From 842faf5c33ae78e6027e9d754fcc56576b520443 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Thomas Ba <git@thomasba.de>
Date: Thu, 15 Dec 2011 18:42:17 +0100
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 Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex

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 			&= \int\limits_0^1 x*x dx + \int\limits_1^2 x * \frac{3}{14} x^2 dx\\
 			&= \left[ \frac13*x^3 \right]_0^1 + \left[ \frac{3}{56} x^4 \right]_1^2\\
 			&= \frac13 * 1 - \frac13 * 0 + \frac{3}{56} * 2^4 - \frac{3}{56} * 1\\
-			&= \frac13 -0 + \frac{48}{56}-\frac{3}{56} = \frac{191}{168}
+			&= \frac13 -0 + \frac{48}{56}-\frac{3}{56} = \frac{191}{168}\\[5mm]
+		\sigma^2 &= \int\limits_{-\infty}^\infty x^2 * f(x) dx - \mu^2\\
+			&= \int\limits_0^1 x^2 * x dx + \int\limits_1^2 x^2 * \frac{3}{14} * x^2 dx - \left(\frac{191}{168}\right)^2\\
 	\end{align*}
 
+	\bsp Exponentialverteilung: \( f(x) = \begin{cases} \lambda*e^{-\lambda*x}, & x \ge 0 \\ 0, & x<0 \end{cases} \)
+
+	\begin{align*}
+		\mu &= \int\limits_{-\infty}^\infty x * f(x) dx = \int\limits_0^\infty x*\lambda*e^{-\lambda * x} dx\\
+			&= \lambda * \int\limits_0^\infty \underbrace{x}_{u} * \underbrace{e^{-\lambda*x}}_{v'} dx\\
+			&= \lambda * \left( \left[ -\frac{x}{\lambda} * e^{-\lambda*x} \right]_0^\infty - \int\limits_0^\infty -\frac1\lambda*e^{-\lambda*x}\, dx \right)\\
+			&= \lambda * \left( 0 - \left[ \frac{e^{-\lambda*x}}{\lambda^2} \right]_0^\infty\right)\\
+			&= \lambda * \left( - \left( \frac{e^{-\infty}}{\lambda^2} - \frac{e^0}{\lambda^2} \right) \right)\\
+			&= \lambda * \frac{1}{\lambda^2}\\
+			&= \frac1\lambda
+	\end{align*}
+
+	\bsp Gleichverteilung: \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} , & a\le x\le b \\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \)
+
+	\begin{align*}
+		\mu &= \int\limits_{-\infty}^\infty x * f(x) \, dx = \int\limits_a^b x * \frac{1}{b-a} \, dx \\
+			&= \left[ \frac{x^2}{2} * \frac{1}{b-a} \right]_a^b\\
+			&= \frac{b^2}{2(b-a)} - \frac{a^2}{2(b-a)}\\
+			&= \frac{b^2-a^2}{2(b-a)}\\
+			&= \frac{(b-a)*(b+a)}{2 * (b-a)}\\
+			&= \frac{a+b}{2}
+	\end{align*}
+
+	\subsection{Normalverteilung}
+
+	\begin{mydef}
+		$X$ ist $N(\mu,\sigma)$ verteilt, wenn $X$ die Dichtefunktion \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}*\sigma} * e^{-\frac12 * \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\) besitzt.\\
+		Es gilt: \(E(X)=\mu, Var(X) = \sigma^2\)\\
+		\(\rightarrow X\) heißt \underline{standardnormalverteilt}, wenn \(\mu=0,\sigma=1 \rightarrow f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} * e^{-\frac12 x^2}\)\\
+		Zugehörige Verteilungsfunktion \(F(x) = \phi(x) = \phi_{0,1}(x) \rightarrow\) hierfür: \underline{Tabellenwerte}
+	\end{mydef}
+
 \end{document}