3,\dots) \)\\ +\spa und \( P(n) = ( n_1,n_2,n_3,\dots) \)) +\begin{itemize} + \item \(P(m \cdot n) = ? \) \\ + \(m \cdot n = (\prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i ^{m_i})(\prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i ^{n_i})\) \\ + \( = \prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i ^{m_i + n_i} \)\\ + \( \Rightarrow P(m \cdot n) = (m_1 + n_1, m_2+n_2, m_3+n_3, \dots) \) + \item falls \( n | m: P(\frac{m}{n}) = (m_1-n_1,m_2-n_2,m_3-n_3)\) (analog) + \item \( P( ggT(m,n) ) = ? \)\\ + \( ggT(m,n) = ggT(\prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i^{m_i},\prod\limits_{i=1}^{\infty} p_i^{n_i}) \)\\ + \( = \prod\limits_{i=1}{\infty} p_i^{min(m_i,n_i)} \) + \( \curvearrowright P(ggT(m,n)) = (min(m_1,n_1),min(m_2,n_2),min(m_3,n_3),\dots )\) + \item \( P(kgV(m,n)) = (max(m_1,n_1),max(m_2,n_2),max(m_3,n_3),\dots )\) + \item \(P(ggT(m,n) \cdot kgV(m,n)) = (min(m_1,n_1) + max(m_1,n_1),min(m_2,n_2) + max(m_2,n_2),min(m_3,n_3) + max(m_3,n_3),\dots )\)\\ + \( = (m_1 + n_1, m_2+n_2, \dots) \)\\ + \( = P(m,n)\) +\end{itemize} +P ist injektiv \( \Rightarrow ggT(m,n) \cdot kgV(m,n) = m \cdot n \)\\ +\( kgV(m,n) = \frac{m \cdot n}{ggT(m,n)} \)\\ +(Kann mit E{\tiny UKLID} berechnet werden.) + +Anwendung der PFZ:\\ +\( \sqrt{2} \) ist irrational (d.\,h. nicht rational, d.\,h. kein Bruch)\\ +Annahme: \( \exists \frac{a}{b} \in \mathbb Q: \left( \frac{a}{b} \right) ^2 = 2 \)\\ +\( \Rightarrow \underbrace{a^2}_{\text{gerade..}} = \underbrace{2 b^2}_{\text{ungerade..}} \)\\ +.. Anzahl an Zweiern in der PFZ\\ +aber PFZ ist eindeutig\\ +\( \Rightarrow a^2 \ne 2b^2\)\\ +\( \rightarrow\) Widerspruch, \( \sqrt{2} \not\in \mathbb Q \) + +\defin Zwei Zahlen \(m,n \in \mathbb N; m,n > 0\) mit \(ggT(m,n) = 1\) heißen \underline{teilerfremd}. (Abk.: \( m \perp n \) ) + +\underline{Bsp.:} Ein Bruch \( \frac{a}{b} \) ist vollständig gekürtzt, wenn \( a \perp b\).\\ +\( \frac{16}{9} \) ist vollständig gekürzt, \( 16 \perp 9 \). + +Frage: Warum gibt es unendlich viele Primzahlen?\\ +Annahme: Es gibt nur k verschiedene Primzahlen \(p_1, \dots, p_k \)\\ +Konstruiere eine weitere Prizahl \( P := p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k + 1 \)\\ +\begin{itemize} + \item p ist nicht teilbar durch \( p_1,p_2, \dots, p_k \) + \item also: Die PFZ von p enthält keine der Primzahlen \( p_1, \cdot , p_k\), also muss sie aus „neuen“ Primzahlen bestehen. +\end{itemize} +\(\Rightarrow \) Widerspruch. \(\square\) + +\underline{Primzahlsatz:}\\ +\( \pi(n) := \left| \{ p \le n \mid p \text{ ist Primzahl } \} \right| \)\\ +(Anzahl Primzahlen \( \le n \))\\ +\( \pi(n) \underset{\text{asymptotisch äquivalent}}{\sim} \frac{n}{\log n} \left( \pi(n) \cdot \frac{\log n}{n} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 1 \right)\) + +\subsection{Kongruenzen} + +Es seien \( a,b,m \in \mathbb Z, m > 0 \).\\ +\( a \equiv b (\mod m) : \Leftrightarrow a \mod m = b \mod m \Leftrightarrow m | (a-b) \)\\ +„a ist kongruent zu b modulo m“ + +Wir haben bereits gesehen (Aufgabe 3.5 zur Vorlesung) dass \(\equiv\) (mod m) eine Äquivalenzrelation ist. Diese hat m verschiedene Äquivalenzklassen:\\ +\( [0]_{\equiv \mod m} = \{ t \cdot m + 0 \mid t \in \mathbb Z \} \)\\ +\( [1]_{\equiv \mod m} = \{ t \cdot m + 1 \mid t \in \mathbb Z \} \)\\ +...\\ +\( [m-1]_{\equiv \mod m} = \{ t \cdot m + (m-1) \mid t \in \mathbb Z \} \) + +\underline{zum Rechnen mit Resten:}\\ +\((a+b) \mod m = (a + (b \mod m) ) \mod m\):\\ +\(a + (b \mod m) = a + b - \lfloor \frac{b}{m} \rfloor m \)\\ +\( \curvearrowright (a + (b \mod m)) \mod m \)\\ +\( = (a + b - \lfloor \frac{b}{m} \rfloor m) - \lfloor \frac{a + b - \lfloor \frac{b}{m} \rfloor m}{m} \rfloor m \)\\ +\( = a+b-\lfloor \frac{b}{m} \rfloor m - (-\lfloor\frac{b}{m} + \lfloor\frac{a+b}{m}\rfloor)m \)\\ +\( = a+b- (\lfloor\frac{a+b}{m}\rfloor)m \)\\ +\( = (a+b) \mod m \) + +\( \Rightarrow (a+b) \mod m = (a + (b \mod m))\mod m \)\\ +\( = ((a \mod m) + (b \mod m) ) \mod m\)\\ +vertausche Rollen von a und b\\ +\begin{itemize} + \item analog: \( (a-b) \mod m = ( (a\mod m) - (b\mod m) ) \mod m \) + \item \((a \cdot b) \mod m = ( \underbrace{a + \dots + a}_{\text{b-mal}} ) \mod m \)\\ + \( = ( \underbrace{(a\mod m) + \dots + (a\mod m)}_{\text{b-mal}} ) \mod m\)\\ + \( = ( (a\mod m) \cdot b ) \mod m\)\\ + \( = ( (a\mod m) \cdot(b\mod m)) \mod m\) +\end{itemize} + +\underline{Bsp.:} +\( (3.8 \dot 10^9 + 378956743) \mod 5 \) \\ +\( = ((3.8 \dot 10^9 \mod 5) + (378956743 \mod 5)) \mod 5 \)\\ +\( = (0+3) \mod 5 = 3 \) + +\underline{Rechenregeln für Kongruenzen}\\ +Es seien \( a \equiv b (\mod m), c \equiv d (\mod m)\)\\ +\( \Rightarrow (a+c) \equiv b+d (\mod m)\)\\ +\spa\( (a-c) \equiv b-d (\mod m)\)\\ +\spa\( (a\cdot c) \equiv b\cdot d (\mod m)\)\\ +Beweis:\\ +\spa\( a \pm c \equiv a \pm d (\mod m)\)\\ +\(\Leftrightarrow m | \underbrace{(a \pm b) - (c \pm d)}_{= (a-b) \pm (c-d)} \)\\ +\( m | (a-b), m | (c-d) \)\\ +\( \Rightarrow m | \left[ (a-b) \pm (c-d) \right] \) \checkmark + +\( a\cdot c \equiv b \cdot d (\mod m)\)\\ +\( \Leftrightarrow m | \underbrace{a\cdot c - b \cdot d}{} \)\\ +\( = a\cdot c - b \cdot c + b \cdot c - b\cdot d \)\\ +\( = \underbrace{(a-b)}{}\cdot c + b \cdot \underbrace{(c-d)}{} \quad \Box \)\\ +\spa\spa Vielfache von m + +\underline{Inverse modulo m}\\ +Wann gibt es \( x \in \mathbb Z \) mit\\ +\spa \( a\cdot x \equiv 1 (\mod m)\) ? +\begin{itemize} + \item falls ggT(a,m) = 1:\\ + erweiterter Euklidischer Algorithmus liefert \(x,y \in \mathbb Z\) mit\\ + \spa \( a\cdot x + m \cdot y = ggT(a,m) = 1\)\\ + \( \Rightarrow \underbrace{a\cdot x = m\cdot y}_{\equiv 1} = a\cdot x (\mod m) \)\\ + \( \Rightarrow x\) aus dem erw. Eukl. Alg. ist genau das Inverse von a.\\ + Bez.: \( x = a^{-1} \) oder \( x = a^{-1}_{\mod m} \) + \item falls \( d := ggt(a,m) > 1 \):\\ + \( (a\cdot x) \mod m = \underbrace{a\cdot x - \llfloor \frac{a\cdot x}{m} \rrfloor m}_{\text{teilbar durch d}} \)\\ + \( \Rightarrow d | (a\cdot x) \mod m\),\\ + aber \( d \not| 1\)\\ + \( \Rightarrow (a\cdot x) \mod m \ne 1 \mod m \)\\ + \( \Leftrightarrow a \cdot x \not\equiv 1 (\mod m) \)\\ + Also hat a kein Inverses modulo m. +\end{itemize} +Man kann zeigen:\\ +Falls \(a \perp m\), dann gibt es ein eindeutiges Inverses \(a^{-1}_{\mod m} \in \mathbb Z_m := \{0,1,\dots,m-1\} \) + +Menge der Zahlen mit Inversen modulo m:\\ +\( \mathbb Z^x_m := \{ a \in \mathbb Z_m \mid a \perp m \} \) + +\underline{Bsp.:}\\ +\( \mathbb Z^x_2 =\{ 1 \}, Z^x_3 = \{ 1,2 \} \)\\ +\( ( 1^{-1} = 1, 2^{-1} = 2 : 2 \cdot 2 \mod 3 = 1 ) \)\\ +\( \mathbb Z^x_4 = \{1,3\}, \mathbb Z^x_5 = \{1,2,3,4\} \) \\ +\( \mathbb Z^x_6 = \{1,4,5\} \) + +Damit lassen sich lineare Kongruenzen lösen:\\ +\spa \( a\cdot x \equiv b (\mod m) \)\\ +mit \( a \in \mathbb Z^x_m, b \in \mathbb Z_m \)\\ +\spa \( x:= a^{-1} \cdot b \mod m \)\\ +\(\rightarrow a\cdot x = a(a^{-1} \cdot b) \mod m\)\\ +\spa \(\equiv \underbrace{(a\cdot a^{-1})}_{\equiv 1} \cdot b \equiv b (\mod m) \)\\ +Diese Lösung für \(x\) ist eindeutig in \(\mathbb Z_m\). + +„Wie groß ist \(\mathbb Z^x_m\)?“\\ +\defin \( \phi(m) := | \mathbb Z^x_m | \) + +\underline{Eulersche Phi-Funktion}\\ +Wir wissen: +\begin{itemize} + \item falls p Primzahl ist: \( \phi(p) = | \{1,...,p-1\} | = p-1 \). + \item für Primzahlpotenzen gilt:\\ + \( \phi(p^k) = | \mathbb Z_{p^k} \backslash \{0,p,2\cdot p, 3 \cdot p,... , p^k-p\} | \)\\ + größtes Vielfaches von \( p \le p^k \) ist \(p^k\); ... \(p < p^k\) ist \( p^k - p\)\\ + \( \curvearrowright \phi(p^k) = | \mathbb Z_{p^k} | - | \{ 0,p,2p, ... , p^k - p \}| \)\\ + \spa \( = p^k - \frac{p^k}{p} = p^k - p^{k-1} = p^k(1-\frac{1}{p}) \)\\ + \underline{Bsp.:}\\ + \(|\mathbb Z^x_{125}| = \phi(125) \)\\ + \( = \phi(5^3) = 5^3(1-\frac{1}{5}) = 100 \) + \item allgemeiner Fall: \( m = \prod\limits_{i=1}^{k} p_i^{m_i} \leftarrow \) Primfaktorzerlegung\\ + \(\phi(m) = \phi\left( \prod\limits_{i=1}^{k} p_i^{m_i}\right) = ? \)\\ + Zusammenhang zwischen\\ + \( \mathbb Z_{p_1^{m_k} ... p_k^{m_k} }^x \) und \( \mathbb Z_{p_1^{m_k} }, ...,\mathbb Z _{p_k^{m_k} }^x \) ? +\end{itemize} + +\underline{Chinesischer Restsatz}\\ +Gibt es eine Lösung \(x\) des Systems von Kongruenzen?\\ +\( c_1 \cdot x \equiv d_1 (\mod m) \)\\ +\( c_2 \cdot x \equiv d_2 (\mod n ) \)\\ +(Hierbei seien \(c_1 \in \mathbb Z^x_m, c_2 \in \mathbb Z^x_n, d_1,d_2 \in\mathbb Z\) )\\ +Multipliziere mit \( c_1^{-1} , c_2^{-1} \)\\ +\spa \(x \equiv c_1^{-1} d_1 (\mod m) \)\\ +\spa \(x \equiv c_2^{-1} d_2 (\mod m) \)\\ +setze:\\ +\spa \( a := c_1^{-1} \cdot d_1 \in \mathbb Z_m,\)\\ +\spa \( b := c_2^{-1} \cdot d_2 \)\\ +Ansatz: \(x = y \cdot m + z \cdot n \) mit \( y,z \in \mathbb Z\)\\ +\(\rightarrow x \mod m = z \cdot n \mod m \overset{!}{\equiv} a \)\\ +\spa \( x \mod n = y \cdot m \mod n \overset{!}{\equiv} b \)\\ +löse also \( z \cdot n \equiv a (\mod m) \) nach z\\ +auf, \( y \cdot m \equiv b (\mod n) \) nach y.\\ + +Falls \(m \perp n\):\\ +\spa \(z = a \cdot n^{-1}_{\mod m}, y = b \cdot m^{-1}_{\mod n} \)\\ +\( \Rightarrow x = b \cdot m^{-1}_{\mod n} \cdot m + a \cdot n^{-1}_{\mod m} \cdot n \)\\ +Man kann zeigen: x ist eindeutig bis auf Vielfache von \( m \cdot n \).\\ +Zu jedem Paar \((a,b) \in \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n \) gibt es eine eindeutige Lösung \( x \in \mathbb Z_{m\cdot n}\).\\ +Definiere die Funktion \( \psi: \mathbb Z_{m\cdot n} \to \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n \);\\ +\( \psi(x) := ( x \mod m, x \mod n) \).\\ +\(\psi\) ist also bijektiv.\\ +\( \curvearrowright | \mathbb Z_{m \cdot n} | = | \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n | = |\mathbb Z_m| \cdot |\mathbb Z_n| \) + +Eigenschaften vo \(\psi\): +\begin{itemize} + \item \(\psi\) ist bijektiv + \item \(\psi(1) = (1,1)\) \\ + \(\psi(0) = (0,0)\) + \item \(\psi((x+y) \mod (m\cdot n)) = \psi(x) +\psi(y) \),\\ + wobei \( (a,b) + (c,d) := (a+c \mod m, b+d \mod n) \) + \item \(\psi(x \cdot y) \mod (m\cdot n) = \psi(x)\cdot \psi(y) \), + mit \((a,b)(c,d) = ( (a\cdot c) \mod m, (b\cdot d) \mod n) \) +\end{itemize} +\spa \( (x \cdot y ) \mod (m\mod n) = x \cdot y - \llfloor \frac{x\cdot y}{m \cdot n} \rrfloor \cdot m \cdot n \)\\ +\( \curvearrowright (x \cdot y ) \mod (m\mod n) \equiv x \dot y (\mod m) \)\\ +\spa \( (x \cdot y ) \mod (m\mod n) \equiv x \cdot y (\mod n) \)\\ +\( \Rightarrow \psi( (x\cdot y) \mod (m\cdot n) ) = ( (x\cdot y) \mod m, (x\cdot y) \mod n ) \)\\ +\spa\spa\( = ( (x \mod m)(y\mod m) \mod m, (x \mod n)(y\mod n) \mod n) \)\\ +\spa\spa\( = \psi(x) \cdot \psi(x) \)\\ +\begin{tabular}{ccc} + Eingaben \( \in \mathbb Z_{m\cdot n} \) & \spa \( \underset{\psi}{\longrightarrow} \)\spa & Eingabe \( \in \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n \)\\[5mm] + Richtung in \( \mathbb Z_{m\cdot n} \downarrow\) & & \(\downarrow\)Richtung in \( \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n\)\\[5mm] + Ergebnis in \( \mathbb Z_{m\cdot n } \) & \spa\( \underset{\psi^{-1}}{\longleftarrow} \)\spa & Ergebnis in \(\mathbb Z_m \times \mathbb Z_n\) +\end{tabular} + +\( (x\cdot y ) \mod (m \cdot n) = 1\)\\ +\( \Leftrightarrow \psi(x) \cdot \psi(y) = \psi( (x\cdot y) \mod (m\cdot n) ) = (1,1) \)\\ +Also: \( (x_1,x_2) := \psi(x), (y_1,y_2) := \psi(y)\)\\ +\( \Rightarrow x_1 \dot y_1 \mod m = 1 \),\\ +\spa \( x_2 \dot y_2 \mod m = 1 \)\\ +also: \( x_1 \in \mathbb Z^x_m\)\\ +\spa \(x_x \in \mathbb Z^x_n\). + +\(\psi\) ist also auch eine Bijektion zwischen \(\mathbb Z^x_{m\cdot n} \) und \( \mathbb Z^x_m \times \mathbb Z^x_n \).\\ +\( \Rightarrow | \mathbb Z^x_{m\cdot n} | = | \mathbb Z^x_m \times \mathbb Z^x_n | = |\mathbb Z^x_m| \cdot |\mathbb Z^x_n| \)\\ +Konsequenz für \( \phi\left( \prod\limits_{i=1}^{k} p_i^{m_i} \right) \):\\ +\spa \( p_i^{m_i} \perp p_j^{m_j} \quad \text{ für } i \ne j \)\\ +\( \curvearrowright | \mathbb Z^x_{p_1^{m_1} ... p_k^{m_k}} | = | \mathbb Z^x_{p_1^{m_1}} | ... | \mathbb Z^x_{p_k^{m_k}} | \)\\ +\( = p_1^{m_1} \left( 1-\frac{1}{p_1} \right) ... p_k^{m_k} \left( 1-\frac{1}{p_k} \right) \)\\ +\( m \prod\limits_{p | m} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \) + +\underline{Bsp.:} \( \phi(100) = | \mathbb Z_{100}^x | \)\\ +\( = \phi(2^2 \cdot 5^2) = 100 \cdot \underbrace{(1 - \frac{1}{2})}_{=\frac{1}{2}} \cdot \underbrace{(1 - \frac{1}{5})}_{=\frac{4}{5}} \)\\ +\( = 40 \) + +\( \phi(2) = 2\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right) = 1 \)\\ +\( \phi(3) = 3\cdot \left(1-\frac{1}{3}\right) = 2 \)\\ +\( \phi(4) = 4\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right) = 2 \)\\ +\( \phi(5) = 5\cdot \left(1-\frac{1}{5}\right) = 4 \)\\ +\( \phi(6) = 6 \cdot \left(1-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(1-\frac{1}{3}\right) = 2 \) + +\newpage +\section{Algebra} + +algebraische Strukturen, Beispiele:\\ +\begin{tabular}{l|l} + Gruppe: & \( (S_n, \circ), (\mathbb Z^x_m, \cdot ), (\mathbb Z, +) \)\\ + \hline + Ring: & \( (\mathbb Z,+, \cdot) , \mathbb Z, + , \cdot ) \)\\ + \hline + Körper & \( \mathbb R, \mathbb Q, \mathbb Z_p \) (p Primzahl)\\ + \hline + Vektorräume & \( \mathbb R^3 \)\\ +\end{tabular} + +\subsection{Gruppen} + +\defin Gegeben seien eine Menge G und eine binäre Operation \(*\): \( G \times G \mapsto G \).\\ +(G,\(*\)) heißt \underline{Gruppe}, falls folgende Axiome gelten:\\ +\begin{tabular}{lll} + (G1) & \( \forall a,b,c \in G: (a * b) * c = a * ( b * c ) \) & (assoziativgesetz)\\ + (G2) & \( \exists e\in G: \forall a \in G: a * e = a \) & (neutrales Element)\\ + (G3) & \( \forall a \in G: \exists a^{-1} \in G: a \cdot a^{-1} = e \) & (Inverses)\\ + \multicolumn{3}{l}{(G,\(*\)) heißt \underline{Abelsche} oder \underline{kommutative Gruppe}, wenn zusätzlich gilt:}\\ + (G4) & \( \forall a,b \in G: a * b = b * a \). & +\end{tabular} + +\underline{Bem.:} Wenn die Verknüpfung \(*\) aus dem Kontext hervorgeht, bezeichnet man auch G als Gruppe. + +\underline{Beispiele:} +\begin{enumerate} + \item \((\mathbb Z,+)\) ist eine Kommutative Gruppe:\\ + \begin{tabular}{lll} + (G1) & \( (a+b) + c = a + (b+c) \) & \checkmark\\ + (G2) & \( a + 0 = a \) & \checkmark\\ + (G3) & \( a^{-1} := -a; a + (-a) = 0 \) & \checkmark\\ + (G4) & \( a + b = b + a \) & \checkmark + \end{tabular} + \item \( (\mathbb Z^x_m, \cdot) \)\\ + \begin{tabular}{lll} + (G1) & \( ( (a\cdot b) \mod m \cdot c ) \mod m = (a \cdot ((b\cdot c )\mod m)) \mod m \) & \checkmark\\ + (G2) & \( a \cdot 1 \mod m = a \) & \checkmark\\ + (G3) & \( \exists a^{-1} \in \mathbb Z^x_m: a\cdot a^{-1} \mod m = 1 \) & \checkmark\\ + (G4) & \( (a\cdot b) \mod m = (b\cdot a)\mod m \) & \checkmark\\ + \( \rightsquigarrow \) & \( (\mathbb Z^x_m, \cdot) \) ist eine kommutative Gruppe + \end{tabular} + \item aber: \((\mathbb Z_m,\cdot)\) ist keine Gruppe, weil z.\,B. \( 0 \in \mathbb Z_m \) kein Inverses besitzt. + \item \( (S_n, \circ)\) ist eine Gruppe, aber nicht Kommutativ:\\ + \begin{tabular}{lll} + (G1) & & \checkmark\\ + (G2) & \(id: x \mapsto x, \sigma \circ id = \sigma \) & \checkmark\\ + (G3) & \( \exists \sigma^{-1} \in S_n: \sigma \circ \sigma^{-1} = id \) & \checkmark\\ + (G4) & \( (12) \circ (23) = (123) \ne (23) \circ (12) = (132) \) & + \end{tabular} +\end{enumerate} + +Es gilt stets:\\ +\begin{enumerate} + \item \( a^{-1} * a = e \) + \item \( e * a = a^{-1} \) + \item \( ( a^{-1})^{-1} = a \) + \item \( (a*b )^{-1} = b^{-1} * a^{-1} \) +\end{enumerate} + +%TODO +%\begin{enumerate} +% \item \( a^{-1} * a = a^{-1} * \underbrace{a * +%\end{enumerate} + +Eindeutigkeit des Inversen\\ +\( \curvearrowright (a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} \Box\)\\ + +Die Gleichungen\\ +\( a * x = b, \quad y * a = b\)\\ +besitzen die eindeutigen Lösungen:\\ +\( x = a^{-1} * b, \quad y = b * a^{-1} \).\\ +(Es sei \( a * x= b = a * x' \) )\\ +\( \Rightarrow x = a^{-1} * (a * x) = a^{-1} * (a * x') = x' \)\\ +Die Eindeutigkeit von y folgt analog.\\ +Folgerung: Das neutrale Element und die inversen Elemente sind Eindeutig + +\underline{Untergruppen} + +\defin \((G,*), (U,*)\) seien Gruppen, \( U \subseteq G\) +Dann heißt U \underline{Untergruppe} von G\\ +(Schreibweise: \(U \le G\)) + +\underline{Bsp.:}\\ +\( (\mathbb Z,+) \le (\mathbb Q,+) \le (\mathbb R,+) \) +\begin{itemize} + \item Es sei G eine endliche Gruppe, \( a \in G \).\\ + \( := \{a^0,a,a^2,a^3,... \} \)\\ + ( \( a^n = \underbrace{a * ... * a}_{\text{n-mal a}} \) )\\ + \( a^0 = e \) + \( \) heißt die von a \underline{erzeugte Gruppe}.\\ + \( \) ist die kleinste Untergruppe von G, die a enthält.\\ + Beispiel: \( G = \mathbb Z_7^* = \{1,2,3,4,5,6\} \)\\ + \( \curvearrowright <2> = \{1,2,2^2=4,2^3\equiv 1 (\mod 7)\} = \{1,2,4\} \),\\ + \( <2> \le \mathbb Z_7^* \)\\ + Bem.: Jede Gruppe G hat zwei triviale Untergruppen, \( G \le G \) und \( \{e\} \le G \). Alle anderen Untergruppen von G sind nichttrivial. + +\end{itemize} + +\underline{Satz von Lagrange}\\ +Es seien \(U \le G\) Gruppen , \(G\) endlich. Dann ist \( |U|\, \big|\, |G| \) , + +\defin Für \( x \in G \) definiert man die \underline{Nebenklasse} von U in G,\\ +\( x * U := \{ x * a \mid a \in U \} \)\\ +\underline{Bsp.:} \((Z_6,+) \ge <3> = \{0,3\} \)\\ +Nebenklassen von \(<3>\) in \(\mathbb Z_6 \):\\ +\( 0 + <3> = \{0+0,0+3\} = \{0,3\} = 3 + <3> \)\\ +\( 1 + <3> = \{1+0,1+3\} = \{1,4\} = 4 + <3> \)\\ +\( 2 + <3> = \{2+0,2+3\} = \{2,5\} = 5 + <3> \) + +Die Nebenklassen von \( U \text{ in } G\)bilden eine Partition von \(G\):\\ +\begin{enumerate} + \item Überdeckung: \( \underset{x \in G}{\cup} (x*U) \overset{!}{=}G \)\\ + Es sei \( x\in G\) beliebig gewählt.\\ + \( \Rightarrow x \in x * U\), denn \( x = x * e \in x * U\)\\ + \( \curvearrowright G \subseteq \underset{c \in G}{\cup} (x * U) \) \checkmark + \item Disjunktheit:\\ + Es sei \( z \in (x * U ) \land (y * U) \ne \emptyset \)\\ + zu zeigen: \( x * U = y * U\)\\ + (wir zeigen: \(x * U \subseteq y * U; x * U \supseteq y * U \) folgt analog )\\ + Es sei \( a \in x * U, a = x * a_x\) mit \( a_x \in U \).\\ + \( z = x * z_x = y * z_y, \text{ wobei } x_z,z_y \in U. \)\\ + \( a = x * a_x = ( x * z_x) * z_x^{-1} * a_x \)\\ + \( = (x* \underbrace{z_y) * z_x^{-1} * a_x}_{\in U } \)\\ + \( \Rightarrow a \in y + U. \quad \Box\) + \item Alle Nebenklassen \( x * I \) sind gleichmächtig.\\ + (Beweisidee: Finde eine Bijektion zwischen \(x * U \) und \(e*U, |e*U| = |U|\)) +\end{enumerate} + +\underline{Beweis des Satzes von Lagrange} + +Wähle \( M \subseteq G\), so dass:\\ +\spa \( G = \underset{x\in M}{\uplus} (x*U) \) d.\,h. \( x_1 * U \ne x_2 * U, \text{ für } x_1 \ne x_2\)\\ +\( |G| = \sum\limits_{x\in M} |x*U| = \sum\limits_{x \in M} |U| = |M| \cdot |U|\)\\ +\( \rightarrow |U| \cdot |G| \quad \Box \) + +Es sei G eine endliche Gruppe, \( a \in G \).\\ +Betrachte \( := \{a^0,a^1,a^2,...\} \)\\ +G ist endlich. \( \Rightarrow \exists s,t \in \mathbb N: a^s = a^t , s < t \).\\ +\(\Rightarrow a^{t-s} = e \)\\ +D.\,h. \( \exists n>0: a^n = e \quad (n=t-s) \) + +\defin Die \underline{Ordnung} von \(a\), \(ord(a)\) ist die kleinste Zahl \( n>0 \), so dass \(a^n = e\).\\ +\(\Rightarrow = \{ a^1,a^2,a^3,...,a^{ord(a)} = e \}\)\\ +also: \(|| = ord(a) \) + +\underline{Folgerung:}\\ +\( \le G \overset{\text{Lagrange}}{\Rightarrow} |G| = m \cdot ||, \)\\ +\( a^{|G|} = \left(a^{||}\right)^m = \underbrace{\left( a^{ord(a)} \right)^m}_{=e} = e. \) + +\underline{Beispiele:} +\begin{itemize} + \item \underline{Satz von Fermat}\\ + Es sei p eine Primzahl, \( a \in \{ 1,...,p-1\} \).\\ + \( \Rightarrow a^{p-1} = a^{|\mathbb Z_p^x|} \equiv 1 (\mod p)\). + \item \underline{Satz von Euler}:\\ + Es sei \( n>1; |\mathbb Z_n^x| = \phi(n), a \in \mathbb Z_n^x \)\\ + \(\rightarrow a^{\phi(n)} = a^{|\mathbb Z_n^x|} \equiv 1 (\mod n)\) +\end{itemize} + +\underline{Beispiel:}\\ +\( 7^{243} \mod 300 = ? \)\\ +\( |\mathbb Z_{300}^x| = \phi(300) = \phi(2^2 \cdot 3 \cdot 5^2) \)\\ +\( = 300 \cdot (1-\frac 1 2) \cdot (1-\frac 1 3) \cdot (1-\frac 1 5) \)\\ +\( = 300 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = 10 \cdot 2 \cdot 4 = 80 \)\\ +\( \underset{7 \perp 300}{\overset{\text{Euler}}{\rightarrow}} 7^{80} \equiv 1 ( \mod 300),\)\\ +\( 7^{243} = \underbrace{(7^{80})^3}_{\equiv 1} \cdot 7^3 \equiv 7^3\equiv 343 (\mod 300) \equiv 43 (\mod 300) \) + +n zusammengesetz, keine Camichael-Zahl:\\ +\( U:= \{ a\in \mathbb Z_n^x \mid a^{n-1} \equiv 1 (\mod n) \} \ne \mathbb Z_n^x\)\\ +Falls \( U\le \mathbb Z_n^x \):\\ +\( |u| \big| | \mathbb Z_n^x| \rightarrow | \mathbb Z_n^x | = m \cdot |U| \)\\ +\( \rightarrow |U| \le \frac 1 2 | \mathbb Z_n^x| \) + +Ist \( U \le \mathbb Z_n^x \)?\\ +\( \mathbb Z_n^x\) ist endlich \(\Rightarrow\) Prüfe (G0) !\\ +Wähle \(a,b \in U\) beliebig.\\ +\( \Rightarrow (ab)^{n-1} = \underbrace{a^{n-1}}_{\equiv 1} \cdot \underbrace{b^{n-1}}_{\equiv 1} \equiv 1 (\mod n) \)\\ +\(\Rightarrow ab \in I\), also: \( U \le G = \mathbb Z_n^x\) + +\underline{RSA-Public-Key-Kryptosystem} + +geheime Nachricht: \(m \in \mathbb Z_n\)\\ +verschlüsselte Nachricht: \( c \in \mathbb Z_n \) + +Schlüsselkonstruktion:\\ +\begin{enumerate} + \item Primzahlen \(p\ne q, n := p\cdot q\)\\ + \( \phi(n) = n(1-\frac 1 p)(1- \frac 1 q) = (p-1)(q-1)\) + \item geheimer Schlüssel:\\ + Zufallszahl \(d\) (für „decryption“)\\ + \(\in \mathbb Z_{\phi(n)}^x\) + \item öffentlicher Schlüssel:\\ + \( (\underbrace{d^{-1}_{\mod \phi(n)}}_{mit Euklid} , n) \)\\ + „encryption“ := e +\end{enumerate} +Protokoll:\\ +\begin{tabular}{ccc} + A & & B\\ + && \(m\)\\ + && \( \rightarrow c := m^e (\mod n)\)\\ + & \(\swarrow\) & \\ + berechtet && \\ + \(c^d \mod n = m\) && +\end{tabular} + +\underline{1. Fall:}\\ +\begin{align*} + m \perp n, m \in \mathbb Z_n^x\\ + \Rightarrow c^d \equiv (m^e)^d &\equiv m^{e\cdot d} (\mod n)\\ + m^{\mathbb Z_n^x} = m^{\phi(n)} &\equiv 1 (\mod n)\\ + \rightarrow c^d \equiv m^{e\cdot d} &\equiv m^{(e\cdot d) \mod \phi(n)} \equiv m^1 (\mod n) +\end{align*} + +\underline{2. Fall:}\\ +\(ggT(m,n) > 1, \text{ entweder } ggT(m,n) = p \text{ oder } ggT(m,n) = q\)\\ +hier: \( ggT(m,n) = p \) + +Chinesischer Restsatz:\\ +Der Lösung von \(x \equiv m^{e\cdot d} (\mod n) \) (t) \\ +entspricht genau einer Lösung von\\ +\( x \equiv m^{e\cdot d} (\mod p) (*)\)\\ +\( x \equiv m^{e\cdot d} (\mod q) (*)\)\\ +Wir zeigen, dass \( x = m \) die von \((*)\) ist, und deshalb auch von (t) + +\( p | m \Rightarrow m \equiv0 (\mod p) \)\\ +\( \curvearrowright m^{e\cdot d} \equiv 0^{e\cdot d} = 0 (\mod p)\)\\ +\(\Rightarrow m \equiv m^{e\cdot d} (\mod p) \);\\ +\( m \perp q; ed = 1(\mod (p-1)(q-1) )\)\\ +\(\rightarrow \exists k \in \mathbb Z: ed = 1 + k \cdot (p-1)(q-1) \)\\ +modulo \( |\mathbb Z_q^x| = \phi(q) = q-1\): +\( ed = 1 + [ k(p-1) ] \cdot (q-1) \)\\ +\( \Rightarrow ed \equiv 1 (\mod (q-1))\)\\ +\( m^{ed} \equiv m^{ed \mod q-1} \equiv m^1 (\mod q) \)\\ +also: m ist die eindeutige Lösung \( \in \mathbb Z_n\) von \((*)\). + +\( \rightarrow \) Entschlüsselung liefert tatsächlich m. + + +Entschlüsselung ist möglich, wenn \(\phi(n)\) bekannt ist. Warum ist \(\phi(n)\) schwierig zu bestimmen?\\ +Primfaktor \( \overset{\text{leicht}}{\rightarrow} \phi(n)\) \\ +Primfaktor \( \underset{\text{leicht?}}{\leftarrow} \phi(n)\) \\ +\(\phi(n) = (p-1)(q-1) \)\\ +\(\Rightarrow\) betrachte:\\ +\(f(x) = x^2 - (n-\phi(n)+1) x + n = x^2 - (pq- [ pq - p - q +1] +1 ) x + n \)\\ +\( = x^2 - (n-\phi(n)+1) x + n = x^2 - (p + q) x + pq \)\\ +\( = (x-p)(x-q) \)\\ +f(x) hat genau die Nullstellen p und q, \( \phi(n) \) zu berechnen ist also ebenso schwierig wie die PFZ zu bestimmen. + +\section{Exkurs: Polynome} + +Polynom: \( p(x) := \sum\limits_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i \) mit \( a_0, ... , a_n \in \mathbb R \)\\ +Der \underline{Grad} von \(p\) ist \(n\), falls \(a_n \ne 0 \).\\ +Abkürzung: \( n = grad(p) \) + +Aufwand zur Berechnung von \(p(x_0)\):\\ +\( p(x_0) = a_n \cdot x_0^n + a_{n-1} \cdot x_0^{n-1} + ... + a_1 \cdot x_0^1 + a_0 \)\\ +\( \Rightarrow\) Aufwand: \(n\) Additionen, \(2n-1\) Multiplikationen.\\ +effizienter: Horner-Schema\\ +\begin{align*} + p(x_0) &= \underbrace{a_n \cdot x_0^n + a_{n-1} \cdot x_0^{n-1}} + a_{n-2} \cdot x_0^{n-2} + ... + a_0\\ + &= \underbrace{ (a_n \cdot x_0 + a_{n-1} ) \cdot x_0^{n-1} + a_{n-2} \cdot x_0^{n-2} } + ... + a_0\\ + &= \underbrace{ ((a_n \cdot x_0 + a_{n-1} ) \cdot x_0 + a_{n-2} ) x_0^{n-2} + ... + a_0}\\ + &= (( ... (a_n\cdot x_0 + a_{n-1})x_0 + ... ) +a_1) x_0 + a_0 +\end{align*} +\( \Rightarrow \) Aufwand: n Additionen, n Multiplikationen + +Rechnen mit Polynomen:\\ +es seien \(a(x) := \sum\limits_{i=0}^m a_i \cdot x^i, b(x) = \sum\limits_{i=0}^n n_i \cdot x^i \)\\ +zwei Polynome, \( a_m \ne 0 \ne b_n (m \ge n) \) +\begin{itemize} + \item Summe: \(a(x) + b(x) = \sum\limits_{i=0}^m (a_i + b_i) x^i \)\\ + \((b_{n+1}, ... b_m := 0\) + \item DIfferenz: analog + \item Produkt: \(a(x) \cdot b(x) = ( \sum\limits_{i=0}^m a_i \cdot x^i)( \sum\limits_{i=0}^n b_i \cdot x^i) \)\\ + \( = \sum\limits_{i=0}^{m+n} c_i \cdot x^i \) mit \( c_i = \sum\limits_{j=0}^m a_j b_i-j\) \\ + \( b_i := 0 \text{ für } i < 0 \) + \item Division?\\ + \underline{Satz:} Es seien \(a(x), b(x)\) Polynome, \(b\ne 0\). Dann existieren Polynome \(q(x) \text{ und } r(x) \), so dass gilt:\\ + \(a(x) = q(x) \cdot b(x) + r(x) \)\\ + wobei \( r = 0\) oder \( grad(r) < grad(b) \).\\ + Beweis: ohne.\\ +\end{itemize} +\underline{Bsp.:} \( p(x) := 3x^3 + 4x^2 -5x + 1\)\\ +\( \Rightarrow ((3x+4)x-5)x+1 \)\\ +\( p(2) = \left(\left(3 \cdot 2 + 4 \right) \cdot 2 -5 \right) \cdot 2 + 1 \)\\ +\spa \( = (10 \cdot 2 - 5) \cdot 2 +1 = 15 \cdot 2 +1 = 31 \) + +\( \frac{(3x^3 + 4x^2 - 5x +1) }{x^2 - x + 1} = 3x+7 (=q(x)) \quad \text{ Rest } -x-6 (=r(x)) \) + +Häufig interessiert man sich für die Nullstellen eines Polynoms.\\ +\underline{Bsp.:}\\ +\begin{align*} + p(x) := 2x^2 - 4x +1 &\overset{!}{=} 0\\ + \Leftrightarrow x^2 - 2x + \frac 1 2 &\overset{!}{=} 0\\ + \curvearrowright x_{1/2} &= +1 \pm \sqrt{1^2 - \frac 1 2}\\ + &= 1 \pm \sqrt{\frac 1 2} +\end{align*} + +Wieviele Nullstellen kann ein Polynom \(p \ne 0\) vom Grad n besitzen?\\ +Höchstens \(n\) Nullstellen! + +Beweis: mit vollständiger Induktion nach n\\ +\textbf{I.A.} \(n=0: p(x) = a_0 \ne 0\)\\ +\( \curvearrowright \) Keine Nullstellen \checkmark + +\textbf{I.S.} Es sei \(grad(p) = n+1\): +\begin{labeling}[:]{x. Fall} + \item[1. Fall] p hat keine Nullstelle \( \rightarrow \) \checkmark + \item[2. Fall] p besitzt eine Nullstelle \(x_0\).\\ + Es sei \(p(x) = q(x)(x-x_0) +r(x) \) mit \( r\ne 0 \lor grad(r) < grad(x-x_0) = 0\)\\ + \( \curvearrowright grad(r) = 0\)\\ + \(x_0\) ist Nullstelle von \(p \rightsquigarrow\)\\ + \(p(x_0) = q(x_0)\underbrace{(x_0-x_0)}_{=0} + r(x_0) \overset{!}{=} 0 \)\\ + \( \Rightarrow r(x_0) = 0 \lor grad(r)=0 \Rightarrow r = a_0 \ne 0 \)\\ + \( \Rightarrow r = 0\),\\ + \( p(x) = q(x)(x-x_0) \), wobei \(grad(q) = grad(p) - 1 = n \)\\ + Alle weiteren Nullstellen von \(p\) sind Nullstellen von \(q\); Induktionsvorraussetzung:\\ + \spa q hat höchstens n Nullstellen.\\ + \(\Rightarrow p\) hat höchstens \(n+1\) Nullstellen \(\Box\) +\end{labeling} + +\end{document} diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf new file mode 100644 index 0000000..177ff9f Binary files /dev/null and b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/2-6_koordinatensystem_3d_punkt.pdf differ 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b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.svg new file mode 100644 index 0000000..89f8b36 --- /dev/null +++ b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.svg @@ -0,0 +1,122 @@ + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + + + + + + + + + + P + diff --git a/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.tex b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.tex new file mode 100644 index 0000000..4910654 --- /dev/null +++ b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/2.6_koordinatensystem_3d_punkt.tex @@ -0,0 +1,175 @@ +%LaTeX with PSTricks extensions +%%Creator: inkscape 0.48.0 +%%Please note this file requires PSTricks extensions +\psset{xunit=.5pt,yunit=.5pt,runit=.5pt} +\begin{pspicture}(212.59841919,212.59841919) +{ +\newrgbcolor{curcolor}{0 0 0} +\pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=curcolor] +{ +\newpath +\moveto(63.74305147,63.74290543) +\lineto(209.12270573,63.74290543) +} +} +{ 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b/Grundlagen_der_Mathematik/bilder/org/kreis_5ele.pdf differ diff --git a/Objektorientierte_Modellierung/Objektorientierte_Modellierung.tex b/Objektorientierte_Modellierung/Objektorientierte_Modellierung.tex new file mode 100644 index 0000000..865c2f2 --- /dev/null +++ b/Objektorientierte_Modellierung/Objektorientierte_Modellierung.tex @@ -0,0 +1,68 @@ +\documentclass[11pt]{scrartcl} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[ngerman]{babel} +%\usepackage{amsmath} +%\usepackage{amssymb} +\usepackage{multicol} +\usepackage{booktabs} +\usepackage{pstricks} +\usepackage{pst-node} +\usepackage[paper=a4paper,left=30mm,right=20mm,top=20mm,bottom =25mm]{geometry} +\usepackage[ + pdftitle={Objektorientierte Modellierung}, + pdfsubject={Mitschrift der Vorlesung "Objektorientierte Modellierung" an der HTW-Aalen, bei Herrn Dietrich.}, + pdfauthor={Thomas Battermann}, + pdfkeywords={Objektorientierte Modellierung}, + pdfborder={0 0 0} +]{hyperref} +\usepackage{tabularx} +%\usepackage{graphicx} +\usepackage{color} +\usepackage{lastpage} +\usepackage{fancyhdr} +\setlength{\parindent}{0ex} +\setlength{\parskip}{2ex} +\setcounter{secnumdepth}{4} +\setcounter{tocdepth}{4} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0} +\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5} + +\pagestyle{fancy} %eigener Seitenstil +\fancyhf{} %alle Kopf- und Fußzeilenfelder bereinigen +\fancyhead[L]{Objektorientierte Modellierung} %Kopfzeile links +\fancyhead[C]{Semester 3} %zentrierte Kopfzeile +\fancyhead[R]{WS 2011/2012} %Kopfzeile rechts +\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} %obere Trennlinie +\fancyfoot[C]{Seite \thepage\ von \pageref{LastPage}} +\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} %untere Trennlinie + +\newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}} +\newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}} +\newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor} +\newcommand{\llfloor}{\left\lfloor} + + +\title{Objektorientierte Modellierung} +\author{Mitschrift von Thomas Battermann} +\date{3. Semester} + +\begin{document} + \pagestyle{empty} + + \maketitle\thispagestyle{empty} + \tableofcontents\thispagestyle{empty} + + \newpage + \pagestyle{fancy} + \setcounter{page}{1} + + \underline{Beispiel}: Ausleihe eines Buches in einer Bibliothek als \underline{Datenfluss-Diagramm} + +% \begin{tikzpicture} +% \node[rectangle,inner sep=0pt,minimum height=0.5cm,minimum width=1cm,fill=white] (a) {Benutzer}; +% \node[rectangle,inner sep=0pt,minimum height=0.5cm,minimum width=1cm,fill=white] (b) {Titelkartei}; +% \node[rectangle,inner sep=0pt,minimum height=0.5cm,minimum width=1cm,fill=white] +% \end{tikzpicture} + + +\end{document} diff --git a/Sichere_Hardware/Sichere_Hardware.tex b/Sichere_Hardware/Sichere_Hardware.tex new file mode 100644 index 0000000..2a35b73 --- /dev/null +++ b/Sichere_Hardware/Sichere_Hardware.tex @@ -0,0 +1,120 @@ +\documentclass[11pt]{scrartcl} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[ngerman]{babel} +%\usepackage{amsmath} +%\usepackage{amssymb} +\usepackage{multicol} +\usepackage{booktabs} +\usepackage{pstricks} +\usepackage{pst-node} +\usepackage[paper=a4paper,left=30mm,right=20mm,top=20mm,bottom =25mm]{geometry} +\usepackage[ + pdftitle={Sichere Hardware}, + pdfsubject={Mitschrift der Vorlesung "Sichere Hardware" an der HTW-Aalen, bei Herrn Dietrich.}, + pdfauthor={Thomas Battermann}, + pdfkeywords={Sichere Hardware}, + pdfborder={0 0 0} +]{hyperref} +\usepackage{tabularx} +%\usepackage{graphicx} +\usepackage{color} +\usepackage{lastpage} +\usepackage{fancyhdr} +\setlength{\parindent}{0ex} +\setlength{\parskip}{2ex} +\setcounter{secnumdepth}{4} +\setcounter{tocdepth}{4} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0} +\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5} + +\pagestyle{fancy} %eigener Seitenstil +\fancyhf{} %alle Kopf- und Fußzeilenfelder bereinigen +\fancyhead[L]{Sichere Hardware} %Kopfzeile links +\fancyhead[C]{Semester 3} %zentrierte Kopfzeile +\fancyhead[R]{WS 2011/2012} %Kopfzeile rechts +\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} %obere Trennlinie +\fancyfoot[C]{Seite \thepage\ von \pageref{LastPage}} +\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} %untere Trennlinie + +\newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}} +\newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}} +\newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor} +\newcommand{\llfloor}{\left\lfloor} + + +\title{Sichere Hardware} +\author{Mitschrift von Thomas Battermann} +\date{3. Semester} + +\begin{document} + \pagestyle{empty} + + \maketitle\thispagestyle{empty} + \tableofcontents\thispagestyle{empty} + + \newpage + \pagestyle{fancy} + \setcounter{page}{1} + + \section{Sichere Hardware} + + Passwort für Skripte: Pm21A5fq + + Prüfung: keine schriftliche Prüfung, sondern Projekt. Themen zu Auswahl. Projekt in 2-3er Gruppen.\\ + Themen: + + \begin{tabular}{|l|l|l|} + \hline + Nr. & Kategorie & Thema\\ + \hline + 1 & Authentifizierung & Elektronischer Personalausweis – Chancen und Risiken\\ + \hline + 2 & & RFID und Datenschutz\\ + \hline + 3 & & Trusted Computing\\ + \hline + 4 & & Hardware-Implementierung kryptografischer Algorithmen\\ + \hline + 5 & & Verfahren zur Gesichtserkennung\\ + \hline + 6 & & Handvenenerkennung zur Authentifizierung\\ + \hline + 7 & & Biometrische Authentifizierung mit Fingerabdrucksensoren\\ + \hline + 8 & & Gangerkennung beim Smartphone\\ + \hline + 9 & & Kopierschutz \& DRM \\ + \hline + & & Smartcard als PW-Speicher\\ + \hline + 10 & Verfügbarkeit & Langzeitarchivierung von Daten\\ + \hline + 11 & & Professionelle Backupsysteme\\ + \hline + 12 & & Desaster Recovery\\ + \hline + \end{tabular} + + \section{Einführung} + + \begin{itemize} + \item Vertraulichkeit \(\Rightarrow\) Verschlüsselung + \item Authentizität \(\Rightarrow\) digitale Signatur + \item Integrität \(\Rightarrow\) Hash-Funktion + Verschlüsselung + \item Nicht-Abstreitbarkeit (Verbindlichkeit) \(\Rightarrow\) Zeitstempel + Verschlüsselung + \item Verfügbarkeit \(\Rightarrow\) redundante Hardware + \end{itemize} + + \subsection{Kryptografische Grundbegriffe} + + \begin{itemize} + \item Klartext, Chiffrat C\\ + Verschlüsselung: Klartext \(\Rightarrow\) Chiffrat ; mit Schlüssel \(S_1\)\\ + Entschlüsselung: Chiffrat \(\Rightarrow\) Klartext ; mit Schlüssel \(S_2\) + \item \(S_1 = S_2 \rightarrow\) symmetrische Verschlüsselung, z.\,B. DES, 3DES, AES, Blowfish, Twofish, … + \item \(S_1 \not= S_2 \rightarrow\) assym. Verfahren oder Public Key Kryptosystem, z.\,B. RSA, ECDSA \color{orange}{Elliptic Curve digital Signature alg.}, El Gammal + \item Schlüsselraum\\ + n Bit-Schlüssel \(\Rightarrow 2^n\) Schlüssel gibt es + \end{itemize} + +\end{document}