diff --git a/Algorithmen_und_Datenstrukturen_2/Uebung_4/Uebung_4.tex b/Algorithmen_und_Datenstrukturen_2/Uebung_4/Uebung_4.tex
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+ pdftitle={Uebungsblatt 4: Graphentheorie - AlgoDS2},
+ pdfsubject={Algorithmen und Datenstrukturen 2; Uebungsblatt 4: Graphentheorie},
+ pdfauthor={Thomas Battermann},
+ pdfkeywords={Uebungsblatt 4: Graphentheorie - AlgoDS2},
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+\lstset{
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+ basicstyle=\ttfamily,
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+ morecomment=[s][\color{blue}]{/*}{*/},
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+
+\title{Übung Graphentheorie 1 -- AlgoDS2}
+\author{Thomas Battermann}
+\date{12. Januar 2011}
+
+\begin{document}
+\pagestyle{fancy}
+
+\section*{Aufgabe 1}
+\addcontentsline{toc}{section}{Aufgabe 1}
+
+\subsection*{a)}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{a)}
+
+\includegraphics{bilder/1a.eps}
+
+\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
+ a&q&s&t&w&v&x&y&z&r&u\\\hline
+ $d(a)$ & 0&1&1&1&2&2&2&3&$\infty$&$\infty$\\\hline
+ $\pi(a)$ & -&q&q&q&s&t&t&x&-&-
+\end{tabular}
+
+\subsection*{b)}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{b)}
+
+Vorgängergraph:\\
+\includegraphics{bilder/1b.eps}
+
+\subsection*{c)}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{c)}
+
+\includegraphics{bilder/1c.eps}
+
+
+\section*{Aufgabe 2}
+\addcontentsline{toc}{section}{Aufgabe 2}
+
+\subsection*{a)}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{a)}
+
+Kante \((u,v) \in E \)
+
+Angenommen $(u,v)$ ist eine TreeEdge (\textcolor{Red}{ForwardEdge})\\
+\begin{itemize}
+ \item[$\Rightarrow$] In der Tiefensuche wird $v$ von $u$ aus entdeckt.
+ \item[$\Rightarrow$] $v$ ist ein Nachkomme von $u$ im Tiefensuchebaum
+ \item[$\Rightarrow$] Verschachtelungssatz:\\
+ \( d[u] < d[v] < f[v] < f[u] \)
+\end{itemize}
+
+\('\Rightarrow'\) Angenommen \( d[u] < d[v] < f[v] < f[u] \)
+\begin{itemize}
+ \item[$\Rightarrow$] Verschachtelungssatz:\\
+ $v$ ist ein Nachkomme von $u$ um selben Tiefensuchebaum.\\
+ \begin{itemize}
+ \item[Fall 1:]
+ $v$ wurde von $u$ aus entdeckt $\Rightarrow (u,v)$ TreeEdge
+ \item[Fall 2:]
+ $v$ wurde nicht von $u$ aus entdeckt $\Rightarrow (u,v)$ ForwardEdge
+ \end{itemize}
+\end{itemize}
+
+\subsection*{b)}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{b)}
+
+$'\Rightarrow'$ Angenommen $(u,v)$ ist eine BackEdge\\
+d.\,h. $u$ ist ein Nachfolger von $v$ im selben Tiefesuchebaum\\
+$\Leftrightarrow$ Verschachtelungssatz \( d[v] < d[u] < f[u] y f[v] \)
+
+\includegraphics{bilder/2b.eps}
+
+\subsection*{c)}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{c)}
+
+\includegraphics{bilder/2c.eps}
+
+$'\Rightarrow': (u,v)$ CrossEdge
+
+Also sind $u$ und $v$ in verschiedenen Tiefensuchebäumen.
+
+\(\Rightarrow\) $v$ muss vor $u$ in der Tiefensuche entdeckt worden sein.\\
+\(\Rightarrow d[v] < f[v] < d[u] < f[u] \)\\
+\(\Leftarrow\) Angenommen: \( d[v] < f[v] < d[u] < f[u] \)\\
+\(\Rightarrow\) Verschachtelungssatz: $u$ und $v$ sind in zwei verschiedenen TS-Bäumen\\
+\(\Rightarrow (u,v) \) ist CrossEdge
+
+\section*{Aufgabe 3}
+\addcontentsline{toc}{section}{Aufgabe 3}
+
+Laufzeit: \( O(\|\|V\|\|^2) \)\\
+sowohl Breitensuche und Tiefensuche
+
+$\Rightarrow$ Es müssen alle Spalten/Zeilen durchgegangen werden.
+
+\section*{Aufgabe 4}
+\addcontentsline{toc}{section}{Aufgabe 4}
+
+Annahme: \includegraphics{bilder/4.eps}
+
+Behauptung: Jede Tiefensuche liefert $d[v] < f[u]$ als Ergebnis.
+
+Betrachte eine beliebige Tiefensuche zu dem Zeitpunkt, an dem $v$ entdeckt wird.
+
+\underline{Fall 1:} $u$ wurde vor $v$ entdeckt\\
+Weißer Pfadsatz: $v$ ist ein Nachfolger von u \(\to d[v] < f[u]\)
+
+\underline{Fall 2:} $u$ wurde noch nicht entdeckt:\\
+\begin{enumerate}[a)]
+ \item \(v\overset{P}{\leadsto}u \Rightarrow u\) Nachkomme von $v$\\
+ Verschachtelungssatz: \( d[v] < d[u] < f[u] < f[v] \)
+ \item $u$ ist von $v$ aus nicht erreichbar.\\
+ Also wird $v$ komplett abgearbeitet, bevor $u$ entdeckt wird:\\
+ \( d[v] < f[v] < d[u] < f[u] \)
+\end{enumerate}
+
+
+\section*{Aufgabe 5}
+\addcontentsline{toc}{section}{Aufgabe 5}
+
+Graph $G=(V,E)$ (gerichtet)\\
+$E^T = \{ (v,u) \mid (u,v) \in E \}$
+
+\begin{lstlisting}[frame=single]
+MatrixTranspose(a):
+ n = size(a)
+ for i:= 1 to n do
+ for j:= 1 to n do
+ B[i][j] = A[j][i]
+ return B
+\end{lstlisting}
+
+Laufzeit: \( \Theta(n^2)\)
+
+\begin{lstlisting}[frame=single]
+ListTranspose(G=(V,E)):
+ Erzeuge einen leeren Graphen G2 mit der Knotenmenge V
+ for jeden Knoten u in V do
+ for jeden Knoten v in Adj[u] do
+ Fuege Kante (v,u) zu G2 hinzu
+ return G2
+\end{lstlisting}
+
+Laufzeit: \( O(\|V\| + \|E\| ) \)
+
+
+\section*{Aufgabe 6}
+\addcontentsline{toc}{section}{Aufgabe 6}
+
+\includegraphics{bilder/6.eps}
+
+\underline{Ansatz:} Führe Tiefensuche durch und speichere die benutzten Kanten in einer Liste.
+
+\begin{lstlisting}[frame=single]
+Search(G,s):
+ for each v in V do
+ color[v] := WHITE
+ Initialisiere die Liste p
+ Visit(G,s,p)
+\end{lstlisting}
+
+\begin{lstlisting}[frame=single]
+Visit(G,v,p):
+ color[v] := GRAY
+ Haenge v an das Ende von p
+ for each u in Neighbour(v) do
+ if color[u] = WHITE then
+ Visit(G,u,p)
+ Haenge v an das Ende von P
+ else if color[u] = GRAY then
+ Haenge (u,v) an das Ende von p
+ color[v] := BLACK
+\end{lstlisting}
+
+\end{document}
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+-0.8 0 l
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