From 6395497434ab4c7ed3b33c4db8bcb64879d364d5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Thomas Ba <git@thomasba.de>
Date: Wed, 23 Nov 2011 11:14:17 +0100
Subject: [PATCH] 2011-11-13 1. VL Berechenbarkeits-KomplexTh

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 .../Berechenbarkeits-KomplexTh.tex            | 75 ++++++++++++++++++-
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index 329c641..eecccb1 100644
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+++ b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex
@@ -28,7 +28,7 @@
 \definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0}
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 \renewenvironment{leftbar}[1]{%
     \def\FrameCommand{{{\vrule width #1\relax\hspace {8pt}}}}%
@@ -843,4 +843,77 @@
 			d.\,h. \(f(G) = (n,L,d) \)
 	\end{enumerate}
 
+	\satz Sei \( A \le^P B\).
+	\begin{enumerate}
+		\item \( B \in P \Rightarrow A \in P \)
+		\item \( B \in NP \Rightarrow A \in NP \)
+	\end{enumerate}
+
+	\bew zu 1.\\
+	Sei \(M_B\) eine Turingmaschine für \(B\) die in polynomieller Zeit arbeitet.\\
+	Sei \(M_f\) eine Turingmaschine, die die Reduktionsunktion in polynomieller Zeit berechnet.
+
+	Sei \(c\in \Sigma^*\) Eingabe für $A$.\\
+	\( x \to M_f \overset{f(x)}{\rightarrow} M_B \to \{0,1\} \)
+
+	Sei $p$ ein Polynom, das die Rechenzeit von $M_f$ beschränkt, z.\,B. \(p(n) = n^k\).\\
+	Ebenso \(q\) Polynom für \(M_B\), z.\,B. \(q(n) = n^e\)\\
+	Rechenzeit von \(M_A\) auf x, \(\left|x\right| = n \):\\
+	\spa\( p(n) + q(\underbrace{p(n)+n}_{\text{max. Länge von }f(x)}) \)\\
+	Dies ist ein Polynom, alsp \(A\in P\).
+
+	\bsp \(n^k + (n^k + n)^l = O(n^{k*l}) \)
+
+	\bew zu 2.\\
+	\(M_B\) nichtdeterministisch \(\Rightarrow M_A \) nichtdeterministisch. Zeit bleibt unverändert.
+
+	\defin \(A,B\) heißen (\underline{polynomiell}) \underline{äquivalent}, schreibe \( A \equiv^P B\), falls \(A\le^P B\) und \(B\le^P A\).\\
+	\underline{Lemma}: \(\equiv^P\) ist Äquivalentzrelation.\\
+	\bew (R) \(A \equiv^P A\), da \(A\le^P A\) mittels \(f(x)=x\).\\
+	(S) \( A \equiv^P V \Rightarrow B \equiv^P A \) \(\Box\)\\
+	(T) \( A\le^P B\) und \(B \le^P C \Rightarrow A\le^P C \)
+
+	Sei \(A\le^P B \) mittels \(f\) und \(B\le^P C\) mittels \(g\)\\
+	Definiere \(h(x) = g(f(x)) \).\\
+	Rechenzeit für \(h\) ist Polynom \(\Box\)
+
+	\defin Sei \(A\subseteq \Sigma^*\).\\
+	A ist \underline{NP-hart}, falls \( \forall L \in NP \quad L \le^P A\).\\
+	A heißt \underline{NP-Vollständig}, falls $A$ NP-Hart ist und \( A \in NP \)
+
+	\satz Sei \(A\) NP-Vollständig.\\
+	\(A\in P \Rightarrow P = NP \).\\
+	\bew Sei \(L\in NP\). Zeige: \(L\in P\)\\
+	Da \(A\) NP-vollständig ist, gilt: \( L\le^P A \).\\
+	Nach obigem Satz: \( A\in P\Rightarrow L \in P \)
+
+	\satz Sind \(A,B\) NP-volständig, dann ist \( A\equiv^P B\).
+
+	\textcolor{darkblue}{\underline{Satz von Cook (1971)}}\\
+	\(SAT\) ist NP-Vollständig.\\
+	\bew \(SAT\in NP\)\\
+	Sei \(M = (Z,\Sigma,\Gamma,\delta,Z_a,Z_v,\Box)\) eine NTM mit Rechenzeit \(p(n)\) mit \(L=L(M)\).\\
+	Sei \(Z = \{ Z_0,Z_1,…,Z_k\}, \underset{\subseteq \Sigma}{\Gamma} = \{a_1,…,a_m\} \)
+
+	Sei \(x\in\Sigma^*\) Eingabe für $M$. Gebe Reduktionsfunktion $f$ an, so dass \(f(x) = F_x\) eine boolesche Formel ist, so dass gilt:\\
+	\spa \(x\in L(M) \Leftrightarrow F_x \in SAT \)\\
+	\spa \(\left|x\right| = n\)
+
+	Variablen von \(F_x\):\\
+	\(zust_{t,z}, t=0,1,…,P(n), z\in Z\)\\
+	\spa (Intuitiv: \(=1\), falls M zum Zeitpunkt $t$ im Zustand $z$, sonst 0)\\
+	\(pos_{t,i}, t=0,1,…,p(n),i \)\\
+	\spa (Intuitiv: \(=1\), falls der Lese/Schreibkopf von M zum Zeitpunkt $t$ auf Feld $i$ steht)\\
+	\(band_{t,i,q}, t = 0,1,…,P(n), i=-p(n),...,p(n), a \in \Gamma \)
+	\spa (Intuitiv:\(=1\), falls auf dem Band von M zum Zeitpunkt $t$ auf Feld $i$ das Zeichen $a$ steht, 0 sonst)
+
+	\(F_x\) setzt sich zusammen aus\\
+	\spa \( F_x = R\land A \land U_1 \land U_2 \land E\)
+	R ist die Randbedingung. 
+
+	Zu jedem Zeitpunkt $t$ ist genau eine Variable von \(zust_{t,z_0}, …, zust_{t,z_k} \) wahr.
+	Ebenso von \( pos_{t,-p(m),…,p(m)} \)
+
+	
+
 \end{document}